Le graphique de la fonction y sin x est appelé. Leçon "Fonction y=sinx, ses propriétés et son graphique"

Fonctionoui = péchéX

Le graphique de la fonction est une sinusoïde.

La partie complète non répétitive d’une onde sinusoïdale est appelée onde sinusoïdale.

Une demi-onde sinusoïdale est appelée demi-onde sinusoïdale (ou arc).

Propriétés de la fonctionoui = péchéX:

Pour représenter graphiquement une fonction oui= péché X Il est pratique d'utiliser les échelles suivantes :

Sur une feuille de papier avec un carré, on prend la longueur de deux carrés comme unité de segment.

Sur l'axe X Mesurons la longueur π. En même temps, pour plus de commodité, nous présentons 3,14 sous la forme de 3, c'est-à-dire sans fraction. Ensuite, sur une feuille de papier dans une cellule π il y aura 6 cellules (trois fois 2 cellules). Et chaque cellule recevra son propre nom naturel (du premier au sixième) : π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Ce sont les significations X.

Sur l'axe des y, nous marquons 1, qui comprend deux cellules.

Créons un tableau de valeurs de fonction en utilisant nos valeurs X:

Ensuite, nous créerons un calendrier. Ce sera une demi-vague, Le point le plus élevé lequel (π/2; 1). Voici le graphique de la fonction oui= péché X sur le segment. Ajoutons une demi-onde symétrique au graphe construit (symétrique par rapport à l'origine, c'est-à-dire sur le segment -π). La crête de cette demi-onde se trouve sous l'axe des x de coordonnées (-1 ; -1). Le résultat sera une vague. Voici le graphique de la fonction oui= péché X sur le segment [-π ; π].

Vous pouvez continuer la vague en la construisant sur le segment [π ; 3π], [π; 5π], [π; 7π], etc. Sur tous ces segments, le graphique de la fonction aura le même aspect que sur le segment [-π ; π]. Vous obtiendrez une ligne ondulée continue avec des vagues identiques.

Fonctionoui = parce queX.

Le graphique d’une fonction est une onde sinusoïdale (parfois appelée onde cosinusoïdale).

Propriétés de la fonctionoui = parce queX:

Fonctionoui = mf(X).

Reprenons la fonction précédente oui=cos X. Comme vous le savez déjà, son graphique est une onde sinusoïdale. Si on multiplie le cosinus de cette fonction par certain nombre m, alors la vague s'étendra à partir de l'axe X(ou rétrécira, en fonction de la valeur de m).
Cette nouvelle vague sera le graphique de la fonction y = mf(x), où m est n'importe quel nombre réel.

Ainsi, la fonction y = mf(x) est la fonction familière y = f(x) multipliée par m.

Sim< 1, то синусоида сжимается к оси X par le coefficientm. Sim > 1, alors la sinusoïde est étirée depuis l'axeX par le coefficientm.

Lors d'un étirement ou d'une compression, vous pouvez d'abord tracer une seule demi-onde d'une onde sinusoïdale, puis compléter le graphique dans son intégralité.

Fonctiony= F(kx).

Si la fonction y=mf(X) conduit à un étirement de la sinusoïde à partir de l'axe X ou compression vers l'axe X, alors la fonction y = f(kx) conduit à un étirement à partir de l'axe oui ou compression vers l'axe oui.

De plus, k est n’importe quel nombre réel.

À 0< k< 1 синусоида растягивается от оси oui par le coefficientk. Sik > 1, alors la sinusoïde est comprimée vers l'axeoui par le coefficientk.

Lorsque vous représentez graphiquement cette fonction, vous pouvez d'abord créer une demi-onde d'onde sinusoïdale, puis l'utiliser pour compléter le graphique entier.

Fonctionoui = tgX.

Graphique de fonction oui= tg X est une tangente.

Il suffit de construire une partie du graphique dans l'intervalle de 0 à π/2, puis vous pouvez la continuer symétriquement dans l'intervalle de 0 à 3π/2.

Propriétés de la fonctionoui = tgX:

Fonctionoui = CTGX

Graphique de fonction oui=ctg X est aussi une tangentoïde (on l'appelle parfois cotangentoïde).

