Certains problèmes peuvent être résolus de manière pratique et claire à l’aide des diagrammes d’Euler-Venn. Par exemple, les problèmes impliquant des ensembles. Si vous ne savez pas ce que sont les diagrammes d’Euler-Venn et comment les construire, lisez d’abord.

Maintenant, regardons-le tâches typiquesà propos des ensembles.

Tache 1.

Une enquête a été menée auprès de 100 élèves d'une école proposant une étude approfondie des langues étrangères. La question posée aux étudiants était : « Qu'est-ce que langues étrangères tu étudies?" Il s'est avéré que 48 étudiants étudient l'anglais, 26 - le français, 28 - l'allemand. 8 étudiants étudient l'anglais et l'allemand, 8 - l'anglais et le français, 13 - le français et l'allemand. 24 étudiants n'étudient ni l'anglais ni le français, ni Allemand. Combien d'écoliers ayant répondu à l'enquête étudient trois langues en même temps : l'anglais, le français et l'allemand ?

Réponse : 3.

Solution:

• de nombreux écoliers apprennent l'anglais ("A");
• de nombreux écoliers étudiant le français (« F ») ;
• de nombreux écoliers étudient l'allemand ("N").

Représentons à l'aide du diagramme d'Euler-Venn ce qui nous est donné selon la condition.

Notons la zone souhaitée A=1, Ф=1, Н=1 par « x » (dans le tableau ci-dessous, zone n°7). Exprimons les aires restantes en fonction de x.

0) Région A=0, Ф=0, Н=0 : 24 écoliers - donnés selon les conditions du problème.

1) Zone A=0, F=0, H=1 : 28-(8-x+x+13-x)=7+x écoliers.

2) Zone A=0, F=1, H=0 : 26-(8-x+x+13-x)=5+x écoliers.

3) Zone A=0, F=1, N=1 : 13 écoliers.

4) Zone A=1, F=0, H=0 : 48-(8-x+x+8-x)=32+x écoliers.

5) Zone A=1, F=0, H=1 : 8 écoliers.

6) Zone A=1, F=1, H=0 : 8 écoliers.

Définissons x :

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Nous avons constaté que 3 écoliers étudient trois langues en même temps : l'anglais, le français et l'allemand.

Voici à quoi ressemblera le diagramme d'Euler-Venn pour x connu :

Tâche 2.

Lors de l'Olympiade de mathématiques, les écoliers devaient résoudre trois problèmes : un en algèbre, un en géométrie et un en trigonométrie. 1000 écoliers ont participé à l'Olympiade. Les résultats de l'Olympiade étaient les suivants : 800 participants ont résolu le problème en algèbre, 700 en géométrie, 600 en trigonométrie, 600 écoliers ont résolu des problèmes en algèbre et géométrie, 500 en algèbre et trigonométrie, 400 en géométrie et trigonométrie. 300 personnes ont résolu des problèmes d'algèbre, de géométrie et de trigonométrie. Combien d’écoliers n’ont résolu aucun problème ?

Réponse : 100.

Solution:

Tout d’abord, nous définissons les ensembles et introduisons la notation. Il y en a trois :

• de nombreux problèmes d'algèbre ("A");
• de nombreux problèmes de géométrie ("G");
• de nombreux problèmes en trigonométrie ("T").

Décrivons ce que nous devons trouver :

Déterminons le nombre d'écoliers pour toutes les zones possibles.

Notons la zone souhaitée A=0, G=0, T=0 par « x » (dans le tableau ci-dessous, zone n°0).

Trouvons les zones restantes :

1) Zone A=0, G=0, T=1 : pas d'écoliers.

2) Zone A=0, G=1, T=0 : pas d'écoliers.

3) Zone A=0, G=1, T=1 : 100 écoliers.

4) Zone A=1, G=0, T=0 : pas d'écoliers.

5) Région A=1, G=0, T=1 : 200 écoliers.

6) Zone A=1, D=1, T=0 : 300 écoliers.

7) Région A=1, G=1, T=1 : 300 écoliers.

Écrivons les valeurs des zones dans le tableau :

Affichons les valeurs de toutes les zones à l'aide d'un diagramme :

Définissons x :

x=U-(A V Г V Т), où U est l'univers.

UNE V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.

Nous avons constaté que 100 écoliers n’ont pas résolu un seul problème.

Tâche 3.

Lors de l'Olympiade de physique, les écoliers ont été invités à résoudre trois problèmes : un en cinématique, un en thermodynamique et un en optique. Les résultats de l'Olympiade ont été les suivants : 400 participants ont résolu le problème en cinématique, 350 en thermodynamique et 300 en optique, 300 écoliers ont résolu des problèmes en cinématique et thermodynamique, 200 en cinématique et optique, 150 en thermodynamique et optique. 100 personnes ont résolu des problèmes de cinématique, de thermodynamique et d'optique. Combien d’écoliers ont résolu deux problèmes ?

Réponse : 350.

