Fonction de deux exemples d'arguments aléatoires. Lois de distribution des fonctions de variables aléatoires

Chaque variable aléatoire est entièrement déterminée par son fonction de répartition.

Si x . est une variable aléatoire, alors la fonction F(x) = F x(x) = P.(x< x) s'appelle fonction de répartition variable aléatoire x. Ici P.(x<x) - la probabilité que la variable aléatoire x prenne une valeur inférieure à x.

Il est important de comprendre que la fonction de distribution est le « passeport » d'une variable aléatoire : elle contient toutes les informations sur la variable aléatoire et donc l'étude d'une variable aléatoire consiste en l'étude de sa fonction de distribution, qui est souvent simplement appelé distribution.

La fonction de distribution de toute variable aléatoire a les propriétés suivantes :

fonction de deux arguments aléatoires:Sichaque paire de valeurs possibles variables aléatoires et une valeur possible de la variable aléatoire correspond, alors on l'appelle fonction de deux arguments aléatoires et et écris :

Si et sont des variables aléatoires indépendantes discrètes, alors pour trouver la distribution de la fonction, nous devons trouver tous valeurs possibles, pour lequel il suffit d'ajouter chaque valeur possible à toutes les valeurs possibles ; les probabilités des valeurs trouvées sont égales aux produits des probabilités additionnées à partir des valeurs Et.

19. Loi des grands nombres. Les théorèmes de la loi des grands nombres établissent la relation entre hasard et nécessité.

La loi des grands nombres est un nom généralisé pour plusieurs théorèmes, d'où il résulte qu'avec une augmentation illimitée du nombre de tests, les valeurs moyennes tendent vers certaines constantes.

L'inégalité de Chebyshev.

Lemme : Si une variable aléatoire X a une espérance finie M(X) et une variance D(X), alors pour tout e positif, l'inégalité est vraie

Théorème de Chebyshev : Pour un nombre suffisamment grand de variables aléatoires indépendantes X 1, X 2, X 3, ..., X n, dont la variance de chacune d'elles ne dépasse pas le même nombre constant B, pour un petit nombre arbitraire e le L'inégalité suivante est vraie :

Il résulte du théorème que la moyenne arithmétique des variables aléatoires, à mesure que leur nombre augmente, présente la propriété de stabilité, c'est-à-dire qu'elle tend en probabilité vers une valeur non aléatoire, qui est la moyenne arithmétique des attentes mathématiques de ces quantités, c'est-à-dire probabilité d'écart selon valeur absolue la moyenne arithmétique des variables aléatoires à partir de la moyenne arithmétique de leurs attentes mathématiques est inférieure à e lorsque n augmente indéfiniment, il tend vers 1, c'est-à-dire devient un événement presque certain.

un cas particulier du théorème de Chebyshev : Soit dans n essais, n valeurs d'une variable aléatoire sont observées X, avoir une attente mathématique M(X) et écart D(X). Les valeurs obtenues peuvent être considérées comme des variables aléatoires X 1, X 2, X 3, ..., X n,. Il faut le comprendre de cette façon. Série de n les tests sont effectués à plusieurs reprises. Par conséquent, à la suite du i-ème test, i=l, 2, 3, ..., p, dans chaque série de tests, l'une ou l'autre valeur d'une variable aléatoire apparaîtra X, pas connu à l'avance. Ainsi, je-e la valeur xi de la variable aléatoire obtenue au i-ème test change de manière aléatoire lorsqu'on passe d'une série de tests à une autre. Ainsi, chaque valeur x i peut être considérée comme une variable aléatoire XI.

Théorème de Bernoulli. Théorème de Bernoulli : Si la probabilité de l'événement A dans chacun des n essais indépendants est constante et égale à p, alors pour n suffisamment grand pour e arbitraire>0 l'inégalité est vraie

En passant à la limite, on a Le théorème de Bernoulli établit un lien entre la probabilité qu'un événement se produise et sa fréquence relative apparence et permet de prédire approximativement quelle sera cette fréquence dans n essais. D'après le théorème, il ressort clairement que le rapport t/n a la propriété de stabilité avec une augmentation illimitée du nombre de tests.

Parfois (au moment de décider problèmes pratiques) il est nécessaire d'estimer la probabilité que l'écart du nombre m d'occurrence d'un événement dans n essais par rapport au résultat attendu pr ne dépasse pas un certain nombre e. Pour cette estimation, l’inégalité est réécrite comme

20. Théorèmes centraux limites (C.L.T.)- une classe de théorèmes de théorie des probabilités affirmant que la somme est suffisante grande quantité les variables aléatoires faiblement dépendantes qui ont à peu près les mêmes échelles (aucun terme ne domine ou n'apporte une contribution déterminante à la somme) ont une distribution proche de la normale.

