Ajout d'exemples de logarithmes. Conversion d'expressions logarithmiques

Les propriétés de base du logarithme népérien, du graphique, du domaine de définition, de l'ensemble de valeurs, des formules de base, de la dérivée, de l'intégrale, du développement en série de puissance et représentation de la fonction ln x à l'aide de nombres complexes.

Définition

Un algorithme naturel est la fonction y = dans x, l'inverse de l'exponentielle, x = e y, et est le logarithme à la base du nombre e : ln x = log e x.

Le logarithme népérien est largement utilisé en mathématiques car sa dérivée a la forme la plus simple : (lnx)′ = 1/x.

Basé définitions, la base du logarithme népérien est le nombre e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graphique de la fonction y = dans x.

Graphique du logarithme népérien (fonctions y = dans x) est obtenu à partir du graphe exponentiel image miroir par rapport à la droite y = x.

Le logarithme népérien est défini à valeurs positives variable x.

Il augmente de façon monotone dans son domaine de définition. 0 À x →

la limite du logarithme népérien est moins l'infini (-∞). Comme x → + ∞, la limite du logarithme népérien est plus l'infini (+ ∞). Pour x grand, le logarithme augmente assez lentement. N'importe lequel fonction de puissance

x a avec un exposant positif a croît plus vite que le logarithme.

Propriétés du logarithme népérien

Domaine de définition, ensemble de valeurs, extrema, augmentation, diminution

Le logarithme népérien est une fonction croissante de façon monotone, il n’a donc pas d’extrema. Les principales propriétés du logarithme népérien sont présentées dans le tableau.

valeurs ln x

ln 1 = 0

Formules de base pour les logarithmes naturels

Formules issues de la définition de la fonction inverse :

La propriété principale des logarithmes et ses conséquences

Formule de remplacement de base

Tout logarithme peut être exprimé en termes de logarithmes naturels en utilisant la formule de substitution de base :

Des preuves de ces formules sont présentées dans la section "Logarithme".

Fonction inverse

L'inverse du logarithme népérien est l'exposant.

Si donc

Si donc.

Dérivée ln x
.
Dérivée du logarithme népérien :
.
Dérivée du logarithme népérien du module x :
.
Dérivée du nième ordre :

Formules dérivées > > >

Intégral
.
L'intégrale est calculée par intégration par parties :

Donc,

Expressions utilisant des nombres complexes
.
Exprimons la variable complexe z par module r et argumentation φ :
.
En utilisant les propriétés du logarithme, on a :
.
Ou
.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. Si tu mets
, où n est un nombre entier,
ce sera le même numéro pour différents n.

Par conséquent, le logarithme népérien, en fonction d’une variable complexe, n’est pas une fonction à valeur unique.

Extension de la série de puissance

Lorsque l’agrandissement a lieu :

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Lors de la conversion d'expressions avec des logarithmes, les égalités répertoriées sont utilisées à la fois de droite à gauche et de gauche à droite.

Il est à noter qu'il n'est pas nécessaire de mémoriser les conséquences des propriétés : lors de la réalisation de transformations, on peut se débrouiller avec les propriétés de base des logarithmes et d'autres faits (par exemple, le fait que pour b≥0), d'où les conséquences correspondantes s’ensuivent. " Effet secondaire"Cette approche ne se manifeste que par le fait que la solution sera un peu plus longue. Par exemple, pour se passer de la conséquence, qui s'exprime par la formule , et en partant uniquement des propriétés de base des logarithmes, vous devrez effectuer une chaîne de transformations de la forme suivante : .

La même chose peut être dite à propos de la dernière propriété de la liste ci-dessus, à laquelle répond la formule , puisqu'il découle également des propriétés fondamentales des logarithmes. La principale chose à comprendre est qu'il est toujours possible pour la puissance d'un nombre positif avec un logarithme dans l'exposant d'intervertir la base de la puissance et le nombre sous le signe du logarithme. Pour être juste, notons que les exemples impliquant la mise en œuvre de transformations de ce type sont rares dans la pratique. Nous donnerons quelques exemples ci-dessous dans le texte.

Conversion d'expressions numériques avec des logarithmes

Nous avons rappelé les propriétés des logarithmes, il est maintenant temps d’apprendre à les appliquer concrètement pour transformer des expressions. Il est naturel de commencer par convertir des expressions numériques plutôt que des expressions avec des variables, car elles sont plus pratiques et plus faciles à apprendre les bases. C'est ce que nous ferons, et nous commencerons par un très exemples simples, pour apprendre à choisir la propriété souhaitée du logarithme, mais nous complexifierons progressivement les exemples, jusqu'au point où, pour obtenir résultat final vous devrez appliquer plusieurs propriétés à la suite.

Sélection de la propriété souhaitée des logarithmes

Il existe de nombreuses propriétés des logarithmes, et il est clair que vous devez être capable de choisir celle qui convient, ce qui dans ce cas particulier conduira au résultat souhaité. Habituellement, cela n'est pas difficile à faire en comparant le type de logarithme ou d'expression converti avec les types de parties gauche et droite des formules exprimant les propriétés des logarithmes. Si laissé ou partie droite l'une des formules coïncide avec un logarithme ou une expression donnée, alors, très probablement, c'est cette propriété qui doit être utilisée lors de la transformation. Les exemples suivants cela est clairement démontré.

