Fonction d'un argument aléatoire et sa distribution. Fonctions d'arguments aléatoires

Définition de la fonction variables aléatoires. Fonction d'argument aléatoire discret et son caractéristiques numériques. Fonction d'argument aléatoire continu et ses caractéristiques numériques. Fonctions de deux arguments aléatoires. Détermination de la fonction de distribution de probabilité et de la densité pour une fonction de deux arguments aléatoires.

Loi de distribution de probabilité d'une fonction d'une variable aléatoire

Lors de la résolution de problèmes liés à l'évaluation de l'exactitude de divers systèmes automatiques, précision de production éléments individuels systèmes, etc., il est souvent nécessaire de considérer les fonctions d’une ou plusieurs variables aléatoires. De telles fonctions sont également des variables aléatoires. Par conséquent, lors de la résolution de problèmes, il est nécessaire de connaître les lois de distribution des variables aléatoires apparaissant dans le problème. Dans ce cas, la loi de distribution du système d'arguments aléatoires et la dépendance fonctionnelle sont généralement connues.

Se pose alors un problème que l’on peut formuler comme suit.

Étant donné un système de variables aléatoires (X_1,X_2,\ldots,X_n), dont la loi de distribution est connue. Une variable aléatoire Y est considérée en fonction de ces variables aléatoires :

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Il faut déterminer la loi de distribution de la variable aléatoire Y, connaissant la forme des fonctions (6.1) et la loi distribution conjointe ses arguments.

Considérons le problème de la loi de distribution d'une fonction d'un argument aléatoire

Y=\varphi(X).

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Alors Y=\varphi(X) est également une variable aléatoire discrète avec des valeurs possibles. Si toutes les valeurs y_1,y_2,\ldots,y_n sont différents, alors pour chaque k=1,2,\ldots,n les événements \(X=x_k\) et \(Y=y_k=\varphi(x_k)\) sont identiques. Ainsi,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(tableau)

Si parmi les chiffres y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) il y en a des identiques, alors chaque groupe valeurs identiques y_k=\varphi(x_k) vous devez allouer une colonne dans le tableau et ajouter les probabilités correspondantes.

Pour les variables aléatoires continues, le problème se pose comme suit : connaissant la densité de distribution f(x) de la variable aléatoire X, trouver la densité de distribution g(y) de la variable aléatoire Y=\varphi(X). Pour résoudre le problème, nous considérons deux cas.

Supposons d'abord que la fonction y=\varphi(x) est monotone croissante, continue et dérivable sur l'intervalle (a;b) sur lequel se situent toutes les valeurs possibles de X. Alors fonction inverse x=\psi(y) existe, tout en étant également croissant de façon monotone, continu et différentiable. Dans ce cas on obtient

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

Exemple 1. Variable aléatoire X distribuée avec densité

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

Trouver la loi de distribution de la variable aléatoire Y associée à la valeur X par la dépendance Y=X^3.

Solution. Puisque la fonction y=x^3 est monotone sur l'intervalle (-\infty;+\infty), on peut appliquer la formule (6.2). La fonction inverse par rapport à la fonction \varphi(x)=x^3 est \psi(y)=\sqrt(y) , sa dérivée \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). Ainsi,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

Considérons le cas d'une fonction non monotone. Soit la fonction y=\varphi(x) telle que la fonction inverse x=\psi(y) soit ambiguë, c'est-à-dire qu'une valeur de y correspond à plusieurs valeurs de l'argument x, que l'on note x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), où n est le nombre de sections dans lesquelles la fonction y=\varphi(x) change de manière monotone. Alors

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Exemple 2. Dans les conditions de l'exemple 1, trouvez la distribution de la variable aléatoire Y=X^2.

Solution. La fonction inverse x=\psi(y) est ambiguë. Une valeur de l'argument y correspond à deux valeurs de la fonction x

\begin(rassemblé)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\right)^2/2)\!\left|-\frac(1 )(2\sqrt(y))\right|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\right)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) .\end(rassemblé)

Loi de distribution d'une fonction de deux variables aléatoires

Soit la variable aléatoire Y fonction de deux variables aléatoires formant le système (X_1;X_2), c'est-à-dire Y=\varphi(X_1;X_2). La tâche consiste à trouver la distribution de la variable aléatoire Y en utilisant la distribution connue du système (X_1;X_2).

Soit f(x_1;x_2) la densité de distribution du système de variables aléatoires (X_1;X_2) . Introduisons en considération une nouvelle quantité Y_1 égale à X_1 et considérons le système d'équations

Nous supposerons que ce système est résoluble de manière unique par rapport à x_1,x_2

Densité de distribution de la variable aléatoire Y

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\partial(y))\right|dx_1.

Notez que le raisonnement ne change pas si la nouvelle valeur introduite Y_1 est définie égale à X_2.

Espérance mathématique d'une fonction de variables aléatoires

En pratique, il existe souvent des cas où il n'est pas particulièrement nécessaire de déterminer complètement la loi de distribution d'une fonction de variables aléatoires, mais il suffit simplement d'indiquer ses caractéristiques numériques. Ainsi se pose le problème de déterminer les caractéristiques numériques des fonctions de variables aléatoires en plus des lois de distribution de ces fonctions.

Soit la variable aléatoire Y fonction de l'argument aléatoire X avec donné par la loi distribution

Y=\varphi(X).

Il faut, sans trouver la loi de distribution de la quantité Y, la déterminer espérance mathématique

M(Y)=M[\varphi(X)].

Soit X une variable aléatoire discrète ayant une série de distribution

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Faisons un tableau des valeurs de la valeur Y et des probabilités de ces valeurs :

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Ce tableau n'est pas une série de distribution de la variable aléatoire Y, puisque dans cas général Certaines valeurs peuvent être identiques et les valeurs de la rangée supérieure ne sont pas nécessairement classées par ordre croissant. Cependant, l'espérance mathématique de la variable aléatoire Y peut être déterminée par la formule

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

La formule (6.4) ne contient pas explicitement la loi de distribution de la fonction \varphi(X) elle-même, mais contient uniquement la loi de distribution de l'argument X. Ainsi, pour déterminer l’espérance mathématique de la fonction Y=\varphi(X), il n’est pas du tout nécessaire de connaître la loi de répartition de la fonction \varphi(X), mais plutôt de connaître la loi de répartition de l’argument X.

