En este tema hablaremos en detalle sobre las propiedades de la integral indefinida y sobre cómo encontrar las integrales mismas usando las propiedades mencionadas. También trabajaremos con la tabla de integrales indefinidas. El material presentado aquí es una continuación del tema "Integral indefinida. Comienzo". Sinceramente hablando, en pruebas Rara vez existen integrales que se pueden tomar usando tablas típicas y/o propiedades simples. Estas propiedades se pueden comparar con el alfabeto, cuyo conocimiento y comprensión son necesarios para comprender el mecanismo para resolver integrales en otros temas. A menudo, la integración utilizando tablas de integrales y propiedades de la integral indefinida se llama integración directa.

A lo que me refiero: las funciones cambian, pero la fórmula para encontrar la derivada permanece sin cambios, a diferencia de la integral, para la cual ya tuvimos que enumerar dos métodos.

Vayamos más lejos. Para encontrar la derivada $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ todos los lo mismo aplica la misma fórmula $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, en la cual tendrás que sustituir $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ Pero para encontrar la integral $\int x^(-\frac(1)(. 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ requerirá el uso de un nuevo método: las sustituciones de Chebyshev.

Y finalmente: para encontrar la derivada de la función $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$, la fórmula $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ es nuevamente aplicable, en el cual en lugar de $u$ y $v$ sustituimos $\sin x$ y $\frac(1)(x)$, respectivamente, pero $\int \sin x\cdot\frac(1). )(x) dx$ tomado Más precisamente, no se expresa mediante. numero final funciones elementales.

Resumamos: donde se necesitaba una fórmula para encontrar la derivada, se necesitaban cuatro para la integral (y este no es el límite), y en el último caso la integral se negó a ser ubicada en absoluto. Cambió la función - la necesitaba Nuevo método integración. Aquí es donde tenemos tablas de varias páginas en los libros de referencia. Ausencia método general(adecuado para resolver "manualmente") conduce a una gran cantidad de métodos privados que son aplicables sólo para integrar su propia clase de funciones extremadamente limitada (en otros temas trataremos estos métodos en detalle). Aunque no puedo evitar notar la presencia del algoritmo de Risch (le aconsejo que lea la descripción en Wikipedia), solo es adecuado para el procesamiento de programas de integrales indefinidas.

Pregunta 3

Pero si hay tantas de estas propiedades, ¿cómo puedo aprender a tomar integrales? ¡Era más fácil con los derivados!

Para una persona, hasta ahora sólo hay un camino: decidir cómo más ejemplos utilizar varias técnicas de integración para que cuando aparezca una nueva integral indefinida, puedas elegir un método de solución según tu experiencia. Entiendo que la respuesta no es muy tranquilizadora, pero no hay otra manera.

Propiedades de la integral indefinida

Propiedad No. 1

La derivada de la integral indefinida es igual al integrando, es decir $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Esta propiedad es bastante natural, porque la integral y la derivada son mutuamente operaciones inversas. Por ejemplo, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ y así sucesivamente.

Propiedad No. 2

No integral definida del diferencial de alguna función es igual a esta función, es decir $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Generalmente esta propiedad se percibe un tanto difícil, ya que parece que no hay “nada” debajo de la integral. Para evitar esto, puedes escribir la propiedad indicada de la siguiente manera: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Un ejemplo de uso de esta propiedad: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ o, si lo desea, de esta forma: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Propiedad No. 3

El factor constante se puede sacar del signo integral, es decir $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (asumimos que $a\neq 0$).

La propiedad es bastante simple y quizás no requiera comentarios. Ejemplos: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Propiedad No. 4

Integral de la suma (diferencia) de dos funciones igual a la suma(diferencias) de integrales de estas funciones:

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Ejemplos: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

En las pruebas estándar, generalmente se utilizan las propiedades No. 3 y No. 4, por lo que nos detendremos en ellas con más detalle.

Ejemplo No. 3

Encuentre $\int 3 e^x dx$.

Usemos la propiedad número 3 y saquemos la constante, es decir número $3$, para el signo integral: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Ahora abramos la tabla de integrales y sustituyendo $u=x$ en la fórmula No. 4 obtenemos: $\int e^x dx=e^x+C$. Se deduce que $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Supongo que el lector tendrá inmediatamente una pregunta, por lo que la formularé por separado:

Pregunta #4

Si $\int e^x dx=e^x+C$, entonces $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! ¿Por qué simplemente escribieron $3e^x+C$ en lugar de $3e^x+3C$?

