Dérivée en un point par définition. Dérivée par définition (via limite)

Notes IMPORTANTES!
1. Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Comment faire cela dans votre navigateur est écrit ici :
2. Avant de commencer à lire l'article, faites attention à notre navigateur pour la plupart ressource utile Pour

Imaginons une route droite traversant une zone vallonnée. Autrement dit, il monte et descend, mais ne tourne ni à droite ni à gauche. Si l'axe est dirigé horizontalement le long de la route et verticalement, alors la ligne de route sera très similaire au graphique d'une fonction continue :

L'axe est un certain niveau d'altitude nulle ; dans la vie, nous utilisons le niveau de la mer comme tel.

À mesure que nous avançons sur une telle route, nous montons ou descendons également. On peut aussi dire : lorsque l'argument change (déplacement le long de l'axe des abscisses), la valeur de la fonction change (déplacement le long de l'axe des ordonnées). Réfléchissons maintenant à la façon de déterminer la « raideur » de notre route ? Quel genre de valeur cela pourrait-il représenter ? C'est très simple : à quel point la hauteur va changer en avançant sur une certaine distance. En effet, sur différents tronçons de route, en avançant (le long de l'axe des x) d'un kilomètre, on montera ou descendra de différentes quantités mètres par rapport au niveau de la mer (le long de l'axe des ordonnées).

Notons la progression (lire « delta x »).

La lettre grecque (delta) est couramment utilisée en mathématiques comme préfixe signifiant « changement ». C'est-à-dire - c'est un changement de quantité, - un changement ; alors qu'est-ce que c'est? C'est vrai, un changement d'ampleur.

Important : une expression est un tout unique, une variable. Ne séparez jamais le « delta » du « x » ou de toute autre lettre !

C'est par exemple .

Nous avons donc avancé, horizontalement, de. Si nous comparons la ligne de la route avec le graphique de la fonction, alors comment dénotons-nous la montée ? Certainement, . Autrement dit, à mesure que nous avançons, nous montons plus haut. La valeur est facile à calculer : si au début nous étions en hauteur, et qu'après le déplacement nous nous retrouvions en hauteur, alors. Si point final

s'est avéré inférieur au premier, il sera négatif - cela signifie que nous ne montons pas, mais descendons.

Supposons que sur une section de la route, en avançant d'un kilomètre, la route s'élève d'un kilomètre. Alors la pente à cet endroit est égale. Et si la route, en avançant de m, descendait de km ? Alors la pente est égale.

Regardons maintenant le sommet d'une colline. Si vous prenez le début du tronçon un demi-kilomètre avant le sommet et la fin un demi-kilomètre après, vous constaterez que la hauteur est presque la même.

Autrement dit, selon notre logique, il s'avère que la pente ici est presque égale à zéro, ce qui n'est clairement pas vrai. Sur une distance de quelques kilomètres, beaucoup de choses peuvent changer. Il est nécessaire de considérer des zones plus petites pour une évaluation plus adéquate et plus précise de la pente. Par exemple, si vous mesurez le changement de hauteur lorsque vous vous déplacez d’un mètre, le résultat sera beaucoup plus précis. Mais même cette précision peut ne pas nous suffire - après tout, s'il y a un poteau au milieu de la route, nous pouvons simplement le dépasser. Quelle distance choisir alors ? Centimètre? Millimètre? Moins c'est mieux !

DANS vrai vie Mesurer les distances au millimètre près est largement suffisant. Mais les mathématiciens recherchent toujours la perfection. Le concept a donc été inventé infinitésimal, c’est-à-dire que la valeur absolue est inférieure à n’importe quel nombre que nous pouvons nommer. Par exemple, vous dites : un billionième ! Combien moins ? Et vous divisez ce nombre par - et ce sera encore moins. Et ainsi de suite. Si on veut écrire qu’une quantité est infinitésimale, on écrit ainsi : (on lit « x tend vers zéro »). Il est très important de comprendre que ce nombre n'est pas nul ! Mais très proche. Cela signifie que vous pouvez diviser par cela.

Le concept opposé à infinitésimal est infiniment grand (). Vous l'avez probablement déjà rencontré lorsque vous travailliez sur les inégalités : ce nombre est modulo supérieur à tous les nombres auxquels vous pouvez penser. Si tu avais trouvé le plus gros numéros possibles, multipliez-le simplement par deux et vous obtenez encore plus. Et l'infini encore En outre que va-t-il se passer. En fait, l'infiniment grand et l'infiniment petit sont l'inverse l'un de l'autre, c'est-à-dire at, et vice versa : at.

Revenons maintenant à notre route. La pente idéalement calculée est la pente calculée pour un segment infinitésimal du chemin, soit :

Je constate qu'avec un déplacement infinitésimal, le changement de hauteur sera également infinitésimal. Mais laissez-moi vous rappeler qu'infinitésimal ne veut pas dire égal à zéro. Si vous divisez des nombres infinitésimaux les uns par les autres, vous pouvez obtenir tout à fait numéro régulier, Par exemple, . Autrement dit, une petite valeur peut être exactement plusieurs fois supérieure à une autre.

A quoi ça sert tout ça ? La route, la pente... Nous ne participons pas à un rallye automobile, mais nous enseignons les mathématiques. Et en mathématiques, tout est exactement pareil, seulement appelé différemment.

Notion de dérivé

La dérivée d'une fonction est le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument.

Progressivement en mathématiques, ils appellent le changement. La mesure dans laquelle l'argument () change à mesure qu'il se déplace le long de l'axe est appelée incrément d'argument et est désigné dans quelle mesure la fonction (hauteur) a changé lors du déplacement vers l'avant le long de l'axe d'une distance est appelé. incrément de fonction et est désigné.

Ainsi, la dérivée d’une fonction est le rapport au quand. On note la dérivée par la même lettre que la fonction, seulement avec un nombre premier en haut à droite : ou simplement. Écrivons donc la formule dérivée en utilisant ces notations :

Comme dans l'analogie avec la route, ici lorsque la fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu'elle diminue, elle est négative.

La dérivée peut-elle être égale à zéro ? Certainement. Par exemple, si nous roulons sur une route horizontale et plate, la pente est nulle. Et c’est vrai, la hauteur ne change pas du tout. Idem avec la dérivée : dérivée fonction constante(constantes) est égal à zéro :

puisque l'incrément d'une telle fonction est égal à zéro pour tout.

Rappelons-nous l'exemple du sommet d'une colline. Il s'est avéré qu'il était possible de disposer les extrémités du segment le long différents côtés du haut, pour que la hauteur aux extrémités soit la même, c'est-à-dire que le segment soit parallèle à l'axe :

Mais de grands segments sont le signe d’une mesure inexacte. Nous élèverons notre segment parallèlement à lui-même, puis sa longueur diminuera.

Finalement, lorsque nous serons infiniment proches du sommet, la longueur du segment deviendra infinitésimale. Mais en même temps, il reste parallèle à l'axe, c'est-à-dire que la différence de hauteur à ses extrémités est égale à zéro (elle ne tend pas vers, mais est égale à). Donc la dérivée

Cela peut être compris ainsi : lorsque nous nous trouvons tout en haut, un petit déplacement vers la gauche ou la droite modifie de manière négligeable notre hauteur.

