Exemples de réduction de matrices sous la forme Jordan

1°. . Racines équation caractéristique: l 1, 2, 3 = 1. .

Vecteurs propres UN par λ = 1, c'est-à-dire cœur UN 1:

, ce qui signifie base N(UN 1): .

Image de l'opérateur UN 1 M(UN 1) on trouve à partir des relations :

; base M(UN 1) F 3 (1, 2, –1), etc. F 3 = 2F 1 – F 2, alors F 3 Оℒ( F 1 , F 2).

Alors : base sera un vecteur ; vecteur complétant la base avant la base, il y aura n'importe lequel des vecteurs, par exemple le vecteur ; et la base Il n'y a rien à ajouter à la base, car .

Prototype UN 1 à= (1, 2, –1) Þ à 1 – à 2 – à 3 = 1, par exemple (1, 0, 0).

Au fait : le système UN 1 à= (1, 0, 0) n'a pas de solutions, c'est-à-dire il n'y a pas d'image inverse de la deuxième couche pour le vecteur (1, 2, –1).

Par conséquent, la base jordanienne de l'opérateur UN: .

Et enfin, nous avons la forme de Jordan de la matrice des opérateurs UN: .

2°. Trouver la forme Jordan normale de la matrice opérateur linéaire UN = et une base dans laquelle la matrice d'opérateurs a la forme de Jordan.

Δ. Pour une matrice d'opérateurs linéaires UN = Composons et résolvons l'équation caractéristique : det( UN-l E) = 0 .

= .

Alors: = 0 et donc l 1, 2 = –1 ; l 3, 4 = 1.

a) Considérez l'opérateur UN -1 = UN-l E= UN+E= UN pour l = - 1, c'est à dire le noyau de l'opérateur UN-1 . Pour ce faire, nous résolvons un système de quatre linéaires équations homogènes avec matrice UN-1 . Du troisième et quatrièmes équations système, il est clair que . On peut alors facilement établir que . Vecteur F 1 (1, 1, 0, 0) est le seul vecteur propre de l'opérateur UN, correspondant à la valeur propre l = -1 et constitue la base du noyau de l'opérateur UN-1 . Ensuite, nous recherchons la base de l'image de l'opérateur UN –1:

.

Notant que pour les vecteurs F 2 , F 3 , F 4 il existe une relation : F 3 + F 4 – F 2 = (0, 0, 0, 1), trouver la base de l'image de l'opérateur UN –1:

(j 1 (1, 1, 0, 0), j 2 (0, –1, 1, 1), j 3 (0, 0, 0, 1).

Notant que les vecteurs F 1 et coïncident, nous concluons que ce vecteur constitue la base de l'intersection de l'image et du noyau de l'opérateur UN -1 .

La multiplicité de la racine λ = -1 est deux, et le vecteur propre correspondant à cette valeur propre est un. C'est pourquoi nous croyons g 1 égal au vecteur, et nous recherchons un autre vecteur de base de Jordan comme prototype de la première couche pour . Décidons système hétérogèneéquations linéaires et trouver le deuxième vecteur g 2 (1, 3/4, 0, 0) Base de Jordan correspondant à la valeur propre l = -1 d'un multiple de deux. Dans ce cas, qui est typique, le vecteur n'a pas d'image inverse de la deuxième couche, car un système à matrice étendue

n'a pas de solutions. Ceci n'est pas accidentel, car la valeur propre l= -1 de multiplicité 2 doit correspondre à deux vecteurs de la base de Jordan de l'opérateur UN:

g 1 (1, 1, 0, 0); g 2 (1, 3/4, 0, 0).

Parallèlement, on note que :

b) Considérons maintenant la valeur propre l = 1 et, par conséquent, l'opérateur UN 1 =UN+E:

.

Trouvons le noyau de cet opérateur, c'est-à-dire vecteurs propres opérateur UNà λ = 1.

.

Vecteur F 1 (1, 1, 1, 1) constitue la base du noyau de l'opérateur UN 1 et est le seul vecteur propre de l'opérateur UN, correspondant à la valeur propre l = 1.

Nous recherchons la base de l'image M(UN 1) opérateur UN 1 .

.

En notant que F 1 = F 2 + F 3 + F 4, nous concluons : la base de l'intersection du noyau et de l'image de l'opérateur UN 1 est un vecteur F 1 .

Puisqu’il n’y a qu’un seul vecteur propre et que la valeur propre a une multiplicité de 2, nous devons trouver un autre vecteur de la base de Jordan. C'est pourquoi nous croyons g 3 est égal au vecteur y 1 (1, 1, 1, 1), et nous recherchons un autre vecteur de base de Jordan comme image inverse de la première couche pour y 1 (1, 1, 1, 1). Pour ce faire, nous résolvons un système inhomogène d'équations linéaires UN 1 g 4 = j 1 et trouver le vecteur g 4 (0, 1/2, 0, 1/2) Base de Jordan correspondant à la valeur propre l = 1 d'un multiple de deux. Dans ce cas, le vecteur y 1 (1, 1, 1, 1) n'a pas d'image inverse de la deuxième couche, car le système UN 1 oui = g 4 avec matrice étendue n'a pas de solutions. Et encore une fois, ce n'est pas accidentel, car la valeur propre l= 1 de multiplicité 2 doit correspondre à deux vecteurs de la base de Jordan, et ils ont déjà été trouvés :

g 3 (1, 1, 1, 1); g 4 (0, 1/2, 0, 1/2).

Parallèlement, on note que : Ag 3 = g 1 , Ag 4 = g 3 + g 4 . Pour l'opérateur UN on trouve une base Jordan : . Où UN G= . ▲

3°. ; det( UN-l E) = 0 je 1, 2 = 1; l 3, 4 = 2.