Solution:

Tout d’abord, nous définissons les ensembles et introduisons la notation. Il y en a trois :

• de nombreux problèmes en cinématique (« K ») ;
• de nombreux problèmes de thermodynamique ("T");
• de nombreux problèmes en optique ("O").

Représentons à l'aide du diagramme d'Euler-Venn ce qui nous est donné selon la condition :

Décrivons ce que nous devons trouver :

Déterminons le nombre d'écoliers pour toutes les zones possibles :

0) Région K=0, T=0, O=0 : non définie.

1) Région K=0, T=0, O=1 : 50 écoliers.

2) Région K=0, T=1, O=0 : pas d'écoliers.

3) Région K=0, T=1, O=1 : 50 écoliers.

4) Zone K=1, T=0, O=0 : pas d'écoliers.

5) Région K=1, T=0, O=1 : 100 écoliers.

6) Région K=1, T=1, O=0 : 200 écoliers.

7) Région K=1, T=1, O=1 : 100 écoliers.

Écrivons les valeurs des zones dans le tableau :

Affichons les valeurs de toutes les zones à l'aide d'un diagramme :

Définissons x.

x=200+100+50=350.

Nous l’avons compris, 350 écoliers ont résolu deux problèmes.

Tâche 4.

Une enquête a été menée auprès des passants. La question a été posée : « Quel animal de compagnie avez-vous ? » Selon les résultats de l'enquête, il s'est avéré que 150 personnes ont un chat, 130 un chien et 50 un oiseau. 60 personnes ont un chat et un chien, 20 ont un chat et un oiseau, 30 ont un chien et un oiseau. 70 personnes n’ont pas d’animal du tout. 10 personnes ont un chat, un chien et un oiseau. Combien de passants ont participé à l’enquête ?

Réponse : 300.

Solution:

Tout d’abord, nous définissons les ensembles et introduisons la notation. Il y en a trois :

• beaucoup de gens qui ont un chat (« K ») ;
• beaucoup de gens qui ont un chien (« C ») ;
• beaucoup de gens ont un oiseau ("P").

Représentons à l'aide du diagramme d'Euler-Venn ce qui nous est donné selon la condition :

Décrivons ce que nous devons trouver :

Déterminons le nombre de personnes pour toutes les zones possibles :

0) Région K=0, S=0, P=0 : 70 personnes.

1) Zone K=0, S=0, P=1 : 10 personnes.

2) Région K=0, S=1, P=0 : 50 personnes.

3) Zone K=0, S=1, P=1 : 20 personnes.

4) Région K=1, S=0, P=0 : 80 personnes.

5) Zone K=1, T=0, O=1 : 10 personnes.

6) Zone K=1, T=1, O=0 : 50 personnes.

7) Zone K=1, T=1, O=1 : 10 personnes.

Écrivons les valeurs des zones dans le tableau :

Affichons les valeurs de toutes les zones à l'aide d'un diagramme :

Définissons x :

x=U (univers)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Nous avons constaté que 300 personnes ont participé à l'enquête.

Tâche 5.

120 personnes sont entrées dans une spécialité dans l'une des universités. Les candidats ont passé trois examens : en mathématiques, en informatique et en langue russe. 60 personnes ont réussi les mathématiques, 40 - l'informatique, 30 candidats ont réussi les mathématiques et l'informatique, 30 - les mathématiques et la langue russe, 25 - l'informatique et la langue russe. 20 personnes ont réussi les trois examens et 50 personnes ont échoué. Combien de candidats ont réussi le test de langue russe ?

Premier niveau

Résoudre des équations, des inégalités, des systèmes à l'aide de graphiques de fonctions. Guide visuel (2019)

De nombreuses tâches que nous avons l'habitude de calculer de manière purement algébrique peuvent être résolues beaucoup plus facilement et plus rapidement à l'aide de graphiques de fonctions ; Vous dites "comment ça?" dessiner quelque chose, et que dessiner ? Croyez-moi, c'est parfois plus pratique et plus facile. On commence ? Commençons par les équations !

Solution graphique des équations

Solution graphique d'équations linéaires

Comme vous le savez déjà, le graphique d'une équation linéaire est une ligne droite, d'où le nom de ce type. Les équations linéaires sont assez faciles à résoudre algébriquement : nous transférons toutes les inconnues d'un côté de l'équation, tout ce que nous savons de l'autre, et le tour est joué ! Nous avons trouvé la racine. Maintenant, je vais vous montrer comment faire graphiquement.

Vous avez donc l'équation :

Comment le résoudre?
Option 1, et la plus courante consiste à déplacer les inconnues d’un côté et les connues de l’autre, on obtient :

Maintenant, construisons. Qu'est-ce que vous obtenez?

Selon vous, quelle est la racine de notre équation ? C'est vrai, la coordonnée du point d'intersection des graphiques est :

Notre réponse est

C'est toute la sagesse de la solution graphique. Comme vous pouvez facilement le vérifier, la racine de notre équation est un nombre !