Pour une variable aléatoire continue, l'espérance mathématique est calculée à l'aide de la formule

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

Considérons des cas où, pour trouver l'espérance mathématique d'une fonction d'arguments aléatoires, la connaissance même des lois de distribution des arguments n'est pas requise, mais il suffit de connaître seulement certaines de leurs caractéristiques numériques. Formulons ces cas sous forme de théorèmes.

Théorème 6.1. L'espérance mathématique de la somme de deux variables aléatoires dépendantes et indépendantes est égale à la somme des espérances mathématiques de ces variables :

M(X+Oui)=M(X)+M(Oui).

Théorème 6.2. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires est égale au produit de leurs espérances mathématiques plus le moment de corrélation :

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Corollaire 6.1. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires non corrélées est égale au produit de leurs espérances mathématiques.

Corollaire 6.2. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques.

Variance d'une fonction de variables aléatoires

Par définition de la dispersion, nous avons D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Ainsi,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], Où .

Donnons formules de calcul uniquement pour le cas d'arguments aléatoires continus. Pour une fonction d'un argument aléatoire Y=\varphi(X), la variance est exprimée par la formule

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

Où M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- espérance mathématique de la fonction \varphi(X) ;

f(x) - densité de distribution de la valeur X.

La formule (6.5) peut être remplacée par la suivante :

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X) Considérons théorèmes de dispersion qui joue rôle important

en théorie des probabilités et ses applications. Théorème 6.3. La variance de la somme des variables aléatoires est égale à la somme des variances de ces variables plus deux fois la somme

moments de corrélation

chacune des quantités totales avec tous les éléments suivants :

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i Corollaire 6.3.

La variance de la somme des variables aléatoires non corrélées est égale à la somme des variances des termes :

\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2). propriétés du moment de corrélation et du coefficient de corrélation.

Propriété 1. Lorsque des valeurs constantes sont ajoutées aux variables aléatoires, le moment de corrélation et le coefficient de corrélation ne changent pas.

Propriété 2. Pour toutes variables aléatoires X et Y, la valeur absolue du moment de corrélation ne dépasse pas la moyenne géométrique des variances de ces valeurs :

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,

16.1. La loi de distribution d'une fonction d'un argument aléatoire.

Il existe une variable aléatoire continue X avec densité de distribution f(x) . Une autre variable aléatoire Oui lui est lié par une dépendance fonctionnelle : .

Il est nécessaire de trouver la densité de distribution de la quantité Oui. Considérons la section de l'axe des abscisses sur laquelle se trouvent toutes les valeurs possibles de la quantité X, c'est-à-dire .

La méthode de résolution du problème dépend du comportement de la fonction dans la zone : si elle est monotone ou non.

Dans cette section nous considérerons le cas où la fonction sur le segment est monotone. Dans ce cas, nous analyserons séparément deux cas : l'augmentation monotone et la diminution monotone de la fonction.

1. La fonction dans la zone augmente de façon monotone (Fig. 6.1.1). Lorsque la valeur X prend des valeurs différentes

zone, point aléatoire ( X, Oui) se déplace uniquement le long d'une courbe ; l'ordonnée de ce point aléatoire est entièrement déterminée par son abscisse.

Notons la densité de distribution de la quantité Oui. Afin de déterminer, on trouve d'abord la fonction de distribution de la quantité Oui: .

Faisons un direct AB, parallèle à l'axe des x à une distance oui de celui-ci (Fig. 6.1.1). Pour que la condition soit satisfaite, un point aléatoire (X, Oui) doit tomber sur la section de la courbe qui se trouve en dessous de la ligne droite AB; Pour cela il faut et il suffit que la variable aléatoire X est tombé sur la section de l'axe x de unà x, Où x- abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite AB. Ainsi,

(6.1.1) Puisqu'elle est monotone sur le segment, il existe une fonction inverse à valeur unique. Alors

(6.1.2) Différencier l'intégrale (6.1.2) par rapport à la variable à inclus dans la borne supérieure, on obtient :

(6.1.3) 2. La fonction sur la section diminue de façon monotone (Fig. 6.1.2). Dans ce cas

(6.1.4) d'où

(6.1.5) En comparant les formules (6.1.3) et (6.1.5), on remarque qu'elles peuvent être combinées en une seule :

(6.1.6)

En effet, lorsqu'elle augmente, sa dérivée (et donc) est positive. Pour une fonction décroissante, la dérivée est négative, mais devant elle dans la formule (6.1.5) il y a un moins. Par conséquent, la formule (6.1.6), dans laquelle la dérivée est prise modulo, est vraie dans les deux cas.

3. Considérons le cas où la fonction sur la section valeurs possibles l’argument n’est pas monotone (Fig. 6.1.3).

Trouvons la fonction de distribution G(oui) quantités Oui. Pour ce faire, traçons à nouveau une ligne droite AB, parallèle à l'axe des x, à une distance àà partir de celui-ci et sélectionnez les sections de la courbe où la condition est satisfaite. Soit ces sections correspondent aux sections de l'axe des abscisses : .

L'événement est équivalent à l'impact d'une variable aléatoire Xà l'un des sites - peu importe lequel. C'est pourquoi

(6.1.7) Ainsi, pour la fonction de répartition des quantités nous avons la formule :

(6.1.8) Les limites des intervalles dépendent de à et étant donné une forme spécifique, les fonctions peuvent être exprimées sous forme de fonctions explicites à. Différencier G(oui) en taille à, inclus dans les limites des intégrales, on obtient la densité de distribution de la quantité Oui:

(6.1.9) Exemple. Ampleur X est soumis à la loi de densité uniforme sur le site.