Δ a) Considérons l'opérateur UN 1: UN 1 -E= . On recherche les vecteurs propres de l'opérateur UN pour l = 1, c'est-à-dire noyau d'opérateur UN 1 .

. Vecteurs ( F 1 ,F 2) former une base N(UN 1).

Puisque les vecteurs F 1 , F 2 , F 3 , F 4 – linéairement indépendant, alors , et les vecteurs complétant la base à la base – les vecteurs.

On sait que la matrice d'un opérateur linéaire dans une base de vecteurs propres peut être réduite sous forme diagonale. Cependant, sur un ensemble de nombres réels, un opérateur linéaire peut ne pas avoir de valeurs propres, et donc pas de vecteurs propres. Au-dessus de la multitude nombres complexes tout opérateur linéaire a des vecteurs propres, mais ils peuvent ne pas suffire comme base. Il existe une autre forme canonique de la matrice d'opérateurs linéaires, à laquelle toute matrice sur l'ensemble des nombres complexes peut être réduite.

Théorème 10.1. Toute matrice comportant des éléments complexes peut être réduite dans l'ensemble des nombres complexes C à la forme normale de Jordan 14.

Donnons les définitions nécessaires :

Définition 10.1. Matrice d'ordre carré n, dont les éléments sont des polynômes de degré arbitraire dans la variable λ avec des coefficients de l'ensemble des nombres complexes C, est appelé λ- matrice(ou matrice polynomiale, ou matrice polynomiale).

Un exemple de matrice polynomiale est la matrice caractéristique UN – λ E arbitraire Matrice Carrée UN. Sur la diagonale principale se trouvent des polynômes du premier degré, à l'extérieur se trouvent des polynômes du degré zéro ou des zéros. Notons une matrice telle que UN(λ).

Exemple 10.1. Soit la matrice donnée UN= , alors UN– λ E = =
= UN(λ).

Définition 10.2. Transformations élémentaires Les matrices λ sont appelées les transformations suivantes :

multiplication de n'importe quelle ligne (colonne) d'une matrice UN(λ) à tout nombre non égal à zéro ;

ajout à tout je-cette ligne ( jeème colonne) de la matrice UN(λ) tout autre j-ème ligne ( jème colonne) multiplié par un polynôme arbitraire (  ).

Propriétés de la matrice λ

1) Utiliser ces transformations dans la matrice UN(λ) deux lignes ou deux colonnes peuvent être réorganisées.

2) Utiliser ces transformations dans la matrice diagonale UN(λ) les éléments diagonaux peuvent être échangés.

Exemple 10.2. 1) 

  .

2)


.

Définition 10.3. Matrices UN(λ) et B(λ) sont appelés équivalent, si de UN(λ) on peut aller à B(λ) en utilisant nombre fini transformations élémentaires.

Le but est de simplifier au maximum la matrice UN(λ).

Définition 10.4. Canonique λ- matrice est appelée une matrice λ ayant les propriétés suivantes :

matrice UN(λ) diagonale ;

chaque polynôme e je (), je = 1, 2, …, n est entièrement divisible par e je –1 ();

coefficient dominant de chaque polynôme e je (), je = 1, 2, …, n est égal à 1, ou ce polynôme est égal à zéro.

UN(λ) =
.

Commentaire. Si parmi les polynômes e je() des zéros apparaissent, ils occupent la diagonale principale derniers lieux(par propriété 2), s'il existe des polynômes de degré zéro, alors ils sont égaux à 1 et occupent les premières places sur la diagonale principale.

Les matrices zéro et identité sont des matrices λ canoniques.

Théorème10.2. Chaque matrice λ est équivalente à une matrice λ canonique (c'est-à-dire qu'elle peut être réduite par des transformations élémentaires à Forme canonique)

Exemple 10.3. Réduire la matrice UN(λ) =
à la forme canonique.

Solution. Le déroulement des transformations est similaire aux transformations de la méthode de Gauss, tandis que l'élément supérieur gauche de la matrice, lorsqu'on la réduit à une forme canonique, est non nul et a le plus petit degré.

UN(λ) =
 (échangez la première et la deuxième colonnes) 
 (à la deuxième colonne on ajoute la première colonne multipliée par ( – 2)) 
 (à la deuxième ligne on ajoute la première ligne multipliée par ( – 2)) 
 (échangez la deuxième et la troisième colonnes) 
 (à la troisième colonne on ajoute la deuxième colonne multipliée par ( – 2) 3) 
 (à la troisième ligne on ajoute la deuxième ligne multipliée par ( – 2)) 
.

1. Soit un polynôme avec des coefficients du champ

Considérons une matrice carrée du ème ordre

. (36)

Il est facile de vérifier que le polynôme est un polynôme caractéristique de la matrice :

.

En revanche, le mineur de l'élément dans le déterminant caractéristique est égal à . C'est pourquoi , .

Ainsi, la matrice a un polynôme invariant unique non unité égal à .

Nous appellerons la matrice la matrice d’accompagnement du polynôme.

Soit une matrice avec des polynômes invariants

Voici tous les polynômes ont un degré supérieur à bullet, et chacun de ces polynômes, à partir du second, est un diviseur du précédent. Nous désignons les matrices qui accompagnent ces polynômes par .

