Équations logarithmiques logarithme à la puissance. Équations logarithmiques

Équation logarithmique est une équation dans laquelle l'inconnue (x) et les expressions qui l'accompagnent sont sous le signe de la fonction logarithmique. Solution équations logarithmiques suppose que vous connaissez déjà et .
Comment résoudre des équations logarithmiques ?

L'équation la plus simple est log a x = b, où a et b sont des nombres, x est une inconnue.
Résoudre une équation logarithmique est x = a b à condition : a > 0, a 1.

Il convient de noter que si x se situe quelque part en dehors du logarithme, par exemple log 2 x = x-2, alors une telle équation est déjà appelée mixte et une approche spéciale est nécessaire pour la résoudre.

Le cas idéal est celui où l'on tombe sur une équation dans laquelle seuls les nombres sont sous le signe du logarithme, par exemple x+2 = log 2 2. Ici, il suffit de connaître les propriétés des logarithmes pour la résoudre. Mais une telle chance n'arrive pas souvent, alors préparez-vous à des choses plus difficiles.

Mais d'abord, commençons par équations simples. Pour les résoudre, il est souhaitable de disposer du maximum idée généraleà propos du logarithme.

Résolution d'équations logarithmiques simples

Il s'agit notamment d'équations du type log 2 x = log 2 16. L'œil nu peut constater qu'en omettant le signe du logarithme on obtient x = 16.

Pour résoudre une équation logarithmique plus complexe, cela se réduit généralement à résoudre l'équation habituelle équation algébrique ou à la solution de l'équation logarithmique la plus simple log a x = b. Dans les équations les plus simples, cela se produit en un seul mouvement, c'est pourquoi elles sont appelées les plus simples.

La méthode ci-dessus consistant à supprimer des logarithmes est l'un des principaux moyens de résoudre des équations et des inégalités logarithmiques. En mathématiques, cette opération est appelée potentialisation. Exister Certaines règles ou restrictions pour ce type d'opérations :

• les logarithmes ont les mêmes bases numériques
• Les logarithmes des deux côtés de l'équation sont libres, c'est-à-dire sans aucun coefficient et autre diverses sortes expressions.

Disons que dans l'équation log 2 x = 2log 2 (1 - x) la potentialisation n'est pas applicable - le coefficient 2 à droite ne le permet pas. DANS exemple suivant log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) une des restrictions n'est pas non plus remplie - il y a deux logarithmes à gauche. S’il n’y en avait qu’un, ce serait une tout autre affaire !

En général, vous ne pouvez supprimer les logarithmes que si l'équation a la forme :

enregistrer un (...) = enregistrer un (...)

Absolument n'importe quelle expression peut être mise entre parenthèses ; cela n'a absolument aucun effet sur l'opération de potentialisation. Et après avoir éliminé les logarithmes, il restera une équation plus simple - linéaire, quadratique, exponentielle, etc., que, j'espère, vous savez déjà comment résoudre.

Prenons un autre exemple :

journal 3 (2x-5) = journal 3 x

On applique la potentialisation, on obtient :

journal 3 (2x-1) = 2

Basé sur la définition d'un logarithme, à savoir qu'un logarithme est le nombre auquel la base doit être élevée pour obtenir une expression qui est sous le signe du logarithme, c'est-à-dire (4x-1), on obtient :

Encore une fois, nous avons reçu une belle réponse. Ici, nous avons fait sans éliminer les logarithmes, mais la potentialisation est également applicable ici, car un logarithme peut être créé à partir de n'importe quel nombre, et exactement celui dont nous avons besoin. Cette méthode est très utile pour résoudre des équations logarithmiques et notamment des inégalités.

Résolvons notre équation logarithmique log 3 (2x-1) = 2 en utilisant la potentialisation :

Imaginons le nombre 2 comme un logarithme, par exemple ce log 3 9, car 3 2 =9.

Ensuite log 3 (2x-1) = log 3 9 et encore une fois nous obtenons la même équation 2x-1 = 9. J'espère que tout est clair.

Nous avons donc examiné comment résoudre les équations logarithmiques les plus simples, qui sont en réalité très importantes, car résoudre des équations logarithmiques, même les plus terribles et les plus tordus, revient toujours à résoudre les équations les plus simples.