Trouvez la loi de distribution de la quantité.

Solution. Nous construisons un graphique de la fonction (Fig. 6.1.4). Évidemment, la fonction est également non monotone dans l’intervalle. En appliquant la formule (6.1.8), on a :

Exprimons les limites à travers à: ; . Alors

.(6.1.10) Pour trouver la densité g(à) différenciez cette expression par rapport à la variable à, inclus dans les limites des intégrales, on obtient :

En gardant à l'esprit que , on obtient :

(6.1.11) Indiquer pour Oui loi de distribution (6.1.11), il convient de noter qu'elle n'est valable que dans la plage de 0 à 1, c'est-à-dire dans les limites où il change avec l'argument X, enfermé dans l'intervalle de, à. En dehors de ces limites, la densité g(à) est égal à zéro.

Graphique d'une fonction g(à) est donné sur la figure 6.1.5. À à=1 courbe g(y) a une branche allant vers l’infini.

26.2. La loi de distribution d'une fonction de deux variables aléatoires.

Il existe un système de deux variables aléatoires continues (X, Oui) avec densité de distribution f(x, oui) . Variable aléatoire Z associé à X Et Oui dépendance fonctionnelle :

Il faut trouver la loi de distribution de la valeur Z.

Pour résoudre le problème, nous utiliserons une interprétation géométrique. La fonction ne sera plus représentée comme une courbe, mais comme une surface (Fig. 6.2.1).

Trouvons la fonction de distribution de la valeur Z :

(6.2.1) Traçons un plan Q parallèle au plan xOy, à distance z d'elle. Ce plan coupera la surface le long d'une courbe À. Concevons la courbe Àà l'avion xOy. Cette projection, dont l'équation, divisera le plan xOy en deux zones ; pour l'un d'eux, la hauteur de la surface au-dessus du plan xOy sera moins, et pour l'autre - plus z. Notons D la zone pour laquelle cette hauteur est inférieure z. Pour que l’inégalité (6.2.1) soit vérifiée, un point aléatoire (X, Oui) devrait évidemment tomber dans la zone D; ainsi,

(6.2.2) Dans l'expression (6.2.2) la quantité z entre implicitement, à travers les limites de l’intégration.

Différencier G(z) Par z, on obtient la densité de distribution de la quantité Z:

(6.2.3) Connaissant la forme spécifique de la fonction, on peut exprimer les limites de l'intégration en termes de z et écris l'expression g(z) explicitement.

36.3. La loi de distribution de la somme de deux variables aléatoires. Composition des lois de distribution.

Région D dans ce cas - la partie inférieure gauche de l'avion xOy, ombré sur la Fig. 6.3.1. D'après la formule (6.3.2) on a :

Différencier cette expression par rapport à la variable z, inclus dans la limite supérieure de l'intégrale interne, on obtient :

(6.3.1) Il s'agit de la formule générale de la densité de distribution de la somme de deux variables aléatoires.

Pour des raisons de symétrie du problème par rapport à X Et Oui Vous pouvez écrire une autre version de la même formule :

(6.3.2) qui est équivalent au premier et peut être utilisé à la place.

Exemple compositions normale les lois . Considérons deux variables aléatoires indépendantes X Et Oui, sous réserve des lois normales :

Il faut produire une composition de ces lois, c'est-à-dire trouver la loi de distribution de la quantité : .

Appliquons la formule générale de composition des lois de distribution :

(6.3.3) Si on ouvre les parenthèses dans l'exposant de l'intégrande et amène des termes similaires, on obtient :

En remplaçant ces expressions dans la formule que nous avons déjà rencontrée

(6.3.4) après transformations on obtient :

(6.3.5) et ce n'est rien de plus qu'une loi normale avec un centre de dispersion

(6.3.6) et écart type

(6.3.7) La même conclusion peut être tirée beaucoup plus facilement en utilisant le raisonnement qualitatif suivant.

Sans ouvrir les parenthèses et sans faire de transformations dans l'intégrande (6.3.3), on arrive immédiatement à la conclusion que l'exposant est un trinôme quadratique par rapport à X gentil

où dans le coefficient UN ampleur z pas du tout inclus dans le coefficient DANS est inclus dans la puissance première, et dans le coefficient AVEC- au carré. En gardant cela à l’esprit et en appliquant la formule (6.3.4), nous arrivons à la conclusion que g(z) est une fonction exponentielle dont l'exposant est un trinôme carré par rapport à z, et la densité de distribution ; Ce type correspond à la loi normale. Alors nous ; on arrive à une conclusion purement qualitative : la loi de distribution de la valeur z doit être normale. Pour trouver les paramètres de cette loi - et - nous utiliserons le théorème d'addition des espérances mathématiques et le théorème d'addition des variances. D'après le théorème d'addition des espérances mathématiques. Par le théorème d'addition des variances ou d'où découle la formule (6.3.7).

En passant des écarts types aux écarts probables qui leur sont proportionnels, on obtient : .

Ainsi, nous sommes arrivés à la règle suivante : en combinant des lois normales, une loi normale est à nouveau obtenue, et les attentes mathématiques et les variances (ou carrés des écarts probables) sont résumées.

La règle de composition des lois normales peut être généralisée au cas d’un nombre arbitraire de variables aléatoires indépendantes.

Si disponible n variables aléatoires indépendantes : soumises aux lois normales avec centres de dispersion et écarts types, alors la valeur est également soumise à la loi normale avec paramètres

(6.3.8) (6.3.9) Au lieu de la formule (6.3.9), vous pouvez utiliser une formule équivalente :

Si le système de variables aléatoires (X, Oui) distribué selon la loi normale, mais les valeurs X, Oui sont dépendants, alors il n'est pas difficile de prouver, comme précédemment, à partir de la formule générale (6.3.1), que la loi de distribution d'une quantité est aussi une loi normale. Les centres de diffusion sont toujours ajoutés algébriquement, mais pour les écarts types, la règle devient plus complexe : , où, r- coefficient de corrélation des grandeurs X Et Oui.

