Égal à zéro :
.Système orthogonal s'il est complet, il peut servir de base à l'espace. Dans ce cas, la décomposition de n'importe quel élément peut être calculée à l'aide des formules : , où .
Le cas où la norme de tous les éléments est appelée un système orthonormé.
Orthogonalisation
Tout système complet linéairement indépendant dans un espace de dimension finie est une base. D’une base simple on peut donc passer à une base orthonormée.
Décomposition orthogonale
Lors de la décomposition des vecteurs d'un espace vectoriel selon une base orthonormée, le calcul est simplifié produit scalaire: , où et .
voir également
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Voyez ce qu'est « Système orthogonal » dans d'autres dictionnaires :
1) Ah... Encyclopédie mathématique
- (grec orthogonios rectangulaire) un système fini ou dénombrable de fonctions appartenant à l'espace de Hilbert (séparable) L2(a,b) (fonctions quadratiquement intégrables) et satisfaisant les conditions F tion g(x) appelées. pesant O. s. f.,* signifie... ... Encyclopédie physique
Système de fonctions ??n(x)?, n=1, 2,..., spécifié sur le segment TRANSFORMATION ORTHOGONAL transformation linéaire Euclidien espace vectoriel, en gardant inchangées les longueurs ou (de manière équivalente) les produits scalaires des vecteurs... Grand dictionnaire encyclopédique
Système de fonctions (φn(x)), n = 1, 2, ..., spécifié sur l'intervalle [a, b] et satisfaisant condition suivante orthogonalité : pour k≠l, où ρ(x) est une fonction appelée poids. Par exemple, le système trigonométrique est 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Dictionnaire encyclopédique
Un système de fonctions ((фn(х)), n=1, 2, ..., défini sur l'intervalle [a, b] et satisfaisant la trace, la condition d'orthogonalité pour k n'est pas égale à l, où p(x ) est une certaine fonction, appelée poids. Par exemple, système trigonométrique 1, sin x, sin 2x,... O.s.f. Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique
Un système de fonctions ((φn (x)), n = 1, 2,..., orthogonales de poids ρ (x) sur l'intervalle [a, b], c'est-à-dire tel que Exemples. Système trigonométrique 1, cos nx, péché nx ; n = 1, 2,..., O.s. F. de poids 1 sur le segment [π, π]. Bessel.... Grande Encyclopédie Soviétique
Les coordonnées orthogonales sont celles dans lesquelles le tenseur métrique a une forme diagonale. où d Dans les systèmes de coordonnées orthogonales q = (q1, q², …, qd), les surfaces de coordonnées sont orthogonales les unes aux autres. En particulier, dans Système cartésien coordonnées... ...Wikipédia
système multicanal orthogonal- - [L.G. Sumenko. Dictionnaire anglais-russe sur les technologies de l'information. M. : Entreprise d'État TsNIIS, 2003.] Sujets informatique en général FR multiplex orthogonal...
système de coordonnées d'une image (photogrammétrique)- Système de coordonnées spatiales orthogonales droites, fixé sur une image photogrammétrique par des images de repères. [GOST R 51833 2001] Thèmes : photogrammétrie... Guide du traducteur technique
système- 4.48 système : combinaison d'éléments en interaction organisés pour atteindre un ou plusieurs objectifs spécifiés. Note 1 Un système peut être considéré comme un produit ou les services qu'il fournit. Remarque 2 En pratique... ... Dictionnaire-ouvrage de référence des termes de la documentation normative et technique
Définition. Vecteursun Etb sont dits orthogonaux (perpendiculaires) les uns aux autres si leur produit scalaire est égal à zéro, c'est-à-direun × b = 0.
Pour les vecteurs non nuls un Et b l'égalité du produit scalaire à zéro signifie que cos j= 0, c'est à dire . Vecteur zéro est orthogonal à tout vecteur, car un × 0 = 0.
Exercice. Soient et des vecteurs orthogonaux. Il est alors naturel de considérer la diagonale d’un rectangle de côtés et . Prouve-le
,
ceux. carré de la diagonale d'un rectangle égal à la somme carrés des longueurs de ses deux côtés non parallèles(Théorème de Pythagore).
