Trouver la dérivée de la fonction x 2 3. Dérivée de la somme et de la différence

L’opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation.

À la suite de la résolution des problèmes de recherche de dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau de dérivées est apparu et exactement Certaines règles différenciation. Les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés furent Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, vous n'avez pas besoin de calculer la limite mentionnée ci-dessus du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il vous suffit d'utiliser le tableau de dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.

Pour trouver la dérivée, il vous faut une expression sous le signe premier décomposer des fonctions simples en composants et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. Ensuite, on retrouve les dérivées des fonctions élémentaires dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, de la somme et du quotient - dans les règles de différenciation. La table des dérivées et les règles de différenciation sont données après les deux premiers exemples.

Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. À partir des règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de fonctions, c'est-à-dire

À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée de « X » est égale à un et que la dérivée du sinus est égale au cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :

Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. On différencie comme dérivée d'une somme dont le deuxième terme a un facteur constant il peut être soustrait du signe de la dérivée :

Si des questions se posent encore quant à l'origine de quelque chose, elles sont généralement résolues après s'être familiarisé avec le tableau des dérivées et les règles de différenciation les plus simples. Nous passons à eux en ce moment.

Tableau des dérivées de fonctions simples

1. Dérivée d'une constante (nombre). N'importe quel nombre (1, 2, 5, 200...) présent dans l'expression de fonction. Toujours égal à zéro. Il est très important de s’en souvenir, car cela est très souvent nécessaire.
2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent « X ». Toujours égal à un. Il est également important de s'en souvenir longtemps
3. Dérivé du degré. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir des racines non carrées en puissances.
4. Dérivée d'une variable à la puissance -1
5. Dérivé racine carrée
6. Dérivée du sinus
7. Dérivée du cosinus
8. Dérivée de la tangente
9. Dérivée de cotangente
10. Dérivée de l'arc sinus
11. Dérivée de l'arccosinus
12. Dérivée de l'arctangente
13. Dérivée de l'arc cotangent
14. Dérivée du logarithme népérien
15. Dérivée d'une fonction logarithmique
16. Dérivée de l'exposant
17. Dérivée d'une fonction exponentielle

Règles de différenciation

1. Dérivée d'une somme ou d'une différence
2. Dérivé du produit
2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant
3. Dérivée du quotient
4. Dérivée d'une fonction complexe

Règle 1.Si les fonctions

sont différentiables à un moment donné, alors les fonctions sont différentiables au même point

ceux. la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à somme algébrique dérivées de ces fonctions.

Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par un terme constant, alors leurs dérivées sont égales, c'est à dire.

Règle 2.Si les fonctions

sont différentiables à un moment donné, alors leur produit est différentiable au même point

ceux. La dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et de la dérivée de l'autre.

Corollaire 1. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée:

Corollaire 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chaque facteur et de tous les autres.

Par exemple, pour trois multiplicateurs :

Règle 3.Si les fonctions

différenciable à un moment donné Et , alors à ce stade leur quotient est également dérivableu/v, et

ceux. la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et le numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur.

Où chercher des choses sur d'autres pages

Lors de la recherche de la dérivée d'un produit et du quotient dans de vrais problèmes Il faut toujours appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, donc plus d'exemples pour ces dérivés - dans l'article"Dérivée du produit et quotient des fonctions".

Commentaire. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme dans une somme et comme un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas facteur constant il est retiré du signe dérivé. Ce erreur typique, qui se produit le stade initialétudient les dérivées, mais comme ils résolvent plusieurs exemples en une ou deux parties, l'étudiant moyen ne commet plus cette erreur.

Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous disposez d'un terme toi"v, dans lequel toi- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (ce cas est abordé dans l'exemple 10).

Autre erreur commune - solution mécanique dérivée d'une fonction complexe comme dérivée d'une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe un article séparé est consacré. Mais nous allons d'abord apprendre à trouver des dérivées fonctions simples.

En chemin, on ne peut pas se passer de transformer les expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir le manuel dans une nouvelle fenêtre. Des actions avec des pouvoirs et des racines Et Opérations avec des fractions .

Si vous cherchez des solutions aux dérivées de fractions avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis suivez la leçon « Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines ».

Si vous avez une tâche comme , alors vous suivrez la leçon « Dérivées de fonctions trigonométriques simples ».

Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée

Exemple 3. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous définissons les parties de l'expression de fonction : l'expression entière représente un produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre :

Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme le deuxième terme a un signe moins. Dans chaque somme, nous voyons à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, « X » devient un et moins 5 devient zéro. Dans la deuxième expression, « x » est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de « x ». On a valeurs suivantes dérivés:

Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :

Exemple 4. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous devons trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différenciation du quotient : la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l’ancien numérateur. On a:

Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel, est pris avec un signe moins :

Si vous cherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de puissances, comme, par exemple, , alors bienvenue en classe "Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines" .

Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors une leçon pour toi "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .

Exemple 5. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, nous voyons un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous avons pris connaissance de la dérivée dans le tableau des dérivées. Selon la règle de différenciation du produit et valeur du tableau dérivée de la racine carrée on obtient :

Exemple 6. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction on voit un quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. En utilisant la règle de différenciation des quotients, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, nous obtenons.

Définition. Laissez la fonction $y = f(x)$ être définie dans un certain intervalle contenant le point $x_0$ à l'intérieur. Donnons à l'argument un incrément $\Delta x $ tel qu'il ne quitte pas cet intervalle. Trouvons l'incrément correspondant de la fonction $\Delta y $ (lors du passage du point $x_0 $ au point $x_0 + \Delta x $) et composons la relation $\frac(\Delta y)(\Delta x) $. S'il existe une limite à ce rapport à $\Delta x \rightarrow 0$, alors la limite spécifiée est appelée dérivée d'une fonction$y=f(x) $ au point $x_0 $ et notons $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Le symbole y est souvent utilisé pour désigner la dérivée. Notez que y" = f(x) est une nouvelle fonction, mais naturellement liée à la fonction y = f(x), définie en tous les points x auxquels la limite ci-dessus existe. Cette fonction s'appelle ainsi : dérivée de la fonction y = f(x).

Signification géométrique de la dérivée est comme suit. S'il est possible de tracer une tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point d'abscisse x=a, qui n'est pas parallèle à l'axe y, alors f(a) exprime la pente de la tangente :
$k = f"(a)$

Puisque $k = tg(a) $, alors l'égalité $f"(a) = tan(a) $ est vraie.

Interprétons maintenant la définition de la dérivée du point de vue des égalités approximatives. Soit la fonction $y = f(x)$ avoir une dérivée dans point précis$X$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Cela signifie que près du point x l'égalité approximative $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, c'est-à-dire $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Deltax$. La signification significative de l'égalité approximative résultante est la suivante : l'incrément de la fonction est « presque proportionnel » à l'incrément de l'argument, et le coefficient de proportionnalité est la valeur de la dérivée dans point donné X. Par exemple, pour la fonction $y = x^2$ l'égalité approximative $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ est valide. Si nous analysons attentivement la définition d'une dérivée, nous constaterons qu'elle contient un algorithme pour la trouver.

Formulons-le.

Comment trouver la dérivée de la fonction y = f(x) ?

1. Corrigez la valeur de $x$, recherchez $f(x)$
2. Donnez à l'argument $x$ un incrément $\Delta x$, allez à nouveau point$x+ \Delta x $, trouver $f(x+ \Delta x) $
3. Trouvez l'incrément de la fonction : $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Créez la relation $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Calculez $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Cette limite est la dérivée de la fonction au point x.

Si une fonction y = f(x) a une dérivée en un point x, alors elle est dite différentiable en un point x. La procédure pour trouver la dérivée de la fonction y = f(x) s'appelle différenciation fonctions y = f(x).

Discutons de la question suivante : comment la continuité et la différentiabilité d'une fonction en un point sont-elles liées l'une à l'autre ?

Soit la fonction y = f(x) être dérivable au point x. Ensuite, une tangente peut être tracée au graphique de la fonction au point M(x; f(x)), et, rappelons-le, le coefficient angulaire de la tangente est égal à f "(x). Un tel graphique ne peut pas « casser » au point M, c'est-à-dire que la fonction doit être continue au point x.

Il s’agissait d’arguments « pratiques ». Donnons un raisonnement plus rigoureux. Si la fonction y = f(x) est dérivable au point x, alors l'égalité approximative $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$ est vraie. Si dans cette égalité $\Delta x $ tend vers zéro, alors $\Delta y $ tendra vers zéro, et c'est la condition de continuité de la fonction en un point.

Donc, si une fonction est différentiable en un point x, alors elle est continue en ce point.

L’affirmation inverse n’est pas vraie. Par exemple : fonction y = |x| est continue partout, notamment au point x = 0, mais la tangente au graphe de la fonction au « point de jonction » (0 ; 0) n'existe pas. Si, à un moment donné, une tangente ne peut pas être tracée au graphique d’une fonction, alors la dérivée n’existe pas à ce point.

