Questions abordées :

• 1. La notion de projection
• 4. Méthode Monge
• 5. Projection axonométrique

La notion de projection. Les images d'objets dans les dessins sont obtenues par projection . Projection est le processus de construction d'une image d'un objet sur un plan à l'aide de rayons projetés. Le résultat de ce processus est une image appelée projection.

Le mot « projection » traduit du latin signifie projeter en avant, au loin. La projection peut être observée en regardant l'ombre projetée par un objet sur la surface d'un mur lorsqu'il est éclairé par une source lumineuse. infographie esquisse par projection

La projection fait référence au processus qui aboutit à des images (projections sur un plan), c'est-à-dire quand à points caractéristiques les rayons sont tirés de la figure jusqu'à ce qu'ils croisent le plan, et les points résultant de l'intersection des rayons avec le plan sont reliés par des lignes droites ou courbes en conséquence.

Projection centrale (conique). Il y aura un plan P1 dans l'espace, appelons-le plan de projection ou plan image. Prenons n'importe quel point S n'appartenant pas au plan de projection P1. Appelons-le le centre de projection (Fig. 19).

Pour projeter la figure ABC, dite originale, il faut tracer des lignes droites du point S passant par les points A, B, C, appelés rayons projeteurs, jusqu'à ce qu'elles coupent le plan P1 aux points A1, B1, C1. En les reliant séquentiellement par des lignes droites, on obtient le chiffre A1B1C1. Ce sera la projection centrale A1B1C1 de cette figure ABC sur le plan de projection P1.

Figure 19.

Projection parallèle (cylindrique). Avec une projection parallèle, comme dans le cas d'une projection centrale, le plan de projection P1 est pris et au lieu du centre des projections S, la direction de projection est spécifiée.

On fixe la direction de projection S non parallèle au plan P1, en considérant que le point S - le centre de projection - est éloigné à l'infini. La projection originale est la même figure ABC, située dans l'espace. Pour projeter la figure ABC, nous dessinons des rayons projetés passant par les points A, B, C parallèlement à la direction de projection S jusqu'à ce qu'ils croisent le plan de projection P1 aux points A1, B1, C1. On relie les points A1, B1, C1 avec des lignes droites, on obtient les chiffres A1B1C1 ; ce sera une projection parallèle de la figure ABC sur le plan P1. C'est le processus de projection parallèle (Fig. 20).

Figure 20.

Si l'original est une ligne droite, alors tous les rayons saillants des points de cette ligne droite seront situés dans un plan, appelé plan projeté.

Le plan P, passant par les lignes de projection BB1 et CC1, coupe le plan de projection P1 selon une droite. Cette ligne peut être considérée comme une projection de la ligne, donné par points B et C. En fonction de la direction de projection S sur le plan de projection projection parallèle divisée en rectangulaire (orthogonal) et oblique projection (Fig. 21).

Figure 21 Projection rectangulaire et oblique

Projection rectangulaire , lorsque la direction de projection S avec le plan de projection forme un angle droit (Fig. 21a).

Projection oblique , lorsque la direction de projection fait un angle inférieur à 90° avec le plan de projection (Fig. 21b).

Méthode Monge. Les informations et les méthodes de construction, déterminées par le besoin d'images plates des formes spatiales, se sont progressivement accumulées depuis l'Antiquité. Sur une longue période images plates ont été réalisés principalement sous forme d’images visuelles. Avec le développement de la technologie, la question de l'utilisation d'une méthode garantissant l'exactitude et la mesurabilité des images, c'est-à-dire la capacité de déterminer avec précision l'emplacement de chaque point de l'image par rapport à d'autres points ou plans et par techniques simples déterminer les tailles des segments de ligne et des formes. progressivement accumulé règles distinctes et les techniques de construction de telles images ont été systématisées et développées dans les travaux du scientifique français Gaspard Monge, publiés en 1799.

Projection rectangulaire oui cas particulier projection parallèle. La méthode des projections orthogonales s'appelle Méthode Monge . Cette méthode est la plus courante lors de la préparation de dessins techniques. Il n'assure pas la clarté de l'image, mais il est simple et pratique lors de la réalisation d'un dessin et offre une grande précision. Méthode Monge est une projection rectangulaire parallèle sur deux plans perpendiculaires projections. Un tel complexe de deux projections orthogonales interconnectées révèle la position de l'objet projeté dans l'espace. La méthode décrite par Monge assure l'expressivité, la précision et la mesurabilité des images d'objets sur un plan, elle était et reste la principale méthode d'élaboration des dessins techniques (Figure 22).

