Sujet de la leçon : Fonction y=a et ses propriétés.
Type de cours: Apprendre du nouveau matériel.
Objectifs de la leçon:
Objectifs de la leçon :
Forme:
possibilité d'appliquer des propriétés fonction quadratique;
capacité à représenter graphiquement des fonctions ;
la capacité de formuler les propriétés d'une fonction quadratique ;
la capacité d’exprimer son opinion et de tirer des conclusions ;
Développer : la réflexion, la mémoire, la capacité d'exécution activité indépendante en classe.
Méthodes d'enseignement
par source de connaissance : conversation, exercices ;
par nature activité cognitive: recherche, explicatif et illustratif, reproductif.
Formes de formation: frontale.
Étapes de la leçon:
Moment d'organisation(1 mn).
Mise à jour connaissances de base et méthodes d'action (5 min).
Apprentissage de nouveau matériel (15 min).
Première application d'un nouveau matériau (20 min).
Fixation des devoirs (1 min).
Résumer la leçon (3 min).
| Activités des enseignants | Activité étudiante |
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| Moment d'organisation |
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| Bonjour les gars, asseyez-vous. | Les élèves s'assoient et écoutent le professeur. |
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| Actualiser les connaissances de base et les méthodes d’action |
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| Alors commençons. Ouvrez vos cahiers, notez le numéro, super travail. Aujourd'hui, en classe, nous étudierons nouveau matériel. Avant de passer à un nouveau sujet, répondez à quelques questions. L'enseignant pose des questions aux élèves - Qu'est-ce qu'une fonction ? Comment s’appelle le graphique d’une fonction ? Quels types de fonctions connaissez-vous ? Comment s’appelle une fonction linéaire ? Qu'est-ce qu'une fonction quadratique ? Avec quel type de fonction quadratique avez-vous déjà travaillé ? Comment est née cette fonction et comment s’appelle-t-elle ? Aujourd'hui, vous allez vous familiariser avec un nouveau type de fonction quadratique. C'est pourquoi nous écrivons nouveau sujet: « Fonction et ses propriétés. » | Notez le numéro dans votre cahier, excellent travail. Répondre aux questions des enseignants - Fonction – dépendance de un taille variable d'un autre. Le graphique d'une fonction est l'ensemble de tous les points plan de coordonnées, dont les abscisses sont égales aux valeurs de la variable indépendante, et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction. Avec linéaire et quadratique. Fonction linéaire appelée fonction de la forme . - Une fonction quadratique est une fonction où sont donnés nombres réels, est une variable réelle. Cette fonction s'appelle une parabole. Puisque la fonction quadratique a la forme , la parabole est obtenue avec les coefficients Écrivez un nouveau sujet dans un cahier |
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| Apprendre du nouveau matériel |
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| Lorsque a=1, la formule prend la forme . Nous avons déjà dit que le graphique de cette fonction est une parabole. Par conséquent, construisons un graphique de la fonction. Écrivons la tâche n°1 : Construisez un graphique de la fonction. Appelons quelqu'un au conseil d'administration.
Comme pour toute autre fonction, nous créons une table de valeurs. Quel genre d’horaire avons-nous eu ? Tâche suivante : Représenter graphiquement la fonction J'irai au tableau... L'enseignant appelle l'élève au tableau Nous résolvons également par analogie avec l'exemple précédent. Construisons maintenant un graphique en utilisant ces points. Relions les points avec une courbe lisse. Si l'on compare les graphiques des fonctions Selon vous, à quoi ressembleront les horaires ? Où seront alors dirigées les branches de la parabole du graphe ? Après tous les exemples résolus, quelle conclusion pouvons-nous tirer sur la fonction ? Parlons maintenant des propriétés de la fonction. Les graphiques de la fonction sont écrits au tableau et l'enseignant les utilise pour expliquer les propriétés. 1)Si a0, alors la fonction prend valeurs positivesà ; si un accepte valeurs négativesà ; la valeur de la fonction est 0 uniquement lorsque x=0. 2) La parabole est symétrique par rapport à l'axe des coordonnées. 3) Si a0, alors la fonction augmente à et diminue à si a diminue à et augmente à . | Les professeurs écoutent
Tâche n°1 : Construire un graphique de la fonction. Ils décident avec l'enseignant.
