Systèmes orthogonaux de fonctions. Systèmes vectoriels orthogonaux

Définition. Vecteursun Etb sont dits orthogonaux (perpendiculaires) les uns aux autres si leur produit scalaire est égal à zéro, c'est-à-direun × b = 0.

Pour les vecteurs non nuls un Et b l'égalité du produit scalaire à zéro signifie que cos j= 0, c'est à dire . Le vecteur zéro est orthogonal à tout vecteur, car un × 0 = 0.

Exercice. Soient et des vecteurs orthogonaux. Il est alors naturel de considérer la diagonale d’un rectangle de côtés et . Prouve-le

ceux. carré de la diagonale d'un rectangle égal à la somme carrés des longueurs de ses deux côtés non parallèles(Théorème de Pythagore).

Définition. Système vectorielun 1 ,…, un m est dit orthogonal si deux vecteurs quelconques de ce système sont orthogonaux.

Ainsi, pour un système orthogonal de vecteurs un 1 ,…,un m l'égalité est vraie : un je × un j= 0 à je¹ j, je= 1,…, m; j= 1,…,m.

Théorème 1.5. Un système orthogonal constitué de vecteurs non nuls est linéairement indépendant. .

□ Nous effectuons la preuve par contradiction. Supposons que le système orthogonal de vecteurs non nuls un 1 , …, un m linéairement dépendant. Alors

l1 un 1 + …+ l mun m= 0 , dans lequel . (1.15)

Soit, par exemple, l 1 ¹ 0. Multipliez par un 1 les deux côtés de l'égalité (1.15) :

l1 un 1× un 1 + …+ l m un m × un 1 = 0.

Tous les termes sauf le premier sont égaux à zéro en raison de l'orthogonalité du système un 1 , …, un m. Puis l 1 un 1× un 1 =0, ce qui suit un 1 = 0 , ce qui contredit la condition. Notre hypothèse s’est avérée fausse. Cela signifie que le système orthogonal de vecteurs non nuls est linéairement indépendant. ■

Le théorème suivant est valable.

Théorème 1.6. Dans l'espace Rn il existe toujours une base constituée de vecteurs orthogonaux (base orthogonale)
(aucune preuve).

Les bases orthogonales sont pratiques principalement parce que les coefficients de dilatation d'un vecteur arbitraire sur de telles bases sont simplement déterminés.

Supposons que nous devions trouver la décomposition d'un vecteur arbitraire b sur une base orthogonale e 1 ,…,e n. Composons un développement de ce vecteur avec des coefficients de développement encore inconnus en termes de cette base:

Multiplions les deux côtés de cette égalité de manière scalaire par le vecteur e 1 . Grâce aux axiomes 2° et 3° du produit scalaire des vecteurs, on obtient

Puisque les vecteurs de base e 1 ,…,e n sont mutuellement orthogonaux, alors tous les produits scalaires des vecteurs de base, à l'exception du premier, sont égaux à zéro, c'est-à-dire le coefficient est déterminé par la formule

En multipliant l'égalité (1.16) à son tour par d'autres vecteurs de base, on obtient formules simples calculer les coefficients de dilatation vectorielle b :

. (1.17)

Les formules (1.17) ont du sens car .

Définition. Vecteurun est dit normalisé (ou unité) si sa longueur est égale à 1, c'est à dire. (un , un )= 1.

Tout vecteur non nul peut être normalisé. Laisser un ¹ 0 . Alors , et le vecteur est un vecteur normalisé.

Définition. Système vectoriel e 1 ,…,e n est dit orthonormé s’il est orthogonal et que la longueur de chaque vecteur du système est égale à 1, c'est-à-dire

(1.18)

Puisqu’il existe toujours une base orthogonale dans l’espace Rn et que les vecteurs de cette base peuvent être normalisés, alors il existe toujours une base orthonormée dans Rn.

