Considérons Distribution de Poisson, calculons son espérance mathématique, sa dispersion et son mode. À l'aide de la fonction MS EXCEL POISSON.DIST(), nous construirons des graphiques de la fonction de distribution et de la densité de probabilité. Estimons le paramètre de distribution, son espérance mathématique et l'écart type.

Laissons-le sécher d'abord définition formelle distributions, nous donnons ensuite des exemples de situations où Distribution de Poisson(Anglais) Poissondistribution) est un modèle adéquat pour décrire une variable aléatoire.

Si des événements aléatoires se produisent dans une période de temps donnée (ou dans un certain volume de matière) avec une fréquence moyenne λ( lambda), puis le nombre d'événements x, survenu pendant cette période aura Distribution de Poisson.

Application de la distribution de Poisson

Exemples quand Distribution de Poisson est un modèle adéquat :

• nombre d'appels reçus le central téléphonique pendant une certaine période de temps ;
• le nombre de particules qui ont subi une désintégration radioactive sur une certaine période de temps ;
• nombre de défauts dans un morceau de tissu d'une longueur fixe.

Distribution de Poisson est un modèle adéquat si les conditions suivantes sont remplies :

• les événements se produisent indépendamment les uns des autres, c'est-à-dire la probabilité d'un événement ultérieur ne dépend pas du précédent ;
• le taux d’événements moyen est constant. En conséquence, la probabilité d’un événement est proportionnelle à la longueur de l’intervalle d’observation ;
• deux événements ne peuvent pas se produire en même temps ;
• le nombre d'événements doit prendre la valeur 0 ; 1 ; 2…

Note: Un bon indice est que l'observable variable aléatoire a distribution de Poisson, est le fait qu'il est à peu près égal (voir ci-dessous).

Vous trouverez ci-dessous des exemples de situations dans lesquelles Distribution de Poisson ne peut pasêtre appliqué :

• le nombre d'étudiants qui quittent l'université dans l'heure (puisque le flux moyen d'étudiants n'est pas constant : pendant les cours il y a peu d'étudiants, et pendant la pause entre les cours le nombre d'étudiants augmente fortement) ;
• nombre de tremblements de terre de magnitude 5 par an en Californie (puisqu'un tremblement de terre peut provoquer des répliques d'amplitude similaire - les événements ne sont pas indépendants) ;
• le nombre de jours que les patients passent en réanimation (car le nombre de jours que les patients passent en réanimation est toujours supérieur à 0).

Note: Distribution de Poisson est une approximation plus précise distributions discrètes: Et .

Note: À propos de la relation Distribution de Poisson Et Distribution binomiale peut-on lire dans l’article. À propos de la relation Distribution de Poisson Et Distribution exponentielle peut être lu dans l'article sur.

Distribution de Poisson dans MS EXCEL

Dans MS EXCEL, à partir de la version 2010, pour Distribution Poisson il existe une fonction POISSON.DIST() , Nom anglais- POISSON.DIST(), qui permet de calculer non seulement la probabilité de ce qui va se passer sur une période de temps donnée Xévénements (fonction densité de probabilité p(x), voir formule ci-dessus), mais aussi (la probabilité que pendant une période de temps donnée au moins xévénements).

Avant MS EXCEL 2010, EXCEL disposait de la fonction POISSON(), qui permet également de calculer fonction de distribution Et densité de probabilité p(x). POISSON() est laissé dans MS EXCEL 2010 pour des raisons de compatibilité.

Le fichier d'exemple contient des graphiques distribution de densité de probabilité Et fonction de distribution cumulative.

Distribution de Poisson a une forme biseautée ( longue queue du côté droit de la fonction de probabilité), mais à mesure que le paramètre augmente, λ devient de plus en plus symétrique.

Note: Moyenne Et dispersion(carré) sont égaux au paramètre Distribution de Poisson– λ (voir exemple de fichier de feuille Exemple).

Tâche

Application typique Distributions de Poisson en contrôle qualité est un modèle du nombre de défauts pouvant apparaître dans un instrument ou un dispositif.

Par exemple, avec un nombre moyen de défauts dans une puce λ (lambda) égal à 4, la probabilité qu'une puce sélectionnée au hasard présente 2 défauts ou moins est : = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381

Le troisième paramètre de la fonction est défini = TRUE, donc la fonction retournera fonction intégrale distribution, c'est-à-dire la probabilité que le nombre événements aléatoires sera compris entre 0 et 4 inclus.

