Trouvez le vrai sens de la déclaration. Déclarations complexes

Ici : 1 - vrai, 0 - faux.

• 1 FOIS: triangle ABC- à angle aigu. X : Ce n’est pas vrai que le triangle ABC soit aigu. C'est la même chose que : X : triangle ABC - droit ou obtus
• 2. A : Ivanova M. a obtenu un 4 à l'examen de mathématiques : Ce n'est pas vrai qu'Ivanova M. a obtenu un 4 en mathématiques.

Définition : La disjonction des affirmations A et B est une affirmation AB qui est vraie à la condition qu'au moins une des affirmations A ou B soit vraie.

On lit "A ou B".

Table de vérité pour AB

Exemple : 1. Cette fois, l'accusé a comparu et le procès a eu lieu. - vrai

2.B triangle rectangle la somme de deux angles quelconques est supérieure ou égale au troisième angle et l'hypoténuse est inférieure à la jambe. - mensonge

Définition : Une implication des affirmations A et B est une affirmation AB qui n’est fausse que si A est vraie et B est fausse.

On lit : « Si A, alors B ».

Table de vérité

Exemple : 1. Si je réussis le test, j'irai au cinéma.

2. Si le triangle est isocèle, alors les angles à sa base sont égaux. Définition : L'équivalent des affirmations A et B est une affirmation AB qui est vraie si et seulement si A et B ont la même vérité (c'est-à-dire que les deux sont vraies ou les deux sont fausses).

On y lit : « Et si et seulement si B » ou « A est nécessaire et suffisant pour B »

Table de vérité

La deuxième tâche, résolue au moyen de l'algèbre propositionnelle, consiste à déterminer la vérité d'un énoncé particulier sur la base de la compilation de sa formule (processus de formalisation) et de la compilation d'une table de vérité.

Exemple : Si Saratov est située sur les rives de la Neva, alors les ours polaires vivent en Afrique.

R : Saratov est située sur les rives de la Neva ;

Q : Les ours polaires vivent en Afrique

Définition : Une formule qui est vraie quelles que soient les valeurs que prennent les variables propositionnelles qui y sont incluses est appelée une tautologie ou une formule identiquement vraie.

Définition : Les formules F 1 et F 2 sont dites équivalentes si leur équivalent est une tautologie.

Définition : Si les formules F 1 et F 2 sont équivalentes, alors les phrases P 1 et P 2 qui initient ces formules sont dites équivalentes en logique propositionnelle.

Les équivalences fondamentales les plus fréquentes sont appelées les lois de la logique. Citons-en quelques-uns :

• 1. X X - loi de l'identité
• 2. XL - loi de la contradiction
• 3. XI - la loi d'exclusion du tiers
• 4. X - loi de la double négation

• 5. lois de commutativité
• 6. Loi d'associativité X (Y Z) (X Y) Z

X (Y Z) (X Y) Z loi distributive

7. Les lois de De Morgan

8. lois d'articulation d'une variable et d'une constante

En utilisant les lois de la logique, vous pouvez transformer des formules.

4. Parmi les nombreuses formules équivalentes, considérons-en deux. C'est une conjonction parfaite forme normale(SCNF) et forme normale disjonctive parfaite (SDNF). Ils sont construits pour une formule donnée à partir de sa table de vérité.

Construction du SDNF :

• -- les lignes sont sélectionnées qui correspondent aux valeurs de vérité (1) de cette formule ;
• -- pour chaque ligne sélectionnée on compose une conjonction de variables ou de leurs négations pour que les ensembles de valeurs des variables présentées dans la ligne correspondent aux vraies valeurs de la conjonction (pour cela il faut prendre les variables qui a pris les valeurs fausses (0) dans cette ligne avec un signe de négation, et les variables , en prenant les valeurs de vérité (1) sans négation) ;
• -- une disjonction des conjonctions résultantes est compilée.

Il résulte de l'algorithme que pour toute formule il est possible de construire un SDNF, et de surcroît unique, si la formule n'est pas identiquement fausse, c'est-à-dire n'accepter que de fausses valeurs.