Lors de l'ajout de plusieurs variables aléatoires dépendantes, qui dans leur ensemble sont soumises à la loi normale, la loi de distribution de la somme s'avère également normale avec les paramètres

(6.3.10)(6.3.11) ou en écarts probables

où est le coefficient de corrélation des quantités X je , X j, et la sommation s'étend à toutes les différentes combinaisons de quantités par paires.

Nous sommes convaincus d'une propriété très importante loi normale: avec la composition de lois normales, on obtient à nouveau une loi normale. C'est ce qu'on appelle la « propriété de stabilité ». Une loi de distribution est dite stable si la composition de deux lois de ce type aboutit à nouveau à une loi du même type. Nous avons montré ci-dessus que la loi normale est stable. Très peu de lois de distribution ont la propriété de stabilité. La loi de densité uniforme est instable : en combinant deux lois de densité uniforme par sections de 0 à 1, nous avons obtenu la loi de Simpson.

La stabilité de la loi normale est l'une des conditions essentielles de sa généralisation dans la pratique. Cependant, en plus de la loi normale, certaines autres lois de distribution ont également la propriété de stabilité. Une caractéristique de la loi normale est que lorsqu'un nombre suffisamment grand de lois de distribution pratiquement arbitraires sont composées, la loi totale s'avère aussi proche de la normale que souhaité, quelles que soient les lois de distribution des termes. Ceci peut être illustré, par exemple, en composant les trois lois de densité uniforme dans des zones de 0 à 1. La loi de distribution qui en résulte g(z) montré sur la fig. 6.3.1. Comme le montre le dessin, le graphique de la fonction g(z) cela rappelle beaucoup un graphe de loi normale.

46.4. Distribution des produits.

(6.4.1)

Sur la fig. l'événement est représenté par un ombrage. Maintenant, il est évident que

5(6.4.2) (6.4.3) 6.5. Distribution du carré d'une variable aléatoire.

(6.5.1) (6.5.2) Dans le cas particulier où, on a :

(6.5.3) Si dans ce cas, alors

6(6.5.4) 6.6. Distribution de privé.

(6.6.1)

Sur la fig. 6.6.1 il est clair que l'événement est représenté par des zones grisées. C'est pourquoi

(6.6.2) (6.6.3) Si : ; indépendant, alors il est facile d’obtenir :

(6.6.4) La distribution (6.6.4) porte le nom de Cauchy. Il s'avère que cette distribution n'a pas d'espérance mathématique ni de variance.

76.7. Caractéristiques numériques des fonctions de variables aléatoires.

(6.7.1) Connaissons la loi de distribution du système d'arguments dont nous avons besoin pour trouver les caractéristiques numériques de la quantité ; Oui, tout d’abord, l’espérance mathématique et la variance.

Imaginons que nous parvenions à trouver la loi de distribution g(y) quantités Oui. La tâche de détermination des caractéristiques numériques devient alors simple ; on les trouve selon les formules :

(6.7.2) (6.7.3) Cependant, le problème de trouver la loi de distribution g(oui) quantités Oui s'avère souvent assez difficile. Pour résoudre le problème, trouvez la loi de distribution de la quantité Oui pas nécessaire : pour trouver uniquement les caractéristiques numériques d'une grandeur Oui, il n'est pas nécessaire de connaître sa loi de distribution ; Il suffit de connaître la loi de distribution des arguments.

Ainsi se pose le problème de déterminer les caractéristiques numériques des fonctions de variables aléatoires sans déterminer les lois de distribution de ces fonctions.

Considérons le problème de la détermination des caractéristiques numériques d'une fonction pour une loi de distribution d'arguments donnée. Commençons par le cas le plus simple : une fonction d'un argument.

Il existe une variable aléatoire X avec une loi de répartition donnée ; une autre variable aléatoire Oui associé à X dépendance fonctionnelle : Oui= (X).

Obligatoire sans trouver la loi de distribution de la quantité Oui, déterminez son espérance mathématique :

(6.7.4) Considérons d’abord le cas où X il existe une variable aléatoire discrète avec une série de distribution :

x je X 1 x 2 …x n p je P. 1 p 2 …p nÉcrivons les valeurs possibles de la quantité sous forme de tableau Oui et les probabilités de ces valeurs :

(x je ) (x 1 ) (x 2 ) …(x n )p je P. 1 P. 2 …p n Le tableau 6.7.2 n'est pas une série de distribution de quantités Oui, puisque dans le cas général certaines des valeurs

(6.7.5) peuvent coïncider les uns avec les autres. Afin de passer du tableau (6.7.1) à la vraie série de distribution de la valeur Oui, il faudrait ranger les valeurs (6.7.5) par ordre croissant, combiner les colonnes correspondant à des valeurs égales Oui, et additionnez les probabilités correspondantes. Espérance mathématique de valeur Oui peut être déterminé par la formule

(6.7.6) Évidemment, la quantité T à - M((X)), déterminé par la formule (6.7.6), ne peut pas changer si, sous le signe somme, certains termes sont combinés à l'avance, et l'ordre des termes est modifié.

La formule (6.7.6) pour l'espérance mathématique d'une fonction ne contient pas explicitement la loi de distribution de la fonction elle-même, mais seulement la loi de distribution de l'argument. Ainsi, Pourdéfinitionsmathématiqueattentesfonctionsdu toutPasrequissavoirloidistributioncefonctions, UNassez­ exactementsavoirloidistributionargument.

Remplacement de la somme dans la formule (6.7.6) par une intégrale et la probabilité r je- élément de probabilité, on obtient une formule similaire pour une variable aléatoire continue :

(6.7.7) où f(x) X.

