Définition. La séquence (x n) est appelée fondamental (Séquence de Cauchy), si pour tout e > 0 il existe un nombre N tel que pour tous les nombres n, satisfaisant la condition n>=N, et pour tout nombre naturel p(p=1,2,3...) l'inégalité est vraie :
|xn + p – xn |< e.
Théorème. (critère de Cauchy) . Pour que la suite (x n) soit convergente, il faut et il suffit qu'elle soit fondamentale.
Preuve.
1) Nécessité. Soit x n à un. Nous fixons un e > 0 arbitraire. Puisque la séquence (x n ) converge vers la limite UN, alors pour un nombre égal à e/2 il existe un nombre N tel que devant tout le monde n >= N:
|x n – un|< e/2. (1)
Si p n'importe lequel nombre naturel, alors pour tout n>=N ce sera encore plus le cas :
|x n + p – un| < e/2. (2)
Puisque le module de la somme de deux nombres ne dépasse pas la somme de leurs modules, alors à partir des inégalités (1) et (2) on obtient pour tout n >= N et pour tout entier naturel p nous obtiendrons :
|xn + p – xn | = |<= |x n + p – un+ | un|< | + |x n – < e, Þ |xn + p – xn |
2) e - cela signifie qu'il s'agit d'une séquence fondamentale. Adéquation< 1.
. Soit maintenant (x n ) une suite fondamentale. Par exemple, pour e =1, il existe n 1 tel que n > n 1 et m > n 1 a |x n - x m | En fixant m o > n 1, nous avons |x n - x m< 1 и Þ |x n | < 1+ |xEn fixant m o > n 1, nous avons |x n - x o |
o |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xEn fixant m o > n 1, nous avons |x n - xÞ |x n |
o |) pour tout nÎN, c'est-à-dire (x n) – limité. Cela signifie que d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une suite convergente ( xn Cela signifie que d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une suite convergente ( k), un k -> un.
. Montrons que (x n) converge vers
Pour un e > 0 donné : "e > 0 $K(e)О N :
|Cela signifie que d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une suite convergente ("k>K(e) Þ un| < e;
k-
De plus, en raison de la nature fondamentale de (x n), $n e = n(e) : n k ,n > n e Þ |x n – x n< e/2
k | n Mettons n e = max(n e , n k (e) ) et fixe n ko > n e. alors pour n >
e nous avons :<= |x n – xÞ |x n – x|x n – une| Þ |x n – x ko | + |x< e. А это и означает, что ko – une| lim xn =
un #
15. Deux définitions de la limite d'une fonction en un point et leur équivalence. Déf.1. (d'après Cauchy). un Soit la fonction y=f(x) : X à Y et un point est la limite pour l'ensemble X. Le nombre UN appelé limite de la fonction y=f(x)un au point< |x-un| < d, выполняется |f(x) – est la limite pour l'ensemble X. Le nombre| < e.
, si pour tout e > 0 il est possible de spécifier d > 0 tel que pour tout xÎX satisfaisant les inégalités 0 Déf.2. (selon Heine). est la limite pour l'ensemble X. Le nombre Nombre un est appelée la limite de la fonction y=f(x) au point un, si pour toute séquence (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, convergeant vers est la limite pour l'ensemble X. Le nombre.
, la séquence de valeurs de fonction (f(x n)) converge vers le nombre La détermination de la limite d'une fonction selon Cauchy et selon Heine sont équivalentes.
Preuve. Soit A=lim f(x) la limite de la fonction y=f(x) selon Cauchy
et (x n )Ì X, x n ¹a "nОN – séquence convergeant vers un, x n à un.
Étant donné e > 0, on trouve d > 0 tel qu'à 0< |x-un| < d, xÎX имеем |f(x) – est la limite pour l'ensemble X. Le nombre| < e,
et à partir de ce d nous trouvons un nombre n d = n (d) tel que pour n> n d nous avons 0< |x n -un| < d.
Mais alors |f(x n) – est la limite pour l'ensemble X. Le nombre| < e, т.е. доказано, что f(x n)à est la limite pour l'ensemble X. Le nombre.