Il existe aussi une explication purement algébrique : à gauche du sommet la fonction augmente, et à droite elle diminue. Comme nous l’avons découvert précédemment, lorsqu’une fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu’elle diminue, elle est négative. Mais cela change en douceur, sans sauts (puisque la route ne change brusquement de pente nulle part). Il doit donc y avoir une différence entre les valeurs négatives et positives. Ce sera là où la fonction n'augmente ni ne diminue - au point sommet.

Il en va de même pour le creux (la zone où la fonction à gauche diminue et à droite augmente) :

Un peu plus sur les incréments.

Nous changeons donc l’argument en grandeur. On change à partir de quelle valeur ? Qu’est-il devenu (l’argument) maintenant ? Nous pouvons choisir n'importe quel point, et maintenant nous allons danser à partir de là.

Considérons un point avec une coordonnée. La valeur de la fonction qu'il contient est égale. Ensuite on fait le même incrément : on augmente la coordonnée de. Quel est l’argument maintenant ? Très facile: . Quelle est la valeur de la fonction maintenant ? Là où va l’argument, la fonction aussi : . Qu'en est-il de l'incrément de fonction ? Rien de nouveau : c'est toujours l'ampleur de l'évolution de la fonction :

Entraînez-vous à trouver des incréments :

1. Recherchez l'incrément de la fonction à un point où l'incrément de l'argument est égal à.
2. Il en va de même pour la fonction en un point.

Solutions:

DANS différents points avec le même incrément d'argument, l'incrément de fonction sera différent. Cela signifie que la dérivée en chaque point est différente (nous en avons discuté au tout début - la pente de la route est différente en différents points). Ainsi, lorsque l’on écrit une dérivée, il faut indiquer à quel moment :

Fonction de puissance.

Une fonction puissance est une fonction dont l’argument est dans une certaine mesure (logique, n’est-ce pas ?).

De plus - dans une certaine mesure : .

Le cas le plus simple- c'est alors que l'exposant :

Trouvons sa dérivée en un point. Rappelons la définition d'une dérivée :

L’argument change donc de à. Quel est l'incrément de la fonction ?

L'incrément, c'est ça. Mais une fonction est en tout point égale à son argument. C'est pourquoi:

La dérivée est égale à :

La dérivée de est égale à :

b) Considérons maintenant la fonction quadratique () : .

Maintenant, rappelons-le. Cela signifie que la valeur de l'incrément peut être négligée, puisqu'elle est infinitésimale, et donc insignifiante par rapport à l'autre terme :

Nous avons donc proposé une autre règle :

c) On continue la série logique : .

Cette expression peut être simplifiée de différentes manières : ouvrez la première parenthèse en utilisant la formule de multiplication abrégée du cube de la somme, ou factorisez l'expression entière en utilisant la formule de différence des cubes. Essayez de le faire vous-même en utilisant l'une des méthodes suggérées.

J'ai donc obtenu ceci :

Et encore une fois, rappelons-le. Cela signifie que l'on peut négliger tous les termes contenant :

On a: .

d) Des règles similaires peuvent être obtenues pour les grandes puissances :

e) Il s’avère que cette règle peut être généralisée à fonction de puissance avec un exposant arbitraire, pas même un entier :

La règle peut être formulée ainsi : « le diplôme est avancé sous forme de coefficient, puis diminué de . »

Nous prouverons cette règle plus tard (presque à la toute fin). Voyons maintenant quelques exemples. Trouvez la dérivée des fonctions :

1. (de deux manières : par formule et en utilisant la définition de dérivée - en calculant l'incrément de la fonction) ;

Fonctions trigonométriques.

Ici, nous utiliserons un fait issu des mathématiques supérieures :

Avec expression.

Vous en apprendrez la preuve dès la première année d'institut (et pour y arriver, vous devez réussir l'examen d'État unifié). Maintenant, je vais juste le montrer graphiquement :

Nous voyons que lorsque la fonction n'existe pas, le point sur le graphique est coupé. Mais plus la valeur est proche, plus la fonction est proche de ce qui « vise ».

De plus, vous pouvez vérifier cette règle à l'aide d'une calculatrice. Oui, oui, ne soyez pas timide, prenez une calculatrice, nous n'en sommes pas encore à l'examen d'État unifié.

Alors, essayons : ;

N'oubliez pas de passer votre calculatrice en mode Radians !

etc. On voit que moins, plus valeur plus proche Relation avec

a) Considérons la fonction. Comme d'habitude, trouvons son incrément :

Transformons la différence des sinus en un produit. Pour ce faire, nous utilisons la formule (rappelez-vous le sujet « ») : .

Maintenant la dérivée :

Faisons un remplacement : . Alors pour infinitésimal c'est aussi infinitésimal : . L'expression pour prend la forme :

Et maintenant, nous nous en souvenons avec l'expression. Et aussi, que se passerait-il si une quantité infinitésimale pouvait être négligée dans la somme (c'est-à-dire at).

Nous obtenons donc règle suivante:la dérivée du sinus est égale au cosinus:

Ce sont des dérivés basiques (« tabulaires »). Les voici dans une seule liste :

Plus tard, nous leur en ajouterons quelques autres, mais ce sont les plus importants, car ils sont les plus souvent utilisés.

Pratique:

1. Trouver la dérivée de la fonction en un point ;
2. Trouvez la dérivée de la fonction.

Solutions:

Exposant et logarithme népérien.

Il existe une fonction en mathématiques dont la dérivée pour toute valeur est à la fois égale à la valeur de la fonction elle-même. C'est ce qu'on appelle « exposant » et c'est une fonction exponentielle.

La base de cette fonction est une constante - elle est infinie décimal, c'est-à-dire un nombre irrationnel (tel que). On l'appelle le « nombre d'Euler », c'est pourquoi il est désigné par une lettre.

Donc la règle :

Très facile à retenir.

Bon, n'allons pas loin, regardons ça tout de suite fonction inverse. Quelle fonction est l'inverse de fonction exponentielle? Logarithme:

Dans notre cas, la base est le nombre :

Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé « naturel », et nous utilisons pour cela une notation spéciale : nous l'écrivons à la place.

A quoi est-ce égal ? Bien sûr, .

La dérivée du logarithme népérien est également très simple :

Exemples:

1. Trouvez la dérivée de la fonction.
2. Quelle est la dérivée de la fonction ?

Réponses: Exposant et un algorithme naturel- les fonctions sont particulièrement simples en termes de dérivées. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec toute autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après passons en revue les règles différenciation.

Règles de différenciation

Des règles de quoi ? Encore un nouveau terme, encore ?!...

Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.

C'est tout. Comment pouvez-vous appeler ce processus en un mot ? Pas dérivé... Les mathématiciens appellent la différentielle le même incrément d'une fonction à. Ce terme vient du latin différentia – différence. Ici.

Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :

Il y a 5 règles au total.