L'espérance mathématique de la fonction peut être déterminée de la même manière à(X, Oui) à partir de deux arguments aléatoires X Et Oui. Pour des quantités discrètes

(6.7.8) où - la probabilité que le système ( X, Oui) prendra les valeurs (x je oui j). Pour des quantités continues

(6.7.9) où f(x, à) - densité de distribution du système ( X, Oui).

L'espérance mathématique d'une fonction à partir d'un nombre arbitraire d'arguments aléatoires est déterminée de la même manière. Nous présentons la formule correspondante uniquement pour les quantités continues :

(6.7.10) où - densité de distribution du système.

Des formules comme (6.7.10) sont très souvent rencontrées dans l’application pratique de la théorie des probabilités, lorsqu’il s’agit de faire la moyenne de quantités dépendant d’un certain nombre d’arguments aléatoires.

Ainsi, l'espérance mathématique d'une fonction d'un nombre quelconque d'arguments aléatoires peut être trouvée en plus de la loi de distribution de la fonction. De même, d'autres caractéristiques numériques de la fonction peuvent être trouvées - des moments d'ordres divers. Puisque chaque instant représente l'espérance mathématique d'une certaine fonction de la variable aléatoire étudiée, le calcul de n'importe quel instant peut être effectué en utilisant des techniques complètement similaires à celles décrites ci-dessus. Nous présentons ici les formules de calcul uniquement pour la variance, et uniquement pour le cas d'arguments aléatoires continus.

La variance d'une fonction d'un argument aléatoire est exprimée par la formule

(6.7.11) où T= M[(x)] - espérance mathématique de la fonction ( X);f(X) - densité de distribution des quantités X.

La variance d'une fonction de deux arguments aléatoires s'exprime de la même manière :

(6.7.12) où est l'espérance mathématique de la fonction (X, Oui); f(x, y) - densité de distribution du système (X, Oui). Enfin, dans le cas d'un nombre arbitraire d'arguments aléatoires, en notation similaire.

Dans le chapitre précédent, nous nous sommes familiarisés avec les méthodes de détermination des caractéristiques numériques des fonctions c. V. et a montré que pour les trouver il n'est pas nécessaire de connaître les lois de distribution de ces fonctions, mais il suffit de connaître les lois de distribution des arguments. Comme cela a été démontré dans de nombreux cas de pratique de l'ingénierie, lors de la recherche des caractéristiques numériques des fonctions c. V. on peut même se passer des lois de distribution des arguments - il suffit de connaître uniquement les caractéristiques numériques de ces arguments.

Cependant, souvent dans les applications d'ingénierie, le problème de la détermination des lois de distribution de la fonction c se pose. V. Ceci est généralement nécessaire pour déterminer la probabilité que ces fonctions tombent dans diverses zones de leurs valeurs possibles.

À ce stade, nous allons résoudre le problème suivant. Il y a un s continu. V. Xs densité/(x); Avec. V. T s’exprime à travers l’art. V. X dépendance fonctionnelle

Il faut trouver la loi de distribution c. V. Oui

Considérons d'abord le cas où la fonction cp(A) est strictement monotone, continue et différentiable dans l'intervalle ( UN, b) toutes les valeurs possibles de c. V. X Fonction de distribution G(o)s. V. ^déterminé par la formule

Si la fonction φ(x) augmente de manière monotone sur toute la plage des valeurs possibles de c. V. ^(Fig. 9.1.1), puis l'événement (T(X f (y)), où z(y) = x il existe une fonction qui est l'inverse de la fonction

Différencier cette expression par la valeur oui, inclus dans limite supérieure intégrale, on obtient p.r. variable aléatoire Oui:

Si la fonction cf (X) sur place (une, b) valeurs possibles c. V. X diminue de façon monotone (Fig. 9.1.2), puis l'événement (T |/ (y)). Ainsi,

Riz. 9.1.1

En différenciant C(y) par rapport à la variable y incluse dans la limite inférieure, on obtient p.r. variable aléatoire Oui :

Puisque la densité ne peut pas être négative, les formules (9.1.4) et (9.1.6) peuvent être combinées en une seule :

1 Dans les formules (9.1.3) et (9.1.5) la plage des valeurs possibles de c. V. Cela peut être (- ao, oo), c'est-à-dire UN= - oo; b- oo alors les valeurs possibles U- f (A) sont déterminés à partir de l'expression y, - - φ (x;) (/= 1,2,..., p) dans ce cas il y a égalité

Problème 1. Loi sur la distribution fonction linéaire un argument aléatoire. Un cas particulier de fonction monotone est la fonction linéaire à = Oh + b, Où une, b - quantités non aléatoires. Soit une fonction linéaire de c continue. V. Xs densité/(x):

Trouvons, à l'aide de la formule (9.1.7), la densité de distribution g(y) variable aléatoire U. Dans ce cas, la fonction inverse φ (y) = (y - b)/une ; sa dérivée f" (y) = 1 /UN module de la dérivée 1/|i|. La formule (9.1.7) donne

Exemple 1. Variable aléatoire X distribué selon la loi exponentielle

La variable aléatoire s'exprime linéairement par X :

Si l'art. V. LG est discret et dispose de plusieurs distributions

Solution. Dans ce cas, la fonction inverse φ (y) = (2 - y)/3. La condition x > 0 dans la formule (*) pour y devient la condition y = 2 - 3x

Graphique de densité g(y) est montré sur la Fig. 9.1.3.

Exemple 2. Trouver p.r. fonction linéaire Oui= aX+ b argument normalement distribué X avec des caractéristiques t x et o*.

Solution. D'après la formule (9.1.7) on a

et c'est une loi normale avec des caractéristiques que = à x + b , ré y = = une 2 ou 2x ; une y = une o x. Ainsi, à la suite d’une transformation linéaire d’un c normalement distribué. V. X nous obtenons l'art. V. Oui,également distribué selon la loi normale. ?

Exemple 3. S continu. V. X distribué selon la loi de Cauchy dans sa forme la plus simple (canonique) :

Avec. V. À cela s’ajoute la dépendance :

Trouver la densité de distribution c. V. Y.

