Exemples :
\(\log_(2)(x) = 32\)
\(\log_3x=\log_39\)
\(\log_3((x^2-3))=\log_3((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2((x+1))+10=11 \lg((x+1))\)
Comment résoudre des équations logarithmiques :
Lors de la résolution d'une équation logarithmique, vous devez vous efforcer de la transformer sous la forme \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\), puis faire la transition vers \(f(x )=g(x)\).
\(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).
Exemple:\(\log_2(x-2)=3\)
|
Solution: |
ODZ : |
Très important ! Cette transition ne peut être effectuée que si :
Vous avez écrit pour l'équation originale, et à la fin vous vérifierez si celles trouvées sont incluses dans le DL. Si cela n'est pas fait, des racines supplémentaires peuvent apparaître, ce qui signifie une mauvaise décision.
Le nombre (ou l'expression) à gauche et à droite est le même ;
Les logarithmes de gauche et de droite sont « purs », c'est-à-dire qu'il ne doit y avoir aucune multiplication, division, etc. – uniquement des logarithmes simples de part et d’autre du signe égal.
Par exemple:
Notez que les équations 3 et 4 peuvent être facilement résolues en appliquant propriétés requises logarithmes.
Exemple . Résolvez l'équation \(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\)
Solution :
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Écrivons l'ODZ : \(x>0\). |
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\(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\) ODZ : \(x>0\) |
A gauche devant le logarithme se trouve le coefficient, à droite se trouve la somme des logarithmes. Cela nous dérange. Déplaçons les deux vers l'exposant \(x\) selon la propriété : \(n \log_b(a)=\log_b(a^n)\). Représentons la somme des logarithmes comme un logarithme selon la propriété : \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\) |
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\(\log_8(x^2)=\log_825\) |
Nous avons réduit l'équation à la forme \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) et avons noté l'ODZ, ce qui signifie que nous pouvons passer à la forme \(f(x) =g(x)\ ). |
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Cela a fonctionné. Nous le résolvons et récupérons les racines. |
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\(x_1=5\) \(x_2=-5\) |
Nous vérifions si les racines conviennent à l'ODZ. Pour ce faire, dans \(x>0\) au lieu de \(x\) nous remplaçons \(5\) et \(-5\). Cette opération peut être réalisée oralement. |
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\(5>0\), \(-5>0\) |
La première inégalité est vraie, la seconde ne l’est pas. Cela signifie que \(5\) est la racine de l’équation, mais \(-5\) ne l’est pas. Nous écrivons la réponse. |
Répondre : \(5\)
Exemple : Résolvez l'équation \(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\)
Solution :
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Écrivons l'ODZ : \(x>0\). |
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\(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\) ODZ : \(x>0\) |
Une équation typique résolue en utilisant . Remplacez \(\log_2x\) par \(t\). |
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\(t=\log_2x\) |
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Nous avons pris l'habituel. Nous recherchons ses racines. |
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\(t_1=2\) \(t_2=1\) |
Effectuer un remplacement inversé |
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\(\log_2(x)=2\) \(\log_2(x)=1\) |
Nous transformons les membres de droite en les représentant sous forme de logarithmes : \(2=2 \cdot 1=2 \log_22=\log_24\) et \(1=\log_22\) |
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\(\log_2(x)=\log_24\) \(\log_2(x)=\log_22 \) |
Maintenant, nos équations sont \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\), et nous pouvons passer à \(f(x)=g(x)\). |
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\(x_1=4\) \(x_2=2\) |
Nous vérifions la correspondance des racines de l'ODZ. Pour ce faire, remplacez \(4\) et \(2\) dans l'inégalité \(x>0\) au lieu de \(x\). |
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\(4>0\) \(2>0\) |
Les deux inégalités sont vraies. Cela signifie que \(4\) et \(2\) sont tous deux des racines de l'équation. |
Répondre : \(4\); \(2\).
Sur cette leçon nous répéterons les principaux faits théoriques sur les logarithmes et envisagez de résoudre les équations logarithmiques les plus simples.
Laissez-nous vous rappeler définition centrale- définition du logarithme. C'est lié à la décision équation exponentielle. Cette équation a une racine unique, on l'appelle le logarithme de b en base a :
Définition:
Le logarithme de b en base a est l'exposant auquel la base a doit être élevée pour obtenir b.
Laissez-nous vous rappeler basique identité logarithmique .
L'expression (expression 1) est la racine de l'équation (expression 2). Remplacez la valeur x de l'expression 1 au lieu de x par l'expression 2 et obtenez l'identité logarithmique principale :
On voit donc que chaque valeur est associée à une valeur. On note b par x(), c par y, et obtenons ainsi une fonction logarithmique :
Par exemple: 
Rappelons les propriétés de base fonction logarithmique.
Faisons encore une fois attention, ici, puisque sous le logarithme il peut y avoir une expression strictement positive, comme base du logarithme.
Riz. 1. Graphique d'une fonction logarithmique dans différentes bases
Le graphique de la fonction at est représenté en noir. Riz. 1. Si l'argument augmente de zéro à l'infini, la fonction augmente de moins à plus l'infini.