Un exemple de base orthonormée de l'espace R n est le système de vecteurs e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) avec le produit scalaire défini par l'égalité (1.9). Dans une base orthonormée e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formule (1.17) pour déterminer les coordonnées de la décomposition vectorielle b ont la forme la plus simple :

Laisser un Et b – deux vecteurs arbitraires de l'espace R n de base orthonormée e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Notons les coordonnées des vecteurs un Et b dans la base e 1 ,…,e n en conséquence à travers un 1 ,…,un n Et b 1 ,…, b n et trouver l'expression du produit scalaire de ces vecteurs à travers leurs coordonnées dans cette base, c'est-à-dire Faisons comme si

, .

De la dernière égalité, grâce aux axiomes et relations du produit scalaire (1.18), on obtient

Finalement nous avons

. (1.19)

Ainsi, dans une base orthonormée, le produit scalaire de deux vecteurs quelconques est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes de ces vecteurs.

Considérons maintenant une base complètement arbitraire (en général, non orthonormée) dans l'espace euclidien à n dimensions R n et trouvons une expression pour le produit scalaire de deux vecteurs arbitraires un Et b à travers les coordonnées de ces vecteurs dans la base spécifiée.

Système de fonction orthogonale

système de fonctions ((φ n(X)}, n= 1, 2,..., orthogonal de poids ρ ( X) sur le segment [ UN, b], c'est-à-dire tel que

Exemples. Système trigonométrique 1, parce que nx,péché nx; n= 1, 2,..., - O.s. F. de poids 1 sur l'intervalle [-π, π]. Fonctions de Bessel n = 1, 2,..., J ν ( X), forme pour chaque ν > - 1/2 O. s. F. avec du poids X sur le segment.

Si chaque fonction φ ( X) de O. s. F. est-ce x) par numéro

Etude systématique d'O. s. F. a été lancé en relation avec la méthode de solution de Fourier problèmes de valeurs limiteséquations physique mathématique. Cette méthode conduit par exemple à trouver des solutions au problème de Sturm-Liouville (Voir Problème de Sturm-Liouville) pour l'équation [ρ( X) oui" ]" + q(X) oui = λ à, satisfaisant conditions aux limites à(UN) + salut"(un) = 0, oui(b) + Hy"(b) = 0, où h Et N- permanent. Ces décisions sont ce qu'on appelle. fonctions natives tâches - formulaire O. s. F. de poids ρ ( X) sur le segment [ un, b].

Extrêmement classe importante O. s. F. - Polynômes orthogonaux - ont été découverts par P. L. Chebyshev dans ses recherches sur l'interpolation utilisant la méthode moindres carrés et le problème des moments. Au 20ème siècle recherche sur O. s. F. sont réalisées principalement sur la base de la théorie intégrale et de la mesure de Lebesgue. Cela a contribué à la séparation de ces études en une branche indépendante des mathématiques. L'une des tâches principales de la théorie d'O. s. f. - problème de décomposition d'une fonction F(X) dans une série de la forme p ( X)) - O. s. F. Si on le dit formellement P ( X)) - O. s. normalisé. f., et permettre la possibilité d'une intégration terme par terme, puis en multipliant cette série par φ P.(X) ρ( X) et intégrant à partir de UN avant b, on a:

Chances Sp, appelés coefficients de Fourier de la fonction relative au système (φ n(X)), ont la propriété extrême suivante : forme linéaire X):

Il a plus petite valeur par rapport aux erreurs données avec le même n autres expressions linéaires de la forme

Série ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) avec des chances Sp, calculée à l'aide de la formule (*), est appelée série de Fourier de la fonction F(X) selon l'O. s. normalisé. F. (φ n(X)). Pour les applications, la question primordiale est de savoir si la fonction est définie de manière unique. F(X) par leurs coefficients de Fourier. O. s. f., pour lesquels cela a lieu, sont appelés complets ou fermés. Conditions pour les O. s. fermés. F. peut être donné sous plusieurs formes équivalentes. 1) N'importe lequel fonction continue F(X) peut être approché en moyenne avec n'importe quel degré de précision par des combinaisons linéaires de fonctions φ k(X), c'est-à-dire que C n φ n (x) converge en moyenne vers la fonction F(X)]. 2) Pour toute fonction F(X), dont on intègre le carré par rapport au poids ρ( X), la condition de fermeture de Lyapunov-Steklov est satisfaite :

3) Il n'existe pas de fonction non nulle à intégrable sur l'intervalle [ un, b] carré orthogonal à toutes les fonctions φ n(X), n = 1, 2,....