La compilation du SKNF s'effectue selon l'algorithme suivant :

• -- mettez en surbrillance les lignes du tableau dans lesquelles la formule prend la valeur false (0) ;
• -- à partir des variables de chacune de ces lignes, créez une disjonction qui doit prendre les valeurs - faux (0). Pour ce faire, toutes les variables doivent y entrer avec la valeur faux, donc celles qui sont vraies (1) doivent être remplacées par leur négation ;
• -- former une conjonction à partir des disjonctions résultantes.

Évidemment, toute formule qui n’est pas une tautologie possède un SCNF.

SDNF et SCNF sont utilisés pour obtenir les conséquences de cette formule.

Exemple : Créez une table de vérité de SDNF et SCNF pour la formule : .

Table de vérité du SDNF et du SKNF

5. Considérez la forme expressive « Le fleuve se jette dans la mer Noire ». Il contient une variable et peut être représenté par « La rivière x se jette dans la mer Noire ».

Selon les valeurs de la variable X, la phrase est soit vraie, soit fausse, c'est-à-dire une cartographie d'un ensemble de rivières sur un ensemble de deux éléments est spécifiée. Notons alors cette application :

Ainsi, nous avons une fonction dont toutes les valeurs appartiennent à l'ensemble.

Définition : Une fonction dont toutes les valeurs appartiennent à un ensemble est appelée prédicat.

Les lettres désignant des prédicats sont appelées symboles de prédicats.

Les prédicats peuvent être spécifiés :

a) une formule expressive,

b) formule, c'est-à-dire précisant l'interprétation du symbole de prédicat,

c) tableau.

1) P - "se jeter dans la mer Noire".

Cette formule signifie que « la rivière A se jette dans la mer Noire ».

• 2) Le prédicat P est donné par une formule expressive : « être nombre premier sur l'ensemble des 15 premiers nombres naturels."
• 3) Sous forme tabulaire, le prédicat a la forme :

Le domaine de définition des prédicats peut être n’importe quel ensemble.

Si un prédicat perd sa signification pour un ensemble de variables d'entrée, alors il est généralement admis que la valeur L correspond à cet ensemble.

Si un prédicat contient une variable, alors il est appelé un prédicat unaire, deux variables - un double prédicat, n variables - un prédicat n-aire.

Pour traduire des textes dans la langue des prédicats et déterminer leur vérité, vous devez saisir opérations logiques sur les prédicateurs et les quantificateurs.

Les opérations suivantes sont également effectuées sur les prédicats : négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence.

Définition : Un sous-ensemble de l'ensemble M sur lequel le prédicat P est donné, constitué de ceux et uniquement de ces éléments de M auxquels correspond la valeur I du prédicat P, est appelé l'ensemble de vérité du prédicat P.

L'ensemble de vérité est désigné.

Définition : La négation du prédicat P est un prédicat qui est faux pour les ensembles de valeurs variables qui transforment P en vrai, et vrai pour les ensembles de valeurs variables qui transforment P en un faux prédicat.

La négation est indiquée.

Soyez un étudiant d’ABiK.

Ne pas être étudiant à l'ABiK.

Si, alors l'ensemble, où M est l'ensemble sur lequel les prédicats P et Q sont donnés.

Définition : une conjonction de prédicats est un prédicat qui est vrai pour celles et seulement celles des valeurs des variables qui y sont incluses qui rendent les deux prédicats vrais.

Soyez un joueur de football

Être étudiant

: être joueur de football et être étudiant.

Définition : une disjonction de prédicats est un prédicat qui est faux pour les ensembles de variables qu'il contient qui rendent les deux prédicats faux

Soyez égal entier naturel

Être un nombre naturel impair

: être un nombre naturel.

Définition : L'implication de prédicat est un prédicat qui est faux pour ceux et seulement pour les ensembles de variables qu'il contient qui se transforment en un vrai prédicat et en un faux.

Indiqué par:

Être un nombre premier sur l'ensemble N

Être un nombre impair

Faux pour et vrai pour les autres nombres naturels.

Définition : L'équivalence des prédicats est un prédicat qui devient vrai si les deux prédicats sont vrais ou si les deux sont faux.

Indiqué par:

- « gagner », c'est-à-dire x bat y

Il vaut mieux connaître l'histoire des échecs, x le sait mieux que y

signifie que x bat y aux échecs si et seulement s'il connaît mieux la théorie.

