Une variable aléatoire dont les valeurs possibles sont formées est appelée. Variable aléatoire

Définition. Une variable aléatoire est une quantité qui, à la suite d’une expérience, prend une valeur parmi ses nombreuses valeurs possibles, et il est impossible de prédire laquelle avant l’expérience.

Les variables aléatoires sont par exemple le nombre de points obtenus en lançant un dé, le nombre de visiteurs dans une pharmacie dans la journée, le nombre de pommes sur un arbre, etc.

Les variables aléatoires sont également la température d'un patient à une heure de la journée sélectionnée au hasard, le poids d'un comprimé d'un certain médicament sélectionné au hasard, la taille d'un étudiant sélectionné au hasard, etc.

À PROPOS

cependant avec point mathématique En termes de vue, entre des variables aléatoires telles que, par exemple, le nombre de visiteurs d'une pharmacie pendant la journée (notons cette variable aléatoire X 1) et la taille d'un étudiant sélectionné au hasard parmi un certain groupe d'étudiants (valeur X 2), il y a une différence fondamentale, à savoir : pour la valeur X 1 vous pouvez tous les lister valeurs possibles(1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), alors que pour la valeur X 2 cela ne peut pas être fait, puisque cette valeur, à la suite de la mesure, peut prendre n'importe quelle valeur du segment où

et - respectivement, la taille minimale et maximale des élèves du groupe.

Les variables aléatoires sont généralement indiquées en majuscules alphabet latin- X, Y, Z, etc., et leurs valeurs possibles - correspondant lettres minuscules avec des indices numériques. Par exemple, les valeurs de la variable aléatoire x sont notées comme suit : x 1, x 2, x 3, etc.

Le concept de variables aléatoires discrètes et continues

Définition. Une variable aléatoire est dite discrète si l'ensemble de toutes ses valeurs possibles représente un ensemble de valeurs fini ou infini, mais nécessairement dénombrable, c'est-à-dire un ensemble dont tous les éléments peuvent être (au moins théoriquement) numérotés et écrits dans la séquence appropriée.

Définition. Une variable aléatoire est dite continue si l'ensemble de ses valeurs possibles représente un intervalle fini ou infini axe des nombres.

Sur la base de ces définitions, les variables aléatoires énumérées ci-dessus, telles que le nombre de points obtenus en lançant un dé, le nombre de visiteurs à la pharmacie pendant la journée, le nombre de pommes. Les arbres sont des variables aléatoires discrètes, et comme la température d'un patient à une heure fixe de la journée, le poids d'un comprimé sélectionné au hasard d'un certain médicament, la taille d'un étudiant sélectionné au hasard sont des variables continues.

Variables aléatoires discrètes

Regardons de plus près variables aléatoires discrètes, et, en règle générale, nous limiterons notre considération à ces variables aléatoires pour lesquelles le nombre de valeurs possibles est fini.

La plupart informations complètes sur une variable aléatoire discrète est donnée par la loi de distribution de cette variable.

Définition. La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est la correspondance entre toutes les valeurs possibles de cette variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes.

La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est souvent précisée sous la forme d'un tableau à deux lignes, dont la première ligne répertorie toutes les valeurs possibles de cette valeur (généralement par ordre croissant), et la deuxième ligne répertorie les probabilités correspondant à ces valeurs dans le tableau 1 :

Exemple 2. Il y en a dix groupes d'étudiants, comptant respectivement 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 et 11 étudiants. Établissez une loi de distribution pour une variable aléatoire X, définie comme le nombre d'élèves dans un groupe sélectionné au hasard.

Solution. Les valeurs possibles de la variable aléatoire X considérée sont les suivantes (par ordre croissant) :

8, 9, 10, 11 et 12.

Parce que variable aléatoire X prend une valeur égale à 8, dans le cas où un groupe de 8 élèves est sélectionné au hasard (appelons cet événement A), la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur
, est égal à la probabilité de cet événement aléatoire :
.

La probabilité d'un événement aléatoire A selon la définition classique de la probabilité est égale à
puisque sur 10 groupes, deux comptent 8 élèves chacun.

Ainsi, pour la valeur de probabilité on obtient :

.

De même, vous pouvez trouver les probabilités des valeurs restantes de la variable aléatoire X :

ce qui permet d'établir la loi de répartition souhaitée (Tableau 2) :

La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète peut également être spécifiée à l'aide d'une formule qui permet de déterminer la probabilité correspondante pour chaque valeur possible de cette variable.