Dans tout ce que nous avons fait ci-dessus, nous en avons manqué un très point important, qui aura par la suite rôle décisif. Le fait est que la solution de toute équation logarithmique, même la plus élémentaire, se compose de deux parties égales. Le premier est la solution de l'équation elle-même, le second travaille avec l'aire valeurs acceptables(ODZ). C'est exactement la première partie que nous maîtrisons. Au dessus exemples de DL n'affecte en rien la réponse, nous ne l'avons donc pas pris en compte.

Prenons un autre exemple :

journal 3 (x 2 -3) = journal 3 (2x)

Extérieurement, cette équation n'est pas différente d'une équation élémentaire, qui peut être résolue avec beaucoup de succès. Mais ce n’est pas le cas. Non, nous allons bien sûr le résoudre, mais très probablement de manière incorrecte, car il contient une petite embuscade dans laquelle tombent immédiatement à la fois les étudiants de niveau C et les excellents étudiants. Regardons de plus près.

Disons que vous devez trouver la racine de l'équation ou la somme des racines, s'il y en a plusieurs :

journal 3 (x 2 -3) = journal 3 (2x)

On utilise la potentialisation, c'est acceptable ici. En conséquence, nous obtenons l'habituel équation quadratique.

Trouver les racines de l'équation :

Il s'est avéré que deux racines.

Réponse : 3 et -1

A première vue, tout est correct. Mais vérifions le résultat et remplaçons-le par équation originale.

Commençons par x 1 = 3 :

journal 3 6 = journal 3 6

La vérification a réussi, maintenant la file d'attente est x 2 = -1 :

journal 3 (-2) = journal 3 (-2)

Bon, arrête ! De l'extérieur, tout est parfait. Une chose : il n'y a pas de logarithmes à partir de nombres négatifs ! Cela signifie que la racine x = -1 ne convient pas pour résoudre notre équation. Et donc la bonne réponse sera 3, et non 2, comme nous l’avons écrit.

C’est là que l’ODZ a joué son rôle fatal, que nous avions oublié.

Permettez-moi de vous rappeler que la plage de valeurs acceptables inclut les valeurs de x qui sont autorisées ou qui ont du sens pour l'exemple d'origine.

Sans ODZ, toute solution, même absolument correcte, de n'importe quelle équation se transforme en loterie - 50/50.

Comment pourrions-nous être surpris en train de décider de ce qui semblait être exemple élémentaire? Mais précisément au moment de la potentialisation. Les logarithmes ont disparu, et avec eux toutes les restrictions.

Que faire dans ce cas ? Refuser d'éliminer les logarithmes ? Et refuser complètement de résoudre cette équation ?

Non, nous, comme les vrais héros d'une chanson célèbre, ferons simplement un détour !

Avant de commencer à résoudre une équation logarithmique, nous allons noter l’ODZ. Mais après cela, vous pouvez faire ce que votre cœur désire avec notre équation. Après avoir reçu la réponse, nous supprimons simplement les racines qui ne sont pas incluses dans notre ODZ et écrivons la version finale.

Décidons maintenant comment enregistrer ODZ. Pour ce faire, nous examinons attentivement l'équation d'origine et recherchons les endroits suspects, tels que la division par x, même la racine, etc. Jusqu'à ce que nous ayons résolu l'équation, nous ne savons pas à quoi x est égal, mais nous savons avec certitude qu'il y a x qui, une fois substitués, donneront une division par 0 ou une extraction racine carréeà partir d’un nombre négatif ne conviennent évidemment pas comme réponse. Par conséquent, ces x sont inacceptables, tandis que le reste constituera ODZ.

Utilisons à nouveau la même équation :

journal 3 (x 2 -3) = journal 3 (2x)

journal 3 (x 2 -3) = journal 3 (2x)

Comme vous pouvez le voir, il n'y a pas de division par 0, il n'y a pas non plus de racines carrées, mais il y a des expressions avec x dans le corps du logarithme. Rappelons immédiatement que l'expression à l'intérieur du logarithme doit toujours être >0. On écrit cette condition sous la forme ODZ :

Ceux. Nous n'avons encore rien résolu, mais nous avons déjà écrit une condition obligatoire pour l'ensemble de l'expression sublogarithmique. Entretoise signifie que ces conditions doivent être remplies simultanément.

