Considérons les équations suivantes :

1. 2*x + 3*y = 15 ;

2. x 2 + y 2 = 4 ;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Chacune des équations présentées ci-dessus est une équation à deux variables. De nombreux points avion coordonné, dont les coordonnées transforment l'équation en une égalité numérique correcte, est appelé graphique d'une équation à deux inconnues.

Représenter graphiquement une équation à deux variables

Les équations à deux variables ont une grande variété de graphiques. Par exemple, pour l'équation 2*x + 3*y = 15 le graphique sera une droite, pour l'équation x 2 + y 2 = 4 le graphique sera un cercle de rayon 2, le graphique de l'équation y* x = 1 sera une hyperbole, etc.

Les équations entières à deux variables ont également un concept tel que le degré. Ce degré est déterminé de la même manière que pour une équation entière à une variable. Pour ce faire, mettez l'équation sous la forme lorsque côté gauche il y a un polynôme vue générale, et celui de droite est zéro. Cela se fait par des transformations équivalentes.

Méthode graphique pour résoudre des systèmes d'équations

Voyons comment résoudre des systèmes d'équations composés de deux équations à deux variables. Considérons une méthode graphique pour résoudre de tels systèmes.

Exemple 1. Résolvez le système d'équations :

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Construisons des graphiques des première et deuxième équations dans le même système de coordonnées. Le graphique de la première équation sera un cercle avec un centre à l'origine et un rayon de 5. Le graphique de la deuxième équation sera une parabole avec des branches descendantes.

Tous les points sur les graphiques satisferont chacun leur propre équation. Nous devons trouver des points qui satisferont à la fois la première et la deuxième équation. Évidemment, ce seront les points d’intersection de ces deux graphiques.

En utilisant notre figure, nous trouvons valeurs approximatives coordonnées auxquelles ces points se croisent. Nous obtenons les résultats suivants :

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Cela signifie que notre système d’équations a quatre solutions.

x1 ≈ -2,2 ; y1 ≈ -4,5 ;

x2 ≈ 0 ; y2 ≈ 5 ;

x3 ≈ 2,2 ; y3 ≈ 4,5 ;

x4 ≈ 4, y4 ≈ -3.

Si nous substituons ces valeurs dans les équations de notre système, nous pouvons voir que les première et troisième solutions sont approximatives et que les deuxième et quatrième sont exactes. Méthode graphique souvent utilisé pour estimer le nombre de racines et leurs limites approximatives. Les solutions sont souvent approximatives plutôt qu’exactes.

Dans cette leçon, nous examinerons la résolution de systèmes de deux équations à deux variables. Tout d'abord, regardons la solution graphique d'un système de deux équations linéaires et les spécificités de l'ensemble de leurs graphiques. Ensuite, nous résoudrons plusieurs systèmes en utilisant la méthode graphique.

Sujet : Systèmes d'équations

Leçon : Méthode graphique pour résoudre un système d'équations

Considérez le système

Une paire de nombres qui est simultanément une solution à la fois à la première et à la deuxième équation du système est appelée résoudre un système d'équations.

Résoudre un système d'équations signifie trouver toutes ses solutions, ou établir qu'il n'y a pas de solutions. Nous avons examiné les graphiques des équations de base, passons à la considération des systèmes.

Exemple 1. Résoudre le système

Solution:

Ce sont des équations linéaires, le graphique de chacune d'elles est une ligne droite. Le graphique de la première équation passe par les points (0 ; 1) et (-1 ; 0). Le graphique de la deuxième équation passe par les points (0 ; -1) et (-1 ; 0). Les droites se coupent au point (-1 ; 0), c'est la solution du système d'équations ( Riz. 1).

La solution du système est une paire de nombres. En substituant cette paire de nombres dans chaque équation, nous obtenons l'égalité correcte.

Nous avons seule décision système linéaire.

Rappelons que lors de la résolution d'un système linéaire, les cas suivants sont possibles :

le système a une solution unique : les lignes se croisent,

le système n'a pas de solutions - les lignes sont parallèles,

le système a un nombre infini de solutions – les droites coïncident.