Commençons par des exemples de transformation d'expressions utilisant la définition d'un logarithme, qui correspond à la formule a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Exemple.

Calculez, si possible : a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Solution.

Dans l'exemple sous la lettre a), la structure a log a b est clairement visible, où a=5, b=4. Ces nombres satisfont aux conditions a>0, a≠1, b>0, vous pouvez donc utiliser en toute sécurité l'égalité a log a b =b. Nous avons 5 log 5 4=4 .

b) Ici a=10, b=1+2·π, les conditions a>0, a≠1, b>0 sont remplies. Dans ce cas, l'égalité 10 log(1+2·π) =1+2·π a lieu.

c) Et dans cet exemple nous avons affaire à un degré de la forme a log a b, où et b=ln15. Donc .

Bien qu'appartenant au même type a log a b (ici a=2, b=−7), l'expression sous la lettre g) ne peut pas être convertie à l'aide de la formule a log a b =b. La raison en est qu’il n’a aucun sens car il contient un nombre négatif sous le signe du logarithme. De plus, le nombre b=−7 ne vérifie pas la condition b>0, ce qui rend impossible le recours à la formule a log a b =b, puisqu'elle nécessite la réalisation des conditions a>0, a≠1, b> 0. On ne peut donc pas parler de calculer la valeur de 2 log 2 (−7) . Dans ce cas, écrire 2 log 2 (−7) =−7 serait une erreur.

De même, dans l’exemple sous la lettre e), il est impossible de donner une solution de la forme , puisque l'expression originale n'a pas de sens.

Répondre:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) les expressions n’ont pas de sens.

Souvent, une transformation utile consiste à représenter un nombre positif sous la forme d’une puissance d’un nombre positif non unité avec le logarithme dans l’exposant. Il est basé sur la même définition du logarithme a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, mais la formule s'applique de droite à gauche, c'est-à-dire sous la forme b=a log a b . Par exemple, 3=e ln3 ou 5=5 log 5 5 .

Passons à l'utilisation des propriétés des logarithmes pour transformer des expressions.

Exemple.

Trouvez la valeur de l'expression : a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Solution.

Dans les exemples sous les lettres a), b) et c) sont données les expressions log −2 1, log 1 1, log 0 1, qui n'ont pas de sens, puisque la base du logarithme ne doit pas contenir de nombre négatif, zéro ou un, car nous avons défini le logarithme uniquement pour une base positive et différente de l'unité. Par conséquent, dans les exemples a) à c), il ne peut être question de trouver le sens de l'expression.

Dans toutes les autres tâches, évidemment, les bases des logarithmes contiennent respectivement des nombres positifs et non unitaires 7, e, 10, 3,75 et 5·π 7, et sous les signes des logarithmes il y a des unités partout. Et nous connaissons la propriété du logarithme de l'unité : log a 1=0 pour tout a>0, a≠1. Ainsi, les valeurs des expressions b) – e) sont égales à zéro.

Répondre:

a), b), c) les expressions n'ont pas de sens, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Exemple.

Calculer : a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Solution.

Il est clair qu'il faut utiliser la propriété du logarithme de la base, qui correspond à la formule log a a=1 pour a>0, a≠1. En effet, dans les tâches sous toutes les lettres, le nombre sous le signe du logarithme coïncide avec sa base. Ainsi, je voudrais immédiatement dire que la valeur de chacune des expressions données est 1. Cependant, il ne faut pas se précipiter pour tirer des conclusions : dans les tâches sous les lettres a) - d) les valeurs des expressions sont vraiment égales à un, et dans les tâches e) et f) les expressions originales n'ont pas de sens, donc il on ne peut pas dire que les valeurs de ces expressions soient égales à 1.

Répondre:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) les expressions n’ont pas de sens.

Exemple.

Trouvez la valeur : a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Solution.

Évidemment, sous les signes des logarithmes se trouvent certaines puissances de la base. Sur cette base, nous comprenons qu'ici nous aurons besoin de la propriété du degré de la base : log a a p =p, où a>0, a≠1 et p est quelconque nombre réel. En tenant compte de cela, nous avons les résultats suivants : a) log 3 3 11 =11, b) , V) . Est-il possible d'écrire une égalité similaire pour l'exemple sous la lettre d) de la forme log −10 (−10) 6 =6 ? Non, vous ne pouvez pas, car l'expression log −10 (−10) 6 n'a pas de sens.

Répondre:

a) journal 3 3 11 =11, b) , V) , d) l'expression n'a pas de sens.

Exemple.

Présentez l’expression comme une somme ou une différence de logarithmes en utilisant la même base : a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Solution.

a) Sous le signe du logarithme il y a un produit, et on connaît la propriété du logarithme du produit log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Dans notre cas, le nombre dans la base du logarithme et les nombres dans le produit sont positifs, c'est-à-dire qu'ils satisfont aux conditions de la propriété sélectionnée, nous pouvons donc l'appliquer en toute sécurité : .

b) Nous utilisons ici la propriété du logarithme quotient, où a>0, a≠1, x>0, y>0. Dans notre cas, la base du logarithme est un nombre positif e, le numérateur et le dénominateur π sont positifs, ce qui signifie qu'ils satisfont aux conditions de la propriété, nous avons donc le droit d'utiliser la formule choisie : .

c) Tout d'abord, notons que l'expression log((−5)·(−12)) a du sens. Mais en même temps, pour cela nous n'avons pas le droit d'appliquer la formule du logarithme du produit log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, puisque les nombres sont −5 et −12 – négatifs et ne satisfont pas aux conditions x>0, y>0. Autrement dit, vous ne pouvez pas effectuer une telle transformation : log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Alors, que devrions-nous faire? Dans de tels cas, l’expression originale nécessite une transformation préalable pour éviter les nombres négatifs. À propos cas similaires Nous aborderons en détail les transformations d'expressions avec des nombres négatifs sous le signe du logarithme dans une des pages, mais pour l'instant nous donnerons une solution à cet exemple, clair d'avance et sans explication : log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Répondre:

UN) , b) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Exemple.

