Voulez-vous réussir à l'examen d'État unifié en mathématiques ? Ensuite, il faut pouvoir compter rapidement, correctement et sans calculatrice. Après tout raison principale perte de points à l'examen d'État unifié en mathématiques - erreurs de calcul.
Selon les règles mener l'examen d'État unifié, il est interdit d’utiliser une calculatrice lors de l’examen de mathématiques. Le prix est peut-être trop élevé - retrait de l'examen.
En fait, vous n'avez pas besoin d'une calculatrice pour l'examen d'État unifié de mathématiques. Tous les problèmes sont résolus sans cela. L'essentiel est l'attention, la précision et quelques techniques secrètes, dont nous vous parlerons.
Commençons par la règle principale. Si un calcul peut être simplifié, simplifiez-le.
Voici par exemple « l’équation diabolique » :
Soixante-dix pour cent des diplômés le résolvent de front. Ils calculent le discriminant à l'aide de la formule, après quoi ils disent que la racine ne peut pas être extraite sans calculatrice. Mais vous pouvez diviser les côtés gauche et droit de l’équation par . Cela va fonctionner
Quelle est la méthode la plus simple ? :-)
De nombreux écoliers n'aiment pas la multiplication en colonnes. Personne n’aimait résoudre des « exemples » ennuyeux en quatrième année. Cependant, dans de nombreux cas, il est possible de multiplier des nombres sans « colonne », à la suite. C'est beaucoup plus rapide.
Veuillez noter que nous ne commençons pas par des chiffres plus petits, mais par des chiffres plus grands. C'est confortable.
Maintenant - division. Il n'est pas facile de diviser « dans une colonne » par . Mais rappelez-vous que le signe de division et la barre fractionnaire sont la même chose. Écrivons-le sous forme de fraction et réduisons la fraction :
Un autre exemple.
Comment mettre au carré rapidement et sans aucune colonne numéro à deux chiffres? Nous appliquons des formules de multiplication abrégées :
Parfois, il est pratique d'utiliser une autre formule :
Les nombres se terminant par , sont instantanément mis au carré.
Disons que nous devons trouver le carré d'un nombre ( - pas nécessairement un nombre, n'importe quel entier naturel). Nous multiplions par et ajoutons au résultat. Tous!
Par exemple : (et attribué).
(et attribué).
(et attribué).
Cette méthode est utile non seulement pour la quadrature, mais aussi pour prendre la racine carrée des nombres se terminant par .
Comment l'extraire ? Racine carrée sans calculatrice ? Nous allons vous montrer deux façons.
La première méthode consiste à factoriser l’expression radicale.
Par exemple, trouvons
Un nombre est divisible par (puisque la somme de ses chiffres est divisible par ). Factorisons :
Trouvons-le. Ce nombre est divisible par . Il est également divisé par. Prenons cela en compte.
Un autre exemple.
Il existe une deuxième façon. C'est pratique si le nombre à partir duquel vous devez extraire la racine ne peut pas être factorisé.
Par exemple, vous devez trouver . Le nombre sous la racine est impair, il n'est pas divisible par, n'est pas divisible par, n'est pas divisible par... Vous pouvez continuer à chercher par quoi il est divisible, ou vous pouvez le faire plus facilement - trouvez cette racine par sélection .
De toute évidence, un nombre à deux chiffres a été mis au carré, qui se situe entre les nombres et , puisque , , et le nombre est entre eux. Nous connaissons déjà le premier chiffre de la réponse, c'est .
Le dernier chiffre du numéro est . Parce que le , , dernier chiffre la réponse est soit , soit . Allons vérifier:
. Arrivé!
Trouvons-le.
Cela signifie que le premier chiffre de la réponse est cinq.
Le dernier chiffre du nombre est neuf. , . Cela signifie que le dernier chiffre de la réponse est soit , soit .
Allons vérifier:
Si le nombre dont vous devez extraire la racine carrée se termine par ou, alors sa racine carrée sera un nombre irrationnel. Parce qu’aucun carré entier ne se termine par ou . N'oubliez pas que dans la partie tâches Options d'examen d'État unifié en mathématiques, la réponse doit s'écrire sous la forme d'un nombre entier ou fini décimal, c'est-à-dire qu'il doit être un nombre rationnel.
Nous rencontrons des équations quadratiques dans les problèmes et variantes de l'examen d'État unifié, ainsi que dans certaines parties. Ils doivent compter le discriminant puis en extraire la racine. Et il n'est pas du tout nécessaire de chercher des racines nombres à cinq chiffres. Dans de nombreux cas, le discriminant peut être factorisé.
