Comment déterminer quel mouvement se trouve sur la carte. Mouvement uniforme en ligne droite

Sujet de cours : "Point matériel. Système de référence" Objectifs : donner une idée de la cinématique

Définition uniforme direct mouvement. - Qu'est-ce qu'on appelle la vitesse ? uniforme mouvement? - Nommer l'unité de vitesse mouvement dans... projection du vecteur vitesse en fonction du temps mouvement U (O.2. Graphique performance mouvement. - Au point C...

Montrons comment trouver le chemin parcouru par un corps à l'aide d'un graphique de la vitesse en fonction du temps.

Commençons par le tout début cas simple– un mouvement uniforme. La figure 6.1 montre un graphique de v(t) – vitesse en fonction du temps. C'est un segment de ligne droite parallèle à la base du temps, car avec un mouvement uniforme, la vitesse est constante.

La figure placée sous ce graphique est un rectangle (elle est ombrée sur la figure). Son aire est numériquement égale au produit de la vitesse v et du temps de mouvement t. En revanche, le produit vt est égal au chemin l parcouru par le corps. Donc, avec un mouvement uniforme

le chemin est numériquement égal à l'aire de la figure placée sous le graphique de la vitesse en fonction du temps.

Montrons maintenant que ceci propriété remarquable Il a également un mouvement inégal.

Supposons, par exemple, que le graphique de la vitesse en fonction du temps ressemble à la courbe présentée dans la figure 6.2.

Divisons mentalement tout le temps de mouvement en intervalles si petits que pendant chacun d'eux le mouvement du corps peut être considéré comme presque uniforme (cette division est représentée par des lignes pointillées sur la figure 6.2).

Ensuite, le chemin parcouru au cours de chacun de ces intervalles est numériquement égal à l'aire de la figure sous la masse correspondante du graphique. Par conséquent, le chemin entier est égal à l'aire des chiffres contenus sous l'ensemble du graphique. (La technique que nous avons utilisée est la base calcul intégral, dont vous étudierez les bases dans le cours « Débuts de l'analyse mathématique ».)

2. Trajectoire et déplacement lors d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré

Appliquons maintenant la méthode décrite ci-dessus pour trouver le chemin vers un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

La vitesse initiale du corps est nulle

Dirigons l'axe des x dans la direction de l'accélération du corps. Alors a x = a, v x = v. Ainsi,

La figure 6.3 montre un graphique de v(t).

1. À l'aide de la figure 6.3, prouver qu'en cas de mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale, la trajectoire l est exprimée en termes du module d'accélération a et du temps de mouvement t par la formule

l = à 2 /2. (2)

Principale conclusion :

En cas de mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale, la distance parcourue par le corps est proportionnelle au carré du temps de mouvement.

De cette manière, un mouvement uniformément accéléré diffère considérablement d’un mouvement uniforme.

La figure 6.4 montre des graphiques de la trajectoire en fonction du temps pour deux corps, dont l'un se déplace uniformément et l'autre accélère uniformément sans vitesse initiale.

2. Regardez la figure 6.4 et répondez aux questions.
a) De quelle couleur est le graphique d'un corps se déplaçant avec une accélération uniforme ?
b) Quelle est l'accélération de ce corps ?
c) Quelles sont les vitesses des corps au moment où ils ont parcouru le même chemin ?
d) À quel moment les vitesses des corps sont-elles égales ?

3. Après avoir démarré, la voiture a parcouru une distance de 20 m au cours des 4 premières secondes. Considérez que le mouvement de la voiture est linéaire et uniformément accéléré. Sans calculer l'accélération de la voiture, déterminez la distance que la voiture parcourra :
a) en 8 s ? b) en 16 s ? c) en 2 s ?

Trouvons maintenant la dépendance de la projection du déplacement s x au temps. DANS dans ce cas la projection de l'accélération sur l'axe des x est positive, donc s x = l, a x = a. Ainsi, de la formule (2) il résulte :

s x = a x t 2 /2. (3)

Les formules (2) et (3) sont très similaires, ce qui conduit parfois à des erreurs de résolution tâches simples. Le fait est que la valeur de projection du déplacement peut être négative. Cela se produira si l'axe x est dirigé à l'opposé du déplacement : alors s x< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. La figure 6.5 montre des graphiques du temps de trajet et de la projection du déplacement pour un certain corps. De quelle couleur est le graphique de projection de déplacement ?