La pregunta es completamente razonable. La cuestión es que la constante integral (es decir, el mismo número $C$) se puede representar en forma de cualquier expresión: lo principal es que esta expresión “recorre” todo el conjunto de números reales, es decir variaba de $-\infty$ a $+\infty$. Por ejemplo, si $-\infty≤ C ≤ +\infty$, entonces $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, entonces la constante $C$ se puede representar en la forma $\ fracción(C)( 3)$. Podemos escribir que $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ y luego $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. Como puede ver, aquí no hay contradicción, pero debe tener cuidado al cambiar la forma de la constante integral. Por ejemplo, representar la constante $C$ como $C^2$ sería un error. El punto es que $C^2 ≥ 0$, es decir $C^2$ no cambia de $-\infty$ a $+\infty$, no “recorre” todo numeros reales. Asimismo, sería un error representar una constante como $\sin C$, porque $-1≤ \sin C ≤ 1$, es decir $\sin C$ no "recorre" todos los valores eje real. En lo que sigue, no discutiremos este tema en detalle, sino que simplemente escribiremos la constante $C$ para cada integral indefinida.

Ejemplo No. 4

Encuentra $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.

Usemos la propiedad No. 4:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Ahora tomemos las constantes (números) fuera de los signos integrales:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

A continuación, trabajaremos con cada integral obtenida por separado. La primera integral, es decir $\int \sin x dx$, se puede encontrar fácilmente en la tabla de integrales del No. 5. Sustituyendo $u=x$ en la fórmula No. 5 obtenemos: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

Para encontrar la segunda integral $\int\frac(dx)(x^2+9)$ necesitas aplicar la fórmula No. 11 de la tabla de integrales. Sustituyendo $u=x$ y $a=3$ obtenemos: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.

Y finalmente, para encontrar $\int x^3dx$ usamos la fórmula No. 1 de la tabla, sustituyendo $u=x$ y $\alpha=3$ en ella: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

Se han encontrado todas las integrales incluidas en la expresión $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$. Ya sólo queda sustituirlos:

$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

El problema está resuelto, la respuesta es: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Agregaré una pequeña nota a este problema:

Sólo una pequeña nota

Quizás nadie necesite este inserto, pero aun así mencionaré que $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. Aquellos. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.

Veamos un ejemplo en el que utilizamos la fórmula nº 1 de la tabla de integrales para interponer irracionalidades (en otras palabras, raíces).

Ejemplo No. 5

Encuentre $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.

Para empezar, haremos las mismas acciones que en el ejemplo número 3, a saber: descompondremos la integral en dos y moveremos las constantes más allá de los signos de las integrales:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^ 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

Dado que $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, entonces $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7) )dx$. Para encontrar esta integral, aplicamos la fórmula No. 1, sustituyendo $u=x$ y $\alpha=\frac(4)(7)$ en ella: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Si lo desea, puede representar $\sqrt(x^(11))$ como $x\cdot\sqrt(x^(4))$, pero esto no es necesario.

Pasemos ahora a la segunda integral, es decir $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Dado que $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, entonces la integral bajo consideración se puede representar de la siguiente forma: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Para encontrar la integral resultante, aplicamos la fórmula No. 1 de la tabla de integrales, sustituyendo $u=x$ y $\alpha=-\frac(6)(11)$ en ella: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Sustituyendo los resultados obtenidos, obtenemos la respuesta:

$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Respuesta: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Y finalmente, tomemos la integral que corresponde a la fórmula número 9 de la tabla de integrales. El ejemplo número 6, al que pasaremos ahora, podría resolverse de otra manera, pero esto se discutirá en temas posteriores. Por ahora, nos mantendremos dentro del marco del uso de la tabla.

Ejemplo No. 6

Encuentre $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.

