Pour qu’un seul plan passe par trois points quelconques de l’espace, il est nécessaire que ces points ne se trouvent pas sur la même ligne droite.

Considérons les points M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) en général Système cartésien coordonnées

Pour qu'un point arbitraire M(x, y, z) se trouve dans le même plan que les points M 1, M 2, M 3, il faut que les vecteurs soient coplanaires.

(
) = 0

Ainsi,

Équation d'un plan passant par trois points :

Équation d'un plan étant donné deux points et un vecteur colinéaire au plan.

Soit les points M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1),M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) et le vecteur
.

Créons une équation pour un plan passant par ces points M 1 et M 2 et point arbitraire M(x, y, z) parallèle au vecteur .

Vecteurs
et vecteur
doit être coplanaire, c'est-à-dire

(
) = 0

Équation plane :

Équation d'un plan utilisant un point et deux vecteurs,

colinéaire au plan.

Soit deux vecteurs
Et
, plans colinéaires. Alors pour un point arbitraire M(x, y, z) appartenant au plan, les vecteurs
doit être coplanaire.

Équation plane :

Équation d'un plan par point et vecteur normal .

Théorème. Si un point M est donné dans l'espace 0 (X 0 , oui 0 , z 0 ), puis l'équation du plan passant par le point M 0 perpendiculaire au vecteur normal (UN, B, C) a la forme :

UN(x – x 0 ) + B(oui – oui 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Preuve. Pour un point arbitraire M(x, y, z) appartenant au plan, on compose un vecteur. Parce que vecteur est le vecteur normal, alors il est perpendiculaire au plan, et donc perpendiculaire au vecteur
. Alors le produit scalaire

= 0

Ainsi, on obtient l'équation du plan

Le théorème a été prouvé.

Équation d'un plan en segments.

Si dans l'équation générale Ax + By + Cz + D = 0 on divise les deux côtés par (-D)

,

remplacer
, on obtient l'équation du plan en segments :

Les nombres a, b, c sont respectivement les points d'intersection du plan avec les axes x, y et z.

Équation d'un plan sous forme vectorielle.

Où

- rayon vecteur du point courant M(x, y, z),

Un vecteur unitaire ayant la direction d'une perpendiculaire tombée sur un plan à partir de l'origine.

,  et  sont les angles formés par ce vecteur avec les axes x, y, z.

p est la longueur de cette perpendiculaire.

En coordonnées, cette équation ressemble à :

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distance d'un point à un plan.

La distance d'un point arbitraire M 0 (x 0, y 0, z 0) au plan Ax+By+Cz+D=0 est :

Exemple. Trouvez l'équation du plan, sachant que le point P(4; -3; 12) est la base de la perpendiculaire tombée de l'origine à ce plan.

Donc A = 4/13 ; B = -3/13 ; C = 12/13, on utilise la formule :

UNE(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'un plan passant par deux points P(2; 0; -1) et

Q(1; -1; 3) perpendiculaire au plan 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vecteur normal au plan 3x + 2y – z + 5 = 0
parallèle au plan souhaité.

On obtient :

Exemple. Trouver l'équation du plan passant par les points A(2, -1, 4) et

B(3, 2, -1) perpendiculaire au plan X + à + 2z – 3 = 0.

L'équation recherchée du plan a la forme : A x+B oui+C z+ D = 0, vecteur normal à ce plan (A, B, C). Vecteur
(1, 3, -5) appartient au plan. Le plan qui nous est donné, perpendiculaire à celui souhaité, a un vecteur normal (1, 1, 2). Parce que les points A et B appartiennent aux deux plans, et les plans sont perpendiculaires entre eux, alors

Donc le vecteur normal (11, -7, -2). Parce que le point A appartient au plan souhaité, alors ses coordonnées doivent satisfaire l'équation de ce plan, c'est-à-dire 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Au total, on obtient l'équation du plan : 11 x - 7oui – 2z – 21 = 0.

Exemple. Trouvez l'équation du plan, sachant que le point P(4, -3, 12) est la base de la perpendiculaire tombée de l'origine à ce plan.