Simplifiez l'expression : a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .

Solution.

Ici, toutes les mêmes propriétés du logarithme du produit et du logarithme du quotient nous aideront, que nous avons utilisées dans les exemples précédents, seulement maintenant nous les appliquerons de droite à gauche. Autrement dit, nous transformons la somme des logarithmes en logarithme du produit et la différence des logarithmes en logarithme du quotient. Nous avons
UN) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

Répondre:

UN) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Exemple.

Débarrassez-vous du degré sous le signe du logarithme : a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Solution.

Il est facile de voir que nous avons affaire à des expressions de la forme log a b p . La propriété correspondante du logarithme a la forme log a b p =p·log a b, où a>0, a≠1, b>0, p - n'importe quel nombre réel. Autrement dit, si les conditions a>0, a≠1, b>0 sont remplies, à partir du logarithme de la puissance log a b p nous pouvons passer au produit p·log a b. Réalisons cette transformation avec les expressions données.

a) Dans ce cas a=0,7, b=5 et p=11. Donc log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

b) Ici, les conditions a>0, a≠1, b>0 sont satisfaites. C'est pourquoi

c) L'expression log 3 (−5) 6 a la même structure log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Mais pour b la condition b>0 n'est pas satisfaite, ce qui rend impossible l'utilisation de la formule log a b p =p·log a b . Et alors, vous n’arrivez pas à faire face à la tâche ? C'est possible, mais une transformation préalable de l'expression est nécessaire, dont nous parlerons en détail ci-dessous dans le paragraphe sous le titre. La solution sera la suivante : log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Répondre:

une) journal 0,7 5 11 =11 journal 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5.

Bien souvent, lors de transformations, il faut appliquer la formule du logarithme d'une puissance de droite à gauche sous la forme p·log a b=log a b p (les mêmes conditions doivent être remplies pour a, b et p). Par exemple, 3·ln5=ln5 3 et log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Exemple.

a) Calculez la valeur de log 2 5 si l'on sait que log2≈0,3010 et log5≈0,6990. b) Exprime la fraction sous forme de logarithme en base 3.

Solution.

a) La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet de présenter ce logarithme comme un rapport de logarithmes décimaux dont les valeurs nous sont connues : . Il ne reste plus qu'à effectuer les calculs, nous avons .

b) Ici, il suffit d'utiliser la formule de déplacement vers une nouvelle base et de l'appliquer de droite à gauche, c'est-à-dire sous la forme . On a .

Répondre:

une) journal 2 5≈2,3223, b) .

A ce stade, nous avons soigneusement étudié la transformation des éléments les plus expressions simples en utilisant les propriétés de base des logarithmes et la définition d'un logarithme. Dans ces exemples, nous devions appliquer une propriété et rien de plus. Maintenant avec la conscience tranquille vous pouvez passer à des exemples dont la transformation nécessite l'utilisation de plusieurs propriétés de logarithmes et autres transformations supplémentaires. Nous les traiterons dans le paragraphe suivant. Mais avant cela, examinons brièvement des exemples d’application des conséquences des propriétés fondamentales des logarithmes.

Exemple.

a) Débarrassez-vous de la racine sous le signe du logarithme. b) Convertissez la fraction en logarithme base 5. c) Libérez-vous des puissances sous le signe du logarithme et dans sa base. d) Calculer la valeur de l'expression . e) Remplacez l’expression par une puissance de base 3.

Solution.

a) Si l'on rappelle le corollaire de la propriété du logarithme du degré , alors vous pouvez immédiatement donner la réponse : .

b) Ici, nous utilisons la formule de droite à gauche, nous avons .

c)B dans ce cas le résultat est donné par la formule . On a .

d) Et ici il suffit d'appliquer le corollaire auquel correspond la formule . Donc .

e) Propriété du logarithme nous permet d’atteindre le résultat souhaité : .

Répondre:

UN) . b) . V) . G) . d) .

Appliquer consécutivement plusieurs propriétés

Les tâches réelles de transformation d'expressions utilisant les propriétés des logarithmes sont généralement plus compliquées que celles que nous avons traitées dans le paragraphe précédent. En règle générale, le résultat n'est pas obtenu en une seule étape, mais la solution consiste déjà en l'application séquentielle d'une propriété après l'autre, ainsi que des transformations identiques supplémentaires, telles que l'ouverture de parenthèses, la conversion termes similaires, fractions réductrices, etc. Rapprochons-nous donc de tels exemples. Il n'y a rien de compliqué à cela, l'essentiel est d'agir avec prudence et cohérence, en respectant l'ordre des actions.

Exemple.