Définition : Un prédicat découle d'un prédicat si l'implication est vraie pour toutes les valeurs des variables qu'il contient.

Sont indiqués : .

Être étudiant

Aller à l'université

Il existe 2 manières de transformer un prédicat en instruction :

1) donner une variable signification spécifique

; x - étudiant

Ivanov est étudiant.

2) Attacher des quantificateurs - n'importe lequel, chaque, chaque

Il y en a, il y en a.

L'entrée où il a la propriété P signifie que chaque objet x a la propriété P. Ou d'une autre manière, « tous les x ont la propriété P ».

L'entrée signifie qu'il existe un objet x qui a la propriété P.

Exemple 1. Établir la vérité de l'énoncé · C Solution. Partie déclaration complexe comprend 3 énoncés simples : A, B, C.

Les colonnes du tableau sont remplies de valeurs (0, 1). Tous sont indiqués situations possibles. Des paroles simples les complexes sont séparés par une double ligne verticale. Lors de l'établissement d'un tableau, il faut veiller à ne pas confondre l'ordre des actions ; Lorsque vous remplissez les colonnes, vous devez vous déplacer « de l’intérieur vers l’extérieur », c’est-à-dire depuis formules élémentairesà des problèmes de plus en plus complexes ; la dernière colonne remplie contient les valeurs de la formule originale.

D'après le tableau, il ressort clairement que Cette déclaration vrai uniquement si A=0, B=1, C=1. Dans tous les autres cas, c'est faux.

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En savoir plus sur le sujet 1. Établir la vérité d'énoncés complexes :

1. 29. Le problème de la solvabilité en algèbre propositionnelle (AB). Algorithmes de vérification de la vérité identique des formules d'algèbre propositionnelle : compilation d'une table de vérité, réalisation de transformations équivalentes (analyse CNF), algorithme de réduction, algorithme de Quine. Avantages et inconvénients de ces méthodes.
2. Question 6. Calcul propositionnel. Axiomes. Règle d'inférence. Conclusion. Vérité identique des formules dérivées (prouver). Cohérence du calcul propositionnel. Un théorème sur l'exhaustivité du calcul propositionnel. Problème de solvabilité. Calcul propositionnel. Problème de solvabilité

Propriétés

Considérons plusieurs propriétés du produit cartésien :

1. Si UN,B - ensembles finis, Que UN× B- finale. Et vice versa, si l’un des ensembles de facteurs est infini, alors le résultat de leur produit est un ensemble infini.

2. Le nombre d'éléments dans un produit cartésien est égal au produit des nombres d'éléments des ensembles de facteurs (s'ils sont finis, bien sûr) : | UN× B|=|UN|⋅|B| .

3. Un np ≠(Un) p- dans le premier cas, il convient de considérer le résultat du produit cartésien comme une matrice de dimensions 1× n.p., dans le second - comme matrice de tailles n× p .

4. La loi commutative n’est pas satisfaite, car les couples d'éléments du résultat d'un produit cartésien sont ordonnés : UN× B≠B× UN .

5. La loi associative n'est pas respectée : ( UN× B)× C≠UN×( B× C) .

6. Il existe une distributivité par rapport aux opérations de base sur les ensembles : ( UN∗B)× C=(UN× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

11. Le concept de déclaration. Déclarations élémentaires et composées.

Déclaration est-ce une déclaration ou phrase déclarative, dont on peut dire qu'il est vrai (I-1) ou faux (L-0), mais pas les deux à la fois.

Par exemple, « Il pleut aujourd'hui », « Ivanov a terminé travail de laboratoire N°2 en physique."

Si nous avons plusieurs déclarations initiales, alors à partir d'elles, en utilisant unions logiques ou particules nous pouvons former de nouveaux énoncés dont la valeur de vérité dépend uniquement des valeurs de vérité des énoncés originaux et des conjonctions et particules spécifiques qui participent à la construction du nouvel énoncé. Les mots et expressions « et », « ou », « non », « si... alors », « donc », « alors et seulement alors » sont des exemples de telles conjonctions. Les déclarations originales sont appelées simple , et de nouvelles déclarations construites à partir d'eux à l'aide de certaines conjonctions logiques - composite . Bien entendu, le mot « simple » n’a rien à voir avec l’essence ou la structure des déclarations originales, qui elles-mêmes peuvent être assez complexes. DANS dans ce contexte le mot « simple » est synonyme du mot « original ». Ce qui compte, c'est que les valeurs de vérité des énoncés simples soient supposées connues ou données ; en tout cas, ils ne sont en aucun cas discutés.