Nous avons une parabole. Notez la première tâche dans votre cahier Tâche n°2 : Représenter graphiquement la fonction Ils décident avec l'enseignant. Un des élèves vient au tableau Ils seront symétriques, puisque le graphique aura des valeurs opposées. Les branches de la parabole seront dirigées vers le bas. Le graphique d'une fonction est aussi une parabole. En a0, les branches sont dirigées vers le haut, en a Les professeurs écoutent |
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| Utilisation initiale de nouveau matériel |
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| Essayons maintenant de mettre en pratique les connaissances acquises. Nous ouvrons les manuels à la page 161 et notons les numéros dans les cahiers. L'enseignant appelle les élèves au tableau pour résoudre des problèmes Analysons oralement le n° 596. Déterminez la direction des branches de la parabole : Nous écrivons dans le cahier n°597 (1,3) : Construire des graphiques de fonctions sur un plan de coordonnées L'enseignant appelle l'élève au tableau | Ouvrez les manuels et notez le numéro dans le cahier Les élèves au tableau résolvent des problèmes Prononcer verbalement la solution au problème 1) - vers le haut, car a0 2) - vers le haut, car a0 3) - vers le bas, car un 4) -vers le bas, car un Un des élèves vient au tableau |
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| Fixer des devoirs |
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| Le professeur rapporte devoirs. Notre leçon est terminée. Écrivez vos devoirs. L'enseignant écrit ses devoirs au tableau. P 37 p. 157. Apprendre les propriétés. №595(2): Dessinez un graphique de la fonction sur du papier millimétré. À l'aide du graphique, trouvez approximativement les valeurs de x si y=9 ; 6 ; 2 ; 8 ; 1.3. №597 (2,4): Construire des graphiques de fonctions sur un plan de coordonnées À l'aide de graphiques, découvrez laquelle de ces fonctions augmente sur l'intervalle. | Écrivez vos devoirs. |
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| Résumer la leçon |
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| Qu'avons-nous appris en classe ? Tout était clair pour vous ? Ceci conclut notre leçon. Étudiants venus au conseil, venez me voir avec vos agendas. Au revoir! | Les élèves répondent aux questions : Nous avons étudié nouveau look fonction quadratique et ses propriétés. Dites au revoir au professeur. Ils viennent avec des journaux. |
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, alors on remarquera que pour le même x la valeur de la fonction est 2 fois 
, alors on remarquera que chaque point du graphe peut être obtenu à partir d'un point du graphe d'une fonction de même abscisse en diminuant son ordonnée de 2 fois. Par conséquent, le graphique de la fonction est obtenu en compressant 2 fois le graphique de la fonction sur l'axe Ox le long de l'axe Oy.
?Considérons une expression de la forme ax 2 + bx + c, où a, b, c sont des nombres réels et a est différent de zéro. Ce expression mathématique connu sous le nom de trinôme quadratique.
Rappelons que ah 2 est le terme le plus élevé de ce trinôme quadratique, a est son coefficient dominant.
Mais un trinôme quadratique n’a pas toujours les trois termes. Prenons par exemple l'expression 3x 2 + 2x, où a=3, b=2, c=0.
Passons à la fonction quadratique y=ax 2 +in+c, où a, b, c sont quelconques nombres arbitraires. Cette fonction est quadratique car elle contient un terme du deuxième degré, c'est-à-dire x au carré.
Il est assez simple de construire un graphique d'une fonction quadratique ; par exemple, vous pouvez utiliser la méthode d'isolement d'un carré parfait.
Considérons un exemple de construction d'un graphique de la fonction y est égal à -3x 2 - 6x + 1.
Pour ce faire, la première chose que l'on retient est le schéma permettant d'isoler un carré complet dans le trinôme -3x 2 - 6x + 1.
Retirons -3 des parenthèses pour les deux premiers termes. Nous avons -3 fois la somme x au carré plus 2x et ajoutons 1. En ajoutant et en soustrayant un entre parenthèses, nous obtenons la formule de la somme au carré, qui peut être réduite. On obtient -3 multiplié par la somme (x+1) au carré moins 1 plus 1. En ouvrant les parenthèses et en ramenant termes similaires, l'expression sort : -3 multiplié par le carré de la somme (x+1) plus 4.