La constante est soustraite du signe dérivé.

Si quelques nombre constant(constant), alors.

Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence : .

Prouvons-le. Laissez-le être, ou plus simple.

Exemples.

Trouvez les dérivées des fonctions :

1. à un moment donné ;
2. à un moment donné ;
3. à un moment donné ;
4. à ce point.

Solutions:

Dérivé du produit

Tout est similaire ici : introduisons une nouvelle fonction et trouvons son incrément :

Dérivé:

Exemples:

1. Trouver les dérivées des fonctions et ;
2. Trouvez la dérivée de la fonction en un point.

Solutions:

Dérivée d'une fonction exponentielle

Vos connaissances sont désormais suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement les exposants (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).

Alors, où est un certain nombre.

Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc d'amener notre fonction à une nouvelle base :

Pour cela nous utiliserons règle simple: . Alors:

Eh bien, ça a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.

Arrivé?

Ici, vérifiez vous-même :

La formule s'est avérée très similaire à la dérivée d'un exposant : telle qu'elle était, elle reste la même, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.

Exemples:
Trouvez les dérivées des fonctions :

Réponses:

Dérivée d'une fonction logarithmique

C’est pareil ici : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :

Par conséquent, pour trouver un logarithme arbitraire avec une base différente, par exemple :

Nous devons réduire ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :

Seulement maintenant, nous écrirons à la place :

Le dénominateur est simplement une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée s’obtient très simplement :

Les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques ne sont presque jamais trouvées dans l'examen d'État unifié, mais il ne sera pas superflu de les connaître.

Dérivée d'une fonction complexe.

Qu'est-ce qu'une « fonction complexe » ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arctangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (même si si vous trouvez le logarithme difficile, lisez le sujet « Logarithmes » et tout ira bien), mais d'un point de vue mathématique, le mot « complexe » ne signifie pas « difficile ».

Imaginez un petit tapis roulant : deux personnes sont assises et effectuent des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Le résultat est un objet composite : une barre de chocolat enveloppée et nouée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, il faut faire les étapes inverses ordre inverse.

Créons un pipeline mathématique similaire : nous trouverons d'abord le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre obtenu. Donc, on nous donne un nombre (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis vous mettez au carré ce que j'ai obtenu (nouez-le avec un ruban). Ce qui s'est passé? Fonction. Ceci est un exemple fonction complexe: quand, pour trouver sa valeur, on effectue la première action directement avec la variable, puis une deuxième action avec ce qui résulte de la première.

On peut facilement faire les mêmes étapes dans l'ordre inverse : d'abord on le met au carré, puis je cherche le cosinus du nombre obtenu : . Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Caractéristique importante fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.

Autrement dit, une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .

Pour le premier exemple, .

Deuxième exemple : (même chose). .

L'action que nous faisons en dernier sera appelée fonction "externe", et l'action effectuée en premier - en conséquence fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).

Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle interne :

Réponses: La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification de variables : par exemple, dans une fonction

Nous changeons les variables et obtenons une fonction.

Eh bien, maintenant nous allons extraire notre barre de chocolat et chercher le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d’abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Appliqué à exemple originalça ressemble à ça :

Un autre exemple:

Alors, formulons enfin la règle officielle :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

Cela semble simple, non ?

Vérifions avec des exemples :

DÉRIVÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Dérivée d'une fonction- le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument :

Dérivés de base :

Règles de différenciation :

La constante est soustraite du signe dérivé :

Dérivée de la somme :

Dérivé du produit :

Dérivée du quotient :

Dérivée d'une fonction complexe :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

1. Nous définissons la fonction « interne » et trouvons sa dérivée.
2. Nous définissons la fonction « externe » et trouvons sa dérivée.
3. Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

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Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation, gagnent bien plus que ceux qui ne l’ont pas reçu. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce qu'il y a beaucoup plus d'ouverture devant eux plus de possibilités et la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

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Introduisons deux nouvelles définitions. Si? tend vers zéro, en ne prenant que des valeurs positives, alors la limite du rapport

(s'il existe) s'appelle dérivé droit ou dérivé droit de la fonction ѓ() au point ?, et si ? tend vers zéro, en prenant seulement valeurs négatives, alors la limite du même rapport (s'il existe) est dérivée gauche ou dérivée gauche. La dérivée de droite est désignée par un symbole et la dérivée de gauche est symbolisée.

Si la dérivée de droite et la dérivée de gauche sont égales, alors la fonction a évidemment une dérivée au point 0 au sens habituel du terme.

La plupart exemples simples les fonctions qui ont à un moment donné des dérivées droite et gauche qui ne coïncident pas les unes avec les autres nous donnent des fonctions dont les graphiques sont des lignes brisées.

En fait, soit 1, 2, ..., k, ..., s un certain nombre de points différents sur l'axe. Construisons une ligne brisée pour que ses sommets aient des abscisses égales à x 1, 2, ..., k, ..., s (Fig. 12). La fonction ѓ(), dont le graphique est cette ligne brisée *), n'a pas de dérivée aux points 1, 2, …, k, …, s.

*) Évidemment, chaque ligne droite perpendiculaire à l'axe Ox coupe la ligne brisée en au plus un point, et la ligne brisée est un graphique d'une fonction à valeur unique.

Pour le prouver, considérons un point Q d'abscisse k. Le graphique de la fonction au voisinage de ce point a la forme montrée sur la Fig. 13.

Pour toute droite, la sécante en un certain point, et, par conséquent, la tangente (comme position limite de cette sécante), coïncide avec la droite elle-même ; Cela signifie que l'angle de la sécante, et, par conséquent, la tangente à la droite avec l'axe, est le même que l'angle de la droite elle-même avec l'axe des x.

Notons l'angle de la droite AQ avec l'axe par b et l'angle de la droite QB avec l'axe par c. On trace une sécante passant par le point Q et les points M 1 et M 2 situés à gauche et à droite de Q. La sécante gauche coïncide avec la droite AQ, et celle de droite coïncide avec la droite QB.

Il est clair que si l'on considère Q comme point de contact, alors la sécante aura deux positions limites, ou, comme on le dit parfois, la courbe en ce point aura tangente droite, coïncidant avec la ligne QB, et tangente gauche, coïncidant avec la ligne AQ. L'angle entre l'axe et la tangente gauche est évidemment égal à b, et l'angle entre l'axe et la tangente droite est égal à c. Puisque b et c sont différents, alors

Ainsi, au point Q notre droite n'a pas de tangente définie, et puisque la dérivée est égale à la tangente de l'angle de la tangente avec l'axe, alors la dérivée de gauche n'est pas égale à la dérivée de droite et fait n'existe pas au point Q.

Regardons un autre exemple de fonctions avec des dérivées différentes à gauche et à droite. Supposons que nous devions trouver la dérivée d'une fonction

La fonction est évidemment définie dans l'intervalle -1???+1. Son graphique est présenté sur la Fig. 14. La courbe se termine aux points M(-1, +1) et N(+1, +1), puisque pour ||>1 la fonction n'est pas définie.

