Comment trouver la somme des angles d'un triangle. Renforcer la matière apprise

Ce théorème est également formulé dans le manuel de L.S. Atanasyan. , et dans le manuel de Pogorelov A.V. . Les preuves de ce théorème dans ces manuels ne diffèrent pas de manière significative, et c'est pourquoi nous présentons sa preuve, par exemple, du manuel d'A.V. Pogorelov.

Théorème : La somme des angles d'un triangle est 180°

Preuve. Laissez ABC - triangle donné. Traçons une ligne passant par le sommet B parallèle à la ligne AC. Marquons dessus le point D de manière à ce que les points A et D se trouvent le long différents côtés de la ligne directe BC (Fig. 6).

Les angles DBC et ACB sont égaux aux angles internes croisés, formés par la sécante BC avec les droites parallèles AC et BD. Par conséquent, la somme des angles d’un triangle aux sommets B et C est égale à l’angle ABD. Et la somme des trois angles d’un triangle est égale à la somme des angles ABD et BAC. Puisqu’il s’agit d’angles intérieurs unilatéraux pour les parallèles AC et BD et sécants AB, leur somme est de 180°. Le théorème a été prouvé.

L'idée de cette preuve est de réaliser ligne parallèle et désignation de l'égalité des angles souhaités. Reconstruisons l'idée d'un tel construction supplémentaire, prouvant ce théorème en utilisant le concept d'expérience de pensée. Preuve du théorème à l'aide d'une expérience de pensée. Ainsi, le sujet de notre expérience de pensée concerne les angles d’un triangle. Plaçons-le mentalement dans des conditions où son essence peut se révéler avec une certitude particulière (étape 1).

De telles conditions seront une telle disposition des coins du triangle dans laquelle leurs trois sommets seront combinés en un seul point. Une telle combinaison est possible si l'on autorise la possibilité de « déplacer » les coins en déplaçant les côtés du triangle sans changer l'angle d'inclinaison (Fig. 1). De tels mouvements sont essentiellement des transformations mentales ultérieures (étape 2).

En désignant les angles et les côtés d'un triangle (Fig. 2), les angles obtenus en « bougeant », nous formons ainsi mentalement l'environnement, le système de connexions dans lequel nous plaçons notre sujet de pensée (étape 3).

La ligne AB, « se déplaçant » le long de la ligne BC et sans changer l'angle d'inclinaison, transfère l'angle 1 à l'angle 5, et « se déplaçant » le long de la ligne AC, transfère l'angle 2 à l'angle 4. Puisqu'avec un tel « mouvement » la ligne AB ne change pas l'angle d'inclinaison des lignes AC et BC, alors la conclusion est évidente : les rayons a et a1 sont parallèles à AB et se transforment l'un dans l'autre, et les rayons b et b1 sont respectivement une continuation des côtés BC et AC. Puisque l’angle 3 et l’angle entre les rayons b et b1 sont verticaux, ils sont égaux. La somme de ces angles est égale à l’angle de rotation aa1, soit 180°.

CONCLUSION

DANS travail de diplôme réalisé des preuves « construites » de certaines écoles théorèmes géométriques, en utilisant la structure d'une expérience de pensée, qui a confirmé l'hypothèse formulée.

Les preuves présentées étaient basées sur de telles idéalisations visuelles et sensorielles : « compression », « étirement », « glissement », qui ont permis de transformer l'objet géométrique original d'une manière particulière et de mettre en évidence ses caractéristiques essentielles, typiques d'une pensée. expérience. Dans ce cas, une expérience de pensée agit comme un certain « outil créatif » qui contribue à l'émergence de connaissances géométriques (par exemple, sur ligne médiane trapèze ou autour des angles d'un triangle). De telles idéalisations permettent d'appréhender toute l'idée de preuve, l'idée de réaliser une « construction supplémentaire », ce qui permet de parler de la possibilité d'une compréhension plus consciente par les écoliers du processus de preuve déductive formelle de théorèmes géométriques.

Une expérience de pensée est l'une des méthodes de base pour obtenir et découvrir des théorèmes géométriques. Il est nécessaire de développer une méthodologie pour transférer la méthode à l'étudiant. La question reste ouverte sur l’âge d’un élève acceptable pour « accepter » la méthode, sur « effets secondaires» les preuves ainsi présentées.

Ces questions nécessitent une étude plus approfondie. Mais en tout cas, une chose est sûre : une expérience de pensée se développe chez les écoliers pensée théorique, constitue sa base et, par conséquent, la capacité d’expérimentation mentale doit être développée.

>>Géométrie : Somme des angles d'un triangle. Cours complets

SUJET DE LA LEÇON : Somme des angles d'un triangle.

