Quels connecteurs logiques y a-t-il dans les déclarations ? Déclarations - simples et composées

D'un point de vue grammatical, une affirmation est une phrase déclarative.

Phrases complexes sont construits à partir d'expressions désignant certains concepts et connecteurs logiques. Les mots et expressions NON, ET, OU, SI... ALORS, ALORS ET SEULEMENT ALORS, EXISTE, TOUS et quelques autres sont appelés connecteurs logiques (opérateurs) et désignent des opérations logiques à l'aide desquelles d'autres sont construites à partir de certaines phrases.

Les phrases sans connecteurs logiques sont élémentaires ; elles ne peuvent pas être divisées en parties de sorte que chaque partie soit aussi une phrase. Les déclarations élémentaires sont également appelées déclarations (jugements). Les déclarations contiennent des informations sur les objets, les phénomènes et les processus.

Un énoncé élémentaire se compose d'un sujet (sujet logique) - de quoi s'agit-il nous parlons de dans une déclaration, et un prédicat (prédicat logique) - ce qui est affirmé ou nié dans une déclaration sur le sujet.

Ainsi, un énoncé est une forme de pensée dans laquelle un lien logique entre des concepts agissant comme sujet et prédicat est affirmé ou nié. de cette déclaration. La correspondance ou l'incohérence de ce lien avec la réalité rend la déclaration (le jugement) vraie ou fausse.

Le lien logique entre le sujet et le prédicat d'un énoncé est généralement exprimé sous la forme d'un connecteur IS ou IS NOT, bien que dans la phrase elle-même, ce connecteur puisse être absent, mais seulement implicite. En même temps, le sujet de l'énoncé peut être exprimé non seulement par le sujet de la phrase, tout comme le prédicat peut être exprimé non seulement par le prédicat (ceux-ci peuvent aussi être d'autres membres de la phrase). Ce qui est considéré comme un sujet dans une phrase et ce qui est un prédicat d'un énoncé est déterminé par l'accentuation logique. Stress logique associé au sens contenu dans la phrase pour le locuteur ou l’auditeur.

Selon la forme, les déclarations sont divisées en déclarations simples (ayant forme logique « S Il y a P." ou " S ne pas manger P.", Où S- sujet, P.– prédicat) et complexe (exprimé grammaticalement en phrases complexes).

Un exemple d’énoncé simple : « Tous les ours aiment le miel », un énoncé complexe : « Certains ours aiment le miel et les jeunes pousses de bambou ».

Des paroles simples vous permettre d'exprimer types suivants dictons :

· déclarations attributives – expriment si une propriété appartient ou non à un objet ou à une classe (par exemple, la Terre est une planète) ;

· déclarations sur les relations – parlent de l'existence d'une relation entre des objets (par exemple, 3<5 );

· déclarations d'existence (déclarations existentielles) – parlent de l'existence ou de la non-existence d'un objet ou d'un phénomène.

Opérations sur un ensemble d'instructions.

À partir d'instructions élémentaires, vous pouvez composer des instructions complexes à l'aide d'opérations logiques. Les énoncés élémentaires qui font partie d'un énoncé complexe sont reliés par des opérateurs logiques non pas par une description sémantique, mais uniquement par leurs valeurs de vérité. Par conséquent, les énoncés complexes sont des fonctions des énoncés élémentaires qu’ils contiennent. Toutes les opérations en logique propositionnelle sont décrites uniquement par une table de vérité.

Les opérations sur un ensemble d'instructions comprennent :

· Le déni. La table de vérité est la suivante :

DANS langage naturel il est le plus souvent interprété avec la conjonction « et ».

· Une disjonction de deux énoncés élémentaires est vraie si et seulement si au moins un des énoncés élémentaires est vrai. On l'appelle parfois addition logique ou maximum logique. La table de vérité d’une disjonction ressemble à ceci :

· L'opération XOR est donnée par la table de vérité suivante, elle est vraie lorsqu'un seul des opérandes est vrai. Cette opération est aussi appelée disjonction stricte ou inégalité logique.

Les théorèmes mathématiques sont souvent formulés sous cette forme. Si le théorème est formulé d'une autre manière, il peut alors être reformulé sous la forme indiquée sans perdre son essence.

Négation (signe). Si A est une déclaration, alors (lire : pas A) est également une déclaration ; elle est vraie ou fausse selon que l'énoncé A est faux ou vrai. On voit que l'opération dans la théorie des énoncés correspond pleinement au concept de négation au sens ordinaire du mot. L'opération de négation peut être décrite par le tableau

Conjonction. Le signe l est utilisé comme signe de conjonction, ainsi que & (c'est-à-dire la conjonction et- Et).

Si UN Et DANS- des déclarations, alors UN ˄ DANS(lit : UN Et DANS) - une nouvelle déclaration. C'est vrai si et seulement si UN vrai et DANS vrai.

Contrairement à l'opération de négation, qui dépend d'un énoncé élémentaire, la conjonction, comme tous les connecteurs ultérieurs que nous donnons, dépend de deux énoncés élémentaires, c'est pourquoi on les appelle connecteurs à deux places, tandis que la négation est un connecteur à une place.

Pour spécifier des connecteurs doubles, il convient d'écrire des matrices de vérité sous forme de tableaux à deux entrées : les lignes correspondent aux valeurs de vérité d'un énoncé élémentaire, les colonnes correspondent aux valeurs d'un autre énoncé élémentaire, et dans la cellule où la colonne et la ligne croisent la valeur de vérité de l'énoncé complexe correspondant est placée.