Calculer la valeur d'une expression (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Solution.

La différence entre les logarithmes entre parenthèses, selon la propriété du logarithme quotient, peut être remplacée par le logarithme log 3 (15:5), puis calculer sa valeur log 3 (15:5)=log 3 3=1. Et la valeur de l'expression 7 log 7 5 par définition d'un logarithme est égale à 5. En substituant ces résultats dans l'expression originale, nous obtenons (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Voici une solution sans explication :
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

Répondre:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Exemple.

Quelle est la valeur de l’expression numérique log 3 log 2 2 3 −1 ?

Solution.

On transforme d'abord le logarithme sous le signe du logarithme en utilisant la formule du logarithme de la puissance : log 2 2 3 =3. Ainsi, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 puis log 3 3=1. Donc log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Répondre:

journal 3 journal 2 2 3 −1=0 .

Exemple.

Simplifiez l'expression.

Solution.

La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet de représenter le rapport des logarithmes à une base sous la forme log 3 5. Dans ce cas, l'expression originale prendra la forme . Par définition du logarithme 3 log 3 5 =5, soit , et la valeur de l'expression résultante, en vertu de la même définition du logarithme, est égale à deux.

Ici version courte solutions, qui sont généralement données : .

Répondre:

Pour passer en douceur aux informations du paragraphe suivant, examinons les expressions 5 2+log 5 3 et log0.01. Leur structure ne correspond à aucune des propriétés des logarithmes. Alors que se passe-t-il, ils ne peuvent pas être convertis en utilisant les propriétés des logarithmes ? C'est possible si vous effectuez des transformations préliminaires qui préparent ces expressions à l'application des propriétés des logarithmes. Donc 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, et log0,01=log10 −2 =−2. Nous verrons ensuite en détail comment cette préparation d’expression est effectuée.

Préparation d'expressions pour utiliser les propriétés des logarithmes

Les logarithmes dans l'expression convertie diffèrent très souvent par la structure de la notation des parties gauche et droite des formules correspondant aux propriétés des logarithmes. Mais non moins souvent, la transformation de ces expressions implique l'utilisation des propriétés des logarithmes : pour les utiliser, il suffit préparation préliminaire. Et cette préparation consiste à réaliser certaines transformations identitaires, apportant aux logarithmes une forme pratique pour appliquer les propriétés.

Pour être juste, notons que presque toutes les transformations d'expressions peuvent agir comme des transformations préliminaires, de la réduction banale de termes similaires à l'utilisation de formules trigonométriques. Cela est compréhensible, puisque les expressions converties peuvent contenir n'importe quel objet mathématique : parenthèses, modules, fractions, racines, puissances, etc. Ainsi, il faut être prêt à effectuer toute transformation nécessaire afin de pouvoir profiter davantage des propriétés des logarithmes.

Disons d'emblée qu'à ce stade nous ne nous fixons pas pour tâche de classer et d'analyser toutes les transformations préliminaires imaginables qui permettraient d'appliquer ultérieurement les propriétés des logarithmes ou la définition d'un logarithme. Nous nous concentrerons ici sur quatre d’entre eux, qui sont les plus typiques et les plus souvent rencontrés dans la pratique.

Et maintenant sur chacun d'eux en détail, après quoi, dans le cadre de notre sujet, il ne reste plus qu'à comprendre la transformation des expressions à variables sous les signes des logarithmes.

Identification des puissances sous le signe du logarithme et à sa base

Commençons tout de suite par un exemple. Ayons un logarithme. Évidemment, sous cette forme, sa structure n’est pas propice à l’utilisation des propriétés des logarithmes. Est-il possible de convertir d'une manière ou d'une autre cette expression pour le simplifier, ou mieux encore, calculer sa valeur ? Pour répondre à cette question, regardons de plus près les nombres 81 et 1/9 dans le contexte de notre exemple. Ici, il est facile de remarquer que ces nombres peuvent être représentés comme une puissance de 3, en effet 81 = 3 4 et 1/9 = 3 −2. Dans ce cas, le logarithme original est présenté sous la forme et il devient possible d'appliquer la formule . Donc, .

L'analyse de l'exemple analysé donne lieu à la réflexion suivante : si possible, on peut essayer d'isoler le degré sous le signe du logarithme et dans sa base afin d'appliquer la propriété du logarithme du degré ou ses conséquences. Il ne reste plus qu'à comprendre comment distinguer ces diplômes. Donnons quelques recommandations sur cette question.

Parfois, il est tout à fait évident que le nombre sous le signe du logarithme et/ou dans sa base représente une puissance entière, comme dans l’exemple évoqué ci-dessus. Nous sommes presque constamment confrontés à des puissances de deux, qui nous sont bien familières : 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512=2 9, 1024=2 10. On peut en dire autant des puissances de trois : 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... En général, ça ne fera pas de mal si vous avez sous les yeux tableau des puissances des nombres naturels dans une douzaine. Il n’est pas non plus difficile de travailler avec des puissances entières de dix, cent, mille, etc.

Exemple.

Calculez la valeur ou simplifiez l'expression : a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Solution.

a) Évidemment, 216=6 3, donc log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Le tableau des puissances des nombres naturels permet de représenter les nombres 343 et 1/243 comme des puissances 7 3 et 3 −4, respectivement. Ainsi, la transformation suivante d’un logarithme donné est possible :

c) Puisque 0,000001=10 −6 et 0,001=10 −3, alors log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Répondre:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

En plus cas difficiles pour distinguer les puissances des nombres, il faut recourir à .

