www.site permet de trouver. Le site effectue le calcul. Dans quelques secondes, le serveur émettra la bonne décision. L'équation caractéristique de la matrice sera expression algébrique, trouvé par la règle de calcul du déterminant matrices matrices, tandis que le long de la diagonale principale, il y aura des différences dans les valeurs des éléments diagonaux et de la variable. Lors du calcul équation caractéristique de la matrice en ligne, chaque élément matrices sera multiplié avec les autres éléments correspondants matrices. Rechercher en mode en ligne possible uniquement pour le carré matrices. Opération de recherche équation caractéristique de la matrice en ligneça se résume au calcul somme algébrique produits d'éléments matrices suite à la découverte du déterminant matrices, uniquement dans le but de déterminer équation caractéristique de la matrice en ligne. Cette opération prend endroit spécial théoriquement matrices, permet de trouver des valeurs propres et des vecteurs à l'aide de racines. La tâche de trouver équation caractéristique de la matrice en ligne consiste en des éléments multiplicateurs matrices suivi de la somme de ces produits une certaine règle. www.site trouve équation caractéristique de la matrice dimension donnée en mode en ligne. Calcul équation caractéristique de la matrice en ligneétant donné sa dimension, il s'agit de trouver un polynôme à coefficients numériques ou symboliques, trouvé selon la règle de calcul du déterminant matrices- comme la somme des produits des éléments correspondants matrices, uniquement dans le but de déterminer équation caractéristique de la matrice en ligne. Trouver un polynôme par rapport à une variable pour un quadratique matrices, comme définition équation caractéristique de la matrice, courant en théorie matrices. La signification des racines d'un polynôme équation caractéristique de la matrice en ligne utilisé pour déterminer les vecteurs propres et valeurs propres Pour matrices. De plus, si le déterminant matrices sera égal à zéro, alors équation caractéristique de la matrice existera toujours, contrairement à l'inverse matrices. Afin de calculer équation caractéristique de la matrice ou en trouver plusieurs à la fois matrices équations caractéristiques, vous devez consacrer beaucoup de temps et d'efforts, tandis que notre serveur le trouvera en quelques secondes équation caractéristique pour la matrice en ligne. Dans ce cas, la réponse à la recherche équation caractéristique de la matrice en ligne sera correct et avec une précision suffisante, même si les chiffres lors de la recherche équation caractéristique de la matrice en ligne sera irrationnel. Sur le site www.site les entrées de caractères sont autorisées dans les éléments matrices, c'est équation caractéristique pour la matrice en ligne peut être représenté sous forme symbolique générale lors du calcul équation caractéristique de la matrice en ligne. Il est utile de vérifier la réponse obtenue lors de la résolution du problème de recherche équation caractéristique de la matrice en ligne en utilisant le site www.site. Lors de l'exécution de l'opération de calcul d'un polynôme - équation caractéristique de la matrice, vous devez être prudent et extrêmement concentré lorsque vous résolvez ce problème. À son tour, notre site vous aidera à vérifier votre décision sur le sujet équation caractéristique d'une matrice en ligne. Si vous n'avez pas le temps de procéder à de longues vérifications des problèmes résolus, alors www.site sera certainement un outil pratique pour vérifier lors de la recherche et du calcul équation caractéristique de la matrice en ligne.
Définition
Pour une matrice donnée , , où E- la matrice identité est un polynôme dans , que l'on appelle polynôme caractéristique matrices UN(parfois aussi « l’équation laïque »).
La valeur du polynôme caractéristique est celle valeurs propres les matrices sont ses racines. En effet, si l'équation a une solution non nulle, alors la matrice est singulière et son déterminant est égal à zéro.
Définitions associées
Propriétés
.Links
- V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Mathématiques supérieures. Algèbre linéaire. - Université d'État de l'énergie d'Ivanovo.
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- Courbe de référence
Harald III (roi de Norvège)
Voyez ce qu'est « Polynôme caractéristique d'une matrice » dans d'autres dictionnaires : Polynôme caractéristique - En mathématiques, un polynôme caractéristique peut signifier : un polynôme caractéristique d'une matrice, un polynôme caractéristique d'une séquence linéaire récurrente, un polynôme caractéristique d'une séquence ordinaireéquation différentielle
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Laisser UN- matrice carrée réelle ou complexe d'ordre n. Matrice
avec la variable A, qui accepte tout valeurs numériques, appelé matrice caractéristique matrices UN. Son déterminant
représente un polynôme dans une variable de degré A p. Ce polynôme est appelé polynôme caractéristique matrices UN.
