Comme vous le savez, lors de la multiplication d'expressions avec des puissances, leurs exposants s'additionnent toujours (a b *a c = a b+c). Ce loi mathématique a été dérivé par Archimède, et plus tard, au 8ème siècle, le mathématicien Virasen a créé un tableau d'exposants entiers. Ce sont eux qui ont servi à la découverte ultérieure des logarithmes. Des exemples d'utilisation de cette fonction peuvent être trouvés presque partout où il est nécessaire de simplifier une multiplication fastidieuse par une simple addition. Si vous passez 10 minutes à lire cet article, nous vous expliquerons ce que sont les logarithmes et comment les utiliser. Dans un langage simple et accessible.
Définition en mathématiques
Un logarithme est une expression de la forme suivante : log a b=c, c'est-à-dire le logarithme de tout nombre non négatif(c'est-à-dire tout positif) « b » par sa base « a » est considéré comme la puissance de « c » à laquelle la base « a » doit être élevée pour obtenir finalement la valeur « b ». Analysons le logarithme à l'aide d'exemples, disons qu'il existe une expression log 2 8. Comment trouver la réponse ? C’est très simple, il faut trouver une puissance telle que de 2 à la puissance recherchée on obtienne 8. Après avoir fait quelques calculs dans sa tête, on obtient le chiffre 3 ! Et c’est vrai, car 2 à la puissance 3 donne la réponse 8.
Types de logarithmes
Pour de nombreux étudiants, ce sujet semble compliqué et incompréhensible, mais en réalité les logarithmes ne sont pas si effrayants, l'essentiel est de comprendre leur signification générale et de se souvenir de leurs propriétés et de certaines règles. Il y en a trois espèce individuelle expressions logarithmiques :
- Logarithme népérien ln a, où la base est le nombre d'Euler (e = 2,7).
- Décimal a, où la base est 10.
- Logarithme de n'importe quel nombre b en base a>1.
Chacun d'eux est décidé de manière standard, qui comprend la simplification, la réduction et la réduction ultérieure à un logarithme à l'aide de théorèmes logarithmiques. Pour obtenir les valeurs correctes des logarithmes, vous devez vous rappeler leurs propriétés et la séquence d'actions lors de leur résolution.
Règles et quelques restrictions
En mathématiques, il existe plusieurs règles-contraintes qui sont acceptées comme un axiome, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas sujettes à discussion et sont la vérité. Par exemple, il est impossible de diviser des nombres par zéro, et il est également impossible d’extraire la racine paire de nombres négatifs. Les logarithmes ont également leurs propres règles, à la suite desquelles vous pouvez facilement apprendre à travailler même avec des expressions logarithmiques longues et volumineuses :
- la base "a" doit toujours être supérieur à zéro, et en même temps ne soit pas égal à 1, sinon l'expression perdra son sens, car « 1 » et « 0 » à quelque degré que ce soit sont toujours égaux à leurs valeurs ;
- si a > 0, alors a b >0, il s'avère que « c » doit également être supérieur à zéro.
Comment résoudre des logarithmes ?
Par exemple, la tâche est de trouver la réponse à l'équation 10 x = 100. C'est très simple, vous devez choisir une puissance en élevant le nombre dix auquel nous obtenons 100. Ceci, bien sûr, est 10 2 = 100.
Imaginons maintenant cette expression sous forme logarithmique. On obtient log 10 100 = 2. Lors de la résolution de logarithmes, toutes les actions convergent pratiquement pour trouver la puissance à laquelle il faut entrer dans la base du logarithme pour obtenir un nombre donné.
Pour déterminer avec précision la valeur d'un diplôme inconnu, vous devez apprendre à travailler avec un tableau des diplômes. Cela ressemble à ceci :
Comme vous pouvez le constater, certains exposants peuvent être devinés intuitivement si vous avez un esprit technique et une connaissance de la table de multiplication. Cependant pour grandes valeurs vous aurez besoin d'un tableau des degrés. Il peut être utilisé même par ceux qui ne connaissent rien aux problèmes complexes. sujets mathématiques. La colonne de gauche contient des nombres (base a), la rangée supérieure de nombres est la valeur de la puissance c à laquelle le nombre a est élevé. A l'intersection, les cellules contiennent les valeurs numériques qui sont la réponse (a c =b). Prenons par exemple la toute première cellule avec le chiffre 10 et mettons-la au carré, nous obtenons la valeur 100, qui est indiquée à l'intersection de nos deux cellules. Tout est si simple et facile que même le plus véritable humaniste comprendra !