L’ODZ est écrit, mais il faut aussi résoudre le système d’inégalités qui en résulte, ce que nous allons faire. Nous obtenons la réponse x > v3. Nous savons maintenant avec certitude quel x ne nous conviendra pas. Et puis nous commençons à résoudre l’équation logarithmique elle-même, ce que nous avons fait ci-dessus.

Après avoir reçu les réponses x 1 = 3 et x 2 = -1, il est facile de voir que seul x1 = 3 nous convient, et nous l'écrivons comme réponse finale.

Pour l’avenir, il est très important de rappeler ce qui suit : nous résolvons toute équation logarithmique en 2 étapes. La première consiste à résoudre l’équation elle-même, la seconde consiste à résoudre la condition ODZ. Les deux étapes sont réalisées indépendamment l'une de l'autre et ne sont comparées que lors de la rédaction de la réponse, c'est-à-dire jetez tout ce qui est inutile et notez la bonne réponse.

Pour renforcer le matériel, nous vous recommandons fortement de regarder la vidéo :

La vidéo montre d'autres exemples de résolution de journaux. équations et élaboration de la méthode des intervalles dans la pratique.

A cette question, comment résoudre des équations logarithmiques C'est tout pour le moment. Si quelque chose est décidé par le journal. les équations restent floues ou incompréhensibles, écrivez vos questions dans les commentaires.

Remarque : L'Académie d'Éducation Sociale (ASE) est prête à accepter de nouveaux étudiants.

Instructions

Écrivez l'expression logarithmique donnée. Si l'expression utilise le logarithme de 10, alors sa notation est raccourcie et ressemble à ceci : lg b est le logarithme décimal. Si le logarithme a le nombre e comme base, alors écrivez l'expression : ln b – un algorithme naturel. Il est entendu que le résultat de any est la puissance à laquelle le nombre de base doit être élevé pour obtenir le nombre b.

Pour trouver la somme de deux fonctions, il suffit de les différencier une à une et d'additionner les résultats : (u+v)" = u"+v";

Pour trouver la dérivée du produit de deux fonctions, il faut multiplier la dérivée de la première fonction par la seconde et ajouter la dérivée de la deuxième fonction multipliée par la première fonction : (u*v)" = u"*v +v"*u;

Pour trouver la dérivée du quotient de deux fonctions, il faut soustraire du produit de la dérivée du dividende multiplié par la fonction diviseur le produit de la dérivée du diviseur multiplié par la fonction du dividende, et diviser tout cela par la fonction diviseur au carré. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2 ;

Si donné fonction complexe, alors il faut multiplier la dérivée de fonction interne et la dérivée de l'externe. Soit y=u(v(x)), alors y"(x)=y"(u)*v"(x).

En utilisant les résultats obtenus ci-dessus, vous pouvez différencier presque toutes les fonctions. Alors regardons quelques exemples :

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3 ;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Il existe également des problèmes liés au calcul de la dérivée en un point. Soit la fonction y=e^(x^2+6x+5), vous devez trouver la valeur de la fonction au point x=1.
1) Trouvez la dérivée de la fonction : y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calculer la valeur de la fonction dans point donné y"(1)=8*e^0=8

Vidéo sur le sujet

Conseil utile

Apprenez le tableau des dérivées élémentaires. Cela permettra de gagner beaucoup de temps.

Sources:

• dérivée d'une constante

Alors, quelle est la différence ? ir équation rationnelle du rationnel ? Si la variable inconnue est sous le signe de la racine carrée, alors l'équation est considérée comme irrationnelle.

Instructions

La principale méthode pour résoudre de telles équations est la méthode de construction des deux côtés équations dans un carré. Cependant. c'est naturel, la première chose à faire est de vous débarrasser du panneau. Cette méthode n’est pas techniquement difficile, mais elle peut parfois entraîner des problèmes. Par exemple, l'équation est v(2x-5)=v(4x-7). En mettant les deux côtés au carré, vous obtenez 2x-5=4x-7. Résoudre une telle équation n’est pas difficile ; x=1. Mais le numéro 1 ne sera pas donné équations. Pourquoi? Remplacez-en un dans l'équation au lieu de la valeur de x et les côtés droit et gauche contiendront des expressions qui n'ont pas de sens, bien sûr. Cette valeur n'est pas valide pour une racine carrée. Par conséquent, 1 est une racine étrangère et cette équation n’a donc pas de racine.