Trouver les coordonnées du vecteur normal
= (4, -3, 12). L'équation recherchée du plan a la forme : 4 x – 3oui + 12z+ D = 0. Pour trouver le coefficient D, on substitue les coordonnées du point P dans l'équation :

16 + 9 + 144 + D = 0

Au total, on obtient l'équation recherchée : 4 x – 3oui + 12z – 169 = 0

Exemple. Les coordonnées des sommets de la pyramide sont données : A 1 (1 ; 0 ; 3), A 2 (2 ; -1 ; 3), A 3 (2 ; 1 ; 1),

Trouvez la longueur du bord A 1 A 2.

Trouvez l'angle entre les arêtes A 1 A 2 et A 1 A 4.

Trouvez l'angle entre le bord A 1 A 4 et la face A 1 A 2 A 3.

Nous trouvons d’abord le vecteur normal à la face A 1 A 2 A 3 comme produit vectoriel de vecteurs
Et
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Trouvons l'angle entre le vecteur normal et le vecteur
.

-4 – 4 = -8.

L'angle souhaité  entre le vecteur et le plan sera égal à  = 90 0 - .

Trouvez l'aire de la face A 1 A 2 A 3.

Trouvez le volume de la pyramide.

Trouvez l'équation du plan A 1 A 2 A 3.

Utilisons la formule de l'équation d'un plan passant par trois points.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0 ;

Lors de l'utilisation de la version informatique " Cours supérieur de mathématiques" Vous pouvez exécuter un programme qui résoudra l'exemple ci-dessus pour n'importe quelle coordonnée des sommets de la pyramide.

Pour démarrer le programme, double-cliquez sur l'icône :

Dans la fenêtre du programme qui s'ouvre, entrez les coordonnées des sommets de la pyramide et appuyez sur Entrée. De cette façon, tous les points de décision peuvent être obtenus un par un.

Remarque : Pour exécuter le programme, le programme Maple ( Waterloo Maple Inc.) de n'importe quelle version, à partir de MapleV Release 4, doit être installé sur votre ordinateur.

Dans cette leçon, nous verrons comment utiliser le déterminant pour créer équation plane. Si vous ne savez pas ce qu'est un déterminant, passez à la première partie de la leçon - « Matrices et déterminants ». Sinon, vous risquez de ne rien comprendre au matériel d’aujourd’hui.

Équation d'un plan utilisant trois points

Pourquoi avons-nous besoin d’une équation plane ? C'est simple : le connaissant, on peut facilement calculer des angles, des distances et autres conneries dans le problème C2. En général, on ne peut pas se passer de cette équation. Nous formulons donc le problème :

Tâche. Trois points sont donnés dans l'espace qui ne se trouvent pas sur la même ligne. Leurs coordonnées :

M = (x 1, y 1, z 1) ;
N = (x 2, y 2, z 2) ;
K = (x 3, y 3, z 3) ;

Vous devez créer une équation pour le plan passant par ces trois points. De plus, l’équation devrait ressembler à :

Hache + Par + Cz + D = 0

où les nombres A, B, C et D sont les coefficients qu'il faut en fait trouver.

Eh bien, comment obtenir l'équation d'un plan si seules les coordonnées des points sont connues ? Le moyen le plus simple consiste à remplacer les coordonnées dans l’équation Ax + By + Cz + D = 0. Vous obtenez un système de trois équations qui peuvent être facilement résolues.

De nombreux étudiants trouvent cette solution extrêmement fastidieuse et peu fiable. L'examen d'État unifié de mathématiques de l'année dernière a montré que la probabilité de commettre une erreur de calcul est très élevée.

C’est pourquoi les enseignants les plus avancés ont commencé à rechercher des solutions plus simples et plus élégantes. Et ils l'ont trouvé ! Certes, l'accueil reçu fait plutôt référence à mathématiques supérieures. Personnellement, j'ai dû fouiller dans tout Liste fédérale manuels pour nous assurer que nous avons le droit d’utiliser cette technique sans aucune justification ni preuve.

Équation d'un plan par un déterminant

Assez parlé de paroles, passons aux choses sérieuses. Pour commencer, un théorème sur la relation entre le déterminant d’une matrice et l’équation du plan.