Propriétés de la fonctionoui = CTGX:

Dans cette leçon, nous examinerons en détail la fonction y = sin x, ses propriétés de base et son graphique. Au début de la leçon nous donnerons une définition fonction trigonométrique y = péché t sur cercle de coordonnées et considérons le graphique d’une fonction sur un cercle et une droite. Montrons la périodicité de cette fonction sur le graphique et considérons les principales propriétés de la fonction. A la fin de la leçon, nous résoudrons plusieurs problèmes simples en utilisant le graphique d'une fonction et ses propriétés.

Sujet : Fonctions trigonométriques

Leçon : Fonction y=sinx, ses propriétés de base et son graphique

Lorsque l’on considère une fonction, il est important d’associer chaque valeur d’argument à une seule valeur de fonction. Ce droit de la correspondance et s'appelle une fonction.

Définissons la loi de correspondance pour .

Tout nombre réel correspond à un seul point sur cercle unitaire Un point a une seule ordonnée, appelée sinus du nombre (Fig. 1).

Chaque valeur d'argument est associée à une seule valeur de fonction.

Des propriétés évidentes découlent de la définition du sinus.

La figure montre que parce que est l'ordonnée d'un point sur le cercle unité.

Considérez le graphique de la fonction. Souvenons-nous interprétation géométrique argument. L'argument est angle central, mesuré en radians. Le long de l'axe, nous tracerons nombres réels ou des angles en radians, le long de l'axe les valeurs de fonction correspondantes.

Par exemple, un angle sur le cercle unité correspond à un point sur le graphique (Fig. 2)

Nous avons obtenu un graphique de la fonction dans l'aire mais connaissant la période du sinus, nous pouvons représenter le graphique de la fonction sur tout le domaine de définition (Fig. 3).

La période principale de la fonction est Cela signifie que le graphique peut être obtenu sur un segment puis poursuivi sur tout le domaine de définition.

Considérez les propriétés de la fonction :

1) Portée de la définition :

2) Plage de valeurs :

3) Fonction étrange :

4) Plus petite période positive :

5) Coordonnées des points d'intersection du graphique avec l'axe des abscisses :

6) Coordonnées du point d'intersection du graphique avec l'axe des ordonnées :

7) Intervalles auxquels la fonction prend des valeurs positives :

8) Intervalles auxquels la fonction prend des valeurs négatives :

9) Intervalles croissants :

10) Intervalles décroissants :

11) Points minimum :

12) Fonctions minimales :

13) Nombre maximum de points :

14) Fonctions maximales :

Nous avons examiné les propriétés de la fonction et de son graphique. Les propriétés seront utilisées à plusieurs reprises lors de la résolution de problèmes.

Bibliographie

1. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Tutoriel pour les établissements d'enseignement (niveau de profil) éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2009.

2. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algèbre et analyse mathematique pour la 10e année ( Didacticiel pour les étudiants des écoles et des classes avec une étude approfondie des mathématiques).-M. : Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Étude approfondie de l'algèbre et de l'analyse mathématique.-M. : Education, 1997.

5. Recueil de problèmes de mathématiques pour les candidats aux établissements d'enseignement supérieur (édité par M.I. Skanavi - M. : Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulateur algébrique.-K. : A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problèmes d'algèbre et principes d'analyse (un manuel pour les étudiants de la 10e à la 11e année des établissements d'enseignement général - M. : Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Recueil de problèmes sur l'algèbre et principes d'analyse : manuel. allocation pour les classes 10-11. avec profondeur étudié Mathématiques.-M. : Éducation, 2006.

Devoirs

Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd.

A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ressources Web supplémentaires

3. Portail éducatif se préparer aux examens ().

Nous avons découvert que le comportement des fonctions trigonométriques et des fonctions y = péché x en particulier, sur toute la droite numérique (ou pour toutes les valeurs de l'argument X) est entièrement déterminé par son comportement dans l'intervalle 0 < X < π / 2 .

Nous allons donc tout d’abord tracer la fonction y = péché x exactement dans cet intervalle.