Ainsi, une équation irrationnelle est résolue en utilisant la méthode de la quadrature de ses deux côtés. Et après avoir résolu l'équation, il faut couper racines étrangères. Pour ce faire, remplacez les racines trouvées dans l'équation d'origine.

Considérez-en un autre.
2х+vх-3=0
Bien entendu, cette équation peut être résolue en utilisant la même équation que la précédente. Déplacer les composés équations, qui n'ont pas de racine carrée, dans côté droit puis utilisez la méthode du carré. résoudre l’équation rationnelle et les racines résultantes. Mais aussi un autre, plus élégant. Entrez une nouvelle variable ; vх=y. En conséquence, vous recevrez une équation de la forme 2y2+y-3=0. C'est-à-dire une équation quadratique ordinaire. Retrouver ses racines ; y1=1 et y2=-3/2. Ensuite, résolvez deux équations vx=1 ; vх=-3/2. La deuxième équation n’a pas de racines ; à partir de la première, nous trouvons que x=1. N'oubliez pas de vérifier les racines.

Résoudre les identités est assez simple. Pour ce faire, vous devez faire transformations identitaires jusqu'à ce que l'objectif soit atteint. Ainsi, à l’aide du plus simple opérations arithmétiques la tâche à accomplir sera résolue.

Tu auras besoin de

• - papier;
• - stylo.

Instructions

Les plus simples de ces transformations sont les multiplications algébriques abrégées (telles que le carré de la somme (différence), la différence des carrés, la somme (différence), le cube de la somme (différence)). En outre, il existe de nombreux et formules trigonométriques, qui sont essentiellement les mêmes identités.

En effet, le carré de la somme de deux termes égal au carré le premier plus le double du produit du premier par le second et plus le carré du second, soit (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Simplifiez les deux

Principes généraux de la solution

Méthode de remplacement variable

Résolution d'intégrales du deuxième type

Substitution des limites d'intégration

Introduction

Les logarithmes ont été inventés pour accélérer et simplifier les calculs. L'idée d'un logarithme, c'est-à-dire l'idée d'exprimer les nombres sous forme de puissances de même base, appartient à Mikhail Stiefel. Mais à l’époque de Stiefel, les mathématiques n’étaient pas aussi développées et l’idée du logarithme n’était pas développée. Les logarithmes ont ensuite été inventés simultanément et indépendamment les uns des autres par le scientifique écossais John Napier (1550-1617) et le Suisse Jobst Burgi (1552-1632) fut le premier à publier ces travaux en 1614. sous le titre "Description d'un étonnant tableau de logarithmes", la théorie des logarithmes de Napier a été présentée dans un volume assez complet, la méthode de calcul des logarithmes a été donnée comme la plus simple, donc les mérites de Napier dans l'invention des logarithmes étaient supérieurs à ceux de Bürgi . Bürgi travaillait sur les tables en même temps que Napier, mais pendant longtemps les garda secrets et ne les publièrent qu'en 1620. Napier maîtrisa l'idée du logarithme vers 1594. bien que les tableaux aient été publiés 20 ans plus tard. Au début, il appela ses logarithmes « nombres artificiels » et ce n'est qu'ensuite qu'il proposa ces « nombres artificiels ». nombres artificiels« pour appeler en un mot « logarithme », qui en traduction du grec signifie « nombres corrélés », tirés l'un d'une progression arithmétique, et l'autre d'une progression géométrique spécialement sélectionnée pour cela. Les premiers tableaux en russe furent publiés en 1703. avec la participation d'un merveilleux professeur du XVIIIe siècle. L.F. Magnitski. Dans le développement de la théorie des logarithmes grande importance avait les œuvres de l'académicien de Saint-Pétersbourg Leonhard Euler. Il fut le premier à considérer les logarithmes comme l'inverse de l'élévation à une puissance ; il introduisit les termes « base du logarithme » et « mantisse ». Briggs a compilé des tableaux de logarithmes en base 10. Les tableaux décimaux sont plus pratiques pour une utilisation pratique, leur théorie est la suivante. plus simple que celui des logarithmes de Napier. C'est pourquoi logarithmes décimaux parfois appelé bricks. Le terme « caractérisation » a été introduit par Briggs.

