Déterminer la valeur de vérité des déclarations. Établir la vérité d'énoncés complexes

Logique propositionnelle , également appelée logique propositionnelle, est une branche des mathématiques et de la logique qui étudie les formes logiques d'énoncés complexes construits à partir d'énoncés simples ou élémentaires utilisant des opérations logiques.

La logique propositionnelle fait abstraction du contenu des déclarations et étudie leur valeur de vérité, c'est-à-dire si la déclaration est vraie ou fausse.

L’image ci-dessus est une illustration d’un phénomène connu sous le nom de paradoxe du menteur. En même temps, de l'avis de l'auteur du projet, de tels paradoxes ne sont possibles que dans des environnements qui ne sont pas exempts de problèmes politiques, où quelqu'un peut a priori être qualifié de menteur. Dans le monde naturel à plusieurs niveaux le sujet de la « vérité » ou du « faux » seules les déclarations individuelles sont évaluées . Et plus tard dans cette leçon, vous découvrirez la possibilité d'évaluer par vous-même de nombreuses déclarations à ce sujet (puis regardez les bonnes réponses). Y compris des déclarations complexes dans lesquelles les plus simples sont interconnectées par des signes d'opérations logiques. Mais d’abord, considérons ces opérations sur les instructions elles-mêmes.

La logique propositionnelle est utilisée en informatique et en programmation sous la forme de déclaration de variables logiques et de leur attribution de valeurs logiques « fausses » ou « vraies », dont dépend le déroulement de l'exécution ultérieure du programme. Dans les petits programmes où une seule variable booléenne est impliquée, la variable booléenne reçoit souvent un nom tel que "drapeau" et la signification est "le drapeau est levé" lorsque la valeur de la variable est "vrai" et "le drapeau est baissé, lorsque". la valeur de cette variable est "faux". Dans les grands programmes, dans lesquels il existe plusieurs, voire plusieurs variables logiques, les professionnels doivent trouver des noms pour les variables logiques qui ont une forme d'énoncés et une signification sémantique qui les distingue des autres variables logiques et est compréhensible pour d'autres professionnels qui lira le texte de ce programme.

Ainsi, une variable logique portant le nom « UserRegistered » (ou son analogue en anglais) peut être déclarée sous la forme d'une instruction, à laquelle la valeur logique « true » peut être attribuée si les conditions sont remplies pour que les données d'enregistrement aient été envoyées. par l'utilisateur et ces données sont reconnues comme valides par le programme. Dans d'autres calculs, les valeurs des variables peuvent changer en fonction de la valeur logique (vrai ou faux) de la variable UserRegistered. Dans d'autres cas, une variable, par exemple, portant le nom « Plus de trois jours restants avant le jour », peut se voir attribuer la valeur « Vrai » avant un certain bloc de calculs, et lors de l'exécution ultérieure du programme, cette valeur peut être enregistré ou modifié en « faux » et la progression de l'exécution ultérieure dépend de la valeur de cette variable du programme.

Si un programme utilise plusieurs variables logiques dont les noms ont la forme d'instructions et que des instructions plus complexes sont construites à partir d'elles, il est alors beaucoup plus facile de développer le programme si, avant de le développer, nous écrivons toutes les opérations à partir des instructions sous la forme de formules utilisées dans la logique des instructions que nous le faisons pendant cette leçon, c'est ce que nous allons faire.

Opérations logiques sur les instructions

Pour les énoncés mathématiques, on peut toujours faire un choix entre deux alternatives différentes, « vrai » et « faux », mais pour les énoncés formulés en langage « verbal », les concepts de « vrai » et de « faux » sont un peu plus vagues. Cependant, par exemple, de tels formes verbales, comme « Rentre chez toi » et « Est-ce qu’il pleut ? » ne sont pas des déclarations. Il est donc clair que les déclarations sont des formes verbales dans lesquelles quelque chose est énoncé . Les phrases interrogatives ou exclamatives, les appels, ainsi que les souhaits ou exigences ne sont pas des déclarations. Ils ne peuvent pas être évalués avec les valeurs « vrai » et « faux ».

Les énoncés, au contraire, peuvent être considérés comme des quantités pouvant prendre deux sens : « vrai » et « faux ».

Par exemple, les jugements suivants sont rendus : « un chien est un animal », « Paris est la capitale de l'Italie », « 3

La première de ces affirmations peut être évaluée avec le symbole « vrai », la deuxième avec « faux », la troisième avec « vrai » et la quatrième avec « faux ». Cette interprétation des énoncés fait l'objet de l'algèbre propositionnelle. Nous désignerons les déclarations par de grosses lettres avec des lettres latines UN, B, ..., et leurs significations, c'est-à-dire respectivement vrai et faux ET Et L. Dans le discours ordinaire, des connexions entre les déclarations « et », « ou » et d'autres sont utilisées.

Ces connexions permettent, en reliant différentes déclarations entre elles, de former de nouvelles déclarations - déclarations complexes . Par exemple, le connecteur « et ». Que les déclarations soient données : " π plus de 3" et la mention " π moins de 4". Vous pouvez organiser une nouvelle déclaration complexe " π plus de 3 et π moins de 4". Déclaration "si π irrationnel alors π ² est également irrationnel" s'obtient en reliant deux énoncés avec le connecteur "si - alors". Enfin, nous pouvons obtenir de n'importe quel énoncé un nouvel énoncé - un énoncé complexe - en niant l'énoncé original.

Considérer les énoncés comme des quantités qui prennent des sens ET Et L, nous définirons plus loin opérations logiques sur les instructions , qui nous permettent d'obtenir de nouvelles déclarations complexes à partir de ces déclarations.

Soit deux déclarations arbitraires UN Et B.

1 . La première opération logique sur ces énoncés - la conjonction - représente la formation d'un nouvel énoncé, que nous noterons UN ∧ B et ce qui est vrai si et seulement si UN Et B sont vrai. Dans le discours ordinaire, cette opération correspond à la connexion des énoncés avec le connecteur « et ».

Table de vérité pour la conjonction :

2 . Deuxième opération logique sur les instructions UN Et B- disjonction exprimée par UN ∨ B, est défini comme suit : il est vrai si et seulement si au moins une des affirmations originales est vraie. Dans le discours ordinaire, cette opération correspond à relier des énoncés avec le connecteur « ou ». Cependant, nous avons ici un « ou » non divisible, qui s’entend dans le sens de « soit ou » lorsque UN Et B les deux ne peuvent pas être vrais. Dans la définition de la logique propositionnelle UN ∨ B vrai à la fois si une seule des affirmations est vraie et si les deux affirmations sont vraies UN Et B.