Théorème. Soit donnée les coordonnées de trois points par lesquels le plan doit être tracé : M = (x 1, y 1, z 1) ; N = (x 2, y 2, z 2) ; K = (x 3, y 3, z 3). Alors l’équation de ce plan peut s’écrire par le déterminant :

A titre d'exemple, essayons de trouver une paire d'avions qui apparaissent réellement dans les problèmes C2. Regardez à quelle vitesse tout est calculé :

UNE 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1) ;

Nous composons un déterminant et l'assimilons à zéro :

On développe le déterminant :

une = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y ;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x ;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1 ;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0 ;

Comme vous pouvez le voir, lors du calcul du nombre d, j'ai un peu « passé au peigne fin » l'équation pour que les variables x, y et z entrent dans séquence correcte. C'est ça! L'équation plane est prête !

Tâche. Écrivez une équation pour un plan passant par les points :

UNE = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1) ;
ré 1 = (0, 1, 1);

Remplacez immédiatement les coordonnées des points dans le déterminant :

Nous développons à nouveau le déterminant :

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z ;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y ;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y ;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0 ;

Ainsi, l’équation du plan est à nouveau obtenue ! Encore une fois, à la dernière étape, nous avons dû changer les signes pour obtenir une formule plus « belle ». Il n'est pas du tout nécessaire de le faire dans cette solution, mais c'est toujours recommandé - pour simplifier la solution ultérieure du problème.

Comme vous pouvez le constater, composer l’équation d’un plan est désormais beaucoup plus simple. Nous substituons les points dans la matrice, calculons le déterminant - et c'est tout, l'équation est prête.

Cela pourrait mettre fin à la leçon. Cependant, de nombreux étudiants oublient constamment ce qu’il y a à l’intérieur du déterminant. Par exemple, quelle ligne contient x 2 ou x 3 et quelle ligne contient uniquement x. Pour vraiment clarifier cela, regardons d'où vient chaque chiffre.

D'où vient la formule avec le déterminant ?

Voyons donc d’où vient une équation aussi dure avec un déterminant. Cela vous aidera à vous en souvenir et à l’appliquer avec succès.

Tous les plans qui apparaissent dans le problème C2 sont définis par trois points. Ces points sont toujours marqués sur le dessin, voire indiqués directement dans le texte du problème. Dans tous les cas, pour créer une équation, nous devrons noter leurs coordonnées :

M = (x 1, y 1, z 1) ;
N = (x 2, y 2, z 2) ;
K = (x 3, y 3, z 3).

Considérons un autre point de notre plan avec des coordonnées arbitraires :

T = (x, y, z)

Prenez n'importe quel point des trois premiers (par exemple, le point M) et tracez-en des vecteurs vers chacun des trois points restants. On obtient trois vecteurs :

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Composons maintenant à partir de ces vecteurs matrice carrée et assimilons son déterminant à zéro. Les coordonnées des vecteurs deviendront des lignes de la matrice - et nous obtiendrons le déterminant même qui est indiqué dans le théorème :

Cette formule signifie que le volume d'un parallélépipède construit sur les vecteurs MN, MK et MT, égal à zéro. Les trois vecteurs se situent donc dans le même plan. En particulier, un point arbitraire T = (x, y, z) est exactement ce que nous recherchions.

Remplacement des points et des lignes d'un déterminant

Il y a plusieurs qualificatifs propriétés remarquables, ce qui simplifie encore solution au problème C2. Par exemple, peu importe à partir de quel point nous tirons les vecteurs. Par conséquent, les déterminants suivants donnent la même équation plane que celle ci-dessus :

Vous pouvez également échanger les lignes du déterminant. L’équation restera inchangée. Par exemple, beaucoup de gens aiment écrire une ligne avec les coordonnées du point T = (x ; y ; z) tout en haut. S'il vous plaît, si cela vous convient :

Certaines personnes sont déconcertées par le fait que l'une des lignes contient des variables x, y et z, qui ne disparaissent pas lors de la substitution de points. Mais ils ne devraient pas disparaître ! En substituant les nombres dans le déterminant, vous devriez obtenir cette construction :

Ensuite, le déterminant est développé selon le schéma donné au début de la leçon, et on obtient équation standard avion:

Hache + Par + Cz + D = 0

Jetez un œil à un exemple. C'est le dernier de la leçon d'aujourd'hui. J'échangerai délibérément les lignes pour m'assurer que la réponse donnera la même équation du plan.

