Cuadriláteros inscritos y circunscritos y sus propiedades: materiales de preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Un criterio de que un cuadrilátero cortado por una línea recta de un triángulo está inscrito en un círculo determinado.

Se dice que un círculo está inscrito en un cuadrilátero si todos los lados del cuadrilátero son tangentes al círculo.

El centro de este círculo es el punto de intersección de las bisectrices de las esquinas del cuadrilátero. En este caso, los radios trazados a los puntos tangentes son perpendiculares a los lados del cuadrilátero.

Una circunferencia se dice circunscrita a un cuadrilátero si pasa por todos sus vértices.

El centro de este círculo es el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares a los lados del cuadrilátero.

No todos los cuadriláteros pueden inscribirse con un círculo, y no todos los cuadriláteros pueden inscribirse con un círculo.

PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS INSCRITOS Y CIRCULARES

TEOREMA En un cuadrilátero inscrito convexo, las sumas de los ángulos opuestos son iguales entre sí e iguales a 180°.

TEOREMA A la inversa: si en un cuadrilátero las sumas de los ángulos opuestos son iguales, entonces se puede describir un círculo alrededor del cuadrilátero. Su centro es el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares a los lados.

TEOREMA Si un círculo está inscrito en un cuadrilátero, entonces las sumas de sus lados opuestos son iguales.

TEOREMA A la inversa: si en un cuadrilátero las sumas de los lados opuestos son iguales, entonces se puede inscribir en él un círculo. Su centro es el punto de intersección de las bisectrices.

Corolarios: de todos los paralelogramos, sólo alrededor de un rectángulo (en particular, alrededor de un cuadrado) se puede describir un círculo.

De todos los paralelogramos, sólo un rombo (en particular un cuadrado) puede inscribir un círculo (el centro es el punto de intersección de las diagonales, el radio es igual a la mitad altura).

Si se puede describir un círculo alrededor de un trapezoide, entonces es isósceles. Se puede describir un círculo alrededor de cualquier trapecio isósceles.

Si un círculo está inscrito en un trapezoide, entonces su radio es igual a la mitad de su altura.

Tareas con soluciones.

1. Encuentra la diagonal de un rectángulo inscrito en un círculo cuyo radio es 5.

El centro de un círculo circunscrito a un rectángulo es el punto de intersección de sus diagonales. Por lo tanto, la diagonal C.A. es igual a 2 R. Eso es C.A.=10
Respuesta: 10.

2. Se describe un círculo alrededor de un trapezoide, cuyas bases miden 6 cm y 8 cm, y la altura es 7 cm. Calcula el área de este círculo.

Dejar corriente continua=6, AB=8. Como un círculo está circunscrito alrededor de un trapezoide, es isósceles.

Dibujemos dos alturas. DM y CN.Dado que el trapezoide es isósceles, entonces AM=NB=

Entonces UN=6+1=7

Del triangulo RESPUESTA usando el teorema de pitágoras encontramos C.A..

Del triangulo CВN usando el teorema de pitágoras encontramos Sol.

La circunferencia circunscrita de un trapezoide es también la circunferencia circunscrita de un triángulo. dia

Encontremos el área este triángulo de dos maneras usando las fórmulas

Dónde h- altura y - base del triangulo

Donde R es el radio del círculo circunscrito.

De estas expresiones obtenemos la ecuación. Dónde

El área del círculo será igual a

3. Los ángulos y los cuadriláteros están relacionados como . Encuentra el ángulo si se puede describir un círculo alrededor de un cuadrilátero dado. Da tu respuesta en grados

De la condición se deduce que. Dado que un círculo se puede describir alrededor de un cuadrilátero, entonces

Obtenemos la ecuación . Entonces . La suma de todos los ángulos de un cuadrilátero es 360º. Entonces

. ¿De dónde conseguimos eso?