Trouvez la dérivée au point x :

En supposant x=0, on trouve la valeur de la dérivée au point O(0, 0) :

Pour trouver la limite, on multiplie le numérateur et le dénominateur par

Puisque la valeur arithmétique (positive) est considérée racine carrée, alors 2 =?, si?x>0, mais 2 =-?, si?<0.

Donc, si ?>0, alors

et si?<0, то

On voit que la dérivée de gauche n'est pas égale à la dérivée de droite, et donc notre fonction n'a pas de dérivée. Le point (0, 0) est le point d'angle auquel la courbe n'a pas de tangente définie.

Notion de dérivé

Laissez la fonction F(X) est défini sur un certain intervalle X. Donnons la valeur de l'argument au point X 0 X incrément arbitraire Δ X de sorte que le point x0 + Δ X appartenait également à X. Puis le correspondant incrément de la fonction f(x) sera Δ à = F(x0 + Δ X) - F(x0).

Définition 1.Dérivée de la fonction f(x)à ce point x0 est appelée la limite du rapport de l'incrément de la fonction en ce point à l'incrément de l'argument en Δ X 0 (si cette limite existe).

Pour désigner la dérivée d'une fonction, on utilise les symboles ouais (x0) ou F‘(x0):

Si à un moment donné x0 la limite (4.1) est infinie :

alors ils disent ça au point x0 fonction F(X) Il a dérivée infinie.

Si la fonction F(X) a une dérivée en chaque point de l'ensemble X, alors la dérivée f"(x) est également fonction de l'argument X, défini sur X.

Pour clarifier la signification géométrique de la dérivée, nous devons déterminer la tangente au graphique de la fonction en un point donné.

Définition 2.Tangente au graphique de la fonction y = f(X) au point M M.N., quand est le but N tend vers un point M le long de la courbe F(X).

Laissons le point M sur la courbe F(X) correspond à la valeur de l'argument x0, et pointez N- valeur de l'argumentation x0 + Δ X(Fig. 4.1). De la définition d'une tangente il résulte que pour son existence en un point x0 il faut qu'il y ait une limite qui égal à l'angle inclinaison de la tangente à l'axe Oh. Du triangle M.N.A. il s'ensuit que

Si la dérivée de la fonction F(X) au point x0 existe, alors d’après (4.1), on obtient

De là découle une conclusion claire selon laquelle dérivé f‘(x0) égal au coefficient angulaire (tangente de l'angle d'inclinaison à la direction positive de l'axe Ox) de la tangente au graphique de la fonction y = F(X)V pointM(x0, F(x0)). Dans ce cas, l'angle de la tangente est déterminé à partir de la formule (4.2) :

Signification physique dérivé

Supposons que la fonction l = f(t) décrit la loi du mouvement d'un point matériel en ligne droite comme dépendance au chemin je de temps t. Alors la différence Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - est le chemin parcouru pendant l'intervalle de temps Δ t, et le rapport Δ je/Δ t- vitesse moyenne dans le temps Δ t. Alors la limite définit vitesse de point instantanéeà un moment donné t comme la dérivée du chemin par rapport au temps.

Dans un certain sens, la dérivée de la fonction à = f(x) peut également être interprété comme le taux de changement d'une fonction : plus la valeur est grande F‘(X), plus l'angle d'inclinaison de la tangente à la courbe est grand, plus le graphique est raide F(X) et la fonction se développe plus rapidement.

Dérivées droite et gauche

Par analogie avec les concepts de limites unilatérales d'une fonction, les concepts de dérivées droite et gauche d'une fonction en un point sont introduits.

Définition 3.Droite gauche) dérivée d'une fonction à = f(x)à ce point x0 est appelée la limite droite (gauche) de la relation (4.1) pour Δ X 0 si cette limite existe.

Le symbolisme suivant est utilisé pour désigner les dérivées unilatérales :

Si la fonction F(X) a au point x0 dérivée, alors il a des dérivées gauche et droite à ce stade, qui coïncident.

Donnons un exemple d'une fonction qui a des dérivées unilatérales en un point qui ne sont pas égales les unes aux autres. Ce F(X) = |X|. En effet, au moment x = 0 nous avons f' +(0) = 1, F' -(0) = -1 (Fig. 4.2) et f' +(0) ≠ f' —(0), c'est-à-dire la fonction n'a pas de dérivée en X = 0.

L'opération consistant à trouver la dérivée d'une fonction s'appelle différenciation; une fonction qui a une dérivée en un point s'appelle différentiable.

Le lien entre différentiabilité et continuité d'une fonction en un point est établi par le théorème suivant.

THÉORÈME 1 . Si une fonction est dérivable en un point x 0, alors elle est continue en ce point.

L'inverse n'est pas vrai : fonction F(X), continue en un point, peut ne pas avoir de dérivée en ce point. Un tel exemple est la fonction à = |X|; c'est continu en un point X= 0, mais n'a pas de dérivée à ce stade.

Ainsi, l’exigence de différentiabilité d’une fonction est plus forte que l’exigence de continuité, puisque la seconde découle automatiquement de la première.

Équation de la tangente au graphique d'une fonction en un point donné

Comme indiqué dans la section 3.9, l'équation d'une droite passant par un point M(x0, oui 0) Avec pente k ressemble à

Soit la fonction donnée à = F(X). Puis puisque son dérivé à un moment donné M(x0, oui 0) est la pente de la tangente au graphique de cette fonction au point M, alors il s'ensuit que l'équation de la tangente au graphique de la fonction F(X) à ce stade a la forme

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y est une fonction y = y(x)
C = constante, la dérivée (y’) de la constante est 0

y = C => y’ = 0

exemple : y = 5, y’ = 0

Si y est une fonction de type y = x n, la formule de la dérivée est :

y = x n => y’ = nx n-1

exemple : y = x 3 y’ = 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y’ = -3x -4

A partir de la formule ci-dessus, nous pouvons dire que pour la dérivée y' de la fonction y = x = x 1 :

si y = x alors y'=1

y = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) …=>
y' = f' 1 (x) + f' 2 (x) + f' 3 (x) ...

Cette formule représente la dérivée d'une fonction, qui est la somme des fonctions.
Exemple : Si nous avons deux fonctions f(x) = x 2 + x + 1 et g(x) = x 5 + 7 et y = f(x) + g(x) alors y' = f"(x) + g"(x) => y' = (x 2 + x + 1)' + (x 5 + 7)' = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1

Si une fonction est le produit de deux fonctions, la formule dérivée ressemble à ceci :

y = f(x).g(x) => y’ = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)

Si f(x) = C(C est constant) et y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g"(x) = 0 + C.g"(x) = C.g"(x)

y = Cf(x) => y’ = C.f"(x)

Formules de calcul de la dérivée

y = ln x => y’ = 1 / x

y = e x => y’ = e x

y = péché x => y’ = cos x

y = cos x => y’ = -sin x

y = tan x => y’ = 1 / cos 2 x

y = ctg x => y’ = - 1 / péché 2 x

RÉPONDRE: nous avons deux fonctions h(x) = x 10 et g(x) = 4,15 + cos x
la fonction f(x) est h(x) divisé par g(x).