À cette époque lointaine, lorsque les sages ont commencé à penser aux égalités contenant des quantités inconnues, il n’existait probablement ni pièces ni portefeuilles. Mais il y avait des tas, ainsi que des pots et des paniers, qui étaient parfaits pour servir de caches de stockage pouvant contenir un nombre indéterminé d'objets. Chez les anciens problèmes mathématiques Mésopotamie, Inde, Chine, Grèce, des grandeurs inconnues exprimaient le nombre de paons dans le jardin, le nombre de taureaux dans le troupeau, l'ensemble des choses prises en compte lors du partage des biens. Scribes, fonctionnaires et initiés bien formés à la science des comptes connaissance secrète Les prêtres s’acquittent de ces tâches avec beaucoup de succès.

Les sources qui nous sont parvenues indiquent que les anciens scientifiques possédaient certains techniques générales résoudre des problèmes avec des quantités inconnues. Pourtant, pas un seul papyrus, pas un seul tablette d'argile aucune description de ces techniques n'est donnée. Les auteurs n’accompagnaient qu’occasionnellement leurs calculs numériques de commentaires étriqués tels que : « Regardez ! », « Faites ceci ! », « Vous avez trouvé le bon ». En ce sens, l'exception est « l'Arithmétique » du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) - un ensemble de problèmes pour composer des équations avec une présentation systématique de leurs solutions.

Cependant, le premier manuel de résolution de problèmes largement connu fut l'ouvrage du scientifique de Bagdad du IXe siècle. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Le mot "al-jabr" du nom arabe de ce traité - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Livre de restauration et d'opposition") - s'est transformé au fil du temps en le mot bien connu "algèbre", et al- Les travaux de Khwarizmi eux-mêmes ont servi de point de départ au développement de la science de la résolution des équations.

Équations logarithmiques et inégalités

1. Équations logarithmiques

Une équation contenant une inconnue sous le signe du logarithme ou à sa base est appelée équation logarithmique.

L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme

enregistrer un X = b . (1)

Déclaration 1. Si un > 0, un≠ 1, équation (1) pour tout réel b Il a seule décision X = un B .

Exemple 1. Résolvez les équations :

a) journal 2 X= 3, b) journal 3 X= -1,c)

Solution. En utilisant l’énoncé 1, nous obtenons a) X= 2 3 ou X= 8 ; b) X= 3 -1 ou X= 1 / 3 ; c)

Présentons les propriétés de base du logarithme.

P1. Les bases identité logarithmique:

Où un > 0, un≠ 1 et b > 0.

P2. Logarithme du produit de facteurs positifs égal à la somme logarithmes de ces facteurs :

enregistrer un N 1 · N 2 = journal un N 1 + journal un N 2 (un > 0, un ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Commentaire. Si N 1 · N 2 > 0, alors la propriété P2 prend la forme

enregistrer un N 1 · N 2 = journal un |N 1 | + journal un |N 2 | (un > 0, un ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logarithme du quotient de deux nombres positifs égal à la différence logarithmes du dividende et du diviseur

Commentaire. Si

P4. Logarithme de la puissance d'un nombre positif égal au produit exposant par logarithme de ce nombre :

enregistrer un N k = k enregistrer un N (un > 0, un ≠ 1, N > 0).

Commentaire. Si k - nombre pair (k = 2s), Que

enregistrer un N 2s = 2s enregistrer un |N | (un > 0, un ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formule pour déménager dans une autre base :

en particulier si N = b, on a

En utilisant les propriétés P4 et P5, il est facile d'obtenir les propriétés suivantes

et, si en (5) c- nombre pair ( c = 2n), se produit

Listons les principales propriétés de la fonction logarithmique F (X) = journal un X :

1. Le domaine de définition d'une fonction logarithmique est l'ensemble des nombres positifs.

2. La plage de valeurs de la fonction logarithmique est l'ensemble des nombres réels.

3. Quand un > 1 fonction logarithmique strictement croissant (0< X 1 < X 2log un X 1 < logun X 2), et à 0< un < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log un X 1 > journal un X 2).