4. Los lados de un trapecio circunscrito a un círculo son 3 y 5. Encuentra la línea media del trapezoide.

Entonces línea media igual a

5. Perímetro trapezoide rectangular circunscrita al círculo es 22, su lado mayor es 7. Calcula el radio del círculo.

En un trapezoide, el radio del círculo inscrito es igual a la mitad de la altura. Encontremos la altura del SC.

Entonces .

Como un círculo está inscrito en un trapezoide, la suma de las longitudes lados opuestos son iguales. Entonces

Entonces el perímetro

Obtenemos la ecuación

6. Las bases de un trapezoide isósceles son 8 y 6. El radio del círculo circunscrito es 5. Calcula la altura del trapezoide.

Sea O el centro del círculo circunscrito al trapezoide. Entonces .

Dibujemos la altura KH por el punto O.

Entonces , donde KO y OH son alturas y al mismo tiempo medianas triángulos isósceles DOC y AOB. Entonces

Según el teorema de Pitágoras.

Inscrito cuadrilátero: un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran todos en el mismo círculo.
Obviamente, este círculo se llamará descrito alrededor del cuadrilátero.

Descrito un cuadrilátero es tal que todos sus lados tocan un círculo. En este caso el círculo inscrito en un cuadrilátero.

La figura muestra cuadriláteros inscritos y circunscritos y sus propiedades.

Veamos cómo se utilizan estas propiedades para resolver problemas del Examen Estatal Unificado.

1. Dos ángulos de un cuadrilátero inscrito en un círculo miden 82° y 58°. Encuentra el ángulo restante más grande. Da tu respuesta en grados.

La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito es 180°. Sea el ángulo A 82°. Luego hay un ángulo de 98 grados opuesto a él. Si el ángulo B mide 58°, entonces el ángulo D mide 180° - 58° = 122°.

Respuesta: 122.

2. Los tres lados de un cuadrilátero circunscrito alrededor de un círculo están en la proporción (en orden secuencial) de 1:2:3. Encuentra el lado más largo de este cuadrilátero si se sabe que su perímetro es 32.

Sea el lado AB x, AD sea 2x y DC sea 3x. Según la propiedad del cuadrilátero descrito, las sumas de los lados opuestos son iguales y, por tanto,
x + 3x = antes de Cristo + 2x.
Resulta que BC es igual a 2x. Entonces el perímetro del cuadrilátero es 8x. Obtenemos que x = 4, y lado grande es igual a 12.

3. Se describe un trapezoide alrededor de un círculo cuyo perímetro es 40. Encuentra su línea media.

Recordemos que la línea media de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases. Sean las bases del trapecio iguales a a y c, y lados- b y d. Según la propiedad del cuadrilátero descrito,
a + c = b + d, lo que significa que el perímetro es 2(a + c).
Obtenemos que a + c = 20 y la línea media es 10.

Repitamos una vez más las propiedades de un cuadrilátero inscrito y circunscrito.

Un cuadrilátero puede inscribirse en una circunferencia si y sólo si la suma de sus ángulos opuestos es igual a 180°.

Un cuadrilátero puede circunscribirse a un círculo si y sólo si las sumas de las longitudes de sus lados opuestos son iguales.

"Círculo" Hemos visto que un círculo puede circunscribirse a cualquier triángulo. Es decir, para cada triángulo hay un círculo tal que los tres vértices del triángulo "se asientan" sobre él. Como esto:

Pregunta: ¿se puede decir lo mismo de un cuadrilátero? ¿Es cierto que siempre habrá un círculo en el que se “asentarán” los cuatro vértices del cuadrilátero?

¡Resulta que esto NO ES VERDAD! Un cuadrilátero NO SIEMPRE se puede inscribir en un círculo. Hay una condición muy importante:

En nuestra imagen:

Mira, los ángulos y están opuestos entre sí, lo que significa que son opuestos. ¿Qué pasa entonces con los ángulos y? ¿Parece que también son opuestos? ¿Es posible tomar ángulos y en lugar de ángulos y?