Primero, hagamos la misma operación que antes: mover la constante (el número $12$) fuera del signo integral:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

La integral resultante $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ ya está cerca de la tabular $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (fórmula No. 9 tabla de integrales). La diferencia en nuestra integral es que antes de $x^2$ debajo de la raíz hay un coeficiente $7$, que la integral de tabla no permite. Por lo tanto, debemos deshacernos de este siete moviéndolo más allá del signo raíz:

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( ) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Si comparamos la integral de tabla $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ y $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ queda claro que tienen la misma estructura. Sólo en la integral $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ en lugar de $u$ hay $x$, y en lugar de $a^2$ hay $\frac (15)(7)$. Bueno, si $a^2=\frac(15)(7)$, entonces $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. Sustituyendo $u=x$ y $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ en la fórmula $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$, obtenemos el siguiente resultado:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Si tomamos en cuenta que $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, entonces el resultado se puede reescribir sin el “cuadro de tres pisos”. “fracciones:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

El problema está resuelto, se recibe la respuesta.

Respuesta: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Ejemplo No. 7

Encuentra $\int\tg^2xdx$.

Para la integración funciones trigonométricas Tenemos nuestros propios métodos. Sin embargo, en en este caso Puede arreglárselas con conocimiento de fórmulas trigonométricas simples. Dado que $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, entonces $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ derecha)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Considerando $\sin^2x=1-\cos^2x$, obtenemos:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Por lo tanto, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Ampliando la integral resultante a la suma de integrales y aplicando fórmulas tabulares, tendremos:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Respuesta: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Equipo de lección: notas de lectura.

Criterios de evaluación

Orden de trabajo

Ejercicio 1.

Lea la conferencia número 9.

Tarea 2.

Conferencia 9.

integral indefinida de esta función:

10 .

( dx)" = d ( dx) =f(x)dx

20. La integral indefinida del diferencial de una función es igual a esta función más una constante arbitraria:

30. El factor constante se puede sacar del signo de la integral indefinida.

40. La integral indefinida de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de integrales indefinidas de los términos de las funciones:

50. Si a es una constante, entonces la fórmula es válida

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“Técnica de Integración Integración Directa”

Trabajo practico№ 7

Tema: Técnica de integración. Integración directa

Objetivos:

estudiar fórmulas y reglas para calcular la integral indefinida

aprender a resolver ejemplos en integración directa

Equipo de lección: notas de lectura.

Criterios de evaluación

Se otorga una calificación de “5” por la finalización correcta de todas las tareas laborales.

Se otorga una calificación de “4” por completar la tarea 1 y la decisión correcta diez ejemplos cualesquiera de la tarea 2.

Se otorga una calificación de “3” por completar la tarea 1 y resolver correctamente siete ejemplos de la tarea 2.

Orden de trabajo

Ejercicio 1.

Lea la conferencia número 9.

Utilizando las conferencias, responde las preguntas y anota las respuestas en tu cuaderno:

1.¿Qué propiedades de la integral indefinida conoces?

2. Escribe las fórmulas de integración básicas.

3. ¿Qué casos son posibles con la integración directa?

Tarea 2.

Resolver ejemplos para decisión independiente

Conferencia 9.

Tema: “Integral indefinida. Integración directa"

Una función F(x) se llama antiderivada de una función f(x) si F "(x) = f(x).

Cualquier función continua f(x) tiene conjunto infinito antiderivadas que difieren entre sí por un término constante.

expresión general F(x) +C se llama el conjunto de todas las antiderivadas de la función f(x) integral indefinida de esta función:

dx = F(x) +С, si d(F(x) +С) = dx

Propiedades básicas de la integral indefinida.

1 0 .La derivada de la integral indefinida es igual al integrando y su diferencial es igual al integrando:

( dx)" = d ( dx) =f(x)dx

2 0 . La integral indefinida del diferencial de una función es igual a esta función más una constante arbitraria:

3 0 . El factor constante se puede sacar del signo de la integral indefinida.

4 0 .La integral indefinida de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de integrales indefinidas de los términos de las funciones:

+dx

5 0 . Si a es una constante, entonces la fórmula es válida.

Fórmulas básicas integraciones (integrales tabulares)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arcosen + C

Al aplicar las fórmulas (3), (10). (11) firmar valor absoluto se escribe sólo en los casos en que la expresión bajo el signo de logaritmo puede tener significado negativo.

Cada una de las fórmulas es fácil de comprobar. Como resultado de diferenciar el lado derecho obtenemos integrando.