Comme je l'ai dit plus haut, c'est l'option la plus courante, proche de solution algébrique, mais vous pouvez le résoudre différemment. Pour examen solution alternative Revenons à notre équation :

Cette fois, nous ne déplacerons rien d’un côté à l’autre, mais construirons directement les graphiques, tels qu’ils sont actuellement :

Construit? Voyons!

Quelle est la solution cette fois-ci ? C'est exact. La même chose - la coordonnée du point d'intersection des graphiques :

Et encore une fois, notre réponse est la suivante.

Comme vous pouvez le constater, avec équations linéaires tout est extrêmement simple. Il est temps de regarder quelque chose de plus complexe... Par exemple, solution graphique d'équations quadratiques.

Solution graphique d'équations quadratiques

Alors maintenant, commençons à résoudre l’équation quadratique. Disons que vous devez trouver les racines de cette équation :

Bien sûr, vous pouvez maintenant commencer à compter via le discriminant, ou selon le théorème de Vieta, mais beaucoup de gens, par nerfs, font des erreurs en multipliant ou en quadrature, surtout si l'exemple est avec grands nombres, et, comme vous le savez, vous n'aurez pas de calculatrice pour l'examen... Essayons donc de nous détendre un peu et de dessiner tout en résolvant cette équation.

Trouver des solutions graphiquement équation donnée Peut différentes façons. Examinons les différentes options et vous pourrez choisir celle que vous préférez.

Méthode 1. Directement

On construit simplement une parabole en utilisant cette équation :

Pour y parvenir rapidement, je vais vous donner un petit indice : Il est pratique de commencer la construction en déterminant le sommet de la parabole. Les formules suivantes aideront à déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole :

Vous direz « Stop ! La formule pour est très similaire à la formule pour trouver le discriminant », oui, c'est le cas, et c'est un énorme inconvénient de construire « directement » une parabole pour trouver ses racines. Cependant, comptons jusqu'au bout, et ensuite je vous montrerai comment le faire beaucoup (beaucoup !) plus facilement !

As-tu compté ? Quelles coordonnées avez-vous obtenues pour le sommet de la parabole ? Voyons cela ensemble :

Exactement la même réponse ? Bien joué! Et maintenant, nous connaissons déjà les coordonnées du sommet, mais pour construire une parabole, nous avons besoin de plus... de points. De combien de points minimum pensez-vous que nous avons besoin ? Droite, .

Vous savez qu'une parabole est symétrique par rapport à son sommet, par exemple :

En conséquence, nous avons besoin de deux points supplémentaires sur la branche gauche ou droite de la parabole, et à l'avenir nous refléterons symétriquement ces points sur le côté opposé :

Revenons à notre parabole. Pour notre cas, point final. Nous avons besoin de deux points supplémentaires, pour pouvoir en prendre des positifs, ou des négatifs ? Quels sont les points qui vous conviennent le mieux ? C'est plus pratique pour moi de travailler avec des positifs, donc je vais calculer en et.

Nous avons maintenant trois points et nous pouvons facilement construire notre parabole en réfléchissant deux derniers points par rapport à son sommet :

Selon vous, quelle est la solution de l’équation ? C'est vrai, les points auxquels, c'est-à-dire et. Parce que.

Et si nous disons cela, cela signifie que cela doit aussi être égal, ou.

Juste? Nous avons fini de résoudre l'équation avec vous de manière graphique complexe, ou il y en aura plus !

Bien sûr, vous pouvez vérifier notre réponse algébriquement - vous pouvez calculer les racines en utilisant le théorème de Vieta ou le discriminant. Qu'est-ce que vous obtenez? Le même? Voilà, vous voyez ! Voyons maintenant une solution graphique très simple, je suis sûr que vous l'aimerez vraiment !

Méthode 2. Divisé en plusieurs fonctions

Reprenons notre même équation : , mais nous l'écrirons un peu différemment, à savoir :

Peut-on l'écrire ainsi ? Nous pouvons, puisque la transformation est équivalente. Regardons plus loin.

Construisons deux fonctions séparément :

1. - l'horaire est parabole simple, que vous pouvez facilement construire même sans définir le sommet à l'aide de formules et sans dresser un tableau pour déterminer d'autres points.
2. - le graphique est une droite, que vous pouvez tout aussi bien construire en estimant les valeurs dans votre tête sans même recourir à une calculatrice.

Construit? Comparons avec ce que j'ai obtenu :

Pensez-vous que dans dans ce cas sont les racines de l'équation ? Droite! Les coordonnées obtenues par l'intersection de deux graphiques et, soit :

La solution de cette équation est donc :

Que dites-vous? D'accord, cette méthode de solution est bien plus simple que la précédente et encore plus simple que de chercher des racines via un discriminant ! Si tel est le cas, essayez de résoudre l’équation suivante en utilisant cette méthode :

Qu'est-ce que vous obtenez? Comparons nos graphiques :

Les graphiques montrent que les réponses sont :

Avez-vous réussi ? Bien joué! Examinons maintenant les équations un peu plus compliquées, à savoir la solution équations mixtes, c'est-à-dire des équations contenant des fonctions de différents types.