Les calculs dans ce cas sont effectués selon la formule :

La probabilité qu'un microcircuit sélectionné au hasard présente exactement 2 défauts est : = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

Le troisième paramètre de la fonction est défini = FALSE, donc la fonction renverra la densité de probabilité.

La probabilité qu'un microcircuit sélectionné au hasard présente plus de 2 défauts est égale à : =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0.8535

Note: Si x n'est pas un entier, alors lors du calcul de la formule . Formules =POISSON.DIST( 2 ; 4 ; MENSONGE) Et =POISSON.DIST( 2,9 ; 4 ; MENSONGE) renverra le même résultat.

Génération de nombres aléatoires et estimation λ

Pour les valeurs de λ >15 , Distribution de Poisson bien approché Répartition normale avec les paramètres suivants : μ =λ , σ 2 =λ .

Plus de détails sur la relation entre ces distributions peuvent être trouvés dans l'article. Il existe également des exemples d'approximation et les conditions dans lesquelles cela est possible et avec quelle précision sont expliquées.

CONSEIL: Vous pouvez en savoir plus sur d'autres distributions MS EXCEL dans l'article.

Brève théorie

Effectuons des tests indépendants, dans chacun desquels la probabilité que l'événement se produise est égale à . Pour déterminer la probabilité qu'un événement se produise dans ces tests, la formule de Bernoulli est utilisée. S'il est grand, utilisez ou. Toutefois, cette formule ne convient pas si elle est petite. Dans ces cas (grands, petits), ils recourent à des méthodes asymptotiques La formule de Poisson.

Fixons-nous pour tâche de trouver la probabilité que, pour très grand nombre tests, dans chacun desquels la probabilité de l'événement est très faible, l'événement se produira exactement une fois. Faisons une hypothèse importante : le produit conserve une valeur constante, à savoir . Cela signifie que le nombre moyen d'occurrences d'un événement dans différentes séries d'essais, c'est-à-dire à différentes significations, reste inchangé.

Exemple de solution de problème

Problème 1

La base a reçu 10 000 lampes électriques. La probabilité que la lampe se brise pendant le trajet est de 0,0003. Trouvez la probabilité que parmi les lampes reçues, cinq lampes soient cassées.

Solution

Condition d'applicabilité de la formule de Poisson :

Si la probabilité qu'un événement se produise dans un essai individuel est suffisamment proche de zéro, alors même pour des valeurs élevées du nombre d'essais, la probabilité calculée par théorème local Laplace s’avère insuffisamment précis. Dans de tels cas, utilisez la formule dérivée de Poisson.

Que l'événement - 5 lampes soient cassées

Utilisons la formule de Poisson :

Dans notre cas :

Répondre

Problème 2

L'entreprise dispose de 1000 équipements certain type. La probabilité qu’un équipement tombe en panne en une heure est de 0,001. Etablir une loi de répartition du nombre de pannes d'équipements par heure. Trouvez des caractéristiques numériques.

Solution

Variable aléatoire - le nombre de pannes d'équipement, peut prendre des valeurs

Utilisons la loi de Poisson :

Trouvons ces probabilités :

L'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire distribuée selon la loi de Poisson sont égales au paramètre de cette distribution :

Moyenne coût de la solution travail d'essai 700 - 1 200 roubles (mais pas moins de 300 roubles pour la totalité de la commande). Le prix est fortement influencé par l'urgence de la décision (d'une journée à plusieurs heures). Le coût de l'aide en ligne pour un examen/test est de 1 000 roubles. pour résoudre le ticket.

Vous pouvez déposer une demande directement dans le chat, après avoir préalablement envoyé les conditions des tâches et vous avoir informé des délais de la solution dont vous avez besoin. Le temps de réponse est de quelques minutes.

La plupart cas général diverses sortes distributions de probabilité est une distribution binomiale. Utilisons sa polyvalence pour déterminer les types particuliers de distributions les plus courants rencontrés dans la pratique.

Distribution binomiale

Supposons qu'il y ait un événement A. La probabilité d'occurrence de l'événement A est égale à p, la probabilité de non-occurrence de l'événement A est de 1 p, il est parfois désigné comme q. Laisser n nombre d'examens, m fréquence d'apparition de l'événement A dans ces n essais.