Nous avons examiné cas particulier systèmes lorsque p(x; y) et q(x; y) sont des expressions linéaires de x et y.

Exemple 2. Résoudre un système d'équations

Solution:

Le graphique de la première équation est une droite, le graphique de la deuxième équation est un cercle. Construisons le premier graphique par points (Fig. 2).

Le centre du cercle est au point O(0; 0), le rayon est 1.

Les graphiques se croisent au point A(0 ; 1) et au point B(-1 ; 0).

Exemple 3. Résoudre le système graphiquement

Solution : Construisons un graphique de la première équation - c'est un cercle avec un centre à t.O(0; 0) et un rayon 2. Le graphique de la deuxième équation est une parabole. Il est décalé vers le haut de 2 par rapport à l'origine, soit son sommet est le point (0 ; 2) (Fig. 3).

Les graphiques en ont un point commun-t.UNE(0;2). C'est la solution au système. Insérons quelques nombres dans l'équation pour vérifier si elle est correcte.

Exemple 4. Résoudre le système

Solution : Construisons un graphique de la première équation - c'est un cercle avec un centre à t.O(0; 0) et un rayon 1 (Fig. 4).

Traçons la fonction C'est une ligne brisée (Fig. 5).

Déplaçons-le maintenant de 1 vers le bas le long de l'axe oy. Ce sera le graphique de la fonction

Plaçons les deux graphiques dans le même système de coordonnées (Fig. 6).

Nous obtenons trois points d'intersection - point A(1; 0), point B(-1; 0), point C(0; -1).

Nous avons examiné la méthode graphique de résolution de systèmes. Si vous pouvez représenter graphiquement chaque équation et trouver les coordonnées des points d'intersection, cette méthode est tout à fait suffisante.

Mais souvent la méthode graphique permet de trouver uniquement une solution approximative du système ou de répondre à la question sur le nombre de solutions. Par conséquent, d'autres méthodes sont nécessaires, plus précises, et nous les aborderons dans les leçons suivantes.

1. Mordkovitch A.G. et autres. Algèbre 9e année : Manuel. Pour l'enseignement général Institutions.- 4e éd. - M. : Mnémosyne, 2002.-192 p. : ill.

2. Mordkovitch A.G. et autres. Algèbre 9e année : Livre de problèmes pour les étudiants. les établissements d'enseignement/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et autres - 4e éd. - M. : Mnémosyne, 2002.-143 p. : ill.

3. Makarychev Yu. N. Algèbre. 9e année : pédagogique. pour les étudiants de l'enseignement général. institutions / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algèbre. 9e année. 16e éd. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A.G. Algèbre. 9e année. En 2 heures. Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12e éd., effacé. - M. : 2010. - 224 p. : ill.

6. Algèbre. 9e année. En 2 parties. Partie 2. Livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina et autres ; Éd. A. G. Mordkovitch. — 12e éd., rév. - M. : 2010.-223 p. : ill.

1. Section College.ru sur les mathématiques ().

2. Projet Internet « Tâches » ().

3. Portail éducatif« JE RÉSOUDRAI L'UTILISATION » ().

1. Mordkovitch A.G. et autres. Algèbre 9e année : Livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4e éd. - M. : Mnémosyne, 2002.-143 p. : ill. N° 105, 107, 114, 115.

Didacticiel vidéo " Méthode graphique solutions de systèmes d'équations" présente Matériel pédagogique pour maîtriser ce sujet. Le matériel contient concept général sur la résolution d'un système d'équations, ainsi que explication détaillée en utilisant un exemple de la façon dont un système d’équations est résolu graphiquement.

L'aide visuelle utilise l'animation pour rendre les constructions plus pratiques et compréhensibles, ainsi que différentes façons décharge notions importantes et des détails pour une compréhension approfondie de la matière et une meilleure mémorisation.