Alors la matrice quasi-diagonale du ième ordre

(38)

a pour polynômes invariants les polynômes (37) (voir Théorème 4 à la page 145). Puisque les matrices et ont les mêmes polynômes invariants, elles sont similaires, c'est-à-dire qu'il existe toujours une matrice non singulière telle que

La matrice est appelée la première forme normale naturelle d'une matrice. Cette forme normale se caractérise par : 1) un aspect quasi-diagonal (38), 2) une structure particulière de cellules diagonales (36) et 3) condition supplémentaire: dans une série de polynômes caractéristiques de cellules diagonales, chaque polynôme, à partir du second, est un diviseur du précédent.

2. Désignons maintenant par

(39)

diviseurs matriciels élémentaires dans un corps numérique. Nous désignons les matrices d’accompagnement correspondantes par

.

Puisque est le seul diviseur élémentaire de la matrice, alors, d'après le théorème 5, la matrice quasi-diagonale

(40)

a des polynômes (39) comme diviseurs élémentaires.

Les matrices et ont les mêmes diviseurs élémentaires dans le domaine. Ces matrices sont donc similaires, c’est-à-dire qu’il existe toujours une matrice non singulière telle que

La matrice est appelée la deuxième forme normale naturelle d'une matrice. Cette forme normale est caractérisée par : 1) une forme quasi-diagonale (40), 2) une structure particulière de cellules diagonales (36) et 3) une condition supplémentaire : le polynôme caractéristique de chaque cellule diagonale est le degré d'un polynôme irréductible Sur le terrain.

Commentaire. Les diviseurs matriciels élémentaires, contrairement aux polynômes invariants, sont essentiellement liés à un champ numérique donné. Si, à la place du champ numérique d'origine, on prend un autre champ numérique (qui contient également les éléments de cette matrice), alors les diviseurs élémentaires peuvent changer. Parallèlement aux diviseurs élémentaires, la deuxième forme normale naturelle de la matrice changera également.

Ainsi, par exemple, donnons-nous une matrice avec des éléments réels. Le polynôme caractéristique de cette matrice aura des coefficients réels. En même temps, ce polynôme peut avoir racines complexes. Si est un corps de nombres réels, alors parmi les diviseurs élémentaires il peut aussi y avoir des puissances d'irréductibles trinômes carrés avec des coefficients réels. Si est le corps des nombres complexes, alors chaque diviseur élémentaire a la forme .

3. Supposons maintenant que le champ numérique contient non seulement les éléments de la matrice, mais aussi tous les nombres caractéristiques de cette matrice. Alors les diviseurs élémentaires de la matrice ont la forme

. (41)

Considérons l'un de ces diviseurs élémentaires

et associez-le à la matrice d’ordre suivante :

. (42)

Il est facile de vérifier que cette matrice ne possède qu’un seul diviseur élémentaire. Nous appellerons matrice (42) une cellule de Jordan correspondant au diviseur élémentaire .

Les cellules de Jordan correspondant aux diviseurs élémentaires (41) sont notées

Alors la matrice quasi-diagonale

a pour diviseurs de puissance élémentaires (41).

La matrice peut également s'écrire ainsi :

Puisque les matrices et ont les mêmes diviseurs élémentaires, elles sont semblables entre elles, c'est-à-dire qu'il existe une matrice non singulière telle que

Une matrice est appelée forme normale de Jordan ou simplement forme de Jordan d'une matrice. La forme Jordan se caractérise par un aspect quasi-diagonal et une structure particulière (42) de cellules diagonales du ème ordre.

Notez également que si , alors chacune des matrices

,

n'a qu'un seul diviseur élémentaire : . Par conséquent, pour une matrice non singulière ayant des diviseurs élémentaires (41), ainsi que (III) et (IV), les représentations suivantes sont valables :

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Preuve: Parce que La réductibilité d'une matrice à la forme diagonale équivaut à la réductibilité à une forme Jordan dont toutes les cellules Jordan sont d'ordre 1. Tous les diviseurs élémentaires de la matrice A doivent être des polynômes du premier degré. Parce que tous les facteurs invariants de la matrice A - lE sont des diviseurs du polynôme e n (l), alors cette dernière condition équivaut au fait que tous les diviseurs élémentaires de e n (l) ont le degré 1, ce qui devait être prouvé.

1.6 Polynôme minimal

Considérons une matrice carrée A d'ordre n avec des éléments du terrain P.. Si

F (l) = b 0 l k + b 1 l k -1 + ... + b k -1 l + b k

Un polynôme arbitraire de l'anneau P[l], alors la matrice

F(A) = b 0 A k + b 1 A k-1 + … + b k-1 A + b k E

sera appelée la valeur du polynôme F (l) avec l = A; Faisons attention au fait que Membre gratuit polynôme F (k) est multiplié par le degré zéro de la matrice A, c'est-à-dire à la matrice identité E.

Définissons une racine matricielle.

Si un polynôme F (k) est annulé par la matrice A, c'est-à-dire F (A) = 0, alors la matrice A sera appelée racine matricielle ou, là où cela ne prête pas à confusion, simplement la racine du polynôme F (l) .

La matrice A est également une racine pour de tels polynômes dont les coefficients principaux sont égaux à un - prenez tout polynôme non nul annulé par la matrice A et divisez ce polynôme par son coefficient principal.

Définition: Le polynôme de moindre degré de coefficient dominant 1 qui est annulé par la matrice A est appelé le polynôme minimal de la matrice A et est noté m A .

Théorème: Chaque matrice A n'a qu'un seul polynôme minimal.

Preuve: Supposons qu'il y ait deux polynômes minimaux, par exemple m 1 (atterrir m 2 (k), alors leur différence serait un polynôme non nul de degré inférieur, dont la racine était encore la matrice A. En divisant cette différence par son coefficient dominant, nous obtiendrions un polynôme avec un coefficient dominant de 1, la racine dont serait la matrice A et qui aurait un degré inférieur aux polynômes minimaux m 1 (atterrir m 2 (l), ce qui contredit la définition des polynômes minimaux.