¡Por supuesto que puedes! Lo principal es que el cuadrilátero tiene unos dos. ángulos opuestos, cuya suma será. Los dos ángulos restantes también se sumarán por sí solos. ¿No me crees? Asegurémonos. Mirar:

Déjalo ser. ¿Recuerdas cuál es la suma de los cuatro ángulos de cualquier cuadrilátero? Ciertamente, . Es decir, ¡siempre! . Pero, → .

¡Magia ahí mismo!

Así que recuerda esto muy firmemente:

Si un cuadrilátero está inscrito en un círculo, entonces la suma de dos de sus ángulos opuestos cualesquiera es igual a

y viceversa:

Si un cuadrilátero tiene dos ángulos opuestos cuya suma es igual, entonces el cuadrilátero es cíclico.

No demostraremos todo esto aquí (si está interesado, consulte los siguientes niveles de teoría). Pero veamos a dónde lleva esto. hecho maravilloso que la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito es igual.

Por ejemplo, me viene a la mente la pregunta: ¿es posible describir un círculo alrededor de un paralelogramo? Probemos primero el “método de empujar”.

De alguna manera no funciona.

Ahora apliquemos el conocimiento:

Supongamos que de alguna manera logramos encajar un círculo en un paralelogramo. Entonces ciertamente debe haber: , es decir.

Ahora recordemos las propiedades de un paralelogramo:

Todo paralelogramo tiene ángulos opuestos iguales.

Resultó que

¿Qué pasa con los ángulos y? Bueno, lo mismo por supuesto.

Inscrito → →

Paralelogramo→ →

Increíble, ¿verdad?

Resulta que si un paralelogramo está inscrito en un círculo, entonces todos sus ángulos son iguales, es decir, ¡es un rectángulo!

Y al mismo tiempo - el centro del círculo coincide con el punto de intersección de las diagonales de este rectángulo. Esto está incluido como un bono, por así decirlo.

Bueno, eso significa que descubrimos que un paralelogramo inscrito en un círculo es rectángulo.

Ahora hablemos del trapezoide. ¿Qué pasa si un trapezoide está inscrito en un círculo? Pero resulta que habrá trapezoide isósceles . ¿Por qué?

Dejemos que el trapezoide esté inscrito en un círculo. Por otra parte, pero debido al paralelismo de las líneas y.

Esto significa que tenemos: → → trapezoide isósceles.

Incluso más fácil que con un rectángulo, ¿verdad? Pero debes recordar firmemente que te resultará útil:

Enumeremos los más declaraciones principales tangente a un cuadrilátero inscrito en una circunferencia:

Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia si y sólo si la suma de sus dos ángulos opuestos es igual a
Un paralelogramo inscrito en un círculo - ciertamente rectángulo y el centro del círculo coincide con el punto de intersección de las diagonales
Un trapecio inscrito en una circunferencia es equilátero.

Cuadrilátero inscrito. nivel intermedio

Se sabe que por cada triángulo hay un círculo circunscrito (lo demostramos en el tema “El círculo circunscrito”). ¿Qué se puede decir del cuadrilátero? Resulta que NO TODOS los cuadriláteros pueden inscribirse en un círculo, y existe tal teorema:

Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia si y sólo si la suma de sus ángulos opuestos es igual a.

En nuestro dibujo -

Intentemos entender por qué es así. En otras palabras, ahora demostraremos este teorema. Pero antes de probarlo, es necesario comprender cómo funciona la declaración en sí. ¿Notaste las palabras “entonces y sólo entonces” en la declaración? Semejantes palabras significan que matemáticos dañinos han reunido dos afirmaciones en una.

Descifremos:

“Entonces” significa: Si un cuadrilátero está inscrito en un círculo, entonces la suma de dos de sus ángulos opuestos cualesquiera es igual.
“Sólo entonces” significa: Si un cuadrilátero tiene dos ángulos opuestos cuya suma es igual, entonces dicho cuadrilátero puede inscribirse en un círculo.