Variables aléatoires discrètes et continues

En règle générale, lors de la fabrication d'un produit, le processus de production est influencé par de nombreux divers facteurs, ce qui entraîne une dispersion des valeurs des indicateurs de qualité des produits. Ainsi, les indicateurs de la qualité des produits manufacturés ou des services fournis doivent être considérés comme des variables aléatoires.

Variable aléatoire est une grandeur qui, à la suite d'un test effectué dans un certain intervalle, peut prendre différentes valeurs numériques (selon STB GOST R 50779.10, une variable aléatoire est une variable qui peut prendre n'importe quelle valeur d'un ensemble de valeurs donné et est associée à une distribution de probabilité).

Variables aléatoires discrètes sont ceux qui, à la suite de tests, ne peuvent prendre que des valeurs distinctes et isolées et ne peuvent pas prendre de valeurs intermédiaires entre elles. Par exemple, le nombre de pièces inutilisables dans un lot ne peut être qu'un nombre entier nombre positif 1, 2, 3, etc., mais ne peut pas être 1,3 ; 1.7, etc.

Variable aléatoire continue est une valeur qui, à la suite de tests, peut prendre n'importe quel valeurs numériquesà partir d'une série continue de leurs valeurs possibles dans un certain intervalle.

Par exemple, les dimensions réelles des pièces traitées sur une machine sont des variables aléatoires de type continu, puisqu'elles peuvent prendre n'importe quelle valeur numérique dans certaines limites.

La capacité des variables aléatoires à prendre certaines valeurs numériques lors des tests est évaluée à l'aide de probabilités.

Un ensemble de valeurs de variables aléatoires classées par ordre croissant indiquant leurs probabilités pour chaque valeur est appelé distribution de variables aléatoires (selon STB GOST R. La distribution 50779.10 est une fonction qui détermine la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur donnée ou appartienne à un ensemble de valeurs donné).

La distribution d'une variable aléatoire peut être présentée sous forme de tableau, de graphique et à l'aide d'estimations statistiques.

Lors de la présentation de la distribution d'une variable aléatoire sous forme de tableau, chaque numéro de l'unité de production étudiée (numéro de mesure) correspond à la valeur de l'indicateur de qualité de cette unité de production (résultat de mesure).

Lors de la présentation graphique de la distribution d'une variable aléatoire, un graphique de distribution est tracé dans les coordonnées de la valeur de la variable aléatoire - la probabilité (fréquence, fréquence) de la valeur de la variable aléatoire.

La figure ci-dessous montre des graphiques de distribution de variables aléatoires discrètes et continues.

Figure - Graphique de distribution d'une variable aléatoire discrète

Figure - Graphique de distribution d'une variable aléatoire continue

Il existe des distributions théoriques et empiriques de variables aléatoires. Dans les distributions théoriques, les valeurs possibles d'une variable aléatoire sont estimées à l'aide de probabilités, et dans les distributions empiriques, à l'aide de fréquences ou de fréquences obtenues à la suite de tests.

Ainsi, distribution empirique d'une variable aléatoire est un ensemble de ses valeurs expérimentales, classées par ordre croissant, indiquant la ou les fréquences pour chacune des valeurs (selon STB GOST R. 50779.10 répartition des fréquences est une relation empirique entre les valeurs d'une caractéristique et ses fréquences ou ses fréquences relatives).

Tableau. Un exemple de représentation tabulaire de la distribution théorique d'une variable aléatoire discrète

Graphiquement, la distribution empirique d'une variable aléatoire discrète peut être représentée comme graphique à barres , formé d'un ensemble de colonnes d'égale largeur dont les hauteurs sont proportionnelles aux fréquences valeurs discrètes variable aléatoire.

Figure - Diagramme à barres d'une variable aléatoire discrète.

Si la variable aléatoire est continue, certaines difficultés surviennent pour représenter sa distribution sous forme de tableau ou de graphique. Par conséquent, en pratique, lors de l'étude de variables aléatoires de type continu, les valeurs obtenues sont divisées en intervalles égaux de sorte que la valeur de l'intervalle soit légèrement supérieure à l'erreur de mesure de la valeur étudiée. Alors les fréquences ne sont pas comptées selon valeurs réelles variable aléatoire, mais sur des intervalles. Par conséquent, le tableau de distribution empirique d’une variable aléatoire de type continu aura la forme suivante.

Tableau. Distribution empirique variable aléatoire de type continu.