Objectifs de la leçon :

• Consolider et tester les connaissances des étudiants sur le thème : « Somme des angles d'un triangle » ;
• Preuve des propriétés des angles d'un triangle ;
• Application de cette propriété à la résolution de problèmes simples ;
• Usage matériel historique pour le développement activité cognitiveétudiants;
• Inculquer la compétence de précision lors de la construction de dessins.

Objectifs de la leçon :

• Testez les compétences des élèves en résolution de problèmes.

Plan de cours :

1. Triangle;
2. Théorème sur la somme des angles d'un triangle ;
3. Exemples de tâches.

Triangle.

Fichier:O.gif Triangle- le polygone le plus simple ayant 3 sommets (angles) et 3 côtés ; partie du plan délimitée par trois points et trois segments reliant ces points deux à deux.
Trois points de l'espace qui ne se trouvent pas sur la même droite correspondent à un et un seul plan.
N'importe quel polygone peut être divisé en triangles - ce processus est appelé triangulation.
Il existe une section de mathématiques entièrement consacrée à l'étude des lois des triangles - Trigonométrie.

Théorème sur la somme des angles d'un triangle.

Fichier:T.gif Le théorème de la somme des angles du triangle est un théorème classique de la géométrie euclidienne qui stipule que la somme des angles d'un triangle est de 180°.

Preuve" :

Soit Δ ABC. Traçons une ligne parallèle à (AC) passant par le sommet B et marquons dessus le point D de sorte que les points A et D se trouvent sur les côtés opposés de la ligne BC. Alors l'angle (DBC) et l'angle (ACB) sont égaux comme étant internes transversalement aux droites parallèles BD et AC et à la sécante (BC). Alors la somme des angles du triangle aux sommets B et C est égale à l'angle (ABD). Mais l'angle (ABD) et l'angle (BAC) au sommet A du triangle ABC sont unilatéraux internes aux droites parallèles BD et AC et à la sécante (AB), et leur somme est de 180°. La somme des angles d’un triangle vaut donc 180°. Le théorème a été prouvé.

Conséquences.

Angle externe d'un triangle égal à la somme deux angles d'un triangle qui ne lui sont pas adjacents.

Preuve:

Soit Δ ABC. Le point D se trouve sur la droite AC de sorte que A se situe entre C et D. Alors BAD est extérieur à l'angle du triangle au sommet A et A + BAD = 180°. Mais A + B + C = 180°, et donc B + C = 180° – A. Donc BAD = B + C. Le corollaire est prouvé.

Conséquences.

L’angle extérieur d’un triangle est plus grand que tout angle du triangle qui ne lui est pas adjacent.

Tâche.

Un angle extérieur d'un triangle est un angle adjacent à n'importe quel angle de ce triangle. Prouvez que coin extérieur d'un triangle est égal à la somme de deux angles d'un triangle qui ne lui sont pas adjacents.
(Fig.1)

Solution:

Soit Δ ABC ∠DAС externe (Fig. 1). Alors ∠DAC=180°-∠BAC (par propriété coins adjacents), d'après le théorème sur la somme des angles d'un triangle ∠B+∠C = 180°-∠BAC. De ces égalités on obtient ∠DAС=∠В+∠С

Fait intéressant :

Somme des angles d'un triangle" :

En géométrie Lobatchevski, la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180. En géométrie euclidienne, elle est toujours égale à 180. En géométrie Riemann, la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180.

De l'histoire des mathématiques :

Euclide (IIIe siècle avant JC) dans son ouvrage « Éléments » donne la définition suivante : « Les lignes parallèles sont des lignes qui sont dans le même plan et, s'étendant indéfiniment dans les deux directions, ne se rencontrent d'aucun côté. »
Posidonius (1er siècle avant JC) « Deux lignes droites situées dans le même plan, également espacées l'une de l'autre »
L'ancien scientifique grec Pappus (IIIe siècle avant JC) a introduit le symbole du parallèle signe droit=. Ensuite économiste anglais Ricardo (1720-1823) utilisait ce symbole comme signe égal.
Ce n'est qu'au XVIIIe siècle qu'ils ont commencé à utiliser le symbole des lignes parallèles - le signe ||.
Le lien vivant entre les générations n'est pas interrompu un instant ; chaque jour, nous apprenons l'expérience accumulée par nos ancêtres. Grecs anciens sur la base d'observations et de expérience pratique ils tiraient des conclusions, exprimaient des hypothèses, puis, lors de réunions de scientifiques - des colloques (littéralement « festin ») - ils essayaient d'étayer et de prouver ces hypothèses. À cette époque, la déclaration est apparue : « La vérité naît dans la contestation ».