Como Alicia: "pienso lo que digo" y "digo lo que pienso".

Ahora averigüemos por qué tanto 1 como 2 son verdaderos.

Primero 1.

Sea un cuadrilátero inscrito en un círculo. Marquemos su centro y dibujemos radios y. ¿Qué pasará? ¿Recuerdas que un ángulo inscrito mide la mitad del tamaño del ángulo central correspondiente? Si lo recuerdas, lo usaremos ahora, y si no, mira el tema. "Círculo. Ángulo inscrito".

Inscrito

Pero mira: .

Obtenemos que si - está inscrito, entonces

Bueno, está claro que también suma. (también debemos considerarlo).

Ahora “viceversa”, es decir, 2.

Resulta que en un cuadrilátero la suma de dos ángulos opuestos es igual. digamos dejar

Aún no sabemos si podemos describir un círculo a su alrededor. Pero sabemos con certeza que tenemos la garantía de poder describir un círculo alrededor de un triángulo. Así que hagámoslo.

Si un punto no “se asienta” en el círculo, inevitablemente terminará dentro o fuera del círculo.

Consideremos ambos casos.

Deja que el punto esté afuera primero. Entonces el segmento corta al círculo en algún punto. Conectemos y. El resultado es un cuadrilátero inscrito (!).

Ya sabemos de ello que la suma de sus ángulos opuestos es igual, es decir, y según nuestra condición.

Resulta que debería ser así.

Pero esto no puede ser posible porque... esquina exterior para y significa.

¿Qué pasa con el interior? Hagamos cosas similares. Deja que el punto esté dentro.

Entonces la continuación del segmento cruza el círculo en un punto. De nuevo, un cuadrilátero inscrito, y según la condición debe cumplirse, pero, un ángulo externo para y significa, es decir, nuevamente no puede ser eso.

Es decir, un punto no puede estar ni fuera ni dentro del círculo, ¡eso significa que está en el círculo!

¡Todo el teorema ha sido demostrado!

Ahora veamos qué buenas consecuencias da este teorema.

Corolario 1

Un paralelogramo inscrito en una circunferencia sólo puede ser un rectángulo.

Entendamos por qué esto es así. Sea un paralelogramo inscrito en una circunferencia. Entonces debería hacerse.

Pero eso lo sabemos por las propiedades de un paralelogramo.

Y lo mismo, naturalmente, respecto a los ángulos y.

Entonces resulta ser un rectángulo: todas las esquinas están juntas.

Pero, además, hay un dato adicional agradable: el centro del círculo circunscrito al rectángulo coincide con el punto de intersección de las diagonales.

Entendamos por qué. Espero que recuerdes muy bien que el ángulo subtendido por el diámetro es una línea recta.

Diámetro,

Diámetro

lo que significa que es el centro. Eso es todo.

Corolario 2

Un trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.

Dejemos que el trapezoide esté inscrito en un círculo. Entonces.

Y lo mismo.

¿Hemos hablado de todo? No precisamente. De hecho, existe otra forma "secreta" de reconocer un cuadrilátero inscrito. Formularemos este método de manera no muy estricta (pero comprensible) y lo probaremos solo en último nivel teorías.

Si en un cuadrilátero se puede observar una imagen como la que se muestra en la figura (aquí los ángulos “miran” al lado de los puntos y son iguales), entonces dicho cuadrilátero está inscrito.

Este es un dibujo muy importante; en los problemas suele ser más fácil encontrarlo. ángulos iguales, que la suma de ángulos y.

A pesar de la total falta de rigor de nuestra formulación, es correcta y, además, siempre es aceptada por los examinadores del Examen Estatal Unificado. Deberías escribir algo como esto:

“- inscrito” - ¡y todo estará bien!

No olvides este señal importante- Recuerde la imagen y tal vez le llame la atención a tiempo cuando resuelva el problema.

Cuadrilátero inscrito. Breve descripción y fórmulas básicas.