La vitesse initiale du corps n'est pas nulle

Rappelons que dans ce cas la dépendance de la projection de vitesse au temps est exprimée par la formule

v x = v 0x + a x t, (4)

où v 0x est la projection de la vitesse initiale sur l'axe des x.

Nous considérerons plus en détail le cas où v 0x > 0, a x > 0. Dans ce cas, nous pouvons à nouveau profiter du fait que le chemin est numériquement égal à l'aire de la figure sous le graphique de la vitesse en fonction du temps. (Considérez vous-même d'autres combinaisons de signes pour la projection de la vitesse initiale et de l'accélération : le résultat sera le même formule générale (5).

La figure 6.6 montre un graphique de v x (t) pour v 0x > 0, a x > 0.

5. À l'aide de la figure 6.6, prouver qu'en cas de mouvement rectiligne uniformément accéléré avec une vitesse initiale, la projection du déplacement

s x = v 0x + a x t 2 /2. (5)

Cette formule vous permet de trouver la dépendance de la coordonnée x du corps au temps. Rappelons (voir formule (6), § 2) que la coordonnée x d'un corps est liée à la projection de son déplacement s x par la relation

s x = x – x 0 ,

où x 0 est la coordonnée initiale du corps. Ainsi,

x = x 0 + s x , (6)

A partir des formules (5), (6) on obtient :

x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2. (7)

6. La dépendance des coordonnées au temps pour un certain corps se déplaçant le long de l'axe des x est exprimée en unités SI par la formule x = 6 – 5t + t 2.
a) Quelle est la coordonnée initiale du corps ?
b) Quelle est la projection de la vitesse initiale sur l'axe des x ?
c) Quelle est la projection de l’accélération sur l’axe des x ?
d) Dessine un graphique de la coordonnée x en fonction du temps.
e) Dessinez un graphique de la vitesse projetée en fonction du temps.
f) A quel moment la vitesse du corps est-elle égale à zéro ?
g) Le corps reviendra-t-il au point de départ ? Si oui, à quel(s) moment(s) ?
h) Le corps passera-t-il par l'origine ? Si oui, à quel(s) moment(s) ?
i) Dessinez un graphique de la projection du déplacement en fonction du temps.
j) Dessinez un graphique de la distance en fonction du temps.

3. Relation entre trajectoire et vitesse

Lors de la résolution de problèmes, les relations entre la trajectoire, l'accélération et la vitesse (v initial 0, v final ou les deux) sont souvent utilisées. Dérivons ces relations. Commençons par un mouvement sans vitesse initiale. De la formule (1) on obtient pour le temps du mouvement :

Remplaçons cette expression dans la formule (2) pour le chemin :

l = à 2 /2 = a/2(v/a) 2 = v 2 /2a. (9)

Principale conclusion :

dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale, la distance parcourue par le corps est proportionnelle au carré de la vitesse finale.

7. Après avoir démarré, la voiture a pris une vitesse de 10 m/s sur une distance de 40 m. Considérons que le mouvement de la voiture est linéaire et uniformément accéléré. Sans calculer l'accélération de la voiture, déterminez quelle distance depuis le début du mouvement la voiture a parcourue lorsque sa vitesse était égale à : a) 20 m/s ? b) 40 m/s ? c) 5 m/s ?

La relation (9) peut également être obtenue en rappelant que le chemin est numériquement égal à l'aire de la figure placée sous le graphique de la vitesse en fonction du temps (Fig. 6.7).

Cette considération vous aidera à faire face facilement à la tâche suivante.

8. À l'aide de la figure 6.8, prouvez que lors d'un freinage avec une accélération constante, le corps parcourt la distance l t = v 0 2 /2a jusqu'à un arrêt complet, où v 0 est la vitesse initiale du corps, a est le module d'accélération.

En cas de freinage véhicule(voiture, train) la distance parcourue jusqu'à un arrêt complet est appelée distance de freinage. Attention : la distance de freinage à la vitesse initiale v 0 et la distance parcourue lors de l'accélération de l'arrêt à la vitesse v 0 avec la même accélération a sont les mêmes.