Le fait que le polynôme caractéristique soit en réalité un polynôme dans la variable A découle directement de la définition du déterminant. Diplôme le plus élevé, égal à n, parmi tous les termes du déterminant A-E a le produit
Les termes restants du déterminant ne contiennent pas au moins deux éléments matriciels UN- UN E avec la variable A et n'ont donc pas un diplôme supérieur p- 2. Par conséquent, le degré du polynôme est égal à p. Notez que le produit (5.9) détermine non seulement le degré du polynôme caractéristique, mais aussi ses deux termes de puissances plus élevées
Le terme libre du polynôme caractéristique coïncide avec sa valeur en A = 0 et est égal à |A - UN E= |L|, c'est-à-dire déterminant de la matrice UN.
Donc le polynôme caractéristique de la matrice UN commande n a la forme (voir, p.83 et, p.55):
Où Pk- la somme des principaux mineurs de l'ordre A>ème de la matrice UN, en particulier, Pi= ac + «22 + - - +ftnn - la somme des éléments de la diagonale principale de la matrice UN, appelée trace de cette matrice et notée Sp A, p p- déterminant |L| matrices UN.
Racines du polynôme caractéristique |Une - IL appelé racines caractéristiques ou nombres caractéristiques matrices UN. Multiplicité à g la racine caractéristique A* dans un polynôme caractéristique est appelée multiplicité algébrique cette racine. Beaucoup de tout le monde racines caractéristiques matrices dans lesquelles chaque racine caractéristique est répétée autant de fois que sa multiplicité est appelée spectre de la matrice A. Si toutes les racines caractéristiques de la matrice sont simples (c'est-à-dire ont une multiplicité unitaire), alors le spectre de la matrice est appelé simple.
Conformément aux formules Vieta, les coefficients du polynôme caractéristique sont liés aux racines caractéristiques comme suit :
De ces formules, en particulier, découlent les relations souvent utilisées
D'après la dernière égalité, le polynôme caractéristique d'une matrice a des racines caractéristiques nulles si et seulement si le déterminant de cette matrice est égal à zéro, c'est-à-dire lorsque la matrice est singulière.
Exemple 5.5. Calculer le polynôme caractéristique d'une matrice
Solution. Conformément à la définition du polynôme caractéristique, on obtient :
Si on utilise la formule (5.10), on trouve d'abord
puis écris
Pour les méthodes de calcul du polynôme caractéristique, voir l'annexe à la fin du livre.
Théorème 5.7.Les polynômes caractéristiques de telles matrices coïncident.
> Si les matrices UN Et DANS similaire, alors pour une matrice non singulière Q l'égalité est vraie DANS = Q ~ l AQ. Ainsi,
À un polynôme arbitraire
à la place de la variable L vous pouvez remplacer une matrice carrée UN commande p. En conséquence, nous obtenons la matrice P(A) = dans A p + a A p ~ 1 --
N----+ un n _ 1 A + a p E, que l'on appelle la valeur du polynôme P( L)
à L = UN. Si pour une matrice donnée UN l'égalité est vraie PENNSYLVANIE)= O (la valeur du polynôme P( A) avec L = UN est la matrice nulle), alors UN appelé matrice, racine du polynôme P( A), et le polynôme P(A) lui-même est un polynôme annihilé par la matrice A.
Théorème 5.8. Chaque matrice carrée est la racine d'un polynôme non nul.
> L'ensemble de toutes les matrices carrées d'ordre n avec des éléments du terrain R. il y a un espace linéaire sur R. dimensions numéro 2. Dans ce espace linéaire tout système dans lequel au moins n°2 Les éléments +1 dépendent linéairement. Par conséquent, le système Un p , Un p -1 , ..., UN, E depuis p2 + 1 les matrices sont linéairement dépendantes, c'est-à-dire il existe un tel ensemble de nombres oh, depuis, ..., un p 2 , qui en même temps ne disparaissent pas, de sorte que l'égalité
Cette égalité signifie que la matrice UN est la racine du polynôme
Le théorème prouvé découle en fait de l’énoncé suivant.
Théorème 5.9 (théorème de Hamilton - Kaley).