Exemple.

Convertir l'expression en plus vue simple journal 3 648 journal 2 3 .

Solution.

Voyons en quoi consiste la décomposition du nombre 648 facteurs premiers:

Autrement dit, 648=2 3 ·3 4. Ainsi, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Maintenant, nous convertissons le logarithme du produit en la somme des logarithmes, après quoi nous appliquons les propriétés du logarithme de la puissance :
journal 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

En vertu d'un corollaire de la propriété du logarithme de la puissance, qui correspond à la formule , le produit log32·log23 est le produit de , et, comme on le sait, il est égal à un. En tenant compte de cela, on obtient 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Répondre:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Très souvent, les expressions sous le signe du logarithme et dans sa base représentent des produits ou des rapports des racines et/ou des puissances de certains nombres, par exemple , . De telles expressions peuvent être exprimées sous forme de puissances. Pour ce faire, une transition est effectuée des racines vers les puissances, et et sont utilisées. Ces transformations permettent d'isoler les puissances sous le signe du logarithme et dans sa base, puis d'appliquer les propriétés des logarithmes.

Exemple.

Calculer : a) , b) .

Solution.

a) L'expression en base du logarithme est le produit de puissances de mêmes bases, selon propriété correspondante nous avons des diplômes 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Transformons maintenant la fraction sous le signe du logarithme : on passera de la racine à la puissance, après quoi on utilisera la propriété du rapport des puissances de mêmes bases : .

Il reste à substituer les résultats obtenus dans l'expression originale, utiliser la formule et terminer la transformation :

b) Puisque 729 = 3 6 et 1/9 = 3 −2, l'expression originale peut être réécrite comme .

Ensuite, nous appliquons la propriété de la racine d'une puissance, passons de la racine à la puissance et utilisons la propriété du rapport des puissances pour convertir la base du logarithme en puissance : .

Considérant dernier résultat, nous avons .

Répondre:

UN) , b) .

Il est clair que dans cas général pour obtenir des puissances sous le signe du logarithme et dans sa base, diverses transformations peuvent être nécessaires diverses expressions. Donnons quelques exemples.

Exemple.

Quel est le sens de l'expression : a) , b) .

Solution.

Nous notons en outre que l'expression donnée a la forme log A B p , où A=2, B=x+1 et p=4. Nous avons transformé des expressions numériques de ce type selon la propriété du logarithme de la puissance log a b p =p·log a b , donc avec une expression donnée je veux faire de même, et passer de log 2 (x+1) 4 à 4·log 2 (x+1) . Calculons maintenant la valeur de l'expression d'origine et de l'expression obtenue après la transformation, par exemple lorsque x=−2. On a log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , et 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- une expression dénuée de sens. Cela soulève une question logique : « Qu’avons-nous fait de mal ?

Et la raison est la suivante : nous avons effectué la transformation log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , basée sur la formule log a b p =p·log a b , mais cette formule nous n'avons le droit de postuler que si les conditions sont remplies : a>0, a≠1, b>0, p - n'importe quel nombre réel. Autrement dit, la transformation que nous avons effectuée a lieu si x+1>0, ce qui équivaut à x>−1 (pour A et p, les conditions sont remplies). Cependant, dans notre cas, l'ODZ de la variable x pour l'expression originale est constitué non seulement de l'intervalle x>−1, mais aussi de l'intervalle x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

La nécessité de prendre en compte DL

Continuons à analyser la transformation de l'expression que nous avons choisie log 2 (x+1) 4 , et voyons maintenant ce qui arrive à l'ODZ en passant à l'expression 4 · log 2 (x+1) . Dans le paragraphe précédent, nous avons trouvé l'ODZ de l'expression originale - c'est l'ensemble (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Trouvons maintenant la plage de valeurs acceptables de la variable x pour l'expression 4·log 2 (x+1) . Il est déterminé par la condition x+1>0, qui correspond à l'ensemble (−1, +∞). Il est évident qu'en passant de log 2 (x+1) 4 à 4·log 2 (x+1), la plage des valeurs admissibles se rétrécit. Et nous avons convenu d'éviter les transformations qui conduisent à un rétrécissement du DL, car cela peut entraîner diverses conséquences négatives.

Ici, il convient de noter qu'il est utile de contrôler l'OA à chaque étape de la transformation et d'éviter son rétrécissement. Et si soudainement, à un moment donné de la transformation, il y avait un rétrécissement du DL, alors il vaut la peine d'examiner très attentivement si cette transformation est autorisée et si nous avions le droit de la réaliser.

Pour être juste, disons qu'en pratique, nous devons généralement travailler avec des expressions dans lesquelles l'ODZ des variables est telle que, lors de la réalisation de transformations, nous pouvons utiliser les propriétés des logarithmes sans restrictions sous la forme déjà connue, tant de de gauche à droite et de droite à gauche. On s'y habitue vite, et on commence à effectuer des transformations mécaniquement, sans se demander s'il était possible de les réaliser. Et à de tels moments, comme par hasard, des exemples plus complexes apparaissent dans lesquels une application imprudente des propriétés des logarithmes conduit à des erreurs. Il faut donc toujours être vigilant et s'assurer qu'il n'y a pas de rétrécissement de l'ODZ.