Laissez maintenant le numéro est la limite pour l'ensemble X. Le nombre il y a maintenant une limite de la fonction selon Heine, mais est la limite pour l'ensemble X. Le nombre n'est pas une limite de Cauchy. Alors il existe eo > 0 tel que pour tout nОN il existe x n ОX,
0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= eo . Cela signifie que la séquence (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, x n à a été trouvée un tel que
la séquence (f(x n)) ne converge pas vers est la limite pour l'ensemble X. Le nombre. #
Unicité de la limite d'une fonction en un point. Limite locale d'une fonction qui a une limite finie. Conservation locale du signe d'une fonction qui a une limite nulle.
Théorème 1. Si $ ko – une| f(x) = b О R. pour x à a, alors cette limite le seul.
Preuve: Qu'il n'en soit pas ainsi.
ko – une| f(x) = b 1 et ko – une| f(x) = b 2 pour x à a. b 1 ¹b 2
"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (définition selon Heine)
"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (définition selon Heine)
Pour une séquence spécifique (x n )М D(f). xn ’ à une, x n ¹ une Þ
Þ f(x n ’) à b 1 et f(x n ’)à b 2. Alors, par le théorème sur l’unicité de la limite de la suite, b 1 =b 2. #
Déf. Une fonction f(x) est dite localement bornée pour x à a s'il existe des nombres d > 0 et M > 0 tels que pour 0< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.
Théorème 1 (sur les limites locales). Si une fonction f(x) a une limite en un point a, alors elle est localement délimitée pour x à a.
Preuve: S'il existe lim f(x) = A pour x à a, alors, par exemple, pour e=1 il existe d>0 tel que pour 0< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,
|f(x)|<|A|+1=M. #
Théorème 2 (sur la conservation des signes locaux). Si ko – une| f(x) = A pour x à a et A¹0, alors il existe d>0 tel que pour
0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 on a f(x)>A/2, et à 0< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем
f(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|A|/2.
Preuve: Prenons e=|A|/2. Il existe d>0 tel que pour
0 < |x-a| < d, xÎX имеем
A-|A|/2 Pour A>0, à partir de l’inégalité de gauche on obtient f(x) > A/2, et pour A<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. # Nous proposons ici de considérer un signe général de l'existence d'une limite finie pour la suite,
Définition 3.5.
Sous-séquence La définition d’une séquence fondamentale est souvent utilisée sous la forme suivante.
Définition 3.6.
Sous-séquence
Théorème 3.13 (critère de Cauchy).
Pour qu’une suite converge, il faut et il suffit qu’elle soit fondamentale.
Preuve. Nécessité.
Laissez la séquence Laisser ce qui signifie que la séquence est fondamentale.
Adéquation.
Laissez la séquence Décomposons l'argumentation en plusieurs étapes. a) Montrons que le caractère fondamental de la suite implique son caractère borné. Considérons ε
=1, alors il existe un tel nombre n 1
ça devant tout le monde n,
m
≥
n 1
l’inégalité persiste Soit , a, alors pour chaque naturel b) Choisissons le naturel n.
Considérez l'ensemble c) Considérons deux nouvelles séquences. A cet effet, pour chaque ensemble d) Montrons que la différence de ces deux suites tend vers zéro : à n≥
n ε
. Ainsi, e) D'après ce qui a été prouvé dans la partie c) la séquence Définition 3.7.
Laisser Si une séquence n'a pas de limite, cela n'exclut pas la possibilité de l'existence d'une limite pour une sous-séquence. Définition 3.8.
Une limite partielle d’une séquence est la limite d’une sous-séquence convergente. Exemple 3.18.
Laisser Théorème 3.14.
Laissez la séquence Preuve. Laisser l'inégalité sera satisfaite
Problème 3.14 Montrer que pour qu’une suite converge, il faut et il suffit que chacune de ses sous-suites converge.
Problème 3.15. il s'ensuit que
Problème 3.16.
Donnez un exemple d’une séquence qui a exactement dix limites partielles.
Problème 3.17. Donnez un exemple de suite pour laquelle chaque nombre réel est une limite partielle. Considérons la question de l'existence de limites partielles dans le cas d'une suite bornée.
Théorème 3.15 (Bolzano-Weierstrass). Preuve.