Solution. Puisque la fonction à= 1 - x 2 est monotone (décroissant de manière monotone) sur toute la section (-oo, oo), on applique la formule (9.1.7). Écrivons la solution sous forme de deux colonnes ; à gauche seront placées les désignations des fonctions adoptées dans la solution générale du problème ; dans le premier - les fonctions spécifiques correspondant à cet exemple.

Exemple 4. S.v. X est distribué selon la même loi de Cauchy/(x) = = 1/[i (1 + x 2)] ; Avec. V. Valeur de test, réciproque X :

Trouver sa densité g(oui).

Solution. Graphique d'une fonction à= 1/x est montré sur la Fig. 9.1.4. Cette fonction souffre d'une discontinuité du deuxième type (saute de - oo à + oo) en x = 0 ; mais la fonction inverse est x = 1 /y est sans ambiguïté, vous pouvez donc utiliser la même formule (9.1.7) que celle dérivée pour la fonction monotone. Formulons à nouveau la solution sous forme de deux colonnes (à gauche - le cas général, à droite - le cas particulier) :

c'est-à-dire la réciproque Oui = 1/X pareil que X, a une distribution de Cauchy. ?

Exemple 5. Vitesse de collision moléculaire X distribué selon la loi de Rayleigh de paramètre o ;

Quantité d'énergie libérée Oui lors d'une collision de molécules est déterminé par la formule

Trouver p.r. Avec. V. Y.

Solution. Pour x > O la fonction (X) est monotone. La solution de l'exemple est à nouveau disposée sous forme de deux colonnes (à gauche le cas général, à droite un cas particulier particulier) :

Exemple 6. Rayon du cercle X distribué selon la loi de Rayleigh de paramètre a :

Retrouver la loi de répartition p. V. O- aire d'un cercle.

Solution. S.v. Y = nX 2 -la fonction est monotone lorsque X> 0 oui (y) =

= (^/l) 1/2 ; k"OOl=-t=, d'où 2 u)pu

par conséquent, l’art. V. A une loi de distribution exponentielle avec pa- 1

mètre--. ?

2co g

Exemple 7. Par un point UN, allongé sur l'axe Ou, trace une ligne droite ab sous un angle Hong Kong axe Ou (voir Fig. 9.1.5). L'angle ^est uniformément réparti

dans l'intervalle + yj. ^ une ^ ti loi de distribution c. V. U- abscisse du point d'intersection de la droite ab avec axe 0%.

Exemple 8. Tension ^distribuée selon la loi normale avec paramètres à x, st x ; tension stabilisée U déterminé par la formule

U Solution. S.v. U- mixte:

où Ф(X) est la fonction de Laplace. Fonction de distribution r.v. U a la forme :

Sur la fig. 9.1.6 montre le graphique G(oui). En général, si la fonction de distribution c. V. Hest F(x), Que

Exemple 9. Le stabilisateur de tension fonctionne de telle manière qu'il limite la tension par le haut :

Trouver la fonction de distribution c. V. U, si la fonction de distribution c est donnée. V. X- F(x).

Solution. Par analogie avec la solution de l'exemple précédent, on obtient

Exemple 10. Stabilisateur de tension X fonctionne de telle manière qu'il limite la tension par le bas :

Trouver la fonction de distribution c. V. Oui, si spécifié F(x) - fonction de répartition c. V. X.

Solution. Conformément à la solution de l'exemple 8, on obtient

Considérons maintenant le cas où la fonction oui - UN, b) valeurs possibles c. V. pas monotone (Fig. 9.1.7). Dans ce cas, la fonction inverse x = |/ (y) est ambiguë.

Nombre de valeurs de la fonction inverse c/ (o) cela dépend de quelle valeur à nous avons pris; notons ces valeurs |/i (y), |/2 (o),..., pouah), ... . Événement Y équivaut à frapper c. V. X dans l'un des segments non chevauchants marqués d'un trait épais sur la Fig. 9.1.7, où la partie correspondante de la courbe y = φ (x) se situe en dessous de la droite y ; dans notre cas ces segments seront : de UNà je x(o); à partir de ts/2 (o) D° Fz (o), de v|/ 4 (y) à |/ 5 (y). d.; le dernier segment peut se terminer par un point b, et peut-être l'un des points y, (y) (cela n'a pas d'importance). Coups de points Hv ces segments sont des événements incompatibles ; selon la règle d'addition des probabilités

Compte tenu de la règle de différenciation d'une intégrale par rapport à une variable incluse dans ses limites (à savoir : la dérivée de l'intégrale par rapport à une telle variable est égale à la valeur de l'intégrande de la limite supérieure multipliée par la dérivée de la limite supérieure moins la valeur de l'intégrande de la limite inférieure multipliée par la dérivée de la limite inférieure), on obtient dans notre cas :

Aux points où cp (x), traversant la droite y, diminue (le début de la section correspondante de l'axe des x, pour laquelle La dérivée Y y" (y) est négative ; elle est également incluse dans la somme (9.1.11) avec un signe moins ; aux points où φ (x) augmente, φ" (y) (fin de la section) elle a un signe plus. Dérivées de constantes UN Et b sont égaux à zéro, donc peu importe si les points apparaissent UN Et b sous la forme de début ou de fin de section. Tous les termes de la formule (9.1.11) sont positifs et cela prend une forme très simple :

Où À- le nombre de valeurs de la fonction inverse correspondant à un y donné, φ ! (o); f 2 (y);...; f^(y) - valeurs de la fonction inverse correspondant à un y donné.

Problème 2. La loi de distribution du module d'une variable aléatoire. Le problème s'énonce comme suit : étant donné un s continu. V. Xc densité/(x) dans la zone (- oo, + oo) ; la variable aléatoire K lui est liée par la relation :

Trouver la densité de distribution c. V. Y.