La leçon vidéo commence par l'introduction du sujet. On rappelle aux élèves ce qu'est un système d'équations et quels systèmes d'équations ils connaissaient déjà en 7e année. Auparavant, les élèves devaient résoudre des systèmes d'équations de la forme ax+by=c. Approfondissant le concept de résolution de systèmes d'équations et afin de développer la capacité de les résoudre, cette leçon vidéo examine la solution d'un système composé de deux équations du deuxième degré, ainsi que d'une équation du deuxième degré et de la seconde du premier degré. Cela nous rappelle ce qu’est la résolution d’un système d’équations. La définition d'une solution d'un système comme une paire de valeurs de variables qui inversent ses équations lorsqu'elles sont remplacées par une égalité correcte est affichée à l'écran. Conformément à la définition de la solution système, la tâche est spécifiée. Il s'affiche à l'écran pour rappeler que résoudre un système signifie trouver des solutions adaptées ou prouver leur absence.

Il est proposé de maîtriser une méthode graphique pour résoudre un certain système d'équations. Application cette méthode est considéré en utilisant l'exemple de la résolution d'un système constitué des équations x 2 +y 2 =16 et y=-x 2 +2x+4. Solution graphique Le système commence par tracer chacune de ces équations. Évidemment, le graphique de l'équation x 2 + y 2 = 16 sera un cercle. Les points appartenant à un cercle donné sont la solution de l'équation. A côté de l'équation, un cercle de rayon 4 de centre O à l'origine est construit sur le plan de coordonnées. Le graphique de la deuxième équation est une parabole dont les branches sont abaissées. Cette parabole correspondant au graphique de l'équation est construite sur le plan de coordonnées. N'importe quel moment appartenant à une parabole, est une solution de l'équation y=-x 2 +2x+4. Il est expliqué que la solution d'un système d'équations est constituée de points sur les graphiques qui appartiennent simultanément aux graphiques des deux équations. Cela signifie que les points d'intersection des graphiques construits seront des solutions du système d'équations.

On note que la méthode graphique consiste à trouver la valeur approximative des coordonnées de points situés à l'intersection de deux graphiques, qui reflètent l'ensemble des solutions de chaque équation du système. La figure montre les coordonnées des points d'intersection trouvés des deux graphiques : A, B, C, D[-2;-3.5]. Ces points sont des solutions à un système d'équations trouvé graphiquement. Vous pouvez vérifier leur exactitude en les substituant dans l'équation et en obtenant une juste égalité. Après avoir remplacé les points dans l’équation, il est clair que certains points donnent valeur exacte solutions, et la partie représente la valeur approximative de la solution de l'équation : x 1 =0, y 1 =4 ; x 2 =2, y 2 ≈3,5 ; x 3 ≈3,5, y 3 = -2 ; x 4 = -2, y 4 ≈-3,5.

Le didacticiel vidéo explique en détail l'essence et l'application de la méthode graphique de résolution d'un système d'équations. Cela permet de l'utiliser comme didacticiel vidéo dans un cours d'algèbre à l'école lors de l'étude de ce sujet. Le matériel sera également utile pour auto-apprentissageétudiants et peut aider à expliquer le sujet lors de l’enseignement à distance.

Premier niveau

Résoudre des équations, des inégalités, des systèmes à l'aide de graphiques de fonctions. Guide visuel (2019)

De nombreuses tâches que nous avons l'habitude de calculer de manière purement algébrique peuvent être résolues beaucoup plus facilement et plus rapidement à l'aide de graphiques de fonctions ; Vous dites "comment ça?" dessiner quelque chose, et que dessiner ? Croyez-moi, c'est parfois plus pratique et plus facile. Commençons? Commençons par les équations !

Solution graphique des équations

Solution graphique d'équations linéaires

Comme vous le savez déjà, le graphique d'une équation linéaire est une ligne droite, d'où le nom de ce type. Les équations linéaires sont assez faciles à résoudre algébriquement : nous transférons toutes les inconnues d'un côté de l'équation, tout ce que nous savons de l'autre, et le tour est joué ! Nous avons trouvé la racine. Maintenant, je vais vous montrer comment faire graphiquement.