Chaque séquence bornée contient une sous-séquence convergente. , si les deux sont comme ça, alors n'importe lequel d'entre eux. UN. UN Construisons maintenant une convergente vers , UN chaque séquence bornée a un ensemble De plus, on remarque que du caractère borné de la suite, par le théorème du passage à la limite dans les inégalités, il s'ensuit que l'ensemble est borné Définition 3.9.
Laisser Il ne découle pas directement de cette définition que les nombres Théorème 3.16.
Les limites supérieure et inférieure d'une séquence limitée sont ses limites partielles. Preuve. Montrons qu'il existe une telle sous-suite Depuis chaque Et , satisfaisant aux conditions satisfait les inégalités et par le lemme de deux policiers tend à De même, une sous-séquence est construite qui converge vers Du théorème prouvé, en particulier, il s'ensuit qu'il n'existe pas de suite telle que l'ensemble de toutes les limites partielles soit un intervalle borné. respectivement. Comme l'une des propriétés caractéristiques de ces quantités, nous démontrons le théorème suivant.
.
Laisser Preuve.
ne satisfait qu'un ensemble fini de termes de la séquence. Le critère de Cauchy pour la convergence d'une suite implique le critère le plus général pour la convergence d'une série de nombres. Théorème 4 (critère de Cauchy). Pour que la série de nombres Y1 an converge, il est nécessaire et suffisant que pour tout nombre e > O il existe un nombre N = N(e) tel que pour tout n > N l'inégalité soit valable pour tous. Utilisation des sommes partielles 5P +P et Sn-\ séries considérées J2 dans> l'inégalité (1) peut s'écrire sous la forme Du critère de Cauchy découle le critère nécessaire à la convergence d'une série de nombres. Théorème 5. Si les séries Test de comparaison pour les séries à termes positifs Test de D'Alembert Test de Cauchy Le critère de Cauchy pour la convergence d'une série converge, alors en supposant dans le théorème 4, nous obtenons une inégalité qui vaut pour tous en raison du caractère arbitraire du. nombre e > 0, cela signifie que Corollaire. Si lim an est différent de zéro ou n'existe pas, alors la série Exemple 1. Les séries numériques divergent, depuis l'exemple 2. La série diverge, puisqu'elle n'existe pas. Commentaire. Le théorème 5 donne une condition nécessaire à la convergence d'une série, mais elle n'est pas suffisante, c'est-à-dire que la condition lim o„ = 0 peut également être satisfaite pour une série divergente. Exemple 3. Considérons une série numérique appelée série harmonique. Pour la série harmonique, la condition nécessaire à la convergence est satisfaite, puisqu'en utilisant le critère de Cauchy, nous montrons que cette série diverge. Mettons p-n. Ensuite, l'inégalité résultante est satisfaite pour tout n arbitrairement grand. Il s'ensuit que pour e ^ 5 et p = n, l'inégalité (1) n'est pas vraie. Ainsi, du fait du critère de Cauchy, les séries harmoniques divergent. Remarque importante. Dans un certain sens, une série est une généralisation d’une somme finie. Cependant, contrairement à ces derniers, les termes dans lesquels peuvent être regroupés et réorganisés de manière totalement arbitraire, c'est pourquoi la somme, comme nous le savons, ne change pas, les actions avec les membres d'une série arbitraire doivent être effectuées avec soin - les conséquences peuvent ne pas toujours être prévisible. Si dans une série divergente (le critère nécessaire à la convergence n'est pas rempli) on regroupe les groupes voisins par paires, alors on obtient une série convergente. Les termes d'une série convergente (voir l'exemple du § 8) peuvent être réarrangés pour qu'elle converge. à n’importe quel nombre et même diverge. En particulier, la série obtenue en réarrangeant ses termes converge vers la moitié de la somme de la série originale (exemple du § 9). Le fait que dans ces exemples les termes de la série aient des signes différents est significatif. Théorème 6 (test de comparaison). Soit deux séries dont les termes an et 6„ sont positifs. Si l'inégalité est vraie pour tous les nombres n, alors de la convergence de la série Y1 6n découle la convergence de la série an, et de la divergence de la série Y1 On découle la divergence de la série Y1 6„. M Composons des sommes partielles des séries (1) et (2) De la condition (3) du théorème, il s'ensuit que 5П ^ Sn pour tout 1) Supposons que la série (2) converge, c'est-à-dire qu'il y a une limite à ses nièmes sommes partielles Donc, puisque tous les termes de ces séries sont positifs, alors, en raison de l'inégalité (3), il s'ensuit que Ainsi, toutes les sommes partielles 5P de la série (1) sont limitées et augmentent à mesure que n