On sait que probabilité totale tout le monde combinaisons possibles les résultats sont égaux à un, soit :

1 = p n + n · p n 1 (1 p) + C n n 2 · p n 2 (1 p) 2 + + C n m · p m· (1 p) n – m+ + (1 p) n .

Attente M la distribution binomiale est égale à :

M = n · p ,

Où n nombre d'examens, p probabilité d'occurrence de l'événement A.

Écart type σ :

σ = carré( n · p· (1 p)) .

Exemple 1. Calculer la probabilité qu'un événement ayant une probabilité p= 0,5, en n= 10 essais auront lieu m= 1 fois. Nous avons: C 10 1 = 10, et plus loin : P. 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Comme nous pouvons le constater, la probabilité que cet événement se produise est assez faible. Cela s'explique d'abord par le fait qu'il n'est absolument pas clair si l'événement se produira ou non, puisque la probabilité est de 0,5 et les chances ici sont de « 50 à 50 » ; et deuxièmement, il faut calculer que l'événement se produira exactement une fois (ni plus ni moins) sur dix.

Exemple 2. Calculer la probabilité qu'un événement ayant une probabilité p= 0,5, en n= 10 essais auront lieu m= 2 fois. Nous avons: C 10 2 = 45, et plus loin : P. 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. La probabilité que cet événement se produise a augmenté !

Exemple 3. Augmentons la probabilité que l'événement lui-même se produise. Rendons cela plus probable. Calculer la probabilité qu'un événement ayant une probabilité p= 0,8, en n= 10 essais auront lieu m= 1 fois. Nous avons: C 10 1 = 10, et plus loin : P. 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. La probabilité est devenue moindre que dans le premier exemple ! La réponse, à première vue, semble étrange, mais comme l'événement a une probabilité assez élevée, il est peu probable qu'il se produise une seule fois. Il est plus probable que cela se produise plusieurs fois. En effet, en comptant P. 0 , P. 1 , P. 2 , P. 3, , P. 10 (probabilité qu'un événement dans n= 10 essais se produiront 0, 1, 2, 3, , 10 fois), nous verrons :

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P. 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
P. 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
P. 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
P. 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
P. 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
P. 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
P. 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
P. 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
P. 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(probabilité la plus élevée !) ;
P. 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
P. 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

Bien sûr P. 0 + P. 1 + P. 2 + P. 3 + P. 4 + P. 5 + P. 6 + P. 7 + P. 8 + P. 9 + P. 10 = 1 .

Répartition normale

Si nous représentons les quantités P. 0 , P. 1 , P. 2 , P. 3, , P. 10, que nous avons calculé dans l'exemple 3, sur le graphique, il s'avère que leur distribution a une forme proche de la loi de distribution normale (voir Fig. 27.1) (voir cours 25. Modélisation de variables aléatoires normalement distribuées).

La loi binomiale devient normale si les probabilités d'occurrence et de non-occurrence de l'événement A sont approximativement les mêmes, c'est-à-dire que l'on peut écrire conditionnellement : p≈ (1 p) . Par exemple, prenons n= 10 et p= 0,5 (c'est-à-dire p= 1 p = 0.5 ).

Nous aborderons un tel problème de manière significative si, par exemple, nous voulons calculer théoriquement combien de garçons et combien de filles il y aura sur 10 enfants nés dans une maternité le même jour. Plus précisément, on ne comptera pas les garçons et les filles, mais la probabilité que seuls des garçons naissent, que 1 garçon et 9 filles naissent, que 2 garçons et 8 filles naissent, et ainsi de suite. Supposons pour simplifier que la probabilité d'avoir un garçon et une fille est la même et égale à 0,5 (mais en fait, pour être honnête, ce n'est pas le cas, voir le cours « Modélisation des systèmes d'intelligence artificielle »).

Il est clair que la distribution sera symétrique puisque la probabilité d’avoir 3 garçons et 7 filles est égale à la probabilité d’avoir 7 garçons et 3 filles. La plus grande probabilité de naissance sera de 5 garçons et 5 filles. Cette probabilité est de 0,25, d'ailleurs, ce n'est pas si grand valeur absolue. De plus, la probabilité que 10 ou 9 garçons naissent en même temps est bien inférieure à la probabilité que 5 ± 1 garçon naisse sur 10 enfants. La distribution binomiale nous aidera à faire ce calcul. Donc.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P. 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
P. 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P. 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P. 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P. 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P. 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
P. 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P. 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P. 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P. 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P. 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

Bien sûr P. 0 + P. 1 + P. 2 + P. 3 + P. 4 + P. 5 + P. 6 + P. 7 + P. 8 + P. 9 + P. 10 = 1 .