Étant donné que de nombreuses variables aléatoires dans les applications se forment sous l'influence de plusieurs facteurs aléatoires faiblement dépendants, leur distribution est considérée comme normale. Dans ce cas, la condition doit être remplie selon laquelle aucun des facteurs n’est dominant. Central théorèmes limites dans ces cas, l'utilisation de la distribution normale est justifiée.

Formule de convolution. Stabilité de la distribution normale.

o Si chaque couple de valeurs possibles des variables aléatoires X et Y correspond à une valeur possible de la variable aléatoire Z, alors Z est appelé fonction de deux arguments aléatoires X et Y :

D'autres exemples montreront comment trouver la distribution d'une fonction à partir de distributions de termes connues. Ce problème se produit souvent dans la pratique. Par exemple, si X est l'erreur dans les lectures d'un appareil de mesure (uniformément répartie), alors la tâche se pose de trouver la loi de distribution de la somme des erreurs.

Cas 1. Soit X et Y- variables aléatoires indépendantes discrètes. Afin d'établir la loi de distribution de la fonction Z=X+Y, il faut trouver toutes les valeurs possibles de Z et leurs probabilités. En d’autres termes, une série de distribution de la variable aléatoire Z est compilée.

Exemple 1. Variables aléatoires indépendantes discrètes X et Y, spécifiées par des distributions

Créez une distribution de la variable aléatoire Z=X+Y.

Les valeurs possibles de Z sont la somme de chaque valeur possible de X avec toutes les valeurs possibles de X.

Trouvons la probabilité de ces valeurs possibles. Pour que Z=4 il suffit que la valeur X prenne les valeurs x 1 =1 et la valeur Y-valeur y 1 =3. Les probabilités de ces valeurs possibles, telles qu'elles résultent de ces lois de répartition, sont respectivement égales à 0,4 et 0,2.

Puisque les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, les événements X=1 et Y=3 sont indépendants et, par conséquent, la probabilité de leur occurrence conjointe (c'est-à-dire la probabilité de l'événement Z=1+3=4) selon la multiplication le théorème est égal à 0,4 0, 2=0,08.

On peut de même trouver

Écrivons la distribution requise en additionnant d'abord les probabilités événements incompatibles Z=z 2 et Z=z 3. (0,32+0,12=0,44)

Contrôle : 0,08+0,44+0,48=1.

Considérons cas général:

Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes qui prennent des valeurs. Notons par, .

Z=X+H. Notons par

Ainsi, - formule de convolution.

Cas 2. Soit X et Y des variables aléatoires continues.

Théorème. Si X et Y sont des variables aléatoires continues indépendantes, alors la variable aléatoire Z=X+Y est également continue et la densité de distribution de la variable aléatoire Z est la formule de convolution.

o Densité de distribution de la somme les variables aléatoires indépendantes sont appelées composition.

Commentaire. Si les valeurs possibles de X et Y sont non négatives, alors formule de convolution .

o La loi de distribution de probabilité s'appelle durable , si la composition de ces lois est la même loi de distribution (différant, d'une manière générale, par les paramètres). La loi normale a des propriétés de stabilité, c'est-à-dire la composition des lois normales a également distribution normale, et l'espérance mathématique et la variance de cette composition sont égales aux sommes des espérances mathématiques et des variances des termes, respectivement :

En particulier, si X~N(0,1) et Y~N(0,1), alors Z=X+Y~N(0,2).

Exemple 2. Soient les variables aléatoires X 1,...,X k indépendantes et ont distribution exponentielle avec paramètre λ>0, c'est-à-dire .

Trouvez la densité de distribution.

Si x≤0, alors.

En effectuant un raisonnement similaire, on obtient :

Caractéristiques numériques du système

Deux variables aléatoires.

Pour décrire un système de deux variables aléatoires, en plus des attentes et des variances mathématiques, d'autres caractéristiques sont utilisées. Ceux-ci incluent la covariance et le facteur de correction.

o Covariance entre les variables aléatoires X et Y est appelé un nombre, où.

Pour les variables aléatoires continues X et Y, utilisez la formule.

Montrons que si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors. Soient X et Y des variables aléatoires continues

o Coefficient de corrélation entre les variables aléatoires X et Y s’appelle un nombre.

Propriétés de corrélation.

Propriété 1. La valeur absolue du coefficient de corrélation ne dépasse pas l'unité, c'est-à-dire .