augmente, puisque. Par conséquent, la suite des sommes partielles est convergente, ce qui signifie la convergence de la série an. Dans ce cas, en passant à la limite de l'inégalité, on obtient que Grâce à l'inégalité on obtient Test de comparaison pour les séries à termes positifs D. Test d'Alembert Test de Cauchy Critère de Cauchy pour la convergence de la série, c'est-à-dire que la série bn diverge. Commentaire. Le théorème 6 reste valable dans le cas où l'inégalité an ^ bn est satisfaite non pas pour tout n, mais seulement à partir d'un certain nombre A :, c'est-à-dire pour tout n ^ Jfc, puisque changer le nombre fini de termes de la série ne ne viole pas sa convergence. Exemples. Examinons la convergence de la série suivante : Nous avons Puisque la série numérique converge, alors par comparaison la série originale (4) converge également. L'inégalité implique l'inégalité Puisque la série harmonique diverge (comme la série, alors par comparaison la série originale (4). ) diverge également. I Le théorème 6 reste valable dans le cas d'une inégalité plus générale Exemple 3. Examinons la série 4 pour la convergence En utilisant l'inégalité sin x ^ x, qui est valable pour tout, on trouve que pour Puisque la série converge, alors. par comparaison (ici A = y) cette série (5) converge également. Corollaire : S'il existe une limite finie non nulle, alors les séries (1) et (2) convergent ou divergent simultanément. De l'existence de la limite ci-dessus il s'ensuit que. pour tout nombre e > O, il existe un nombre N. tel que pour tout n > N l'inégalité ou Donc Si la série (2) converge, alors la série converge. Mais depuis lors, en vertu du théorème 6, la série (. 1) convergera également si la série (2) diverge, alors elle diverge et la série (e est considérée comme si petite que. Puisque n est pour tout le monde, d’après le théorème 6, la série (1) diverge. Commentaire. La condition du lemme équivaut au fait que les séquences сс, et Lbn at sont équivalentes ou, ce qui est pareil. Dans le cas I = 0, la convergence de la série (2) implique la convergence de la série (1). L’inverse n’est pas vrai. Dans le cas L = +oo, la divergence de la série (1) implique la divergence de la série (2). L’inverse n’est pas vrai. Exemples. Examinons la convergence des séries de nombres suivantes : 4 Comparons cette série avec la série harmonique que nous avons. Puisque la série harmonique diverge, cette série diverge également. Puis la série originale converge. §5. Test de D'Alembert oo Théorème 7 (Test de D'Alembert). Soit une série an où tout an > 0. S'il existe une limite n =\, alors la série converge et la série diverge.4 Soit une limite où Prendre q tel que. Alors pour tout nombre, par exemple pour e = , il existe un nombre N tel que pour tout n ^ N l'inégalité sera vraie, on aura notamment d'où pour tout De cette inégalité, donnant n successivement les valeurs. N, on obtient Les termes de la série ne dépassent pas les termes correspondants de la série qui converge comme une série composée de termes d'une progression géométrique avec un dénominateur. Par comparaison, la série converge, ce qui signifie que la série originale et converge également. . Dans le cas à partir d'un certain nombre N, l'inégalité sera satisfaite, ou par conséquent, une divergence, puisque le nécessaire est un signe de convergence. Commentaire. S'il existe ou non, alors le test de D'Alembert ne donne pas de réponse sur la convergence ou la divergence de la série. Exemples. Examinons la convergence des séries suivantes : Pour une série donnée, nous avons Test de comparaison pour les séries à termes positifs Test de D'Alembert Test de Cauchy Critère de Cauchy pour la convergence d'une série Par le test de D'Alembert la série converge. - bord supérieur. La contradiction qui en résulte prouve le théorème. CRITÈRE DE CAUCHY 1) K.K. convergence d'une suite de nombres : pour les nombres (réels ou complexes)=1, 2, . . ., avait une limite, il faut et il suffit que pour tout homme il existe un nombre N tel que pour tout Le critère de convergence d'une séquence de nombres est généralisé en un critère de convergence des points d'une métrique complète. espace. Séquence de points (xp) métrique complète l'espace converge si et seulement si pour tout il existe un tel N, que l'inégalité vaut pour tout le monde 2) K.K. limite d'existence des fonctions de n variables Soit f défini sur un ensemble d'espace Xre-dimensionnel Rn et prend des valeurs numériques (réelles ou complexes), UN - point limite d'un ensemble X (ou symbole, dans ce cas X est illimité). Une limite finie existe si et seulement si pour tout le monde il existe une telle limite. U=U(un) .