Bien qu'une déclaration comme « Aujourd'hui n'est pas jeudi » ne soit pas composée de deux déclarations simples différentes, pour l'uniformité de la construction, elle est également considérée comme un composé, puisque sa valeur de vérité est déterminée par la valeur de vérité de l'autre déclaration « Aujourd'hui, c'est jeudi ». »

Exemple 2. Les déclarations suivantes sont considérées comme des composés :

J'ai lu Moskovsky Komsomolets et j'ai lu Kommersant.

S'il l'a dit, alors c'est vrai.

Le soleil n'est pas une étoile.

S'il fait beau et que la température dépasse 25 0, j'arriverai en train ou en voiture

Les déclarations simples incluses dans les composés peuvent elles-mêmes être complètement arbitraires. En particulier, ils peuvent eux-mêmes être composites. Les types de base décrits ci-dessous instructions composées sont déterminés indépendamment des simples énoncés qui les constituent.

12. Opérations sur les relevés.

1. Opération de négation.

En niant la déclaration UN ( lit "pas UN", " ce n'est pas vrai que UN"), ce qui est vrai lorsque UN faux et faux quand UN- vrai.

Des déclarations qui se nient UN Et sont appelés opposé.

2. Opération de conjonction.

Conjonction déclarations UN Et DANS s'appelle une déclaration notée par UN B(lit " UN Et DANS"), dont les vraies valeurs sont déterminées si et seulement si les deux affirmations UN Et DANS sont vrai.

La conjonction d'énoncés est appelée un produit logique et est souvent désignée UN B.

Qu'une déclaration soit faite UN- « en mars, la température de l'air est de 0°Cà + 7C" et en disant DANS- "Il pleut à Vitebsk." Alors UN B sera la suivante : « en mars, la température de l'air est de 0°Cà + 7C et il pleut à Vitebsk. Cette conjonction sera vraie s'il y a des déclarations UN Et DANS vrai. S'il s'avère que la température était inférieure 0°C ou il n'y avait pas de pluie à Vitebsk, alors UN B sera faux.

3 . Opération de disjonction.

Disjonction déclarations UN Et DANS appelé une déclaration UN B (UN ou DANS), ce qui est vrai si et seulement si au moins une des affirmations est vraie et fausse - lorsque les deux affirmations sont fausses.

La disjonction des énoncés est aussi appelée somme logique A+B.

La déclaration " 4<5 ou 4=5 " est vrai. Depuis la déclaration " 4<5 " est vrai, et la déclaration " 4=5 » – faux, alors UN B représente la vraie déclaration " 4 5 ».

4 . Opération d’implication.

Par implication déclarations UN Et DANS appelé une déclaration UN B("Si UN, Que DANS", "depuis UN devrait DANS"), dont la valeur est fausse si et seulement si UN vrai, mais DANS FAUX.

En implication UN B déclaration UN appelé base, ou prémisse, et la déclaration DANS – conséquence, ou conclusion.

13. Tableaux de vérité des déclarations.

Une table de vérité est un tableau qui établit une correspondance entre tous les ensembles possibles de variables logiques incluses dans une fonction logique et les valeurs de la fonction.

Les tables de vérité sont utilisées pour :

Calculer la vérité d'énoncés complexes ;

Établir l'équivalence des déclarations ;

Définitions des tautologies.

Établir la vérité d'énoncés complexes.

Exemple 1.Établir la vérité d'une déclaration · C

Solution. Une instruction complexe comprend 3 instructions simples : A, B, C. Les colonnes du tableau sont remplies de valeurs (0, 1). Toutes les situations possibles sont indiquées. Les instructions simples sont séparées des instructions complexes par une double ligne verticale.
Lors de l'établissement d'un tableau, il faut veiller à ne pas confondre l'ordre des actions ; Lorsque vous remplissez les colonnes, vous devez vous déplacer « de l’intérieur vers l’extérieur », c’est-à-dire des formules élémentaires à des formules de plus en plus complexes ; la dernière colonne remplie contient les valeurs de la formule d'origine.