9. Lors d'un freinage d'urgence sur asphalte sec, l'accélération de la voiture est égale en valeur absolue à 5 m/s 2 . Quelle est la distance de freinage d'une voiture à la vitesse initiale : a) 60 km/h (vitesse maximale autorisée en ville) ; b) 120 km/h ? Trouvez la distance de freinage aux vitesses indiquées dans des conditions glaciales, lorsque le module d'accélération est de 2 m/s 2 . Comparez les distances de freinage que vous avez trouvées avec la longueur de la salle de classe.

10. À l'aide de la figure 6.9 et de la formule exprimant l'aire d'un trapèze par sa hauteur et la moitié de la somme des bases, prouver que pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré :
a) l = (v 2 – v 0 2)/2a, si la vitesse du corps augmente ;
b) l = (v 0 2 – v 2)/2a, si la vitesse du corps diminue.

11. Montrer que les projections du déplacement, de la vitesse initiale et finale, ainsi que de l'accélération sont liées par la relation

sx = (vx2 – v0x2)/2ax (10)

12. Une voiture sur un trajet de 200 m a accéléré d'une vitesse de 10 m/s à 30 m/s.
a) À quelle vitesse la voiture roulait-elle ?
b) Combien de temps a-t-il fallu à la voiture pour parcourir la distance indiquée ?
c) A quoi est-il égal vitesse moyenne voiture?

Questions et tâches supplémentaires

13. Le dernier wagon est désaccouplé d'un train en mouvement, après quoi le train se déplace uniformément et le wagon se déplace avec une accélération constante jusqu'à son arrêt complet.
a) Dessine sur un dessin des graphiques de vitesse en fonction du temps pour un train et un wagon.
b) Combien de fois la distance parcourue par la voiture jusqu'à l'arrêt ? moins de chemin voyagé en train en même temps ?

14. Après avoir quitté la gare, le train a roulé avec une accélération uniforme pendant un certain temps, puis pendant 1 minute à une vitesse uniforme de 60 km/h, puis de nouveau avec une accélération uniforme jusqu'à ce qu'il s'arrête à la gare suivante. Les modules d'accélération lors de l'accélération et du freinage étaient différents. Le train a parcouru la distance entre les gares en 2 minutes.
a) Dessinez un graphique schématique de la projection de la vitesse du train en fonction du temps.
b) À l'aide de ce graphique, trouve la distance entre les stations.
c) Quelle distance le train parcourrait-il s'il accélérait sur le premier tronçon du trajet et ralentissait sur le second ? Quelle serait sa vitesse maximale ?

15. Un corps se déplace uniformément accéléré le long de l’axe x. A l'instant initial il était à l'origine des coordonnées, et la projection de sa vitesse était égale à 8 m/s. Après 2 s, la coordonnée du corps est devenue 12 m.
a) Quelle est la projection de l’accélération du corps ?
b) Tracez un graphique de v x (t).
c) Écrivez une formule exprimant la dépendance x(t) en unités SI.
d) La vitesse du corps sera-t-elle nulle ? Si oui, à quel moment ?
e) Le corps visitera-t-il le point de coordonnées 12 m une deuxième fois ? Si oui, à quel moment ?
f) Le corps reviendra-t-il au point de départ ? Si oui, à quel moment et quelle sera la distance parcourue ?

16. Après la poussée, la balle roule plan incliné, après quoi il revient au point de départ. A une distance b de point de départ le ballon a été visité deux fois à des intervalles t 1 et t 2 après la poussée. La balle se déplaçait de haut en bas le long du plan incliné avec la même ampleur d’accélération.
a) Dirigez l'axe des x vers le haut le long du plan incliné, sélectionnez l'origine au point position initiale balle et écrivez une formule exprimant la dépendance x(t), qui inclut le module de la vitesse initiale de la balle v0 et le module d'accélération de la balle a.
b) En utilisant cette formule et le fait que la balle était à une distance b du point de départ aux instants t 1 et t 2, créez un système de deux équations à deux inconnues v 0 et a.
c) Après avoir résolu ce système d'équations, exprimez v 0 et a en fonction de b, t 1 et t 2.
d) Exprimer le chemin entier l parcouru par la balle en fonction de b, t 1 et t 2.
e) Trouver valeurs numériques v 0 , a et l à b = 30 cm, t 1 = 1 s, t 2 = 2 s.
f) Tracer des graphiques de v x (t), s x (t), l(t).
g) À l’aide du graphique sx(t), déterminez le moment où le module de déplacement de la balle était maximum.