Affichons les quantités sur le graphique P. 0 , P. 1 , P. 2 , P. 3, , P. 10 (voir Fig. 27.2).

Donc, dans les conditions m ≈ n/2 et p≈ 1 p ou p≈ 0,5 au lieu de la distribution binomiale, vous pouvez utiliser la distribution normale. Pour les grandes valeurs n le graphique se déplace vers la droite et devient de plus en plus plat, à mesure que l'espérance mathématique et la variance augmentent avec l'augmentation n : M = n · p , D = n · p· (1 p) .

D'ailleurs, loi binomiale tend à se normaliser et à augmenter n, ce qui est tout à fait naturel, selon la centrale théorème limite(voir cours 34. Enregistrement et traitement des résultats statistiques).

Considérons maintenant comment la loi binomiale change dans le cas où p ≠ q, c'est p> 0 . Dans ce cas, l'hypothèse de distribution normale ne peut pas être appliquée et la distribution binomiale devient une distribution de Poisson.

Distribution de Poisson

La distribution de Poisson est cas particulier distribution binomiale (avec n>> 0 et à p>0 (événements rares)).

Une formule est connue en mathématiques qui vous permet de calculer approximativement la valeur de n'importe quel membre de la distribution binomiale :

Où un = n · p Paramètre de Poisson (espérance mathématique), et la variance est égale à l'espérance mathématique. Présentons des calculs mathématiques qui expliquent cette transition. Loi de distribution binomiale

P. m = C n m · p m· (1 p) n – m

peut être écrit si vous mettez p = un/n , sous la forme

Parce que p est très petit, alors seuls les chiffres doivent être pris en compte m, petit par rapport à n. Travail

très proche de l'unité. La même chose s'applique à la taille

Ampleur

très proche de e – un. De là, nous obtenons la formule :

Exemple. La boîte contient n= 100 pièces, à la fois de haute qualité et défectueuses. La probabilité de recevoir un produit défectueux est p= 0,01 . Disons que nous retirons un produit, déterminons s'il est défectueux ou non et le remettons. En faisant cela, il s’est avéré que sur 100 produits que nous avons examinés, deux se sont révélés défectueux. Quelle est la probabilité que cela se produise ?

De la distribution binomiale on obtient :

De la distribution de Poisson on obtient :

Comme vous pouvez le constater, les valeurs se sont avérées proches, donc dans le cas d'événements rares, il est tout à fait acceptable d'appliquer la loi de Poisson, d'autant plus qu'elle nécessite moins d'efforts de calcul.

Montrons graphiquement la forme de la loi de Poisson. Prenons les paramètres comme exemple p = 0.05 , n= 10 . Alors:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P. 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
P. 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
P. 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
P. 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
P. 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
P. 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
P. 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
P. 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
P. 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
P. 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
P. 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

Bien sûr P. 0 + P. 1 + P. 2 + P. 3 + P. 4 + P. 5 + P. 6 + P. 7 + P. 8 + P. 9 + P. 10 = 1 .

À n> ∞ la distribution de Poisson devient loi normale, selon le théorème central limite (voir.

Distribution de Poisson.

Considérons le plus situation typique, dans lequel apparaît la distribution de Poisson. Laissez l'événement UN apparaît un certain nombre de fois dans une zone fixe de l'espace (intervalle, surface, volume) ou une période de temps à intensité constante. Pour être plus précis, considérons l’apparition séquentielle d’événements au fil du temps, appelée flux d’événements. Graphiquement, le flux des événements peut être illustré par de nombreux points situés sur l'axe du temps.

Il peut s'agir d'un flux d'appels dans le secteur des services (réparation d'appareils électroménagers, appel d'une ambulance, etc.), d'un flux d'appels vers un central téléphonique, d'une panne de certaines parties du système, désintégration radioactive, des morceaux de tissu ou des tôles et le nombre de défauts sur chacun d'eux, etc. La distribution de Poisson est plus utile dans les problèmes où il est nécessaire de déterminer uniquement le nombre de résultats positifs (« succès »).

Imaginez un petit pain aux raisins, divisé en petits morceaux taille égale. En raison de distribution aléatoire on ne peut pas s'attendre à ce que tous les morceaux en contiennent même numéro. Lorsque le nombre moyen de raisins secs contenus dans ces morceaux est connu, alors la distribution de Poisson donne la probabilité qu'un morceau donné contienne X=k(k= 0,1,2,...,)nombre de raisins secs.