Faisons le tableau suivant des valeurs de notre fonction ;

En marquant les points correspondants sur le plan de coordonnées et en les reliant par une ligne lisse, on obtient la courbe représentée sur la figure

La courbe résultante pourrait également être construite géométriquement, sans établir de tableau de valeurs de fonction. y = péché x .

1. Divisez le premier quart d'un cercle de rayon 1 en 8 parties égales. Les ordonnées des points de séparation du cercle sont les sinus des angles correspondants.

2.Le premier quart du cercle correspond aux angles de 0 à π / 2 . Donc sur l’axe X Prenons un segment et divisons-le en 8 parties égales.

3. Traçons des lignes droites parallèles aux axes X, et à partir des points de division, nous construisons des perpendiculaires jusqu'à ce qu'elles croisent des lignes horizontales.

4. Reliez les points d'intersection avec une ligne lisse.

Regardons maintenant l'intervalle π / 2 < X < π .
Chaque valeur d'argument X de cet intervalle peut être représenté comme

X = π / 2 + φ

Où 0 < φ < π / 2 . Selon les formules de réduction

péché ( π / 2 + φ ) = cos φ = péché ( π / 2 - φ ).

Points d'axe X avec abscisses π / 2 + φ Et π / 2 - φ symétriques l'un par rapport à l'autre par rapport au point de l'axe X en abscisse π / 2 , et les sinus en ces points sont les mêmes. Cela nous permet d'obtenir un graphique de la fonction y = péché x dans l'intervalle [ π / 2 , π ] en affichant simplement symétriquement le graphique de cette fonction dans l'intervalle par rapport à la droite X = π / 2 .

J'utilise maintenant la propriété fonction de parité impaire y = péché x,

péché(- X) = - péché X,

il est facile de tracer cette fonction dans l'intervalle [- π , 0].

La fonction y = sin x est périodique de période 2π ;. Par conséquent, pour construire l'intégralité du graphique de cette fonction, il suffit de continuer périodiquement la courbe montrée sur la figure à gauche et à droite avec un point 2π .

La courbe résultante est appelée sinusoïde . Il représente le graphique de la fonction y = péché x.

La figure illustre bien toutes les propriétés de la fonction y = péché x , ce que nous avons déjà prouvé. Rappelons ces propriétés.

1) Fonction y = péché x défini pour toutes les valeurs X , donc son domaine est l'ensemble de tous les nombres réels.

2) Fonction y = péché x limité. Toutes les valeurs qu'il accepte sont comprises entre -1 et 1, y compris ces deux nombres. Par conséquent, la plage de variation de cette fonction est déterminée par l'inégalité -1 < à < 1. Quand X = π / 2 + 2k π la fonction prend valeurs les plus élevées, égal à 1, et pour x = - π / 2 + 2k π - plus petites valeurs, égal à - 1.

3) Fonction y = péché x est étrange (la sinusoïde est symétrique par rapport à l'origine).

4) Fonction y = péché x périodique avec période 2 π .

5) À 2n intervalles π < X < π + 2n π (n est n'importe quel nombre entier) il est positif, et par intervalles π + 2k π < X < 2π + 2k π (k est n'importe quel entier), il est négatif. À x = k π la fonction passe à zéro. Par conséquent, ces valeurs de l'argument x (0 ; ± π ; ±2 π ; ...) sont appelés zéros de fonction y = péché x

6) À intervalles - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π fonction y = péché X augmente de façon monotone et par intervalles π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π il diminue de façon monotone.

Vous devez accorder une attention particulière au comportement de la fonction y = péché x près du point X = 0 .

Par exemple, sin 0,012 ≈ 0,012 ; péché(-0,05) ≈ -0,05;

péché 2° = péché π 2 / 180 = péché π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Dans le même temps, il convient de noter que pour toute valeur de x

| péché X| < | X | . (1)

En effet, soit le rayon du cercle représenté sur la figure égal à 1,
un / AOB = X.

Alors le péché X= CA. Mais ca< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. La longueur de cet arc est évidemment égale à X, puisque le rayon du cercle est 1. Donc, à 0< X < π / 2

péché x< х.