Équations et inégalités
Il s'avère que sous certaines conditions, l'exposant est le logarithme. Par conséquent, toute mathématique expressions numériques peut être écrit sous forme d’équation logarithmique. Par exemple, 3 4 = 81 peut être écrit comme le logarithme en base 3 de 81 égal à quatre (log 3 81 = 4). Pour pouvoirs négatifs les règles sont les mêmes : 2 -5 = 1/32 on l'écrit sous forme de logarithme, on obtient log 2 (1/32) = -5. L’une des sections les plus fascinantes des mathématiques est celle des « logarithmes ». Nous examinerons des exemples et des solutions d'équations ci-dessous, immédiatement après avoir étudié leurs propriétés. Voyons maintenant à quoi ressemblent les inégalités et comment les distinguer des équations.
Étant donné une expression de la forme suivante : log 2 (x-1) > 3 - c'est inégalité logarithmique, puisque la valeur inconnue "x" est sous le signe du logarithme. Et aussi dans l'expression deux quantités sont comparées : le logarithme du nombre souhaité en base deux est supérieur au nombre trois.
La différence la plus importante entre les équations logarithmiques et les inégalités est que les équations avec des logarithmes (par exemple, le logarithme 2 x = √9) impliquent une ou plusieurs réponses spécifiques. valeurs numériques, tandis que lors de la résolution des inégalités, elles sont définies comme la région valeurs acceptables, et les points d'arrêt de cette fonction. En conséquence, la réponse n’est pas un simple ensemble de nombres individuels, comme dans la réponse à une équation, mais une série continue ou un ensemble de nombres.
Théorèmes de base sur les logarithmes
Lors de la résolution de tâches primitives consistant à trouver les valeurs du logarithme, ses propriétés peuvent ne pas être connues. Cependant, lorsqu'il s'agit d'équations ou d'inégalités logarithmiques, il est tout d'abord nécessaire de comprendre clairement et d'appliquer dans la pratique toutes les propriétés de base des logarithmes. Nous examinerons des exemples d'équations plus tard ; examinons d'abord chaque propriété plus en détail.
- L'identité principale ressemble à ceci : a logaB =B. Cela s'applique uniquement lorsque a est supérieur à 0, non égal à un, et B est supérieur à zéro.
- Le logarithme du produit peut être représenté sous la forme la formule suivante: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dans ce cas, la condition obligatoire est : d, s 1 et s 2 > 0 ; une≠1. Vous pouvez donner une preuve de cette formule logarithmique, avec des exemples et une solution. Soit log a s 1 = f 1 et log a s 2 = f 2, puis a f1 = s 1, a f2 = s 2. On obtient que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriétés de degrés ), puis par définition : log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ce qui devait être prouvé.
- Le logarithme du quotient ressemble à ceci : log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Le théorème sous forme de formule prend la forme suivante : log a q b n = n/q log a b.
Cette formule est appelée « propriété du degré du logarithme ». Cela ressemble aux propriétés des diplômes ordinaires, et ce n’est pas surprenant, car toutes les mathématiques sont basées sur des postulats naturels. Regardons la preuve.
Soit log a b = t, il s'avère que a t = b. Si on élève les deux parties à la puissance m : a tn = b n ;
mais puisque a tn = (a q) nt/q = b n, donc log a q b n = (n*t)/t, alors log a q b n = n/q log a b. Le théorème est prouvé.
Exemples de problèmes et d’inégalités
Les types de problèmes les plus courants sur les logarithmes sont des exemples d’équations et d’inégalités. On les trouve dans presque tous les livres de problèmes et sont également inclus dans partie obligatoire examens de mathématiques. Pour l'admission à l'université ou le passage examens d'entrée en mathématiques, vous devez savoir comment résoudre correctement de tels problèmes.
Malheureusement, il n'existe pas de plan ou de schéma unique pour résoudre et déterminer la valeur inconnue du logarithme, mais pour chaque inégalité mathématique ou l'équation logarithmique peut être appliquée certaines règles. Il convient tout d’abord de savoir si l’expression peut être simplifiée ou conduire à aspect général. Simplifiez les longs expressions logarithmiques possible si vous utilisez correctement leurs propriétés. Faisons rapidement connaissance avec eux.