Si un cuadrilátero está inscrito en un círculo, entonces la suma de dos de sus ángulos opuestos cualesquiera es igual a

y viceversa:

Si un cuadrilátero tiene dos ángulos opuestos cuya suma es igual, entonces el cuadrilátero es cíclico.

Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia si y sólo si la suma de sus dos ángulos opuestos es igual.

Paralelogramo inscrito en una circunferencia- ciertamente un rectángulo, y el centro del círculo coincide con el punto de intersección de las diagonales.

Un trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.

POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCULARES,

§ 106. PROPIEDADES DE LOS CUADRIÁGONOS INSCRITOS Y DESCRITOS.

Teorema 1. La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es 180°.

Sea un cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo con centro O (figura 412). Se requiere demostrar que / A+ / C = 180° y / B+ / D = 180°.

/ A, inscrita en el círculo O, mide 1/2 BCD.
/ C, como está inscrito en el mismo círculo, mide 1/2 BAD.

En consecuencia, la suma de los ángulos A y C se mide por la mitad de los arcos BCD y BAD, en suma, estos arcos forman un círculo, es decir, tienen 360°;
Desde aquí / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

De la misma manera, se demuestra que / B+ / D = 180°. Sin embargo, esto se puede deducir de otra manera. Sabemos que la suma de los ángulos interiores cuadrilátero convexo igual a 360°. La suma de los ángulos A y C es igual a 180°, lo que significa que la suma de los otros dos ángulos del cuadrilátero también sigue siendo 180°.

Teorema 2(contrarrestar). Si en un cuadrilátero la suma de dos ángulos opuestos es igual 180° , entonces se puede describir un círculo alrededor de dicho cuadrilátero.

Sea la suma de los ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD igual a 180°, es decir
/ A+ / C = 180° y / B+ / D = 180° (dibujo 412).

Demostremos que se puede describir un círculo alrededor de tal cuadrilátero.

Prueba. A través de 3 vértices cualesquiera de este cuadrilátero puedes dibujar un círculo, por ejemplo a través de los puntos A, B y C. ¿Dónde estará ubicado el punto D?

El punto D puede ocupar sólo uno de los tres siguientes posiciones: estar dentro del círculo, estar fuera del círculo, estar en la circunferencia del círculo.

Supongamos que el vértice está dentro del círculo y toma la posición D" (Fig. 413). Entonces en el cuadrilátero ABCD" tendremos:

/ B+ / D" = 2 d.

Continuando el lado AD" hasta la intersección con el círculo en el punto E y conectando los puntos E y C, obtenemos el cuadrilátero cíclico ABCE, en el cual, según el teorema directo

/ B+ / mi = 2 d.

De estas dos igualdades se sigue:

/ D" = 2 d - / B;
/ mi=2 d - / B;

/ D" = / MI,

pero esto no puede ser, porque / D", como externo respecto al triángulo CD"E, debe ser más ángulo E. Por tanto, el punto D no puede estar dentro del círculo.

También se ha demostrado que el vértice D no puede ocupar la posición D" fuera del círculo (figura 414).

Queda por reconocer que el vértice D debe estar en la circunferencia del círculo, es decir, coincidir con el punto E, lo que significa que se puede describir un círculo alrededor del cuadrilátero ABCD.

Consecuencias. 1. Se puede describir un círculo alrededor de cualquier rectángulo.

2. Se puede describir un círculo alrededor de un trapecio isósceles.

En ambos casos, la suma de los ángulos opuestos es 180°.

Teorema 3. En un cuadrilátero circunscrito las sumas de los lados opuestos son iguales. Describamos el cuadrilátero ABCD alrededor de un círculo (Fig. 415), es decir, sus lados AB, BC, CD y DA son tangentes a este círculo.

Se requiere demostrar que AB + CD = AD + BC. Denotamos los puntos de tangencia con las letras M, N, K, P. Con base en las propiedades de las tangentes trazadas a un círculo desde un punto (§ 75), tenemos:

AR = AK;
VR = VM;
DN = NS;
CN = CM.