Table de vérité pour la disjonction :

3 . La troisième opération logique sur les instructions UN Et B, exprimé comme UN → B; l'énoncé ainsi obtenu est faux si et seulement si UN vrai, mais B FAUX. UN appelé par colis , B - conséquence , et la déclaration UN → B - suivant , également appelée implication. Dans le langage courant, cette opération correspond au connecteur « si-alors » : « si UN, Que B". Mais dans la définition de la logique propositionnelle, cette affirmation est toujours vraie, que l'affirmation soit vraie ou fausse. B. Cette circonstance peut être brièvement formulée ainsi : « du faux tout découle ». À son tour, si UN vrai, mais B est faux, alors toute la déclaration UN → B FAUX. Ce sera vrai si et seulement si UN, Et B sont vrai. En bref, cela peut être formulé ainsi : « le faux ne peut pas découler du vrai ».

Table de vérité à suivre (implication) :

4 . La quatrième opération logique sur les énoncés, plus précisément sur un énoncé, est appelée la négation d'un énoncé UN et est noté ~ UN(vous pouvez également retrouver l'utilisation non pas du symbole ~, mais du symbole ¬, ainsi qu'un surscore ci-dessus UN). ~ UN il y a une déclaration qui est fausse quand UN vrai, et vrai quand UN FAUX.

Table de vérité pour la négation :

5 . Et enfin, la cinquième opération logique sur les énoncés est appelée équivalence et est notée UN ↔ B. La déclaration résultante UN ↔ B une affirmation est vraie si et seulement si UN Et B les deux sont vrais ou les deux sont faux.

Table de vérité pour l'équivalence :

La plupart des langages de programmation ont des symboles spéciaux pour désigner la signification logique des instructions ; ils sont écrits dans presque tous les langages comme étant vrais et faux.

Résumons ce qui précède. Logique propositionnelle étudie les connexions entièrement déterminées par la manière dont certains énoncés sont construits à partir d'autres, dites élémentaires. Dans ce cas, les énoncés élémentaires sont considérés comme des touts, non décomposables en parties.

Systématisons dans le tableau ci-dessous les noms, notations et significations des opérations logiques sur les instructions (nous en aurons bientôt à nouveau besoin pour résoudre des exemples).

Vrai pour les opérations logiques lois de la logique algébrique, qui peut être utilisé pour simplifier expressions logiques. Il convient de noter qu’en logique propositionnelle, on fait abstraction du contenu sémantique d’un énoncé et on se limite à le considérer du point de vue qu’il est soit vrai, soit faux.

Exemple 1.

1) (2 = 2) ET (7 = 7) ;

2) Non(15;

3) ("Pin" = "Chêne") OU ("Cerisier" = "Érable");

4) Non("Pin" = "Chêne") ;

5) (Non(15 20) ;

6) (« Les yeux sont donnés pour voir ») Et (« Sous le troisième étage se trouve le deuxième étage »);

7) (6/2 = 3) OU (7*5 = 20) .

1) Le sens de l’énoncé entre parenthèses est « vrai », le sens de l’expression entre parenthèses est également vrai. Les deux instructions sont reliées par l'opération logique « ET » (voir les règles de cette opération ci-dessus), donc la valeur logique de l'ensemble de cette instruction est « vraie ».

2) La signification de la déclaration entre parenthèses est « fausse ». Avant cette affirmation, il y a une opération logique de négation, donc la signification logique de toute cette affirmation est « vraie ».

3) Le sens de la déclaration entre parenthèses est « faux », le sens de la déclaration entre parenthèses est également « faux ». Les instructions sont reliées par l'opération logique « OU » et aucune des instructions n'a la valeur « vrai ». Par conséquent, la signification logique de toute cette affirmation est « fausse ».

4) La signification de la déclaration entre parenthèses est « fausse ». Cet énoncé est précédé de l'opération logique de négation. Par conséquent, la signification logique de toute cette affirmation est « vraie ».

5) La déclaration entre parenthèses intérieures est annulée dans les premières parenthèses. Cette affirmation entre parenthèses a le sens « faux », donc sa négation aura le sens logique « vrai ». La déclaration entre parenthèses signifie « faux ». Ces deux déclarations sont reliées par l'opération logique « ET », c'est-à-dire que « vrai ET faux » est obtenu. Par conséquent, la signification logique de toute cette affirmation est « fausse ».

6) Le sens de la déclaration entre parenthèses est « vrai », le sens de la déclaration entre parenthèses est également « vrai ». Ces deux affirmations sont reliées par l'opération logique « ET », c'est-à-dire que « vrai ET vérité » est obtenu. Par conséquent, la signification logique de l’ensemble de la déclaration donnée est « vraie ».

7) La signification de la déclaration entre parenthèses est « vrai ». La signification de la déclaration entre parenthèses est « fausse ». Ces deux affirmations sont reliées par l'opération logique « OU », c'est-à-dire « vrai OU faux ». Par conséquent, la signification logique de l’ensemble de la déclaration donnée est « vraie ».

Exemple 2.Écrivez les instructions complexes suivantes à l'aide d'opérations logiques :

1) « L'utilisateur n'est pas enregistré » ;

2) « Aujourd'hui, c'est dimanche et certains employés sont au travail » ;

3) « L'utilisateur est enregistré si et seulement si les données soumises par l'utilisateur sont considérées comme valides. »

1) p- instruction unique « L'utilisateur est enregistré », opération logique : ;

2) p- une seule déclaration « Aujourd'hui, c'est dimanche », q- "Certains salariés sont au travail", opération logique : ;

3) p- une seule déclaration « L'utilisateur est enregistré », q- « Les données envoyées par l'utilisateur ont été jugées valides », opération logique : .

Résolvez vous-même des exemples de logique propositionnelle, puis examinez les solutions

Exemple 3. Calculez les valeurs logiques des instructions suivantes :

1) (« Il y a 70 secondes dans une minute ») OU (« Une horloge en marche indique l'heure »);

2) (28 > 7) ET (300/5 = 60) ;

3) ("LA TÉLÉ - Appareil électroménager") Et ("Verre - bois");

4) Non((300 > 100) OR ("Vous pouvez étancher votre soif avec de l'eau"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Exemple 4.Écrivez les instructions complexes suivantes à l'aide d'opérations logiques et calculez leurs valeurs logiques :

1) « Si l'horloge indique l'heure de manière incorrecte, vous risquez d'arriver en classe à la mauvaise heure » ;

2) « Dans le miroir, vous pouvez voir votre reflet et Paris, la capitale des États-Unis » ;

Exemple 5. Déterminer la valeur booléenne d'une expression

(p → q) ↔ (r → s) ,

p = "278 > 5" ,

q= "Pomme = Orange",

p = "0 = 9" ,

s= "Le chapeau couvre la tête".

Formules de logique propositionnelle

Concept forme logique l'énoncé complexe est clarifié à l'aide du concept formules de logique propositionnelle .

Dans les exemples 1 et 2, nous avons appris à écrire des instructions complexes à l'aide d'opérations logiques. En fait, on les appelle des formules logiques propositionnelles.