La distribution empirique d'une variable continue aléatoire peut être représentée graphiquement sous la forme d'un histogramme de distribution, d'un polygone de fréquence ou d'un polygone de fréquence cumulée.

Histogramme de distribution est un ensemble de rectangles adjacents dont les bases sont égales aux intervalles de partition d'une variable aléatoire continue, et les aires sont proportionnelles aux fréquences avec lesquelles les valeurs de la variable aléatoire tombent dans ces intervalles (selon STB GOST R. 50779.10 histogramme (distributions) sont représentation graphique distribution de fréquences pour une caractéristique quantitative, formée de rectangles adjacents dont les bases sont des intervalles de classe, et les aires sont proportionnelles aux fréquences de ces classes).

Figure - Histogramme de la distribution d'une variable continue aléatoire.

Polygone de fréquence - Ce ligne brisée, obtenu en reliant des points dont les abscisses sont égales aux milieux des intervalles de partition, et les ordonnées sont égales aux fréquences correspondantes.

Figure - Polygone de fréquences d'une valeur continue aléatoire.

Polygone cumulatif fréquences est une ligne brisée obtenue en reliant des points dont les abscisses sont égales limites supérieures intervalles de partition et ordonnées - soit des fréquences cumulées, soit des fréquences cumulées (fréquences relatives cumulées).

Figure - Polygone de fréquences cumulées d'une variable continue aléatoire.

Dans les descriptions théoriques de variables aléatoires de type continu, la fonction de distribution est utilisée. Distribution théorique une variable continue aléatoire peut être représentée graphiquement comme intégrale, intégrale inverse, différentielle fonctions et fonctions de distribution intensité.

Soit X une variable aléatoire et x un nombre réel (dans ce cas X< х ). Événement X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X) est appelé fonction de distribution probabilités variable aléatoire ou fonction intégrale distributions.

Pour une variable aléatoire discrète, la fonction de distribution cumulative F(X) est facilement déterminée à partir d'un tableau ou d'un graphique.

Ainsi, pour l'exemple ci-dessus de la distribution d'une variable aléatoire discrète (à X< 4):

F(X) = Р( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Le graphique de la fonction de distribution cumulative d'une variable aléatoire discrète ressemblera à une courbe en escalier. Les ordonnées de la courbe pour toute valeur de X représenteront la somme des probabilités des valeurs précédentes.

Figure - Fonction de distribution cumulative d'une variable aléatoire discrète

La probabilité qu'une variable aléatoire lors du test soit inférieure à deux définir des valeurs x 1 et x 2 (x 2 > x 1) est égal à l'incrément de la fonction intégrale dans cette section, c'est-à-dire

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Si nous regardons l'exemple ci-dessus de la distribution d'une variable aléatoire discrète, alors pour x1 = 2 et x2 = 3 :

Р(2≤Х≤3) = Р(Х< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Pour une variable aléatoire continue, le graphique de la fonction de distribution cumulative ressemblera à une courbe croissante de façon monotone. En pratique, la fonction de distribution intégrale est utilisée pour déterminer fréquences théoriques distributions.

Figure - Fonction de distribution cumulative

variable aléatoire continue

La fonction de distribution cumulée inverse est égale à la différence entre l'unité et la fonction de distribution cumulée.

Densité de distribution (fonction de distribution différentielle) une variable aléatoire est appelée la dérivée première de la fonction de distribution cumulative :

Pour description analytique une variable aléatoire continue dans la théorie de la fiabilité est utilisée fonction d'intensité , égal au rapport fonction différentielle distribution à la fonction de distribution cumulative inverse :

Figure - Fonction d'intensité d'une variable aléatoire continue.

Thème 3.

Variables aléatoires et fonctions de distribution

Le concept de variable aléatoire.

Le concept de variable aléatoire

Fonction de distribution d'une variable aléatoire, ses propriétés

Variables aléatoires à distribution discrète

Le concept de variable aléatoire avec une distribution discrète

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète.

Exemples de distributions discrètes

Variables aléatoires à distribution absolument continue

Le concept de variable aléatoire avec une distribution absolument continue

La loi de distribution d'une variable aléatoire absolument continue. La densité, ses propriétés

Exemples de distributions absolument continues

Le concept de vecteur aléatoire.

Concept de vecteur aléatoire

Variables aléatoires indépendantes

Distribution conjointe de variables aléatoires

Le concept de variable aléatoire.