Construisons un graphique de la fonction résultante en passant à un système de coordonnées auxiliaire avec l'origine au point de coordonnées (-1 ; 4).
Dans la figure de la vidéo, ce système est indiqué par des lignes pointillées. Associons la fonction y égale -3x2 au système de coordonnées construit. Pour plus de commodité, prenons des points de contrôle. Par exemple, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). En même temps, nous les mettrons de côté dans le système de coordonnées construit. La parabole obtenue lors de la construction est le graphique dont nous avons besoin. Sur la photo c'est une parabole rouge.
En utilisant la méthode d'isolement d'un carré complet, nous avons une fonction quadratique de la forme : y = a*(x+1) 2 + m.
Le graphique de la parabole y = ax 2 + bx + c peut être facilement obtenu à partir de la parabole y = ax 2 par translation parallèle. Ceci est confirmé par un théorème qui peut être prouvé en isolant carré parfait binôme. L'expression ax 2 + bx + c après transformations successives se transforme en une expression de la forme : a*(x+l) 2 + m. Traçons un graphique. Effectuons un mouvement parallèle de la parabole y = axe 2, en alignant le sommet avec un point de coordonnées (-l; m). L'important est que x = -l, ce qui signifie -b/2a. Cela signifie que cette droite est l'axe de la parabole axe 2 + bx + c, son sommet est au point dont l'abscisse x zéro est égal à moins b divisé par 2a, et l'ordonnée est calculée à l'aide de la formule encombrante 4ac - b 2 /. Mais vous n’êtes pas obligé de vous souvenir de cette formule. Puisque, en substituant la valeur de l'abscisse dans la fonction, on obtient l'ordonnée.
Pour déterminer l'équation de l'axe, la direction de ses branches et les coordonnées du sommet de la parabole, considérons l'exemple suivant.
Prenons la fonction y = -3x 2 - 6x + 1. Après avoir composé l'équation de l'axe de la parabole, nous avons que x = -1. Et cette valeur est la coordonnée x du sommet de la parabole. Il ne reste plus qu'à trouver l'ordonnée. En substituant la valeur -1 dans la fonction, nous obtenons 4. Le sommet de la parabole est au point (-1 ; 4).
Le graphique de la fonction y = -3x 2 - 6x + 1 a été obtenu lorsque transfert parallèle le graphique de la fonction y = -3x 2, ce qui signifie qu'elle se comporte de la même manière. Le coefficient directeur est négatif, donc les branches sont dirigées vers le bas.
On voit que pour toute fonction de la forme y = ax 2 + bx + c, la question la plus simple est la dernière question, c'est-à-dire la direction des branches de la parabole. Si le coefficient a est positif, alors les branches sont ascendantes, et s'il est négatif, alors les branches sont descendantes.
La deuxième question la plus difficile est la première question, car elle nécessite des calculs supplémentaires.
Et le plus seconde difficile, car, en plus des calculs, vous avez également besoin de connaître les formules par lesquelles x est nul et y est nul.
Construisons un graphique de la fonction y = 2x 2 - x + 1.
On détermine tout de suite - le graphique est une parabole, les branches sont dirigées vers le haut, puisque le coefficient directeur est 2, et ce nombre positif. En utilisant la formule, on trouve que l'abscisse x est nulle, elle est égale à 1,5. Pour trouver l'ordonnée, rappelez-vous que y zéro est égal à une fonction de 1,5 lors du calcul, on obtient -3,5 ;
Haut - (1,5 ; -3,5). Axe - x=1,5. Prenons les points x=0 et x=3. y=1. Marquons ces points. En trois points connus Nous construisons le graphique requis.
Pour tracer un graphique de la fonction ax 2 + bx + c il vous faut :
Trouvez les coordonnées du sommet de la parabole et marquez-les sur la figure, puis tracez l'axe de la parabole ;
Sur l'axe oh, prenez deux points symétriques par rapport à l'axe de la parabole, trouvez la valeur de la fonction en ces points et marquez-les sur le plan de coordonnées ;
Construisez une parabole passant par trois points ; si nécessaire, vous pouvez prendre plusieurs points supplémentaires et construire un graphique basé sur eux.