Le mot rectangulaire est souvent remplacé par le mot orthogonal, formé à partir des mots langue grecque ancienne, désignant « droit » et « angle ». Dans la présentation suivante, le terme projections orthogonales sera utilisé pour désigner un système de projections rectangulaires sur des plans mutuellement perpendiculaires. La figure 22 montre deux plans mutuellement perpendiculaires. Prenons-les comme plans de projection. L'un d'eux, désigné par la lettre P1, est situé horizontalement ; l'autre, désignée par la lettre P2, est verticale. Cet avion s'appelle plan frontal projections, le plan P1 est appelé plan horizontal projections . Les plans de projection P1 et P2 forment le système P1, P2.

La ligne d'intersection des plans de projection est appelée axe de projection . L'axe de projection divise chacun des plans P1 et P2 en demi-plans. Pour cet axe on utilisera la notation x ou la notation sous forme de fraction P2/P1.

Figure 22.

Projection axonométrique. Si un objet auquel des axes sont assignés Coordonnées rectangulaires positionner devant le plan de projection et projeter rayons parallèles sur un plan, qui dans ce cas est appelé le plan de l'image, alors nous obtenons projection axonométrique.

En figue. La figure 23 montre le cube, les axes de coordonnées rectangulaires x0, y0, z0 qui lui sont affectés, le plan de projection P et image axonométrique Cuba.

Figure 23. Éducation projections axonométriques: a et b - dimétrique frontal ; c et d - isométrique

Axonométrie - un mot grec, traduit signifie mesure le long des axes. Lors de la construction de projections axonométriques, les dimensions sont disposées le long des axes x, y et z.

Les projections axonométriques sont assez visuelles et sont donc utilisées dans certains cas pour expliquer les projections rectangulaires de machines et de mécanismes complexes et de leurs pièces individuelles. Avec la projection axonométrique, une figure est associée à un système spatial d'axes de coordonnées, puis cette figure avec les axes de coordonnées est projetée sur un plan. Cet avion s'appelle plan des projections axonométriques.

Projections axonométriques obtenues par projection rectangulaire d'une figure avec axes de coordonnées, sont appelés rectangulaires, et ceux obtenus par projection oblique sont appelés oblique.

Plan de projection appelé le plan sur lequel la projection d'un objet est obtenue.

Projection parallèle

La visualisation est une propriété précieuse des images projetées de manière centralisée. Or, en pratique grande importance les dessins par projection ont également d'autres qualités, notamment la facilité de construction et la réversibilité. À cet égard, les dessins en projection centrale ne sont pas les plus pratiques. C'est pourquoi répandu utilise la méthode de projection parallèle pour construire des images de figures spatiales.

Nous avons installé un avion P', qui est le plan de projection, et la direction de projection s, non parallèle au plan de projection P' conformément à la figure 1.2.2. Pour projeter un point UN espace, nous traçons une ligne saillante à travers celui-ci AA′, parallèle à la direction de projection s. Point d'intersection UN' projeter une ligne droite avec un plan P' est parallèle projection d'un point UNà l'avion P'.

Figure 1.2.3 – Projection parallèle de parallèles dans l'espace

Ayant construit pour des lignes droites UN B Et CD plans de projection AA¢B¢B Et CC¢D¢D, notons que ces plans sont parallèles, comme les plans ayant des angles avec respectivement côtés parallèles (AB||CD; BВ¢ ||DD¢). Par conséquent, les plans de projection coupent le plan de projection P" le long de deux droites parallèles entre elles.

2) Le rapport des segments situés sur des lignes parallèles est conservé en projection parallèle.

Laisser UN B Et CD– des segments situés sur des lignes parallèles. Construisons leurs projections sur l'avion P¢ dans le sens de projection s(Figure 1.2.3). Dessinons des segments dans les plans projetés А¢В1 Et C¢D1, respectivement parallèle et égal aux segments UN B Et CD. Triangles А¢B¢B1 Et С¢D¢D1 sont semblables, parce que leurs côtés correspondants sont parallèles. D'ici

Il s'ensuit que le rapport dans lequel le point B divise le segment AC. est conservé dans la projection du point B′ divisant le segment A "C′.