points UN, que pour tout et l'inégalité est vraie Ce critère se généralise à des cartographies plus générales : soit X- topologique UN -, son point limite auquel la comptabilité s'applique, O- métrique complète espace et f - Xв Y. (a).points attaquant le fait que l’inégalité vaut pour tous X- 3) Q. pour la convergence uniforme d'une famille de fonctions. Laisser son point limite auquel la comptabilité s'applique, certains ensemble, topologique un espace qui satisfait le premier axiome de dénombrabilité au point limite, R est une métrique complète. espace, f().
x, y topologique un espace qui satisfait le premier axiome de dénombrabilité au point limite, R est une métrique complète. espace, f(),
- cartographie de l'ensemble Famille de cartographies f( U=U(la cartographie pour un ensemble fixe X dans H, est uniformément convergente sur X si pour tout il existe un tel voisinage oui 0 la cartographie pour un ensemble fixe X dans H, est uniformément convergente sur X si pour tout il existe un tel voisinage).points et toute inégalité est satisfaite son point limite auquel la comptabilité s'applique, En particulier, si que pour tous les nombres, l'inégalité est vraie N, 4)K. à la convergence d'une série : le numérique converge si et seulement si pour tout il existe un tel nombre que pour tout entier, l'inégalité est vraie Pour les séries multiples, un critère de convergence similaire est appelé. Critère de Cauchy-Stolz. Par exemple, afin de convergé sur des sommes partielles rectangulaires N, il est nécessaire et suffisant qu'il y ait une telle chose pour tout le monde l'inégalité était satisfaite Ces critères sont généralisés aux séries dans les espaces de Banach (les normes des éléments correspondants sont prises à la place de la valeur absolue). a convergé uniformément sur l'ensemble X, il est nécessaire et suffisant qu'un tel numéro existe pour tout le monde N, que pour tout entier Ce critère s'étend également aux séries multiples, non seulement aux séries numériques, mais aussi aux séries dont les termes appartiennent aux espaces de Banach, c'est-à-dire lorsque et p(x).sont des mappages de l'ensemble X dans un certain essaim. 6) Q. pour la convergence des intégrales impropres : soit une fonction f définie sur un demi-intervalle, prenant des valeurs numériques sur elle et étant intégrable pour tout (Riemann ou Lebesgue) sur l'intervalle [ un, c].
Pour converge, il est nécessaire et suffisant que pour n'importe qui il existe tel que pour tous satisfaisant à la condition l'inégalité soit vraie Le critère est formulé de manière similaire pour les intégrales impropres d'autres types, et est également généralisé au cas où la fonction f dépend de plusieurs variables et que ses valeurs se situent dans un espace de Banach. 7) K.K. pour la convergence uniforme des intégrales impropres : soit la fonction f( topologique un espace qui satisfait le premier axiome de dénombrabilité au point limite, R est une métrique complète. espace, f().pour chaque fixe où son point limite auquel la comptabilité s'applique, un ensemble défini sur un demi-intervalle prend des valeurs numériques et est intégrable sur n'importe quel intervalle [ un, c].
Pour converge uniformément sur l'ensemble Y, il faut et suffisant que pour tout il y ait tel que pour tout satisfaisant les conditions et toutes l'inégalité soit vraie Ce critère s'étend également aux intégrales impropres d'autres types, au cas de fonctions à plusieurs variables et aux fonctions dont les valeurs se situent dans les espaces de Banach. Allumé.: C a u c h u A. L., Analyse algébrique, P., 1821 ; Stolz O., "Math. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71 ; Dieudonné J., Fondements de l'analyse moderne, trad. de l'anglais, M., 1964 ; Il'in V.A., Poznya à E.G., Fondamentaux de l'analyse mathématique, 3e éd., vol. 1, M., 1971, vol. 2, M., 1973 ; Kudryavtsev L. D., Cours d'analyse mathématique, t. .