Vous avez donc l'équation :

Comment le résoudre?
Option 1, et la plus courante consiste à déplacer les inconnues d’un côté et les connues de l’autre, on obtient :

Maintenant, construisons. Qu'est-ce que vous obtenez?

Selon vous, quelle est la racine de notre équation ? C'est vrai, la coordonnée du point d'intersection des graphiques est :

Notre réponse est

C'est toute la sagesse de la solution graphique. Comme vous pouvez facilement le vérifier, la racine de notre équation est un nombre !

Comme je l'ai dit plus haut, c'est l'option la plus courante, proche de solution algébrique, mais vous pouvez le résoudre différemment. Pour examen solution alternative Revenons à notre équation :

Cette fois, nous ne déplacerons rien d’un côté à l’autre, mais construirons directement les graphiques, puisqu’ils existent désormais :

Construit? Voyons!

Quelle est la solution cette fois-ci ? C'est exact. La même chose - la coordonnée du point d'intersection des graphiques :

Et encore une fois, notre réponse est la suivante.

Comme vous pouvez le constater, avec équations linéaires tout est extrêmement simple. Il est temps de regarder quelque chose de plus complexe... Par exemple, solution graphique d'équations quadratiques.

Solution graphique d'équations quadratiques

Alors maintenant, commençons à résoudre l’équation quadratique. Disons que vous devez trouver les racines de cette équation :

Bien sûr, vous pouvez maintenant commencer à compter via le discriminant, ou selon le théorème de Vieta, mais beaucoup de gens, par nerfs, font des erreurs en multipliant ou en quadrature, surtout si l'exemple est avec grands nombres, et, comme vous le savez, vous n'aurez pas de calculatrice pour l'examen... Essayons donc de nous détendre un peu et de dessiner tout en résolvant cette équation.

Trouver des solutions graphiquement équation donnée Peut différentes façons. Examinons les différentes options et vous pourrez choisir celle que vous préférez.

Méthode 1. Directement

On construit simplement une parabole en utilisant cette équation :

Pour y parvenir rapidement, je vais vous donner un petit indice : Il est pratique de commencer la construction en déterminant le sommet de la parabole. Les formules suivantes aideront à déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole :

Vous direz « Stop ! La formule pour est très similaire à la formule pour trouver le discriminant », oui, c'est le cas, et c'est un énorme inconvénient de construire « directement » une parabole pour trouver ses racines. Cependant, comptons jusqu'au bout, et ensuite je vous montrerai comment le faire beaucoup (beaucoup !) plus facilement !

As-tu compté ? Quelles coordonnées avez-vous obtenues pour le sommet de la parabole ? Voyons cela ensemble :

Exactement la même réponse ? Bien joué! Et maintenant, nous connaissons déjà les coordonnées du sommet, mais pour construire une parabole, nous avons besoin de plus... de points. De combien de points minimum pensez-vous que nous avons besoin ? Droite, .

Vous savez qu'une parabole est symétrique par rapport à son sommet, par exemple :

En conséquence, nous avons besoin de deux points supplémentaires sur la branche gauche ou droite de la parabole, et à l'avenir nous refléterons symétriquement ces points sur le côté opposé :

Revenons à notre parabole. Pour notre cas, point final. Nous avons besoin de deux points supplémentaires, pour pouvoir en prendre des positifs, ou pouvons-nous en prendre des négatifs ? Quels sont les points qui vous conviennent le mieux ? C'est plus pratique pour moi de travailler avec des positifs, donc je vais calculer en et.

Nous avons maintenant trois points et nous pouvons facilement construire notre parabole en réfléchissant deux derniers points par rapport à son sommet :

Selon vous, quelle est la solution de l’équation ? C'est vrai, les points auxquels, c'est-à-dire et. Parce que.

Et si nous disons cela, cela signifie que cela doit aussi être égal, ou.

Juste? Nous avons fini de résoudre l'équation avec vous de manière graphique complexe, ou il y en aura plus !