Solution. Fonction à= |x| pas monotone; son graphique est présenté sur la Fig. 9.1.8. Fonction inverse pour un donné à a deux significations : ?i (y) = - y ; Fg (y) = Y- En utilisant la formule (9.1.12) on obtient :

(variable aléatoire négative Ouiça ne peut pas l'être). En particulier, si la densité /(x) est symétrique par rapport à l'origine, c'est-à-dire /(-x) =/(x), la formule (9.1.13) donnera :

Problème 3. Loi de distribution du carré d'une variable aléatoire. Soit continu s. V. X a une densité /(x); trouver la densité de distribution de son carré.

Solution. Fonction à= x 2 n'est pas monotone (Fig. 9.1.9) ; f, (y) = -y[y;

à 2 (y) = 4 ans-

La formule (9.1.12) donne

Dans le cas particulier où l'art. V. X a une distribution normale

avec paramètres t x = 0; un x = 1; / (x) = e ~ x^/l/2l, p. V. A une distribution

La courbe de cette distribution est représentée sur la Fig. 9.1.10. ?

Riz. 9.1.9

Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que le cas où l'argument de la fonction Oui= f (X)- variable aléatoire continue. Considérons maintenant un cas plus simple dans son essence, mais plus complexe dans l'écriture, lorsque l'argument X- discret s. V. avec plage de distribution :

Une certaine « similarité » des séries de distribution c. V. Le tableau affichera :

Pour en faire une série de distribution, il faut, d'une part, ranger les valeurs de la rangée du haut par ordre croissant, et, d'autre part, combiner celles d'entre elles qui s'avèrent égales (en raison de l'ambiguïté du fonction inverse), et additionnez les probabilités correspondantes. La série ainsi obtenue sera la série de distribution c. V. Y.

Exemple 11. Discret s. V. X a une série de distribution:

Construire une série de distribution de son carré

Solution. La série de distribution « non ordonnée » a la forme :

Organisons les valeurs de c. V. Oui par ordre croissant, nous combinons les égaux et additionnons leurs probabilités ; on obtient la série de distribution c. V. Oui

Exemple 12. Le nombre de défauts sur un tronçon d'une ligne à haute tension au cours d'une année a une distribution de Poisson avec le paramètre UN. Le total des dégâts matériels résultant de ces défauts est proportionnel au carré de leur nombre :

où c > 0 est une valeur non aléatoire. Trouvez la loi de répartition de ces dommages.

Solution. Plage de distribution X a la forme :

Puisque les valeurs Oui augmenter avec les valeurs X et parmi eux il n'y a pas de coïncidences (la fonction inverse dans la zone 0, 1, T,... est sans ambiguïté), alors la série de distribution Timet a la forme :

PARTIE 6

FONCTIONS DE VARIABLES ALÉATOIRES

Conférence 11

1. LOI DE DISTRIBUTION ET CARACTÉRISTIQUES NUMÉRIQUES DES FONCTIONS DE VARIABLES ALÉATOIRES

OBJECTIF DE LA CONFÉRENCE : introduire la notion de fonction de variable aléatoire et classer les problèmes qui se posent dans ce cas ; dériver la loi de distribution d'une fonction d'un argument aléatoire et la loi de distribution de la somme de deux variables aléatoires ; expliquer le concept de composition des lois de distribution.

Le concept de fonction d'une variable aléatoire

Parmi les applications pratiques de la théorie des probabilités endroit spécial sont occupés par des tâches qui nécessitent de trouver des lois de distribution et/ou des caractéristiques numériques de fonctions de variables aléatoires. Dans le cas le plus simple, le problème se pose comme suit : une influence aléatoire est reçue à l'entrée d'un dispositif technique
; l'appareil est exposé à
une certaine transformation fonctionnelle et en sortie donne une variable aléatoire
(voir Fig. 6.1). Nous connaissons la loi de distribution de la variable aléatoire
, et il est nécessaire de trouver la loi de distribution et/ou les caractéristiques numériques de la variable aléatoire .

Trois principaux défis émergents peuvent être identifiés :

1. Connaître la loi de distribution d'une variable aléatoire
(ou vecteur aléatoire
), trouver la loi de distribution de la variable aléatoire de sortie
(ou
).

2. Connaître la loi de distribution d'une variable aléatoire
, recherchez uniquement les caractéristiques numériques de la variable aléatoire de sortie.

3. Dans certains cas (avec des types particuliers de transformation ) pour trouver les caractéristiques numériques de la sortie, il n'est pas nécessaire de connaître la loi de distribution de la variable aléatoire d'entrée
, mais il suffit de connaître uniquement ses caractéristiques numériques.

Considérons une variable aléatoire , dépendant fonctionnellement de la variable aléatoire
, c'est-à-dire
. Laissez la variable aléatoire
est discret et sa série de distribution est connue :

Où
.

Lorsqu'une valeur de variable aléatoire est fournie à l'entrée
en sortie on obtient
avec probabilité . Et ainsi de suite pour toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire
. Ainsi, nous obtenons une table. 6.1.

Tableau 6.1

Le tableau résultant 6.1 dans le cas général, il peut ne pas y avoir de distribution proche d'une variable aléatoire , puisque les valeurs de la rangée supérieure du tableau peuvent être classées dans un ordre non croissant, et certaines
peut même coïncider.

Pour convertir le tableau. 6.1 dans la série de distribution d'une variable aléatoire il faut ordonner les valeurs possibles
par ordre croissant, et les probabilités de valeurs coïncidentes
doit être plié.

Pour trouver les caractéristiques numériques d’une variable aléatoire il n'est pas nécessaire de transformer (6.1) en série de distribution, puisqu'elles peuvent être calculées à partir du tableau (6.1). En effet, trouver la somme des produits des valeurs possibles d'une variable aléatoire sur leurs probabilités, on obtient

. (6.1)

Ainsi, connaissant uniquement la loi de distribution de l'argument
, vous pouvez trouver l’espérance mathématique d’une fonction d’une variable aléatoire.