En d'autres termes, la distribution de Poisson détermine quelle partie d'une longue série de pièces contiendra égal à 0, ou 1, ou 2, ou etc. nombre de faits saillants.

Faisons les hypothèses suivantes.

1. La probabilité qu'un certain nombre d'événements se produisent dans un intervalle de temps donné dépend uniquement de la longueur de cet intervalle, et non de sa position sur l'axe du temps. C'est la propriété de la stationnarité.

2. La survenance de plus d'un événement dans un laps de temps suffisamment court est pratiquement impossible, c'est-à-dire probabilité conditionnelle l'apparition d'un autre événement dans le même intervalle tend vers zéro à ® 0. C'est la propriété de l'ordinaire.

3. Probabilité d'occurrence numéro donné les événements survenus dans une période de temps déterminée ne dépendent pas du nombre d'événements apparaissant dans d'autres périodes de temps. C'est la propriété de l'absence de séquelles.

Un flux d'événements qui satisfait aux propositions ci-dessus est appelé le plus simple.

Considérons une période de temps assez courte. En fonction de la propriété 2, l'événement peut apparaître une fois dans cet intervalle ou ne pas apparaître du tout. Notons la probabilité qu'un événement se produise par r, et non-apparence – à travers q = 1-p. Probabilité r est constante (propriété 3) et dépend uniquement de la valeur (propriété 1). L'espérance mathématique du nombre d'occurrences d'un événement dans l'intervalle sera égale à 0× q+ 1× p = p. Ensuite, le nombre moyen d'occurrences d'événements par unité de temps est appelé intensité du flux et est noté un, ceux. un = .

Considérons segment final temps t et divisez-le par n parties = . Les occurrences d'événements dans chacun de ces intervalles sont indépendantes (propriété 2). Déterminons la probabilité que dans une période de temps tà intensité de débit constante UN l'événement apparaîtra exactement X = k n'apparaîtra plus n-k. Puisqu'un événement peut dans chacun des n les lacunes n'apparaissent pas plus d'une fois, puis pour son apparition k une fois dans un segment de durée t il devrait apparaître dans n'importe quel k intervalles du total n. Il existe un total de telles combinaisons et la probabilité de chacune est égale. Par conséquent, par le théorème d'addition des probabilités on obtient pour la probabilité souhaitée formule bien connue Bernoulli

Cette égalité s'écrit comme une égalité approximative, puisque la prémisse initiale pour sa dérivation était la propriété 2, qui est remplie avec plus de précision si la valeur est plus petite. Pour obtenir l'égalité exacte, passons à la limite en ® 0 ou, ce qui revient au même, n® . Nous l'aurons après remplacement.

P. = un= et q = 1 – .

Présentons nouveau paramètre = à, c'est-à-dire le nombre moyen d'occurrences d'un événement dans un segment t. Après transformations simples et passage à la limite dans les facteurs, on obtient.

= 1, = ,

Finalement on obtient

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... – base logarithme népérien.

Définition. Variable aléatoire X, qui n'accepte que les entiers, valeurs positives 0, 1, 2, ... a une distribution de Poisson de paramètre si

Pour k = 0, 1, 2, ...

La distribution de Poisson a été proposée mathématicien français S.D. Poisson (1781-1840). Il est utilisé pour résoudre des problèmes de calcul de probabilités relativement rares et mutuellement aléatoires. événements indépendants par unité de temps, de longueur, de surface et de volume.

Pour le cas où a) est grand et b) k= , la formule de Stirling est valide :

Pour calculer les valeurs ultérieures, une formule récurrente est utilisée

P.(k + 1) = P.(k).

Exemple 1. Quelle est la probabilité que sur 1000 personnes un jour donné : a) aucune, b) une, c) deux, d) trois personnes soient nées ?

Solution. Parce que p= 1/365, alors q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

Alors

UN) ,

b) ,

V) ,

G) .

Par conséquent, s'il existe des échantillons de 1 000 personnes, le nombre moyen de personnes nées un jour donné sera donc de 65 ; 178 ; 244 ; 223.

Exemple 2. Déterminez la valeur à laquelle avec probabilité R. l'événement est apparu au moins une fois.