Questions :

1. Qu'est-ce qu'un triangle ?
2. Que dit le théorème sur la somme des angles d’un triangle ?
3. Quel est l'angle extérieur du triangle ?

Buts et objectifs :

Pédagogique:

• répéter et généraliser les connaissances sur le triangle ;
• prouver le théorème sur la somme des angles d'un triangle ;
• vérifier pratiquement l'exactitude de la formulation du théorème ;
• apprendre à appliquer les connaissances acquises lors de la résolution de problèmes.

Pédagogique:

• développer la pensée géométrique, l'intérêt pour le sujet, les fonctions cognitives et activité créativeétudiants, discours mathématique, la capacité d'acquérir des connaissances de manière indépendante.

Pédagogique:

• développer qualités personnellesétudiants, comme la détermination, la persévérance, la précision, la capacité à travailler en équipe.

Équipement: projecteur multimédia, triangles en papier de couleur, matériel pédagogique" Mathématiques vivantes", ordinateur, écran.

Étape préparatoire : L'enseignant donne à l'élève la tâche de se préparer informations historiquesà propos du théorème « Somme des angles d’un triangle ».

Type de cours: apprendre du nouveau matériel.

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel

Salutations. Attitude psychologiqueétudiants à travailler.

II. Réchauffer

AVEC figure géométrique« triangle » que nous avons rencontré dans les leçons précédentes. Répétons ce que l'on sait du triangle ?

Les étudiants travaillent en groupes. Ils ont la possibilité de communiquer entre eux, chacun construisant indépendamment le processus cognitif.

Ce qui s'est passé? Chaque groupe fait ses propositions, l'enseignant les écrit au tableau. Les résultats sont discutés :

Figure 1

III. Formuler l'objectif de la leçon

Nous en savons donc déjà beaucoup sur le triangle. Mais pas tous. Chacun de vous a des triangles et des rapporteurs sur son bureau. Quel genre de problème pensez-vous que nous pouvons formuler ?

Les élèves formulent la tâche de la leçon : trouver la somme des angles d'un triangle.

IV. Explication du nouveau matériel

Partie pratique(favorise la mise à jour des connaissances et des compétences de connaissance de soi). Mesurez les angles à l'aide d'un rapporteur et trouvez leur somme. Notez les résultats dans votre cahier (écoutez les réponses reçues). On découvre que la somme des angles est différente pour chacun (cela peut arriver parce que le rapporteur n'a pas été appliqué avec précision, que le calcul a été effectué avec négligence, etc.).

Pliez le long des lignes pointillées et découvrez à quoi d'autre la somme des angles d'un triangle est égale :

UN)
Figure 2

b)
Figure 3

V)
Figure 4

G)
Figure 5

d)
Figure 6

Après avoir réalisé les travaux pratiques, les étudiants formulent la réponse : La somme des angles d'un triangle est égale à mesure de degré angle déplié, soit 180°.

Enseignant : En mathématiques travaux pratiques Cela permet seulement de faire une sorte de déclaration, mais cela doit être prouvé. Un énoncé dont la validité est établie par une preuve s'appelle un théorème. Quel théorème pouvons-nous formuler et prouver ?

Étudiants: La somme des angles d'un triangle est de 180 degrés.

Informations historiques : La propriété de la somme des angles d'un triangle a été établie dans Egypte ancienne. La preuve présentée dans manuels modernes, contenu dans les commentaires de Proclus sur les Éléments d'Euclide. Proclus prétend que cette preuve (Fig. 8) a été découverte par les Pythagoriciens (Ve siècle avant JC). Dans le premier livre des Éléments, Euclide expose une autre preuve du théorème sur la somme des angles d'un triangle, qui peut être facilement compris à l'aide d'un dessin (Fig. 7) :

Figure 7

Figure 8

Les dessins sont affichés sur l'écran grâce à un projecteur.

L'enseignant propose de prouver le théorème à l'aide de dessins.

Ensuite, la preuve est réalisée à l'aide du complexe d'enseignement et d'apprentissage « Mathématiques vivantes ». L'enseignant projette la preuve du théorème sur l'ordinateur.

Théorème sur la somme des angles d'un triangle : "La somme des angles d'un triangle est 180°"

Figure 9

Preuve:

UN)

Figure 10

b)

Figure 11

V)

Figure 12

Les étudiants font dans des cahiers brève note preuve du théorème :

Théorème: La somme des angles d'un triangle est de 180°.

Figure 13

Donné:ΔABC

Prouver: A + B + C = 180°.

Preuve:

Ce qu’il fallait prouver.