4. journal un 1 = 0 et journal un un = 1 (un > 0, un ≠ 1).

5. Si un> 1, alors la fonction logarithmique est négative lorsque X(0;1) et positif à X(1;+∞), et si 0< un < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) et négatif à X (1;+∞).

6. Si un> 1, alors la fonction logarithmique est convexe vers le haut, et si un(0;1) - convexe vers le bas.

Les instructions suivantes (voir, par exemple) sont utilisées lors de la résolution d'équations logarithmiques.

Algèbre 11e année

Sujet : « Méthodes de résolution d'équations logarithmiques »

Objectifs de la leçon:

pédagogique : formation de connaissances sur en différentes manières résolution d'équations logarithmiques, compétences pour les appliquer dans chaque situation spécifique et choisissez n'importe quelle méthode à résoudre ;

développemental : développement de compétences pour observer, comparer, appliquer des connaissances dans situation nouvelle, identifier des modèles, généraliser ; développer des compétences de contrôle mutuel et de maîtrise de soi ;

éducatif : favoriser une attitude responsable envers travail éducatif, perception attentive de la matière de la leçon, prise de notes minutieuse.

Type de cours: leçon sur l'introduction de nouveau matériel.

"L'invention des logarithmes, tout en réduisant le travail de l'astronome, prolongea sa vie."
mathématicien français et l'astronome P.S. Laplace

Pendant les cours

I. Fixer l'objectif de la leçon

La définition étudiée du logarithme, des propriétés des logarithmes et de la fonction logarithmique nous permettra de résoudre des équations logarithmiques. Toutes les équations logarithmiques, aussi complexes soient-elles, sont résolues à l'aide d'algorithmes uniformes. Nous examinerons ces algorithmes dans la leçon d'aujourd'hui. Il n'y en a pas beaucoup. Si vous les maîtrisez, alors n'importe quelle équation avec des logarithmes sera réalisable pour chacun de vous.

Notez le sujet de la leçon dans votre cahier : « Méthodes de résolution d'équations logarithmiques ». J'invite tout le monde à coopérer.

II. Mise à jour connaissances de base

Préparons-nous à étudier le sujet de la leçon. Vous résolvez chaque tâche et notez la réponse ; vous n’avez pas besoin d’écrire la condition. Travailler en équipe de deux.

1) Pour quelles valeurs de x la fonction a-t-elle un sens :

(Les réponses sont vérifiées pour chaque diapositive et les erreurs sont triées)

2) Les graphiques des fonctions coïncident-ils ?

3) Réécrivez les égalités sous forme d'égalités logarithmiques :

4) Écrivez les nombres sous forme de logarithmes en base 2 :

5) Calculez :

6) Essayez de restaurer ou de compléter les éléments manquants dans ces égalités.

III. Introduction au nouveau matériel

La déclaration suivante s'affiche à l'écran :

"L'équation est la clé d'or qui ouvre tous les sésames mathématiques."
Mathématicien polonais moderne S. Kowal

Essayez de formuler la définition d'une équation logarithmique. (Une équation contenant une inconnue sous le signe du logarithme).

Considérons l'équation logarithmique la plus simple :enregistrerUNx = b(où a>0, a ≠ 1). Puisque la fonction logarithmique augmente (ou diminue) sur l'ensemble des nombres positifs et prend tout de vraies valeurs, alors par le théorème racine il s'ensuit que pour tout b cette équation n'a, et de plus, qu'une seule solution, et une positive.

Rappelez-vous la définition du logarithme. (Le logarithme d'un nombre x à la base a est un indicateur de la puissance à laquelle il faut élever la base a pour obtenir le nombre x). De la définition du logarithme, il résulte immédiatement que UNV est une telle solution.

Notez le titre : Méthodes de résolution d'équations logarithmiques

1. Par définition du logarithme.

C'est ainsi que sont résolues les équations les plus simples de la forme.

Considérons N° 514(a)): Résous l'équation

Comment proposez-vous de le résoudre ? (Par définition du logarithme)

Solution. , D'où 2x - 4 = 4 ; x = 4.