Au moment de décider équations logarithmiques, nous devons déterminer de quel type de logarithme nous disposons : un exemple d'expression peut contenir un logarithme naturel ou décimal.
Voici les exemples ln100, ln1026. Leur solution se résume au fait qu’ils doivent déterminer la puissance à laquelle la base 10 sera respectivement égale à 100 et 1026. Pour des solutions logarithmes naturels vous devez appliquer des identités logarithmiques ou leurs propriétés. Regardons la solution avec des exemples problèmes logarithmiques différents types.
Comment utiliser les formules logarithmiques : avec des exemples et des solutions
Voyons donc des exemples d'utilisation des théorèmes de base sur les logarithmes.
- La propriété du logarithme d'un produit peut être utilisée dans des tâches où il est nécessaire de développer grande valeur nombres b en facteurs plus simples. Par exemple, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La réponse est 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - comme vous pouvez le voir, en utilisant la quatrième propriété de la puissance du logarithme, nous avons réussi à résoudre une expression apparemment complexe et insoluble. Il vous suffit de factoriser la base puis de retirer les valeurs des exposants du signe du logarithme.
Devoirs de l'examen d'État unifié
On trouve souvent des logarithmes dans examens d'entrée, surtout beaucoup de problèmes logarithmiques dans l'examen d'État unifié ( examen d'état pour tous les sortants scolaires). Habituellement, ces tâches sont présentes non seulement dans la partie A (la plus simple pièce d'essai examen), mais aussi dans la partie C (les tâches les plus complexes et les plus volumineuses). L'examen exige des informations précises et connaissance parfaite sujets "Logarithmes naturels".
Les exemples et les solutions aux problèmes sont tirés des sources officielles Options d'examen d'État unifié. Voyons comment ces tâches sont résolues.
Étant donné log 2 (2x-1) = 4. Solution :
réécrivons l'expression en la simplifiant un peu log 2 (2x-1) = 2 2, par la définition du logarithme on obtient que 2x-1 = 2 4, donc 2x = 17 ; x = 8,5.
- Il est préférable de réduire tous les logarithmes à la même base afin que la solution ne soit pas lourde et déroutante.
- Toutes les expressions sous le signe du logarithme sont indiquées comme positives, par conséquent, lorsque l'exposant d'une expression qui est sous le signe du logarithme et que sa base est retiré comme multiplicateur, l'expression restant sous le logarithme doit être positive.
Qu'est-ce qu'un logarithme ?
Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)
Qu'est-ce qu'un logarithme ? Comment résoudre des logarithmes ? Ces questions déroutent de nombreux diplômés. Traditionnellement, le sujet des logarithmes est considéré comme complexe, incompréhensible et effrayant. Surtout les équations avec des logarithmes.
Ce n’est absolument pas vrai. Absolument! Vous ne me croyez pas ? Bien. Maintenant, en seulement 10 à 20 minutes, vous :
1. Vous comprendrez qu'est-ce qu'un logarithme.
2. Apprenez à décider classe entière équations exponentielles. Même si vous n’en avez pas entendu parler.
3. Apprenez à calculer des logarithmes simples.
De plus, pour cela il vous suffira de connaître la table de multiplication et comment élever un nombre à une puissance...
Je sens que vous avez des doutes... Bon, ok, marquez le pas ! Allons-y!
Tout d’abord, résolvez cette équation dans votre tête :
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Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
log a r b r =log a b ou connecter un b= journal a r b r
La valeur d'un logarithme ne changera pas si la base du logarithme et le nombre sous le signe du logarithme sont élevés à la même puissance.
Sous le signe du logarithme il ne peut y avoir que nombres positifs, et la base du logarithme n'est pas égale à un.
Exemples.
1) Comparez le journal 3 9 et le journal 9 81.
log 3 9=2, puisque 3 2 =9 ;
log 9 81=2, puisque 9 2 =81.
Donc log 3 9 = log 9 81.
A noter que la base du deuxième logarithme est égale au carré de la base du premier logarithme : 9=3 2, et le nombre sous le signe du deuxième logarithme est égal au carré du nombre sous le signe du premier logarithme : 81=9 2. Il s'avère que le nombre et la base du premier logarithme log 3 9 ont été élevés à la deuxième puissance, et la valeur du logarithme n'a pas changé à partir de cela :
Ensuite, depuis l'extraction de la racine nème degré parmi UN est la levée d'un certain nombre UN au degré ( 1/n), puis à partir du log 9 81 vous pouvez obtenir le log 3 9 en prenant la racine carrée du nombre et à partir de la base du logarithme :
2) Vérifier l'égalité : log 4 25=log 0,5 0,2.