Le tableau montre que cette affirmation n'est vraie que dans le cas où A = 0, B = 1, C = 1. Dans tous les autres cas, c'est faux.

14. Formules équivalentes.

Deux formules UN Et DANS sont appelés équivalents s'ils prennent les mêmes valeurs logiques pour tout ensemble de valeurs des instructions élémentaires incluses dans la formule.

L'équivalence est indiquée par le signe " ". Pour transformer les formules en formules équivalentes, les équivalences fondamentales, exprimant certaines opérations logiques à travers d'autres, les équivalences, exprimant les lois fondamentales de l'algèbre de la logique, jouent un rôle important.

Pour toutes les formules UN, DANS, AVEC les équivalences sont valables.

I. Equivalences de base

loi de l'idempotence

1-vrai

0-faux

Loi de la contradiction

Loi du tiers exclu

loi d'absorption

formules de fractionnement

loi du collage

II. Équivalences exprimant certaines opérations logiques par rapport à d'autres.

loi de Morgan

III. Équivalences exprimant les lois fondamentales de l'algèbre logique.

Loi commutative

droit associatif

loi distributive

15. Formules de logique propositionnelle.

Types de formules de logique propositionnelle classique– en logique propositionnelle, on distingue les types de formules suivants :

1. Lois(formules identiquement vraies) - formules qui, quelle que soit l'interprétation des variables propositionnelles, prennent la valeur "vrai";

2. Controverses(formules identiquement fausses) – formules qui, quelle que soit l’interprétation des variables propositionnelles, prennent la valeur "FAUX";

3. Des formules satisfaisants- ceux qui prennent du sens "vrai" pour au moins un ensemble de valeurs de vérité de leurs variables propositionnelles constitutives.

Lois fondamentales de la logique propositionnelle classique :

1. Loi de l'identité : ;

2. Loi de contradiction : ;

3. Loi du tiers exclu : ;

4. Lois de commutativité et : , ;

5. Lois de distributivité relatives à , et vice versa : , ;

6. Loi de suppression d'un vrai membre d'une conjonction : ;

7. La loi de suppression du faux terme d'une disjonction : ;

8. Loi de contraposition : ;

9. Lois d'interexpressibilité des connecteurs propositionnels : , , , , , .

Procédure de résolvabilité- une méthode qui permet de déterminer pour chaque formule s'il s'agit d'une loi, d'une contradiction ou d'une formule réalisable. La procédure de solvabilité la plus courante est la méthode des tables de vérité. Cependant, il n’est pas le seul. Une méthode de solvabilité efficace est la méthode formes normales pour les formules de logique propositionnelle. Forme normale Une formule logique propositionnelle est une forme qui ne contient pas le signe d'implication " ". Il existe des formes normales conjonctives et disjonctives. La forme conjonctive ne contient que des signes de conjonction " ". Si une formule réduite à la forme normale conjonctive contient une sous-formule de la forme , alors la formule entière dans ce cas est contradiction. La forme disjonctive ne contient que les signes de disjonction " ". Si une formule réduite à la forme normale disjonctive contient une sous-formule de la forme , alors la formule entière dans ce cas est par la loi. Dans tous les autres cas, la formule est formule satisfiable.

16. Prédicats et opérations sur eux. Quantificateurs.

Une phrase contenant une ou plusieurs variables et qui, compte tenu des valeurs spécifiques des variables, est une instruction est appelée forme expressive ou prédicat.

Selon le nombre de variables incluses dans l'offre, il existe des simples, des doubles, des triples, etc. prédicats, notés en conséquence : A( X), DANS( X, à), AVEC( X, à, z).

Si un certain prédicat est donné, alors deux ensembles lui sont associés :

1. Ensemble (domaine) de définition X, constitué de toutes les valeurs des variables, lorsqu'il est substitué à un prédicat, ce dernier se transforme en instruction. Lors de la spécification d'un prédicat, son domaine de définition est généralement indiqué.

2. Ensemble de vérité T, composé de toutes ces valeurs de variables, en les substituant dans le prédicat, une déclaration vraie est obtenue.

L’ensemble de vérité d’un prédicat est toujours un sous-ensemble de son domaine de définition.

Vous pouvez effectuer les mêmes opérations sur les prédicats que sur les instructions.