Toute matrice carrée est la racine de son polynôme caractéristique.
Avant de prouver ce théorème, introduisons le concept Matrices X- une matrice dont les éléments sont des polynômes dans la variable A. Toute matrice A peut être représentée comme un polynôme dans la variable A, dont les coefficients sont des matrices carrées d'ordre approprié. Par exemple,
> Laissez UN- matrice carrée d'ordre n. Considérons la matrice adjointe AVECà la matrice A-E. Ses éléments sont ajouts algébriqueséléments du déterminant | UN - E|, qui sont des polynômes de degré non supérieur à p- 1. Comme indiqué ci-dessus, la matrice AVEC peut être représenté sous la forme
où Ci, C2, ..., C p - quelques matrices numériques. Par la propriété principale de la matrice adjointe (voir Section 3.S, Corollaire 3.2) on a :
Dans cette égalité, on remplace la matrice C par la somme (5.11), et le polynôme caractéristique par la somme (5.10). On obtient alors l'égalité
Ouvrir les parenthèses des deux côtés de l'égalité et égaliser les coefficients degrés égaux L, on obtient un système de n+ 1 égalités : 
Multiplions la première égalité du système par Un p, le second - sur L p_1, etc., n-eégalité - sur Un, (p+ 1)ème égalité - sur A° = E:
En additionnant ces égalités du côté gauche, nous obtenons une matrice nulle, et du côté droit nous obtenons l'expression
C'est pourquoi fa) = 0. ?
5.6. Polynôme caractéristique et minimal
Un polynôme 92(A) de degré minimal, ayant un coefficient dominant égal à un et annihilé par la matrice UN, appelé polynôme minimal cette matrice.
Théorème 5 . 10 . Tout polynôme annulé par la matrice A est complètement divisible par le polynôme minimal de cette matrice. En particulier, le polynôme caractéristique d'une matrice est divisé par son polynôme minimal.
O Diviser le polynôme P( A) au polynôme minimal 9?(A) avec reste : P( A) = 99(A) g(A) + g(A), où le polynôme g(A) a un degré inférieur au degré 92(A). Remplacer la variable A par une matrice UN, on obtient :
Parce que PENNSYLVANIE)= Pennsylvanie) = 0 , alors G (UN) = 0 . Mais cette égalité n'est possible que si le polynôme g (UNE) nul. Sinon, une contradiction surgit avec la définition d'un polynôme minimal. Égalité G = 0 signifie que le polynôme P( A) est complètement divisible par 92(A). ?
Conséquence 5 .1 . Toute racine du polynôme minimal d'une matrice est la racine de son polynôme caractéristique.
O Comme établi dans la preuve du théorème, le polynôme caractéristique /(A) est lié au polynôme minimal 92(A) par l'égalité /(A) = 99(A) q(). L’énoncé du corollaire découle de cette égalité. ?
Notons quelques autres faits utiles(cm. [ 7 ], Avec. 100 ).
Polynôme caractéristique | UN - IL la matrice A et son polynôme minimal 92(A) sont liés par la relation
Où Dn- 1 - le plus grand diviseur commun tous les mineurs de la matrice UN - UN E, avoir (n - 1 )ième commande.
Les racines du polynôme minimal 92(A) sont toutes les différentes racines du polynôme caractéristique | UN- UN E et si
où 1^ p à ^ t k : k = 1,2
La formule (5.12) permet de trouver le polynôme minimum de la matrice. Une autre façon de construire un polynôme matriciel minimal est discutée ci-dessous (voir section 6.5).