Bien sûr, vous pouvez vérifier notre réponse algébriquement - vous pouvez calculer les racines en utilisant le théorème de Vieta ou le discriminant. Qu'est-ce que vous obtenez? Le même? Voilà, vous voyez ! Voyons maintenant une solution graphique très simple, je suis sûr que vous l'aimerez vraiment !

Méthode 2. Divisé en plusieurs fonctions

Reprenons notre même équation : , mais nous l'écrirons un peu différemment, à savoir :

Peut-on l'écrire ainsi ? Nous pouvons, puisque la transformation est équivalente. Regardons plus loin.

Construisons deux fonctions séparément :

1. - l'horaire est parabole simple, que vous pouvez facilement construire même sans définir le sommet à l'aide de formules et sans dresser un tableau pour déterminer d'autres points.
2. - le graphique est une droite, que vous pouvez tout aussi bien construire en estimant les valeurs dans votre tête sans même recourir à une calculatrice.

Construit? Comparons avec ce que j'ai obtenu :

Pensez-vous que dans dans ce cas sont les racines de l'équation ? Droite! Les coordonnées obtenues par l'intersection de deux graphiques et, soit :

La solution de cette équation est donc :

Que dites-vous? D'accord, cette méthode de solution est bien plus simple que la précédente et encore plus simple que de chercher des racines via un discriminant ! Si tel est le cas, essayez de résoudre l’équation suivante en utilisant cette méthode :

Qu'est-ce que vous obtenez? Comparons nos graphiques :

Les graphiques montrent que les réponses sont :

Avez-vous réussi ? Bien joué! Examinons maintenant les équations un peu plus compliquées, à savoir la solution équations mixtes, c'est-à-dire des équations contenant des fonctions de différents types.

Solution graphique d'équations mixtes

Essayons maintenant de résoudre les problèmes suivants :

Bien sûr, nous pouvons tout apporter dénominateur commun, trouvez les racines de l'équation résultante, sans oublier de prendre en compte l'ODZ, mais encore une fois, nous essaierons de la résoudre graphiquement, comme nous l'avons fait dans tous les cas précédents.

Cette fois, construisons les 2 graphiques suivants :

1. - le graphique est une hyperbole
2. - le graphique est une ligne droite, que vous pouvez facilement construire en estimant les valeurs dans votre tête sans même recourir à une calculatrice.

Vous l'avez compris ? Maintenant, commencez à construire.

Voici ce que j'ai obtenu :

En regardant cette image, dites-moi quelles sont les racines de notre équation ?

C'est vrai, et. Voici la confirmation :

Essayez de brancher nos racines dans l’équation. Arrivé?

C'est exact! D'accord, résoudre graphiquement de telles équations est un plaisir !

Essayez de résoudre l'équation graphiquement vous-même :

Je vais vous donner un indice : déplacez une partie de l'équation vers côté droit, de sorte que des deux côtés il y ait les fonctions les plus simples à construire. Avez-vous compris l'indice ? Passer à l'action!

Voyons maintenant ce que vous avez :

Respectivement:

1. - parabole cubique.
2. - une ligne droite ordinaire.

Eh bien, construisons :

Comme vous l'avez écrit il y a longtemps, la racine de cette équation est - .

Ayant décidé cela un grand nombre de exemples, je suis sûr que vous avez réalisé à quel point il est facile et rapide de résoudre des équations graphiquement. Il est temps de comprendre comment résoudre les systèmes de cette manière.

Solution graphique des systèmes

La résolution graphique de systèmes n’est fondamentalement pas différente de la résolution graphique d’équations. Nous construirons également deux graphiques, et leurs points d'intersection seront les racines de ce système. Un graphique est une équation, le deuxième graphique est une autre équation. Tout est extrêmement simple !

Commençons par la chose la plus simple : résoudre des systèmes d'équations linéaires.