La valeur de vérité d'un énoncé complexe UN˄ DANS est donné par la matrice :

Comme vous pouvez le constater, la définition de l'opération de conjonction correspond pleinement au sens ordinaire de la conjonction « u ». Par exemple, le problème de la protection des lignes automatisées contre un accident dépend largement de la fiabilité de l'EA. L'influence des vibrations qui se produisent lors de la fermeture des contacts sur la résistance à l'usure de commutation de l'EA est régulée par le rapport des caractéristiques mécaniques et de traction de l'entraînement électromagnétique.

Disjonction. Nous utiliserons le signe ˅ comme signe de disjonction. Si A et B sont des instructions, alors A contre B (lire : A ou B) est une nouvelle instruction. C'est faux si A et B sont faux ; dans tous les autres cas A v DANS vrai. Ainsi, la matrice de vérité pour l’opération de disjonction ressemble à ceci :

L'opération de disjonction correspond au sens habituel de conjonction "ou". Par exemple, l'usure des contacts est surveillée en sélectionnant un creux ou en pesant les contacts sur une balance avant et après utilisation.

Implication. Nous utiliserons le signe comme signe d'implication. Si A et B sont deux énoncés, alors A DANS(lire : A implique B) - une nouvelle déclaration. C'est toujours vrai, sauf quand UN vrai, mais DANS FAUX.

La matrice de vérité de l’opération d’implication est la suivante :

En implication UN DANS premier mandat UN appelé l'antécédent, le deuxième terme DANS-consécutif.

L'implication décrit dans une certaine mesure ce qui est exprimé dans le discours ordinaire par les mots « si UN, Que DANS", "depuis UN devrait DANS», « UN- une condition suffisante pour DANS".

Si l'augmentation de la résistance dans l'espace intercontact après le passage du courant par zéro est plus intense que l'augmentation de la tension, alors le réallumage de l'arc ne se produira pas. Si le courant de court-circuit dépasse considérablement le courant de fusion du fusible, celui-ci grille et le fusible coupe le circuit électrique.

Équivalence. Pour cette opération le signe ⇔ est utilisé. L'opération est définie comme suit : si A et B- déclarations, alors A ⇔ DANS(lit : UNéquivalent DANS) est une nouvelle affirmation qui est vraie si les deux affirmations sont vraies ou si les deux sont fausses.

À l'aide des connecteurs introduits, vous pouvez construire des énoncés complexes qui dépendent non seulement de deux, mais également d'un nombre quelconque d'énoncés élémentaires.

En modes courant nominal 25...600 UN une paire de contacts peut remplir un double rôle : transmission à long terme du courant en position marche et arrêt, accompagné de l'apparition d'un arc. Dans le premier cas, les contacts doivent avoir une faible résistance de contact ; dans le second, les exigences d'une résistance de contact élevée sont imposées. Dans les deux cas, le même système de contact à un étage est utilisé. Les deux processus affectent l’usure des contacts.

Note. Une inégalité non stricte est une disjonction A<В ˅ (А = В).Оно истинно, если истинно по мень­шей мере одно из входящих в него простых высказываний. При­мерами déclarations complexes rencontrées dans la pratique sont ce que l'on appelle les doubles inégalités A< В < С(А < В) ˄ (В < С), а, например, означает сложное высказывание (А< В) ˄ ((В

Ayant la valeur de vérité d’énoncés simples, il est facile de calculer la valeur de vérité d’un énoncé complexe sur la base de la définition des connecteurs. Soit un énoncé complexe ((B ˅ C) ⇔ (B ˄ A)) et que les énoncés élémentaires qui y sont inclus aient les valeurs de vérité suivantes : A = L, B = I, C = I. Alors B ˅ C = I, B ˄ A = L, donc l'énoncé en question ((B ˅ C) ⇔ (B ˄ A)) est faux.

Une proposition complexe est une proposition qui contient des connecteurs logiques et se compose de plusieurs propositions simples.

À l'avenir, nous considérerons les propositions simples comme certains atomes indivisibles, comme des éléments de la combinaison desquels naissent des structures complexes. Nous désignerons les propositions simples par des lettres latines distinctes : a, b, c, d, ... Chacune de ces lettres représente une certaine proposition simple. Où peut-on voir ça ? En nous distrayant de la structure interne complexe d'un jugement simple, de sa quantité et de sa qualité, en oubliant qu'il contient un sujet et un prédicat, nous ne retenons qu'une seule propriété d'un jugement : qu'il peut être vrai ou faux. Tout le reste ne nous intéresse pas ici. Et quand nous disons que la lettre « a » représente une proposition, et non un concept, ni un nombre, ni une fonction, nous voulons dire une seule chose : que « a » représente la vérité ou le mensonge. Si par « a » nous entendons la proposition « Les kangourous vivent en Australie », nous entendons la vérité ; si par « a » nous entendons la proposition « Les kangourous vivent en Sibérie », nous entendons un mensonge. Ainsi, nos lettres « a », « b », « c », etc. – ce sont des variables qui peuvent être remplacées par vrai ou faux.

Connecteurs logiques représentent des analogues formels des conjonctions dans notre langue naturelle native. Tout comme les phrases complexes sont construites à partir de phrases simples à l'aide de conjonctions « cependant », « depuis », « ou », etc., de même les propositions complexes sont formées à partir de phrases simples à l'aide de connecteurs logiques. Il y a ici un lien beaucoup plus grand entre la pensée et le langage, c'est pourquoi dans ce qui suit, au lieu du mot « jugement », qui désigne la pensée pure, nous utiliserons souvent le mot « énoncé », qui désigne la pensée dans son expression linguistique. Faisons donc connaissance avec les connecteurs logiques les plus couramment utilisés.