DANS exemple suivant nous apprendrons à trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction -2x 2 + 8x - 5 sur le segment.
Selon l'algorithme : a=-2, b=8, ce qui signifie que x zéro vaut 2 et y zéro vaut 3, (2;3) est le sommet de la parabole et x=2 est l'axe.
Prenons les valeurs x=0 et x=4 et trouvons les ordonnées de ces points. C'est -5. Nous construisons une parabole et déterminons que plus petite valeur fonctions -5 à x=0, et le plus grand 3, à x=2.
Comme le montre la pratique, les tâches sur les propriétés et les graphiques d'une fonction quadratique posent de sérieuses difficultés. C'est assez étrange, car ils étudient la fonction quadratique en 8e année, puis tout au long du premier quart de la 9e année, ils « tourmentent » les propriétés de la parabole et construisent ses graphiques pour divers paramètres.
Cela est dû au fait qu'en obligeant les étudiants à construire des paraboles, ils ne consacrent pratiquement pas de temps à la « lecture » des graphiques, c'est-à-dire qu'ils ne s'entraînent pas à comprendre les informations reçues de l'image. Apparemment, on suppose qu'après avoir construit une douzaine de graphiques, un étudiant intelligent découvrira et formulera lui-même la relation entre les coefficients de la formule et apparence graphique. En pratique, cela ne fonctionne pas. Pour une telle généralisation, une expérience sérieuse en mini-recherche mathématique est requise, ce que la plupart des élèves de neuvième année ne possèdent bien sûr pas. En attendant, l'Inspection d'Etat propose de déterminer les signes des coefficients à l'aide du barème.
Nous n'exigerons pas l'impossible des écoliers et proposerons simplement l'un des algorithmes permettant de résoudre de tels problèmes.
Donc une fonction de la forme y = hache 2 + bx + c dit quadratique, son graphe est une parabole. Comme son nom l'indique, le terme principal est hache 2. C'est UN ne doit pas être égal à zéro, les coefficients restants ( b Et Avec) peut être égal à zéro.
Voyons comment les signes de ses coefficients affectent l'apparence d'une parabole.
La dépendance la plus simple pour le coefficient UN. La plupart des écoliers répondent avec assurance : « si UN> 0, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si UN < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой UN > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
DANS dans ce cas UN = 0,5
Et maintenant pour UN < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
Dans ce cas UN = - 0,5
Impact du coefficient Avec C'est également assez facile à suivre. Imaginons que nous voulions trouver la valeur d'une fonction en un point X= 0. Remplacez zéro dans la formule :
oui = un 0 2 + b 0 + c = c. Il s'avère que y = c. C'est Avec est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe des y. Généralement, ce point est facile à trouver sur le graphique. Et déterminez s’il se situe au-dessus de zéro ou en dessous. C'est Avec> 0 ou Avec < 0.
Avec > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Avec < 0
y = x 2 + 4x - 3
En conséquence, si Avec= 0, alors la parabole passera nécessairement par l'origine :
y = x 2 + 4x
Plus difficile avec le paramètre b. Le point auquel nous le trouverons dépend non seulement de b mais aussi de UN. C'est le sommet de la parabole. Son abscisse (coordonnée de l'axe X) se trouve par la formule x dans = - b/(2a). Ainsi, b = - 2ax dans. C'est-à-dire que nous procédons comme suit : nous trouvons le sommet de la parabole sur le graphique, déterminons le signe de son abscisse, c'est-à-dire que nous regardons à droite de zéro ( x dans> 0) ou vers la gauche ( x dans < 0) она лежит.
Cependant, ce n'est pas tout. Il faut aussi faire attention au signe du coefficient UN. Autrement dit, regardez où sont dirigées les branches de la parabole. Et seulement après cela, selon la formule b = - 2ax dans déterminer le signe b.
Regardons un exemple :
Les branches sont dirigées vers le haut, ce qui signifie UN> 0, la parabole coupe l'axe à en dessous de zéro, c'est-à-dire Avec < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x dans> 0. Donc b = - 2ax dans = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: UN > 0, b < 0, Avec < 0.