Il ne ferait pas de mal de mettre en évidence séparément les principales transformations basées sur les propriétés des logarithmes, qui doivent être effectuées avec beaucoup de soin, ce qui peut conduire à un rétrécissement de la DO, et par conséquent, à des erreurs :

Certaines transformations d'expressions basées sur les propriétés des logarithmes peuvent également conduire à l'inverse : l'expansion de l'ODZ. Par exemple, la transition de 4·log 2 (x+1) à log 2 (x+1) 4 étend l'ODZ de l'ensemble (−1, +∞) à (−∞, −1)∪(−1, +∞) . De telles transformations ont lieu si l'on reste dans le cadre de l'ODZ pour l'expression originelle. Ainsi, la transformation que nous venons de mentionner 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 a lieu sur l'ODZ de la variable x pour l'expression originale 4·log 2 (x+1), c'est-à-dire pour x+1> 0, ce qui équivaut à (−1, +∞).

Maintenant que nous avons discuté des nuances auxquelles vous devez faire attention lors de la transformation d'expressions avec des variables en utilisant les propriétés des logarithmes, il reste à comprendre comment effectuer correctement ces transformations.

X+2>0 . Est-ce que ça marche dans notre cas ? Pour répondre à cette question, regardons l'ODZ de la variable x. Il est déterminé par le système d'inégalités , ce qui équivaut à la condition x+2>0 (si nécessaire, voir l'article résoudre des systèmes d’inégalités). Ainsi, nous pouvons appliquer en toute sécurité la propriété du logarithme de la puissance.

Nous avons
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21·log(x+2)−log(x+2)−20·log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Vous pouvez agir différemment, puisque l'ODZ vous permet de faire cela, par exemple comme ceci :

Répondre:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Mais que faire lorsque les conditions accompagnant les propriétés des logarithmes ne sont pas remplies sur l'ODZ ? Nous comprendrons cela avec des exemples.

Soyons obligés de simplifier l'expression log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . La transformation de cette expression, contrairement à l'expression de l'exemple précédent, ne permet pas d'utiliser librement la propriété du logarithme de la puissance. Pourquoi? L'ODZ de la variable x dans ce cas est l'union de deux intervalles x>−2 et x<−2 . При x>−2 on peut facilement appliquer la propriété du logarithme d'une puissance et agir comme dans l'exemple ci-dessus : log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 · log(x+2)−2 · log(x+2)=2 · log(x+2). Mais l'ODZ contient un intervalle supplémentaire x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 et en outre en raison des propriétés du degré k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. L'expression résultante peut être transformée en utilisant la propriété du logarithme d'une puissance, puisque |x+2|>0 pour toute valeur de la variable. Nous avons journal|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Vous pouvez désormais vous libérer du module, puisqu'il a fait son travail. Puisque l'on effectue la transformation en x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Regardons un autre exemple pour que travailler avec des modules devienne familier. Concevons à partir de l'expression passez à la somme et à la différence des logarithmes des binômes linéaires x−1, x−2 et x−3. On trouve d’abord l’ODZ :

Sur l'intervalle (3, +∞) les valeurs des expressions x−1, x−2 et x−3 sont positives, on peut donc facilement appliquer les propriétés du logarithme de la somme et de la différence :

Et sur l'intervalle (1, 2) les valeurs de l'expression x−1 sont positives, et les valeurs des expressions x−2 et x−3 sont négatives. Par conséquent, sur l'intervalle considéré, nous représentons x−2 et x−3 en utilisant le module comme −|x−2|

et −|x−3|

Nous avons

respectivement. Où

En général, un raisonnement similaire permet, à partir des formules du logarithme du produit, du rapport et du degré, d'obtenir trois résultats pratiquement utiles, assez pratiques à utiliser :

Le logarithme du produit de deux expressions arbitraires X et Y de la forme log a (X·Y) peut être remplacé par la somme des logarithmes log a |X|+log a |Y| , une>0 , une≠1 .
Le logarithme d'une forme particulière log a (X:Y) peut être remplacé par la différence des logarithmes log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X et Y sont des expressions arbitraires.
Du logarithme d'une expression B à une puissance paire p de la forme log a B p on peut passer à l'expression p·log a |B| , où a>0, a≠1, p est un nombre pair et B est une expression arbitraire.

Des résultats similaires sont donnés, par exemple, dans les instructions pour résoudre les exponentielles et équations logarithmiques dans un recueil de problèmes de mathématiques destinés à ceux qui entrent à l'université, édité par M. I. Skanavi.

Exemple.

Simplifier l'expression .

Solution.

Il serait bon d'appliquer les propriétés du logarithme de la puissance, de la somme et de la différence. Mais pouvons-nous faire cela ici ? Pour répondre à cette question, nous devons connaître la DZ.

Définissons-le :

Il est bien évident que les expressions x+4, x−2 et (x+4) 13 dans la plage des valeurs admissibles de la variable x peuvent prendre à la fois des valeurs positives et négatives. Nous devrons donc agir à travers des modules.

Les propriétés du module vous permettent de le réécrire sous la forme , donc

Aussi, rien ne vous empêche d'utiliser la propriété du logarithme d'une puissance, et d'ensuite amener des termes similaires :

Une autre séquence de transformations conduit au même résultat :

et puisque sur l'ODZ l'expression x−2 peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives, alors en prenant un exposant pair 14

propriétés principales.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

motifs identiques

Log6 4 + log6 9.