Calcul différentiel des fonctions

h"(x) = 10x 9 g"(x) = 0 — péché x = -péché x

En savoir plus sur les dérivées sur les pages du forum mathématique

Forum sur les produits dérivés

Qu'est-ce qu'un dérivé

Notion de dérivé

Dérivé - la notion la plus importante analyse mathematique. Il caractérise le changement de fonction de l'argument Xà un moment donné. De plus, la dérivée elle-même est fonction de l’argument X

Dérivée d'une fonction en un point est la limite (si elle existe et est finie) du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, à condition que ce dernier tende vers zéro.

Les plus couramment utilisés sont les suivants notation dérivée :

Exemple 1. Prendre l'avantage définition du dérivé, trouver la dérivée de la fonction

Solution. De la définition de la dérivée découle le schéma suivant pour son calcul.

Donnons à l'argument un incrément (delta) et trouvons l'incrément de la fonction :

Trouvons le rapport entre l'incrément de fonction et l'incrément d'argument :

Calculons la limite de ce rapport à condition que l'incrément de l'argument tende vers zéro, c'est-à-dire la dérivée requise dans l'énoncé du problème :

Signification physique du dérivé

À concept de dérivé dirigée par l'étude du droit de Galileo Galilei chute libre corps, et plus encore dans un sens large— problèmes de vitesse instantanée d'un objet non uniforme mouvement rectiligne points.

Cependant, le mouvement d’un corps en chute libre est clairement inégal. Vitesse v la chute est en constante augmentation. Et la vitesse moyenne ne suffit plus à caractériser la vitesse de déplacement sur les différents tronçons du parcours. Cette caractéristique est d'autant plus précise que moins d'écart temps

Dérivée d'une fonction

Par conséquent, le concept suivant est introduit : vitesse instantanée du mouvement rectiligne (ou vitesse en ce moment temps t) est appelée limite de vitesse moyenne à :

(à condition que cette limite existe et soit finie).

Il s'avère donc que Vitesse instantanée est la limite du rapport d'incrémentation de la fonction s(t) à l'incrément d'argument tà C'est la dérivée qui, dans vue générale s'écrit ainsi :

.

La solution au problème indiqué est signification physique du dérivé . Donc la dérivée de la fonction y = f(X) au point X s'appelle la limite (si elle existe et est finie) de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument, à condition que ce dernier tende vers zéro.

Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. De la définition de la dérivée découle le schéma suivant pour son calcul.

Étape 1. Incrémentons l'argument et trouvons

Étape 2. Recherchez l'incrément de la fonction :

Étape 3. Trouvez le rapport entre l'incrément de fonction et l'incrément d'argument :

Étape 4. Calculez la limite de ce rapport en , c'est-à-dire la dérivée :

Vous n'avez pas le temps d'approfondir la solution ? Vous pouvez commander un travail !

Signification géométrique de la dérivée

Si existe

puis une droite avec un coefficient angulaire

le passage par le point est appelé position limite de la sécante Mà (ou à ).

Tangente au graphique d'une fonction en un point M appelée position limite de la sécante Mà , ou, ce qui est le même à .

De la définition il résulte que pour l'existence d'une tangente il suffit qu'il y ait une limite

,

et la limite est égale à l'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe.

Maintenant donnons définition précise tangente.

Tangente au graphique d'une fonction en un point est une droite passant par le point et ayant une pente, c'est-à-dire droite dont l'équation

De cette définition il résulte que dérivée d'une fonction est égal à la pente de la tangente au graphique de cette fonction au point en abscisse X. C'est signification géométrique dérivé:

où est l'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe des abscisses, c'est-à-dire pente tangente.

Exemple 3. Trouvez la dérivée de la fonction et la valeur de cette dérivée en .

Solution. Utilisons le schéma donné dans l'exemple 1.

L'expression sous le signe limite n'est pas définie à (incertitude de la forme 0/0), on la transforme donc en supprimant l'irrationalité au numérateur puis en réduisant la fraction :

Trouvons la valeur de la dérivée à :

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Faites le test sur le thème Dérivée, différentielle et leur application

L’ensemble du bloc « Dérivé »

Cette connaissance vous permettra de :

— comprendre l'essence des tâches simples avec des dérivés ;

— résoudre avec succès ces mêmes problèmes tâches difficiles;

— se préparer à des cours plus sérieux sur les produits dérivés.

Tout d'abord, une agréable surprise.)

La définition stricte de la dérivée repose sur la théorie des limites et la chose est assez compliquée. C'est bouleversant. Mais l'application pratique des dérivés, en règle générale, ne nécessite pas des connaissances aussi étendues et approfondies !

Pour réussir la plupart des tâches à l'école et à l'université, il suffit de savoir juste quelques termes- comprendre la tâche, et juste quelques règles- pour le résoudre. C'est tout. Ceci me rend heureux.

Commençons par faire connaissance ?)

Termes et désignations.

Il existe de nombreuses opérations mathématiques différentes en mathématiques élémentaires. Addition, soustraction, multiplication, exponentiation, logarithme, etc. Si vous ajoutez une opération supplémentaire à ces opérations, les mathématiques élémentaires deviennent plus élevées. Cette nouvelle opération s'appelle différenciation. La définition et la signification de cette opération seront discutées dans des leçons séparées.

Il est important de comprendre ici que la différenciation est simplement opération mathématique sur la fonction. Nous prenons n'importe quelle fonction et, selon Certaines règles, transformez-le. Le résultat sera nouvelle fonctionnalité. Cette nouvelle fonction s'appelle : dérivé.

Différenciation— action sur une fonction.

Dérivé- le résultat de cette action.

Tout comme, par exemple, somme est le résultat de l'addition. Ou privé- le résultat de la division.

Connaissant les termes, vous pouvez au moins comprendre les tâches.) Les formulations sont les suivantes : trouver la dérivée d'une fonction ; prenons la dérivée ; différencier la fonction ; calculer la dérivée et ainsi de suite. C'est tout même. Bien entendu, il existe également des tâches plus complexes, dans lesquelles la recherche de la dérivée (différenciation) ne sera qu'une des étapes de la résolution du problème.

La dérivée est indiquée par un tiret en haut à droite de la fonction. Comme ça: vous ou f"(x) ou St) et ainsi de suite.

En lisant igrek coup, ef coup de x, es coup de te, eh bien, tu comprends...)

Un nombre premier peut également indiquer la dérivée d'une fonction particulière, par exemple : (2x+3)', (X 3 )’ , (péché)' etc.

Les dérivées sont souvent notées à l'aide de différentielles, mais nous ne considérerons pas une telle notation dans cette leçon.

Supposons que nous ayons appris à comprendre les tâches. Il ne reste plus qu'à apprendre à les résoudre.) Je vous le rappelle encore une fois : trouver la dérivée est transformation d'une fonction selon certaines règles.Étonnamment, ces règles sont très peu nombreuses.