Encore un exemple. La fonction $y=\sqrt(x)$ est continue sur toute la droite numérique, y compris au point x = 0. Et la tangente au graphique de la fonction existe en tout point, y compris au point x = 0. . Mais à ce stade, la tangente coïncide avec l’axe y, c’est-à-dire qu’elle est perpendiculaire à l’axe des abscisses, son équation a la forme x = 0. Coefficient de pente une telle ligne n'en a pas, ce qui signifie que $f"(0) $ n'existe pas non plus

Ainsi, nous avons fait connaissance avec une nouvelle propriété d'une fonction : la différentiabilité. Comment peut-on conclure du graphe d’une fonction qu’elle est dérivable ?

La réponse est effectivement donnée ci-dessus. Si, à un moment donné, il est possible de tracer une tangente au graphique d'une fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade, la fonction est dérivable. Si à un moment donné la tangente au graphique d'une fonction n'existe pas ou si elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade la fonction n'est pas dérivable.

Règles de différenciation

L'opération de recherche de la dérivée s'appelle différenciation. Lors de l'exécution de cette opération, vous devez souvent travailler avec des quotients, des sommes, des produits de fonctions, ainsi que des « fonctions de fonctions », c'est-à-dire des fonctions complexes. Sur la base de la définition de la dérivée, nous pouvons dériver des règles de différenciation qui facilitent ce travail. Si C- nombre constant et f=f(x), g=g(x) sont des fonctions différentiables, alors ce qui suit est vrai règles de différenciation:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg") (g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg") (g^2) $$ Dérivée d'une fonction complexe :
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tableau des dérivées de certaines fonctions

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Si vous suivez la définition, alors la dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction Δ ouià l'incrément d'argument Δ X:

Tout semble clair. Mais essayez d'utiliser cette formule pour calculer, disons, la dérivée de la fonction F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X péché X. Si vous faites tout par définition, après quelques pages de calculs, vous vous endormirez simplement. Il existe donc des moyens plus simples et plus efficaces.

Pour commencer, notons que parmi toute la variété des fonctions, on peut distinguer les fonctions dites élémentaires. C'est relatif expressions simples, dont les dérivés sont calculés depuis longtemps et répertoriés dans le tableau. De telles fonctions sont assez faciles à mémoriser – ainsi que leurs dérivées.

Dérivées de fonctions élémentaires

Les fonctions élémentaires sont toutes celles listées ci-dessous. Les dérivées de ces fonctions doivent être connues par cœur. De plus, il n'est pas du tout difficile de les mémoriser - c'est pourquoi ils sont élémentaires.

Ainsi, dérivées de fonctions élémentaires :

Nom	Fonction	Dérivé
Constante	F(X) = C, C ∈ R.	0 (oui, zéro !)
Puissance avec exposant rationnel	F(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	F(X) = péché X	parce que X
Cosinus	F(X) = cos X	−péché X(moins sinus)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/péché 2 X
Un algorithme naturel	F(X) = journal X	1/X
Logarithme arbitraire	F(X) = journal un X	1/(X dans un)
Fonction exponentielle	F(X) = e X	e X(Rien n'a changé)

Si une fonction élémentaire est multipliée par une constante arbitraire, alors la dérivée de la nouvelle fonction est également facilement calculée :

(C · F)’ = C · F ’.

En général, les constantes peuvent être soustraites du signe de la dérivée. Par exemple:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Bien évidemment, les fonctions élémentaires peuvent s’ajouter les unes aux autres, se multiplier, se diviser – et bien plus encore. C'est ainsi qu'apparaîtront de nouvelles fonctions, non plus particulièrement élémentaires, mais aussi différenciées selon certaines règles. Ces règles sont discutées ci-dessous.

Dérivée de la somme et de la différence

Soit les fonctions données F(X) Et g(X), dont les dérivés nous sont connus. Par exemple, vous pouvez prendre les fonctions élémentaires évoquées ci-dessus. Ensuite, vous pouvez trouver la dérivée de la somme et de la différence de ces fonctions :

(F + g)’ = F ’ + g ’
(F − g)’ = F ’ − g ’

Ainsi, la dérivée de la somme (différence) de deux fonctions est égale à la somme (différence) des dérivées. Il peut y avoir plus de termes. Par exemple, ( F + g + h)’ = F ’ + g ’ + h ’.

À proprement parler, il n’existe pas de concept de « soustraction » en algèbre. Il existe une notion d'« élément négatif ». Donc la différence F − g peut être réécrit comme une somme F+ (−1) g, et il ne reste alors qu'une seule formule - la dérivée de la somme.

