Instructions

Méthode d'addition.
Vous devez en écrire deux strictement l'un en dessous de l'autre :

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dans une équation arbitrairement choisie (dans le système), insérez le nombre 11 à la place du « jeu » déjà trouvé et calculez la deuxième inconnue :

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
La réponse à ce système d'équations est x=116, y=11.

Méthode graphique.
Elle consiste à trouver pratiquement les coordonnées du point où les lignes sont écrites mathématiquement dans un système d'équations. Les graphiques des deux lignes doivent être tracés séparément dans le même système de coordonnées. Vue générale : – y=khx+b. Pour construire une droite, il suffit de trouver les coordonnées de deux points, et x est choisi arbitrairement.
Soit le système : 2x – y=4

Y=-3x+1.
Une ligne droite est construite à partir de la première, pour plus de commodité elle doit s'écrire : y=2x-4. Trouvez des valeurs (plus faciles) pour x, en les remplaçant dans l'équation, en les résolvant et en trouvant y. Nous obtenons deux points le long desquels une ligne droite est construite. (voir l'image)
x0 1

y-4-2
Une ligne droite est construite à l'aide de la deuxième équation : y=-3x+1.
Construisez également une ligne droite. (voir l'image)

et 1 -5
Trouvez les coordonnées du point d'intersection de deux lignes construites sur le graphique (si les lignes ne se coupent pas, alors le système d'équations n'a pas - donc).

Vidéo sur le sujet

Conseil utile

Si le même système d'équations est résolu par trois différentes façons, la réponse sera la même (si la solution est correcte).

Sources:

• Algèbre de 8e année
• résoudre une équation à deux inconnues en ligne
• Exemples de solutions système équations linéaires avec deux

Système équations représente une collection notations mathématiques, dont chacun contient un certain nombre de variables. Il existe plusieurs façons de les résoudre.

Tu auras besoin de

• -Règle et crayon ;
• -calculatrice.

Instructions

Considérons la séquence de résolution du système, qui consiste en des équations linéaires ayant la forme : a1x + b1y = c1 et a2x + b2y = c2. Où x et y sont des variables inconnues et b,c sont des termes libres. Lors de l'application de cette méthode, chaque système représente les coordonnées des points correspondant à chaque équation. Pour commencer, dans chaque cas, exprimez une variable en fonction d’une autre. Définissez ensuite la variable x sur n'importe quel nombre de valeurs. Deux suffisent. Remplacez dans l’équation et trouvez y. Construisez un système de coordonnées, marquez les points résultants dessus et tracez une ligne à travers eux. Des calculs similaires doivent être effectués pour d’autres parties du système.

Le système a seule décision, si les lignes construites se coupent et qu'une point commun. Ils sont incompatibles s'ils sont parallèles les uns aux autres. Et il existe une infinité de solutions lorsque les lignes se confondent.

Cette méthode considéré comme très visuel. Le principal inconvénient est que les inconnues calculées ont des valeurs approximatives. Un résultat plus précis est donné par ce qu'on appelle méthodes algébriques.

Toute solution à un système d’équations mérite d’être vérifiée. Pour ce faire, remplacez les valeurs résultantes par les variables. Vous pouvez également trouver sa solution en utilisant plusieurs méthodes. Si la solution du système est correcte, alors tout le monde devrait avoir le même résultat.

Il existe souvent des équations dans lesquelles l’un des termes est inconnu. Pour résoudre une équation, vous devez vous souvenir et effectuer un certain ensemble d'actions avec ces nombres.

Tu auras besoin de

• - papier;
• - un stylo ou un crayon.

Instructions

Imaginez qu'il y a 8 lapins devant vous et que vous n'avez que 5 carottes. Pensez-y, vous devez encore acheter plus de carottes pour que chaque lapin en reçoive une.

Présentons ce problème sous la forme d'une équation : 5 + x = 8. Remplaçons le nombre 3 à la place de x En effet, 5 + 3 = 8.

Lorsque vous remplacez x par un nombre, vous faites la même chose que lorsque vous soustrayez 5 de 8. Donc, pour trouver inconnu terme, soustrayez le terme connu de la somme.