Pour trouver la dérivée d’une fonction, il suffit de connaître trois choses. Trois piliers sur lesquels repose toute différenciation. Voici ces trois piliers :

1. Tableau des dérivées (formules de différenciation).

2. Règles de différenciation.

3. Dérivée d'une fonction complexe.

Commençons dans l'ordre. Dans cette leçon, nous examinerons le tableau des dérivées.

Tableau des dérivés.

Dans le monde - ensemble infini les fonctions. Parmi cette variété, certaines fonctions sont les plus importantes pour application pratique. Ces fonctions se retrouvent dans toutes les lois de la nature. A partir de ces fonctions, comme à partir de briques, on peut construire toutes les autres. Cette classe de fonctions est appelée fonctions élémentaires. Ce sont ces fonctions qui sont étudiées à l'école - linéaire, quadratique, hyperbole, etc.

Différenciation des fonctions « from scratch », c'est-à-dire Basé sur la définition de la dérivée et la théorie des limites, c'est une chose qui demande beaucoup de travail. Et les mathématiciens sont aussi des gens, oui, oui !) Alors ils ont simplifié leur vie (et celle de nous). Ils ont calculé avant nous les dérivées des fonctions élémentaires. Le résultat est un tableau de dérivées, où tout est prêt.)

La voici, cette plaque pour les fonctions les plus populaires. Gauche - fonction élémentaire, à droite se trouve sa dérivée.

Je recommande de prêter attention au troisième groupe de fonctions dans ce tableau de dérivées. La dérivée d’une fonction puissance est l’une des formules les plus courantes, sinon la plus courante ! Comprenez-vous l'indice ?) Oui, il est conseillé de connaître le tableau des dérivées par cœur. Soit dit en passant, ce n'est pas aussi difficile qu'il y paraît. Essayez de décider plus d'exemples, la table elle-même restera dans les mémoires !)

Comme vous le comprenez, trouver la valeur de table de la dérivée n'est pas la tâche la plus difficile. Par conséquent, très souvent, de telles tâches nécessitent des puces supplémentaires. Soit dans le libellé de la tâche, soit dans la fonction originale, qui ne semble pas être dans le tableau...

Regardons quelques exemples :

1. Trouvez la dérivée de la fonction y = x 3

Il n'y a pas une telle fonction dans le tableau. Mais il existe une dérivée d'une fonction puissance sous forme générale (troisième groupe). Dans notre cas n=3. Nous substituons donc trois au lieu de n et notons soigneusement le résultat :

(X 3) ' = 3x 3-1 = 3x 2

C'est ça.

Répondre: y' = 3x 2

2. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction y = sinx au point x = 0.

Cette tâche signifie que vous devez d'abord trouver la dérivée du sinus, puis substituer la valeur x = 0 dans ce dérivé même. Exactement dans cet ordre ! Sinon, il arrive qu'ils substituent immédiatement zéro dans la fonction d'origine... On nous demande de trouver non pas la valeur de la fonction d'origine, mais la valeur son dérivé. Permettez-moi de vous rappeler que la dérivée est une nouvelle fonction.

A l'aide de la tablette on trouve le sinus et la dérivée correspondante :

y' = (péché x)' = cosx

Nous substituons zéro dans la dérivée :

y"(0) = cos 0 = 1

Ce sera la réponse.

3. Différencier la fonction :

Quoi, ça inspire ?) Une telle fonction n'existe pas dans le tableau des dérivées.

Je vous rappelle que différencier une fonction, c'est simplement trouver la dérivée de cette fonction. Si vous oubliez la trigonométrie élémentaire, rechercher la dérivée de notre fonction est assez fastidieux.

Définitions et concepts dérivés et de base.

Le tableau n'aide pas...

Mais si nous voyons que notre fonction est cosinus double angle , alors tout s'améliore tout de suite !

Oui oui! N'oubliez pas que transformer la fonction d'origine avant différenciation tout à fait acceptable ! Et cela rend la vie beaucoup plus facile. En utilisant la formule du cosinus à double angle :

Ceux. notre fonction délicate n'est rien de plus que y = cosx. Et ça - fonction de table. On obtient immédiatement :

Répondre: y' = - péché x.

Exemple pour les diplômés avancés et les étudiants :

4. Trouvez la dérivée de la fonction :

Bien entendu, une telle fonction n’existe pas dans le tableau des dérivées. Mais si tu te souviens mathématiques de base, actions avec degrés... Il est tout à fait possible de simplifier cette fonction. Comme ça:

Et x à la puissance un dixième est déjà une fonction tabulaire ! Troisième groupe, n=1/10. On écrit directement selon la formule :

C'est tout. Ce sera la réponse.

J'espère que tout est clair avec le premier pilier de différenciation - le tableau des dérivés. Reste à s'occuper des deux baleines restantes. Dans la prochaine leçon, nous apprendrons les règles de différenciation.

Page suivante: Comment trouver la dérivée ? Règles de différenciation. >>>>

Sujet. Dérivé. Géométrique et sens mécanique dérivé

Si cette limite existe, alors la fonction est dite dérivable en un point. La dérivée d'une fonction est notée (formule 2).

1. Signification géométrique de la dérivée. Regardons le graphique de la fonction. D'après la figure 1, il est clair que pour deux points A et B quelconques du graphique de la fonction, la formule 3 peut être écrite. Il contient l'angle d'inclinaison de la sécante AB.

Ainsi, le rapport de différence est égal à la pente de la sécante. Si vous fixez le point A et déplacez le point B vers lui, alors il diminue sans limite et se rapproche de 0, et la sécante AB se rapproche de la tangente AC. Par conséquent, la limite du rapport de différence est égale à la pente de la tangente au point A. Cela conduit à la conclusion.

La dérivée d'une fonction en un point est la pente de la tangente au graphique de cette fonction en ce point. C'est la signification géométrique de la dérivée.

1. Équation tangente . Dérivons l'équation de la tangente au graphique de la fonction en un point. DANS cas général l'équation d'une droite à coefficient angulaire a la forme : . Pour trouver b, on profite du fait que la tangente passe par le point A : . Cela implique: . En substituant cette expression au lieu de b, on obtient l'équation tangente (formule 4).

Lorsqu'une personne a fait les premiers pas indépendants dans l'étude de l'analyse mathématique et commence à poser des questions inconfortables, il n'est plus si facile de s'en tirer avec la phrase suivante : « calculs différentiels trouvé dans le chou. Le moment est donc venu de déterminer et de révéler le secret de la naissance. tableaux de dérivés et règles de différenciation. Commencé dans l'article sur la signification de la dérivée, que je recommande fortement d'étudier, car là-bas, nous avons simplement examiné le concept de dérivé et commencé à cliquer sur des problèmes sur le sujet. Cette même leçon a d’ailleurs une orientation pratique prononcée,

les exemples discutés ci-dessous peuvent, en principe, être maîtrisés de manière purement formelle (par exemple, lorsqu'il n'y a pas de temps/d'envie de se plonger dans l'essence du dérivé). Il est également hautement souhaitable (mais là encore pas nécessaire) de pouvoir trouver des dérivées en utilisant la méthode « conventionnelle » - au moins au niveau de deux leçons de base : Comment trouver la dérivée ? et la dérivée d'une fonction complexe.