Tâche. Écrivez une équation pour un plan passant par les points :

B 1 = (1, 0, 1) ;
C = (1, 1, 0) ;
ré 1 = (0, 1, 1).

Ainsi, nous considérons 4 points :

B 1 = (1, 0, 1) ;
C = (1, 1, 0) ;
ré 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Tout d'abord, créons un déterminant standard et assimilons-le à zéro :

On développe le déterminant :

une = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y ;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z ;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2 ;
d = 0 ⇒ X + y + z − 2 = 0 ;

Ça y est, nous avons la réponse : x + y + z − 2 = 0.

Réorganisons maintenant quelques lignes du déterminant et voyons ce qui se passe. Par exemple, écrivons une ligne avec les variables x, y, z non pas en bas, mais en haut :

Nous développons à nouveau le déterminant résultant :

une = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z ;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = une − b = 2 − x − z − y ;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0 ;

Nous avons exactement la même équation plane : x + y + z − 2 = 0. Cela signifie que cela ne dépend vraiment pas de l’ordre des lignes. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse.

Nous sommes donc convaincus que l’équation du plan ne dépend pas de la suite des droites. On peut effectuer des calculs similaires et prouver que l'équation du plan ne dépend pas du point dont on soustrait les coordonnées des autres points.

Dans le problème considéré ci-dessus, nous avons utilisé le point B 1 = (1, 0, 1), mais il était tout à fait possible de prendre C = (1, 1, 0) ou D 1 = (0, 1, 1). En général, tout point dont les coordonnées sont connues et se trouvant sur le plan souhaité.

Supposons que nous devions trouver l’équation d’un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur la même droite. En désignant leurs rayons vecteurs par et le rayon vecteur actuel par , nous pouvons facilement obtenir l'équation requise dans forme vectorielle. En fait, les vecteurs doivent être coplanaires (ils se trouvent tous dans le plan souhaité). Ainsi, produit vectoriel scalaire de ces vecteurs doit être égal à zéro :

C'est l'équation d'un plan passant par trois points donnés, sous forme vectorielle.

En passant aux coordonnées, on obtient l'équation en coordonnées :

Si trois points donnés se trouvent sur la même ligne, alors les vecteurs seraient colinéaires. Par conséquent, les éléments correspondants des deux dernières lignes du déterminant dans l’équation (18) serait proportionnel et le déterminant serait identiquement égal à zéro. Par conséquent, l'équation (18) deviendrait identique pour toutes les valeurs de x, y et z. Géométriquement, cela signifie que chaque point de l'espace passe par un plan dans lequel se trouvent les trois points donnés.

Remarque 1. Le même problème peut être résolu sans utiliser de vecteurs.

En désignant respectivement les coordonnées des trois points donnés, nous écrivons l'équation de tout plan passant par le premier point :

Pour obtenir l'équation du plan recherché, il faut exiger que l'équation (17) soit satisfaite par les coordonnées de deux autres points :

A partir des équations (19), il faut déterminer le rapport de deux coefficients au troisième et saisir les valeurs trouvées dans l'équation (17).

Exemple 1. Écrivez une équation pour un plan passant par les points.

L'équation du plan passant par le premier de ces points sera :

Les conditions pour que l'avion (17) passe par deux autres points et le premier point sont :

En ajoutant la deuxième équation à la première, on trouve :

En substituant dans la deuxième équation, on obtient :

En substituant dans l'équation (17) au lieu de A, B, C, respectivement, 1, 5, -4 (nombres qui leur sont proportionnels), on obtient :

Exemple 2. Écrivez une équation pour un plan passant par les points (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

L'équation de tout plan passant par le point (0, 0, 0) sera]

Les conditions de passage de cet avion par les points (1, 1, 1) et (2, 2, 2) sont :

En réduisant la deuxième équation par 2, on voit que pour déterminer deux inconnues, il existe une équation avec

De là, nous obtenons . En substituant maintenant sa valeur dans l'équation du plan, nous trouvons :

C'est l'équation du plan recherché ; cela dépend de l'arbitraire

quantités B, C (à savoir, de la relation c'est-à-dire qu'il existe un nombre infini de plans passant par trois points donnés (trois points donnés se trouvent sur la même ligne droite).