Disons que vous avez 20 lapins et seulement 5 carottes. Réparons-le. Une équation est une égalité qui n'est valable que pour certaines valeurs des lettres qu'elle contient. Les lettres dont il faut trouver la signification sont appelées . Écrivez une équation à une inconnue, appelez-la x. En résolvant notre problème concernant les lapins, nous obtenons l'équation suivante: 5 + x = 20.

Trouvons la différence entre 20 et 5. Lors de la soustraction, le nombre auquel il est soustrait est celui qui est réduit. Le nombre qui est soustrait est appelé , et résultat final appelé différence. Donc x = 20 – 5 ; x = 15. Vous devez acheter 15 carottes pour les lapins.

Vérifiez : 5 + 15 = 20. L'équation est résolue correctement. Bien sûr, quand nous parlons de pour les plus simples, il n'est pas nécessaire d'effectuer une vérification. Cependant, lorsque vous avez des équations avec des nombres à trois, quatre chiffres, etc., vous devez absolument vérifier pour être absolument sûr du résultat de votre travail.

Vidéo sur le sujet

Conseil utile

Pour trouver le menu inconnu, vous devez ajouter le sous-titre à la différence.

Pour trouver la soustraction inconnue, vous devez soustraire la différence de la fin du menu.

Astuce 4 : Comment résoudre un système de trois équations avec trois inconnues

Un système de trois équations à trois inconnues peut ne pas avoir de solutions, malgré quantité suffisanteéquations. Vous pouvez essayer de le résoudre en utilisant la méthode de substitution ou en utilisant la méthode de Cramer. La méthode de Cramer, en plus de résoudre le système, permet d'évaluer si le système est résoluble avant de trouver les valeurs des inconnues.

Instructions

La méthode de substitution consiste à passer séquentiellement d'une inconnue à travers deux autres et à substituer le résultat résultant dans les équations du système. Soit un système de trois équations dans vue générale:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Exprimez x à partir de la première équation : x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - et remplacez-le dans les deuxième et troisième équations, puis exprimez y à partir de la deuxième équation et remplacez-le par la troisième. Vous obtiendrez une expression linéaire pour z grâce aux coefficients des équations du système. Maintenant, allez « en arrière » : remplacez z dans la deuxième équation et trouvez y, puis remplacez z et y dans la première et résolvez x. Le processus est généralement représenté sur la figure avant de trouver z. Écrire davantage sous forme générale sera trop fastidieux ; en pratique, en remplaçant , vous pouvez assez facilement trouver les trois inconnues.

La méthode de Cramer consiste à construire une matrice système et à calculer le déterminant de cette matrice, ainsi que trois autres matrices auxiliaires. La matrice système est composée de coefficients pour les termes inconnus des équations. Une colonne contenant les nombres des membres droits des équations, une colonne des membres droits. Il n’est pas utilisé dans le système, mais est utilisé lors de la résolution du système.

Vidéo sur le sujet

note

Toutes les équations du système doivent fournir des informations supplémentaires indépendantes des autres équations. Autrement, le système sera sous-déterminé et il ne sera pas possible de trouver une solution univoque.

Conseil utile

Après avoir résolu le système d'équations, remplacez les valeurs trouvées dans le système d'origine et vérifiez qu'elles satisfont à toutes les équations.

Par lui-même l'équation avec trois inconnu a de nombreuses solutions, il est donc le plus souvent complété par deux autres équations ou conditions. L'évolution de la décision dépendra en grande partie des données initiales.

Tu auras besoin de

• - un système de trois équations à trois inconnues.

Instructions

Si deux des trois systèmes n'ont que deux des trois inconnues, essayez d'exprimer certaines variables en fonction des autres et de les substituer dans l'équation avec trois inconnu. Votre objectif dans ce cas est de le transformer en un état normal l'équation avec un inconnu. Si tel est le cas, la solution supplémentaire est assez simple : remplacez la valeur trouvée dans d'autres équations et trouvez toutes les autres inconnues.