Négation. En langage naturel cela correspond à l’expression « Ce n’est pas vrai que… ». La négation est généralement indiquée par le signe "" placé avant la lettre représentant une proposition : "a" se lit "Ce n'est pas vrai que a." Exemple : « Il n’est pas vrai que la Terre soit une sphère. »

Vous devriez prêter attention à une circonstance subtile. Nous avons parlé plus haut de simples jugements négatifs. Comment les distinguer des jugements complexes avec négation ? La logique distingue deux types de négation : interne et externe. Lorsque la négation est à l’intérieur d’une proposition simple avant le connecteur « est », alors dans ce cas nous avons affaire à une simple proposition négative, par exemple : « La terre n’est pas une sphère ». Si une négation est extérieurement attachée à un jugement, par exemple : « Il n'est pas vrai que la Terre soit une boule », alors une telle négation est considérée comme un connecteur logique qui transforme un jugement simple en un jugement complexe.

Conjonction. En langage naturel, ce connecteur correspond aux conjonctions « et », « a », « mais », « cependant », etc. Le plus souvent, une conjonction est indiquée par le symbole « & ». Désormais, cette icône se retrouve souvent dans les noms de diverses sociétés et entreprises. Une proposition avec un tel connecteur est appelée conjonctive, ou simplement conjonction, et ressemble à ceci :

un B. Exemple : « Le panier de grand-père contenait des cèpes et des cèpes. » Ce jugement complexe est une conjonction de deux propositions simples : « Il y avait des cèpes dans le panier de mon grand-père » et « Il y avait des cèpes dans le panier de mon grand-père ».

Disjonction. En langage naturel, ce connecteur correspond à la conjonction « ou ». Il est généralement désigné par un « v ». Un jugement avec un tel connecteur est appelé disjonctif, ou simplement disjonction, et ressemble à ceci : a v b.

La conjonction « ou » en langage naturel est utilisée dans deux sens différents : « ou » lâche - lorsque les membres de la disjonction ne s'excluent pas, c'est-à-dire peut être simultanément vrai et un « ou » strict (souvent remplacé par une paire de conjonctions « soit... soit... ») - lorsque les membres de la disjonction s'excluent. Conformément à cela, on distingue deux types de disjonction : stricte et non stricte.

Implication. En langage naturel, cela correspond à la conjonction « si... alors ». Il est indiqué par le signe « -> ». Une proposition avec un tel connecteur est appelée implicative, ou simplement implication, et ressemble à ceci : a -> b. Exemple : « Si un courant électrique traverse un conducteur, le conducteur s'échauffe. » Le premier membre de l’implication est appelé l’antécédent ou la base ; le second est un conséquent ou une conséquence. Dans le langage courant, la conjonction « si... alors » relie généralement les phrases qui expriment la relation de cause à effet des phénomènes, la première phrase fixant la cause et la seconde l'effet. D'où les noms des membres de l'implication.

Représenter des énoncés en langage naturel sous forme symbolique en utilisant les notations ci-dessus signifie leur formalisation, ce qui s'avère dans de nombreux cas utile.

4) Une île magnifique se trouve dans l’océan chaud. Et tout irait bien, mais des étrangers avaient pris l'habitude de s'installer sur cette île. Ils viennent et viennent du monde entier, et les peuples autochtones ont commencé à être pressés. Afin d'empêcher l'invasion des étrangers, le souverain de l'île a publié un décret : « Tout visiteur qui souhaite s'installer sur notre île bénie est obligé de porter un jugement. Si le jugement s’avère vrai, l’étranger doit être fusillé ; si le jugement s’avère faux, il doit être pendu. Si vous avez peur, taisez-vous et faites demi-tour !

La question est : quel jugement faut-il faire pour rester en vie et quand même s’installer sur l’île ?

Tables de vérité

Nous arrivons maintenant à une question très importante et difficile. Une proposition complexe est aussi une pensée qui affirme ou nie quelque chose et qui s'avère donc vraie ou fausse. La question de la vérité des jugements simples se situe en dehors du domaine de la logique : elle trouve sa réponse dans des sciences spécifiques, dans la pratique quotidienne ou dans l'observation. L’affirmation « Toutes les baleines sont des mammifères » est-elle vraie ou fausse ? Nous devons demander à un biologiste et il nous dira que cette proposition est vraie. L’affirmation « Le fer coule dans l’eau » est-elle vraie ou fausse ? Nous devons nous tourner vers la pratique : jetons un morceau de fer à l’eau et assurons-nous que ce jugement est vrai.

En bref, la question de la vérité ou de la fausseté de propositions simples est toujours finalement tranchée par référence à la réalité à laquelle elles se rapportent.

Mais comment établir la vérité ou la fausseté d’une proposition complexe ? Ayons une conjonction « a & b » et nous savons que la proposition « a » est vraie et la proposition « b » est fausse. Que dire de cette affirmation complexe dans son ensemble ? Si en réalité il existait un objet auquel le connecteur « & » fait référence, alors la difficulté ne se poserait pas : ayant découvert cet objet, on pourrait dire : « Il y a ! La conjonction est vraie!"; ayant cherché autour et n’ayant pas trouvé l’objet correspondant, nous aurions déclaré : « La conjonction est fausse. » Mais le fait est qu’en réalité rien ne correspond aux connecteurs logiques – ainsi qu’aux conjonctions du langage naturel ! Ce sont des moyens de relier des pensées ou des phrases que nous avons inventés ; ce sont des outils de réflexion qui n'ont pas d'analogue dans la réalité. Par conséquent, la question de la vérité ou de la fausseté des affirmations ayant des connecteurs logiques n'est pas une question de sciences ou de pratique matérielle spécifique, mais une question purement logique. Et la logique le résout.