Solution graphique d'équations mixtes

Essayons maintenant de résoudre les problèmes suivants :

Bien sûr, nous pouvons tout apporter dénominateur commun, trouvez les racines de l'équation résultante, sans oublier de prendre en compte l'ODZ, mais encore une fois, nous essaierons de la résoudre graphiquement, comme nous l'avons fait dans tous les cas précédents.

Cette fois, construisons les 2 graphiques suivants :

1. - le graphique est une hyperbole
2. - le graphique est une ligne droite, que vous pouvez facilement construire en estimant les valeurs dans votre tête sans même recourir à une calculatrice.

Vous l'avez compris ? Maintenant, commencez à construire.

Voici ce que j'ai obtenu :

En regardant cette image, dites-moi quelles sont les racines de notre équation ?

C'est vrai, et. Voici la confirmation :

Essayez de brancher nos racines dans l’équation. Arrivé?

C'est exact! D'accord, résoudre graphiquement de telles équations est un plaisir !

Essayez de résoudre l'équation graphiquement vous-même :

Je vais vous donner un indice : déplacez une partie de l'équation vers côté droit, de sorte que des deux côtés il y ait les fonctions les plus simples à construire. Avez-vous compris l'indice ? Passer à l'action!

Voyons maintenant ce que vous avez :

Respectivement:

1. - parabole cubique.
2. - une ligne droite ordinaire.

Eh bien, construisons :

Comme vous l'avez écrit il y a longtemps, la racine de cette équation est - .

Ayant décidé ceci un grand nombre de exemples, je suis sûr que vous avez réalisé à quel point vous pouvez résoudre des équations rapidement et facilement graphiquement. Il est temps de comprendre comment résoudre les systèmes de cette manière.

Solution graphique des systèmes

Solution graphique les systèmes n’est fondamentalement pas différent de la résolution graphique d’équations. Nous construirons également deux graphiques, et leurs points d'intersection seront les racines de ce système. Un graphique est une équation, le deuxième graphique est une autre équation. Tout est extrêmement simple !

Commençons par la chose la plus simple : résoudre des systèmes d'équations linéaires.

Résolution de systèmes d'équations linéaires

Disons que nous avons le système suivant :

Tout d'abord, transformons-le pour qu'à gauche il y ait tout ce qui est lié, et à droite - tout ce qui est lié. En d’autres termes, écrivons ces équations sous forme de fonction sous notre forme habituelle :

Maintenant, nous construisons simplement deux lignes droites. Quelle est la solution dans notre cas ? Droite! Le point de leur intersection ! Et ici, il faut être très, très prudent ! Pensez-y, pourquoi ? Laissez-moi vous donner un indice : nous avons affaire à un système : dans le système il y a les deux, et... Vous avez compris ?

C'est exact! Lors de la résolution d’un système, il faut regarder les deux coordonnées, et pas seulement comme lors de la résolution d’équations ! Un autre point important- écrivez-les correctement et ne confondez pas où nous avons le sens et où est le sens ! L'avez-vous écrit ? Comparons maintenant tout dans l'ordre :

Et les réponses : et. Faites une vérification - remplacez les racines trouvées dans le système et assurez-vous que nous l'avons résolu correctement graphiquement ?

Résolution de systèmes d'équations non linéaires

Et si, au lieu d'une ligne droite, nous avions équation quadratique? C'est bon! Vous construisez simplement une parabole au lieu d’une ligne droite ! Ne crois pas? Essayez de résoudre le système suivant :

Quelle est notre prochaine étape ? C'est vrai, écrivez-le pour qu'il soit pratique pour nous de créer des graphiques :

Et maintenant, tout n’est qu’une question de petites choses : construisez-le rapidement et voici votre solution ! Nous construisons :

Les graphiques se sont-ils révélés identiques ? Marquez maintenant les solutions du système sur la figure et notez correctement les réponses identifiées !

J'ai tout fait ? Comparez avec mes notes :

Est-ce que tout va bien ? Bien joué! Vous cliquez déjà tâches similaires comme des noix ! Si tel est le cas, donnons-nous un système plus compliqué :

Qu'est-ce que nous faisons? Droite! Nous écrivons le système de manière à ce qu'il soit pratique de construire :

Je vais vous donner un petit indice, car le système a l'air très compliqué ! Lorsque vous construisez des graphiques, construisez-les « plus » et surtout, ne soyez pas surpris par le nombre de points d'intersection.

Alors allons-y! Expiré ? Maintenant, commencez à construire !

Alors comment ? Beau? Combien de points d’intersection avez-vous obtenu ? J'ai trois! Comparons nos graphiques :

Aussi? Maintenant, notez soigneusement toutes les solutions de notre système :

Maintenant, regardez à nouveau le système :

Pouvez-vous imaginer que vous avez résolu ce problème en seulement 15 minutes ? D'accord, les mathématiques sont encore simples, surtout quand on regarde une expression, on n'a pas peur de se tromper, mais il suffit de la prendre et de la résoudre ! Tu es un grand garçon !