F(X) = X 2 + péché x ; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fonction F(X) est la somme de deux fonctions élémentaires, donc :

F ’(X) = (X 2 + péché X)’ = (X 2)’ + (péché X)’ = 2X+ cosx ;

On raisonne de la même manière pour la fonction g(X). Seulement il y a déjà trois termes (du point de vue de l'algèbre) :

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Répondre:
F ’(X) = 2X+ cosx ;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Dérivé du produit

Les mathématiques sont une science logique, c'est pourquoi beaucoup de gens croient que si la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées, alors la dérivée du produit grève">égal au produit de dérivés. Mais allez vous faire foutre ! La dérivée d'un produit se calcule selon une toute autre formule. A savoir :

(F · g) ’ = F ’ · g + F · g ’

La formule est simple, mais elle est souvent oubliée. Et pas seulement les écoliers, mais aussi les étudiants. Le résultat est des problèmes mal résolus.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = X 3 cosx ; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fonction F(X) est le produit de deux fonctions élémentaires, donc tout est simple :

F ’(X) = (X 3 parce que X)’ = (X 3)' parce que X + X 3 (car X)’ = 3X 2 parce que X + X 3 (−péché X) = X 2 (3cos X − X péché X)

Fonction g(X) le premier facteur est un peu plus compliqué, mais régime général cela ne change pas. Évidemment, le premier facteur de la fonction g(X) est un polynôme et sa dérivée est la dérivée de la somme. Nous avons:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Répondre:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X péché X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Veuillez noter qu'à la dernière étape, la dérivée est factorisée. Formellement, cela n'est pas nécessaire, mais la plupart des dérivées ne sont pas calculées seules, mais pour examiner la fonction. Cela signifie qu'en outre la dérivée sera assimilée à zéro, ses signes seront déterminés, et ainsi de suite. Dans un tel cas, il est préférable de factoriser une expression.

S'il y a deux fonctions F(X) Et g(X), et g(X) ≠ 0 sur l’ensemble qui nous intéresse, on peut définir nouvelle fonctionnalité h(X) = F(X)/g(X). Pour une telle fonction vous pouvez également trouver la dérivée :

Pas faible, non ? D'où vient le moins ? Pourquoi g 2 ? Et comme ça ! C'est l'un des plus formules complexes- Tu ne peux pas le comprendre sans bouteille. Il est donc préférable de l'étudier sur exemples spécifiques.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions :

Le numérateur et le dénominateur de chaque fraction contiennent des fonctions élémentaires, il suffit donc de connaître la formule de la dérivée du quotient :

Selon la tradition, factorisons le numérateur - cela simplifiera grandement la réponse :

Une fonction complexe n’est pas nécessairement une formule d’un demi-kilomètre. Par exemple, il suffit de prendre la fonction F(X) = péché X et remplacez la variable X, disons, sur X 2 + ln X. Cela va fonctionner F(X) = péché ( X 2 + ln X) - C'est ça fonction complexe. Il a également un dérivé, mais il ne sera pas possible de le trouver en utilisant les règles évoquées ci-dessus.

Que dois-je faire? Dans de tels cas, remplacer une variable et une formule par la dérivée d'une fonction complexe permet de :

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X est remplacé par t(X).

En règle générale, la situation concernant la compréhension de cette formule est encore plus triste qu'avec la dérivée du quotient. Par conséquent, il est également préférable de l'expliquer avec des exemples précis, avec Description détaillée chaque étape.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = e 2X + 3 ; g(X) = péché ( X 2 + ln X)

Notez que si dans la fonction F(X) au lieu de l'expression 2 X+ 3 sera facile X, alors ça ira fonction élémentaire F(X) = e X. Par conséquent, nous effectuons un remplacement : soit 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = e t. On recherche la dérivée d'une fonction complexe à l'aide de la formule :

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Et maintenant, attention ! Nous effectuons le remplacement inverse : t = 2X+ 3. On obtient :

F ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Voyons maintenant la fonction g(X). Il faut évidemment le remplacer X 2 + ln X = t. Nous avons:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (péché t)’ · t' = cos t · t ’

Remplacement inversé : t = X 2 + ln X. Alors:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

C'est tout! Comme le montre la dernière expression, tout le problème a été réduit au calcul de la somme dérivée.

Répondre:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) parce que ( X 2 + ln X).

Très souvent dans mes cours, au lieu du terme « dérivé », j'utilise le mot « premier ». Par exemple, une prime du montant égal à la somme coups. Est-ce plus clair ? Bon, c'est bien.

Ainsi, calculer la dérivée revient à s'affranchir de ces mêmes coups selon les règles évoquées ci-dessus. Comme dernier exemple Revenons à la puissance dérivée avec un exposant rationnel :

(X n)’ = n · X n − 1

Peu de gens savent que dans le rôle n pourrait bien agir un nombre fractionnaire. Par exemple, la racine est X 0,5. Et s’il y avait quelque chose d’extraordinaire sous la racine ? Encore une fois, le résultat sera une fonction complexe - ils aiment donner de telles constructions à essais et les examens.