1. Le déni prédicat A( X), défini sur l'ensemble X, est appelé un prédicat qui est vrai pour les valeurs pour lesquelles le prédicat A( X) se transforme en une fausse déclaration, et vice versa.

De cette définition il résulte que les prédicats A( X) et B( X) ne sont pas des négations les unes des autres s'il existe au moins une valeur pour laquelle les prédicats A( X) et B( X) se transforment en déclarations avec les mêmes valeurs de vérité.

L’ensemble de vérité du prédicat est le complément de l’ensemble de vérité du prédicat A( X). Notons T A l'ensemble de vérité du prédicat A( X), et via T - l'ensemble de vérité du prédicat. Alors .

2. Conjonction prédicats A( X) et B( XX) DANS( X X X, sous lequel les deux prédicats se transforment en énoncés vrais.

L’ensemble de vérité d’une conjonction de prédicats est l’intersection des ensembles de vérité du prédicat A( X) DANS( X). Si nous notons l'ensemble de vérité du prédicat A(x) par T A, et l'ensemble de vérité du prédicat B(x) par T B et l'ensemble de vérité du prédicat A(x) B(x) par , alors

3. Disjonction prédicats A( X) et B( X), défini sur l'ensemble X, est appelé le prédicat A( X) DANS( X), qui se transforme en une véritable déclaration pour ces et seulement ces valeurs X X, pour lequel au moins un des prédicats se transforme en un énoncé vrai.

L'ensemble de vérité d'une disjonction de prédicats est l'union des ensembles de vérité des prédicats la formant, c'est-à-dire .

4.Par implication prédicats A( X) et B( X), défini sur l'ensemble X, est appelé le prédicat A( X) DANS( X), qui est faux pour celles et seulement ces valeurs de la variable pour lesquelles le premier prédicat se transforme en une affirmation vraie et le second en une affirmation fausse.

L'ensemble de vérité de l'implication des prédicats est l'union de l'ensemble de vérité du prédicat B( X) avec l'ajout à l'ensemble de vérité du prédicat A( X), c'est à dire.

5. Équivalence prédicats A( X) et B( X), donné sur l'ensemble X, est appelé un prédicat qui se transforme en une déclaration vraie pour toutes celles et seulement ces valeurs de la variable pour lesquelles les deux prédicats se transforment soit en déclarations vraies, soit en déclarations fausses.

L'ensemble de vérité d'équivalence de prédicat est l'intersection de l'ensemble de vérité d'un prédicat avec l'ensemble de vérité d'un prédicat.

Opérations de quantification sur les prédicats

Un prédicat peut être traduit en instruction en utilisant la méthode de substitution et la méthode « d'attachement de quantificateur ».

A propos des nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 on peut dire : a) Tous ces nombres sont premiers ; b) quelques des nombres donnés sont pairs.

Puisque ces phrases peuvent être considérées comme vraies ou fausses, les phrases qui en résultent sont des déclarations.

Si nous supprimons le mot « tous » de la phrase « a » et le mot « certains » de la phrase « b », nous obtenons les prédicats suivants : « les nombres donnés sont premiers », « les nombres donnés sont impairs ».

Les mots « tous » et « certains » sont appelés quantificateurs. Le mot « quantificateur » est d'origine latine et signifie « combien », c'est-à-dire que le quantificateur montre combien (tous ou certains) d'objets sont évoqués dans une phrase particulière.

Il existe deux principaux types de quantificateurs : le quantificateur général et le quantificateur d’existence.

Termes "n'importe lequel", "n'importe lequel", "tout le monde" sont appelés – quantificateur universel. Noté par .

Soit A( X) – un certain prédicat défini sur l'ensemble X. Sous l'expression A( X) nous comprenons que l’énoncé est vrai lorsque A( X) est vrai pour chaque élément de l'ensemble X, et faux dans le cas contraire.

Dans l'exemple 1 pour R1 domaine de définition : , ensemble de valeurs - . Pour R2 domaine de définition : , ensemble de valeurs : .

Dans de nombreux cas, il est pratique d’utiliser une représentation graphique d’une relation binaire. Cela se fait de deux manières : en utilisant des points sur le plan et en utilisant des flèches.