Remarque 2. Le problème de tracer un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur la même ligne est facilement résolu dans vue générale, si nous utilisons des déterminants. En effet, puisque dans les équations (17) et (19) les coefficients A, B, C ne peuvent être simultanément égaux à zéro, alors, en considérant ces équations comme système homogèneà trois inconnues A, B, C, écrivez le nécessaire et état suffisant existence d'une solution à ce système autre que zéro (Partie 1, Chapitre VI, § 6) :

Après avoir développé ce déterminant dans les éléments de la première rangée, on obtient une équation du premier degré par rapport aux coordonnées actuelles, qui sera satisfaite notamment par les coordonnées des trois points donnés.

Vous pouvez également vérifier cette dernière directement en substituant les coordonnées de l'un de ces points à la place de . Sur le côté gauche, nous obtenons un déterminant dans lequel soit les éléments de la première ligne sont des zéros, soit il y a deux lignes identiques. Ainsi, l'équation construite représente un plan passant par les trois points donnés.

Équation d'un avion. Comment écrire une équation d'un plan ?
Position mutuelle avions. Tâches

La géométrie spatiale n’est pas beaucoup plus compliquée que la géométrie « plate », et nos vols dans l’espace commencent par cet article. Pour maîtriser le sujet, vous devez avoir une bonne compréhension de vecteurs, de plus, il est conseillé de se familiariser avec la géométrie de l'avion - il y aura de nombreuses similitudes, de nombreuses analogies, donc les informations seront bien mieux digérées. Dans une série de mes cours, le monde 2D s'ouvre sur un article Équation d'une droite sur un plan. Mais maintenant, Batman a quitté l'écran plat du téléviseur et s'envole depuis le cosmodrome de Baïkonour.

Commençons par les dessins et les symboles. Schématiquement, le plan peut être dessiné sous la forme d'un parallélogramme, ce qui crée une impression d'espace :

Le plan est infini, mais nous avons la possibilité d’en représenter seulement une partie. En pratique, en plus du parallélogramme, on dessine également un ovale voire un nuage. Je m'en fiche raisons techniques il est plus pratique de représenter l'avion exactement de cette manière et exactement dans cette position. De vrais avions que nous considérerons dans exemples pratiques, peut être positionné de n'importe quelle manière - prenez mentalement le dessin dans vos mains et faites-le pivoter dans l'espace, en donnant au plan n'importe quelle inclinaison, n'importe quel angle.

Désignations: les avions sont généralement désignés par de petites lettres grecques, apparemment pour ne pas les confondre avec ligne droite dans un avion ou avec ligne droite dans l'espace. J'ai l'habitude d'utiliser la lettre . Sur le dessin, c'est la lettre « sigma », et pas du tout un trou. Bien que l’avion troué soit certainement assez drôle.

Dans certains cas, il est pratique d'utiliser les mêmes symboles pour désigner les avions. lettres grecques avec des indices, par exemple .

Il est évident que le plan est défini de manière unique par trois points différents qui ne se trouvent pas sur la même ligne. Par conséquent, les désignations d'avions à trois lettres sont très populaires - par les points qui leur appartiennent, par exemple, etc. Souvent, les lettres sont entourées parenthèses: , pour ne pas confondre le plan avec une autre figure géométrique.

Pour les lecteurs expérimentés, je donnerai menu d'accès rapide:

• Comment créer une équation d’un plan à l’aide d’un point et de deux vecteurs ?
• Comment créer une équation d'un plan à l'aide d'un point et d'un vecteur normal ?

et nous ne languirons pas longues attentes:

Équation générale du plan

L'équation générale du plan a la forme , où les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps.

Un certain nombre de calculs théoriques et problèmes pratiques valable aussi bien pour la base orthonormée habituelle que pour base affine espace (si l'huile est de l'huile, retournez à la leçon Dépendance linéaire (non) des vecteurs. Base des vecteurs). Pour plus de simplicité, nous supposerons que tous les événements se produisent sur une base orthonormée et dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes.