De même, on trouve la variance de la variable aléatoire :

De même, nous déterminons les moments initiaux et centraux de n'importe quel ordre d'une variable aléatoire
:

Pour une variable aléatoire continue
, ayant une densité de distribution
, nous obtenons

;

;

On voit que pour trouver les caractéristiques numériques d'une fonction
vous n'avez pas du tout besoin de connaître sa loi de distribution - la connaissance de la loi de distribution des arguments est suffisante
.

Théorèmes sur les caractéristiques numériques des fonctions de variables aléatoires

Dans certains problèmes, les caractéristiques numériques d'un système de variables aléatoires
peut être défini comme des fonctions des caractéristiques numériques d'un système de variables aléatoires
. Dans ce cas, la connaissance de la loi de distribution de l'argument n'est même pas requise, par exemple la densité de distribution conjointe
, mais il suffit de n'avoir que les caractéristiques numériques de ce système de variables aléatoires. Pour résoudre de tels problèmes, les théorèmes suivants sur les caractéristiques numériques des fonctions de variables aléatoires sont formulés :

1.
, 3.
,

2.
, 4.
,

Où est une quantité non aléatoire.

5. pour un nombre quelconque de termes, à la fois indépendants et dépendants, corrélés et non corrélés.

6. Espérance mathématique d'une combinaison linéaire de variables aléatoires
est égal à la même fonction linéaire des espérances mathématiques des variables aléatoires considérées :

.

7. La variance de la somme des variables aléatoires est égale à la somme de tous les éléments de la matrice de corrélation
ces variables aléatoires

.

Puisque la matrice de corrélation
est symétrique par rapport à la diagonale principale sur laquelle se situent les dispersions, alors on réécrit la dernière formule sous la forme

.

Si des variables aléatoires
non corrélé, alors le théorème sur l'addition des variances est valide :

.

8. La variance d'une fonction linéaire de variables aléatoires est déterminée par la formule

.

9. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires est égale au produit des espérances mathématiques plus la covariance

Espérance mathématique du produit de deux non corrélé les variables aléatoires sont égales au produit de leurs attentes mathématiques

10. Variation du produit indépendant variables aléatoires

exprimé par la formule

Si des variables aléatoires
indépendant et centré, on obtient

.

Loi de distribution de la fonction d'un argument aléatoire

Il existe une variable aléatoire continue
avec densité de distribution
associé à une variable aléatoire dépendance fonctionnelle
. Il faut trouver la loi de distribution d'une variable aléatoire .

Considérons le cas où
strictement monotone, continu et différentiable sur l'intervalle
toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire
.

Fonction de distribution
variable aléatoire par définition il y a
. Si la fonction
augmente de façon monotone sur la plage de toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire
, puis l'événement
équivalent à un événement
, Où
il existe une fonction qui est l'inverse de la fonction
. Lorsqu'une variable aléatoire
accepte valeurs sur le site
, puis un point aléatoire
se déplace le long d'une courbe
(l'ordonnée est entièrement déterminée par l'abscisse) (voir Fig. 6.2). De la stricte monotonie
la monotonie suit
, et donc la fonction de distribution de la variable aléatoire peut s'écrire ainsi :

.

Différencier cette expression par inclus dans la limite supérieure de l'intégrale, on obtient la densité de distribution de la variable aléatoire sous la forme

Si la fonction
sur place
valeurs possibles d'une variable aléatoire
diminue de façon monotone, puis, après avoir effectué des calculs similaires, on obtient

. (6.3)

Plage de valeurs possibles d'une variable aléatoire
peut être dans les expressions (6.2) et (6.3) de
à
.

Puisque la densité de distribution ne peut pas être négative, les formules (6.2) et (6.3) peuvent être combinées en une seule

. (6.4)

Exemple . Laissez la variable aléatoire fonctionner
est linéaire, c'est-à-dire
, Où
. Variable aléatoire continue
a une densité de distribution
, puis, en utilisant l'expression (6.4), on trouve la loi de distribution
, étant donné que la fonction inverse est
, et le module de sa dérivée est égal à
,

. (6.5)

Si la variable aléatoire
a une distribution normale

,

alors d'après (6.5) on obtient

.

Il s'agit toujours d'une loi de distribution normale avec une espérance mathématique
, dispersion
et moyenne écart carré
.

À la suite d'une transformation linéaire d'une variable aléatoire normalement distribuée
on obtient une variable aléatoire , également distribué selon la loi normale.

La loi de distribution de la somme de deux variables aléatoires. Composition des lois sur la distribution

Nous avons un système de deux variables aléatoires continues
et leur somme est une variable aléatoire
. Il faut trouver la loi de distribution d'une variable aléatoire , si la densité de distribution conjointe du système est connue
.

La fonction de distribution est la superficie de la région
dans l'avion
, où l'inégalité est vraie
(voir Fig. 6.3), c'est-à-dire

.

P. différencier cette expression par rapport à , on obtient la densité de distribution de probabilité de la variable aléatoire

.

Compte tenu de la symétrie des termes, on peut écrire une relation similaire

.

Si des variables aléatoires Et
sont indépendantes, c'est-à-dire que l'égalité est satisfaite, alors les deux dernières formules prendront la forme :

; (6.6)

. (6.7)

Dans le cas où des variables aléatoires indépendantes sont ajoutées Et
puis ils parlent de compositions de lois de distribution. Pour indiquer la composition des lois de distribution, la notation symbolique suivante est parfois utilisée :
.

La loi de distribution s'appelle composition résistante, si la composition de lois de distribution de ce type aboutit à nouveau à la même loi, mais avec des valeurs de paramètres différentes. Par exemple, si vous ajoutez deux variables aléatoires normales indépendantes, la variable aléatoire résultante aura une loi de distribution normale, c'est-à-dire que la loi normale résiste à la composition. En plus de la loi normale, les lois de distribution d'Erlang, du binôme et de Poisson résistent à la composition.