Par exemple, dans l'équation.
Une autre situation dans laquelle l’expression sous la racine peut être factorisée est tirée du problème.
Hypoténuse triangle rectangle est égal à , une des branches est égale à , trouvez la deuxième branche.
D’après le théorème de Pythagore, il est égal à . Vous pouvez compter longtemps dans une colonne, mais il est plus facile d'utiliser la formule de multiplication abrégée.
Et maintenant, nous allons vous dire la chose la plus intéressante : pourquoi les diplômés perdent de précieux points à l'examen d'État unifié. Après tout, les erreurs de calcul ne se produisent pas par hasard.
1
. La bonne façon perdre des points - des calculs bâclés dans lesquels quelque chose est corrigé, barré, un chiffre est écrit sur un autre. Regardez vos brouillons. Peut-être qu’ils se ressemblent ? :-)
Écrivez lisiblement ! N'économisez pas de papier. Si quelque chose ne va pas, ne corrigez pas un numéro par un autre, il vaut mieux le réécrire.
2. Pour une raison quelconque, de nombreux écoliers, lorsqu'ils comptent en colonne, essaient de le faire 1) très, très rapidement, 2) en très petits nombres, dans le coin de leur cahier, et 3) avec un crayon. Le résultat est le suivant :
Il est impossible d'en déduire quoi que ce soit. Est-il donc surprenant que le score à l'examen d'État unifié soit inférieur aux attentes ?
3. De nombreux écoliers ont l'habitude d'ignorer les parenthèses dans les expressions. Parfois, cela arrive :
N'oubliez pas que le signe égal n'est pas placé n'importe où, mais seulement entre montants égaux. Écrivez correctement, même sous forme de brouillon.
4
. Grande quantité erreurs de calcul associées aux fractions. Si vous divisez une fraction par une fraction, utilisez ce
Un « hamburger » est dessiné ici, c'est-à-dire fraction à plusieurs étages. Il est extrêmement difficile d’obtenir la bonne réponse avec cette méthode.
Résumons.
Vérification des tâches de la première partie profil Examen d'État unifié en mathématiques - automatique. Il n’y a pas de réponse « presque correcte » ici. Soit il a raison, soit il n'a pas raison. Une erreur de calcul - et bonjour, la tâche ne compte pas. Vous avez donc intérêt à apprendre à compter rapidement, correctement et sans calculatrice.
Les tâches de la deuxième partie du profil Examen d'État unifié en mathématiques sont vérifiées par un expert. Prend soin de lui! Faites-lui comprendre à la fois votre écriture et la logique de la décision.
Le cercle montrait comment extraire des racines carrées dans une colonne. Vous pouvez calculer la racine avec une précision arbitraire, y trouver n'importe quel nombre de chiffres notation décimale, même si cela s’avère irrationnel. L'algorithme a été mémorisé, mais des questions demeurent. Il n’était pas clair d’où venait la méthode et pourquoi elle donnait le bon résultat. Ce n’était pas dans les livres, ou peut-être que je cherchais simplement dans les mauvais livres. En fin de compte, comme beaucoup de ce que je sais et peux faire aujourd’hui, je l’ai inventé moi-même. Je partage ici mes connaissances. D'ailleurs, je ne sais toujours pas où est donnée la justification de l'algorithme)))
Donc, d’abord je vous explique « comment le système fonctionne » avec un exemple, puis j’explique pourquoi il fonctionne réellement.
Prenons un chiffre (le chiffre a été pris « de nulle part », il m'est venu à l'esprit).
1. On divise ses nombres en paires : ceux à gauche de virgule, on en regroupe deux de droite à gauche, et ceux de droite - deux de gauche à droite. On a.
2. On extrait la racine carrée du premier groupe de nombres à gauche - dans notre cas c'est le cas (il est clair que la racine exacte ne peut pas être extraite, on prend un nombre dont le carré est le plus proche possible de notre nombre formé par le premier groupe de nombres, mais ne le dépasse pas). Dans notre cas, ce sera un nombre. Nous notons la réponse - c'est le chiffre le plus significatif de la racine.
3. Nous mettons au carré le nombre qui est déjà dans la réponse - ceci - et le soustrayons du premier groupe de nombres à gauche - du nombre. Dans notre cas, cela reste.
4. Nous attribuons le groupe suivant de deux nombres à droite : . Nous multiplions le nombre déjà présent dans la réponse par , et nous obtenons .
5. Maintenant, surveillez attentivement. Nous devons attribuer un chiffre au nombre de droite et multiplier le nombre par, c'est-à-dire par le même chiffre attribué. Le résultat doit être aussi proche que possible de ce nombre, mais là encore pas supérieur. Dans notre cas, ce sera le numéro, nous l'écrivons dans la réponse à côté, à droite. C'est le chiffre suivant dans la notation décimale de notre racine carrée.