Théorème: N'importe quel polynôme F(l), dont la racine est la matrice A, est divisible sans reste par le polynôme minimal m(k) de cette matrice.

Preuve: Laisser F(k) non divisible par m(l). Notons par q(k) privé, par l'intermédiaire r(l) reste de la division F(l) sur m(l), nous aurons

F(l) = m(je) q(l) + r(l).

En remplaçant l = A ici et en utilisant le fait que

m(l) = F(l) = 0,

r(l) = 0.

Mais le degré de reste r(l) inférieur à la puissance du diviseur m(l). C'est pourquoi r(k) est un polynôme non nul dont la racine est la matrice A et dont le degré est inférieur au degré du polynôme minimal m(l), ce qui est contradictoire. La déclaration a été prouvée.

On sait que des matrices similaires auront le même polynôme caractéristique. Le polynôme minimal a également cette propriété : des matrices similaires ont les mêmes polynômes minimaux. Mais l’égalité des polynômes minimaux n’est pas condition suffisante similarité matricielle.

Pour prouver le prochain théorème que nous donnons définition matrice associée.

Laissez A je(1) - compléments algébriques de la matrice A. On définit la matrice adjointe à A, dans la notation A v , telle que transposée à la matrice ajouts algébriques pour A. Ainsi

Un v = .

Théorème: Dernier diviseur élémentaire e n(je) matrice caractéristique UN -jeE est le polynôme minimal m A.

Preuve:Écrivons l'égalité

(-1)n | A-LE | = d n -1 (l) e n (l).

Il s'ensuit que d n -1 (l) et e n (l) ne seront pas nuls. Soit B(l) la matrice adjointe à la matrice A - lE.

B(l) = (A - lE) (1)

L'égalité est juste

(UNE - lE) B(l) = | A-LE | E. (2)

D'un autre côté, parce que les éléments de la matrice B(l) sont les mineurs du (n - 1)ème ordre de la matrice A - lE pris avec les signes plus ou moins et eux seuls, et les polynômes d n -1 (l) sont les généraux plus grand diviseur tous ces mineurs, alors

B(l) = d n -1 (l) C(l), (3)

et le plus grand diviseur communéléments de la matrice C(n) est égal à 1.

Les égalités (3), (2) et (1) impliquent l'égalité

(A - lE) d n -1 (l) C(l) = (-1) n d n -1 (l) e n (l) E.

On réduit cette égalité d'un facteur non nul d n -1 (l). Notez que si μ(n) est un polynôme non nul,

D(l) = (d ij (l))

Matrice l non nulle, et soit d st (l) ? 0, alors dans la matrice c(l) D(l) à l'endroit (s, t) il y aura un élément non nul c(l) d st (l). Que.

(A - lE) C(l) = (-1) n e n (l) E,

e n (l) E = (lE - A) [(-1) n+1 C(l)]. (4)

De cette égalité il ressort clairement que le reste de la division gauche de la l-matrice à gauche par le binôme lE - A est égal à zéro. Du lemme démontré dans la section 3, il résulte que ce reste est égal à la matrice

e n (A) E = e n (A).

En fait, la matrice e n (n) E peut s'écrire comme une matrice n-polynomiale dont les coefficients sont des matrices scalaires, c'est-à-dire commuter avec la matrice A.

ceux. le polynôme e n (n) est en effet annulé par la matrice A. Cela signifie que le polynôme e n (n) est complètement divisible par le polynôme minimal m (l) la matrice A,

e (l) = m (je) q (l). (5)

il est clair que le coefficient dominant du polynôme q(-1) n +1 (n) est égal à un.

Parce que m (A) = 0, puis encore, compte tenu du même lemme du paragraphe 3, le reste de la division gauche de la n-matrice m (je) E sur le binôme lE - A est égal à zéro, c'est-à-dire

m (je) E = (lE - A) Q(l). (6)

Les égalités (5), (4) et (6) se réduisent à l'égalité

(lE - A) [(-1) n+1 C(l)] = (lE - A) .

Les deux côtés de cette égalité peuvent être réduits par multiplicateur commun(lE - A), car le coefficient dominant E de ce matrice l-polynomiale est une matrice non singulière. Que.,

C(l) = (-1) n +1 Q(l) q(l).

Le plus grand commun diviseur des éléments de la matrice C(n) est égal à 1. Par conséquent, le polynôme q(n) doit avoir le degré zéro, et puisque son coefficient dominant est 1, alors

Ainsi, au vu de (5),

e n (l) = m (l),

Q.E.D.

Chapitre 2. Résolution de problèmes

Exemple 1. Réduire la matrice L à la forme canonique

Solution: Réduisons cette matrice A(n) à la forme canonique en effectuant des transformations élémentaires.

1) Ajoutez la deuxième ligne à la première, puis multipliez la première ligne par (-l) et (-l 2 -1) et additionnez respectivement avec la deuxième et la troisième ligne. Ajoutez les première et deuxième colonnes en multipliant la première colonne par (-l 2 -l). Dans la matrice résultante, échangez les deuxième et troisième colonnes. Multiplions la deuxième ligne par (-l) et ajoutons-la à la troisième. Ensuite, ajoutez la deuxième colonne multipliée par (-l 2 -l + 1). Multipliez les deuxième et troisième lignes par (-1).

UNE(l) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = UNE(l).

La matrice résultante est canonique, car il a une forme diagonale et chaque polynôme suivant sur la diagonale principale est divisé par le précédent.