1-2, M., 1981 ; 16] Nikolsky S.M., Cours d'analyse mathématique, 2e éd., vol. 1-2, M., 1975 ; Whittaker E. - T., V a tson J. - N., Cours d'analyse moderne, trad. de l'anglais, 2e éd., partie 1, M., 1963. L. D. Kudryavtsev. Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique. 1977-1985. Le critère de stabilité de Nyquist de Mikhailov est l'un des moyens de juger la stabilité d'un système de contrôle en boucle fermée par sa réponse de phase en boucle ouverte. C'est l'un des critères de stabilité de fréquence. Utiliser ce critère pour évaluer la stabilité... ... Wikipédia Le critère de stabilité de Nyquist de Mikhailov est l'un des moyens de juger de la stabilité d'un système de contrôle en boucle fermée par la réponse en fréquence amplitude-phase de son état ouvert. Est-ce l'un des critères de fréquence... ... Wikipédia Le critère de Cauchy est une série d'énoncés en analyse mathématique : Le critère de convergence d'une séquence (voir Séquence fondamentale) sur lequel est basée la définition d'un espace complet. Critère de convergence des signes positifs... ... Wikipédia Le critère de similarité est une grandeur sans dimension composée de paramètres physiques dimensionnels qui déterminent le phénomène physique considéré. L'égalité de tous les critères de similarité du même type pour deux phénomènes et systèmes physiques est nécessaire et... ... Wikipédia Le critère de stabilité de Nyquist de Mikhailov est l'un des moyens de juger de la stabilité d'un système de contrôle en boucle fermée par sa réponse en phase en boucle ouverte. C'est l'un des critères de stabilité de fréquence. En utilisant ce critère, l'évaluation de la stabilité est très ... ... Wikipedia - (Ca) critère de similarité en mécanique des milieux continus, exprimant le rapport de l'énergie cinétique à l'énergie de compression du milieu. Il est utilisé dans l'étude des vibrations des corps élastiques et de l'écoulement des liquides élastiques. Le nombre de Cauchy s'exprime comme suit : , où... ... Wikipédia Ce terme a d'autres significations, voir le signe de Cauchy. Le test intégral de Cauchy Maclaurin est un test de convergence d'une série de nombres positifs décroissants. Le test de Cauchy de Maclaurin permet de réduire la vérification de la convergence d'une série à... ... Wikipédia Le terme « test de Cauchy » peut faire référence à l'un des énoncés suivants : Test radical de Cauchy Test de Cauchy intégral de Maclaurin Critère de Cauchy Voir aussi Théorème de Cauchy... Wikipédia Sous-séquence (xn) satisfait État de Cauchy, si pour quelque chose de positif nombre réel ε > 0
il existe un nombre naturel N ε tel que Les séquences satisfaisant la condition de Cauchy sont également appelées séquences fondamentales. La condition de Cauchy peut être présentée sous une autre forme. Soit m > n.< n
,
то поменяем n
и m
местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем: Ici p est un nombre naturel. La condition de Cauchy peut alors être formulée comme suit : État de Cauchy La cohérence satisfait pour et tout p naturel . Le nombre apparaissant dans la condition de Cauchy dépend de ε. Autrement dit, c'est une fonction d'une variable réelle ε, dont l'étendue est l'ensemble des nombres naturels. Le nombre peut également être écrit sous la forme , comme il est d'usage pour désigner des fonctions. Preuve du critère de Cauchy pour la convergence d'une suite Preuve de nécessité Laissez la séquence converger vers à . Utilisons les propriétés des inégalités et appliquons (1.1) : Alors pour tout nous avons : Où . La nécessité est avérée. Preuve de suffisance Laissez la séquence satisfaire . Montrons qu'il converge vers un nombre fini. Nous divisons la preuve en trois parties. Nous prouvons d’abord que la suite est bornée. Ensuite, nous appliquons, selon lequel séquence limitée il existe une sous-suite convergeant vers un nombre fini. Et enfin, nous montrerons que toute la suite converge vers ce nombre. Il existe alors un nombre naturel pour lequel les inégalités suivantes sont vraies : Montrons que toute la suite converge vers le nombre a. Corrigeons le n. Alors (2.3.1) est une inégalité contenant une suite dans laquelle un nombre fini de premiers termes avec sont exclus. Un nombre fini de premiers termes n'affecte pas la convergence (voir Influence d'un nombre fini de termes sur la convergence d'une suite). Par conséquent, la limite pour une séquence tronquée est toujours a. Candidature propriétés des limites associées aux inégalités propriétés arithmétiques des limites Utilisons l'inégalité évidente : . Alors 
.