Par conséquent, en raison de l’étrangeté de la fonction y = péché x il est facile de montrer que lorsque - π / 2 < X < 0

| péché X| < | X | .

Enfin, quand X = 0

| péché x | = | x |.

Ainsi, pour | X | < π / 2 l’inégalité (1) a été prouvée. En fait, cette inégalité est également vraie pour | X | > π / 2 en raison du fait que | péché X | < 1, un π / 2 > 1

Des exercices

1.Selon le graphique de la fonction y = péché x déterminer : a) péché 2 ; b) péché 4 ; c) péché (-3).

2.Selon le graphique de fonction y = péché x déterminer quel nombre de l'intervalle
[ - π / 2 , π / 2 ] a un sinus égal à : a) 0,6 ; b) -0,8.

3. Selon le graphique de la fonction y = péché x déterminer quels nombres ont un sinus,
égal à 1/2.

4. Trouver approximativement (sans utiliser de tableaux) : a) sin 1° ; b) péché 0,03 ;
c) péché (-0,015) ; d) péché (-2°30").

Dans cette leçon, nous examinerons en détail la fonction y = sin x, ses propriétés de base et son graphique. Au début de la leçon, nous donnerons la définition de la fonction trigonométrique y = sin t sur le cercle de coordonnées et considérerons le graphique de la fonction sur le cercle et la droite. Montrons la périodicité de cette fonction sur le graphique et considérons les principales propriétés de la fonction. A la fin de la leçon, nous résoudrons plusieurs problèmes simples en utilisant le graphique d'une fonction et ses propriétés.

Sujet : Fonctions trigonométriques

Leçon : Fonction y=sinx, ses propriétés de base et son graphique

Lorsque l’on considère une fonction, il est important d’associer chaque valeur d’argument à une seule valeur de fonction. Ce droit de la correspondance et s'appelle une fonction.

Définissons la loi de correspondance pour .

Tout nombre réel correspond à un seul point sur le cercle unité. Un point a une seule ordonnée, appelée le sinus du nombre (Fig. 1).

Chaque valeur d'argument est associée à une seule valeur de fonction.

Des propriétés évidentes découlent de la définition du sinus.

La figure montre que parce que est l'ordonnée d'un point sur le cercle unité.

Considérez le graphique de la fonction. Rappelons l'interprétation géométrique de l'argument. L'argument est l'angle au centre, mesuré en radians. Le long de l'axe nous tracerons les nombres réels ou les angles en radians, le long de l'axe les valeurs correspondantes de la fonction.

Par exemple, un angle sur le cercle unité correspond à un point sur le graphique (Fig. 2)

Nous avons obtenu un graphique de la fonction dans l'aire mais connaissant la période du sinus, nous pouvons représenter le graphique de la fonction sur tout le domaine de définition (Fig. 3).

La période principale de la fonction est Cela signifie que le graphique peut être obtenu sur un segment puis poursuivi sur tout le domaine de définition.

Considérez les propriétés de la fonction :

1) Portée de la définition :

2) Plage de valeurs :

3) Fonction étrange :

4) Plus petite période positive :

5) Coordonnées des points d'intersection du graphique avec l'axe des abscisses :

6) Coordonnées du point d'intersection du graphique avec l'axe des ordonnées :

7) Intervalles auxquels la fonction prend des valeurs positives :

8) Intervalles auxquels la fonction prend des valeurs négatives :

9) Intervalles croissants :

10) Intervalles décroissants :

11) Points minimum :

12) Fonctions minimales :

13) Nombre maximum de points :

14) Fonctions maximales :

Nous avons examiné les propriétés de la fonction et de son graphique. Les propriétés seront utilisées à plusieurs reprises lors de la résolution de problèmes.

Bibliographie

1. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Manuel pour les établissements d'enseignement général (niveau profil), éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2009.

2. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algèbre et analyse mathématique pour la 10e année (manuel pour les élèves des écoles et classes avec étude approfondie des mathématiques - M. : Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Étude approfondie de l'algèbre et de l'analyse mathématique.-M. : Education, 1997.