Le graphique de la fonction at est affiché en rouge. Riz. 1.
Propriétés de cette fonction :
Portée: ;
Plage de valeurs : ;
La fonction est monotone dans tout son domaine de définition. Lorsque augmente de manière monotone (strictement), valeur plus élevée l'argument correspond à la plus grande valeur de la fonction. Lorsque la diminution est monotone (stricte), la plus grande valeur de l'argument correspond à valeur inférieure fonctions.
Les propriétés de la fonction logarithmique sont la clé pour résoudre diverses équations logarithmiques.
Considérons l'équation logarithmique la plus simple ; toutes les autres équations logarithmiques sont généralement réduites à cette forme.
Puisque les bases des logarithmes et les logarithmes eux-mêmes sont égales, les fonctions sous le logarithme sont également égales, mais il ne faut pas manquer le domaine de définition. Le logarithme ne peut tenir que nombre positif, nous avons:
Nous avons découvert que les fonctions f et g sont égales, il suffit donc de choisir n'importe quelle inégalité pour respecter l'ODZ.
On a donc un système mixte dans lequel il y a une équation et une inégalité :
En règle générale, il n’est pas nécessaire de résoudre une inégalité ; il suffit de résoudre l’équation et de substituer les racines trouvées dans l’inégalité, effectuant ainsi une vérification.
Formulons une méthode pour résoudre les équations logarithmiques les plus simples :
Égaliser les bases des logarithmes ;
Fonctions sublogarithmiques égales ;
Effectuer une vérification.
Regardons des exemples spécifiques.
Exemple 1 - résoudre l'équation :
Les bases des logarithmes sont initialement égales, on a le droit d'assimiler les expressions sublogarithmiques, n'oubliez pas l'ODZ, on choisit le premier logarithme pour composer l'inégalité :
Exemple 2 - résoudre l'équation :
Cette équation diffère de la précédente en ce que les bases des logarithmes sont inférieures à un, mais cela n'affecte en rien la solution :
Trouvons la racine et substituons-la dans l'inégalité :
Nous avons reçu une inégalité incorrecte, ce qui signifie que la racine trouvée ne satisfait pas à l'ODZ.
Exemple 3 - résoudre l'équation :
Les bases des logarithmes sont initialement égales, on a le droit d'assimiler les expressions sublogarithmiques, n'oubliez pas l'ODZ, on choisit le deuxième logarithme pour composer l'inégalité :
Trouvons la racine et substituons-la dans l'inégalité :
Évidemment, seule la racine première satisfait le DD.
Expressions logarithmiques, résolution d'exemples. Dans cet article, nous examinerons les problèmes liés à la résolution de logarithmes. Les tâches posent la question de trouver le sens d'une expression. Il convient de noter que le concept de logarithme est utilisé dans de nombreuses tâches et qu’il est extrêmement important d’en comprendre la signification. Quant à l'examen d'État unifié, le logarithme est utilisé lors de la résolution d'équations, en problèmes appliqués, également dans des tâches liées à l'étude des fonctions.
Donnons des exemples pour comprendre le sens même du logarithme :
Identité logarithmique de base :
Propriétés des logarithmes qu'il faut toujours retenir :
*Logarithme du produit égal à la somme logarithmes de facteurs.
* * *
*Logarithme du quotient (fraction) égal à la différence logarithmes de facteurs.
* * *
*Logarithme du degré égal au produit exposant par le logarithme de sa base.
* * *
*Transition vers une nouvelle fondation
* * *
Plus de propriétés :
* * *
Le calcul des logarithmes est étroitement lié à l'utilisation des propriétés des exposants.
Citons-en quelques-uns :
L'essentiel de cette propriété réside dans le fait que lors du transfert du numérateur au dénominateur et vice versa, le signe de l'exposant change à l'opposé. Par exemple:
Un corollaire de cette propriété :
* * *
Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, la base reste la même, mais les exposants sont multipliés.
* * *
Comme vous l’avez vu, le concept de logarithme en lui-même est simple. L'essentiel est ce qui est nécessaire bonne pratique, ce qui donne une certaine compétence. Bien entendu, la connaissance des formules est requise. Si la compétence de conversion de logarithmes élémentaires n'a pas été développée, alors lors de la résolution tâches simples Il est facile de se tromper.
Entraînez-vous, résolvez d'abord les exemples les plus simples du cours de mathématiques, puis passez aux exemples plus complexes. À l'avenir, je montrerai certainement comment les logarithmes « laids » sont résolus ; ceux-ci n'apparaîtront pas à l'examen d'État unifié, mais ils sont intéressants, ne les manquez pas !
C'est tout ! Bonne chance à vous !
Cordialement, Alexandre Krutitskikh
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.
La préparation au test final de mathématiques comprend une section importante - « Logarithmes ». Les tâches de ce sujet sont nécessairement contenues dans l'examen d'État unifié. L'expérience des années passées montre que les équations logarithmiques ont posé des difficultés à de nombreux écoliers. Ainsi, les étudiants ayant différents niveaux préparation.