Nous sommes d'accord ou acceptons des accords concernant le moment où les déclarations avec l'un ou l'autre connecteur logique sont considérées comme vraies et quand elles sont fausses. Bien sûr, ces accords reposent sur certaines considérations rationnelles, mais il est important de garder à l’esprit qu’il s’agit de nos accords arbitraires, adoptés dans un souci de commodité, de simplicité, de fécondité, mais qui ne nous sont pas imposés par la réalité. Par conséquent, nous sommes libres de modifier ces accords et de le faire chaque fois que nous le jugeons opportun.

Les accords en question sont exprimés par des tables de vérité pour les connecteurs logiques, indiquant dans quels cas une affirmation avec un connecteur particulier est considérée comme vraie et dans quels cas elle est considérée comme fausse. Ce faisant, nous nous appuyons sur la vérité ou la fausseté de jugements simples qui sont les composants d’un jugement complexe. « Vrai » (« i ») et « faux » (« l ») sont appelés les « valeurs de vérité » d'une proposition : si une variable représente une proposition vraie, elle prend la valeur « vrai » ; s'il est faux, il prend la valeur « faux ». Chaque variable peut représenter soit vrai, soit faux.

La négation s'applique à une proposition. Cette proposition peut être vraie ou fausse, donc le tableau de négation est le suivant :

Si la proposition originale est vraie, alors nous convenons de considérer sa négation comme fausse ; si le jugement initial est faux, alors nous considérons sa négation comme vraie. Cet accord semble correspondre à notre intuition. En effet, la proposition « Byron était un poète anglais » est vraie, donc sa négation « Il n’est pas vrai que Byron était un poète anglais » est naturellement considérée comme fausse. La proposition « Athènes est en Italie » est fausse, donc sa négation « Il n’est pas vrai qu’Athènes soit en Italie » est naturellement considérée comme vraie.

Pour plus de commodité, nous présentons ensemble les tables de vérité pour d’autres connecteurs logiques :

Tous les connecteurs donnés ici relient deux propositions. Pour deux propositions, il y a quatre possibilités : les deux peuvent être vraies ; l'un est vrai, l'autre est faux ; l'un est faux, l'autre est vrai ; les deux sont faux. Toutes ces possibilités sont prises en compte dans les cas 1 à 4.

Une conjonction n’est vraie que dans un cas – lorsque ses deux termes sont vrais. Dans tous les autres cas, nous le considérons comme faux. Dans l’ensemble, cela semble assez naturel. Disons que vous dites à votre élu : « Je t'épouserai et je te serai fidèle. » Vous avez vraiment épousé cette personne et lui êtes fidèle. Il est satisfait : vous ne l'avez pas trompé, la conjonction dans son ensemble est vraie. Deuxième cas : vous vous êtes mariée, mais n'êtes pas fidèle à votre mari. Il s'indigne, croit que vous l'avez trompé - la conjonction est fausse. Troisième cas : vous n'avez pas épousé celui que vous aviez promis, même si vous lui restez fidèle, chérissant les souvenirs de votre premier et, hélas, unique amour. Encore une fois, il est bouleversé : vous l'avez trompé – la conjonction est fausse. Enfin, quatrième option : vous ne l’avez pas épousé et, bien entendu, vous ne lui restez pas fidèle. Votre admirateur est furieux : vous l’avez ouvertement trompé – la conjonction est fausse.

Des considérations similaires justifient la table de vérité pour la disjonction. La situation implicite est un peu plus compliquée. Considérez la proposition « Si le soleil se levait, il faisait jour dehors ». Ici, l’implication relie deux propositions simples : « Le soleil s’est levé » et « Il est devenu lumière dehors ». Lorsque les deux sont vrais, alors nous considérons que l’implication dans son ensemble est vraie. Maintenant le deuxième cas : le soleil s'est levé, mais il n'y a pas de lumière dehors. Si cela se produit soudainement, nous considérerons notre implication comme fausse : apparemment, nous n'avons pas pris en compte quelque chose lorsque nous avons formulé un tel lien entre les deux jugements. Troisième cas : le soleil ne s'est pas levé, mais il fait jour dehors. Cela réfutera-t-il notre implication ? Pas du tout, c'est tout à fait possible : les lumières se sont allumées dans la rue, il est devenu clair, mais cela ne contredit pas le lien entre le lever du soleil et le début du jour. L’implication peut être considérée comme vraie. Enfin, quatrième cas : le soleil ne s'est pas levé et il n'y avait pas de lumière. C’est tout à fait naturel ; notre implication reste vraie.

En expliquant les tables de vérité des connecteurs logiques, nous avons essayé de montrer que ces tables correspondent dans une certaine mesure à notre intuition linguistique, notre compréhension de la signification des conjonctions du langage naturel. Il ne faut cependant pas surestimer le degré de cette correspondance. Les conjonctions en langage naturel ont un contenu sémantique beaucoup plus riche et plus subtil que les connecteurs logiques. Ces derniers ne saisissent que la partie de ce contenu qui concerne les relations de vérité ou de fausseté d'énoncés simples. Les connecteurs logiques ne prennent pas en compte les connexions sémantiques plus subtiles. Par conséquent, un écart assez important est parfois possible entre les connecteurs logiques et les conjonctions du langage naturel. Grâce à ces connexions, ils créent des programmes pour ordinateurs et vous pouvez désormais comprendre quelle partie de notre pensée un ordinateur peut absorber et utiliser.

5) Comment répartir 7 pommes également entre 12 garçons sans couper aucune pomme en 12 morceaux ? (La condition imposée vise à exclure la solution la plus simple : couper chaque pomme en 12 parties et donner à chaque garçon une tranche de chaque pomme, ou couper 6 pommes en deux et couper la 7ème pomme en 12 parties.)