5. Recueil de problèmes de mathématiques pour les candidats aux établissements d'enseignement supérieur (édité par M.I. Skanavi - M. : Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulateur algébrique.-K. : A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problèmes d'algèbre et principes d'analyse (un manuel pour les étudiants de la 10e à la 11e année des établissements d'enseignement général - M. : Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Recueil de problèmes sur l'algèbre et principes d'analyse : manuel. allocation pour les classes 10-11. avec profondeur étudié Mathématiques.-M. : Éducation, 2006.

Devoirs

Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd.

A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ressources Web supplémentaires

3. Portail pédagogique pour la préparation aux examens ().

Dans cette leçon, nous examinerons en détail la fonction y = sin x, ses propriétés de base et son graphique. Au début de la leçon, nous donnerons la définition de la fonction trigonométrique y = sin t sur le cercle de coordonnées et considérerons le graphique de la fonction sur le cercle et la droite. Montrons la périodicité de cette fonction sur le graphique et considérons les principales propriétés de la fonction. A la fin de la leçon, nous résoudrons plusieurs problèmes simples en utilisant le graphique d'une fonction et ses propriétés.

Sujet : Fonctions trigonométriques

Leçon : Fonction y=sinx, ses propriétés de base et son graphique

Lorsque l’on considère une fonction, il est important d’associer chaque valeur d’argument à une seule valeur de fonction. Ce droit de la correspondance et s'appelle une fonction.

Définissons la loi de correspondance pour .

Tout nombre réel correspond à un seul point sur le cercle unité. Un point a une seule ordonnée, appelée le sinus du nombre (Fig. 1).

Chaque valeur d'argument est associée à une seule valeur de fonction.

Des propriétés évidentes découlent de la définition du sinus.

La figure montre que parce que est l'ordonnée d'un point sur le cercle unité.

Considérez le graphique de la fonction. Rappelons l'interprétation géométrique de l'argument. L'argument est l'angle au centre, mesuré en radians. Le long de l'axe nous tracerons les nombres réels ou les angles en radians, le long de l'axe les valeurs correspondantes de la fonction.

Par exemple, un angle sur le cercle unité correspond à un point sur le graphique (Fig. 2)

Nous avons obtenu un graphique de la fonction dans l'aire mais connaissant la période du sinus, nous pouvons représenter le graphique de la fonction sur tout le domaine de définition (Fig. 3).

La période principale de la fonction est Cela signifie que le graphique peut être obtenu sur un segment puis poursuivi sur tout le domaine de définition.

Considérez les propriétés de la fonction :

1) Portée de la définition :

2) Plage de valeurs :

3) Fonction étrange :

4) Plus petite période positive :

5) Coordonnées des points d'intersection du graphique avec l'axe des abscisses :

6) Coordonnées du point d'intersection du graphique avec l'axe des ordonnées :

7) Intervalles auxquels la fonction prend des valeurs positives :

8) Intervalles auxquels la fonction prend des valeurs négatives :

9) Intervalles croissants :

10) Intervalles décroissants :

11) Points minimum :

12) Fonctions minimales :

13) Nombre maximum de points :

14) Fonctions maximales :

Nous avons examiné les propriétés de la fonction et de son graphique. Les propriétés seront utilisées à plusieurs reprises lors de la résolution de problèmes.

Bibliographie

1. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Manuel pour les établissements d'enseignement général (niveau profil), éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2009.

2. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algèbre et analyse mathématique pour la 10e année (manuel pour les élèves des écoles et classes avec étude approfondie des mathématiques - M. : Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Étude approfondie de l'algèbre et de l'analyse mathématique.-M. : Education, 1997.

5. Recueil de problèmes de mathématiques pour les candidats aux établissements d'enseignement supérieur (édité par M.I. Skanavi - M. : Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulateur algébrique.-K. : A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problèmes d'algèbre et principes d'analyse (un manuel pour les étudiants de la 10e à la 11e année des établissements d'enseignement général - M. : Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Recueil de problèmes sur l'algèbre et principes d'analyse : manuel. allocation pour les classes 10-11. avec profondeur étudié Mathématiques.-M. : Éducation, 2006.

Devoirs

Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd.

A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ressources Web supplémentaires

3. Portail pédagogique pour la préparation aux examens ().