Résolution de systèmes d'équations linéaires

Disons que nous avons le système suivant :

Tout d'abord, transformons-le pour qu'à gauche il y ait tout ce qui est lié, et à droite - tout ce qui est lié. En d’autres termes, écrivons ces équations sous forme de fonction sous notre forme habituelle :

Maintenant, nous construisons simplement deux lignes droites. Quelle est la solution dans notre cas ? Droite! Le point de leur intersection ! Et ici, il faut être très, très prudent ! Pensez-y, pourquoi ? Laissez-moi vous donner un indice : nous avons affaire à un système : dans le système il y a les deux, et... Vous avez compris ?

C'est exact! Lors de la résolution d’un système, il faut regarder les deux coordonnées, et pas seulement comme lors de la résolution d’équations ! Un autre point important- écrivez-les correctement et ne confondez pas où nous avons le sens et où est le sens ! L'avez-vous écrit ? Comparons maintenant tout dans l'ordre :

Et les réponses : et. Faites une vérification - remplacez les racines trouvées dans le système et assurez-vous que nous l'avons résolu correctement graphiquement ?

Résolution de systèmes d'équations non linéaires

Et si, au lieu d'une ligne droite, nous avions équation quadratique? C'est bon! Vous construisez simplement une parabole au lieu d’une ligne droite ! Ne crois pas? Essayez de résoudre le système suivant :

Quelle est notre prochaine étape ? C'est vrai, écrivez-le pour qu'il soit pratique pour nous de créer des graphiques :

Et maintenant, tout n’est qu’une question de petites choses : construisez-le rapidement et voici votre solution ! Nous construisons :

Les graphiques se sont-ils révélés identiques ? Marquez maintenant les solutions du système sur la figure et notez correctement les réponses identifiées !

J'ai tout fait ? Comparez avec mes notes :

Est-ce que tout va bien ? Bien joué! Vous cliquez déjà tâches similaires comme des noix ! Si tel est le cas, donnons-nous un système plus compliqué :

Qu'est-ce que nous faisons? Droite! Nous écrivons le système de manière à ce qu'il soit pratique de construire :

Je vais vous donner un petit indice, car le système a l'air très compliqué ! Lorsque vous construisez des graphiques, construisez-les « plus » et surtout, ne soyez pas surpris par le nombre de points d'intersection.

Alors allons-y! Expiré ? Maintenant, commencez à construire !

Alors comment ? Beau? Combien de points d’intersection avez-vous obtenu ? J'ai trois! Comparons nos graphiques :

Aussi? Maintenant, notez soigneusement toutes les solutions de notre système :

Maintenant, regardez à nouveau le système :

Pouvez-vous imaginer que vous avez résolu ce problème en seulement 15 minutes ? D'accord, les mathématiques sont encore simples, surtout quand on regarde une expression, on n'a pas peur de se tromper, mais il suffit de la prendre et de la résoudre ! Tu es un grand garçon !

Solution graphique des inégalités

Solution graphique des inégalités linéaires

Après dernier exemple Vous pouvez tout gérer ! Maintenant, expirez – par rapport aux sections précédentes, celle-ci sera très, très facile !

Nous commencerons, comme d'habitude, par une solution graphique inégalité linéaire. Par exemple, celui-ci :

Commençons par effectuer les transformations les plus simples - ouvrons les parenthèses carrés pleins et donnez des termes similaires :

L'inégalité n'est pas stricte, donc elle n'est pas incluse dans l'intervalle, et la solution sera tous les points qui sont à droite, puisque plus, plus, et ainsi de suite :

Répondre:

C'est tout! Facilement? Résolvons une inégalité simple à deux variables :

Dessinons une fonction dans le système de coordonnées.

Avez-vous eu un horaire comme celui-ci ? Examinons maintenant attentivement quelles inégalités nous avons là-bas ? Moins? Cela signifie que nous peignons tout ce qui se trouve à gauche de notre ligne droite. Et s'il y en avait plus ? C'est vrai, alors nous peindrions tout ce qui se trouve à droite de notre ligne droite. C'est simple.

Toutes les solutions de cette inégalité"ombré" orange. Ça y est, l'inégalité à deux variables est résolue. Cela signifie que les coordonnées de n’importe quel point de la zone ombrée sont les solutions.