Dans cette tâche, 2x - 4 > 0, puisque > 0, donc aucune racine étrangère ne peut apparaître et il n'est pas nécessaire de vérifier. La condition 2x - 4 > 0 n'a pas besoin d'être écrite dans cette tâche.

2. Potentisation(passage du logarithme d'une expression donnée à cette expression elle-même).

Considérons N° 519(g) : log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Quelle fonctionnalité avez-vous remarquée ? (Les bases sont les mêmes et les logarithmes des deux expressions sont égaux.) Ce qui peut être fait? (Potentiser).

Il faut tenir compte du fait que toute solution est contenue parmi tous les x dont les expressions logarithmiques sont positives.

Solution : ODZ :

X2+8>0 est une inégalité inutile

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8x+8)

Potentialisons l'équation originale

on obtient l'équation x2+8= 8x+8

Résolvons-le : x2-8x=0

Réponse : 0 ; 8

DANS vue générale transition vers un système équivalent:

L'équation

(Le système contient une condition redondante : il n’est pas nécessaire de prendre en compte l’une des inégalités).

Question pour la classe: Laquelle de ces trois solutions avez-vous préféré ? (Discussion des méthodes).

Vous avez le droit de décider de quelque manière que ce soit.

3. Introduction d'une nouvelle variable.

Considérons N° 520(g). .

Qu'avez-vous remarqué ? (Il s'agit d'une équation quadratique par rapport à log3x) Des suggestions ? (Introduire une nouvelle variable)

Solution. ODZ : x > 0.

Soit , alors l'équation prend la forme :. Discriminant D > 0. Racines selon le théorème de Vieta :.

Revenons au remplacement : ou.

Après avoir résolu les équations logarithmiques les plus simples, nous obtenons :

Réponse : 27 ;

4. Logarithme des deux côtés de l'équation.

Résous l'équation:.

Solution : ODZ : x>0, prendre le logarithme des deux côtés de l'équation en base 10 :

Appliquons la propriété du logarithme d'une puissance :

(logx + 3) logx = 4

Soit logx = y, alors (y + 3)y = 4

, (D > 0) racines selon le théorème de Vieta : y1 = -4 et y2 = 1.

Revenons au remplacement, on obtient : lgx = -4,; lgx = 1, .

Réponse : 0,0001 ; dix.

5. Réduction à une base.

N° 523(c). Résous l'équation:

Solution : ODZ : x>0. Passons à la base 3.

6. Méthode fonctionnelle-graphique.

№ 509(d). Résolvez l'équation graphiquement : = 3 - x.

Comment proposez-vous de résoudre ? (Construisez des graphiques de deux fonctions y = log2x et y = 3 - x en utilisant des points et recherchez l'abscisse des points d'intersection des graphiques).

Regardez votre solution sur la diapositive.

Il existe un moyen d'éviter de faire des graphiques . C'est comme suit : si une des fonctions y = f(x) augmente, et l'autre y = g(x) diminue sur l'intervalle X, alors l'équation f(x)=g(x) a au plus une racine sur l'intervalle X.

S'il y a une racine, on peut la deviner.

Dans notre cas, la fonction augmente pour x>0, et la fonction y = 3 - x diminue pour toutes les valeurs de x, y compris pour x>0, ce qui signifie que l'équation n'a pas plus d'une racine. Notez qu'à x = 2, l'équation se transforme en une vraie égalité, puisque .

« Utilisation correcte les méthodes peuvent être apprises
seulement en les appliquant à divers exemples».
Historien danois des mathématiques G. G. Zeiten

jeV. Devoirs

P. 39, considérons l'exemple 3, résolvez le n° 514(b), le n° 529(b), le n° 520(b), le n° 523(b)

V. Résumer la leçon

Quelles méthodes de résolution d’équations logarithmiques avons-nous examinées en classe ?

Dans les prochaines leçons, nous examinerons davantage équations complexes. Pour les résoudre, les méthodes étudiées seront utiles.

Dernière diapositive affichée :

« Qu’y a-t-il de plus que tout au monde ?
Espace.
Quelle est la chose la plus sage ?
Temps.
Quelle est la meilleure partie ?
Réalisez ce que vous voulez.
Thalès

Je souhaite à chacun de réaliser ce qu’il veut. Merci pour votre coopération et votre compréhension.