Certains systèmes d'équations peuvent être soustraits d'une équation par une autre. Voyez s'il est possible de multiplier une ou une variable pour que deux inconnues s'annulent à la fois. S'il existe une telle opportunité, profitez-en ; la solution ultérieure ne sera probablement pas difficile. N'oubliez pas que lorsque vous multipliez par un nombre, vous devez multiplier comme côté gauche, et le bon. De même, lors de la soustraction d’équations, il faut se rappeler que partie droite doivent également être déduits.

Si les méthodes précédentes n'ont pas aidé, utilisez d'une manière générale solutions à toutes les équations avec trois inconnu. Pour ce faire, réécrivez les équations sous la forme a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Créez maintenant une matrice de coefficients pour x (A), une matrice d'inconnues (X) et une matrice d'inconnues (B). Attention, en multipliant la matrice des coefficients par la matrice des inconnues, vous obtenez la matrice, matrice membres gratuits, c'est-à-dire A*X=B.

Trouvez la matrice A à la puissance (-1) en trouvant d'abord , notez qu'elle ne doit pas être égal à zéro. Après cela, multipliez la matrice résultante par la matrice B, vous obtiendrez ainsi la matrice X souhaitée, indiquant toutes les valeurs.

Vous pouvez également trouver une solution à un système de trois équations en utilisant la méthode de Cramer. Pour ce faire, trouvez le déterminant du troisième ordre ∆ correspondant à la matrice système. Trouvez ensuite successivement trois autres déterminants ∆1, ∆2 et ∆3, en substituant les valeurs des termes libres au lieu des valeurs des colonnes correspondantes. Trouvez maintenant x : x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sources:

• solutions aux équations à trois inconnues

Lorsque vous commencez à résoudre un système d’équations, déterminez de quel type d’équations il s’agit. Les méthodes de résolution d'équations linéaires ont été assez bien étudiées. Équations non linéaires le plus souvent, ils n'osent pas. Il n'existe qu'un seul cas particulier, chacun étant pratiquement individuel. Par conséquent, l’étude des techniques de résolution doit commencer par des équations linéaires. De telles équations peuvent même être résolues de manière purement algorithmique.

les dénominateurs des inconnues trouvées sont exactement les mêmes. Oui, et les numérateurs montrent certaines tendances dans leur construction. Si la dimension du système d’équations était supérieure à deux, alors la méthode d’élimination conduirait à des calculs très fastidieux. Pour les éviter, ils sont conçus uniquement méthodes algorithmiques solutions. Le plus simple d'entre eux est l'algorithme de Cramer (formules de Cramer). Car tu devrais le découvrir système généraléquations à partir de n équations.

Système n linéaire équations algébriques avec n inconnues a la forme (voir Fig. 1a). Dans celui-ci, aij sont les coefficients du système,
xj – inconnues, bi – termes libres (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Un tel système peut être écrit de manière compacte en forme matricielle AX=B. Ici A est la matrice des coefficients du système, X est la matrice colonne des inconnues, B est la matrice colonne des termes libres (voir Figure 1b). D'après la méthode de Cramer, chaque inconnue xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Le déterminant ∆ de la matrice des coefficients est appelé le principal, et ∆i l'auxiliaire. Pour chaque inconnue, le déterminant auxiliaire est trouvé en remplaçant la i-ème colonne du déterminant principal par une colonne de termes libres. La méthode Cramer pour le cas des systèmes du deuxième et du troisième ordre est présentée en détail dans la Fig. 2.

Le système est une combinaison de deux ou plusieurs égalités, chacune contenant deux ou plusieurs inconnues. Il existe deux manières principales de résoudre des systèmes d'équations linéaires utilisés dans programme scolaire. L'une d'elles s'appelle la méthode, l'autre la méthode d'addition.

Forme standard d'un système de deux équations

Résoudre le système en utilisant la méthode d'addition

Par exemple, supposons qu’un système composé de deux équations soit donné. Le premier d’entre eux a la forme 2x+4y=8, le second a la forme 6x+2y=6. L'une des options pour accomplir la tâche consiste à multiplier la deuxième équation par un coefficient de -2, ce qui la conduira à la forme -12x-4y=-12. Le bon choix le coefficient est l'une des tâches clés dans le processus de résolution d'un système par addition, car il détermine tout le déroulement ultérieur de la procédure de recherche d'inconnues.