Propriété 2. Pour qu'il soit nécessaire et suffisant que les variables aléatoires X et Y soient liées par une relation linéaire. Ceux. avec probabilité 1.

Propriété 3. Si les variables aléatoires sont indépendantes, alors elles ne sont pas corrélées, c'est-à-dire r=0.

Soit X et Y indépendants, alors par la propriété d'espérance mathématique

o Deux variables aléatoires X et Y sont appelées corrélé, si leur coefficient de corrélation est différent de zéro.

o Les variables aléatoires X et Y sont dites non corrélées si leur coefficient de corrélation est 0.

Commentaire. La corrélation de deux variables aléatoires implique leur dépendance, mais la dépendance n'implique pas encore la corrélation. De l'indépendance de deux variables aléatoires, il s'ensuit qu'elles ne sont pas corrélées, mais de la non-corrélation il est encore impossible de conclure que ces quantités sont indépendantes.

Le coefficient de corrélation caractérise la tendance des variables aléatoires à dépendance linéaire. Plus la valeur absolue du coefficient de corrélation est élevée, plus la tendance à la dépendance linéaire est grande.

Si chaque paire de valeurs possibles de variables aléatoires X Et Oui correspond à une valeur possible d'une variable aléatoire Z, Que Z appelé fonction de deux arguments aléatoires X Et Oui :

Z= j ( X, Oui).

D'autres exemples montreront comment trouver la distribution de la fonction Z = X + Oui selon des distributions de termes connues. Ce problème se produit souvent dans la pratique. Par exemple, si X- erreur de lecture de l'appareil de mesure (normalement distribué), Oui- l'erreur d'arrondi des lectures à la division d'échelle la plus proche (également répartie), alors la tâche se pose - trouver la loi de distribution de la somme des erreurs Z=X+Y.

1. Laissez X Et Oui-variables aléatoires indépendantes discrètes. Afin d'établir la loi de distribution de la fonction Z = X + Oui, nous devons trouver toutes les valeurs possibles Z et leurs probabilités.

Exemple 1. Les variables aléatoires indépendantes discrètes sont spécifiées par des distributions :

Créer une distribution d'une variable aléatoire Z = X+Y.

Solution. Valeurs possibles Z il y a des sommes de chaque valeur possible X avec toutes les valeurs possibles Oui :

z 1 = 1+ 3= 4; z 2 = 1+ 4= 5; z 3 = 2+ 3= 5; z 4 = 2+ 4= 6.

Trouvons les probabilités de ces valeurs possibles. Pour Z= 4, il suffit que la valeur X a pris le sens x 1 =1 et valeur Oui- signification oui 1 = 3. Les probabilités de ces valeurs possibles, telles qu'elles résultent de ces lois de répartition, sont respectivement égales à 0,4 et 0,2.

Arguments X Et Oui sont indépendants, donc les événements X= 1i Oui= 3 sont indépendants et, par conséquent, la probabilité de leur occurrence conjointe (c'est-à-dire la probabilité de l'événement Z= 1+3 = 4) par le théorème de multiplication est égal à 0,4*0,2 = 0,08.

On peut de même trouver :

P.(Z= 1+ 4= 5) = 0, 4* 0, 8= 0, 32;

R.(Z= 2 + 3 = 5) = 0, 6* 0, 2 = 0, 12;

R.(Z= 2 + 4 = 6)= 0, 6* 0, 8 = 0, 48.

Écrivons la distribution requise en additionnant d'abord les probabilités événements incompatibles Z = z 2 , Z = z 3 (0,32+0,12 = 0,44):

Contrôle : 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1.

2. Laissez X Et Oui- variables aléatoires continues. Prouvé : si X Et Oui indépendant, alors la densité de distribution g(z) montants Z = X + Oui(à condition que la densité d'au moins un des arguments soit spécifiée sur interval() par une formule) peut être trouvée en utilisant l'égalité

(*)

ou en utilisant une égalité équivalente

(**)

Où f 1 ,f 2 - densités de distribution des arguments.

Si les valeurs possibles des arguments sont non négatives, alors g(z) se trouvent à l’aide de la formule

(***)

ou par une formule équivalente

(****)

La densité de distribution de la somme des variables aléatoires indépendantes est appelée composition.

La loi de distribution de probabilité s'appelle durable, si la composition de ces lois est la même loi (différant, d'une manière générale, par les paramètres). La loi normale a la propriété de stabilité : la composition des lois normales a également une distribution normale (l'espérance mathématique et la variance de cette composition sont égales aux sommes des espérances mathématiques et des variances des termes, respectivement). Par exemple, si X Et Oui- variables aléatoires indépendantes distribuées normalement avec des espérances mathématiques et des variances respectivement égales UN 1 = Z, une 2 = 4, D 1 =1, D 2 = 0, 5, puis la composition de ces quantités (c'est-à-dire la densité de probabilité de la somme Z = X+ Oui)est également normalement distribué, et l'espérance mathématique et la variance de la composition sont respectivement égales UN = 3 + 4 = 7; D=l +0,5=1,5.