6. En soustrayant le produit, on obtient .
7. Ensuite, nous répétons les opérations familières : nous attribuons le groupe de chiffres suivant à droite, multiplié par , au nombre obtenu > nous attribuons un chiffre à droite, de telle sorte que lorsqu'il est multiplié par celui-ci, nous obtenons un nombre plus petit que , mais le plus proche à cela - c'est le chiffre suivant en notation racine décimale.
Les calculs s'écriront comme suit :
Et maintenant l'explication promise. L'algorithme est basé sur la formule
Commentaires : 50
2Anton :
Trop chaotique et déroutant. Disposez le tout point par point et numérotez-les. Plus : expliquez où nous remplaçons dans chaque action valeurs requises. Je n’ai jamais calculé de racine racine auparavant – j’ai eu du mal à la comprendre.
5Julie :
6 :
Yulia, 23 ans ce momentécrits à droite, ce sont les deux premiers chiffres (à gauche) déjà obtenus de la racine dans la réponse. Multipliez par 2 selon l'algorithme. Nous répétons les étapes décrites au point 4.
7zzz :
erreur dans « 6. De 167 on soustrait le produit 43 * 3 = 123 (129 nada), on obtient 38. »
Je ne comprends pas comment il s'est avéré qu'il s'agissait de 08 après la virgule décimale...9 Fedotov Alexandre :
Et même à l'ère pré-calculatrice, on nous enseignait à l'école non seulement le carré, mais aussi racine cubique extraire dans une colonne, mais c'est un travail plus fastidieux et minutieux. Il serait plus simple d'utiliser des tables Bradis ou règle à calcul, que nous avons déjà étudié au lycée.
10 :
Alexandre, tu as raison, tu peux l'extraire dans une colonne et des racines diplômes supérieurs. Je vais écrire sur la façon de trouver la racine cubique.
12 Sergueï Valentinovitch :
Chère Elizaveta Alexandrovna ! À la fin des années 70, j'ai développé un système de calcul automatique (c'est-à-dire sans sélection) des quadra. root sur la machine à additionner Felix. Si vous êtes intéressé, je peux vous envoyer une description.
14 Vlad à Engelsstadt :
(((Extraction de la racine carrée de la colonne)))
L'algorithme est simplifié si vous utilisez le 2ème système numérique, étudié en informatique, mais également utile en mathématiques. UN. Kolmogorov dans conférences populaires J'ai donné cet algorithme pour les écoliers. Son article peut être trouvé dans la « Collection Chebyshev » (Mathematical Journal, cherchez un lien vers celui-ci sur Internet)
Au fait, dites :
G. Leibniz a joué à un moment donné avec l'idée de passer du système de nombres 10 au système binaire en raison de sa simplicité et de son accessibilité pour les débutants ( collégiens). Mais briser les traditions établies, c’est comme briser une porte de forteresse avec le front : c’est possible, mais cela ne sert à rien. Il s'avère donc que d'après les plus cités dans vieux temps au philosophe barbu : les traditions de toutes les générations mortes suppriment la conscience des vivants.Jusqu'à la prochaine fois.
15 Vlad à Engelsstadt :
))Sergey Valentinovich, oui, je suis intéressé...((
Je parie qu'il s'agit d'une variante du « Félix » de la méthode babylonienne d'extraction du chevalier carré par la méthode des approximations successives. Cet algorithme a été couvert par la méthode de Newton (méthode de la tangente)
Je me demande si je me suis trompé dans mes prévisions ?
18 :
2Vlad à Engelsstadt
Oui, l'algorithme en binaire devrait être plus simple, c'est assez évident.
À propos de la méthode de Newton. C'est peut-être vrai, mais c'est quand même intéressant
20 Cyrille :
Merci beaucoup. Mais il n’existe toujours pas d’algorithme, personne ne sait d’où il vient, mais le résultat est correct. MERCI BEAUCOUP! je cherchais ça depuis longtemps)
21 Alexandre :
Comment allez-vous extraire la racine d’un nombre dont le deuxième groupe de gauche à droite est très petit ? par exemple, le numéro préféré de tous est 4 398 046 511 104. Après la première soustraction, il n'est pas possible de tout continuer selon l'algorithme. Pouvez-vous expliquer s'il vous plaît.