Exemple 5.6. Trouver le polynôme minimum d'une matrice
Solution. Dans les exemples précédents pour la matrice UN polynôme caractéristique trouvé A-E= - A 3 + 2 L 2 + L - 2. Général plus grand diviseur D2 tous les mineurs du second ordre de la matrice
est égal à un, puisque ses mineurs
mutuellement simples. C'est pourquoi
Exemple 5.7. Trouver les polynômes caractéristiques et minimaux des matrices
Solution : Pour une matrice UN calcul direct du déterminant on trouve le polynôme caractéristique
Notons tous les mineurs du second ordre de la matrice UN - UN E :
Plus grand diviseur commun D2 de tous ces mineurs il y a A - 4. Par conséquent, le polynôme minimal de la matrice UN a la forme :
Noter que D2 peut être trouvé différemment. En effet, si dans la matrice A-E remplacez A = 4, on obtient la matrice
rang G- 1. Par conséquent, tous les mineurs du second ordre de cette matrice sont égaux à zéro. Cela signifie que tous les mineurs du second ordre de la matrice UN - L E sont divisibles par A - 4, et tous ces mineurs ne peuvent être divisibles par un plus grand degré binôme A - 4, puisque, par exemple, mineur
n'est divisible que par la première puissance de ce binôme. Par conséquent, ?>2 inclut le facteur A -4 à la puissance première. Autres multiplicateurs de | UN - A?^1 ne sont pas inclus dans ?>2, puisque, par exemple, le mineur du second ordre qui vient d'être écrit n'est pas divisible par eux. Donc Dg = A - 4.
Pour matrice UN2 Aussi, en calculant directement le déterminant, on trouve le polynôme caractéristique
mineurs de deuxième ordre
mutuellement simples. C'est pourquoi D2 = 1 et
L'exemple considéré montre que différentes matrices peut avoir la même caractéristique mais des polynômes minimaux différents.
Considérant que les matrices d'un opérateur linéaire donné dans différentes bases sont similaires et ont le même polynôme caractéristique, il est logique d'appeler ce polynôme polynôme caractéristique d'un opérateur linéaire, et ses racines sont racines caractéristiques d’un opérateur linéaire.
Notez également que la matrice transposée À a la même chose que la matrice UN polynômes caractéristiques et nombres caractéristiques.
Vecteurs propres et valeurs propres de l'opérateur linéaire
Soit A un opérateur linéaire de . Le numéro est appelé valeur propre de l'opérateur A, s'il existe un vecteur non nul tel que A . Dans ce cas, le vecteur est appelé vecteur propre de l'opérateur A, correspondant à sa propre valeur. L'ensemble de toutes les valeurs propres d'un opérateur linéaire A est appelé son spectre.
Déterminant de l'opérateur linéaire Et detA s'appelle det UN, où A est la matrice de l'opérateur linéaire A dans n'importe quelle base. Relatif polynomial je appelé polynôme caractéristique de l'opérateur R. Cela ne dépend pas du choix de la base.
Équation
appelé caractéristiques(ou vieux de plusieurs siècles) équation d'opérateur UN.
Pour que le numéro jeétait une valeur propre de l'opérateur A, il faut et suffisant que ce nombre soit la racine de l'équation caractéristique (7.7) de l'opérateur A.
Pour identique opérateur Tous les vecteurs non nuls de l'espace sont des vecteurs propres (avec valeur propre, égal à un). Pour zéro opérateur Tous les vecteurs non nuls de l'espace sont des vecteurs propres (avec valeur propre, égal à zéro). La forme la plus simple est prise par la matrice d'un opérateur linéaire ayant n vecteurs linéairement indépendants.
Théorème 7.2. Pour que la matriceUNopérateur linéaire UN était diagonale dans la base, il faut et suffisant que les vecteurs de base soient des vecteurs propres de cet opérateur.
Cependant, tous les opérateurs linéaires de n-dimensionnel espace vectoriel a n vecteurs propres linéairement indépendants. Une base de vecteurs propres est généralement appelée « base propre ». Laissez les valeurs propres 
l’opérateur linéaire A sont différents. Alors les vecteurs propres correspondants sont linéairement indépendants. Il existe donc une « base propre » dans ce cas.
Ainsi, si le polynôme caractéristique d’un opérateur linéaire A a n différentes racines, alors dans une certaine mesure la matrice UN l’opérateur A a une forme diagonale.
Lors de la recherche des vecteurs propres d'une transformation linéaire, il convient de garder à l'esprit qu'ils sont déterminés à un facteur arbitraire près, c'est-à-dire si un vecteur est un vecteur propre, alors le vecteur est également un vecteur propre. Ainsi, la bonne direction ou la bonne ligne droite est réellement déterminée, et reste inchangée sous une transformation linéaire donnée.
Polynôme caractéristique
est défini pour une matrice carrée arbitraire comme 1) 
, où est une matrice d'identité du même ordre.
Exemple. Pour :
Théorème.
Au sens figuré, le coefficient at est obtenu en sommant tous les mineurs du ème ordre de la matrice, construits sur les éléments de sa diagonale principale.