Il faut maintenant additionner les deux équations du système. Évidemment, la destruction mutuelle de variables de coefficients égaux en valeur mais de signe opposé conduira à la forme -10x=-4. Après cela, il faut résoudre cette équation simple, d'où il résulte clairement que x = 0,4.

La dernière étape du processus de résolution consiste à remplacer la valeur trouvée de l'une des variables par l'une des égalités originales disponibles dans le système. Par exemple, en remplaçant x=0,4 dans la première équation, vous pouvez obtenir l’expression 2*0,4+4y=8, à partir de laquelle y=1,8. Ainsi, x=0,4 et y=1,8 sont les racines du système exemple.

Afin de s'assurer que les racines ont été trouvées correctement, il est utile de vérifier en substituant les valeurs trouvées dans la deuxième équation du système. Par exemple, dans dans ce cas nous obtenons une égalité de la forme 0,4*6+1,8*2=6, ce qui est vrai.

Vidéo sur le sujet

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1. Résoudre le système en utilisant la méthode de substitution.
2. Résoudre le système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système.

Pour résoudre le système d'équations par méthode de substitution vous devez suivre un algorithme simple :
1. Exprimez. À partir de n'importe quelle équation, nous exprimons une variable.
2. Remplacer. Nous substituons la valeur résultante dans une autre équation au lieu de la variable exprimée.
3. Résolvez l'équation résultante avec une variable. Nous trouvons une solution au système.

Résoudre système par méthode d'addition (soustraction) terme par terme besoin de:
1. Sélectionnez une variable pour laquelle nous ferons des coefficients identiques.
2. Nous ajoutons ou soustrayons des équations, ce qui donne une équation à une variable.
3. Résolvez le résultat équation linéaire. Nous trouvons une solution au système.

La solution du système réside dans les points d’intersection des graphiques de fonctions.

Examinons en détail la solution des systèmes à l'aide d'exemples.

Exemple 1:

Résolvons par méthode de substitution

2x+5y=1 (1 équation)
x-10y=3 (2ème équation)

1. Exprimer
On peut voir que dans la deuxième équation il y a une variable x avec un coefficient de 1, ce qui signifie qu'il est plus simple d'exprimer la variable x à partir de la deuxième équation.
x=3+10a

2.Après l'avoir exprimé, nous substituons 3+10y dans la première équation au lieu de la variable x.
2(3+10 ans)+5 ans=1

3. Résolvez l'équation résultante avec une variable.
2(3+10y)+5y=1 (ouvrez les parenthèses)
6+20 ans+5 ans=1
25 ans = 1-6
25 ans = -5 | : (25)
y=-5:25
y=-0,2

La solution du système d'équations est constituée des points d'intersection des graphiques, nous devons donc trouver x et y, car le point d'intersection est constitué de x et y. Trouvons x, au premier point où nous l'avons exprimé, nous substituons y.
x=3+10a
x=3+10*(-0,2)=1

Il est d'usage d'écrire des points en premier lieu on écrit la variable x, et en second lieu la variable y.
Réponse : (1 ; -0,2)

Exemple n°2 :

Résolvons en utilisant la méthode d'addition (soustraction) terme par terme.

3x-2y=1 (1 équation)
2x-3y=-10 (2ème équation)

1. Nous choisissons une variable, disons que nous choisissons x. Dans la première équation, la variable x a un coefficient de 3, dans la seconde - 2. Nous devons rendre les coefficients identiques, pour cela nous avons le droit de multiplier les équations ou de diviser par n'importe quel nombre. On multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3 et on obtient coefficient global 6.

3x-2a=1 |*2
6x-4a=2

2x-3a=-10 |*3
6x-9a=-30

2. Soustrayez la seconde de la première équation pour éliminer la variable x. Résolvez l’équation linéaire.
__6x-4a=2

5 ans = 32 | :5
y=6,4

3. Trouvez x. Nous substituons le y trouvé dans n’importe laquelle des équations, disons dans la première équation.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Le point d'intersection sera x=4,6 ; y=6,4
Réponse : (4.6 ; 6.4)

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