Integración directa.

La integración directa se basa en uso directo tablas de integrales. Aquí pueden surgir los siguientes casos:

1) esta integral se puede encontrar directamente en la tabla de integrales correspondiente;

2) esta integral, después de aplicar las propiedades 3 0 y 4 0, se reduce a una o más integrales tabulares;

3) esta integral después de elemental transformaciones de identidad sobre el integrando y aplicando las propiedades de 3 0 y 4 0 se reduce a una o más integrales tabulares.

Ejemplos.

Basado en propiedad 3 0 factor constante Se saca 5 del signo integral y, usando la fórmula 1, obtenemos

Solución. Usando la propiedad 3 0 y la fórmula 2, obtenemos

6

Solución. Usando las propiedades 3 0 y 4 0 y las fórmulas 1 y 2, tenemos

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

La constante de integración C es igual a la suma algebraica de tres constantes de integración, ya que cada integral tiene su propia constante arbitraria (C 1 – C 2 + C 3 = C)

Solución. Elevando al cuadrado e integrando cada término, tenemos

Usando fórmula trigonométrica 1 + caja 2 x =

= = - ctgx – x + C

Solución. Restando y sumando el número 9 al numerador del integrando, obtenemos

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Ejemplos de autosolución

Evalúe las integrales usando integración directa:

Seguimiento del conocimiento de los estudiantes:

comprobar el trabajo práctico;

Requisitos de registro trabajo practico:

La tarea debe completarse en un cuaderno para trabajos prácticos.

Entregar trabajo después de clase.

Como ahora solo hablaremos de la integral indefinida, por razones de brevedad omitiremos el término “indefinida”.

Para aprender a calcular integrales (o, como dicen, integrar funciones), primero debes aprender la tabla de integrales:

Tabla 1. Tabla de integrales

Además, necesitará la capacidad de calcular la derivada de función dada, lo que significa que debes recordar las reglas de derivación y la tabla de derivadas de funciones elementales básicas:

Tabla 2. Tabla de derivadas y reglas de diferenciación:

6.a .

(pecado Y) = porque Y  Y (porque tu) = – pecado Y Y

También necesitamos la capacidad de encontrar el diferencial de una función. Recuerde que el diferencial de la función
encontrar por fórmula
, es decir. el diferencial de una función es igual al producto de la derivada de esta función por el diferencial de su argumento. Es útil tener en cuenta las siguientes relaciones conocidas:

Tabla 3. Tabla diferencial

Además, estas fórmulas se pueden utilizar leyéndolas de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

Consideremos secuencialmente los tres métodos principales para calcular la integral. El primero de ellos se llama por el método de integración directa. Se basa en el uso de las propiedades de la integral indefinida e incluye dos técnicas principales: expansión de la integral en suma algebraica más simple y suscribiéndose al signo diferencial, y estas técnicas se pueden utilizar tanto de forma independiente como en combinación.

A) Consideremos expansión de suma algebraica– esta técnica implica el uso de transformaciones idénticas del integrando y las propiedades de linealidad de la integral indefinida:
Y.

Ejemplo 1. Encuentra las integrales:

A)
; b)
;

V)
GRAMO)

d)
.

Solución.

A)Transformemos el integrando dividiendo el numerador término por término:

La propiedad de las potencias se utiliza aquí:
.

b) Primero transformamos el numerador de la fracción, luego dividimos el numerador término por término por el denominador:

La propiedad de los grados también se utiliza aquí:
.

La propiedad utilizada aquí es:
,
.

.

Aquí se utilizan las fórmulas 2 y 5 de la Tabla 1.

Ejemplo 2. Encuentra las integrales:

A)
; b)
;

V)
GRAMO)

d)
.

Solución.

A)Transformemos el integrando usando la identidad trigonométrica:

.

Aquí utilizamos nuevamente la división término por término del numerador por el denominador y las fórmulas 8 y 9 de la Tabla 1.

b) Transformamos de manera similar, usando la identidad
:

.

c) Primero, divide el numerador término por término por el denominador y saca las constantes del signo integral, luego usa la identidad trigonométrica
:

d) Aplicar la fórmula para reducir el grado:

,

e) Usando identidades trigonométricas, transformamos:

B) Consideremos la técnica de integración, que se llama n colocándolo bajo el signo diferencial. Esta técnica se basa en la propiedad de invariancia de la integral indefinida:

Si
, entonces para cualquier función diferenciable Y=Y(X) ocurre:
.