Répondre:

Exemple 2. Prouver l'équivalence des l-matrices

Solution: Réduisons la matrice A(n) à la forme canonique.

1) Dans la matrice A(l), permutez la première et la troisième colonnes :

2) Soustrayez la deuxième de la première ligne :

3) Multipliez la première ligne par (l+1) et soustrayez-en la troisième :

4) Multipliez la première colonne par () et par () et soustrayez respectivement la deuxième et la troisième colonnes :

5) Intervertissez les deuxième et troisième lignes :

6) Multipliez la troisième ligne par () et soustrayez-en la deuxième ligne :

7) Multipliez la troisième ligne par (-1) :

UNE(l) ~ = B(l).

Répondre: A(l) ~ B(l).

Notez que la matrice B(n) est canonique.

Exemple 3. Prouve-le matrice donnée A(l) est unimodulaire. Réduire à la vue en diagonale.

Le déterminant d'une matrice unimodulaire n'est pas égal à zéro et ne dépend pas de l. Calculons ?A :

Multipliez la première colonne par (- l 2) et en l'ajoutant au deuxième, on obtient :

A(l) ~~ ~ ~ ~ ~ ~

Répondre: la matrice A(n) est unimodulaire.

Exemple 4. En utilisant des facteurs invariants, trouvez la matrice de Jordan

a) matrice A :

b) matrice B :

c) matrice C :

Solution: Pour la matrice A on compile un tableau de diviseurs élémentaires. Dans la première colonne du tableau on écrit les diviseurs élémentaires du dernier facteur invariant : .

A l'aide du tableau des diviseurs élémentaires, on compose une matrice de Jordan. Pour chaque diviseur élémentaire on écrit la cellule de Jordan correspondante : J. 1 (1), J. 1 (2), J. 1 (3), J. 1 (4). En plaçant ces cellules sur la diagonale principale de la matrice, on obtient la matrice de Jordan souhaitée :

Pour la matrice B, on compose un tableau de diviseurs élémentaires. Dans la première colonne du tableau on écrit le seul diviseur élémentaire du dernier facteur invariant, dans la deuxième colonne - l'avant-dernier facteur invariant :

Facteurs invariants

Pour la matrice C on compile un tableau de diviseurs élémentaires. Dans la première colonne du tableau on écrit le seul diviseur élémentaire du dernier facteur invariant, la deuxième colonne - de l'avant-dernier facteur, dans la troisième colonne -

A l'aide du tableau des diviseurs élémentaires, on compose une matrice de Jordan. Pour chaque diviseur élémentaire on écrit la cellule de Jordan correspondante J. 2 (1), J. 1 (1), J. 1 (1). En plaçant ces cellules sur la diagonale principale de la matrice, on obtient la matrice de Jordan souhaitée :

Répondre:

Exemple 5. Réduisez les matrices suivantes à la forme Jordan normale :

Solution: 1. Pour la matrice A, on trouve une matrice de Jordan normale, la mettant sous forme canonique. Compilation d'une matrice caractéristique

forme de Jordan matricielle

2. Réduisons la matrice A - lE à la forme canonique.

1) Échangez les première et deuxième colonnes

2) Multipliez la première ligne par (l - 4) et par (-1) et additionnez respectivement avec la deuxième et la troisième ligne

3) Ajoutez les troisième et deuxième colonnes

4) Ajoutez la première colonne à la seconde en multipliant la première colonne par (l).

5) Multipliez les deuxième et troisième lignes par (-1), puis échangez les deuxième et troisième colonnes ainsi que les deuxième et troisième lignes.

Facteurs matriciels invariants

e 1 (l) = 1, e 2 (l) = l - 2

e 3 (l) = = = .

3. En utilisant les facteurs invariants obtenus e 1 (l) et e 2 (l), nous dressons un tableau des diviseurs élémentaires, et les diviseurs élémentaires égaux à un ne sont pas inclus dans le tableau

Pour chaque diviseur élémentaire on écrit la cellule de Jordan correspondante J. 1 (2), J. 2 (2). En plaçant ces cellules sur la diagonale principale de la matrice, on obtient la matrice de Jordan souhaitée :

J. UN = .

Réduisons la matrice B à la forme Jordan normale en passant par les mineurs.

1. Composer la matrice caractéristique

2. Trouvons les facteurs invariants. Les mineurs du premier ordre ont le plus grand diviseur

Retrouvons tous les mineurs de second ordre :

Le plus grand diviseur commun de ces polynômes

Le mineur du troisième ordre coïncide avec le déterminant de la matrice

det (B - lE) = =.

Prenons le plus grand diviseur commun dont le coefficient principal est égal à 1.

Trouvons les facteurs invariants :

e 1 (l) = d 1 (l) =1, e 2 (l) = =

3. En utilisant les facteurs invariants obtenus e 2 (l) et e 3 (l), nous composons un tableau de diviseurs élémentaires.

4. Pour chaque diviseur élémentaire on note la cellule de Jordan correspondante J. 1 (-1), J. 2 (-1). En plaçant ces cellules sur la diagonale principale de la matrice, on obtient la matrice de Jordan souhaitée :

J. B = .

Répondre:

J. UN =

J. B = .

Exemple 6. Montrer que le polynôme caractéristique de la matrice

est nul et non avenu pour elle.

Solution. Trouver le déterminant polynôme caractéristique matrice A.

En substituant la matrice A à la variable l, on obtient

UNE = 3 UNE 2 - UNE 3 = 3= 3= 0,

c’est ce qu’il fallait montrer.