Pour désigner les déclarations, comme dans l'exemple mentionné, nous continuerons à utiliser les lettres

p, q, r, ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Ces lettres joueront le rôle de variables qui prennent comme valeurs les valeurs de vérité « vrai » et « faux ». Ces variables sont également appelées variables propositionnelles. Nous les appellerons en outre formules élémentaires ou atomes .

Pour construire des formules logiques propositionnelles, en plus des lettres indiquées ci-dessus, des signes d'opérations logiques sont utilisés

~, ∧, ∨, →, ↔,

ainsi que des symboles qui offrent la possibilité d'une lecture sans ambiguïté des formules - crochets gauche et droit.

Concept formules de logique propositionnelle définissons-le comme suit :

1) les formules élémentaires (atomes) sont des formules de logique propositionnelle ;

2) si UN Et B- des formules de logique propositionnelle, alors ~ UN , (UN ∧ B) , (UN ∨ B) , (UN → B) , (UN ↔ B) sont aussi des formules de logique propositionnelle ;

3) seules les expressions sont des formules logiques propositionnelles pour lesquelles cela découle de 1) et 2).

La définition d'une formule logique propositionnelle contient une liste des règles de formation de ces formules. Selon la définition, chaque formule logique propositionnelle est soit un atome, soit formée d'atomes suite à l'application cohérente de la règle 2).

Exemple 6. Laisser p- énoncé unique (atome) « Tous les nombres rationnels sont réels », q- "Certains nombres réels sont des nombres rationnels" r- "certains nombres rationnels sont réels." Traduisez les formules suivantes de logique propositionnelle sous forme d’énoncés verbaux :

6) .

1) "non nombres réels, qui sont rationnels" ;

2) "si tous les nombres rationnels ne sont pas réels, alors non nombres rationnels, qui sont valides" ;

3) « si tous les nombres rationnels sont réels, alors certains nombres réels sont des nombres rationnels et certains nombres rationnels sont réels » ;

4) « tous les nombres réels sont des nombres rationnels et certains nombres réels sont des nombres rationnels et certains nombres rationnels sont des nombres réels » ;

5) « tous les nombres rationnels sont réels si et seulement s'il n'est pas vrai que tous les nombres rationnels ne sont pas réels » ;

6) « Ce n’est pas vrai que tous les nombres rationnels ne sont pas réels et qu’il n’y a pas de nombres réels rationnels ou qu’il n’y a pas de nombres rationnels réels. »

Exemple 7. Créer une table de vérité pour la formule de logique propositionnelle , qui dans le tableau peut être désigné F .

Solution. Nous commençons à compiler une table de vérité en enregistrant les valeurs (« vrai » ou « faux ») pour des déclarations uniques (atomes) p , q Et r. Tous valeurs possibles sont écrits sur huit lignes du tableau. De plus, lors de la détermination des valeurs de l'opération d'implication et en se déplaçant vers la droite dans le tableau, on se souvient que la valeur est égale à « faux » lorsque « faux » découle de « vrai ».

Notez qu'aucun atome n'a la forme ~ UN , (UN ∧ B) , (UN ∨ B) , (UN → B) , (UN ↔ B) . Les formules complexes ont ce type.

Le nombre de parenthèses dans les formules de logique propositionnelle peut être réduit si l'on accepte que

1) dans formule complexe nous omettrons la paire extérieure de parenthèses ;

2) classons les signes des opérations logiques « par ordre de préséance » :

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Dans cette liste, le signe ↔ a la plus grande portée et le signe ~ a la plus petite portée. La portée d'un signe d'opération fait référence aux parties de la formule de logique propositionnelle auxquelles l'occurrence de ce signe en question est appliquée (sur lesquelles il agit). Ainsi, il est possible d'omettre dans n'importe quelle formule les paires de parenthèses qui peuvent être restituées, en tenant compte de « l'ordre de préséance ». Et lors de la restauration des parenthèses, on place d'abord toutes les parenthèses liées à toutes les occurrences du signe ~ (on se déplace de gauche à droite), puis à toutes les occurrences du signe ∧, et ainsi de suite.

Exemple 8. Restaurer les parenthèses dans la formule logique propositionnelle B ↔ ~ C ∨ D ∧ UN .

Solution. Les parenthèses sont restaurées étape par étape comme suit :

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ UN

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ UN)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ UN))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ UN)))

Toutes les formules de logique propositionnelle ne peuvent pas être écrites sans parenthèses. Par exemple, dans les formules UN → (B → C) et ~( UN → B), une exclusion supplémentaire des parenthèses n'est pas possible.

Tautologies et contradictions

Les tautologies logiques (ou simplement les tautologies) sont des formules de logique propositionnelle telles que si les lettres sont arbitrairement remplacées par des déclarations (vrai ou faux), le résultat sera toujours une déclaration vraie.

Puisque la vérité ou la fausseté d'énoncés complexes dépend uniquement des significations, et non du contenu des énoncés, dont chacun correspond à une lettre spécifique, alors vérifier si Cette déclaration tautologie, peut être substituée de la manière suivante. Dans l'expression étudiée, les valeurs 1 et 0 (respectivement « vrai » et « faux ») sont substituées aux lettres de toutes les manières possibles et les valeurs logiques des expressions sont calculées à l'aide d'opérations logiques. Si toutes ces valeurs sont égales à 1, alors l'expression étudiée est une tautologie, et si au moins une substitution donne 0, alors ce n'est pas une tautologie.

Ainsi, une formule logique propositionnelle qui prend la valeur « vrai » pour toute distribution des valeurs des atomes inclus dans cette formule est appelée identique à la vraie formule ou tautologie .

Le sens opposé est une contradiction logique. Si toutes les valeurs des déclarations sont égales à 0, alors l'expression est une contradiction logique.

Ainsi, une formule logique propositionnelle qui prend la valeur « faux » pour toute distribution des valeurs des atomes inclus dans cette formule est appelée formule identiquement fausse ou contradiction .

Outre les tautologies et les contradictions logiques, il existe des formules de logique propositionnelle qui ne sont ni des tautologies ni des contradictions.

Exemple 9. Construisez une table de vérité pour une formule de logique propositionnelle et déterminez s'il s'agit d'une tautologie, d'une contradiction ou ni l'un ni l'autre.

Solution. Créons une table de vérité :

Dans les significations de l'implication, nous ne trouvons pas de ligne dans laquelle « faux » découle de « vrai ». Toutes les valeurs de la déclaration originale sont égales à « vrai ». Ainsi, cette formule la logique propositionnelle est une tautologie.

Exemple 1.Établir la vérité d'une déclaration · C
Solution. Une instruction complexe comprend 3 instructions simples : A, B, C. Les colonnes du tableau sont remplies de valeurs (0, 1). Tous sont indiqués situations possibles. Les instructions simples sont séparées des instructions complexes par une double ligne verticale.
Lors de l'établissement d'un tableau, il faut veiller à ne pas confondre l'ordre des actions ; Lorsque vous remplissez les colonnes, vous devez vous déplacer « de l’intérieur vers l’extérieur », c’est-à-dire depuis formules élémentairesà des problèmes de plus en plus complexes ; la dernière colonne remplie contient les valeurs de la formule originale.