Esta propiedad nos permite ampliar significativamente la tabla de integrales simples, ya que gracias a esta propiedad las fórmulas de la Tabla 1 son válidas no solo para la variable independiente Y, pero también en el caso de que Y es una función diferenciable de alguna otra variable.

Por ejemplo,
, pero también
, Y
, Y
.

O
Y
, Y
.

La esencia del método es aislar el diferencial de una determinada función en un integrando dado para que este diferencial aislado, junto con el resto de la expresión, forme una fórmula tabular para esta función. Si es necesario, durante dicha conversión, se pueden agregar constantes en consecuencia. Por ejemplo:

(en el último ejemplo escrito ln(3 + X 2) en lugar de ln|3 + X 2 | , ya que la expresión es 3 + X 2 siempre es positivo).

Ejemplo 3. Encuentra las integrales:

A)
; b)
; V)
;

GRAMO)
; d)
; mi)
;

y)
; h)
.

Solución.

A).

Aquí se utilizan las fórmulas 2a, 5a y 7a de la Tabla 1, las dos últimas de las cuales se obtienen precisamente subsumiendo el signo diferencial:

Integrar funciones de vista
ocurre muy a menudo en el marco del cálculo de integrales de funciones más complejas. Para no repetir los pasos descritos anteriormente cada vez, le recomendamos que recuerde las fórmulas correspondientes que figuran en la Tabla 1.

.

Aquí se utiliza la fórmula 3 de la Tabla 1.

c) De igual forma, teniendo en cuenta que , transformamos:

.

Aquí se utiliza la fórmula 2c de la Tabla 1.

GRAMO)

.

d) ;

mi)

.

y) ;

h)

.

Ejemplo 4. Encuentra las integrales:

A)
b)

V)
.

Solución.

a) Transformemos:

Aquí también se utiliza la fórmula 3 de la Tabla 1.

b) Usamos la fórmula para reducir el grado.
:

Aquí se utilizan las fórmulas 2a y 7a de la Tabla 1.

Aquí, junto con las fórmulas 2 y 8 de la Tabla 1, también se utilizan las fórmulas de la Tabla 3:
,
.

Ejemplo 5. Encuentra las integrales:

A)
; b)

V)
; GRAMO)
.

Solución.

un trabajo
se puede complementar (ver fórmulas 4 y 5 de la Tabla 3) al diferencial de la función
, Dónde A Y b– cualquier constante,
. En efecto, desde donde
.

Entonces nosotros tenemos:

.

b) Usando la fórmula 6 de la tabla 3, tenemos
, y
, lo que significa la presencia en el integrando del producto.
significa una pista: debajo del signo diferencial debe ingresar la expresión
. Por lo tanto obtenemos

c) Igual que en el punto b), el producto
se puede extender a funciones diferenciales
. Entonces obtenemos:

.

d) Primero usamos las propiedades de la linealidad de la integral:

Ejemplo 6. Encuentra las integrales:

A)
; b)
;

V)
; GRAMO)
.

Solución.

A)Teniendo en cuenta que
(fórmula 9 de la tabla 3), transformamos:

b) Usando la fórmula 12 de la tabla 3, obtenemos

c) Teniendo en cuenta la fórmula 11 de la tabla 3, transformamos

d) Utilizando la fórmula 16 de la Tabla 3, obtenemos:

.

Ejemplo 7. Encuentra las integrales:

A)
; b)
;

V)
; GRAMO)
.

Solución.

A)Todas las integrales presentadas en este ejemplo tienen una característica común.: El integrando contiene un trinomio cuadrático. Por lo tanto, el método de cálculo de estas integrales se basará en la misma transformación - destacando cuadrado lleno en este trinomio cuadrático.

.

b)

.