Exemple 7. Trouver le polynôme minimum d'une matrice

Solution. Première façon. 1. Composer la matrice caractéristique

2. Nous réduisons cette matrice L à sa forme diagonale normale. Échangeons la première et la troisième lignes. Choisissons comme élément leader l'unité qui se trouve à gauche coin supérieur matrices. En utilisant l'élément principal que nous faisons égal à zéro les éléments restants de la première ligne et de la première colonne :

Nous prenons l'élément principal (-l) et rendons tous les autres éléments de la deuxième ligne et de la deuxième colonne égaux à zéro. Ensuite, nous multiplions les deuxième et troisième lignes par (-1) afin que les principaux coefficients des éléments diagonaux soient égal à un. Nous obtenons la vue diagonale normale :

Polynôme matriciel minimum

m A (l) =e 3 (l) =.

Deuxième façon. 1. Nous compilons une matrice caractéristique ;

2. trouver le polynôme caractéristique

Un (l) = 3l 2 - l 3.

3. trouver les mineurs du second ordre de la matrice caractéristique (A - lE). Limitons-nous aux mineurs situés dans les deux premières lignes :

M 12 12 = =, M 13 12 = = -l, M 23 12 = = l.

L'expression des mineurs restants coïncide avec celles trouvées. Le plus grand diviseur commun des polynômes, (-l), l est égal à l, c'est-à-dire

4. Selon la formule

on a:

Pour vérifier, calculons

m A (A) =A 2 -3A =

Notez que le polynôme minimal m A (A) est annihilant, c'est-à-dire

Répondre: .

Exemple 8. Population du pays. Divisons la population du pays en quatre groupes d'âge :

(0,20], (20,40], (40,60], (60,) ans. (1)

X(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t))

Le nombre de personnes dans ces groupes au moment t. nous nous intéressons à la taille de la population dans ces sous-groupes (c'est-à-dire la structure par âge de la population du pays) en 20, 40, 60,... ans (c'est-à-dire X(20), X(40), X(60)... ). Nous calculerons cela à partir des coordonnées du vecteur X(0) et des valeurs des taux de natalité et de mortalité, que nous prendrons au plus près de la vie.

Créons une équation pour l'avenir.

Dans 20 ans, presque toutes les personnes du 1er groupe passeront au second. Certains mourront de maladie, d’accidents, etc. Laissez 0,95 personnes du 1er groupe passer au deuxième groupe sur 20 ans. C'est le coefficient du 1er groupe au 2ème :

x 2 (t + 20) = 0,95 x 1 (t). (2)

De plus, une petite partie des jeunes de ce groupe aura le temps de se marier et d'avoir des enfants avant l'âge de 20 ans, ce qui rend la contribution du 1er groupe au 1er groupe (après 20 ans). Soit cette contribution égale à 0,01 de la population du 1er groupe. Et les 2ème et 3ème groupes contribueront également au 1er groupe (sous forme d'enfants). Soit la valeur de la contribution du 2ème groupe = 0,5 de son nombre (tout le monde est marié et dans chaque famille il y a un enfant), et la contribution du 3ème groupe = 0,02 de son nombre. Alors

X 1 (t + 20) = 0,01 x 1 (t) + 0,5 x 2 (t) + 0,02 x 3 (t). (3)

Fixons le taux de survie dans le deuxième groupe à 0,8, c'est-à-dire

X 3 (t + 20) = 0,8 x 2 (t). (4)

Et dans les groupes 3 et 4, respectivement, 0,7 et 0,4 :

X 4 (t + 20) = 0,7 x 3 (t) + 0,5 x 4 (t). (5)

On réécrit les relations que nous avons données (2, 3, 4, 5) sous forme matricielle :

X(t + 20) = AX(t). (6)

Où la matrice A des coefficients d’influence est :

Il est compilé selon le principe :

numéro d'entrée = numéro de colonne,

numéro de sortie = numéro de ligne.

Ainsi le coefficient d'influence du 1er groupe sur le 2ème doit être inscrit dans la 1ère colonne, 2ème ligne.

D’après la formule (6), si l’opérateur A agit sur la composition de la population X(t) au temps t, alors la composition de la population X(t + 20) sera obtenue au bout de 20 ans. Par conséquent, l’opérateur A est appelé opérateur de décalage (dans ce problème, un décalage de 20 ans).

De la formule (6), il résulte que

X(t + 40) = AX(t + 20) = AAX(t) = A 2 X(t)

X(t + 60) = AX(t + 40) = AA 2 X(t) = A 3 X(t)

X(t + 20n) = A n X(t) (8)

Nous voulons donc calculer la population après 20, 40, 60,... (en supposant que ni le taux de natalité ni le taux de mortalité ne changent) - c'est-à-dire calculer AX(0), A 2 X(0), A 3 X(0),… Produit

Un X(0) = AAAA…AX(0)

Peut être calculé dans différentes séquences. Tu peux le faire:

UNE(UNE…(AX(0))). (9)

Ou vous pouvez faire ceci : d'abord A n puis

Dans ce problème, si vous devez calculer la population future pour quelques instants seulement (par exemple, 200 ans à l'avance), alors pour réduire le nombre d'opérations, nous utiliserons la formule (9). Mais si nous voulons choisir éléments numériques matrice A (par exemple, trouver le taux de natalité auquel la population du pays se stabilise au même niveau), alors la méthode (10) est plus pratique. Alors, que la population d'aujourd'hui soit :

X 1 (0) = 30, x 2 (0) = 40, x 3 (0) = 30, x 4 (0) = 25 (millions de personnes).