6) Sur une île vivent deux tribus : de bons gars qui disent toujours la vérité et des menteurs qui mentent toujours. Un voyageur arrive sur l'île et est au courant et, rencontrant un habitant local, lui demande : « Qui es-tu, de quel genre de tribu ? "J'ai fini!" - répond fièrement l'aborigène. "C'est bien", se réjouit le voyageur, "tu seras mon guide !" Ils font le tour de l’île et aperçoivent soudain un autre aborigène au loin. « Allez lui demander, dit le voyageur à son guide, de quelle tribu est-il ? Le conducteur est revenu en courant et a fait son rapport. "Il a dit qu'il était génial!" « Aha », pensa le voyageur, « maintenant je sais exactement de quelle tribu tu es ! »

Comment le voyageur a-t-il deviné qui était son guide ?

Formulons les règles de base pour la formation de nouvelles phrases à partir des phrases originales en utilisant les connecteurs et conjonctions de base du langage parlé ordinaire. Les règles de la langue russe ne suffisent pas à elles seules, car parfois nous donnons des sens différents à une même phrase formulée en russe. Par exemple, considérons la tournure de phrase « Si, alors », avec laquelle nous formulons deux phrases :

• 1) "Si Misha réussit l'examen avec brio, il ira à la discothèque."
• 2) "Si Misha ne réussit pas l'examen avec brio, alors il n'ira pas à la discothèque."

Question : Ces phrases disent-elles la même chose ou existe-t-il une situation où l'une des phrases est vraie et l'autre est fausse ? Autrement dit, la question est de savoir si ces phrases sont équivalentes.

Jusqu'à ce que nous définissions clairement les règles de construction de phrases de ce type, il est impossible de répondre sans ambiguïté à la question. D’une part, lorsque nous formulons la première phrase, nous pensons souvent à la deuxième phrase. Cependant, regardons ces propositions sous un angle différent.

Tout d’abord, écrivons les diagrammes de phrases. Pour ce faire, nous désignons la phrase « Misha réussira l'examen avec brio » par la lettre UN, et la phrase "Misha ira à la discothèque" - avec la lettre DANS. Alors ces propositions peuvent s’écrire schématiquement comme suit :

I) "Si UN, Que DANS", 2) « Sinon UN, alors non DANS".

Maintenant, remplaçons plutôt UN Et DANS d'autres prédictions. Au lieu de UN prenons : "La table est en chêne", au lieu de DANS"La table est en bois." Ensuite, nous obtenons une autre paire de phrases :

• 1) « Si la table est en chêne, alors elle est en bois »
• 2) "Si la table n'est pas en chêne, alors elle n'est pas en bois."

Puisque ces phrases sont construites selon les mêmes schémas que les deux premières, cela signifie que l'équivalence de la première paire de phrases doit signifier l'équivalence de la deuxième paire. Cependant, la première phrase du langage ordinaire est évidemment une affirmation vraie, puisque le chêne est un arbre, et la deuxième phrase est, dans le sens commun, fausse, puisque la table peut être faite d'un autre arbre, comme le pin.

Ainsi, dans cas général phrases construites selon le principe « Si UN, Que DANS" et sinon UN, alors non DANS" ne peut pas être considéré comme logiquement identique.

Ainsi, afin d'éliminer toute ambiguïté dans la construction des phrases, nous avons besoin de règles claires qui nous permettent de déterminer la vérité ou la fausseté de la phrase résultante en fonction de la vérité ou de la fausseté des phrases originales. UN Et DANS.

Donnons aux conjonctions « et », « ou », ainsi qu'aux schémas « si, alors », « alors et seulement alors », « ce n'est pas vrai que » un sens logique sans ambiguïté.

Laissez les lettres A et B représentent des peines arbitraires. Commençons par des situations simples.

1. Signe de négation~| (-i) ou. Expression ~li(-L, UN) se lit comme suit : "pas A" ou "Ce n'est pas vrai que A."

Signification des phrases ~UNE définir par un tableau d'où il ressort clairement que la proposition ~l vrai exactement quand la phrase originale UN FAUX:

Lors de la formulation de phrases de structure simple, la particule « non » peut parfois être « portée à l'intérieur » de la phrase. Par exemple, une phrase

« Il n'est pas vrai que le nombre V6 soit un nombre entier » peut être formulé ainsi : « Le nombre l/6 n'est pas un nombre entier. » Aussi la phrase « Ce n'est pas vrai que directement UN Et b se croiser" formuler : "Direct UN Et b Nous ne le demanderons pas.

Souvent, un objet qui n'a pas de propriété est appelé un terme avec la particule « non ». Par exemple, un entier qui n’est pas pair est dit impair. Par conséquent, il est tout aussi correct de dire « Le nombre entier est impair » et « Le nombre entier n’est pas pair ». Mais sans préciser que le nombre est un nombre entier, nous avons des phrases avec des significations différentes. Par exemple, « Le nombre 0,2 n’est pas pair » est vrai, mais la phrase « Le nombre 0,2 est impair » est fausse.

Considérez l’expression « fonction étrange ». Nous avons ici un terme indépendant et le mot « impair » ne peut pas être écrit et prononcé séparément, c'est-à-dire que la phrase « La fonction est impaire » n'est pas une négation de la phrase « La fonction est paire ». En effet, il existe un exemple de fonction dans laquelle les deux phrases sont fausses. Par exemple, la fonction )t=x+ n'est ni pair ni impair (essayez de l'expliquer).

2. Signe de conjonction l. Expression LlW lit : "A et B". Parfois, la conjonction est désignée par &.

Signification des phrases AlV en fonction des propositions qui le composent A et B défini par le tableau :

Donc la proposition AlV vrai seulement dans un cas, lorsque les deux phrases UN Et DANS sont vrai. Dans d'autres cas, cette phrase est fausse. Lors de la formulation d'une proposition AlV Au lieu de la conjonction « et », vous pouvez utiliser d'autres conjonctions qui ont le même sens logique de remplir simultanément chacune des phrases : « a », « mais ».