Sumemos estas igualdades término por término. Obtenemos:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

es decir, AB + CD = AD + BC, que es lo que había que demostrar.

Ceremonias.

1. En un cuadrilátero cíclico, dos ángulos opuestos están en la proporción 3:5,
y los otros dos están en la proporción 4:5. Determina la magnitud de estos ángulos.

2. En el cuadrilátero descrito, la suma de dos lados opuestos es 45 cm. Los dos lados restantes están en la proporción 0,2: 0,3. Encuentra la longitud de estos lados.

Tarea 6: en un trapezoide isósceles las bases miden 21 y 9 centímetros, la altura es 8 centímetros. Encuentra el radio del círculo circunscrito.

1. Realicemos bisectrices perpendiculares a las bases H y K, entonces el centro del círculo O se encuentra en la línea recta NK.

2. AO=OB=R. El punto O divide el segmento NK en dos partes: sea HO = x, luego OK = 8 - x.

3. AO 2 = AK 2 + KO 2; OB 2 = VN 2 + NO 2;

dado que OA 2 = OB 2, obtenemos:

AK 2 + KO 2 = VN 2 + NO 2

90 + 64 - 16x = 0

OB 2 = HV 2 + NO 2

Respuesta: OB = 10,625

Problemas con un círculo inscrito en un cuadrilátero.

Tarea 7: Una circunferencia de radio R está inscrita en un rombo. Calcula el área del rombo si es. gran diagonal 4 veces mayor que el radio círculo inscrito.

Dado: rombo, radio del círculo inscrito - R, BD r 4 veces

1. Sea OE = R, BD = 4OE = 4R

Problema 8: Calcula el área de un trapezoide isósceles circunscrito a una circunferencia de radio 4 si se sabe que el lado lateral del trapezoide es 10.

Dado: ABCD - trapezoide isósceles, r = 4, AB = 10

1. AB = CD = 10 por condición

2. AB + CD = AD + BC por la propiedad del círculo

3. ANUNCIO + AC = 10 + 10 = 20

4. FE = 2r = 2 4 = 8

Problema 9: adentro triangulo regular con el lado a hay tres círculos iguales, cada uno de los cuales toca dos lados del triángulo y otros dos círculos. Encuentra el área de la parte del triángulo ubicada fuera de estos círculos.

1. Sea AB = BC = AC = a.

2. Denotemos O 1 E = O 1 K = ED = r, luego AD = AE + ED = AE + r = .

3. AO 1 es la bisectriz del ángulo A, por lo tanto, ? ¿O 1 AE = 30? y en el rectangular?AO 1 E tenemos AO 1 = 2O 1 E = 2r y AE ===. Entonces AE + r = == , de donde.

Problema 10: todo el arco de un círculo de radio R se divide en 4 partes grandes y 4 pequeñas, que se alternan una tras otra. Mayoría el doble de largo que el pequeño. Determina el área de un octágono cuyos vértices son los puntos divisorios del arco circular.

1. Sea?AOB = 2x, ?BOC = x, luego por condición 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ?AOB = 60°, ?BOC = 30°

Problema 11: Los lados del triángulo miden 12 m, 16 my 20 m Calcula la altura dibujada desde el vértice del ángulo mayor.

1. 202 = 122 + 162

400 = 400 es correcto, entonces? ABC - rectangular (según el teorema, recíproco del teorema Pitágoras)

Respuesta: VN = 9,6

Problema 12: V triangulo rectángulo un cuadrado está inscrito con él ángulo común. Calcula el área del cuadrado si los lados del triángulo miden 10 my 15 m.

Dado: ? ABC - rectangular, AC = 15, CB = 10

1. ? ¿ADE~? ACB (? A - común, ? ADE = ? ACB = 90°)

2. Sea DE = DC = X, luego AD = 15 - X