Effectuons maintenant les calculs pour n= 2, 3…10 selon (9) dans n'importe quel programme informatique mathématique (par exemple, Mathematics, MathCAD, Maple V). J'en utilise Programme d'ordinateur, nous obtenons les résultats que nous inscrivons dans le tableau.

On voit que dans 200 ans un pays avec une population semblable à la Russie moderne, réduit à la population Région de Léningrad. Faisons attention au vieillissement de la population (la proportion de personnes âgées augmente). C’est une conséquence inévitable du déclin de la population. En réalité, tout est bien pire : une diminution de la population sur un même territoire rend difficile les rencontres et les mariages des jeunes, réduit la richesse du pays et, par conséquent, se détériore. service médical etc. et ainsi de suite. etc. En d’autres termes, une diminution de la population entraînerait également une diminution des chiffres du tableau A.

A titre de comparaison, fixons différemment le taux de natalité du groupe 2, au niveau de 4 enfants par famille.

Alors les mêmes calculs nous donnent :

Dans 140 ans, la Russie actuelle aurait rattrapé le milliard d'habitants de la Chine, dont la moitié serait composée de jeunes.

Naturellement, si l’on s’intéressait seulement à une prévision aussi simple, on pourrait se limiter à calcul simple par (9) et la théorie de la forme de Jordan ne serait pas nécessaire. Mais ce qui nous intéresse, c’est de pouvoir gérer le processus sans permettre la mort du pays ou une augmentation catastrophique de la population. Nous nous intéressons donc à trois questions :

· Est-il possible de stabiliser la population en choisissant le taux de natalité (il est plus facile de l'augmenter que de réduire la mortalité) ;

· quel devrait être le taux de natalité pour que la population du pays se stabilise ;

· comment sera établie la structure de la population (le rapport entre les jeunes et les personnes âgées) avec une taille de population stable (ce rapport détermine le nombre de retraités que chaque travailleur doit nourrir et, par conséquent, avec la productivité du travail, il détermine le niveau de vie ).

Expérience numérique, c'est-à-dire le calcul de tels tableaux à différentes tailles Le taux de natalité selon (9) vous permettra peut-être de sélectionner la valeur du taux de natalité. Mais nous obtiendrons le résultat avec une erreur qui nous est inconnue en raison de l'impossibilité d'effectuer des calculs indéfiniment et en raison des difficultés de compréhension du comportement des nombres. groupes séparés. En effet : valeurs x 3 (t) et x 4 (t) dans dernier tableau hésiter. Si vous modifiez un peu le paramètre de fertilité, les fluctuations changeront quelque peu.

D’après (8), la population de notre pays dans 20n ans est égale à

X(20n)=A n X(0), (12)

Où la matrice A est donnée en (7). Nous savons que

A n = S J n S -1 (13)

Où S est la matrice de transition vers une nouvelle base, composée de nombres constants, et J est la forme normale de Jordan de la matrice A.

Pour calculer J, nous avons besoin des valeurs propres de la matrice A. Nous utilisons un ordinateur pour les calculs. Maple V pour notre matrice A donne quatre valeurs propres :

je 1 = 0,7095891332

je 2 = - 0,667497875

je 4 = - 0,0320912582

Puisque le nombre de valeurs propres distinctes = 4, cela signifie que toutes les cellules de Jordan de la matrice J ont l'ordre 1, c'est-à-dire la matrice J est purement diagonale et sa nième puissance a la forme :

Ainsi, on obtient pour (12) :

X(20n) = l 1 n V + l 2 n V + l 3 n V + l 4 n V, (14)

où les lettres V désignent des vecteurs colonnes numériques (constants).

La structure de la formule (14) montre le comportement de X avec l'augmentation n. Tous les termes diminuent du fait que les valeurs propres sont inférieures à 1 en valeur absolue, c'est-à-dire X tend vers le vecteur 0. Les trois derniers termes sont décroissants plus rapide que le premier. Pour suffisamment grand n le premier terme sera le terme principal de cette somme. Le deuxième terme décroît plus vite que le premier, mais du fait de la négativité de la deuxième valeur propre, soit il s'ajoute à la première (pour même n), ou en est soustrait (pour les impairs n), c'est-à-dire crée oscillations amorties dans le comportement de X. Ces fluctuations correspondent à la réalité, car le cycle de ces fluctuations est déterminé par un intervalle arbitrairement choisi (20 ans). En divisant la population en plus grand nombre les groupes d'âge des valeurs propres négatives produiraient des oscillations de période plus courte.

S'il y a un taux de natalité élevé, alors la formule pour X(20n) a toujours la forme (14), mais elle contiendra d'autres valeurs propres plus grandes. Avec un taux de natalité élevé, la première valeur propre s'avère supérieure à un, et on observe donc croissance exponentielle population.

De ce qui a été écrit ci-dessus, nous pouvons conclure : si nous voulons stabiliser la population du pays, nous devons sélectionner le taux de natalité de manière à ce que la première valeur propre soit égale à 1, et toutes les autres valeurs propres seraient inférieures à 1 en absolu. valeur. Cela garantira que les trois derniers termes de l'équation tendent vers 0 formule (14), et alors V 1 se révélera être l'état stable souhaité de la population.

Ensuite, nous sélectionnerons le taux de natalité. Revenons à la matrice A donnée en (7). Le taux de natalité des enfants du groupe 2 (première ligne, deuxième colonne) sera remplacé par la lettre g. Comme on le sait, la valeur propre de la matrice A doit être la racine de son équation caractéristique. Puisque nous avons besoin de l = 1, nous calculons le déterminant det(A - E).