Pratiquons maintenant un peu notre imagination spatiale. Ce n'est pas grave si le vôtre est mauvais, maintenant nous allons le développer un peu. Même jouer sur les nerfs nécessite de l’entraînement.

Dans le très cas général, lorsque les nombres ne sont pas nuls, le plan coupe les trois axes de coordonnées. Par exemple, comme ceci :

Je répète encore une fois que l'avion continue indéfiniment dans toutes les directions, et que nous avons la possibilité d'en représenter seulement une partie.

Considérons les équations de plans les plus simples :

Comment comprendre cette équation ? Pensez-y : « Z » est TOUJOURS égal à zéro, pour toutes les valeurs de « X » et « Y ». Cette équation est "native" plan de coordonnées. En effet, formellement l’équation peut être réécrite comme suit : , d'où vous pouvez clairement voir que nous ne nous soucions pas des valeurs que prennent "x" et "y", il est important que "z" soit égal à zéro.

De même:
– équation du plan de coordonnées ;
– équation du plan de coordonnées.

Compliquons un peu le problème, considérons un avion (ici et plus loin dans le paragraphe nous supposons que cotes numériques ne sont pas égaux à zéro). Réécrivons l'équation sous la forme : . Comment le comprendre ? « X » est TOUJOURS, pour toutes valeurs de « y » et « z », égal à un certain nombre. Ce plan est parallèle au plan de coordonnées. Par exemple, un plan est parallèle à un plan et passe par un point.

De même:
– équation d'un plan parallèle au plan de coordonnées ;
– équation d’un plan parallèle au plan de coordonnées.

Ajoutons des membres : . L'équation peut être réécrite comme suit : , c'est-à-dire que « zet » peut être n'importe quoi. Qu'est-ce que ça veut dire? "X" et "Y" sont reliés par la relation qui trace une certaine ligne droite dans le plan (vous découvrirez équation d'une droite dans un plan?). Puisque « z » peut être n'importe lequel, cette ligne droite est « répliquée » à n'importe quelle hauteur. Ainsi, l'équation définit un plan parallèle à l'axe de coordonnées

De même:
– équation d'un plan parallèle à l'axe des coordonnées ;
– équation d’un plan parallèle à l’axe des coordonnées.

Si membres gratuits zéro, alors les avions passeront directement par les axes correspondants. Par exemple, la classique « proportionnalité directe » : . Tracez une ligne droite dans le plan et multipliez-la mentalement de haut en bas (puisque « Z » est quelconque). Conclusion : avion, donné par l'équation, passe par l'axe des coordonnées.

Nous terminons la revue : l'équation du plan passe par l'origine. Eh bien, ici, il est tout à fait évident que ce point satisfait à cette équation.

Et enfin, le cas représenté sur le dessin : - l'avion est ami avec tout le monde axes de coordonnées, alors qu'il « coupe » toujours le triangle, qui peut être situé dans l'un des huit octants.

Inégalités linéaires dans l'espace

Pour comprendre les informations dont vous avez besoin pour bien étudier inégalités linéaires dans le plan, car beaucoup de choses seront similaires. Le paragraphe sera un bref aperçu avec plusieurs exemples, car le matériel est assez rare dans la pratique.

Si l'équation définit un plan, alors les inégalités
demander demi-espaces. Si l'inégalité n'est pas stricte (les deux dernières de la liste), alors la solution de l'inégalité, en plus du demi-espace, inclut également le plan lui-même.

Exemple 5

Trouver le vecteur normal unitaire du plan .

Solution: Un vecteur unitaire est un vecteur dont la longueur est un. Notons vecteur donnéà travers . Il est absolument clair que les vecteurs sont colinéaires :

Tout d’abord, nous supprimons le vecteur normal de l’équation du plan : .

Comment trouver vecteur unitaire? Pour trouver le vecteur unitaire, il vous faut chaque diviser la coordonnée du vecteur par la longueur du vecteur.

Réécrivons le vecteur normal sous la forme et trouvons sa longueur :

D'après ce qui précède :

Répondre:

Vérification : ce qui devait être vérifié.