Solution graphique des inégalités

Solution graphique des inégalités linéaires

Après dernier exemple Vous pouvez tout gérer ! Maintenant, expirez – par rapport aux sections précédentes, celle-ci sera très, très facile !

Nous commencerons, comme d'habitude, par une solution graphique inégalité linéaire. Par exemple, celui-ci :

Commençons par effectuer les transformations les plus simples - ouvrons les parenthèses carrés pleins et donnez des termes similaires :

L'inégalité n'est pas stricte, donc elle n'est pas incluse dans l'intervalle, et la solution sera tous les points qui sont à droite, puisque plus, plus, et ainsi de suite :

Répondre:

C'est tout! Facilement? Résolvons une inégalité simple à deux variables :

Dessinons une fonction dans le système de coordonnées.

Avez-vous eu un tel horaire ? Examinons maintenant attentivement quelles inégalités nous avons là-bas ? Moins? Cela signifie que nous peignons tout ce qui se trouve à gauche de notre ligne droite. Et s'il y en avait plus ? C'est vrai, alors nous peindrions tout ce qui se trouve à droite de notre ligne droite. C'est simple.

Toutes les solutions de cette inégalité"ombré" orange. Ça y est, l'inégalité à deux variables est résolue. Cela signifie que les coordonnées de n’importe quel point de la zone ombrée sont les solutions.

Solution graphique des inégalités quadratiques

Nous allons maintenant comprendre comment résoudre graphiquement les inégalités quadratiques.

Mais avant de passer aux choses sérieuses, passons en revue quelques éléments concernant la fonction quadratique.

De quoi est responsable le discriminant ? C'est vrai, pour la position du graphique par rapport à l'axe (si vous ne vous en souvenez pas, lisez absolument la théorie sur les fonctions quadratiques).

Dans tous les cas, voici un petit rappel pour vous :

Maintenant que nous avons rafraîchi tout le matériel dans notre mémoire, passons aux choses sérieuses : résolvez l'inégalité graphiquement.

Je vais vous dire tout de suite qu'il existe deux options pour le résoudre.

Option 1

On écrit notre parabole en fonction :

À l'aide des formules, nous déterminons les coordonnées du sommet de la parabole (exactement les mêmes que lors de la résolution d'équations quadratiques) :

As-tu compté ? Qu'est-ce que vous obtenez?

Prenons maintenant deux autres points différents et calculons-les :

Commençons par construire une branche de la parabole :

Nous réfléchissons symétriquement nos points sur une autre branche de la parabole :

Revenons maintenant à notre inégalité.

Nous avons besoin que ce soit moins que zéro, respectivement:

Puisque dans notre inégalité le signe est strictement inférieur à, alors points de terminaison nous excluons - « repique ».

Répondre:

Un long chemin, non ? Je vais maintenant vous montrer une version plus simple de la solution graphique en utilisant l'exemple de la même inégalité :

Option 2

Nous revenons à notre inégalité et marquons les intervalles dont nous avons besoin :

D'accord, c'est beaucoup plus rapide.

Écrivons maintenant la réponse :

Considérons une autre solution qui simplifie la partie algébrique, mais l'essentiel est de ne pas se tromper.

Multipliez les côtés gauche et droit par :

Essayez de résoudre vous-même les problèmes suivants inégalité quadratique comme vous le souhaitez : .

Avez-vous réussi ?

Regardez comment mon graphique s'est avéré :

Répondre: .

Solution graphique des inégalités mixtes

Passons maintenant à des inégalités plus complexes !

Comment aimes-tu cela:

C'est effrayant, n'est-ce pas ? Honnêtement, je n'ai aucune idée de comment résoudre cela algébriquement... Mais ce n'est pas nécessaire. Graphiquement, cela n’a rien de compliqué ! Les yeux ont peur, mais les mains s'en sortent !

La première chose par laquelle nous commencerons est de construire deux graphiques :

Je n'écrirai pas de tableau pour chacun - je suis sûr que vous pouvez le faire parfaitement vous-même (wow, il y a tellement d'exemples à résoudre !).

L'as-tu peint ? Construisez maintenant deux graphiques.

Comparons nos dessins ?

Est-ce pareil chez vous ? Super! Maintenant, organisons les points d'intersection et utilisons la couleur pour déterminer quel graphique nous devrions avoir en théorie le plus grand. Regardez ce qui s'est passé à la fin :

Maintenant, regardons simplement où notre graphique sélectionné est plus haut que le graphique ? N'hésitez pas à prendre un crayon et à peindre sur cette zone ! Elle sera la solution à nos inégalités complexes !

À quels intervalles le long de l'axe nous trouvons-nous plus haut ? Droite, . C'est la réponse !

Eh bien, vous pouvez désormais gérer n’importe quelle équation, n’importe quel système, et encore plus n’importe quelle inégalité !

EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Algorithme de résolution d'équations à l'aide de graphiques de fonctions :

1. Exprimons-le à travers
2. Définissons le type de fonction
3. Construisons des graphiques des fonctions résultantes
4. Trouvons les points d'intersection des graphiques
5. Écrivons correctement la réponse (en tenant compte des signes ODZ et d'inégalité)
6. Vérifions la réponse (remplacez les racines dans l'équation ou le système)

Pour plus d'informations sur la construction de graphiques de fonctions, consultez la rubrique « ».

>> Leçon 11. Graphiques à colonnes et à courbes

La relation entre les quantités peut être représentée visuellement par des barres ou des segments.

Le tableau montre le temps passé par les enfants sur le trajet de la maison à l'école.

Il est facile de déduire du diagramme différentes fonctionnalités relations entre les quantités. Par exemple, d'après notre schéma, il ressort immédiatement qu'Igor met le plus de temps pour se rendre à l'école et Tanya le plus rapide, qu'Olia et Misha passent le même temps sur le chemin de l'école - 15 minutes, et le chemin de l'école pour Sasha et Igor prend plus de 15 minutes, etc.

1 . Le pays magique se compose de cinq parties : Le Pays Rose. Jaune, Bleu. Ville violette et émeraude.

a) Le graphique à barres montre la quantité de précipitations annuelles dans le Pays Bleu. A l'aide du schéma, répondez aux questions :

1) Quelle est la quantité de précipitations tombée en septembre ?
2) Quand y a-t-il eu le moins de précipitations et quand y a-t-il eu le plus de précipitations ?
3) Au cours de quels mois la même quantité de précipitations est-elle tombée ?
4) Quand est-il tombé 90 mm de précipitations et quand est-il tombé plus de 90 mm ?
5) Quand est-il tombé moins de 60 mm de précipitations ?
b) Dans quelle mesure les précipitations sont-elles tombées en moins en août qu'en octobre ?
7) Quelle quantité de précipitations est tombée au cours de chaque saison ? Combien de précipitations y a-t-il eu au cours de l’année entière ?

b) Sur la base des données du tableau, construisez un graphique à barres des précipitations dans la Cité d'Émeraude au cours de l'année. Analysez-le.

c) Le graphique linéaire montre des informations sur le taux de natalité des enfants dans le Pays Rose pour l'année. A l'aide du schéma, répondez aux questions :

1) Combien d'enfants sont nés en juillet ?
2) Quel mois est né le plus grand nombre d’enfants et le moins ?
3) Combien d’enfants sont nés cet été ? Combien d'enfants sont nés par an ?
4) Combien d'enfants de plus sont nés en mai qu'en avril ?
5) Au cours de quels mois sont nés 500 enfants ?
6) Au cours de quels mois plus de 600 enfants sont-ils nés ?

Glisser ligne brisée, reliant séquentiellement les extrémités supérieures des segments du diagramme, et déterminer au cours desquels le taux de natalité des enfants a augmenté, au cours desquels il a diminué et quand il n'a pas changé.

d) Sur la base des données du tableau, construisez un diagramme linéaire du taux de natalité des enfants dans Pays violet. Analysez-le.

2. Déterminez les coordonnées des points A, B, C, D, E et F et trouvez la longueur des segments AB, CD, EF.

3. Résolvez les équations :

4. "Tournoi Blitz".

a) Le corbeau Kaggi-Karr a parcouru un kilomètre en 4 heures. Quelle distance parcourra-t-il en 7 heures s'il vole à la même vitesse ?

b) Ellie a marché le long de la vallée pendant b km et le long de la route de montagne - seulement 24 % de cette distance. À quelle vitesse Ellie a-t-elle marché le long de la route de montagne si elle l'a parcourue en 3 heures ?

c) Dans l'armée d'Oorfene Deuce, il y avait des caporaux, ce qui représentait 15 % du nombre de soldats de son armée. Combien y avait-il de soldats de plus que de caporaux dans l’armée d’Oorfene Deuce ?

d) Oorfene Deuce a décidé de fabriquer x soldats en bois pour son armée. Il le fait pour les soldats en une journée. Combien de soldats lui reste-t-il à faire après 9 jours ? travail ?

e) Sailor Charlie a eu 5 ans. Quel âge aura-t-il dans 4 ans ?

5. Le Pays Rose compte 540 000 habitants, soit la même population que le Pays Bleu. 40% de la population vit au Pays Jaune nombre total habitants des pays Rose et Bleu, et dans le Pays Violet il y a 78 000 habitants de plus que dans le pays Jaune. Combien d'habitants y a-t-il dans la Cité d'Émeraude, si au total il y a 3 000 000 d'habitants dans le Pays Magique ?

6. Notez l'ensemble solutions naturelles inégalités :

7*. Dessinez un schéma du Pays Magique si vous savez que les pays Bleu, Violet et Rose ont une frontière commune avec les quatre autres parties. Pays Jaune et Emerald city nous ne sommes pas ensemble frontière commune, et le Pays Jaune est entouré de tous côtés par le Grand Désert, séparant terre magique du reste du monde.

Peterson Lyudmila Georgievna. Mathématiques. 4e année. Partie 3. - M. : Maison d'édition Yuventa, 2005, - 64 p. : ill.