Figure 1.2.4 – Division d'un segment en rapport donné avec projection parallèle

Image d'objets espace tridimensionnel dans l'avion, prenez méthode de projection.

Projection est un processus qui aboutit à des images qui sont des projections sur un avion.

L'appareil de projection comprend des objets représentés - des points UN B, rayons projetants i et plan de projection P", sur lequel une image d'objets est obtenue conformément à la figure 1.2.

Il existe deux manières de construire des projections d'objets dans un dessin : centrale et parallèle.

Nom de la méthode de projection	L'essence de la méthode
Projection centrale	Tous les rayons projetant un objet proviennent d'un seul point R, appelé le centre des projections (Figure 1.3). Projections résultantes A", B", C" sont appelés projections centrales points A, B, C.
Projection parallèle	Tous les rayons projetés passent parallèlement à la direction prédéterminée S, et donc les uns aux autres (Figure 1.4). Ceci peut être assimilé au cas du mode de projection central, où le centre des projections S est éloigné à l'infini et tous les rayons projetés deviennent parallèles. Lors de la construction de projections A", B", C" on les appelle ainsi projections parallèles de points A, B, C.
Graphique 1.3	Graphique 1.4

Propriétés de projection

Les projections obtenues avec projection centrale et parallèle ont un certain nombre de propriétés :

Graphique 1.5

Graphique 1.6	Graphique 1.7

Si le plan est parallèle au plan des projections, alors les projections de ses figures plates à projection centrale sont similaires aux figures elles-mêmes (Figure 1.9, UN), et lorsqu'ils sont parallèles, ils leur sont égaux (Figure 1.9, b).

Graphique 1.9

1.5 Invariants de projection parallèle (projection rectangulaire)

La projection orthogonale (rectangulaire) est un cas particulier de projection parallèle, lorsque tous les rayons projetés sont perpendiculaires au plan de projection. Les projections orthogonales ont toutes les propriétés des projections parallèles, mais avec la projection rectangulaire, la projection d'un segment, si elle n'est pas parallèle au plan de projection, est toujours plus petite que le segment lui-même (Figure 1.10). Ceci s'explique par le fait que le segment lui-même dans l'espace est l'hypoténuse triangle rectangle, et sa projection est une jambe : UN B"= AB parce qu'un..

Théorème de projection angle droit. Si un côté d'un angle droit est parallèle au plan de projection et que l'autre ne lui est pas perpendiculaire, alors avec la projection orthogonale, l'angle droit est projeté sur ce plan dans un angle droit.

Réversibilité du dessin. La projection sur un plan de projection produit une image qui ne permet pas de déterminer sans ambiguïté la forme et les dimensions de l'objet représenté. Projection UN(Figure 1.8) ne détermine pas la position du point lui-même dans l'espace, puisqu'on ne sait pas à quelle distance il se trouve du plan de projection P". Tout point du rayon projeté passant par le point UN, aura pour projection un point UN". Avoir une seule projection crée une incertitude sur l’image. Dans de tels cas, ils parlent de l'irréversibilité du dessin, puisqu'il est impossible de reproduire l'original à l'aide d'un tel dessin. Pour éliminer l'incertitude, l'image est complétée par les données nécessaires. En pratique, ils utilisent différentes manières ajouts à un dessin à vue unique. Ce cours examinera les dessins obtenus par projection orthogonale sur deux ou plusieurs plans de projection mutuellement perpendiculaires (dessins complexes) et par reprojection d'une projection auxiliaire d'un objet sur le plan axonométrique principal des projections (dessins axonométriques).

Graphique 1.12
Attention, question !	Réfléchissez, analysez les dessins proposés et prouvez la validité des invariants répertoriés de projection centrale et parallèle (Figure 1.12).
Souviens-toi!	1 Les propriétés (invariants) considérées de la projection parallèle sont conservées dans n'importe quelle direction de projection. 2 Spécifications métriques formes géométriques lors d'une projection en parallèle cas général ne sont pas enregistrés (une distorsion des valeurs linéaires et angulaires se produit).