Dans le premier cas, deux lignes mutuellement perpendiculaires sont choisies comme axes horizontal et vertical. Les éléments de l'ensemble sont tracés sur l'axe horizontal UN et tracez une ligne verticale passant par chaque point. Les éléments de l'ensemble sont tracés sur l'axe vertical B, tracez une ligne horizontale passant par chaque point. Les points d'intersection des lignes horizontales et verticales représentent les éléments du produit direct

18. Méthodes de spécification des relations binaires.

Tout sous-ensemble du produit cartésien A×B est appelé une relation binaire définie sur une paire d'ensembles A et B (en latin, « bis » signifie « deux fois »). Dans le cas général, par analogie avec les relations binaires, les relations n-aires peuvent aussi être considérées comme des séquences ordonnées de n éléments pris dans l'un des n ensembles.

Le signe R est utilisé pour désigner une relation binaire Puisque R est un sous-ensemble de l’ensemble A×B, on peut écrire R⊆A×. Si vous devez indiquer que (a, b) ∈ R, c'est-à-dire qu'il existe une relation R entre les éléments a ∈ A et b ∈ B, alors écrivez aRb.

Méthodes de spécification des relations binaires :

1. Il s'agit de l'utilisation d'une règle selon laquelle tous les éléments inclus dans une relation donnée sont indiqués. Au lieu d'une règle, vous pouvez fournir une liste d'éléments d'une relation donnée en les énumérant directement ;

2. Tabulaire, sous forme de graphiques et utilisant des sections. La base de la méthode tabulaire est un système de coordonnées rectangulaires, où les éléments d'un ensemble sont tracés le long d'un axe et les éléments d'un autre ensemble le long du second. Les intersections des coordonnées forment des points indiquant les éléments du produit cartésien.

(Figure 1.16) montre une grille de coordonnées pour les ensembles. Les points d'intersection de trois lignes verticales avec six lignes horizontales correspondent aux éléments de l'ensemble A×B. Les cercles sur la grille marquent les éléments de la relation aRb, où a ∈ A et b ∈ B, R désigne la relation « divise ».

Les relations binaires sont spécifiées par des systèmes de coordonnées bidimensionnels. Il est évident que tous les éléments du produit cartésien de trois ensembles peuvent être représentés de la même manière dans un système de coordonnées à trois dimensions, quatre ensembles dans un système à quatre dimensions, etc. ;

3. La méthode de spécification des relations à l'aide de sections est utilisée moins fréquemment, nous ne la considérerons donc pas.

19. Réflexivité d'une relation binaire. Exemple.

En mathématiques, une relation binaire sur un ensemble est dite réflexive si chaque élément de cet ensemble est en relation avec lui-même.

La propriété de réflexivité pour des relations données par une matrice est caractérisée par le fait que tous les éléments diagonaux de la matrice sont égaux à 1 ; étant donné les relations du graphique, chaque élément a une boucle - un arc (x, x).

Si cette condition n’est satisfaite pour aucun élément de l’ensemble, alors la relation est dite anti-réflexive.

Si la relation anti-réflexive est donnée par une matrice, alors tous les éléments diagonaux sont nuls. Lorsqu'une telle relation est spécifiée par un graphe, chaque sommet n'a pas de boucle - il n'y a pas d'arcs de la forme (x, x).

Formellement, l'anti-réflexivité de l'attitude est définie comme : .

Si la condition de réflexivité n’est pas satisfaite pour tous les éléments de l’ensemble, la relation est dite non réflexive.

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Date de création de la page : 2016-04-12

La notion d’« énoncé » est primordiale. En logique, une affirmation est une phrase déclarative dont on peut dire qu’elle est vraie ou fausse. Chaque affirmation est vraie ou fausse, et aucune affirmation n’est à la fois vraie et fausse.

Exemples d'énoncés : il existe un nombre pair », « 1 est un nombre premier ». La valeur de vérité des deux premières affirmations est « vérité », la valeur de vérité des deux dernières

Les phrases interrogatives et exclamatives ne sont pas des déclarations. Les définitions ne sont pas des déclarations. Par exemple, la définition « un entier est dit même s’il est divisible par 2 » n’est pas une affirmation. Cependant, la phrase déclarative « si un entier est divisible par 2, alors il est pair » est une affirmation, et vraie en plus. En logique propositionnelle, on fait abstraction du contenu sémantique d’un énoncé, en se limitant à le considérer du point de vue qu’il est vrai ou faux.