Pour construire ce graphique, le temps de déplacement est porté sur l'axe des abscisses, et la vitesse (projection de la vitesse) du corps est portée sur l'axe des ordonnées. Dans un mouvement uniformément accéléré, la vitesse d’un corps change avec le temps. Si un corps se déplace le long de l'axe O x, la dépendance de sa vitesse au temps est exprimée par les formules
v x =v 0x +a x t et v x =at (pour v 0x = 0).

D'après ces formules, il est clair que la dépendance de v x sur t est linéaire, donc le graphique de vitesse est une ligne droite. Si le corps se déplace avec une certaine vitesse initiale, cette droite coupe l'axe des ordonnées au point v 0x. Si la vitesse initiale du corps est nulle, le graphique de vitesse passe par l'origine.

Les graphiques de vitesse d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré sont présentés sur la Fig. 9. Dans cette figure, les graphiques 1 et 2 correspondent à un mouvement avec une projection positive de l'accélération sur l'axe O x (la vitesse augmente), et le graphique 3 correspond à un mouvement avec une projection négative de l'accélération (la vitesse diminue). Le graphique 2 correspond à un mouvement sans vitesse initiale, et les graphiques 1 et 3 à un mouvement avec une vitesse initiale v ox. L'angle d'inclinaison a du graphique par rapport à l'axe des abscisses dépend de l'accélération du corps. Comme on peut le voir sur la Fig. 10 et formules (1.10),

tg=(v x -v 0x)/t=a x .

À l’aide de graphiques de vitesse, vous pouvez déterminer la distance parcourue par un corps pendant une période de temps t. Pour ce faire, on détermine l'aire du trapèze et du triangle ombré sur la Fig. 11.

Sur l'échelle sélectionnée, une base du trapèze est numériquement égale au module de projection de la vitesse initiale v 0x du corps, et son autre base est égale au module de projection de sa vitesse v x au temps t. La hauteur du trapèze est numériquement égale à la durée de l'intervalle de temps t. Aire du trapèze

S=(v0x +vx)/2t.

En utilisant la formule (1.11), après transformations on constate que l'aire du trapèze

S=v 0x t+à 2 /2.

le chemin parcouru en mouvement rectiligne uniformément accéléré avec une vitesse initiale est numériquement égal à l'aire du trapèze limitée par le graphique de vitesse, les axes de coordonnées et l'ordonnée correspondant à la valeur de la vitesse du corps au temps t.

Sur l'échelle choisie, la hauteur du triangle (Fig. 11, b) est numériquement égale au module de projection de la vitesse v x du corps au temps t, et la base du triangle est numériquement égale à la durée de l'intervalle de temps t. Aire du triangle S=v x t/2.

En utilisant la formule 1.12, après transformations on constate que l'aire du triangle

Côté droit La dernière égalité est une expression qui détermine le chemin parcouru par le corps. Ainsi, le chemin parcouru en mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale est numériquement égal à l'aire du triangle, limité par le calendrier vitesse, axe des x et ordonnée correspondant à la vitesse du corps à l'instant t.

3.1. Mouvement également alterné en ligne droite.

3.1.1. Mouvement uniforme en ligne droite- mouvement en ligne droite avec accélération constante en ampleur et en direction :

3.1.2. Accélération()- physique quantité de vecteur, montrant à quel point la vitesse changera en 1 s.

DANS forme vectorielle:

où est la vitesse initiale du corps, est la vitesse du corps à un moment donné t.

En projection sur l'axe Bœuf:

où est la projection de la vitesse initiale sur l'axe Bœuf, - projection de la vitesse du corps sur l'axe Bœufà un moment donné t.

Les signes des projections dépendent de la direction des vecteurs et de l'axe Bœuf.