22 Alexeï :
Oui, je connais cette méthode. Je me souviens de l'avoir lu dans le livre « Algèbre » d'une ancienne édition. Puis, par analogie, il a lui-même déduit comment extraire la racine cubique d'une colonne. Mais là c'est déjà plus compliqué : chaque chiffre est déterminé non pas par un (comme pour un carré), mais par deux soustractions, et même là il faut multiplier à chaque fois des nombres longs.
23 Artem :
Il y a des fautes de frappe dans l'exemple d'extraction de la racine carrée de 56789,321. Le groupe de nombres 32 est attribué deux fois aux nombres 145 et 243, dans le nombre 2388025 le deuxième 8 doit être remplacé par 3. Ensuite la dernière soustraction doit s'écrire comme suit : 2431000 – 2383025 = 47975.
De plus, en divisant le reste par la valeur doublée de la réponse (en ignorant la virgule), nous obtenons la quantité supplémentaire chiffres significatifs(47975/(2*238305) = 0,100658819...), qui doit être ajouté à la réponse (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).24 Sergueï :
Apparemment, l’algorithme vient du livre d’Isaac Newton « General Arithmetic or a book on arithmétique synthèse et analyse ». En voici un extrait :
À PROPOS DE L'EXTRACTION DES RACINES
Pour extraire la racine carrée d'un nombre, vous devez d'abord placer un point au-dessus de ses chiffres, en commençant par les uns. Ensuite, vous devez écrire dans le quotient ou le radical le nombre dont le carré est égal ou le plus proche en désavantage aux nombres ou au nombre précédant le premier point. Après avoir soustrait ce carré, les chiffres restants de la racine seront trouvés séquentiellement en divisant le reste par deux fois la valeur de la partie déjà extraite de la racine et en soustrayant à chaque fois du reste du carré le dernier chiffre trouvé et son produit décuplé par le diviseur nommé.
25 Sergueï :
Veuillez également corriger le titre du livre « Arithmétique générale ou un livre sur la synthèse et l'analyse arithmétique »
26 Alexandre :
Merci pour matériel intéressant. Mais cette méthode me semble un peu plus compliquée que ce qui est nécessaire, par exemple, pour un écolier. J'utilise une méthode plus simple basée sur la décomposition fonction quadratique en utilisant les deux premières dérivées. Sa formule est :
sqrt(x)= A1+A2-A3, où
A1 est l'entier dont le carré est le plus proche de x ;
A2 est une fraction, le numérateur est x-A1, le dénominateur est 2*A1.
Pour la plupart des nombres trouvés dans cours scolaire, cela suffit pour obtenir un résultat précis au centième.
Si vous avez besoin d'un résultat plus précis, prenez
A3 est une fraction, le numérateur est A2 au carré, le dénominateur est 2*A1+1.
Bien sûr, pour l’utiliser, il faut un tableau de carrés d’entiers, mais ce n’est pas un problème à l’école. Se souvenir de cette formule est assez simple.
Cependant, je suis troublé par le fait que j'ai obtenu A3 expérimentalement à la suite d'expériences avec tableur et je ne comprends pas très bien pourquoi ce membre ressemble à ça. Peut-être pourriez-vous me donner quelques conseils ?27 Alexandre :
Oui, j'ai également réfléchi à ces considérations, mais le diable se cache dans les détails. Vous écrivez:
"puisque a2 et b diffèrent assez peu." La question est exactement de savoir dans quelle mesure.
Cette formule fonctionne bien sur les nombres de la deuxième dizaine et bien pire (pas jusqu'aux centièmes, seulement jusqu'aux dixièmes) sur les nombres de la première dizaine. Il est difficile de comprendre pourquoi cela se produit sans recourir à des produits dérivés.28 Alexandre :
Je vais préciser ce que je considère comme l'avantage de la formule que je propose. Cela ne nécessite pas la division pas tout à fait naturelle des nombres en paires de chiffres, qui, comme le montre l'expérience, est souvent effectuée avec des erreurs. Sa signification est évidente, mais pour une personne familiarisée avec l’analyse, elle est triviale. Fonctionne bien sur les nombres de 100 à 1000, qui sont les nombres les plus courants rencontrés à l'école.
29 Alexandre :
Au fait, j'ai fait quelques recherches et j'ai trouvé l'expression exacte de A3 dans ma formule :
A3= A22 /2(A1+A2)30 Vasil Stryzhak :
De nos jours, une utilisation répandue la technologie informatique, la question de l'extraction d'un chevalier carré d'un nombre n'en vaut pas la peine d'un point de vue pratique. Mais pour les amateurs de mathématiques, diverses options pour résoudre ce problème seront sans aucun doute intéressantes. DANS programme scolaire chemin de ce calcul sans implication fonds supplémentaires devrait avoir lieu sur un pied d'égalité avec la multiplication et la division longue. L'algorithme de calcul doit non seulement être mémorisé, mais aussi compréhensible. Méthode classique, fourni dans ce document pour discussion avec divulgation de l'essence, est pleinement conforme aux critères ci-dessus.