Solution. Événement UN= (apparaître au moins une fois) et = (ne pas apparaître une seule fois). Ainsi .

D'ici Et .

Par exemple, pour R.= 0,5, pour R.= 0,95 .

Exemple 3. Sur les métiers à tisser exploités par un seul tisserand, 90 cassures de fil se produisent en une heure. Trouvez la probabilité qu'au moins une rupture de fil se produise en 4 minutes.

Solution. Par condition t = 4 minutes. et le nombre moyen de pauses par minute, d'où . La probabilité requise est .

Propriétés. L'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire ayant une distribution de Poisson avec paramètre sont égales à :

M(X) = D(X) = .

Ces expressions sont obtenues par calculs directs :

C'est ici que le remplacement a été effectué n = k– 1 et le fait que .

En effectuant des transformations similaires à celles utilisées dans la sortie M(X), on obtient

La distribution de Poisson est utilisée pour approximer la distribution binomiale dans son ensemble n

Dans de nombreuses applications pratiquement importantes, la distribution de Poisson joue un rôle important. Beaucoup de chiffres quantités discrètes sont des implémentations d'un processus de Poisson avec les propriétés suivantes :

• Nous nous intéressons au nombre de fois qu'un certain événement se produit dans une gamme donnée de résultats possibles. expérience aléatoire. La zone de résultats possibles peut être un intervalle de temps, un segment, une surface, etc.
• La probabilité d’un événement donné est la même pour tous les domaines de résultats possibles.
• Le nombre d'événements se produisant dans un domaine de résultats possibles est indépendant du nombre d'événements se produisant dans d'autres domaines.
• La probabilité que dans le même domaine des résultats possibles cet événement se produit plus d’une fois, tend vers zéro à mesure que l’éventail des résultats possibles diminue.

Pour mieux comprendre la signification du processus de Poisson, supposons que nous examinions le nombre de clients visitant une agence bancaire située dans un centre quartier des affaires, pendant le déjeuner, c'est-à-dire de 12 à 13 heures. Supposons que vous souhaitiez déterminer le nombre de clients arrivant en une minute. Cette situation présente-t-elle les caractéristiques énumérées ci-dessus ? Premièrement, l'événement qui nous intéresse est l'arrivée d'un client, et l'éventail des résultats possibles est un intervalle d'une minute. Combien de clients viendront à la banque en une minute - aucun, un, deux ou plus ? Deuxièmement, il est raisonnable de supposer que la probabilité qu’un client arrive dans la minute est la même pour tous les intervalles d’une minute. Troisièmement, l’arrivée d’un client au cours d’un intervalle d’une minute est indépendante de l’arrivée de tout autre client au cours de tout autre intervalle d’une minute. Et enfin, la probabilité que plus d'un client vienne à la banque tend vers zéro si l'intervalle de temps tend vers zéro, par exemple, devient inférieur à 0,1 s. Ainsi, le nombre de clients venant à la banque pendant le déjeuner en une minute est décrit par la distribution de Poisson.

La distribution de Poisson a un paramètre, désigné par le symbole λ ( lettre grecque« lambda ») est le nombre moyen d’essais réussis dans un domaine donné de résultats possibles. La variance de la distribution de Poisson est également λ et son écart type est . Nombre d'essais réussis X La variable aléatoire de Poisson varie de 0 à l'infini. La distribution de Poisson est décrite par la formule :

Où P(X)- probabilité X essais réussis, λ - nombre attendu de succès, e- base du logarithme népérien égale à 2,71828, X- nombre de réussites par unité de temps.

Revenons à notre exemple. Disons que pendant la pause déjeuner, en moyenne, trois clients viennent à la banque par minute. Quelle est la probabilité que deux clients se présentent à la banque à un instant donné ? Quelle est la probabilité que plus de deux clients viennent à la banque ?

Appliquons la formule (1) avec le paramètre λ = 3. Alors la probabilité que deux clients viennent à la banque dans une minute donnée est égale à

La probabilité que plus de deux clients viennent à la banque est égale à P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) . Puisque la somme de toutes les probabilités doit être égale à 1, les termes de la série à droite de la formule représentent la probabilité d'addition à l'événement X ≤ 2. Autrement dit, la somme de cette série est égale à 1 – P(X ≤ 2). Ainsi, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Maintenant, en utilisant la formule (1), nous obtenons :

Ainsi, la probabilité que pas plus de deux clients viennent à la banque en une minute est de 0,423 (ou 42,3 %), et la probabilité que plus de deux clients viennent à la banque en une minute est de 0,577 (ou 57,7 %).