3.1.3. Graphique de projection de l’accélération en fonction du temps.

Avec un mouvement uniformément alterné, l'accélération est constante, elle apparaîtra donc sous forme de lignes droites parallèles à l'axe du temps (voir figure) :

3.1.4. Vitesse lors d'un mouvement uniforme.

Sous forme vectorielle :

En projection sur l'axe Bœuf:

Pour un mouvement uniformément accéléré :

Pour un ralenti uniforme :

3.1.5. Graphique de projection de la vitesse en fonction du temps.

Le graphique de la projection de la vitesse en fonction du temps est une ligne droite.

Direction du mouvement : si le graphique (ou une partie de celui-ci) est au-dessus de l'axe du temps, alors le corps se déplace dans le sens positif de l'axe. Bœuf.

Valeur d'accélération : plus la tangente de l'angle d'inclinaison est grande (plus elle monte ou descend), plus le module d'accélération est grand ; où est le changement de vitesse au fil du temps

Intersection avec l'axe du temps : si le graphique coupe l'axe du temps, alors avant le point d'intersection, le corps a ralenti (mouvement uniformément lent), et après le point d'intersection, il a commencé à accélérer en le côté opposé(mouvement uniformément accéléré).

3.1.6. Signification géométrique aire sous le graphique en axes

Aire sous le graphique lorsque sur l'axe Oy la vitesse est retardée, et sur l'axe Bœuf- le temps est le chemin parcouru par le corps.

Sur la fig. 3.5 montre le cas d’un mouvement uniformément accéléré. Le chemin dans ce cas sera égal à l'aire du trapèze : (3.9)

3.1.7. Formules de calcul du chemin

Toutes les formules présentées dans le tableau ne fonctionnent que lorsque la direction du mouvement est maintenue, c'est-à-dire jusqu'à ce que la ligne droite coupe l'axe du temps sur le graphique de la projection de la vitesse en fonction du temps.

Si l'intersection a eu lieu, alors le mouvement est plus facile à diviser en deux étapes :

avant de traverser (freinage) :

Après l'intersection (accélération, déplacement en revers)

Dans les formules ci-dessus - le temps depuis le début du mouvement jusqu'à l'intersection avec l'axe du temps (temps avant l'arrêt), - le chemin parcouru par le corps depuis le début du mouvement jusqu'à l'intersection avec l'axe du temps, - le temps écoulé du moment de l'intersection de l'axe du temps à en ce moment t, - le chemin qu'a parcouru le corps en sens inverse pendant le temps écoulé depuis le moment du franchissement de l'axe du temps jusqu'à ce moment t, - le module du vecteur déplacement pour tout le temps du mouvement, L- le chemin parcouru par le corps pendant tout le mouvement.

3.1.8. Mouvement à la ème seconde.

Au fil du temps, le corps je suivrai le chemin:

Pendant ce temps, le corps parcourra la distance suivante :

Puis pendant le ème intervalle le corps parcourra la distance suivante :

N'importe quelle période de temps peut être considérée comme un intervalle. Le plus souvent avec.

Puis en 1 seconde le corps parcourt la distance suivante :

En 2 secondes :

En 3 secondes :

Si on regarde bien, on verra ça, etc.

On arrive donc à la formule :

En d’autres termes : les chemins parcourus par un corps au cours de périodes de temps successives sont liés les uns aux autres comme une série de nombres impairs, et cela ne dépend pas de l’accélération avec laquelle le corps se déplace. Nous soulignons que cette relation est valable pour

3.1.9. Équation des coordonnées du corps pour un mouvement uniforme

Équation de coordonnées

Les signes des projections de vitesse et d'accélération initiales dépendent de position relative vecteurs et axes correspondants Bœuf.

Pour résoudre des problèmes, il faut ajouter à l'équation l'équation de changement de la projection de la vitesse sur l'axe :

3.2. Graphiques des grandeurs cinématiques pour le mouvement rectiligne

3.3. Corps en chute libre

Par chute libre, nous entendons le modèle physique suivant :

1) La chute se produit sous l’influence de la gravité :

2) Il n'y a pas de résistance de l'air (dans les problèmes, ils écrivent parfois « négliger la résistance de l'air ») ;

3) Tous les corps, quelle que soit leur masse, tombent avec la même accélération (parfois ils ajoutent « quelle que soit la forme du corps », mais nous ne considérons que le mouvement point matériel, la forme du corps n'est donc plus prise en compte) ;

4) L'accélération de la gravité est dirigée strictement vers le bas et est égale à la surface de la Terre (dans les problèmes que nous supposons souvent pour des raisons de commodité de calcul) ;

3.3.1. Equations du mouvement en projection sur l'axe Oy

Contrairement au mouvement le long d'une ligne droite horizontale, lorsque toutes les tâches n'impliquent pas un changement de direction du mouvement, lorsque chute libre il est préférable d'utiliser immédiatement les équations écrites en projections sur l'axe Oy.