Sur la figure, les points gras montrent la quantité quotidienne de précipitations tombées dans la ville de N du 4 au 17 février 1908. Les dates du mois sont indiquées horizontalement et la quantité de précipitations tombées le jour correspondant en millimètres est indiquée verticalement. Pour plus de clarté, les points en gras de la figure sont reliés par une ligne. Déterminez à partir de l'image à quelle date exactement 2 millimètres de précipitations sont tombés pour la première fois.

Solution

On sélectionne un point d'ordonnée 2 et de plus petite abscisse. On voit que son abscisse est 8. Cela signifie que le 8 février, 2 mm de précipitations sont tombés pour la première fois.

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Condition

Le graphique montre le processus de réchauffement d'un moteur de voiture. L'axe des X indique le temps écoulé en minutes depuis le démarrage du moteur et l'axe des Y indique la température du moteur en degrés Celsius. Déterminez à partir du graphique combien de minutes le moteur a chauffé à cause de la température 30 ^(\circ)C jusqu'à la température 70 ^(\circ)C.

Solution

Sur l'axe des ordonnées on retrouve l'intervalle de 30 à 70^(\circ)C. Elle correspond sur l'axe des abscisses à une période de 1 à 7 minutes. Autrement dit, le moteur chauffe pendant six minutes.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau de profil" Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

Le graphique montre la dépendance du couple d'un moteur de voiture sur son nombre de tours par minute. Le nombre de tours par minute est porté sur l'axe des abscisses. Sur l'axe des ordonnées se trouve le couple en Nm. Pour que la voiture démarre, le couple doit être d'au moins 50 Nm. Quel est le nombre le plus bas de tours de moteur par minute requis pour démarrer la voiture ?

Solution

On sélectionne un point d'ordonnée 50, le plus proche de l'origine. A l'aide de la figure, on trouve le point sur le graphique correspondant à l'ordonnée, à partir de là on abaisse la perpendiculaire à l'axe des abscisses et on obtient un point dont l'abscisse est égale à 2000, qui est le plus petit nombre de tours.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

La puissance du chauffage dans la voiture est régulée par une résistance supplémentaire, qui peut être modifiée en tournant un bouton à l'intérieur de la voiture. À mesure que la résistance diminue, le courant augmente circuit électrique moteur électrique, ce qui entraîne une rotation plus rapide du moteur de chauffage. Le graphique montre la dépendance du courant sur la résistance dans le circuit. L'axe des x montre la résistance (en ohms) et l'axe des y montre le courant en ampères. La poignée du radiateur a été tournée de telle manière que le courant dans le circuit a diminué de 8 à 4 ampères. À l'aide du graphique, déterminez de combien d'ohms la résistance a augmenté ?

Solution

A l'aide de la figure, on détermine sur l'axe des ordonnées un écart de 8 à 4 ampères (le courant dans le circuit du moteur électrique diminue), cela correspond à un écart sur l'axe des abscisses de 1 à 2,5 Ohms, soit la résistance dans le circuit a augmenté de 1,5 Ohms.

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

À l'aéroport, les valises des passagers sont remontées dans la zone de récupération des bagages via un tapis roulant. La tension admissible de la courroie dépend directement de l'angle d'inclinaison du convoyeur par rapport à l'horizon à la charge de conception. Cette dépendance est représentée sur le graphique. L'axe des abscisses indique l'angle d'élévation du convoyeur en degrés et l'axe des ordonnées indique la force de tension de la courroie à la charge admissible (en kilogrammes-force). À l'aide du graphique, déterminez à quel angle d'inclinaison du convoyeur la force de tension de la courroie sera de 200 kgf ? Donnez votre réponse en degrés.

Solution

Sur l'axe des ordonnées on retrouve la marque de 200 kgf. Tracez une ligne droite perpendiculaire à l'axe des ordonnées jusqu'à ce qu'elle croise le graphique ; à partir de ce point (sur le graphique) on abaisse la perpendiculaire à l'axe des abscisses, la valeur correspondante est 75. L'angle d'inclinaison du convoyeur par rapport à l'horizon est de 75^(\circ) .

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Source : « Mathématiques. Préparation à l'examen d'État unifié 2017. Niveau profil." Éd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condition

Pendant réaction chimique quantité Materiel de départ(réactif), qui n'a pas encore réagi, diminue progressivement avec le temps. Cette dépendance est présentée dans un graphique. L'axe des abscisses montre le temps en minutes qui s'est écoulé depuis le début de la réaction, et l'axe des ordonnées montre la masse de la substance restante en grammes qui n'a pas réagi. À l’aide du graphique, déterminez combien de grammes de réactif ont réagi au cours de la première minute.

Le directeur des concepts visuels de McKinsey, Gene Zelazny, connaît tout de son métier. Ce n'est pas surprenant : au cours des 55 années de sa vie qu'il a consacrées à l'étude des diagrammes et d'autres méthodes de visualisation, il a accumulé suffisamment d'expérience, qu'il a partagée dans le livre « Speak the Language of Diagrams ».