Regardons le premier logarithme. extrayons racine carrée de la base 4 et parmi 25 ; on obtient : log 4 25=log 2 5.
Regardons le deuxième logarithme. Base du logarithme : 0,5= 1 / 2. Le nombre sous le signe de ce logarithme : 0,2= 1/5. Élevons chacun de ces nombres à la puissance moins première :
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
Donc log 0,5 0,2 = log 2 5. Conclusion : cette égalité est vraie.
Résolvez l'équation :
journal 4 x 4 + journal 16 81 = journal 2 (5x + 2). Réduisons les logarithmes de gauche à la base 2 .
journal 2 x 2 + journal 2 3 = journal 2 (5x + 2). Prenez la racine carrée du nombre et la base du premier logarithme. Extrayez la quatrième racine du nombre et la base du deuxième logarithme.
journal 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Convertissez la somme des logarithmes en logarithme du produit.
3x2 =5x+2. Reçu après potentialisation.
3x2 -5x-2=0. Décidons équation quadratique Par formule générale pour une équation quadratique complète :
a=3, b=-5, c=-2.
D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 vraies racines.
Examen.
x=2.
log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);
journal 2 2 2 + journal 2 3 = journal 2 12 ;
log 2 (4∙3)=log 2 12 ;
journal 2 12=journal 2 12 ;
connecter un n b=(1/
n)∙
connecter un b
Logarithme d'un nombre b basé sur un égal au produit fractions 1/ n au logarithme d'un nombre b basé sur un.
Trouver:1) 21log 8 3+40log 25 2 ; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , si l'on sait que journal 2 3=b,journal 5 2=c.
Solution.
Résoudre des équations :
1) journal 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.
Solution.
Réduisons ces logarithmes en base 2. Appliquons la formule : connecter un n b=(1/ n)∙ connecter un b
log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25 ;
journal 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Voici des termes similaires :
(1+0,5+0,25) log 2x=5,25 ;
1,75 journal 2 x=5,25 |:1,75
journal 2x=3. Par définition du logarithme :
2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.
Solution. Convertissons le logarithme en base 16 en base 4.
0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5
journal 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Convertissons la somme des logarithmes en logarithme du produit.
log 4 ((x-2)(x-3))=0,5 ;
log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5 ;
log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Par définition du logarithme :
x2 -5x+4=0. D'après le théorème de Vieta :
x1 =1 ; x2 =4. La première valeur de x ne fonctionnera pas, puisqu'à x = 1 les logarithmes de cette égalité n'existent pas, car Seuls les nombres positifs peuvent être sous le signe du logarithme.
Vérifions équation donnéeà x=4.
Examen.
0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25
0,5log 4 2+log 16 1=0,25
0,5∙0,5+0=0,25
log a b=log c b/log c a
Logarithme d'un nombre b basé sur UN égal au logarithme Nombres b sur une nouvelle base Avec, divisé par le logarithme de l'ancienne base UN sur une nouvelle base Avec.
Exemples :
1) journal 2 3=lg3/lg2 ;
2) journal 8 7=ln7/ln8.
Calculer:
1) journal 5 7, si l'on sait que lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.
c b / enregistrer c un.
log57=log7/log5≈0,8451 :0,6990≈1,2090.
Répondre: journal 5 7≈1,209 0≈1,209 .
2) journal 5 7 , si l'on sait que ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.
Solution. Appliquez la formule : log a b =log c b / enregistrer c un.
log 5 7 = ln7/ln5≈1,9459 : 1,6094≈1,2091.
Répondre: journal 5 7≈1,209 1≈1,209 .
Trouver x :
1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.
Nous utilisons la formule : log c b / enregistrer c une = connecter un b . On obtient :
journal 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8 ;
journal 3 x=log 3 (4∙6∙8) ;
journal 3 x = journal 3 192 ;
x=192 .
2) journal 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.
Nous utilisons la formule : log c b / enregistrer c une = connectez-vous un b . On obtient :
journal 7x=lg143-lg11-lg13 ;
log 7x=lg143- (lg11+lg13);
log 7 x = lg143-lg (11∙13);
journal 7x=lg143-lg143 ;
x=1.
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