De tels calculs peuvent paraître fastidieux, surtout si le paramètre λ est suffisamment grand. A éviter calculs complexes, de nombreuses probabilités de Poisson peuvent être trouvées dans des tableaux spéciaux (Fig. 1). Par exemple, la probabilité que deux clients viennent à la banque à une minute donnée, si en moyenne trois clients viennent à la banque par minute, se situe à l'intersection de la ligne X= 2 et colonne λ = 3. Ainsi, elle est égale à 0,2240 soit 22,4 %.

Riz. 1. Probabilité de Poisson à λ = 3

De nos jours, il est peu probable que quiconque utilise des tableaux si Excel avec sa fonction =POISSON.DIST() est à portée de main (Fig. 2). Cette fonction possède trois paramètres : nombre d'essais réussis X, nombre moyen attendu d'essais réussis λ, paramètre Intégral, en prenant deux valeurs : FALSE – dans ce cas, la probabilité du nombre d'essais réussis est calculée X(X uniquement), VRAI – dans ce cas, la probabilité du nombre d'essais réussis de 0 à X.

Riz. 2. Calcul en Probabilités Excel Distribution de Poisson à λ = 3

Approximation de la distribution binomiale à l'aide de la distribution de Poisson

Si le numéro n est grand et le nombre r- petite, la distribution binomiale peut être approximée à l'aide de la distribution de Poisson. Comment plus grand nombre n Et moins de nombre r, plus la précision de l'approximation est élevée. Le modèle de Poisson suivant est utilisé pour approximer la distribution binomiale.

Où P(X)- probabilité X succès avec paramètres donnés n Et r, n- taille de l'échantillon, r- vraie probabilité de succès, e- la base du logarithme népérien, X- nombre de réussites dans l'échantillon (X = 0, 1, 2, …, n).

Théoriquement, une variable aléatoire avec une distribution de Poisson prend des valeurs de 0 à ∞. Cependant, dans les situations où la distribution de Poisson est utilisée pour approximer la distribution binomiale, la variable aléatoire de Poisson est le nombre de réussites parmi n observations - ne peut pas dépasser le nombre n. De la formule (2), il s'ensuit qu'avec un nombre croissant n et une diminution du nombre r probabilité de détection grand nombre le taux de réussite diminue et tend vers zéro.

Comme mentionné ci-dessus, l'espérance µ et la variance σ 2 de la distribution de Poisson sont égales à λ. Par conséquent, lors de l'approximation de la distribution binomiale à l'aide de la distribution de Poisson, la formule (3) doit être utilisée pour approximer l'espérance mathématique.

(3) µ = E(X) = λ =n.p.

Pour approximer l'écart type, la formule (4) est utilisée.

Veuillez noter que l'écart type calculé à l'aide de la formule (4) a tendance à écart type dans le modèle binomial – lorsque la probabilité de succès p tend vers zéro et, par conséquent, la probabilité de défaillance 1-p tend à l’unité.

Supposons que 8 % des pneus produits dans une usine donnée soient défectueux. Pour illustrer l'utilisation de la distribution de Poisson pour approximer la distribution binomiale, calculons la probabilité de trouver un pneu défectueux dans un échantillon de 20 pneus. Appliquons la formule (2), on obtient

Si nous devions calculer la vraie distribution binomiale plutôt que son approximation, nous obtiendrions le résultat suivant :

Cependant, ces calculs sont assez fastidieux. Cependant, si vous utilisez Excel pour calculer les probabilités, l'utilisation de l'approximation de la distribution de Poisson devient redondante. Sur la fig. La figure 3 montre que la complexité des calculs dans Excel est la même. Cependant, cette section, à mon avis, est utile pour comprendre que sous certaines conditions la distribution binomiale et la distribution de Poisson donnent des résultats similaires.

Riz. 3. Comparaison de la complexité des calculs dans Excel : (a) distribution de Poisson ; (b) distribution binomiale

Ainsi, dans cette note et dans les deux précédentes, trois distributions numériques: , et Poisson. Pour mieux comprendre les relations entre ces distributions, nous présentons un petit arbre de questions (Fig. 4).

Riz. 4. Classification des distributions de probabilité discrètes

Des documents du livre Levin et al. Statistics for Managers sont utilisés. – M. : Williams, 2004. – p. 320-328