Le tableau montre que cette affirmation n'est vraie que dans le cas où A = 0, B = 1, C = 1. Dans tous les autres cas, c'est faux.

Équivalence des déclarations.

À l'aide de tables de vérité, vous pouvez établir l'équivalence de deux ou plusieurs affirmations.

Les énoncés sont dits équivalents si les valeurs correspondantes de chacun d'eux coïncident dans la table de vérité.

Exemple 2. Il est précisé que l'énoncé A+B·C est équivalent à l'énoncé (A+B)· (A+C)
Solution. La vérification est effectuée en établissant une table de vérité.

En comparant les 5ème et 8ème colonnes, on s'assure que toutes les valeurs​​obtenues par la formule A + B · C coïncident avec les valeurs ​​​​obtenues par la formule (A + B) · (A + C) , c'est à dire. les déclarations sont équivalentes (équivalentes). L'un peut remplacer l'autre.
Les déclarations équivalentes (équivalentes) sont reliées par le signe º A + B · Cº (A + B) · (A + C).
Notons la différence entre équivalence et équivalence.
L'équivalence est une opération logique qui permet, étant donné deux énoncés A et B donnés, de construire un nouveau A et B.
L'équivalence est la relation entre deux énoncés constitutifs, consistant dans le fait que leurs valeurs de vérité sont toujours les mêmes.

Tautologie.

Soit un énoncé A· et il faut construire une table de vérité.
L’énoncé A est faux, sa véracité ne dépend pas de la véracité de l’énoncé A.

Considérons l'énoncé B+.
Dans ce cas, l’énoncé B+ est toujours vrai, quelle que soit la vérité de B.

Les déclarations dont la vérité est constante et ne dépend pas de la vérité des déclarations simples qu'elles contiennent, mais est déterminée uniquement par leur structure, sont appelées identiques ou tautologies.
Il existe des déclarations identiquement vraies et identiquement fausses.
Dans les formules, chaque énoncé identiquement vrai est remplacé par 1, et chaque énoncé identiquement faux est remplacé par 0. La loi du tiers exclu.
Un º 0
B+ º1

Exemple 3. Prouver la tautologie (XÙ Y)® (XÚ Y)
Solution.

Parce que l'énoncé (XÙ Y)® (XÚ Y) est toujours vrai, alors c'est une tautologie.

Exemple 4. Prouver la tautologie ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Solution.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

Le tableau montre que l'énoncé étudié est une tautologie, car c'est vraiment constant.

Questions et devoirs.

1. Laquelle des affirmations suivantes :

a) (A+C); b) +B ; c)+C); d) A+ ;
déclaration équivalente (B+C)

2. Utilisez des tables de vérité pour déterminer lequel formules suivantes- tautologies :
UN) " ); b) ; V) ;

G) ; e) (X® Y) « (Y® X); f) (X® Y) « ;

g) (X® Y)« .

3. Établir la véracité d'une déclaration

4. Les affirmations sont-elles équivalentes :
Et ?

5. Déterminez si cette affirmation est une tautologie :
UN) ; b)

6. Pour chaque formule, proposez des phrases qu'elles formalisent :
UN) ; b) ; V) .

7. À partir de dictons simples : « Victor est un bon nageur » - A ; « Victor plonge bien » - B ; "Victor chante bien" - C, une déclaration complexe a été composée dont la formule ressemble à :
X = (A+C) · (A+B). Déterminez si l’énoncé X est équivalent à l’énoncé : « Victor est un bon nageur et Victor chante bien. »

8.
UN) ; b) ;
c) ((X1® X2)® X3)Ù (X3 « X1); d) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. Déterminez la véracité des affirmations :
UN) , , ;
b) , , ;
V) , , ;
G) , , .

Lois de la logique

Les équivalences des formules de logique propositionnelle sont souvent appelées lois de la logique.
La connaissance des lois de la logique permet de vérifier l'exactitude du raisonnement et des preuves.
Les violations de ces lois entraînent erreurs logiques et les contradictions qui en découlent.
Nous listons les plus importants d'entre eux :
1. Xº X Loi de l'identité
2. Loi de la contradiction
3. Loi du tiers exclu
4. La loi des doubles négations
5. XÙ Xº X , XÚ Xº C Lois de l'idempotence
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Lois de commutabilité (commutabilité)
7. (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - Lois de l'associativité (combinaison)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z), C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - Lois de la distributivité (distribution)
9. , Les lois de De Morgan
10. XÙ 1º C , CÚ 0 ºC
11. C Ù 0 º 0 , C Ú 1 º 1
12. C Ù (C Ú U) º C , C Ú (C Ù U) º C Lois d'absorption
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) º U , (C Ù U) Ú ( Ú U) º U Lois du collage

1ère loi formulé par l'ancien philosophe grec Aristote. La loi de l'identité stipule que la pensée contenue dans une certaine déclaration reste inchangée tout au long de l'argumentation dans laquelle cette déclaration apparaît.

Loi de la contradiction dit qu'aucune phrase ne peut être vraie en même temps que sa négation.
"Cette pomme est mûre" et "Cette pomme n'est pas mûre".

Loi du tiers exclu dit que pour chaque affirmation, il n'y a que deux possibilités : cette affirmation est vraie ou fausse. Il n'y a pas de troisième. "Aujourd'hui, j'en aurai 5 ou je n'en aurai pas." Soit une proposition est vraie, soit sa négation.

La loi de la double négation. Nier la négation d’une affirmation revient à affirmer cette affirmation.
"Ce n'est pas vrai que 2×2¹ 4"

Lois de l'idempotence. Dans l’algèbre logique, il n’y a ni exposants ni coefficients. Une conjonction de « facteurs » identiques équivaut à l’un d’eux.

Lois de commutativité et d'associativité. La conjonction et la disjonction sont similaires aux signes de multiplication et d'addition du même nom.
Contrairement à l'addition et à la multiplication des nombres, l'addition et la multiplication logiques sont égales par rapport à la distributivité : non seulement la conjonction est distributive par rapport à la disjonction, mais la disjonction est également distributive par rapport à la conjonction.

Le sens des lois de De Morgan(Augustus de Morgan (1806-1871) - mathématicien et logicien écossais) peut s'exprimer sous de brèves formulations verbales :
- la négation d'un produit logique équivaut à la somme logique des négations des facteurs.
- la négation d'une somme logique équivaut au produit logique des négations des termes.

Vous pouvez prouver les lois de la logique :
1) utiliser des tables de vérité ;
2) en utilisant des équivalences.
Démontrons les lois d'adhésion et d'absorption à l'aide d'équivalences :
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U (1 + C) º U × + U º U ( + 1) º U (Loi du collage)

2) C Ù (C Ú U) º C × C +C × U º C +C × U º C (1 + U) º C (Loi de l'absorption)

Exercice. Prouvez les lois de la logique à l’aide de tables de vérité.