Définition. Système vectorielun 1 ,…, un m est dit orthogonal si deux vecteurs quelconques de ce système sont orthogonaux.
Ainsi, pour un système orthogonal de vecteurs un 1 ,…,un m l'égalité est vraie : un je × un j= 0 à je¹ j, je= 1,…, m; j= 1,…,m.
Théorème 1.5. Un système orthogonal constitué de vecteurs non nuls est linéairement indépendant. .
□ Nous effectuons la preuve par contradiction. Supposons que le système orthogonal de vecteurs non nuls un 1 , …, un m linéairement dépendant. Alors
l1 un 1 + …+ l mun m= 0 , dans lequel . (1.15)
Soit, par exemple, l 1 ¹ 0. Multipliez par un 1 les deux côtés de l'égalité (1.15) :
l1 un 1× un 1 + …+ l m un m × un 1 = 0.
Tous les termes sauf le premier sont égaux à zéro en raison de l'orthogonalité du système un 1 , …, un m. Puis l 1 un 1× un 1 =0, ce qui suit un 1 = 0 , ce qui contredit la condition. Notre hypothèse s’est avérée fausse. Cela signifie que le système orthogonal de vecteurs non nuls est linéairement indépendant. ■
Le théorème suivant est valable.
Théorème 1.6. Dans l'espace R n il existe toujours une base constituée de vecteurs orthogonaux(base orthogonale)
(aucune preuve).
Les bases orthogonales sont pratiques principalement parce que les coefficients de dilatation d'un vecteur arbitraire sur de telles bases sont simplement déterminés.
Supposons que nous devions trouver la décomposition d'un vecteur arbitraire b sur une base orthogonale e 1 ,…,e n. Composons un développement de ce vecteur avec des coefficients de développement encore inconnus pour cette base :
Multiplions les deux côtés de cette égalité de manière scalaire par le vecteur e 1 . Grâce aux axiomes 2° et 3° du produit scalaire des vecteurs, on obtient
Puisque les vecteurs de base e 1 ,…,e n sont mutuellement orthogonaux, alors tous les produits scalaires des vecteurs de base, à l'exception du premier, sont égaux à zéro, c'est-à-dire le coefficient est déterminé par la formule
.
En multipliant l'égalité (1.16) à son tour par d'autres vecteurs de base, on obtient formules simples calculer les coefficients de dilatation vectorielle b :
. (1.17)
Les formules (1.17) ont du sens car .
Définition. Vecteurun est dit normalisé (ou unité) si sa longueur est égale à 1, c'est à dire. (un , un )= 1.
Tout vecteur non nul peut être normalisé. Laisser un
¹ 0
. Alors 
, et le vecteur est un vecteur normalisé.
Définition. Système vectoriel e 1 ,…,e n est dit orthonormé s'il est orthogonal et que la longueur de chaque vecteur du système est égale à 1, c'est-à-dire
(1.18)
Puisqu’il existe toujours une base orthogonale dans l’espace Rn et que les vecteurs de cette base peuvent être normalisés, alors il existe toujours une base orthonormée dans Rn.
Un exemple de base orthonormée de l'espace R n est le système de vecteurs e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) avec le produit scalaire défini par l'égalité (1.9). Dans une base orthonormée e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formule (1.17) pour déterminer les coordonnées de la décomposition vectorielle b ont la forme la plus simple :
Laisser un Et b – deux vecteurs arbitraires de l'espace R n de base orthonormée e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Notons les coordonnées des vecteurs un Et b dans la base e 1 ,…,e n en conséquence à travers un 1 ,…,un n Et b 1 ,…, b n et trouver l'expression du produit scalaire de ces vecteurs à travers leurs coordonnées dans sur cette base, c'est à dire. Faisons comme si
, 
.
De la dernière égalité, grâce aux axiomes et relations du produit scalaire (1.18), on obtient
Finalement nous avons
. (1.19)
Ainsi, dans une base orthonormée, le produit scalaire de deux vecteurs quelconques est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes de ces vecteurs.
Considérons maintenant une base complètement arbitraire (en général, non orthonormée) dans l'espace euclidien à n dimensions R n et trouvons une expression pour le produit scalaire de deux vecteurs arbitraires un Et b à travers les coordonnées de ces vecteurs dans la base spécifiée.