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Étape 3 : De la comparaison au graphique – Sélectionnez le type de graphique

Chaque type de comparaison correspond à certain type des diagrammes. Sélectionnez le type de visualisation en fonction du type de comparaison.

Formuler une idée

La construction de diagrammes commence par la formulation de l'idée principale que vous souhaitez transmettre au public avec son aide. L’idée principale est la réponse à la question de savoir ce que nous montrent exactement les données et comment elles sont liées les unes aux autres.

La façon la plus simple de le dire idée principale- mettez-le dans le titre du schéma.

Le titre doit être précis et répondre à la question que vous posez au public. Lorsque vous choisissez des mots, utilisez des mots quantitatifs et caractéristiques de qualité et essaie d'éviter Phrases courantes et des expressions.

Exemples de rubriques spécifiques et générales

N'oubliez pas la règle principale : un schéma - une idée. N'essayez pas de montrer toutes les connexions et pensées que vous avez trouvées sur un seul graphique. De tels diagrammes seront surchargés et difficiles à comprendre.

Déterminer le type de comparaison

Toute pensée et idée peut être exprimée en utilisant l’un des cinq types de comparaison. Votre tâche consiste à choisir le bon type de comparaison et à sélectionner le diagramme approprié.

Un petit indice :

Comparaison pièce par pièce - vos données montrent une certaine proportion par rapport à l'ensemble.

Comparaison positionnelle – vous souhaitez montrer comment les données sont liées les unes aux autres.

Comparaison temporelle : vous montrez comment les données évoluent au fil du temps.

Comparaison de fréquence - vous souhaitez montrer combien d'objets se situent dans une certaine plage.

Comparaison corrélationnelle : vous montrez comment les données dépendent les unes des autres.

Choisir le graphique idéal

Chaque type de comparaison possède son propre type de diagramme. C'était de lui le bon choix La clarté de la perception des données visualisées en dépend.

Il existe cinq types de graphiques et certaines de leurs variantes et combinaisons :

1. Diagramme circulaire

Le « tarte » familier est le type de graphique le plus utilisé. Selon Jin, cela est injustifié puisque ce type est le moins pratique et devrait représenter un peu plus de 5 % de tous les diagrammes des présentations.

2. Graphique à barres

Les valeurs individuelles de ce graphique sont représentées par des barres de différentes longueurs s'étendant horizontalement le long de l'axe X. De l'avis de l'auteur, il s'agit du graphique le plus sous-estimé, le type le plus flexible et le plus polyvalent, et devrait représenter 25 % de tous. graphiques utilisés.

3. Histogramme

Les relations quantitatives d'un certain indicateur sont présentées sous la forme de rectangles dont les aires sont proportionnelles. Le plus souvent, pour faciliter la perception, la largeur des rectangles est considérée comme la même, tandis que leur hauteur détermine le rapport du paramètre affiché.

4. Calendrier

Familier de tout le monde depuis l'école graphiques linéaires constitué de points sur une grille de coordonnées reliés par des lignes. Utilisé pour caractériser la variation, la dynamique et les relations. Avec l'histogramme, ils devraient représenter la moitié des graphiques utilisés.

5. Nuage de points

Également connu sous le nom de nuage de points, il est utilisé pour placer des points de données horizontalement et axe vertical afin de montrer le degré d'influence d'une variable sur une autre. Selon Zelazny, il devrait être utilisé dans 10 % des cas.

N'oubliez pas! L'objectif principal n'importe quel diagramme - montrez clairement les connexions ou les dépendances entre les données. Si l’illustration ne permet pas de montrer les relations, il est préférable d’utiliser des tableaux.

Double comparaison

Dans certains cas, il devient nécessaire de montrer plusieurs types de données comparées et les relations entre elles sur un seul graphique.

Dans de tels cas, il est nécessaire de déterminer le type principal de comparaison et de sélectionner un diagramme basé sur celui-ci. Par exemple, si vous souhaitez afficher la contribution de chaque division au chiffre d'affaires global de l'entreprise par mois, il est préférable d'utiliser des types de graphiques pour la comparaison temporelle : graphique ou histogramme. Et si vous êtes plus intéressé par des réalisations spécifiques que par des changements au fil du temps, utilisez des graphiques à barres.

N'oubliez pas : si un graphique ne peut pas transmettre l'idée principale de manière simple et claire en combinant des données, il est préférable d'utiliser deux widgets distincts.

Balances, légendes et autres inscriptions

Un diagramme idéal est compréhensible sans Informations Complémentaires sur elle. Cependant, cela ne signifie pas que vous ne pouvez pas utiliser une échelle ou une légende pour faire passer votre message.

Règles principales lors de l'ajout d'informations supplémentaires :

Ils ne surchargent pas le diagramme.

Ils ne détournent pas l’attention de l’image principale.

Ils complètent le schéma.

Vous pouvez trouver des exemples spécifiques pour chaque type de comparaison et des diagrammes dans le livre ou utiliser leur version électronique sur le site Web de l’éditeur.