Transformations identitaires

Simplification des formules.

Exemple 1. Simplifiez la formule (AÚB) · (AÚC)
Solution.
a) Ouvrir les supports (A Ú B) · (A ÚC) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
b) Selon la loi d'équivalence A · A º A, donc,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
c) Dans les énoncés A et A·C, on sort A entre parenthèses et en utilisant la propriété AÚ1º 1, on obtient AÚA·СÚ B · A Ú B · C º A ·(1 ÚС) Ú B · A Ú B · Сº A ÚB · A Ú B·C
d) Comme pour le point c), retirons l’énoncé A entre parenthèses.
AÚB A Ú B Cº A (1ÚB)ÚB Cº A Ú B C
Ainsi, nous avons prouvé la loi de la distributivité.

2. Transformations « absorption » et « collage »

Exemple 2. Simplifiez l'expression AÚ A · B

Solution. A ÚA · B º A (1 Ú B) º A - absorption

Exemple 3. Simplifiez l'expression A · B Ú A · - signes d'addition logiques ;
- des signes de multiplication logique.
Et sera utilisé :
- des signes de négation et de multiplication logique ;
- des signes de négation et d'addition logique.

Exemple 5. Transformez la formule pour qu'elle n'utilise pas de signes d'addition logiques.
Solution. Utilisons la loi de la double négation, puis la formule de De Morgan.

Exemple 6. Transformez la formule pour qu'elle n'utilise pas de signes de multiplication logiques.
Solution. En utilisant les formules de Morgan et la loi de la double négation, nous obtenons :

Ici : 1 - vrai, 0 - faux.

• 1 FOIS: triangle ABC- à angle aigu. X : Ce n’est pas vrai que le triangle ABC soit aigu. C'est la même chose que : X : triangle ABC - droit ou obtus
• 2. A : Ivanova M. a obtenu un 4 à l'examen de mathématiques : Ce n'est pas vrai qu'Ivanova M. a obtenu un 4 en mathématiques.

Définition : La disjonction des affirmations A et B est une affirmation AB qui est vraie à la condition qu'au moins une des affirmations A ou B soit vraie.

On lit "A ou B".

Table de vérité pour AB

Exemple : 1. Cette fois, l'accusé a comparu et le procès a eu lieu. - vrai

2.B triangle rectangle la somme de deux angles quelconques est supérieure ou égale au troisième angle et l'hypoténuse est inférieure à la jambe. - mensonge

Définition : Une implication des affirmations A et B est une affirmation AB qui n’est fausse que si A est vraie et B est fausse.

On lit : « Si A, alors B ».

Table de vérité

Exemple : 1. Si je réussis le test, j'irai au cinéma.

2. Si le triangle est isocèle, alors les angles à sa base sont égaux. Définition : L'équivalent des affirmations A et B est une affirmation AB qui est vraie si et seulement si A et B ont la même vérité (c'est-à-dire que les deux sont vraies ou les deux sont fausses).

On y lit : « Et si et seulement si B » ou « A est nécessaire et suffisant pour B »

Table de vérité

La deuxième tâche, résolue au moyen de l'algèbre propositionnelle, consiste à déterminer la vérité d'un énoncé particulier sur la base de la compilation de sa formule (processus de formalisation) et de la compilation d'une table de vérité.

Exemple : Si Saratov est située sur les rives de la Neva, alors les ours polaires vivent en Afrique.

R : Saratov est située sur les rives de la Neva ;

Q : Les ours polaires vivent en Afrique

Définition : Une formule qui est vraie quelles que soient les valeurs que prennent les variables propositionnelles qui y sont incluses est appelée une tautologie ou une formule identiquement vraie.

Définition : Les formules F 1 et F 2 sont dites équivalentes si leur équivalent est une tautologie.

Définition : Si les formules F 1 et F 2 sont équivalentes, alors les phrases P 1 et P 2 qui initient ces formules sont dites équivalentes en logique propositionnelle.

Les équivalences fondamentales les plus fréquentes sont appelées les lois de la logique. Citons-en quelques-uns :

• 1. X X - loi de l'identité
• 2. XL - loi de la contradiction
• 3. XI - la loi d'exclusion du tiers
• 4. X - loi de la double négation

• 5. lois de commutativité
• 6. Loi d'associativité X (Y Z) (X Y) Z

X (Y Z) (X Y) Z loi distributive

7. Les lois de De Morgan

8. lois d'articulation d'une variable et d'une constante

En utilisant les lois de la logique, vous pouvez transformer des formules.

4. Parmi les nombreuses formules équivalentes, considérons-en deux. C'est une conjonction parfaite forme normale(SCNF) et forme normale disjonctive parfaite (SDNF). Ils sont construits pour une formule donnée à partir de sa table de vérité.

Construction du SDNF :

• -- les lignes sont sélectionnées qui correspondent aux valeurs de vérité (1) de cette formule ;
• -- pour chaque ligne sélectionnée on compose une conjonction de variables ou de leurs négations pour que les ensembles de valeurs des variables présentées dans la ligne correspondent vraies valeurs conjonctions (pour cela il faut prendre des variables qui ont pris la valeur faux (0) dans cette ligne avec un signe de négation, et des variables qui ont pris la valeur vérité (1) sans négation) ;
• -- une disjonction des conjonctions résultantes est compilée.

Il résulte de l'algorithme que pour toute formule il est possible de construire un SDNF, et de surcroît unique, si la formule n'est pas identiquement fausse, c'est-à-dire n'accepter que de fausses valeurs.

La compilation du SKNF s'effectue selon l'algorithme suivant :

• -- mettez en surbrillance les lignes du tableau dans lesquelles la formule prend la valeur false (0) ;
• -- à partir des variables de chacune de ces lignes, créez une disjonction qui doit prendre les valeurs - faux (0). Pour ce faire, toutes les variables doivent y entrer avec la valeur faux, donc celles qui sont vraies (1) doivent être remplacées par leur négation ;
• -- former une conjonction à partir des disjonctions résultantes.

Évidemment, toute formule qui n’est pas une tautologie possède un SCNF.

SDNF et SCNF sont utilisés pour obtenir les conséquences de cette formule.

Exemple : Créez une table de vérité de SDNF et SCNF pour la formule : .

Table de vérité du SDNF et du SKNF

5. Considérez la forme expressive « Le fleuve se jette dans la mer Noire ». Il contient une variable et peut être représenté par « La rivière x se jette dans la mer Noire ».

Selon les valeurs de la variable X, la phrase est soit vraie, soit fausse, c'est-à-dire une cartographie d'un ensemble de rivières sur un ensemble de deux éléments est spécifiée. Notons alors cette application :

Ainsi, nous avons une fonction dont toutes les valeurs appartiennent à l'ensemble.

Définition : Une fonction dont toutes les valeurs appartiennent à un ensemble est appelée prédicat.