Un inconvénient important de la méthode proposée par Alexander est l'utilisation d'un tableau de carrés d'entiers. L'auteur passe sous silence la majorité des chiffres rencontrés dans le cursus scolaire. Quant à la formule, je l'aime en général en raison de la précision relativement élevée du calcul.31 Alexandre :
pour 30 vasil stryzhak
Je n'ai rien gardé sous silence. La table des carrés est censée aller jusqu'à 1000. À l'époque où j'étais à l'école, ils l'apprenaient simplement par cœur et elle figurait dans tous les manuels de mathématiques. J'ai explicitement nommé cet intervalle.
Quant à l’informatique, elle n’est pas utilisée principalement dans les cours de mathématiques, sauf si le thème de l’utilisation d’une calculatrice est spécifiquement abordé. Les calculatrices sont désormais intégrées à des appareils dont l'utilisation est interdite lors de l'examen d'État unifié.32 Vasil Stryzhak :
Alexandre, merci pour la précision ! Je pensais que pour la méthode proposée il fallait théoriquement mémoriser ou utiliser un tableau de carrés de tous les nombres à deux chiffres. nombres radicaux non inclus dans l'intervalle de 100 à 10000, vous pouvez utiliser la technique de les augmenter ou de les diminuer de quantité requise ordres de transfert de virgules.
33 Vasil Stryzhak :
39 ALEXANDRE :
MON PREMIER PROGRAMME EN LANGAGE IAMB SUR LA MACHINE SOVIÉTIQUE « ISKRA 555 » A ÉTÉ ÉCRIT POUR EXTRAIRE LA RACINE CARRÉE D'UN NOMBRE À L'AIDE DE L'ALGORITHME D'EXTRACTION DE COLONNE ! et maintenant j'ai oublié comment l'extraire manuellement !
Extraire la racine de grand nombre. Chers amis!Dans cet article, nous allons vous montrer comment extraire la racine d'un grand nombre sans calculatrice. Ceci est nécessaire non seulement pour résoudre certains types Problèmes liés à l'examen d'État unifié(il y en a - pour le mouvement), mais aussi pour le général développement mathématique ce technique analytique Il est souhaitable de le savoir.
Il semblerait que tout soit simple : le factoriser en facteurs et l'extraire. Aucun problème. Par exemple, le nombre 291600 une fois décomposé donnera le produit :
On calcule :
Il y en a un MAIS ! La méthode est bonne si les diviseurs 2, 3, 4, etc. sont faciles à déterminer. Que faire si le nombre dont on extrait la racine est un produit nombres premiers? Par exemple, 152881 est le produit des nombres 17, 17, 23, 23. Essayez de trouver ces diviseurs tout de suite.
L'essence de la méthode que nous envisageons- Ce analyse pure. Avec des compétences développées, la racine peut être trouvée rapidement. Si la compétence n'a pas été pratiquée, mais que l'approche est simplement comprise, alors elle est un peu plus lente, mais toujours déterminée.
Prenons la racine de 190969.
Tout d’abord, déterminons entre quels nombres (multiples de cent) se situe notre résultat.
Évidemment, le résultat de la racine de numéro donné se situe entre 400 et 500, parce que
400 2 =160 000 et 500 2 =250 000
Vraiment:
au milieu, plus proche de 160 000 ou 250 000 ?
Le nombre 190969 est approximativement au milieu, mais toujours plus proche de 160000. Nous pouvons en conclure que le résultat de notre racine sera inférieur à 450. Vérifions :
En effet, c'est moins de 450, puisque 190 969< 202 500.
Vérifions maintenant le nombre 440 :
Cela signifie que notre résultat est inférieur à 440, puisque 190 969 < 193 600.
Vérification du numéro 430 :
Nous avons constaté que le résultat racine donnée se situe entre 430 et 440.
Le produit de nombres terminés par 1 ou 9 donne un nombre terminé par 1. Par exemple, 21 sur 21 équivaut à 441.
Le produit de nombres avec 2 ou 8 à la fin donne un nombre avec 4 à la fin. Par exemple, 18 sur 18 équivaut à 324.
Le produit de nombres terminés par un 5 donne un nombre terminé par un 5. Par exemple, 25 sur 25 équivaut à 625.
Le produit de nombres avec 4 ou 6 à la fin donne un nombre avec 6 à la fin. Par exemple, 26 x 26 équivaut à 676.