Exemple 1.3.1. Phrase « Nombre » 111 n'est pas divisible par 2, mais est divisible par 3" - symboliquement vous pouvez écrire 1 AlV, Où UN= "111 est divisible par 2", B = " 111 est divisible par 3."

3. Signe de disjonction v. Expressions AvB lit : "A ou B."

Signification des phrases AvB défini par le tableau :

Il ressort clairement du tableau que l'offre "UN ou DANS" vrai dans les cas où au moins une des phrases UN ou DANS vrai, et dans le cas où les deux phrases UN Et DANS faux, phrase AvB prend une fausse valeur.

Parfois du contenu des phrases UN Et DANS il s'ensuit que les phrases ne peuvent pas être simultanément vraies. Dans ce cas, la phrase est formulée à l'aide de la conjonction « ou ». Par exemple, la phrase « Un nombre est soit positif, soit négatif » a également la forme "UN ou DANS», mais en même temps, cela a une telle implication qu'un nombre ne peut pas être à la fois positif et négatif.

Les règles formulées ci-dessus ne soulèvent apparemment aucune question. Passons au schéma évoqué au début du paragraphe « Si UN, Que DANS".

4. Signe d'implication-Expression A->B lit : "Si A, alors B." Parfois, un autre symbole de flèche => est utilisé pour désigner ce connecteur, ainsi qu'un signe z>. Avec la phrase « Si UN, Que DANS" d'autres similaires utilisent : "B quand A», "A seulement quand B."

Nous motivons la définition du sens des phrases A -> B. La principale difficulté qui se pose ici est d'attribuer un sens à la phrase L-»# pour les cas où UN FAUX. Pour déterminer intelligemment les significations, souvenez-vous de la phrase correcte discutée ci-dessus : « Si la table est en chêne, alors elle est en bois. » Ici UN= "Table en chêne", B ="Table en bois." Que la table soit en pin. Alors UN FAUX, DANS vrai. Que la table soit en fer. Alors UN faux et DANS FAUX. Dans les deux cas, l'offre UN est faux, et la phrase résultante « Si UN, Que DANS" vrai. De plus, ces deux cas sont réellement possibles. Bien sûr, il est possible que nous ayons table en chêne, Alors Ah B simultanément vrai. Voici un exemple de phrase vraie A->B, Quand A=u>B=l, n'existe pas.

Ainsi, les cas où A = toi, B = je, ou A=l et B=i, ou A = l, V = l, doit déterminer une phrase vraie Et un seul cas, quand

lequel A = toi, V-l, signifie que l'offre A->B FAUX.

Alors, dans logique mathématique les valeurs de la phrase T sont données par le tableau ci-dessous :

Dans ce qui suit, tout au long de la phrase « Si UN, Que DANS" sera compris de cette façon. Voici une suggestion UN appelé par colis, ou condition, UN En conclusion.

Exemple 13.2. Les parents ont promis à leur fils Petya : s'il obtient son diplôme universitaire, ils lui achèteront une voiture. On sait que le fils n'a pas obtenu son diplôme universitaire, mais ses parents lui ont quand même acheté une voiture. Est-il possible de dire que ce que les parents ont dit était un mensonge ?

Pour répondre à la question, considérez les propositions : UN= "Mon fils est diplômé de l'université", B ="Ils lui achètent une voiture." Où A=l, B=i. La promesse des parents ressemble à A^>B. Par définition, il s'agit d'une proposition valeurs données UN Et DANS vrai (troisième ligne du tableau). Par conséquent, d’un point de vue logique, les propos des parents sont corrects. Mais si leur fils obtenait son diplôme universitaire, mais qu’ils ne lui achetaient pas de voiture, dans ce cas (et dans aucun autre), la promesse ne serait pas tenue.

Examinons maintenant un autre connecteur logique qui est souvent utilisé lorsque les mots « si, alors » sont prononcés. Par exemple, si dans les conditions de l'exemple 1.3.2 les parents supposaient que si leur fils Petya n'obtenait pas de diplôme universitaire, ils ne lui achèteraient pas de voiture, il serait correct de dire : « La voiture sera achetée si et seulement si Petya obtient son diplôme.

5. Signe d'équivalence ou. Expression Et on lit : "Et si et seulement si B." D'autres formulations sont possibles : « Et si et seulement si B», "A exactement quand B" et ainsi de suite.

Signification des phrases UN B sont donnés par le tableau :

Dans les cas où UN Et DANS accepter mêmes valeurs, offre UN B vrai, sinon la phrase est fausse.

Il est facile de voir que l'expression "UN alors et seulement quand DANS" se compose de deux phrases : "UN puis quand DANS" Et "UN seulement quand DANS". La première phrase est écrite B->A, et le deuxième A^>B. Ces deux phrases sont simultanément vraies dans deux cas : A=tu, B=tu, et A=l, B=l.

Ainsi, nous avons défini cinq signes : l (conjonction), v (disjonction), -> (implication), (équivalence), 1 (négation), qui sont appelés

semoirs logiques. Ces signes permettent à partir de ces phrases UN Et DANS recevoir de nouvelles offres. Dans ce cas, le sens (vrai ou faux) de la nouvelle phrase est uniquement déterminé par le sens des phrases. UN Et DANS. La règle pour obtenir une nouvelle phrase à partir des phrases originales s'appelle opération logique. Ainsi, chacun des connecteurs logiques détermine opération logique, qui porte le même nom que le connecteur correspondant.