Les lettres désignant des prédicats sont appelées symboles de prédicats.

Les prédicats peuvent être spécifiés :

a) une formule expressive,

b) formule, c'est-à-dire précisant l'interprétation du symbole de prédicat,

c) tableau.

1) P - "se jeter dans la mer Noire".

Cette formule signifie que « la rivière A se jette dans la mer Noire ».

• 2) Le prédicat P est donné par la formule propositionnelle : « être nombre premier sur l'ensemble des 15 premiers nombres naturels."
• 3) Sous forme tabulaire, le prédicat a la forme :

Le domaine de définition des prédicats peut être n’importe quel ensemble.

Si un prédicat perd sa signification pour un ensemble de variables d'entrée, alors il est généralement admis que la valeur L correspond à cet ensemble.

Si un prédicat contient une variable, alors il est appelé un prédicat unaire, deux variables - un double prédicat, n variables - un prédicat n-aire.

Pour traduire des textes dans le langage des prédicats et déterminer leur vérité, il est nécessaire d'introduire des opérations logiques sur les prédicats et les quantificateurs.

Les opérations suivantes sont également effectuées sur les prédicats : négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence.

Définition : Un sous-ensemble de l'ensemble M sur lequel le prédicat P est donné, constitué de ceux et uniquement de ces éléments de M auxquels correspond la valeur I du prédicat P, est appelé l'ensemble de vérité du prédicat P.

L'ensemble de vérité est désigné.

Définition : La négation du prédicat P est un prédicat qui est faux pour les ensembles de valeurs variables qui transforment P en vrai, et vrai pour les ensembles de valeurs variables qui transforment P en un faux prédicat.

La négation est indiquée.

Soyez un étudiant d’ABiK.

Ne pas être étudiant à l'ABiK.

Si, alors l'ensemble, où M est l'ensemble sur lequel les prédicats P et Q sont donnés.

Définition : une conjonction de prédicats est un prédicat qui est vrai pour celles et seulement celles des valeurs des variables qui y sont incluses qui rendent les deux prédicats vrais.

Soyez un joueur de football

Être étudiant

: être joueur de football et être étudiant.

Définition : une disjonction de prédicats est un prédicat qui est faux pour les ensembles de variables qu'il contient qui rendent les deux prédicats faux

Soyez égal entier naturel

Être un nombre naturel impair

: être un nombre naturel.

Définition : L'implication de prédicat est un prédicat qui est faux pour ceux et seulement pour les ensembles de variables qu'il contient qui se transforment en un vrai prédicat et en un faux.

Indiqué par:

Être un nombre premier sur l'ensemble N

Être un nombre impair

Faux pour et vrai pour d'autres nombres naturels.

Définition : L'équivalence des prédicats est un prédicat qui devient vrai si les deux prédicats sont vrais ou si les deux sont faux.

Indiqué par:

- « gagner », c'est-à-dire x bat y

Il vaut mieux connaître l'histoire des échecs, x le sait mieux que y

signifie que x bat y aux échecs si et seulement s'il connaît mieux la théorie.

Définition : Un prédicat découle d'un prédicat si l'implication est vraie pour toutes les valeurs des variables qu'il contient.

Sont indiqués : .

Être étudiant

Aller à l'université

Il existe 2 manières de transformer un prédicat en instruction :

1) donner une variable signification spécifique

; x - étudiant

Ivanov est étudiant.

2) Attacher des quantificateurs - n'importe lequel, chaque, chaque

Il y en a, il y en a.

L'entrée où il a la propriété P signifie que chaque objet x a la propriété P. Ou d'une autre manière, « tous les x ont la propriété P ».

L'entrée signifie qu'il existe un objet x qui a la propriété P.

La logique, créée comme science par Aristote (384-322 av. J.-C.), a été utilisée au fil des siècles pour développer de nombreux domaines de la connaissance, notamment la théologie, la philosophie et les mathématiques.

C’est le fondement sur lequel repose tout l’édifice mathématique. Essentiellement, la logique est la science du raisonnement, qui permet de déterminer la vérité ou la fausseté de quelque chose. énoncé mathématique, basé sur un ensemble d’hypothèses primaires appelées axiomes. La logique est également utilisée en informatique pour construire logiciels d'ordinateur et la preuve de leur exactitude. Les concepts, méthodes et moyens de logique sous-tendent la modernité technologies de l'information. L'un des principaux objectifs de ce travail est de poser les bases de la logique mathématique, de montrer comment elle est utilisée en informatique et de développer des méthodes d'analyse et de preuve d'énoncés mathématiques.

Représentations logiques - description du système, du processus, du phénomène étudié sous la forme d'un ensemble déclarations complexes composé de déclarations simples (élémentaires) Et connecteurs logiques entre eux. Les représentations logiques et leurs composants sont caractérisés par certaines propriétés et un ensemble de transformations admissibles sur celles-ci (opérations, règles d'inférence, etc.), mettant en œuvre celles développées en langage formel (mathématique) logique méthodes correctes raisonnement - lois de la logique.

Concept d'énonciation

Déclaration est-ce une déclaration ou phrase déclarative, ce qui peut être dit vrai ou faux. En d’autres termes, une déclaration sur la vérité ou la fausseté d’une déclaration doit avoir un sens. La vérité ou la fausseté attribuée à une affirmation est appelée son valeur de vérité, ou valeur de vérité.

Par exemple, les déclarations Deux par deux font quatre Et La ville de Tcheliabinsk est située dans la partie asiatique de la Russie. vrai et déclarations Trois c'est plus que cinq Et Le fleuve Don se jette actuellement dans la mer Caspienne sont faux car ils ne correspondent pas à la réalité. Les vraies déclarations sont généralement notées T (vrai) ou ET (vrai), et faux, respectivement, F (FAUX) ou L (mensonge). En informatique, la vérité est généralement désignée par 1 (un binaire) et la fausse par 0 (zéro binaire).

Voici des exemples de phrases qui ne sont pas des déclarations :

Qui tu es?(question),

Lisez ce chapitre avant prochaine leçon (ordre ou exclamation)

Cette affirmation est fausse(déclaration intérieurement contradictoire),

L'aire du segment est inférieure à la longueur du cube(il est impossible de dire si cette phrase est vraie ou fausse, car elle n'a aucun sens).

Nous désignerons les déclarations par des lettres alphabet latin R., q, r, Par exemple, R. peut signifier une déclaration Il va pleuvoir demain, UN q- déclaration Le carré d'un entier est un nombre positif.

Connecteurs logiques

Dans le discours quotidien pour l'éducation phrase complexe parmi les plus simples, des connecteurs sont utilisés - des parties spéciales du discours qui relient offres individuelles. Les connecteurs les plus couramment utilisés Et, ou, Pas, Si ... Que, si seulement, Et alors et alors seulement. Contrairement au discours ordinaire, en logique, la signification de tels connecteurs doit être déterminée sans ambiguïté. La vérité d’un énoncé complexe est uniquement déterminée par la vérité ou la fausseté de ses éléments constitutifs. Une instruction qui ne contient pas de connecteurs est appelée simple. Une instruction contenant des connecteurs est appelée complexe. Connecteurs logiques aussi appelé opérations logiques sur les déclarations.