,
, est appelé fondamental si pour un nombre arbitraire 
il y a un tel nombre 
c'est pour tout le monde 
l’inégalité persiste 
.
est fondamental si pour un nombre arbitraire 
il y a un tel nombre 
c'est pour tout le monde 
et tout nombre naturel 
l’inégalité persiste 
.
,
, converge, c'est-à-dire existe
. Choisissons 
. Alors il y a un tel nombre 
c'est pour tout le monde 
l’inégalité est vraie : 
.
Et 
, Alors
=
,
est fondamental. Montrons qu'elle converge. La difficulté est de trouver un tel nombre UN, ce qui est sa limite.
. Devant tout le monde n≥
n 1
équitable:
.
les inégalités sont satisfaites 
, c'est 
limité.
- un ensemble de valeurs de membres de séquence dont les nombres ne sont pas inférieurs à celui sélectionné n. Par ce qui a été prouvé en a) l'ensemble X 1
limité. Et des investissements évidents 
il s'ensuit que chacun de ces ensembles est borné.
notons : 
,
. Des plongements donnés en b), il s'ensuit que la séquence 
augmente ( 
), et la séquence 
diminue ( 
). C'est pourquoi 
, c'est-à-dire que les séquences sont monotones et limitées et donc convergentes. Notez également que pour tous les produits naturels n les inégalités sont évidentes 
.
. Utilisons la condition de fondamentalité. Pour un nombre arbitraire 
il y a un tel nombre 
c'est pour tout le monde k
≥
n ε
les inégalités sont satisfaites 
. Ces inégalités nous permettent de conclure que
.
converge, laissez 
. Parce que 
et puis des inégalités 
et du lemme sur deux policiers, il s'ensuit que 
. La suffisance a été prouvée. Le théorème a été prouvé.3.9. Sous-séquences. Limites partielles
,
, est une séquence numérique et soit 
,
est une suite strictement croissante de nombres naturels. Alors une séquence de la forme 
,
, est appelée une sous-séquence de la séquence 
.
. Cette séquence diverge (voir section 3.2), mais ses sous-séquences 
Et 
convergent respectivement vers 1 et -1. Ces nombres sont donc des limites partielles de la séquence 
.
,
, converge vers le nombre un.
Alors toute sous-séquence converge également vers un.
,
, - sous-séquence de la séquence 
,
. 
Parce que 
est une suite strictement croissante de nombres naturels, alors 
devant tout le monde 
(c'est facile à prouver par induction). Choisissons 
. Par définition de la convergence unÀ 
pour tout le monde 
.Le théorème a été prouvé.
un
Et
un
Prouvez cela à partir des conditions 
un.
En raison du caractère limité de la séquence, nous pouvons préciser les nombres suivants 
ça pour n'importe qui 
les inégalités sont satisfaites 
. Diviser le segment 
en deux. Alors au moins une moitié contiendra un nombre infini de termes de la suite. Cela découle du fait que la séquence est constituée d'un nombre infini de termes et qu'il n'y a que deux moitiés. Choisissons cette moitié et notons-la par
Ensuite, un segment 
Divisons à nouveau en deux et choisissons la moitié contenant un nombre infini de termes de la suite. Notons-le par
. Poursuivant ce processus, 
-ème étape, nous obtenons le segment 
, qui contient une infinité de termes de cette séquence. Chacun des segments construits est contenu dans le précédent. Longueur de section 
égal à 
, c'est-à-dire tend vers zéro avec la croissance 
Et 
. En appliquant le lemme de Cantor sur des segments imbriqués, on obtient que les séquences tend vers la limite générale, on la note
sous-séquence. Comme 
choisir n'importe quel membre de la séquence 
contenu dans 
. Comme 
choisir un tel membre de la séquence 
, qui est contenu dans 
et numéro 
ce qui est plus 
(ici on utilise que le segment
contient une infinité de termes de la séquence). En argumentant de la même manière, sur 
-ème étape comme 
choisir un tel membre de la séquence 
, qui est contenu dans 
et numéro 
choisir un tel membre de la séquence 
. 