Équation des coordonnées du corps :

Équation de projection de vitesse :

En règle générale, dans les problèmes, il est pratique de sélectionner l'axe Oy comme suit:

Axe Oy dirigé verticalement vers le haut;

L'origine coïncide avec le niveau de la Terre ou le point le plus bas de la trajectoire.

Avec ce choix, les équations et seront réécrites sous la forme suivante :

3.4. Mouvement dans un avion Oxy.

Nous avons considéré le mouvement d'un corps avec une accélération le long d'une ligne droite. Mais le mouvement uniformément variable ne se limite pas à cela. Par exemple, un corps projeté incliné par rapport à l’horizontale. Dans de tels problèmes, il est nécessaire de prendre en compte le mouvement le long de deux axes à la fois :

Ou sous forme vectorielle :

Et en changeant la projection de la vitesse sur les deux axes :

3.5. Application du concept de dérivée et d'intégrale

Nous ne donnerons pas ici définition détaillée dérivée et intégrale. Pour résoudre des problèmes, nous n’avons besoin que d’un petit ensemble de formules.

Dérivé:

Où UN, B et c'est-à-dire des valeurs constantes.

Intégral:

Voyons maintenant comment les concepts de dérivée et d'intégrale s'appliquent à grandeurs physiques. En mathématiques, la dérivée est notée """, en physique, la dérivée par rapport au temps est notée "∙" au-dessus de la fonction.

Vitesse:

c'est-à-dire que la vitesse est une dérivée du rayon vecteur.

Pour la projection de vitesse :

Accélération:

c'est-à-dire que l'accélération est une dérivée de la vitesse.

Pour la projection d’accélération :

Ainsi, si la loi du mouvement est connue, nous pouvons alors facilement trouver à la fois la vitesse et l'accélération du corps.

Utilisons maintenant le concept d'intégrale.

Vitesse:

c'est-à-dire que la vitesse peut être trouvée comme l'intégrale temporelle de l'accélération.

Vecteur de rayon :

c'est-à-dire que le rayon vecteur peut être trouvé en prenant l'intégrale de la fonction vitesse.

Ainsi, si la fonction est connue, on peut facilement trouver à la fois la vitesse et la loi du mouvement du corps.

Les constantes dans les formules sont déterminées à partir de conditions initiales- valeurs et temps

3.6. Triangle de vitesse et triangle de déplacement

3.6.1. Triangle de vitesse

Sous forme vectorielle à accélération constante la loi de changement de vitesse a la forme (3.5) :

Cette formule signifie qu'un vecteur est égal à la somme vectorielle des vecteurs et que la somme vectorielle peut toujours être représentée dans une figure (voir figure).

Dans chaque problème, selon les conditions, le triangle des vitesses aura sa propre apparence. Cette représentation permet d'utiliser des considérations géométriques dans la solution, ce qui simplifie souvent la solution du problème.

3.6.2. Triangle de mouvements

Sous forme vectorielle, la loi du mouvement à accélération constante a la forme :

Lors de la résolution d'un problème, vous pouvez choisir le système de référence de la manière la plus pratique. Par conséquent, sans perte de généralité, nous pouvons choisir le système de référence de telle manière que, c'est-à-dire que nous plaçons l'origine du système de coordonnées au point où se trouve le corps au moment initial. Alors

c'est-à-dire que le vecteur est égal à la somme vectorielle des vecteurs et Représentons-le dans la figure (voir figure).

Comme dans le cas précédent, selon les conditions, le triangle de déplacement aura sa propre forme. Cette représentation permet d'utiliser des considérations géométriques dans la solution, ce qui simplifie souvent la solution du problème.