Si nous considérons les fonctions avec un carré intégrable comme éléments d'un espace de Hilbert (voir Espace de Hilbert), alors l'O.S. F. seront des systèmes de vecteurs unitaires de coordonnées de cet espace, et le développement en série en O.s normalisé. F. - expansion du vecteur en vecteurs unitaires. Avec cette approche, de nombreux concepts de la théorie des systèmes opérationnels normalisés sont introduits. F. acquérir le visuel signification géométrique. Par exemple, la formule (*) signifie que la projection du vecteur sur le vecteur unitaire est égale au produit scalaire du vecteur et de l'unité unitaire ; l'égalité de Lyapunov-Steklov peut être interprétée comme le théorème de Pythagore pour un espace de dimension infinie : le carré de la longueur d'un vecteur est égal à la somme des carrés de ses projections sur les axes de coordonnées ; isolement O. s. F. signifie que le plus petit sous-espace fermé contenant tous les vecteurs de ce système coïncide avec l'espace entier, etc.

Lit. : Tolstov G.P., Série Fourier, 2e éd., M., 1960 ; Natanson I.P., Théorie constructive fonctions, M.-L., 1949 ; par lui, Théorie des fonctions d'une variable réelle, 2e éd., M., 1957 ; Jackson D., Séries de Fourier et polynômes orthogonaux, trans. de l'anglais, M., 1948 ; Kaczmarz S., Shteingauz G., Théorie des séries orthogonales, trans. de l'allemand, M., 1958.

Grande Encyclopédie soviétique. - M. : Encyclopédie soviétique. 1969-1978 .

Voyez ce qu'est « Système orthogonal de fonctions » dans d'autres dictionnaires :

- (grec orthogonios rectangulaire) un système fini ou dénombrable de fonctions appartenant à l'espace de Hilbert (séparable) L2(a,b) (fonctions quadratiquement intégrables) et satisfaisant les conditions F tion g(x) appelées. pesant O. s. f.,* signifie... ... Encyclopédie physique

Système de fonctions ??n(x)?, n=1, 2,..., spécifié sur le segment TRANSFORMATION ORTHOGONAL transformation linéaire de l'espace vectoriel euclidien, préservant les longueurs inchangées ou (ce qui est équivalent à cela) les produits scalaires des vecteurs. .. Grand dictionnaire encyclopédique

Système de fonctions (φn(x)), n = 1, 2, ..., spécifié sur l'intervalle [a, b] et satisfaisant condition suivante orthogonalité : pour k≠l, où ρ(x) est une fonction appelée poids. Par exemple, le système trigonométrique est 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Dictionnaire encyclopédique

Un système de fonctions ((фn(х)), n=1, 2, ..., défini sur l'intervalle [a, b] et satisfaisant la trace, la condition d'orthogonalité pour k n'est pas égale à l, où p(x ) est une certaine fonction, appelée poids. Par exemple, système trigonométrique 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Sciences naturelles. Dictionnaire encyclopédique

Voir l'art. Système orthogonal de fonctions. Encyclopédie physique. En 5 tomes. M. : Encyclopédie soviétique. Rédacteur en chef A.M. Prokhorov. 1988... Encyclopédie physique

1) O.s. vecteurs est l'ensemble des vecteurs non nuls de l'espace euclidien (Hilbert) avec le produit scalaire (. , .) tel que pour (orthogonalité) et (normalisabilité). M. I. Voitsekhovsky. 2) O.s. fonctions et système de fonctions de l'espace... ... Encyclopédie mathématique