Questions de contrôle

1 Quoi éléments géométriques inclure un appareil de projection ?

2 Quelles méthodes de projection connaissez-vous ?

3 Quelles surfaces de projection peuvent produire des rayons de projection ?

4 Énumérez les principales propriétés des projections.

5 Qu'est-ce que la projection d'un angle dont le plan est parallèle au plan des projections à projection centrale ?

6 En quelles images géométriques dégénèrent les projections de lignes droites et de plans de surfaces occupant une position projetée ?

7 Comment se lit le théorème de la projection à angle droit ?

8 Comment comprenez-vous le terme « dessin réversible » ? Comment réaliser la réversibilité d’un dessin ?
CONFÉRENCE N°2

La projection parallèle peut être considérée comme un cas particulier de projection centrale.

Si le centre des projections à bureau central les projections sont transférées à l'infini, alors les rayons projetés peuvent être considérés comme parallèles. Par conséquent, l'appareil de projection parallèle se compose d'un plan de projection P et d'une direction P. En projection centrale, les rayons projetés émergent d'un point, et en projection parallèle, ils sont parallèles les uns aux autres.

Selon la direction des rayons projetés, la projection parallèle peut être oblique, lorsque les rayons projetés sont inclinés par rapport au plan de projection, et rectangulaire (orthogonale), lorsque les rayons projetés sont perpendiculaires au plan de projection.

Regardons un exemple de projection parallèle oblique.

Construisons une projection parallèle A1B1 du segment AB sur le plan P1, pour une direction de projection donnée P et non P1. Pour ce faire, il faut tracer des lignes saillantes passant par les points A et B, parallèlement à la direction de projection P. Lorsque les lignes saillantes coupent le plan P1, le résultat sera projections parallèles A1 et B1 des points A et B. En reliant les projections parallèles A1 et B1 on obtient une projection parallèle A1B1 du segment AB.

De même, il est possible de construire une projection parallèle A1B1C1D1 du quadrilatère ABCD sur le plan P1, pour une direction de projection donnée P non perpendiculaire à P1.

Pour ce faire, il faut tracer des lignes saillantes passant par les points A, B, C, D, parallèles à la direction de projection P. Lorsque les lignes saillantes coupent le plan P1, les projections parallèles A1, B1, C1, D1 des points A, B, C, D seront obtenus en connectant les projections parallèles A1, B1, C1, D1 on obtient une projection parallèle A1B1C1D1 du quadrilatère ABCD.

Propriétés des projections lors de la projection parallèle :

Les six premières propriétés de la projection centrale s'appliquent également à la projection parallèle. Listons quelques propriétés supplémentaires inhérentes à la projection parallèle :

1. Les projections de lignes parallèles sont parallèles.

Sur la figure, on peut voir que directement AA 1, BB 1, SS 1 Et DD1 former deux plans parallèles un Et b. Ces deux plans se croisent P1. Par conséquent, les lignes de leur intersection Un 1 B 1 Et C1D1 sera parallèle.

2. Si un point divise la longueur d'un segment par rapport m:n, alors la projection de ce point divise la longueur de la projection du segment dans le même rapport.

Laissons le point AVEC appartient au segment UN B, et |CA| : |SV| = 2:1. Construisons une projection parallèle Un 1 B 1 segment UN B. Point C1 Un 1 B 1. Réalisons CA' || Un 1 C 1 Et CB' || C1B1, nous en avons deux semblable à un triangle ACC' Et CBB'. De leur similitude découle la proportionnalité des côtés : |CA| : |SV| = |AC'| : |CB'|, Mais |CB'| = |C1B1|, UN |AC'| = |UNE 1 C 1 |, d'ici |AC| : |SV| = |UNE 1 C 1 | : |C1B1 |.

3. Figurine plate, parallèle au plan projections, est projeté sans distorsion.

Prenons un triangle abc et projetez-le sur deux plans de projection parallèles P1' Et P1. Puisque les longueurs des segments sont égales |Une 1 Une 1 '| = |B 1 B 1 '| = |С 1 С 1 '| et les segments sont parallèles, alors les quadrilatères A 1 A 1 ' B 1 B 1 ', B 1 B 1 ' C 1 C 1 ', C 1 C 1 ' A 1 A 1 ' sont des parallélogrammes. Ainsi, côtés opposés ils sont de même longueur |A1B1 | = |UNE 1 'B 1'|, |B 1 C 1 | = |B 1 'C 1'|, |A 1 C 1 | = |UNE 1 'C 1 '|, ce qui signifie que les triangles sont égaux.