Laisser R. Et q défendre les déclarations

r : Jane conduit une voiture,

Q : Bob a les cheveux bruns.

Déclaration complexe

Jane conduit une voiture et Bob a les cheveux bruns se compose de deux parties reliées par une liaison Et. Cette déclaration peut être symboliquement écrite comme

où le symbole représente le mot Et dans le langage des expressions symboliques. L'expression est appelée une conjonction de propositions R. Et q.

On trouve également les variantes suivantes d'écriture de la conjonction :

Exactement la même déclaration

Jane conduit une voiture ou Bob a les cheveux bruns.

symboliquement exprimé comme

où est le mot ou traduit en langage symbolique. L'expression est appelée une disjonction propositionnelle R. Et q.

Réfutation ou refus d'une déclaration p désigné par

Ainsi, si R. il y a une déclaration Jane conduit une voiture, alors c'est une déclaration Jane ne conduit pas de voiture.

Si r il y a une déclaration Joe aime l'informatique, Que Jane ne conduit pas et Bob a les cheveux bruns ou Joe aime l'informatique sera symboliquement écrit comme

.

A l’inverse, l’expression

il s'agit d'une forme symbolique d'enregistrement d'une déclaration Jane conduit une voiture, Bob n'a pas les cheveux bruns et Joe aime l'informatique..

Considérons l'expression. Si quelqu'un dit : " Jane conduit une voiture et Bob a les cheveux bruns.", alors on imagine naturellement Jane conduisant une voiture et Bob le blond. Dans toute autre situation (par exemple, si Bob n'a pas les cheveux bruns ou si Jane ne conduit pas de voiture), nous dirons que l'orateur a tort.

Il y a quatre cas possibles que nous devons considérer. Déclaration R. probablement vrai ( T) ou fausse ( F) et quelle que soit la valeur de vérité que cela prend R., déclaration q peut aussi être vrai ( T) ou fausse ( F). Table de vérité liste tout combinaisons possibles la vérité et la fausseté d'énoncés complexes.

Ainsi, une conjonction est vraie si et seulement si les deux affirmations sont vraies p Et q, c'est-à-dire dans le cas 1.

De la même manière, considérons l'énoncé Jane conduit une voiture ou Bob a les cheveux bruns, qui est symboliquement exprimé par . Si quelqu'un dit : « Jane conduit une voiture ou Bob a les cheveux bruns », alors il aura tort seulement si Jane ne peut pas conduire de voiture et que Bob n'a pas les cheveux bruns. Pour que l’énoncé dans son ensemble soit vrai, il suffit que l’un de ses deux éléments soit vrai. Il a donc une table de vérité

La disjonction n'est fausse que dans le cas 4, lorsque les deux R. Et q FAUX.

La table de vérité pour la négation ressemble à

La valeur de vérité est toujours l'opposée de la valeur de vérité p. Dans les tables de vérité, la négation est toujours évaluée en premier, à moins que le signe de négation ne soit suivi d'une instruction entre parenthèses. Donc interprété comme , donc la négation ne s'applique qu'à R.. Si nous voulons nier l’intégralité de la déclaration, alors elle s’écrit .

Les personnages s'appellent binaire connecteurs car ils relient deux déclarations. Le symbole ~ est unaire conjonctif car il s’applique à un seul énoncé.

Un autre connecteur binaire est le ou exclusif, qui est noté . La déclaration est vraie quand elle est vraie p ou q, mais pas les deux en même temps. Ce connecteur a une table de vérité

Utiliser le mot ou, on peut dire exclusif ou. Par exemple, quand on dit que R.- soit vrai, soit faux, alors, naturellement, nous supposons que ce n'est pas vrai en même temps. En logique exclusif ou Il est utilisé assez rarement et, à l'avenir, nous nous en passerons généralement.

Considérez la déclaration

,

où les parenthèses sont utilisées pour montrer quelles déclarations sont des composants de chaque connecteur.

La table de vérité permet d'indiquer sans ambiguïté les situations où l'énoncé est vrai; ce faisant, nous devons nous assurer que tous les cas sont pris en compte. Puisqu'une instruction complexe contient trois instructions principales R., q Et r, alors huit cas sont possibles

Événement	p	q	r
	T	T	T	F	F	T
	T	T	F	F	F	T
	T	F	T	T	T	T
	T	F	F	T	F	T
	F	T	T	F	F	F
	F	T	F	F	F	F
	F	F	T	T	T	T
	F	F	F	T	F	F

Lors de la recherche des valeurs de vérité pour une colonne, nous utilisons les colonnes pour et r, ainsi que la table de vérité pour . La table de vérité montre qu'une affirmation est vraie seulement si les deux affirmations et r. Cela ne se produit que dans les cas 3 et 7.

Notez que lors de la détermination des valeurs de vérité pour une colonne seule la véracité des déclarations compte p Et . La table de vérité pour montre que le seul cas où une déclaration formée à l'aide du connecteur ou, faux, est le cas lorsque les deux côtés de la déclaration sont faux. Cette situation ne se produit que dans les cas 5, 6 et 8.

Un autre, manière équivalente construire une table de vérité consiste à noter les valeurs de vérité de l'expression sous le connecteur. Reprenons l'expression . Nous écrivons d'abord les valeurs de vérité sous les variables R., q Et r. Ceux situés sous les colonnes de valeurs de vérité indiquent que ces colonnes reçoivent en premier des valeurs de vérité. DANS cas général le numéro sous la colonne indiquera le numéro d'étape auquel les valeurs de vérité correspondantes sont calculées. On note ensuite les valeurs de vérité de l'énoncé sous le symbole ~. Ensuite, nous écrivons les valeurs de vérité sous le symbole. Enfin, nous écrivons le sens de la déclaration sous le symbole.

1.1.3. Expressions conditionnelles

Supposons que quelqu’un prétende que si un événement se produit, un autre se produira. Supposons qu'un père dise à son fils : " Si vous réussissez tous vos examens ce semestre avec d’excellentes notes, je vous achèterai une voiture.". Notez que la déclaration a la forme : si p alors q, Où R.- déclaration Ce semestre, vous réussirez tous les examens avec d'excellentes notes., UN q- déclaration je t'achèterai une voiture. Nous désignons symboliquement une déclaration complexe par . La question est : dans quelles conditions le père dit-il la vérité ? Supposons que les déclarations R. Et q sont vrai. Dans ce cas, l'heureux étudiant obtient d'excellentes notes dans toutes les matières et son père, agréablement surpris, lui achète une voiture. Naturellement, personne ne doute de la véracité de la déclaration du père. Il y a cependant trois autres cas à considérer. Disons que l'élève a vraiment réussi excellents résultats, mais son père ne lui a pas acheté de voiture.