Maintenant, compliquons un peu la tâche.

Exemples de résolution de logarithmes

Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Bien entendu, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est respectée : a > 0, a ≠ 1, x >

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Transition vers une nouvelle fondation

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Voir également:

Propriétés de base du logarithme

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L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï.

Propriétés de base des logarithmes

Connaissant cette règle, vous saurez et valeur exacte exposants, et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

4. Où .

Exemple 2. Trouver x si

Exemple 3. Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement numéros réguliers, il y a ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème grave ne peut être résolu. problème logarithmique. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Note: moment clé Ici - motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas comptées (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. Beaucoup sont construits sur ce fait papiers de test. Et les contrôles ? expressions similaires très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) sont proposés à l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Il est facile de remarquer que dernière règle suit les deux premiers. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est à dire. Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

je pense à dernier exemple précisions nécessaires. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur.

Formules de logarithme. Exemples de solutions de logarithmes.

Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log2 7. Puisque log2 7 ≠ 0, nous pouvons réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules sont rarement trouvées dans les expressions numériques. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules de transition vers une nouvelle base, le principal identité logarithmique c'est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. Considérant les règles de multiplication des pouvoirs avec la même base, on a:

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n'importe quelle base a de cette base elle-même égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un - logarithme égal à zéro! Parce que a0 = 1 est conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Voir également:

Le logarithme de b en base a désigne l'expression. Calculer le logarithme signifie trouver une puissance x () à laquelle l'égalité est satisfaite

Propriétés de base du logarithme

Il est nécessaire de connaître les propriétés ci-dessus, car presque tous les problèmes et exemples liés aux logarithmes sont résolus sur cette base. Le reste des propriétés exotiques peut être dérivé par des manipulations mathématiques avec ces formules

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Lorsque vous calculez la formule de la somme et de la différence des logarithmes (3.4), vous la rencontrez assez souvent. Le reste est quelque peu complexe, mais dans un certain nombre de tâches, ils sont indispensables pour simplifier des expressions complexes et calculer leurs valeurs.

Cas courants de logarithmes

Certains des logarithmes les plus courants sont ceux dont la base est égale à dix, exponentielle ou deux.
Le logarithme en base dix est généralement appelé logarithme décimal et est simplement noté lg(x).

Il ressort clairement de l’enregistrement que les bases ne sont pas écrites dans l’enregistrement. Par exemple

Un logarithme népérien est un logarithme dont la base est un exposant (noté ln(x)).

L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï. Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Et un autre logarithme important en base deux est noté

La dérivée du logarithme d'une fonction est égale à un divisé par la variable

Le logarithme intégral ou primitive est déterminé par la relation

Le matériel fourni vous suffit pour résoudre une large classe de problèmes liés aux logarithmes et aux logarithmes. Pour vous aider à comprendre le matériel, je vais donner juste quelques exemples courants de programme scolaire et les universités.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

2.
Par la propriété de différence des logarithmes on a

3.
En utilisant les propriétés 3.5, nous trouvons

4. Où .

Par le regard expression complexe l'utilisation d'un certain nombre de règles est simplifiée pour former

Trouver des valeurs de logarithme

Exemple 2. Trouver x si

Solution. Pour le calcul, on applique aux derniers termes 5 et 13 les propriétés

Nous l'enregistrons et pleurons

Puisque les bases sont égales, on assimile les expressions

Logarithmes. Premier niveau.

Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Solution : Prenons un logarithme de la variable pour écrire le logarithme à travers la somme de ses termes

Ce n'est que le début de notre connaissance des logarithmes et de leurs propriétés. Entraînez-vous aux calculs, enrichissez vos compétences pratiques - vous aurez bientôt besoin des connaissances acquises pour résoudre des équations logarithmiques. Après avoir étudié les méthodes de base pour résoudre de telles équations, nous élargirons vos connaissances à un autre sujet tout aussi important : les inégalités logarithmiques...

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - aucun problème logarithmique sérieux ne peut être résolu sans elles. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log6 4 + log6 9.

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, on obtient des nombres tout à fait normaux. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être retiré du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Comment résoudre des logarithmes

C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Transition vers une nouvelle fondation

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

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Commençons avec propriétés du logarithme de un. Sa formulation est la suivante : le logarithme de l'unité est égal à zéro, c'est-à-dire enregistrer un 1=0 pour tout a>0, a≠1. La preuve n'est pas difficile : puisque a 0 =1 pour tout a satisfaisant les conditions ci-dessus a>0 et a≠1, alors l'égalité log a 1=0 à prouver découle immédiatement de la définition du logarithme.

Donnons des exemples d'application de la propriété considérée : log 3 1=0, log1=0 et .

Passons à à la propriété suivante: logarithme du nombre, égal à la base, égal à un, c'est, log a a=1 pour une>0, une≠1. En effet, puisque a 1 =a pour tout a, alors par définition du logarithme log a a=1.

Des exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes sont les égalités log 5 5=1, log 5,6 5,6 et lne=1.

Par exemple, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 et .