Équations logarithmiques. Nous continuons à examiner les problèmes de la partie B de l'examen d'État unifié en mathématiques. Nous avons déjà examiné les solutions de certaines équations dans les articles « », « ». Dans cet article, nous examinerons les équations logarithmiques. Je dirai tout de suite qu'il n'y aura pas de transformations complexes lors de la résolution de telles équations à l'examen d'État unifié. Ils sont simples.

Il suffit de connaître et de comprendre l'identité logarithmique de base, pour connaître les propriétés du logarithme. Veuillez noter qu'après l'avoir résolu, vous DEVEZ faire une vérification - remplacez la valeur résultante dans l'équation d'origine et calculez, à la fin vous devriez obtenir l'égalité correcte.

Définition:

Le logarithme d'un nombre en base b est l'exposant,auquel b doit être élevé pour obtenir a.

Par exemple:

Log 3 9 = 2, puisque 3 2 = 9

Propriétés des logarithmes :

Cas particuliers des logarithmes :

Résolvons les problèmes. Dans le premier exemple, nous ferons une vérification. À l'avenir, vérifiez-le vous-même.

Trouvez la racine de l'équation : log 3 (4–x) = 4

Puisque log b a = x b x = a, alors

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Examen:

log 3 (4–(–77)) = 4

journal 3 81 = 4

3 4 = 81 Exactement.

Réponse : – 77

Décider vous-même:

Trouvez la racine de l'équation : log 2 (4 – x) = 7

Trouver la racine de l'équation log 5(4 + x) = 2

Nous utilisons l'identité logarithmique de base.

Puisque log a b = x b x = a, alors

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Examen:

journal 5 (4 + 21) = 2

journal 5 25 = 2

5 2 = 25 Exactement.

Réponse : 21

Trouvez la racine de l'équation log 3 (14 – x) = log 3 5.

Se produit prochaine propriété, sa signification est la suivante : si à gauche et à droite de l'équation on a des logarithmes avec la même base, alors nous pouvons assimiler les expressions sous les signes des logarithmes.

14 – x = 5

x=9

Faites une vérification.

Réponse : 9

Décider vous-même:

Trouvez la racine de l'équation log 5 (5 – x) = log 5 3.

Trouvez la racine de l'équation : log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Si log c a = log c b, alors a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Faites une vérification.

Réponse : 6

Trouvez la racine de l'équation log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 –x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Faites une vérification.

Un petit ajout - la propriété est utilisée ici

degrés ().

Réponse : – 51

Décider vous-même:

Trouvez la racine de l'équation : log 1/7 (7 – x) = – 2

Trouvez la racine de l'équation log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Transformons le côté droit. Utilisons la propriété :

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Si log c a = log c b, alors a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Faites une vérification.

Réponse : – 21

Décider vous-même:

Trouvez la racine de l'équation : log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Résolvez l'équation log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Si log c a = log c b, alors a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Faites une vérification.

Réponse : 2,75

Décider vous-même:

Trouvez la racine de l'équation log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Résolvez l'équation log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Obligatoire avec côté droit les équations obtiennent une expression de la forme :

journal 2 (...)

Nous représentons 1 comme un logarithme en base 2 :

1 = journal 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

On a:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Si log c a = log c b, alors a = b, alors

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Faites une vérification.

Réponse : 0,4

Décider vous-même: Ensuite, vous devez résoudre l'équation quadratique. D'ailleurs,

les racines sont 6 et – 4.

Racine "-4" n'est pas une solution puisque la base du logarithme doit être Au dessus de zéro, et quand "– 4" c'est égal à " – 5". La solution est la racine 6.Faites une vérification.

Réponse : 6.

R. manger seul :

Résolvez l'équation log x –5 49 = 2. Si l'équation a plus d'une racine, répondez par la plus petite.

Comme vous l'avez vu, pas de transformations compliquées avec des équations logarithmiquesNon. Il suffit de connaître les propriétés du logarithme et de pouvoir les appliquer. DANS Problèmes liés à l'examen d'État unifié lié à la transformation expressions logarithmiques, des transformations plus sérieuses sont effectuées et des compétences de solution plus approfondies sont nécessaires. Nous examinerons de tels exemples, ne les manquez pas !Je te souhaite du succès!!!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.