Exemple 2. Variables aléatoires indépendantes X Et Oui sont donnés par les densités de distribution :

f(x)= ;

f(oui)= .

Trouver la composition de ces lois, c'est-à-dire la densité de distribution de la variable aléatoire Z = X+Y.

Solution. Les valeurs possibles des arguments sont non négatives, nous utiliserons donc la formule (***)

Notez qu'ici z 0 parce que Z=X+Y et, par condition, les valeurs possibles X Et Oui non négatif.

Distribution du chi carré

Laisser X je(je = 1, 2, ...,p) sont des variables aléatoires indépendantes normales, et l'espérance mathématique de chacune d'elles est égale à zéro et l'écart type est égal à un. Alors la somme des carrés de ces quantités

distribué selon la loi du chi carré avec k = n degrés de liberté; si ces quantités sont liées par une relation linéaire, par exemple , puis le nombre de degrés de liberté k=n- 1.

La densité de cette distribution

Où - fonction gamma ; en particulier,

(m+ 1)=n!.

Cela montre que la distribution du Chi carré est déterminée par un paramètre : le nombre de degrés de liberté. k.

À mesure que le nombre de degrés de liberté augmente, la distribution se rapproche lentement de la normale.

Répartition des étudiants

Laisser Z est une variable aléatoire normale, et M(Z) = 0, s( Z)= 1, un V-indépendant de Z une quantité qui est distribuée conformément à la loi avec k degrés de liberté. Alors la valeur

a une distribution appelée t- distribution ou distribution Student (pseudonyme du statisticien anglais W. Gosset), avec k degrés de liberté.

Ainsi, le rapport du normalisé taille normaleÀ racine carréeà partir d'une variable aléatoire indépendante distribuée selon la loi du chi carré avec k degrés de liberté divisés par k, distribué selon la loi de Student avec k degrés de liberté.

À mesure que le nombre de degrés de liberté augmente, la distribution de Student se rapproche rapidement de la normale. Plus d'informations cette répartition est donnée ci-dessous (voir chapitre XVI, § 16).

§ 15. Répartition F Fischer - Snédécor

Si U Et V-variables aléatoires indépendantes distribuées selon la loi avec degrés de liberté k 1 et k 2 , alors la valeur

a une distribution appelée la distribution F Fischer-Snedecor avec degrés de liberté k 1 et k 2 (parfois désigné par V 2).

La densité de cette distribution

On voit que la distribution F est déterminé par deux paramètres : le nombre de degrés de liberté. Des informations complémentaires sur cette répartition sont données ci-dessous (voir chapitre XIX, § 8).

Tâches

1. Trouver l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire X, connaissant sa densité de distribution :

UN) pour d'autres valeurs X ;

b) f(x)= 1/ 2jeà UN- lxa+l, f(x)= 0 pour les autres valeurs X.

représentant un)M(X)= 0, D(X) = l/2; b) M(X)= une, ré(X)= je 2 / 3.

2. Variable aléatoire X normalement distribué. L'espérance mathématique et l'écart type de cette valeur sont respectivement égaux à 6 et 2. Trouvez la probabilité que cela résulte du test. X prendra la valeur contenue dans l’intervalle (4,8).

représentant 0,6826.

3. La variable aléatoire est normalement distribuée. L'écart type de cette valeur est de 0,4. Trouvez la probabilité que l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique en valeur absolue soit inférieur à 0,3.

représentant 0,5468.

4. Des erreurs de mesure aléatoires sont sujettes à loi normale avec moyenne écart carré s=1 mm et espérance mathématique UN= 0. Trouvez la probabilité que sur deux observations indépendantes, l'erreur d'au moins l'une d'entre elles ne dépasse pas 1,28 mm en valeur absolue.

représentant 0,96.

5. Les rouleaux produits par une machine automatique sont considérés comme standard si l'écart du diamètre du rouleau par rapport à la taille de conception ne dépasse pas 2 mm. Déviations aléatoires les diamètres des rouleaux obéissent à la loi normale avec un écart type s = 1,6 mm et une espérance mathématique une = 0. Quel pourcentage de rouleaux standards la machine produit-elle ?

représentant Environ 79 %.

6. Variable aléatoire discrète X donnée par la loi de répartition :