V. Phys. juste une minute.

VI. Explication du nouveau matériel (suite)

Le corollaire du théorème sur la somme des angles d'un triangle est déduit par les élèves de manière indépendante, cela contribue au développement de la capacité de formuler propre point point de vue, l’exprimer et le défendre :

Dans tout triangle, soit tous les angles sont aigus, soit deux sont aigus et le troisième est obtus ou droit..

Si un triangle a tous des angles aigus, alors on l'appelle à angle aigu.

Si l’un des angles d’un triangle est obtus, alors on l’appelle à angle obtus.

Si l’un des angles d’un triangle est droit, alors on l’appelle rectangulaire.

Le théorème sur la somme des angles des triangles permet de classer les triangles non seulement par côtés, mais aussi par angles. (Au fur et à mesure que les élèves présentent les types de triangles, les élèves remplissent le tableau)

Tableau 1

Vue triangulaire	Isocèle	Équilatéral	Polyvalent
Rectangulaire
Obtus
Angle aigu

VII. Consolidation du matériel étudié.

1. Résoudre les problèmes oralement :

(Les dessins sont affichés sur l'écran via un projecteur)

Tâche 1. Trouver l'angle C.

Figure 14

Problème 2. Trouvez l'angle F.

Figure 15

Tâche 3. Trouvez les angles K et N.

Figure 16

Problème 4. Trouvez les angles P et T.

Figure 17

1. Résolvez vous-même le problème n° 223 (b, d).
2. Résoudre le problème au tableau et dans les cahiers, élève n°224.
3. Questions : Un triangle peut-il avoir : a) deux angles droits ; b) deux angles obtus; c) un angle droit et un angle obtus.
4. (fait oralement) Les cartes sur chaque table montrent différents triangles. Déterminez à l’œil nu le type de chaque triangle.

Figure 18

1. Trouvez la somme des angles 1, 2 et 3.

Figure 19

VIII. Résumé de la leçon.

Enseignant : Qu'avons-nous appris ? Le théorème est-il applicable à n’importe quel triangle ?

IX. Réflexion.

Dites-moi votre humeur, les gars ! AVEC revers utilisez un triangle pour représenter vos expressions faciales.

Figure 20

Devoirs: paragraphe 30 (partie 1), question 1 ch. IV page 89 du manuel ; N° 223 (a, c), n° 225.

Théorème. Somme coins internes d'un triangle est égal à deux angles droits.

Prenons un triangle ABC (Fig. 208). Notons ses angles intérieurs par les nombres 1, 2 et 3. Montrons que

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Traçons par un sommet du triangle, par exemple B, une droite MN parallèle à AC.

Au sommet B, nous avons trois angles : ∠4, ∠2 et ∠5. Leur somme est un angle droit, il est donc égal à 180° :

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Mais ∠4 = ∠1 sont des angles transversaux internes de droites parallèles MN et AC et sécantes AB.

∠5 = ∠3 - ce sont des angles transversaux internes avec des lignes parallèles MN et AC et sécantes BC.

Cela signifie que ∠4 et ∠5 peuvent être remplacés par leurs égaux ∠1 et ∠3.

Par conséquent, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Le théorème a été prouvé.

2. Propriété de l'angle extérieur d'un triangle.

En fait, dans triangle ABC(Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, mais aussi ∠ВСD, l'angle extérieur de ce triangle, non adjacent à ∠1 et ∠2, est également égal à 180° - ∠3.

Ainsi:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3 ;

∠BCD = 180° - ∠3.

Par conséquent, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

La propriété dérivée de l'angle extérieur d'un triangle clarifie le contenu du théorème précédemment prouvé sur l'angle extérieur d'un triangle, qui stipulait seulement que l'angle extérieur d'un triangle est plus grand que chaque angle intérieur d'un triangle qui ne lui est pas adjacent ; or il est établi que l'angle externe est égal à la somme des deux angles internes qui ne lui sont pas adjacents.

3. Propriété d'un triangle rectangle d'un angle de 30°.

Laisser entrer triangle rectangle L'angle ASV B est de 30° (Fig. 210). Alors l'autre est le sien angle aigu sera égal à 60°.

Montrons que la jambe AC ​​est égale à la moitié de l'hypoténuse AB. Continuons l'étape AC au-delà du sommet angle droit C et mettre de côté le segment CM, égal au segment CA. Reliez le point M au point B. Le triangle résultant ВСМ égal à un triangle DIA On voit que chaque angle du triangle ABM est égal à 60°, donc ce triangle est un triangle équilatéral.

La jambe AC ​​est égale à la moitié de AM, et puisque AM est égale à AB, la jambe AC ​​sera égale à la moitié de l'hypoténuse AB.