On a

dét = 0,584880 - 0,57006 g

et à partir de l'égalité det = 0 on trouve g = 1,026. Nous substituons cette valeur de taux de natalité dans la matrice A (1ère ligne, 2ème colonne) et calculons à nouveau la population du pays sur un intervalle de 200 ans en utilisant (9).

Ils ont ajusté le taux de natalité pendant 200 ans de manière à assurer la stabilité de la population du pays. Il tourne autour de 130 millions. Les fluctuations du nombre de groupes individuels sont assez importantes. La raison de ces fluctuations est que la matrice A possède désormais deux valeurs propres, modulo proche de un, et l’une d’elles est négative. Autrement dit, nous avons un résultat comme celui-ci

X(20n) = V 1 + (-1) n V 2 + l 3 n V 3 + l 4 n V 4 , (15)

Les deux derniers termes décroissent avec l'augmentation de n du fait que les valeurs absolues des troisième et quatrième valeurs propres sont inférieures à 1. Et le deuxième terme garantit que X oscille de la valeur V 1 - V 2 à la valeur V 1 + V 2 et retour.

Étant donné la valeur approximative de g, la matrice A n'a pas de valeur propre exactement égale à 1. Par conséquent, la taille des groupes change lentement dans le contexte de ces grandes fluctuations. Vous pouvez bien sûr essayer d'ajuster la fertilité pour atteindre une valeur propre encore plus précisément égale à 1, puis découvrir à quel point la deuxième valeur propre est proche de (-1). Mais, bien sûr, clarifier les valeurs propres dans ce problème n'a pas de sens, puisque Valeurs initiales et la matrice A elle-même est donnée avec une erreur importante (et la mesure exacte de la fécondité et de la mortalité, en principe, ne nous donne pas la base de calculs précis, car il est impossible de les fixer). L'affinement de ce modèle devrait suivre la voie de la prise en compte d'autres dépendances de la société. Mais d'un point de vue purement théorique, nous avons résolu la question de l'existence de la limite (14) : si l'une des valeurs propres est égale à 1, et les autres sont inférieures en valeur absolue, alors la limite existe.

Conclusion

Les matrices ont été mentionnées pour la première fois dans la Chine ancienne, alors appelé le « carré magique ». La principale application des matrices était la résolution d’équations linéaires. Aussi, les carrés magiques ont été connus un peu plus tard par les mathématiciens arabes, c'est alors qu'est apparu le principe de l'addition de matrices. Après avoir développé la théorie des déterminants à la fin du XVIIe siècle, Gabriel Cramer (1704 - 1752) commença à développer sa théorie au XVIIIe siècle et publia la règle de Cramer en 1751. À la même époque, apparaît la « méthode Gauss ». La théorie matricielle a débuté au milieu du XIXe siècle avec les travaux de William Hamilton et Arthur Cayley. Les résultats fondamentaux de la théorie des matrices appartiennent à Karl Weierstrass (1815 - 1897), Jordan, Frobenius (1849 - 1917). Le terme matrice a été inventé par James Sylvester en 1850.

Les matrices se trouvent partout. Par exemple, une table de multiplication est un produit de matrices. En physique ou autres sciences appliquées les matrices sont un moyen d'enregistrer des données et de les transformer. En programmation - en écriture de programmes. Ils sont également appelés tableaux. Largement utilisé en technologie. Par exemple, toute image à l’écran est une matrice bidimensionnelle dont les éléments sont les couleurs des points. En psychologie, la compréhension du terme est similaire à celle de ce terme en mathématiques, mais à la place objets mathématiques certain " objets psychologiques" - par exemple, des tests. De plus, les matrices sont largement utilisées en économie, en biologie, en chimie et même en marketing. Il existe également un modèle abstrait : la théorie des mariages dans société primitive, où, à l'aide de matrices, les options de mariage autorisées pour les représentants et même les descendants d'une tribu particulière ont été montrées.

En mathématiques, les matrices sont largement utilisées pour écrire de manière compacte des SLAE ou des systèmes. équations différentielles. L'appareil matriciel permet de réduire la solution des SLAE à des opérations sur des matrices.

La forme normale jordanienne de la matrice est utilisée pour calculer la population qui se trouvera dans un pays, une région ou un monde après une certaine période de temps. Une telle matrice donne une idée de l'évolution de la population en fonction de conditions précises : natalité et mortalité, sans permettre ni la mort du pays ni une augmentation catastrophique de la population.

La théorie matricielle n'est pas requise programme scolaireétudier les mathématiques. Dans les écoles qui proposent des cours de mathématiques avancés, les concepts de base de la théorie matricielle sont enseignés de manière superficielle. Les matrices sont discutées plus en détail lors de l'étude des mathématiques supérieures.

Le travail peut être recommandé aux étudiants pour approfondir leurs connaissances dans le domaine de la théorie matricielle, aux lycéens et aux professeurs de mathématiques pour se familiariser avec concepts généraux théorie matricielle dans le cadre de l’élargissement de leurs horizons mathématiques.

Les tâches fixées dans le travail ont été résolues, l'objectif a été atteint.

Liste de la littérature utilisée

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3. Mishina, A. P. Algèbre supérieure. / I. V. Proskuryakov. - M., Fizmatlit, 1962. - 300 p.

4. Romannikov, A.N. Algèbre linéaire : manuel. manuel // Moscou Université d'Étatéconomie, statistiques et informatique. - M., 2003. - 124 p.

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10. Gelfand, I.M. Des conférences sur algèbre linéaire./ EUX. Gelfand. - 5e éd., rév. - M. : Dobrosvet, Centre de Moscou pour la continuité enseignement des mathématiques, 1998. - 320 p.

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