Solution graphique des inégalités quadratiques

Nous allons maintenant comprendre comment résoudre graphiquement les inégalités quadratiques.

Mais avant de passer aux choses sérieuses, passons en revue quelques éléments concernant la fonction quadratique.

De quoi est responsable le discriminant ? C'est vrai, pour la position du graphique par rapport à l'axe (si vous ne vous en souvenez pas, lisez absolument la théorie sur les fonctions quadratiques).

Dans tous les cas, voici un petit rappel pour vous :

Maintenant que nous avons rafraîchi tout le matériel dans notre mémoire, passons aux choses sérieuses : résolvez l'inégalité graphiquement.

Je vais vous dire tout de suite qu'il existe deux options pour le résoudre.

Option 1

On écrit notre parabole en fonction :

À l'aide des formules, nous déterminons les coordonnées du sommet de la parabole (exactement les mêmes que lors de la résolution d'équations quadratiques) :

As-tu compté ? Qu'est-ce que vous obtenez?

Prenons maintenant deux autres points différents et calculons-les :

Commençons par construire une branche de la parabole :

Nous réfléchissons symétriquement nos points sur une autre branche de la parabole :

Revenons maintenant à notre inégalité.

Nous avons besoin que ce soit moins que zéro, respectivement:

Puisque dans notre inégalité le signe est strictement inférieur à, alors points de terminaison nous excluons - "repiquez".

Répondre:

Un long chemin, non ? Je vais maintenant vous montrer une version plus simple de la solution graphique en utilisant l'exemple de la même inégalité :

Option 2

Nous revenons à notre inégalité et marquons les intervalles dont nous avons besoin :

D'accord, c'est beaucoup plus rapide.

Écrivons maintenant la réponse :

Considérons une autre solution qui simplifie la partie algébrique, mais l'essentiel est de ne pas se tromper.

Multipliez les côtés gauche et droit par :

Essayez de résoudre vous-même les problèmes suivants inégalité quadratique comme vous le souhaitez : .

Avez-vous réussi ?

Regardez comment mon graphique s'est avéré :

Répondre: .

Solution graphique des inégalités mixtes

Passons maintenant à des inégalités plus complexes !

Comment aimes-tu cela:

C'est effrayant, n'est-ce pas ? Honnêtement, je n'ai aucune idée de comment résoudre cela algébriquement... Mais ce n'est pas nécessaire. Graphiquement, cela n’a rien de compliqué ! Les yeux ont peur, mais les mains s'en sortent !

La première chose par laquelle nous commencerons est de construire deux graphiques :

Je n'écrirai pas de tableau pour chacun - je suis sûr que vous pouvez le faire parfaitement vous-même (wow, il y a tellement d'exemples à résoudre !).

L'as-tu peint ? Construisez maintenant deux graphiques.

Comparons nos dessins ?

Est-ce pareil chez vous ? Super! Maintenant, organisons les points d'intersection et utilisons la couleur pour déterminer quel graphique nous devrions avoir en théorie le plus grand. Regardez ce qui s'est passé à la fin :

Maintenant, regardons simplement où notre graphique sélectionné est plus haut que le graphique ? N'hésitez pas à prendre un crayon et à peindre sur cette zone ! Elle sera la solution à nos inégalités complexes !

À quels intervalles le long de l'axe nous trouvons-nous plus haut ? Droite, . C'est la réponse !

Eh bien, vous pouvez désormais gérer n’importe quelle équation, n’importe quel système, et encore plus n’importe quelle inégalité !

EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Algorithme de résolution d'équations à l'aide de graphiques de fonctions :

1. Exprimons-le à travers
2. Définissons le type de fonction
3. Construisons des graphiques des fonctions résultantes
4. Trouvons les points d'intersection des graphiques
5. Écrivons correctement la réponse (en tenant compte des signes ODZ et d'inégalité)
6. Vérifions la réponse (remplacez les racines dans l'équation ou le système)

Pour plus d'informations sur la construction de graphiques de fonctions, consultez la rubrique "".