Construction pour système donné fonctions (fn(x)) carrées intégrées sur l'intervalle [a, b]fonctions du système orthogonal (jn(x)) en appliquant un certain processus d'orthogonalisation ou en étendant les fonctions fn(x).à un système plus long ... ... Encyclopédie mathématique

système de fonctions ((φ n(X)}, n= 1, 2,..., orthogonal de poids ρ ( X) sur le segment [ UN, b], c'est-à-dire tel que

Si chaque fonction φ ( X) de O. s. F. est-ce x) par numéro

Etude systématique d'O. s. F. a été lancé en relation avec la méthode de Fourier pour résoudre les problèmes de valeurs limites des équations de la physique mathématique. Cette méthode conduit par exemple à trouver des solutions au problème de Sturm-Liouville (Voir Problème de Sturm-Liouville) pour l'équation [ρ( X) oui" ]" + q(X) oui = λ à, satisfaisant les conditions aux limites à(UN) + salut"(un) = 0, oui(b) + Hy"(b) = 0, où h Et N- permanent. Ces décisions sont ce qu'on appelle. les fonctions propres du problème forment le O.s. F. de poids ρ ( X) sur le segment [ un, b].

Une classe extrêmement importante d'O. s. F. - Polynômes orthogonaux- a été découvert par P. L. Chebyshev dans ses recherches sur l'interpolation par la méthode des moindres carrés et le problème des moments. Au 20ème siècle recherche sur O. s. F. sont réalisées principalement sur la base de la théorie intégrale et de la mesure de Lebesgue. Cela a contribué à la séparation de ces études en une branche indépendante des mathématiques. L'une des tâches principales de la théorie d'O. s. f. - problème de décomposition d'une fonction F(X) dans une série de la forme p ( X)) - O. s. F. Si on le dit formellement P ( X)) - O. s. normalisé. f., et permettre la possibilité d'une intégration terme par terme, puis en multipliant cette série par φ P.(X) ρ( X) et intégrant à partir de UN avant b, on a:

Chances Sp, appelés coefficients de Fourier de la fonction relative au système (φ n(X)), ont la propriété extrémale suivante : forme linéaire x) :

a la plus petite valeur par rapport aux erreurs données pour le même n autres expressions linéaires de la forme

Série ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) avec des chances Sp, calculée à l'aide de la formule (*), est appelée série de Fourier de la fonction F(X) selon l'O. s. normalisé. F. (φ n(X)). Pour les applications, la question primordiale est de savoir si la fonction est définie de manière unique. F(X) par leurs coefficients de Fourier. O. s. f., pour lesquels cela a lieu, sont appelés complets ou fermés. Conditions pour les O. s. fermés. F. peut être donné sous plusieurs formes équivalentes. 1) Toute fonction continue F(X) peut être approché en moyenne avec n'importe quel degré de précision par des combinaisons linéaires de fonctions φ k(X), c'est-à-dire que C n φ n (x) converge en moyenne vers la fonction F(X)]. 2) Pour toute fonction F(X), dont on intègre le carré par rapport au poids ρ( X), la condition de fermeture de Lyapunov-Steklov est satisfaite :

3) Il n'existe pas de fonction non nulle à intégrable sur l'intervalle [ un, b] carré orthogonal à toutes les fonctions φ n(X), n = 1, 2,....

Si nous considérons les fonctions avec un carré intégrable comme éléments d'un espace de Hilbert (voir Espace de Hilbert), alors l'O.S. F. seront des systèmes de vecteurs unitaires de coordonnées de cet espace, et le développement en série en O.s normalisé. F. - expansion du vecteur en vecteurs unitaires. Avec cette approche, de nombreux concepts de la théorie des systèmes opérationnels normalisés sont introduits. F. acquérir une signification géométrique claire. Par exemple, la formule (*) signifie que la projection du vecteur sur le vecteur unitaire est égale au produit scalaire du vecteur et de l'unité unitaire ; l'égalité de Lyapunov-Steklov peut être interprétée comme le théorème de Pythagore pour un espace de dimension infinie : le carré de la longueur d'un vecteur est égal à la somme des carrés de ses projections sur les axes de coordonnées ; isolement O. s. F. signifie que le plus petit sous-espace fermé contenant tous les vecteurs de ce système coïncide avec l'espace entier, etc.