Mais il y a une chose dont nous ne pouvons définitivement plus nous passer maintenant, c'est limites de fonction. Vous devez COMPRENDRE ce qu'est une limite et être capable de les résoudre au moins à un niveau moyen. Et tout cela parce que la dérivée

la fonction en un point est déterminée par la formule :

Je vous rappelle les appellations et les termes : ils appellent incrément d'argument;

– incrément de fonction ;

- Ce Symboles UNIS(« delta » ne peut pas être « arraché » de « X » ou « Y »).

Évidemment, ce qu’est une variable « dynamique » est une constante et le résultat du calcul de la limite - nombre (parfois - "plus" ou "moins" l'infini).

En tant que point, vous pouvez considérer TOUTE valeur appartenant à domaine de définition fonction dans laquelle une dérivée existe.

Remarque : la clause « dans lequel la dérivée existe » est en général c'est significatif! Ainsi, par exemple, bien qu'un point soit inclus dans le domaine de définition d'une fonction, sa dérivée

n'existe pas là-bas. Donc la formule

non applicable au point

et une formulation abrégée sans réserve serait incorrecte. Des faits similaires sont vrais pour d’autres fonctions avec des « ruptures » dans le graphique, en particulier pour l’arc sinus et l’arc cosinus.

Ainsi, après avoir remplacé , nous obtenons la deuxième formule de travail :

Faites attention à une circonstance insidieuse qui peut dérouter la théière : dans cette limite, « x », étant lui-même une variable indépendante, joue le rôle d'une statistique, et la « dynamique » est à nouveau fixée par l'incrément. Le résultat du calcul de la limite

est la fonction dérivée.

Sur la base de ce qui précède, nous formulons les conditions de deux problèmes typiques :

- Trouver dérivée en un point, en utilisant la définition de dérivée.

- Trouver fonction dérivée, en utilisant la définition de dérivée. Cette version, d'après mes observations, est beaucoup plus courante et recevra la plus grande attention.

La différence fondamentale entre les tâches est que dans le premier cas, vous devez trouver le numéro (éventuellement, l'infini), et dans le second –

fonction De plus, le dérivé peut ne pas exister du tout.

Comment ?

Créez un ratio et calculez la limite.

D'où vient-il? tableau des dérivés et règles de différenciation ? Merci à la seule limite

Cela semble magique, mais

en réalité - un tour de passe-passe et pas de fraude. À la leçon Qu'est-ce qu'un dérivé ? J'ai commencé à regarder exemples spécifiques, où, en utilisant la définition, j'ai trouvé les dérivées de linéaire et fonction quadratique. Aux fins de l'échauffement cognitif, nous continuerons à perturber tableau des dérivés, peaufinant l'algorithme et les solutions techniques :

En gros, vous devez prouver cas particulier dérivée d'une fonction puissance, qui apparaît généralement dans le tableau : .

La solution est techniquement formalisée de deux manières. Commençons par la première approche, déjà familière : l'échelle commence par une planche et la fonction dérivée commence par la dérivée en un point.

Considérons un point (spécifique) appartenant à domaine de définition fonction dans laquelle il y a une dérivée. Fixons l'incrément à ce stade (bien sûr, dans le cadre o/o -ya) et composez l'incrément correspondant de la fonction :

Calculons la limite :

L'incertitude 0:0 est éliminée par une technique standard, envisagée au premier siècle avant JC. Multiplions

numérateur et dénominateur de l'expression conjuguée :

La technique pour résoudre une telle limite est discutée en détail à leçon d'introduction sur les limites des fonctions.

Puisque vous pouvez choisir N'IMPORTE QUEL point de l'intervalle comme

Ensuite, après avoir effectué le remplacement, nous obtenons :

Réjouissons-nous encore une fois des logarithmes :

Trouver la dérivée d'une fonction en utilisant la définition de la dérivée

Solution : Considérons une approche différente pour promouvoir la même tâche. C'est exactement la même chose, mais plus rationnel en termes de design. L'idée est de se débarrasser

indice et utilisez une lettre au lieu d'une lettre.

Considérons un point arbitraire appartenant à domaine de définition fonction (intervalle) et définissez l’incrément dedans. Mais ici d'ailleurs, comme dans la plupart des cas, on peut le faire sans aucune réserve, puisque la fonction logarithmique est dérivable en tout point du domaine de définition.

Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Trouvons la dérivée :

La simplicité du design est contrebalancée par la confusion qui peut

se produisent chez les débutants (et pas seulement). Après tout, nous sommes habitués au fait que la lettre « X » change dans la limite ! Mais ici tout est différent : - une statue antique, et - un visiteur vivant, marchant d'un pas vif dans le couloir du musée. Autrement dit, « x » est « comme une constante ».

Je commenterai l'élimination de l'incertitude étape par étape :

(1) Utilisation de la propriété logarithme.

(2) Entre parenthèses, divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(3) Au dénominateur, on multiplie et divise artificiellement par « x » pour que

profitez de la merveilleuse limite , tandis que infinitésimal actes.

Réponse : par définition d'une dérivée :

Ou en bref :

Je propose de construire vous-même deux autres formules de tableau :

Trouver la dérivée par définition

DANS dans ce cas il est pratique d'amener immédiatement l'incrément composé à dénominateur commun. Échantillon approximatif terminer le devoir à la fin de la leçon (première méthode).

Trouver la dérivée par définition

Et ici, tout doit être réduit à une limite remarquable. La solution est formalisée de la deuxième manière.

Un certain nombre d'autres dérivés tabulaires. Liste complète peuvent être trouvés dans manuel scolaire, ou, par exemple, le 1er volume de Fichtenholtz. Je ne vois pas l'intérêt de copier des preuves de règles de différenciation à partir de livres - elles sont également générées

formule

Passons aux tâches réellement rencontrées : Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction , en utilisant la définition de la dérivée

Solution : utilisez le premier style de conception. Considérons un point appartenant et fixons l'incrément de l'argument sur celui-ci. Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Peut-être que certains lecteurs n’ont pas encore pleinement compris le principe selon lequel des augmentations doivent être réalisées. Prenez un point (nombre) et trouvez la valeur de la fonction qu'il contient : , c'est-à-dire dans la fonction

au lieu de "X", vous devez le remplacer. Maintenant, prenons-le

Incrément de fonction compilé Il peut être avantageux de simplifier immédiatement. Pour quoi? Faciliter et raccourcir la solution à une limite supplémentaire.

On utilise des formules, on ouvre les parenthèses et on réduit tout ce qui peut être réduit :

La dinde est éviscérée, pas de problème avec le rôti :

Finalement:

Puisque vous pouvez choisir n'importe quelle qualité nombre réel, puis nous effectuons le remplacement et obtenons .

Répondre : un-prieuré.

À des fins de vérification, trouvons la dérivée en utilisant les règles

différenciation et tableaux :

Il est toujours utile et agréable de connaître à l’avance la bonne réponse, il est donc préférable de différencier la fonction proposée de manière « rapide », soit mentalement, soit dans un brouillon, au tout début de la solution.