De même, la même chose peut être prouvée pour n’importe quelle autre figure plate. La projection parallèle, contrairement à la projection centrale, est moins visuelle, mais offre une facilité de construction et une plus grande connexion avec l'original.

Projection parallèle(Fig. 1.6) peut être considéré comme un cas particulier de projection centrale, dans lequel le centre de projection est éloigné à l'infini ( S∞). En projection parallèle, des lignes de projection parallèles sont utilisées, tracées dans une direction donnée par rapport au plan de projection.

tion. Si la direction de projection est perpendiculaire au plan de projection, alors les projections sont dites rectangulaires ou orthogonales. dans d'autres cas - oblique (sur la Fig. 1.6, la direction de projection est indiquée par une flèche faisant un angle par rapport au plan de projection).

Avec la projection parallèle, toutes les propriétés de la projection centrale sont conservées et les nouvelles propriétés suivantes apparaissent également.

1. Les projections parallèles de lignes mutuellement parallèles sont parallèles et le rapport des longueurs des segments de ces lignes est égal au rapport des longueurs de leurs projections.

Si droit MN Et KL(Fig. 1.7) sont parallèles, alors les plans en saillie sont parallèles, puisque les lignes sécantes dans ces plans sont parallèles entre elles : - par condition,

Par conséquent, les projections et sont parallèles comme les lignes d'intersection des plans parallèles p et y avec le plan l.

Marquons sur la ligne droite MN segment arbitraire UN B et en ligne droite KL segment arbitraire CD. Traçons dans le plan p passant par le point UN droite et dans le plan y passant par le point C droite C – . Les segments sont comme des segments de parallèles entre parallèles. Segments et donc . Segments, puisque tous leurs côtés sont parallèles entre eux. De la similitude des triangles il résulte :

De ce qui a été discuté, il résulte :

a) si la longueur d'un segment droit est divisée par un point dans n'importe quel rapport, alors la longueur de la projection du segment est divisée par la projection de ce point dans le même rapport (Fig. 1.8) :

b) les projections de segments de longueur égale de lignes droites mutuellement parallèles sont mutuellement parallèles et de longueur égale.

Cela est évident puisque (voir Fig. 1.7) at sera . Par conséquent, avec une projection oblique, dans le cas général, un parallélogramme, un losange, un rectangle, un carré sont projetés dans un parallélogramme.

• 2. Une figure plate parallèle au plan des projections est projetée par projection parallèle sur ce plan dans la même figure.
• 3. Transfert parallèle une figure dans l'espace ou dans un plan de projection ne change pas l'apparence et la taille de la projection de la figure.

Les projections parallèles, comme les projections centrales avec un seul centre de projection, n'assurent pas non plus la réversibilité du dessin.

En utilisant les techniques de projection parallèle d'un point et d'une ligne, vous pouvez construire des projections parallèles d'une surface et d'un corps.

Des projections parallèles sont utilisées pour construire des images visuelles de divers dispositifs techniques et de leurs pièces.

Projection rectangulaire (orthogonale)

Un cas particulier de projection parallèle, dans lequel la direction de projection est perpendiculaire au plan de projection, est appelé rectangulaire ou projection orthogonale. La projection rectangulaire (orthogonale) d'un point est la base de la perpendiculaire tracée du point au plan de projection. Projection rectangulaire D 0 point D montré sur la fig. 1.9.

Avec les propriétés des projections parallèles (obliques) la projection orthogonale a prochaine propriété : les projections orthogonales de deux droites mutuellement perpendiculaires, dont l'une est parallèle au plan de projection et l'autre ne lui est pas perpendiculaire, sont mutuellement perpendiculaires.

En figue. 1.10 Montrons que

La ligne projetée est perpendiculaire au plan des projections, projection et ligne VIRGINIE. Plan ) est perpendiculaire à la droite VIRGINIE, puisqu'il est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan (par condition, mais par construction). La projection est perpendiculaire au plan, puisque. Donc la projection d’un plan sur un plan est une droite KL perpendiculaire à la projection et à la ligne KL la projection coïncide En °C 0, c’est-à-dire ce qu’il fallait prouver.