Lit. : Tolstov G.P., Série Fourier, 2e éd., M., 1960 ; Natanson I.P., Théorie constructive des fonctions, M.-L., 1949 ; par lui, Théorie des fonctions d'une variable réelle, 2e éd., M., 1957 ; Jackson D., Séries de Fourier et polynômes orthogonaux, trans. de l'anglais, M., 1948 ; Kaczmarz S., Shteingauz G., Théorie des séries orthogonales, trans. de l'allemand, M., 1958.

- un groupe de tout le monde transformations linéaires espace vectoriel à n dimensions V sur le champ k, préservant un fixe non dégénéré forme quadratique Q sur V)=Q pour tout)...
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- une matrice sur un anneau commutatif R d'unité 1, pour laquelle la matrice transposée coïncide avec l'inverse. Le déterminant de O. m est égal à +1...
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Système complet de fonctions

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Matrice orthogonale

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Système de fonction orthogonal

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Définition 1. ) est dit orthogonal si tous ses éléments sont orthogonaux deux à deux :

Théorème 1. Un système orthogonal de vecteurs non nuls est linéairement indépendant.

(Supposons que le système soit linéairement dépendant : et, bien sûr, Multiplions scalairement l'égalité par . Compte tenu de l’orthogonalité du système, on obtient : }

Définition 2. Système de vecteurs de l'espace euclidien ( ) est dit orthonormé s’il est orthogonal et que la norme de chaque élément est égale à un.

Il découle immédiatement du théorème 1 qu’un système d’éléments orthonormés est toujours linéairement indépendant. De là, il s'ensuit, à son tour, que dans n– dans un espace euclidien dimensionnel un système orthonormé de n les vecteurs constituent une base (par exemple, ( je, j, k ) à 3 X– espace dimensionnel). Un tel système est appelé base orthonormée, et ses vecteurs sont vecteurs de base.

Les coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée peuvent être facilement calculées à l'aide du produit scalaire : si En effet, en multipliant l'égalité sur , on obtient la formule indiquée.

En général, toutes les grandeurs de base : le produit scalaire des vecteurs, la longueur d'un vecteur, le cosinus de l'angle entre vecteurs, etc. ont la forme la plus simple dans une base orthonormée. Considérons le produit scalaire : , puisque

Et tous les autres termes sont égaux à zéro. De là, nous obtenons immédiatement : ,

* Considérez une base arbitraire. Produit scalaire sur cette base il sera égal à :

(Ici α je Et β j – coordonnées des vecteurs dans la base ( F), et sont des produits scalaires de vecteurs de base).

Quantités γ ij former une matrice g, appelé Matrice de Gram. Produit scalaire dans forme matricielle ressemblera: *

Théorème 2. Dans tous n– dans l’espace euclidien dimensionnel il existe une base orthonormée. La preuve du théorème est de nature constructive et s'appelle

9. Processus d’orthogonalisation de Gram – Schmidt.

Laisser ( une 1 ,...,une n ) − base arbitraire n– espace euclidien dimensionnel (l’existence d’une telle base est due à n– dimension de l’espace). L'algorithme de construction d'une orthonormée basée sur une base donnée est le suivant :

1.b 1 = une 1, e 1 = b 1/|b1|, |e 1|= 1.

2.b2^e 1, parce que (e 1 , une 2)- projection un 2 sur e 1 , b 2 = une 2 -(e 1 , une 2)e 1 , e 2 = b 2/|b2|, |e 2|= 1.

3.b3^une 1, b 3^une 2 , b 3 = une 3 -(e 1 , une 3)e 1 -(e 2 , une 3)e 2 , e 3 = b 3/|b3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. bb^une 1 ,..., bk^une k-1 , b k = une k - S je = 1k(e je, a k)e je , e k = b k/|bb|, |e k|= 1.