Le produit de nombres avec 3 ou 7 à la fin donne un nombre avec 9 à la fin. Par exemple, 17 sur 17 équivaut à 289.
Puisque le nombre 190969 se termine par le nombre 9, il est le produit soit du nombre 433, soit de 437.
*Eux seuls, une fois mis au carré, peuvent donner 9 à la fin.
Nous vérifions:
Cela signifie que le résultat de la racine sera 437.
Autrement dit, nous semblons avoir « trouvé » la bonne réponse.
Comme vous pouvez le constater, le maximum requis est d'effectuer 5 actions dans une colonne. Peut-être que vous atteindrez le but tout de suite, ou que vous ne ferez que trois pas. Tout dépend de la façon dont vous le faites exactement estimation initiale Nombres.
Extrayez vous-même la racine de 148996
Un tel discriminant est obtenu dans le problème :
Le bateau à moteur parcourt 336 km le long du fleuve jusqu'à sa destination et, après s'être arrêté, retourne à son point de départ. Trouvez la vitesse du navire en eau calme si la vitesse actuelle est de 5 km/h, que le séjour dure 10 heures et que le navire revient à son point de départ 48 heures après le départ. Donnez votre réponse en km/h.
Voir la solution
Le résultat de la racine est compris entre les nombres 300 et 400 :
300 2 =90000 400 2 =160000
En effet, 90 000<148996<160000.
L'essence d'un raisonnement ultérieur revient à déterminer comment le nombre 148996 est localisé (distancé) par rapport à ces nombres.
Calculons les différences 148996 - 90000=58996 et 160000 - 148996=11004.
Il s'avère que 148996 est proche (beaucoup plus proche) de 160000. Par conséquent, le résultat de la racine sera certainement supérieur à 350 et même à 360.
Nous pouvons conclure que notre résultat est supérieur à 370. De plus, c'est clair : puisque 148996 se termine par le nombre 6, cela signifie que nous devons mettre au carré un nombre se terminant par 4 ou par 6. *Seuls ces nombres, une fois mis au carré, donnent le résultat 6. .
Cordialement, Alexandre Krutitskikh.
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.
En mathématiques, la question de savoir comment extraire une racine est considérée comme relativement simple. Si nous mettons au carré des nombres de la série naturelle : 1, 2, 3, 4, 5...n, alors nous obtenons la série de carrés suivante : 1, 4, 9, 16...n 2. La rangée de carrés est infinie, et si vous la regardez attentivement, vous verrez qu'elle ne contient pas beaucoup d'entiers. Pourquoi il en est ainsi sera expliqué un peu plus tard.
Racine d'un nombre : règles de calcul et exemples
Nous avons donc mis le nombre 2 au carré, c'est-à-dire l'avons multiplié par lui-même et obtenu 4. Comment extraire la racine du nombre 4 ? Disons tout de suite que les racines peuvent être carrées, cubiques et de tout degré jusqu'à l'infini.
La puissance de la racine est toujours un nombre naturel, c'est-à-dire qu'il est impossible de résoudre l'équation suivante : une racine à la puissance 3,6 de n.
Racine carrée
Revenons à la question de savoir comment extraire la racine carrée de 4. Puisque nous avons élevé le nombre 2 au carré, nous extrairons également la racine carrée. Afin d'extraire correctement la racine de 4, il vous suffit de choisir le bon nombre qui, une fois mis au carré, donnerait le nombre 4. Et celui-ci, bien sûr, est 2. Regardez l'exemple :
- 2 2 =4
- Racine de 4 = 2
Cet exemple est assez simple. Essayons d'extraire la racine carrée de 64. Quel nombre, multiplié par lui-même, donne 64 ? Il est évidemment 8 heures.
- 8 2 =64
- Racine de 64=8
racine cubique
Comme nous l'avons dit plus haut, les racines ne sont pas seulement carrées ; à l'aide d'un exemple, nous allons essayer d'expliquer plus clairement comment extraire une racine cubique ou une racine du troisième degré. Le principe d'extraction d'une racine cubique est le même que celui d'une racine carrée, la seule différence est que le nombre requis a été initialement multiplié par lui-même non pas une, mais deux fois. Autrement dit, disons que nous prenons l'exemple suivant :
- 3x3x3=27
- Naturellement, la racine cubique de 27 est égale à trois :
- Racine 3 sur 27 = 3
Disons que vous devez trouver la racine cubique de 64. Pour résoudre cette équation, il suffit de trouver un nombre qui, élevé à la puissance trois, donnerait 64.