Les opérations considérées peuvent être utilisées aussi bien pour les instructions que pour les prédicats. Par exemple, en combinant deux prédicats unaires " Nombre, pas plus 3" et "Numéro X négatif" avec un signe de disjonction, on obtient un prédicat à une place : "Nombre X supérieur à 3 ou négatif. La seule chose est que pour relier deux prédicats avec un connecteur logique, il faut que certains domaine général D des objets valides qui peuvent être substitués dans ces prédicats au lieu de variables.

Définissons deux autres connecteurs logiques, appelés kwaitora.mi, qui nous permettent d'obtenir des déclarations à partir de prédicats unaires. Le terme « quantificateur » traduit de langue latine signifie « combien ». Par conséquent, ces signes sont utilisés pour répondre à la question de savoir combien d’objets satisfont à la proposition Et- tous ou au moins un.

Prenons un prédicat arbitraire et sélectionnons une variable dont dépend sa valeur. Notons-le Oh).

6. Quantificateur général V. Ce signe dérivé de mot anglais UN et est une abréviation des mots suivants : « poids », « chaque », « tout », « tout ».

L'expression Vj&4(y) signifie que le prédicat Oh) exécuté pour tous les objets valides X. On y lit : « Pour tout X et à partir de X ».

7. Quantificateur existentiel 3. Ce signe vient du mot anglais Exister et est une abréviation des mots suivants : « existe », « il y aura », « au moins un », « certains ».

L'expression 3x4(*) signifie que le prédicat Oh) est exécuté pour au moins un des objets valides.v. On y lit : « Il y a x et à partir de x. »

Exemple 1.3.3. Laissez la variable X désigne un étudiant universitaire. Considérons la proposition Oh)= « Étudiant l : a une voiture. » Alors VxA(x) signifie que tous les étudiants universitaires ont une voiture. C'est une fausse déclaration. Offre EhA(x) signifie que certains étudiants ont une voiture, ce qui est une affirmation vraie.

Ainsi, au départ nous avions un prédicat dont la valeur dépendait de la valeur de la variable dg. Après avoir effectué les opérations, on a obtenu des relevés dont les valeurs ne dépendent plus de la variable X.

Qu'il y ait une formule L(x), contenant une variable libre X. Puis l'affirmation selon laquelle la formule Oh) est identiquement vrai, nous pouvons l’écrire brièvement sous la forme Vj&4(jc).

L'opération d'obtention d'une phrase à l'aide de quantificateurs s'appelle quantification. Lors de l'utilisation d'expressions EuhA(x) et 3 xA(x) dis aussi : "Un quantificateur a été ajouté à la variable x" ou "La variable x est reliée par un quantificateur."

Notez que les opérations de quantification ne sont pas applicables uniquement aux prédicats à une seule place. Si un prédicat à deux places est donné A(hu), alors vous pouvez connecter la variable l - un quantificateur et former une phrase /xA(xy), dont la vérité dépendra d'une seule variable oui, et nous aurons un prédicat à une seule place. Dans cette entrée, la variable X appelé associé à un quantificateur, et la variable y - gratuit. Dans le cas général, en appliquant une opération de quantification à l’une des variables d’un prédicat /7 places, on se retrouve avec un prédicat (n-1) places.

Les quantificateurs peuvent être utilisés pour relier n’importe quel nombre de variables. Si nous avons un prédicat à deux places A(hu), alors formellement, vous pouvez obtenir 8 déclarations.

connecter chaque variable avec un quantificateur : Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(xy), 3yVxA(xy), 3xVyA(xy), /уЭхА(xy), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху). Certaines phrases ont le même sens, par exemple la première et la deuxième (prédicat UN doit être vrai pour toutes les valeurs de * et y), ainsi que pour les septième et huitième. Les expressions restantes donnent généralement des affirmations de vérité différente.

Exemple 1.3.4. Qu'il n'y ait que deux garçons dans la classe - Petya et Kolya. Pour décision indépendante trois problèmes ont été posés, notons-les par les nombres 1, 2, 3. Petya a résolu les problèmes 1 et 2, et Kolya a résolu un problème avec le numéro 3. Introduisons le prédicat A(hu), ce qui veut dire que le garçon * a résolu le problème toi. Ici la variable X désigne le nom du garçon et la variable à- numéro de tâche. Considérez les déclarations suivantes.

Vx3yA(xy)= "Chaque garçon a résolu au moins un problème" - déclaration vraie, puisque Petya a résolu deux problèmes et Kolya a résolu au moins un problème.

• 3_yVx4(.*,y) = "Il y a un problème que tous les garçons de la classe ont résolu" - faux, car un tel problème n'existe pas (seul Petya a résolu le 1er et le 2ème problèmes, et seul Kolya a résolu le 3ème).
• 3xVyA(x,y) = « Au moins un garçon a résolu tous les problèmes » est une affirmation fausse.

V_yEx,4(;c,y) = "Chaque problème a été résolu par au moins un élève" - ​​vrai, donc le problème numéro 1 a été résolu par Petya, le problème numéro 2 a également été résolu par Petya et le problème 3 a été résolu par Kolya.

De l'exemple considéré, nous pouvons conclure : l'ordre dans lequel les quantificateurs sont écrits affecte le sens logique de la phrase. Par conséquent, la formulation claire de la phrase doit présupposer sans ambiguïté l’ordre dans lequel les quantificateurs de généralité et d’existence apparaissent.

Exercice. Analysez vous-même la signification des affirmations de l'exemple 1.3.4, en supposant que Petya a résolu les problèmes numérotés 2 et 3.