Trouver la dérivée d'une fonction par définition de la dérivée

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Le résultat est évident :

Revenons au style n°2 : exemple 7

Voyons immédiatement ce qui devrait se passer. Par règle de différenciation des fonctions complexes:

Solution : considérer point arbitraire, appartenant à, définissez l'incrément de l'argument et constituez l'incrément

Trouvons la dérivée :

(1) On utilise la formule trigonométrique

(2) Sous le sinus, nous ouvrons les parenthèses, sous le cosinus, nous présentons des termes similaires.

(3) Sous le sinus on annule les termes, sous le cosinus on divise le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(4) En raison de l'étrangeté du sinus, nous supprimons le « moins ». Sous cosinus

nous indiquons que le terme .

(5) On effectue une multiplication artificielle au dénominateur afin d'utiliser d'abord merveilleuse limite . Ainsi, l’incertitude est éliminée, mettons de l’ordre dans le résultat.

Réponse : par définition Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté du problème considéré repose sur

complexité à la limite + légère originalité du packaging. Dans la pratique, les deux méthodes de conception sont utilisées, c'est pourquoi je décris les deux approches de manière aussi détaillée que possible. Ils sont équivalents, mais néanmoins, selon mon impression subjective, il est plus conseillé aux nuls de s'en tenir à l'option 1 avec « X-zéro ».

À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction

C'est une tâche que vous devez résoudre vous-même. L'échantillon est conçu dans le même esprit que l'exemple précédent.

Examinons une version plus rare du problème :

Trouvez la dérivée d'une fonction en un point en utilisant la définition de la dérivée.

Premièrement, quel devrait être le résultat final ? Nombre Calculons la réponse de la manière standard :

Solution : d'un point de vue clarté, cette tâche est beaucoup plus simple, puisque dans la formule, au lieu de

une valeur spécifique est prise en compte.

Fixons l'incrément au point et composons l'incrément correspondant de la fonction :

Calculons la dérivée au point :

Nous utilisons une formule de différence tangente très rare et encore une fois on réduit la solution à la première

limite remarquable :

Réponse : par définition de dérivée en un point.

Le problème n'est pas si difficile à résoudre "en général" - il suffit de remplacer le clou, ou simplement selon la méthode de conception. Dans ce cas, il est clair que le résultat ne sera pas un nombre, mais une fonction dérivée.

Exemple 10 À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction à ce point

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

La tâche bonus finale est destinée principalement aux étudiants ayant une étude approfondie de l'analyse mathématique, mais elle ne fera de mal à personne d'autre :

La fonction sera-t-elle différentiable ? à ce point?

Solution : Il est évident qu'une fonction donnée par morceaux est continue en un point, mais y sera-t-elle dérivable ?

Algorithme de solution, et pas seulement pour fonctions par morceaux, est:

1) Trouver la dérivée gauche en un point donné : .

2) Trouver la dérivée droite en un point donné : .

3) Si les dérivées unilatérales sont finies et coïncident :

, alors la fonction est différentiable au point

géométriquement, il y a ici une tangente commune (voir partie théorique leçon Définition et signification du dérivé).

Si deux sont reçus différentes significations: (dont l'un peut s'avérer infini), alors la fonction n'est pas différenciable à ce point.

Si les deux dérivées unilatérales sont égales à l'infini

(même s'ils ont des signes différents), alors la fonction n'est pas

est différentiable au point, mais il existe une dérivée infinie et une tangente verticale commune au graphe (voir exemple leçon 5Équation normale) .

Décider tâches physiques ou des exemples en mathématiques sont totalement impossibles sans connaissance de la dérivée et des méthodes de calcul. Le dérivé est l'un des les notions les plus importantes analyse mathematique. Ce sujet fondamental nous avons décidé de consacrer l'article d'aujourd'hui. Qu'est-ce qu'une dérivée, quelle est sa signification physique et géométrique, comment calculer la dérivée d'une fonction ? Toutes ces questions peuvent être regroupées en une seule : comment comprendre la dérivée ?

Signification géométrique et physique de la dérivée

Qu'il y ait une fonction f(x) , spécifié dans un certain intervalle (un B) . Les points x et x0 appartiennent à cet intervalle. Lorsque x change, la fonction elle-même change. Changer l'argument - la différence de ses valeurs x-x0 . Cette différence s’écrit deltax et est appelé incrément d’argument. Un changement ou un incrément d'une fonction est la différence entre les valeurs d'une fonction en deux points. Définition du dérivé :

La dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction en un point donné à l'incrément de l'argument lorsque ce dernier tend vers zéro.

Sinon, cela peut s'écrire ainsi :

Quel est l'intérêt de trouver une telle limite ? Et voici ce que c'est :

la dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle entre l'axe OX et la tangente au graphique de la fonction en un point donné.

Signification physique de la dérivée : la dérivée de la trajectoire par rapport au temps est égale à la vitesse du mouvement rectiligne.

En effet, depuis l'école tout le monde sait que la vitesse est un chemin particulier x=f(t) et le temps t . vitesse moyenne pendant une certaine période :

Pour connaître la vitesse de déplacement à un instant donné t0 vous devez calculer la limite :

Première règle : définir une constante

La constante peut être soustraite du signe dérivé. De plus, cela doit être fait. Lorsque vous résolvez des exemples en mathématiques, prenez-le comme règle : Si vous pouvez simplifier une expression, assurez-vous de la simplifier .

Exemple. Calculons la dérivée :

Deuxième règle : dérivée de la somme des fonctions

La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Il en va de même pour la dérivée de la différence de fonctions.

Nous ne donnerons pas de démonstration de ce théorème, mais considérerons plutôt un exemple pratique.

Trouvez la dérivée de la fonction :

Troisième règle : dérivée du produit de fonctions

La dérivée du produit de deux fonctions différentiables est calculée par la formule :

Exemple : trouver la dérivée d'une fonction :

Solution:

Il est important de parler ici du calcul des dérivées de fonctions complexes. La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire et de la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante.

Dans l’exemple ci-dessus, nous rencontrons l’expression :

Dans ce cas, l’argument intermédiaire est 8x à la puissance cinq. Afin de calculer la dérivée d'une telle expression, nous calculons d'abord la dérivée de la fonction externe par rapport à l'argument intermédiaire, puis multiplions par la dérivée de l'argument intermédiaire lui-même par rapport à la variable indépendante.

Règle quatre : dérivée du quotient de deux fonctions

Formule pour déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions :

Nous avons essayé de parler de produits dérivés pour les nuls à partir de zéro. Ce sujet n'est pas aussi simple qu'il y paraît, alors soyez prévenu : il y a souvent des pièges dans les exemples, alors soyez prudent lors du calcul des dérivées.

Pour toute question sur ce sujet ou sur d’autres sujets, vous pouvez contacter le service étudiants. Derrière court terme Nous vous aiderons à résoudre les tests les plus difficiles et à résoudre les problèmes, même si vous n'avez jamais effectué de calculs de dérivées auparavant.