- 4 3 =64
- Racine 3 sur 64 = 4
Extraire la racine d'un nombre sur une calculatrice
Bien sûr, il est préférable d'apprendre à extraire des carrés, des cubes et d'autres racines par la pratique, en résolvant de nombreux exemples et en mémorisant des tableaux de carrés et de cubes de petits nombres. À l'avenir, cela facilitera et réduira considérablement le temps nécessaire à la résolution des équations. Cependant, il convient de noter que vous devez parfois extraire la racine d'un nombre si grand que choisir le bon nombre au carré coûtera beaucoup de travail, si possible. Une calculatrice ordinaire viendra à la rescousse pour extraire la racine carrée. Comment extraire la racine sur une calculatrice ? Entrez très simplement le numéro à partir duquel vous souhaitez retrouver le résultat. Examinez maintenant de près les boutons de la calculatrice. Même le plus simple d'entre eux possède une clé avec une icône racine. En cliquant dessus, vous obtiendrez immédiatement le résultat final.
Tous les nombres ne peuvent pas avoir une racine entière ; considérons l’exemple suivant :
Racine de 1859 = 43,116122…
Vous pouvez simultanément essayer de résoudre cet exemple sur une calculatrice. Comme vous pouvez le voir, le nombre obtenu n’est pas un entier et l’ensemble des chiffres après la virgule n’est pas fini. Des calculatrices d'ingénierie spéciales peuvent donner un résultat plus précis, mais le résultat complet ne tient tout simplement pas sur l'écran des calculatrices ordinaires. Et si vous continuez la série de carrés que vous avez commencée plus tôt, vous n'y trouverez pas le nombre 1859 précisément parce que le nombre qui a été mis au carré pour l'obtenir n'est pas un nombre entier.
Si vous devez extraire la troisième racine sur une simple calculatrice, vous devez alors double-cliquer sur le bouton avec le signe racine. Par exemple, prenons le nombre 1859 utilisé ci-dessus et enlevez-en la racine cubique :
Racine 3 de 1859 = 6,5662867…
Autrement dit, si le nombre 6,5662867... est élevé à la troisième puissance, alors nous obtenons environ 1859. Ainsi, extraire les racines des nombres n'est pas difficile, il vous suffit de vous rappeler les algorithmes ci-dessus.
Très souvent, lorsque nous résolvons des problèmes, nous sommes confrontés à de grands nombres dont nous devons extraire Racine carrée. De nombreux étudiants décident qu’il s’agit d’une erreur et commencent à résoudre l’ensemble de l’exemple. Vous ne devez en aucun cas faire cela ! Il y a deux raisons à cela :
- Les racines des grands nombres apparaissent effectivement dans les problèmes. Surtout dans les textes ;
- Il existe un algorithme par lequel ces racines sont calculées presque oralement.
Nous considérerons cet algorithme aujourd'hui. Peut-être que certaines choses vous sembleront incompréhensibles. Mais si vous prêtez attention à cette leçon, vous recevrez une arme puissante contre racines carrées.
Donc, l'algorithme :
- Limitez la racine requise au-dessus et en dessous aux nombres multiples de 10. Ainsi, nous réduirons la plage de recherche à 10 nombres ;
- De ces 10 nombres, éliminez ceux qui ne peuvent définitivement pas être des racines. En conséquence, il restera 1 à 2 chiffres ;
- Mettez ces 1-2 nombres au carré. Celui dont le carré est égal au nombre d'origine sera la racine.
Avant de mettre cet algorithme en pratique, examinons chaque étape individuellement.
Limitation des racines
Tout d’abord, nous devons savoir entre quels nombres se situe notre racine. Il est hautement souhaitable que les nombres soient des multiples de dix :
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
On obtient une série de nombres :
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Que nous disent ces chiffres ? C'est simple : nous obtenons des limites. Prenons par exemple le nombre 1296. Il se situe entre 900 et 1600. Sa racine ne peut donc pas être inférieure à 30 et supérieure à 40 :
[Légende de la photo]
La même chose s’applique à tout autre nombre à partir duquel vous pouvez trouver la racine carrée. Par exemple, 3364 :
[Légende de la photo]Ainsi, au lieu d'un nombre incompréhensible, nous obtenons une plage très spécifique dans laquelle se situe la racine d'origine. Pour affiner davantage la zone de recherche, passez à la deuxième étape.
Éliminer les chiffres manifestement inutiles
Nous avons donc 10 nombres - candidats à la racine. Nous les avons obtenus très rapidement, sans réflexion complexe ni multiplication dans une colonne. Il est temps de passer à autre chose.