En général, du prédicat Oh) vous pouvez obtenir deux déclarations - /xA(x) et 3x4(x). Or, la formule très souvent écrite Oh) est compris précisément comme l'énoncé Vx4(.x), bien que le quantificateur général soit omis lorsqu'il est écrit ou formulé. Par exemple, en écrivant d- 2 >0, ils signifient que le carré de tout nombre réel non négatif. Entrée complète L'instruction est la suivante : Ulg(dg?0). Enregistrer (4x + 6 ans):2, Où*, oui - entiers, suppose que la somme spécifiée est toujours divisible par 2, c'est-à-dire paire. Pour souligner cela, il faut écrire V*Vy((4.x + 6jy):2).

Défini dans les deux derniers paragraphes signes mathématiques et les signes des connecteurs logiques constituent l'alphabet du langage mathématique.

symboles langages logiques, utilisé pour former des instructions complexes (formules) à partir d'instructions élémentaires. Les connecteurs logiques sont également appelés conjonctions en langage naturel correspondant à ces symboles. Habituellement, de tels connecteurs logiques sont utilisés comme conjonction (la conjonction « et », les notations symboliques : &, l et un point en forme de signe de multiplication, qui sont souvent omis, écrivant la conjonction de A et B comme AB), disjonction ( une conjonction lâche « ou », notée « v »), une implication (« si..., alors », est désignée par le signe, . Une fonction de vérité propositionnelle attribue à chaque ensemble répertorié l'une des valeurs de vérité - 1 ou 0. Il existe 16 fonctions de ce type au total. La conjonction attribuée à l'expression A& a la valeur 1 uniquement dans le cas où A et B sont tous deux vrais, c'est-à-dire que les deux ont la valeur 1, sinon la valeur de A&. .B vaut 0. La disjonction B, au contraire, n'est fausse que dans un cas, lorsque A sont tous deux faux et B. L'implication A et B n'est fausse que si A est vrai (antécédent) et B est faux (conséquent). ). Dans les autres cas, A => B prend la valeur 1. Parmi les quatre fonctions unaires, seule la négation présente un intérêt, changeant le sens de l'énoncé en sens inverse : lorsque A est vrai, -A est faux, et vice versa. . Toutes les autres fonctions classiques unaires et binaires peuvent être exprimées en termes de celles présentées. Lorsque le système de connecteurs logiques adopté dans la sémantique correspondante permet de définir tous les autres, il est dit fonctionnellement complet. Les systèmes complets de la logique classique comprennent notamment la conjonction et la négation ; disjonction et négation ; implication et négation. La conjonction et la disjonction sont définissables l'une par l'autre en raison des équivalences (A&B) = -i(-i/4v-i.) et (A v B) a -,(-&-), appelées lois de Morgan, ainsi que : (A ^B)s(-iA^ B), (A&B) s -,(A e -), (B) = ((A => B) zA). Toute équivalence de la forme A = B n'est valable que lorsque la conjonction (A =) B) & (B e A) est généralement valide (toujours vraie).

Les fonctions antidisjonction et anticonjonction, définies respectivement par -(B) et -(A&.B), représentent également chacune séparément un système fonctionnellement complet de connecteurs. Cette dernière circonstance était déjà connue de C. Pierce (ouvrage inédit de son vivant en 1880) et fut redécouverte par H. M. Shefier. Utilisant l'antidisjonction comme seul connecteur logique, Schaeffer construisit en 1913 calcul complet déclarations. L'antidisjonction est notée AB et est appelée le premier de Schaefer, en lisant cette expression, comme « non-D et non-B ». J. G. P. Nicod a utilisé la même notation pour l'anticonjonction (« Il n'est pas vrai que A et B soient tous les deux ») et, en utilisant uniquement ce connecteur, il a formulé en 1917 un calcul propositionnel complet avec un (unique !) axiome et une règle d'inférence. . Ainsi, le trait de Schaeffer est essentiellement la ligne verticale elle-même, qui, selon différents auteurs, peut signifier à la fois anti-disjonction et anti-conjonction.

L'extensionnalité des connecteurs logiques leur confère un caractère unique, simplifie le problème de construction des calculs logiques et permet de résoudre des problèmes métathéoriques de cohérence, de décidabilité et d'exhaustivité pour ces derniers (voir Métalogiques). Cependant, dans certains cas, l’interprétation vérité-fonctionnelle des connecteurs conduit à un écart significatif avec la façon dont ils sont compris en langage naturel. Ainsi, l'interprétation de vérité indiquée de l'implication nous oblige à reconnaître phrases correctes de la forme « Si A, alors B » même dans le cas où il n'y a pas vraie connexion. Il suffit que A soit faux ou que B soit vrai. Par conséquent, parmi les deux phrases : « Si A, alors B » et « Si B, alors A », au moins une doit être reconnue comme vraie, ce qui ne correspond pas bien à l’usage habituel du connecteur conditionnel. Implication dans dans ce cas spécialement appelée « matérielle », la distinguant ainsi d'une conjonction conditionnelle, qui suppose qu'il existe un lien réel entre l'antécédent et le conséquent d'une véritable déclaration conditionnelle. En même temps, l'implication matérielle peut être parfaitement utilisée dans de nombreux contextes, par exemple mathématiques, quand on ne l'oublie pas. caractéristiques spécifiques. Dans certains cas, cependant, c'est le contexte qui ne permet pas d'interpréter la conjonction conditionnelle comme une implication matérielle, suggérant l'interconnexion des énoncés. Pour analyser de tels contextes, il est nécessaire de construire des logiques non classiques, par exemple, pertinent (voir Logique pertinente), dans la langue de laquelle à la place implication matérielle(ou en même temps) d'autres implications sont introduites qui sont comprises intensionnellement (substantiellement) et dont la vérité ne peut pas être justifiée fonctionnellement. D'autres connecteurs logiques peuvent également être interprétés de manière intensive.