La chose la plus gentille que l’on puisse dire à propos du père dans cette affaire est qu’il a menti. Par conséquent, si R. vrai, mais q faux, puis faux. Supposons maintenant que l'élève n'ait pas obtenu de notes positives, mais que son père lui ait néanmoins acheté une voiture. Dans ce cas, le père semble très généreux, mais on ne peut pas le qualifier de menteur. Par conséquent, si R. faux et q vrai, alors la déclaration si p alors q(c'est-à-dire) est vrai. Supposons enfin que l’étudiant n’ait pas obtenu d’excellents résultats et que son père ne lui ait pas acheté de voiture.

Puisque l’étudiant n’a pas rempli sa part du contrat, le père est également libre de toute obligation. Ainsi, si R. Et q sont faux, alors considérés comme vrais. Ainsi, la seule fois où le père a menti, c'est lorsqu'il a fait une promesse et ne l'a pas tenue.

Ainsi, la table de vérité de l’énoncé a la forme

Le symbole s'appelle implication, ou connecteur conditionnel.

Cela peut sembler causal, mais ce n’est pas nécessaire. Pour voir implicitement l’absence de cause à effet, revenons à l’exemple dans lequel R. il y a une déclaration Jane conduit la voiture, UN q- déclaration Bob a les cheveux bruns. Puis la déclaration Si Jane conduit une voiture, alors Bob a les cheveux bruns s'écrira comme

Si p, Que q ou comment .

Le fait que Jane conduise la voiture n'a rien à voir avec le fait que Bob a les cheveux bruns. Cependant, il faut se rappeler que la vérité ou la fausseté d'un énoncé complexe binaire dépend uniquement de la vérité de ses éléments constitutifs et ne dépend pas de la présence ou de l'absence de tout lien entre eux.

Considérons exemple suivant. Vous devez trouver la table de vérité pour l'expression

.

En utilisant la table de vérité pour , donnée ci-dessus, construisons d'abord des tables de vérité pour et , en tenant compte du fait que l'implication n'est fausse que dans le cas où .

Maintenant, nous utilisons le tableau pour obtenir l'instruction

table de vérité

Une instruction de la forme est désignée par . Le symbole s'appelle équivalent. L'équivalence est aussi parfois désignée par (à ne pas confondre avec l'opérateur de négation unaire).

Parmi les valeurs de vérité possibles d'une variable linguistique Vérité deux sens s'attirent Attention particulière, à savoir l'ensemble vide et l'intervalle unitaire, qui correspondent au plus petit et les plus grands éléments(par rapport à l'inclusion) d'un réseau de sous-ensembles flous de l'intervalle. L'importance de ces valeurs de vérité particulières est due au fait qu'elles peuvent être interprétées comme des valeurs de vérité. indéfini Et inconnu respectivement. Pour plus de commodité, nous désignerons ces valeurs de vérité par les symboles et , sachant que et sont déterminés par les expressions

Valeurs inconnu Et indéfini, interprétés comme degrés d’appartenance, sont également utilisés dans la représentation ensembles flous type 1. Dans ce cas, il existe trois possibilités pour exprimer le degré d'appartenance d'un point à : 1) un nombre de l'intervalle ; 2) ( indéfini); 3) (inconnu).

Regardons un exemple simple. Laisser

Prenons un sous-ensemble flou d'un ensemble de la forme

Dans ce cas, le degré d’appartenance d’un élément à l’ensemble est inconnu, et le degré d'adhésion est indéfini. Dans un cas plus général, cela peut être

où cela signifie que le degré d'appartenance d'un élément à un ensemble est partiellement inconnu, et le membre est interprété comme suit :

. (6.56)

Il est important de bien comprendre la différence entre et. Quand on dit que le degré d’appartenance d’un point à un ensemble est , on entend que la fonction d’appartenance non défini au point . Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de l'ensemble des nombres réels et d'une fonction définie sur l'ensemble des nombres entiers, et , si - pair et , si - impair. Alors le degré d'appartenance d'un nombre à l'ensemble est , et non 0. Par contre, s'il était défini sur l'ensemble des nombres réels et si et seulement si - nombre pair, alors le degré d’appartenance du nombre à l’ensemble serait égal à 0.

Puisque nous pouvons calculer les valeurs de vérité des déclarations Et, ou Et Pasétant donné les valeurs de vérité linguistique des déclarations et , il est facile de calculer les valeurs de , , , quand . Supposons, par exemple, que

, (6.57)

. (6.58)

En appliquant le principe de généralisation comme dans (6.25), on obtient

, (6.59)

Après simplification, (6.59) se réduit à l’expression

. (6.61)

En d’autres termes, la valeur de vérité d’une déclaration Et, Où , est un sous-ensemble flou de l'intervalle, dont le degré d'appartenance est égal au point (la fonction d'appartenance) sur l'intervalle.

Riz. 6.4. Conjonction et disjonction des valeurs de vérité d'un énoncé avec la valeur de vérité inconnue ().

De même, nous constatons que la valeur de vérité de l’énoncé ou exprimé comme

. (6.62)

Il est à noter que les expressions (6.61) et (6.62) peuvent être facilement obtenues en utilisant la procédure graphique décrite ci-dessus (voir (6.38) et suiv.). Un exemple illustrant ceci est présenté sur la Fig. 6.4.

En ce qui concerne le cas, nous trouvons

(6.63)

et de même pour .

Il est instructif d'observer ce qui arrive aux relations ci-dessus lorsque nous les appliquons à un cas particulier de logique à deux valeurs, c'est-à-dire au cas où l'ensemble universel a la forme

ou sous une forme plus familière

où signifie vrai, UN - FAUX. Puisqu'il y en a, nous pouvons identifier la valeur de vérité inconnu avec du sens vrai ou FAUX, c'est à dire.

La logique résultante a quatre valeurs de vérité, , , et , et est une généralisation de la logique à deux valeurs au sens de la remarque 6.5.

Étant donné que l'ensemble universel des valeurs de vérité n'est constitué que de deux éléments, il est conseillé de construire des tables de vérité pour les opérations, et dans cette logique à quatre valeurs directement, c'est-à-dire sans utiliser formules générales(6.25), (6.29) et (6.31). Ainsi, en appliquant le principe de généralisation à l’opération, on obtient immédiatement

d'où il s'ensuit nécessairement que

Sur ce chemin, nous arrivons à définition habituelle connecteurs ⟹ en logique à deux valeurs sous la forme de la table de vérité suivante :

Comme le montre l’exemple discuté ci-dessus, le concept de valeur de vérité inconnu en combinaison avec le principe de généralisation, il aide à comprendre certains des concepts et relations des logiques ordinaires à deux et trois valeurs. Ces logiques, bien entendu, peuvent être considérées comme des cas dégénérés de logique floue, dans lesquels la valeur de vérité inconnu est l'intervalle unitaire entier, pas l'ensemble 0 + 1.