Rappelons que chacun des segments construits contient une infinité de termes de la séquence, ce qui détermine la possibilité d'un tel choix. Parce que 
.Le théorème a été prouvé.
. Le théorème éprouvé de Bolzano-Weierstrass peut être reformulé comme suit :
les limites partielles ne sont pas vides.
. Il y en a donc beaucoup 
a des bords supérieurs et inférieurs précis.
,
, est une suite bornée, et soit 
est l'ensemble de toutes ses limites partielles. Valeurs 
,
sont appelées respectivement limites inférieure et supérieure de la séquence 
.
,
appartiennent à plusieurs 
, mais néanmoins juste
, Quoi 
. Parce que 
<
, alors par définition de la limite supérieure exacte il y a 
depuis 
, pour lequel 
. Ensuite, il y a 
, pour lequel 
, et en général, pour n'importe qui 
il y aura 
, satisfaisant les inégalités :
.
est une limite partielle, alors tout voisinage 
contient une infinité de termes de séquence 
. Il y a donc un nombre 
, pour lequel 
; 
, pour lequel
il y a un numéro 
.
Poursuivre le raisonnement, pour tout le monde 
considérer
il y a un numéro 
.
La sous-séquence ainsi construite
.
.Le théorème a été prouvé.
Et 
Nous désignerons les limites supérieure et inférieure de la séquence par
Théorème 3.17 
;
– séquence limitée, 
. Alors pour tout nombre positif 
Et 
chacune des inégalités
Supposons le contraire. Laissez l'ensemble des nombres 
membres de la séquence satisfaisant l'inégalité 
, sans fin. Classons ces nombres par ordre strictement croissant : 
La sous-séquence ainsi construite 
Alors la sous-séquence 
. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en isoler une sous-suite convergente, la limite 
ce qui est plus que 
. C'est clair que 
, et cela contredit le fait que
effectué 
Pour qu'il y ait une limite U=U il est nécessaire et suffisant qu'il y ait un quartier pour chacun 
c'est pour tout le monde
ensemble de nombres naturels et N, alors la suite converge uniformément vers l'ensemble X si et seulement si pour tout il existe un tel nombre
qu'avec tout le monde et tout le monde entier
qu'avec tout le monde et tout le monde entier 
I.M. Vinogradov.
Livres
(1)
|x n - x m |< ε
при n >N ε , m > N ε .
;
.
Si m
(2)
, si pour tout il existe un nombre naturel tel queCritère de Cauchy pour la convergence des séquences
Pour qu’une suite ait une limite finie, il faut et il suffit qu’elle satisfasse à la condition de Cauchy.
.
limite finie
(1.1)
un:
Cela signifie qu'il existe une fonction telle que pour toute fonction, les inégalités suivantes sont vraies :
un:
Voir Définition de la limite de séquence.
.
Montrons que la suite satisfait . Pour ce faire, nous devons trouver une fonction telle que, pour tout , les inégalités suivantes soient satisfaites :
La dernière inégalité vaut pour .
Remplaçons-le par .à ,
(2.1.1)
un:
;
;
;
;
.
Montrons que la suite satisfaisant est bornée. Pour ce faire, dans la condition de Cauchy, nous posons .
.
Puisque la séquence satisfait , il existe une fonction pour laquelle les inégalités suivantes sont valables pour tout :
un:
Prenons comme terme le terme de la sous-suite convergente et remplaçons ε 1
par ε /2
:
(2.3.1)
un:
un:
Et
un:
un:
, pour , de (2.3.1) on a :
Autrement dit, pour tout il existe un nombre naturel, donc Cela signifie que le nombre a est la limite de la séquence entière (et pas seulement de sa sous-séquence. Le théorème est prouvé