Croyez-le ou non, nous allons désormais réduire le nombre de candidats à deux - encore une fois sans aucun calcul compliqué ! Il suffit de connaître la règle spéciale. C'est ici:
Le dernier chiffre du carré ne dépend que du dernier chiffre numéro d'origine.
En d’autres termes, il suffit de regarder le dernier chiffre du carré et nous comprendrons immédiatement où se termine le nombre d’origine.
Il n’y a que 10 chiffres qui peuvent arriver en dernière place. Essayons de découvrir ce qu'ils deviennent une fois mis au carré. Jetez un œil au tableau :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Ce tableau est une autre étape vers le calcul de la racine. Comme vous pouvez le constater, les nombres de la deuxième ligne se sont avérés symétriques par rapport aux cinq. Par exemple:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Comme vous pouvez le constater, le dernier chiffre est le même dans les deux cas. Cela signifie que, par exemple, la racine de 3364 doit se terminer par 2 ou 8. En revanche, on se souvient de la restriction du paragraphe précédent. On a:
[Légende de la photo] Les carrés rouges indiquent que nous ne connaissons pas encore ce chiffre. Mais la racine se situe entre 50 et 60, sur laquelle il n'y a que deux nombres se terminant par 2 et 8 :
[Légende de la photo]C'est tout! De toutes les racines possibles, nous n'avons laissé que deux options ! Et c'est dans le cas le plus difficile, car le dernier chiffre peut être 5 ou 0. Et alors il n'y aura qu'un seul candidat pour les racines !
Calculs finaux
Il nous reste donc 2 numéros de candidats. Comment savoir quelle est la racine ? La réponse est évidente : mettez les deux nombres au carré. Celui qui donne le numéro d’origine au carré sera la racine.
Par exemple, pour le nombre 3364 nous avons trouvé deux nombres candidats : 52 et 58. Mettons-les au carré :
52 2 = (50 +2) 2 = 2 500 + 2 50 2 + 4 = 2 704 ;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.
C'est tout! Il s'est avéré que la racine est 58 ! En parallèle, pour simplifier les calculs, j'ai utilisé la formule des carrés de la somme et de la différence. Grâce à cela, je n’ai même pas eu besoin de multiplier les nombres dans une colonne ! Il s'agit d'un autre niveau d'optimisation des calculs, mais, bien sûr, il est totalement facultatif :)
Exemples de calcul de racines
La théorie est bien sûr bonne. Mais vérifions-le en pratique.
[Légende de la photo]
Tout d'abord, découvrons entre quels nombres se situe le nombre 576 :
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Regardons maintenant le dernier numéro. Il est égal à 6. Quand est-ce que cela arrive ? Seulement si la racine se termine par 4 ou 6. On obtient deux nombres :
Il ne reste plus qu'à mettre chaque nombre au carré et à le comparer à l'original :
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Super! Le premier carré s'est avéré être égal au nombre d'origine. Voilà donc la racine.
Tâche. Calculez la racine carrée :
[Légende de la photo]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Regardons le dernier chiffre :
1369 → 9;
33; 37.
Mettez-le au carré :
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369 ;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.
Voici la réponse : 37.
Tâche. Calculez la racine carrée :
[Légende de la photo]
Nous limitons le nombre :
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Regardons le dernier chiffre :
2704 → 4;
52; 58.
Mettez-le au carré :
52 2 = (50 + 2) 2 = 2 500 + 2 50 2 + 4 = 2 704 ;
Nous avons reçu la réponse : 52. Le deuxième nombre n'aura plus besoin d'être mis au carré.
Tâche. Calculez la racine carrée :
[Légende de la photo]
Nous limitons le nombre :
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Regardons le dernier chiffre :
4225 → 5;
65.
Comme vous pouvez le constater, après la deuxième étape, il ne reste plus qu'une seule option : 65. Il s'agit de la racine souhaitée. Mais mettons quand même les choses au carré et vérifions :
65 2 = (60 + 5) 2 = 3 600 + 2 60 5 + 25 = 4 225 ;
Tout est correct. Nous écrivons la réponse.
Conclusion
Hélas, pas mieux. Voyons les raisons. Il y a deux d'entre eux:
- Dans tout examen normal de mathématiques, qu'il s'agisse de l'examen d'État ou de l'examen d'État unifié, l'utilisation de calculatrices est interdite. Et si vous apportez une calculatrice en classe, vous pouvez facilement être expulsé de l'examen.
- Ne soyez pas comme les stupides Américains. Qui ne sont pas comme des racines : elles ne peuvent pas additionner deux nombres premiers. Et quand ils voient des fractions, ils deviennent généralement hystériques.