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Équations logarithmiques. Nous continuons à examiner les problèmes de la partie B de l'examen d'État unifié en mathématiques. Nous avons déjà examiné les solutions de certaines équations dans les articles « », « ». Dans cet article, nous examinerons les équations logarithmiques. Je dirai tout de suite qu'il n'y aura pas de transformations complexes lors de la résolution de telles équations à l'examen d'État unifié. Ils sont simples.
Il suffit de connaître et de comprendre l'identité logarithmique de base, pour connaître les propriétés du logarithme. Veuillez noter qu'après avoir résolu une solution, vous DEVEZ faire une vérification - remplacez la valeur résultante par équation originale et calculez, le résultat devrait être une égalité correcte.
Définition:
Le logarithme d'un nombre en base b est l'exposant.auquel b doit être élevé pour obtenir a.
Par exemple:
Log 3 9 = 2, puisque 3 2 = 9
Propriétés des logarithmes :
Cas particuliers des logarithmes :
Résolvons les problèmes. Dans le premier exemple, nous ferons une vérification. À l'avenir, vérifiez-le vous-même.
Trouvez la racine de l'équation : log 3 (4–x) = 4
Puisque log b a = x b x = a, alors
3 4 = 4 – x
x = 4 – 81
x = – 77
Examen:
log 3 (4–(–77)) = 4
journal 3 81 = 4
3 4 = 81 Exactement.
Réponse : – 77
Décidez vous-même :
Trouvez la racine de l'équation : log 2 (4 – x) = 7
Trouver la racine de l'équation log 5(4 + x) = 2
Nous utilisons l'identité logarithmique de base.
Puisque log a b = x b x = a, alors
5 2 = 4 + x
x =5 2 – 4
x = 21
Examen:
journal 5 (4 + 21) = 2
journal 5 25 = 2
5 2 = 25 Exactement.
Réponse : 21
Trouvez la racine de l'équation log 3 (14 – x) = log 3 5.
A lieu prochaine propriété, sa signification est la suivante : si à gauche et à droite de l'équation on a des logarithmes avec la même base, alors nous pouvons assimiler les expressions sous les signes des logarithmes.
14 – x = 5
x=9
Faites une vérification.
Réponse : 9
Décidez vous-même :
Trouvez la racine de l'équation log 5 (5 – x) = log 5 3.
Trouvez la racine de l'équation : log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).
Si log c a = log c b, alors a = b
x + 3 = 4x – 15
3x = 18
x=6
Faites une vérification.
Réponse : 6
Trouvez la racine de l'équation log 1/8 (13 – x) = – 2.
(1/8) –2 = 13 –x
8 2 = 13 – x
x = 13 – 64
x = – 51
Faites une vérification.
Un petit ajout - la propriété est utilisée ici
degrés ().
Réponse : – 51
Décidez vous-même :
Trouvez la racine de l'équation : log 1/7 (7 – x) = – 2
Trouvez la racine de l'équation log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.
Transformons-nous côté droit. Utilisons la propriété :
log a b m = m∙log a b
log 2 (4 – x) = log 2 5 2
Si log c a = log c b, alors a = b
4 – x = 5 2
4 – x = 25
x = – 21
Faites une vérification.
Réponse : – 21
Décidez vous-même :
Trouvez la racine de l'équation : log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
Résolvez l'équation log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)
Si log c a = log c b, alors a = b
x2 + 4x = x2 + 11
4x = 11
x = 2,75
Faites une vérification.
Réponse : 2,75
Décidez vous-même :
Trouvez la racine de l'équation log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).
Résolvez l'équation log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.
Obligatoire avec côté droit les équations obtiennent une expression de la forme :
journal 2 (...)
Nous représentons 1 comme un logarithme en base 2 :
1 = journal 2 2
log c (ab) = log c a + log c b
log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2
On obtient :
log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)
Si log c a = log c b, alors a = b, alors
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0,4
Faites une vérification.
Réponse : 0,4
Décidez vous-même : Ensuite, vous devez décider équation quadratique. D'ailleurs,
les racines sont 6 et – 4.
Racine "-4" n'est pas une solution puisque la base du logarithme doit être supérieur à zéro, et quand "– 4" c'est égal à " – 5". La solution est la racine 6.Faites une vérification.
Réponse : 6.
R. manger seul :
Résolvez l'équation log x –5 49 = 2. Si l'équation a plus d'une racine, répondez par la plus petite.
Comme vous l'avez vu, pas de transformations compliquées avec des équations logarithmiquesNon. Il suffit de connaître les propriétés du logarithme et de pouvoir les appliquer. DANS Problèmes liés à l'examen d'État unifié lié à la transformation expressions logarithmiques, des transformations plus sérieuses sont effectuées et des compétences de solution plus approfondies sont nécessaires. Nous examinerons de tels exemples, ne les manquez pas !Bonne chance à toi !!!
Cordialement, Alexandre Krutitskikh.
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.