Dans ce qui suit, nous comprendrons le sens d’un énoncé comme sa valeur de vérité (« vrai » ou « faux »). Nous désignerons les déclarations en lettres majuscules latines et leur signification, c'est-à-dire « vrai » ou « faux », par les lettres I et L, respectivement.

La logique propositionnelle étudie les connexions qui sont entièrement déterminées par la manière dont certains énoncés sont construits à partir d'autres, dits élémentaires. Dans ce cas, les énoncés élémentaires sont considérés comme des touts, non décomposables en parties dont la structure interne ne nous intéressera pas.

Opérations logiques sur les instructions.

A partir d'instructions élémentaires, en utilisant des opérations logiques, vous pouvez obtenir de nouvelles instructions plus complexes. La valeur de vérité d'un énoncé complexe dépend des valeurs de vérité des énoncés qui composent l'énoncé complexe. Cette dépendance est établie dans les définitions ci-dessous et se reflète dans les tables de vérité. Les colonnes de gauche de ces tableaux contiennent toutes les distributions possibles de valeurs de vérité pour les énoncés qui constituent directement l'énoncé complexe considéré. Dans la colonne de droite, écrivez les valeurs de vérité de l'énoncé complexe en fonction des distributions de chaque ligne.

Soit A et B des déclarations arbitraires dont nous ne supposons pas que leurs valeurs de vérité soient connues. La négation d’un énoncé A est un nouvel énoncé qui est vrai si et seulement si A est faux. La négation de A est indiquée par et se lit « pas A » ou « ce n’est pas vrai que A ». L'opération de négation est entièrement déterminée par la table de vérité

Exemple. L’affirmation « il n’est pas vrai que 5 soit un nombre pair », qui a la valeur ET, est la négation de l’affirmation fausse « 5 est un nombre pair ».

Grâce à l'opération de conjonction, deux affirmations sont formées en une seule affirmation complexe, notée A D B. Par définition, l'affirmation A D B est vraie si et seulement si les deux affirmations sont vraies. Les énoncés A et B sont appelés respectivement premier et deuxième membres de la conjonction A D B. L'entrée « A D B » se lit comme « L et B ». La table de vérité pour la conjonction a la forme

Exemple. L’énoncé « 7 est un nombre premier et 6 est un nombre impair » est faux en tant que conjonction de deux énoncés dont l’un est faux.

La disjonction de deux affirmations A et B est une affirmation, notée , qui est vraie si et seulement si au moins une des affirmations A et B est vraie.

En conséquence, l’énoncé A V B est faux si et seulement si A et B sont faux. Les instructions A et B sont appelées respectivement premier et deuxième termes de la disjonction A V B. L'entrée A V B se lit comme « A ou B ». La conjonction « ou » dans ce cas a une signification indissociable, puisque l'énoncé A V B est vrai même si les deux termes sont vrais. La disjonction a la table de vérité suivante :

Exemple. Énoncé « 3 Un énoncé, noté , est faux si et seulement si A est vrai et B est faux, est appelé une implication avec la prémisse A et la conclusion B. L'énoncé A-+ B se lit comme « si A, alors 5, » ou « A implique B » ou « de A suit B ». La table de vérité de l'implication est la suivante :

Notez qu’il peut n’y avoir aucune relation de cause à effet entre la prémisse et la conclusion, mais cela ne peut pas affecter la véracité ou la fausseté de l’implication. Par exemple, l'affirmation « si 5 est un nombre premier, alors la bissectrice d'un triangle équilatéral est la médiane » sera vraie, bien que dans le sens habituel la seconde ne découle pas de la première. L'affirmation « si 2 + 2 = 5, alors 6 + 3 = 9 » sera également vraie, puisque sa conclusion est vraie. Compte tenu de cette définition, si la conclusion est vraie, l’implication sera vraie quelle que soit la valeur de vérité de la prémisse. Lorsque la prémisse est fausse, l’implication sera vraie quelle que soit la valeur de vérité de la conclusion. Ces circonstances sont brièvement formulées comme suit : « la vérité découle de tout », « tout découle du faux ».

Valeur de vérité