V)

GRAMO)

El método de sustitución de un signo diferencial es una implementación oral de un método más general para calcular una integral, llamado método de sustitución o cambio de variable. De hecho, cada vez, seleccionando una fórmula adecuada en la Tabla 1 para la obtenida como resultado de subsumir el signo diferencial de la función, reemplazamos mentalmente la letra Y función introducida bajo el signo diferencial. Por lo tanto, si la integración subsumiendo el signo diferencial no funciona muy bien, puedes cambiar directamente la variable. Más detalles sobre esto en el siguiente párrafo.

El método de integración directa se basa en transformar la función integrando, aplicando las propiedades de la integral indefinida y reduciendo la expresión integrando a forma tabular.

Por ejemplo:

Examen

Examen

2. Método de sustitución (reemplazo de variables)

Este método se basa en introducir una nueva variable. Hagamos una sustitución en la integral:

;

Por tanto, obtenemos:

Por ejemplo:

1)

Examen:

2)

Examen(basado en la propiedad N° 2 de la integral indefinida):

Integrado pieza a pieza

Dejar tu Y v - funciones diferenciables. Revelemos el diferencial del producto de estas funciones:

,

dónde

Integramos la expresión resultante:

Por ejemplo:

Examen(basado en la propiedad No. 1 de la integral indefinida):

2)

Vamos a decidir

Examen(basado en la propiedad No. 1 de la integral indefinida):

PARTE PRÁCTICA

Problemas para resolver en casa

Encuentra la integral:

A) ; mi) ;

V) ; h)

GRAMO) ; Y)

d) ; A)

A) ; mi) ;

V); h) ;

d) ; A) .

A) ; V); d)

b) ; G); mi)

Problemas a resolver en ejercicios practicos:

I. Método de integración directa

A) ; y) ;

b) ; h);

V) ; Y)

GRAMO) ; A)

mi) ; metro)

II. Método de sustitución (reemplazo de variables)

G); A) ;

d) ; l);

III. Método de integración por partes.

TEMA N° 4

INTEGRAL DEFINIDA

En cálculos matemáticos, a menudo es necesario encontrar el incremento función antiderivada cuando su argumento cambia dentro de límites especificados. Este problema debe resolverse al calcular las áreas y volúmenes de varias figuras, al determinar el valor medio de una función, al calcular el trabajo fuerza variable. Estos problemas se pueden resolver calculando las integrales definidas correspondientes.

Propósito de la lección:

1. Aprenda a calcular una integral definida utilizando la fórmula de Newton-Leibniz.

2. Ser capaz de aplicar el concepto de integral definida para la resolución de problemas aplicados.

PARTE TEÓRICA

EL CONCEPTO DE INTEGRAL DETERMINADA Y SU SIGNIFICADO GEOMÉTRICO

Considere el problema de encontrar el área. trapecio curvo.

Deja que se dé alguna función. y=f(x), cuyo gráfico se muestra en la figura.

Figura 1. Significado geométrico integral definida.

En eje 0x seleccionar puntos “a" Y "V" y restaurar las perpendiculares a partir de ellas hasta que se crucen con la curva. Una figura delimitada por una curva, perpendiculares y un eje. 0x llamado trapezoide curvo. Dividamos el intervalo en varios segmentos pequeños. Elijamos un segmento arbitrario. Construyamos un trapecio curvo correspondiente a este segmento de un rectángulo. El área de dicho rectángulo se determina como:

Entonces el área de todos los rectángulos completados en el intervalo será igual a:

;

Si cada uno de los segmentos es lo suficientemente pequeño y tiende a cero, entonces el área total de los rectángulos tenderá al área del trapecio curvo:

;

Entonces, el problema de calcular el área de un trapecio curvilíneo se reduce a determinar el límite de la suma.

La suma integral es la suma de los productos del incremento del argumento y el valor de la función. f(x) , tomado en algún punto del intervalo dentro de cuyos límites cambia el argumento. Matemáticamente, el problema de encontrar el límite de la suma integral si el incremento de la variable independiente tiende a cero conduce al concepto de integral definida.

Función f(x) ) en algún intervalo de x=un antes x=b integrable si hay un número al que tiende la suma integral como Dх®0 . En este caso el número j llamado integral definida funciones f(x) en el intervalo:

;

Dónde ] a,c[ – área de integración,

A-más bajo límite de integración,

V–límite superior de integración.

Así, desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es el área de la figura, limitado por horario funciones en un intervalo determinado] a,c [y eje x.