Logarithme du produit de deux nombres positifs x et y égal au produit logarithmes de ces nombres : log a (x y)=log a x+log a y, une>0 , une≠1 . Démontrons la propriété du logarithme d'un produit. En raison des propriétés du diplôme un journal a x+log a y =un journal a x ·un journal a y, et puisque par l'identité logarithmique principale un log a x =x et un log a y =y, alors un log a x ·a log a y =x·y. Ainsi, un log a x+log a y =x·y, d'où, par la définition d'un logarithme, découle l'égalité prouvée.

Montrons des exemples d'utilisation de la propriété du logarithme d'un produit : log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 et .

La propriété du logarithme d'un produit peut être généralisée au produit nombre fini n nombres positifs x 1 , x 2 , …, x n comme log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Cette égalité peut être prouvée sans problème.

Par exemple, le logarithme naturel d'un produit peut être remplacé par la somme de trois logarithmes naturels numéros 4 , e , et .

Logarithme du quotient de deux nombres positifs x et y égal à la différence logarithmes de ces nombres. La propriété du logarithme d'un quotient correspond à une formule de la forme , où a>0, a≠1, x et y sont des nombres positifs. La validité de cette formule est prouvée ainsi que celle du logarithme d'un produit : puisque , puis par définition d'un logarithme.

Voici un exemple d'utilisation de cette propriété du logarithme : .

Passons à propriété du logarithme de la puissance. Le logarithme d'un degré est égal au produit de l'exposant et du logarithme du module de la base de ce degré. Écrivons cette propriété du logarithme d'une puissance sous forme de formule : log a b p =p·log a |b|, où a>0, a≠1, b et p sont des nombres tels que le degré b p a du sens et b p >0.

Nous prouvons d’abord cette propriété pour b positif. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors b p =(a log a b) p , et l'expression résultante, en raison de la propriété de puissance, est égale à a p·log a b . On arrive donc à l'égalité b p =a p·log a b, d'où, par la définition d'un logarithme, on conclut que log a b p =p·log a b.

Il reste à prouver cette propriété pour b négatif. Notons ici que l'expression log a b p pour b négatif n'a de sens que pour les exposants pairs p (puisque la valeur du degré b p doit être Au dessus de zéro, sinon le logarithme n'aura aucun sens), et dans ce cas b p =|b| p. Alors bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, d'où log a b p =p·log a |b| .

Par exemple, et ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Il découle de la propriété précédente propriété du logarithme à partir de la racine: le logarithme de la nième racine est égal au produit de la fraction 1/n par le logarithme de l'expression radicale, soit , où a>0, a≠1, n – entier naturel, supérieur à un, b>0.

La preuve est basée sur l'égalité (voir), qui est valable pour tout b positif, et la propriété du logarithme de la puissance : .

Voici un exemple d'utilisation de cette propriété : .

Maintenant, prouvons formule pour passer à une nouvelle base de logarithme taper . Pour ce faire, il suffit de prouver la validité de l'égalité log c b=log a b·log c a. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors log c b=log c a log a b . Il reste à utiliser la propriété du logarithme du degré : journal c a journal a b = journal a b journal c a. Cela prouve l'égalité log c b=log a b·log c a, ce qui signifie que la formule pour passer à une nouvelle base de logarithme a également été prouvée.

Montrons quelques exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes : et .

La formule de passage à une nouvelle base vous permet de passer au travail avec des logarithmes ayant une base « pratique ». Par exemple, avec son aide, vous pouvez passer au naturel ou logarithmes décimaux afin que vous puissiez calculer la valeur du logarithme à partir du tableau des logarithmes. La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet également, dans certains cas, de retrouver la valeur d'un logarithme donné lorsque les valeurs de certains logarithmes avec d'autres bases sont connues.

Utilisé fréquemment cas particulier formules de transition vers une nouvelle base du logarithme avec c=b de la forme . Cela montre que log a b et log b a – . Par exemple, .

La formule est également souvent utilisée , ce qui est pratique pour trouver des valeurs de logarithme. Pour confirmer nos propos, nous montrerons comment il peut être utilisé pour calculer la valeur d'un logarithme de la forme . Nous avons . Pour prouver la formule il suffit d'utiliser la formule de passage à une nouvelle base du logarithme a : .

Reste à prouver les propriétés de comparaison des logarithmes.

Montrons que pour tout nombre positif b 1 et b 2, b 1 log a b 2 , et pour a>1 – l'inégalité log a b 1

Enfin, il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées des logarithmes. Limitons-nous à la preuve de sa première partie, c'est-à-dire que nous prouverons que si a 1 >1, a 2 >1 et a 1 1 est vrai log a 1 b>log a 2 b . Les autres affirmations de cette propriété des logarithmes sont prouvées selon un principe similaire.

Utilisons la méthode inverse. Supposons que pour un 1 >1, un 2 >1 et un 1 1 est vrai log a 1 b≤log a 2 b . Sur la base des propriétés des logarithmes, ces inégalités peuvent être réécrites comme Et respectivement, et il en résulte que log b a 1 ≤log b a 2 et log b a 1 ≥log b a 2, respectivement. Alors, selon les propriétés des puissances de mêmes bases, les égalités b log b a 1 ≥b log b a 2 et b log b a 1 ≥b log b a 2 doivent être vraies, c'est-à-dire a 1 ≥a 2 . Nous sommes donc arrivés à une contradiction avec la condition a 1

Bibliographie.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.

Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).