En poursuivant le processus, nous obtenons une base orthonormée ( e 1 ,...,e n }.

Note 1. En utilisant l'algorithme considéré, il est possible de construire une base orthonormée de tout coque linéaire, par exemple, une base orthonormée de la coque linéaire d'un système de rang égal à trois et constitué de vecteurs à cinq dimensions.

Exemple.X =(3,4,0,1,2), oui =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Note 2. Cas spéciaux

Le processus de Gram-Schmidt peut également être appliqué linéairement à une séquence infinie. vecteurs indépendants.

De plus, le processus de Gram-Schmidt peut être appliqué à vecteurs dépendants. Dans ce cas, cela pose problème 0 (vecteur zéro) à l'étape j , Si un J est une combinaison linéaire de vecteurs une 1 ,...,une j -1 . Si cela peut se produire, alors pour préserver l'orthogonalité des vecteurs de sortie et empêcher la division par zéro pendant l'orthonormalisation, l'algorithme doit vérifier zéro vecteurs et jetez-les. Le nombre de vecteurs produits par l'algorithme sera égal à la dimension du sous-espace généré par les vecteurs (c'est-à-dire le nombre de vecteurs linéairement indépendants qui peuvent être distingués parmi les vecteurs d'origine).

10. Géométrique espaces vectoriels R1, R2, R3.

Soulignons que seuls les espaces ont une signification géométrique directe

R1, R2, R3. L'espace R n pour n > 3 est un objet abstrait purement mathématique.

1) Soit un système de deux vecteurs un Et b . Si le système est linéairement dépendant, alors l'un des vecteurs, disons un , s'exprime linéairement par un autre :

un=k b.

Deux vecteurs reliés par une telle dépendance, comme déjà mentionné, sont appelés colinéaires. Ainsi, un système de deux vecteurs est linéairement dépendant si et seulement

lorsque ces vecteurs sont colinéaires. Notez que cette conclusion s’applique non seulement à R3, mais aussi à tout espace linéaire.

2) Soit le système dans R3 composé de trois vecteurs une, b, c . Dépendance linéaire signifie que l'un des vecteurs, disons un , s'exprime linéairement à travers le reste :

UN=k b+ je c . (*)

Définition. Trois vecteurs une, b, c dans R 3 situés dans le même plan ou parallèles au même plan sont appelés coplanaires

(sur la figure de gauche les vecteurs sont indiqués une, b, c d'un plan, et à droite les mêmes vecteurs sont tracés à partir de des débuts différents et ne sont parallèles qu'à un seul plan).

Ainsi, si trois vecteurs de R3 sont linéairement dépendants, alors ils sont coplanaires. L’inverse est également vrai : si les vecteurs une, b, c de R3 sont coplanaires, alors ils sont linéairement dépendants.

Oeuvre vectorielle vecteur un, vecteur b dans l'espace s'appelle un vecteur c , satisfaisant aux exigences suivantes :

Désignation:

Considérons un triplet ordonné de vecteurs non coplanaires une, b, c V espace tridimensionnel. Combinons les origines de ces vecteurs au point UN(c'est-à-dire que nous choisissons arbitrairement un point dans l'espace UN et déplacez chaque vecteur en parallèle pour que son origine coïncide avec le point UN). Les extrémités des vecteurs combinées avec leurs débuts en un point UN, ne se trouvent pas sur la même ligne, puisque les vecteurs ne sont pas coplanaires.

Triple ordonné de vecteurs non coplanaires une, b, c dans l'espace tridimensionnel est appelé droite, si depuis la fin du vecteur c tour le plus court à partir d'un vecteur un vecteur b visible pour l'observateur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. À l’inverse, si le tour le plus court est observé dans le sens des aiguilles d’une montre, alors le triple est appelé gauche.

Une autre définition est liée à main droite personne (voir photo), d'où vient le nom.

Tous les triplets de vecteurs droitiers (et gauchers) sont appelés orientés de manière identique.