Les lecteurs qui ont étudié attentivement le dernier paragraphe de la leçon ont probablement remarqué que les coordonnées du vecteur unitaire sont exactement les cosinus directeurs du vecteur:

Faisons une pause avec le problème actuel : quand on vous donne un vecteur arbitraire non nul, et selon la condition il faut trouver ses cosinus directeurs (voir. dernières tâches leçon Produit scalaire des vecteurs), alors vous trouvez en fait un vecteur unitaire colinéaire à celui-ci. En fait, deux tâches dans une seule bouteille.

La nécessité de trouver le vecteur normal unitaire se pose dans certains problèmes d’analyse mathématique.

Nous avons compris comment pêcher un vecteur normal, répondons maintenant à la question inverse :

Comment créer une équation d'un plan à l'aide d'un point et d'un vecteur normal ?

Cette construction rigide d'un vecteur normal et d'un point est bien connue du jeu de fléchettes. Veuillez tendre votre main vers l'avant et sélectionner mentalement un point arbitraire dans l'espace, par exemple un petit chat dans le buffet. Évidemment, à travers ce point vous pouvez dessiner un seul plan perpendiculaire à votre main.

L'équation d'un plan passant par un point perpendiculaire au vecteur s'exprime par la formule :

Dans ce document, nous verrons comment trouver l'équation d'un plan si nous connaissons les coordonnées de trois points différents qui ne se trouvent pas sur la même droite. Pour ce faire, nous devons nous rappeler ce que c'est système rectangulaire coordonnées dans espace tridimensionnel. Pour commencer, nous présenterons le principe de base équation donnée et vous montrer exactement comment l'utiliser pour résoudre des problèmes spécifiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tout d’abord, nous devons nous rappeler un axiome, qui ressemble à ceci :

Définition 1

Si trois points ne coïncident pas les uns avec les autres et ne se trouvent pas sur la même ligne, alors dans l'espace tridimensionnel, un seul plan les traverse.

Autrement dit, si nous avons trois différents points, dont les coordonnées ne coïncident pas et qui ne peuvent être reliées par une ligne droite, on peut alors déterminer le plan qui le traverse.

Disons que nous avons un système de coordonnées rectangulaires. Notons-le O x y z. Il contient trois points M de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), qui ne peuvent être connectés ligne droite. Sur la base de ces conditions, nous pouvons écrire l’équation du plan dont nous avons besoin. Il existe deux approches pour résoudre ce problème.

1. La première approche utilise équation générale avion. Sous forme de lettre, il s'écrit A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Avec son aide, vous pouvez définir dans un système de coordonnées rectangulaires un certain plan alpha qui passe par le premier point donné M 1 (x 1, y 1, z 1). Il s'avère que le vecteur normal du plan α aura les coordonnées A, B, C.

Définition de N

Connaissant les coordonnées du vecteur normal et les coordonnées du point par lequel passe le plan, on peut écrire l'équation générale de ce plan.

C'est de cela que nous procéderons à l'avenir.

Ainsi, selon les conditions du problème, on dispose des coordonnées du point recherché (même trois) par lequel passe l'avion. Pour trouver l’équation, vous devez calculer les coordonnées de son vecteur normal. Notons-le n → .

Rappelons la règle : tout vecteur non nul d'un plan donné est perpendiculaire au vecteur normal de ce même plan. On a alors que n → sera perpendiculaire aux vecteurs composés des points d'origine M 1 M 2 → et M 1 M 3 → . Alors nous pouvons désigner n → comme un produit vectoriel de la forme M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Puisque M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) et M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (des preuves de ces égalités sont données dans l'article consacré au calcul des coordonnées d'un vecteur à partir des coordonnées de points), alors il s'avère que :

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Si nous calculons le déterminant, nous obtiendrons les coordonnées du vecteur normal n → dont nous avons besoin. Nous pouvons maintenant écrire l’équation dont nous avons besoin pour un plan passant par trois points donnés.

2. La deuxième approche pour trouver l'équation passant par M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), est basé sur un concept tel que la coplanarité des vecteurs.

Si nous avons un ensemble de points M (x, y, z), alors dans un système de coordonnées rectangulaires, ils définissent un plan pour des points donnés M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) uniquement dans le cas où les vecteurs M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) et M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) seront coplanaires .

Dans le schéma, cela ressemblera à ceci :

Cela signifiera que travail mixte les vecteurs M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → seront égaux à zéro : M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0, puisque c'est la condition principale de la coplanarité : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) et M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Écrivons l'équation résultante sous forme de coordonnées :

Après avoir calculé le déterminant, nous pouvons obtenir l'équation plane dont nous avons besoin pour trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (X 3 , oui 3 , z 3) .

A partir de l'équation résultante on peut passer à l'équation du plan en segments ou à équation normale avion, si les conditions du problème l'exigent.

Dans le paragraphe suivant, nous donnerons des exemples de la manière dont les approches que nous avons indiquées sont mises en œuvre dans la pratique.

Exemples de problèmes pour composer une équation d'un plan passant par 3 points

Auparavant, nous avons identifié deux approches pouvant être utilisées pour trouver l’équation souhaitée. Voyons comment ils sont utilisés pour résoudre des problèmes et quand choisir chacun d'entre eux.

Exemple 1

Il y a trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne, de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Écrivez une équation pour le plan qui les traverse.

Solution

Nous utilisons alternativement les deux méthodes.

1. Trouvez les coordonnées des deux vecteurs dont nous avons besoin M 1 M 2 →, M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Calculons maintenant leur produit vectoriel. Nous ne décrirons pas les calculs du déterminant :

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 je → + 30 j → + 2 k →

Nous avons un vecteur normal du plan qui passe par les trois points requis : n → = (- 5, 30, 2) . Ensuite, nous devons prendre l'un des points, par exemple M 1 (- 3, 2, - 1), et écrire l'équation du plan de vecteur n → = (- 5, 30, 2). On obtient que : - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

C’est l’équation dont nous avons besoin pour un plan qui passe par trois points.

2. Adoptons une approche différente. Écrivons l'équation d'un plan à trois points M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) dans le formulaire suivant :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Ici, vous pouvez remplacer les données de l'énoncé du problème. Puisque x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, en conséquence nous obtenons :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Nous avons obtenu l’équation dont nous avions besoin.

Répondre:- 5 x + 30 ans + 2 z - 73 .

Mais que se passe-t-il si les points donnés se trouvent toujours sur la même ligne et que nous devons créer une équation plane pour eux ? Ici, il faut dire d'emblée que cette condition ne sera pas tout à fait correcte. Un nombre infini d’avions peuvent passer par de tels points, il est donc impossible de calculer une seule réponse. Considérons un tel problème pour prouver l'inexactitude d'une telle formulation de la question.

Exemple 2

Nous avons un système de coordonnées rectangulaires dans un espace tridimensionnel, dans lequel trois points sont placés avec les coordonnées M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1) . Il faut créer une équation du plan qui le traverse.

Solution

Utilisons la première méthode et commençons par calculer les coordonnées de deux vecteurs M 1 M 2 → et M 1 M 3 →. Calculons leurs coordonnées : M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Oeuvre vectorielle sera égal à :

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = je → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 je ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Puisque M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, alors nos vecteurs seront colinéaires (relisez l'article à leur sujet si vous avez oublié la définition de ce concept). Ainsi, les points initiaux M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) sont sur la même ligne, et notre problème a une infinité de réponse aux options.

Si nous utilisons la deuxième méthode, nous obtiendrons :

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

De l'égalité résultante, il résulte également que les points donnés M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) sont sur la même ligne.

Si vous voulez trouver au moins une réponse à ce problème à partir de nombre infini ses options, vous devez effectuer les étapes suivantes :

1. Notez l'équation de la droite M 1 M 2, M 1 M 3 ou M 2 M 3 (si nécessaire, regardez le matériel sur cette action).

2. Prenez un point M 4 (x 4, y 4, z 4), qui ne se trouve pas sur la droite M 1 M 2.

3. Écrivez l'équation d'un plan qui passe par trois points différents M 1, M 2 et M 4 qui ne se trouvent pas sur la même droite.

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