Depuis l'émergence de la théorie des probabilités, sa tâche principale a été d'étudier non pas les propriétés probabilistes des expériences à résultats aléatoires, mais les quantités numériques associées à ces expériences, qu'il est naturel d'appeler variables aléatoires. Par exemple, nous ne serons peut-être pas intéressés par les paires de nombres sur faces supérieures les cubes et leur somme ; le nombre de succès ou le nombre d'échecs avant le premier succès du schéma de Bernoulli.

Souvent dans la littérature, vous pouvez trouver des variations sur le thème définition suivante: Variable aléatoire appelé valeur variable, qui, en fonction du résultat du test, prend des valeurs spécifiques au cas.

Ainsi, la variable aléatoire est valeur numérique, dont la valeur dépend du type de résultat (élémentaire) obtenu à la suite d'une expérience avec un résultat aléatoire. L'ensemble de toutes les valeurs qu'une variable aléatoire peut prendre est appelé ensemble de valeurs possibles de cette variable aléatoire.

Nous donnerons une définition plus stricte, puisque la notion de variable aléatoire fait partie de celles notions clés, qui relient la théorie des probabilités à analyse mathématique et constituent la base conceptuelle des statistiques mathématiques.

Définition. Variable aléatoire s'appelle une fonction X = X(ω), définie sur l'espace événements élémentairesΩ, pour lequel l'événement (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

État (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из UN. De plus, à travers des événements (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно événement complexe, associé à la variable aléatoire X. Un tel événement appartiendra également à la σ-algèbre des événements A et, par conséquent, une probabilité est définie pour lui.

Commentaire. Ainsi, une variable aléatoire est une fonction dont le domaine est l'espace des événements élémentaires Ω, et l'ensemble des valeurs est un ensemble numérique, éventuellement l'ensemble entier nombres réels R..

La σ-algèbre des événements A est le domaine de probabilité si on la considère comme une fonction.

Commentaire . « Le terme « variable aléatoire » est quelque peu inexact ; le terme « Fonction de cas » serait plus approprié ; la variable indépendante est un point dans l'espace des événements élémentaires, c'est-à-dire : le résultat d’une expérience ou d’un cas. (W. Feller « Introduction à la théorie des probabilités », Ch. IX)

Les variables aléatoires sont désignées par les lettres de l'alphabet grec : (xi), (eta),  ou en majuscules Alphabet latin X, Y, ... On écrira les valeurs d'une variable aléatoire sous la forme d'une suite finie ou infinie x 1 ,x 2 ,, x n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

Commentaire . Plus tôt, nous avons introduit le concept de probabilité en relation avec certains événements. Passons maintenant aux fonctions. L'événement le plus évident qui puisse être associé au concept de fonction est son acceptation d'une certaine valeur (spécifique ou appartenant à un intervalle)

Pour étudier les propriétés probabilistes d'une variable aléatoire, vous devez connaître une règle qui vous permet de trouver la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur parmi un sous-ensemble de ses valeurs. Une telle règle est appelée loi de distribution de probabilité ou distribution (probabilités) d'une variable aléatoire.(dans ce cas, le mot « probabilités » est généralement omis)

La loi de distribution générale inhérente à toutes les variables aléatoires est fonction de distribution.

Définition. L’ensemble complet des probabilités P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает loi de distribution de la variable aléatoire X V cas général. Souvent, par souci de concision, la loi de distribution d'une variable aléatoire est simplement appelée distribution d'une variable aléatoire.

Définition. Fonction F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется fonction de distribution de la variable aléatoire X.

La valeur de la fonction de distribution au point x est égale à la probabilité de l'événement (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех résultats élémentairesω, pour lequel X< х.

On dit généralement que la valeur de la fonction de distribution en un point x est égale à la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à x.

Géométriquement, cela signifie ce qui suit : F(x) est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur représentée par un point sur la droite numérique située à gauche du point x.

Commentaire . La fonction de distribution est également appelée fonction intégrale, ou loi de distribution intégrale de la variable aléatoire X

La fonction de distribution a les éléments suivants propriétés:

0≤ F(x)≤1 (puisque, par définition, la fonction de distribution est une probabilité)

F(x 1) ≤ F(x 2) pour x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 lorsque x → - ∞ , lim F(x) = 1 lorsque x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) est une fonction continue à gauche, c'est-à-dire F(x) = F(x - 0), où F(x - 0) = lim F(y) comme y → x - 0 (limite de gauche)

Commentaire . Afin de souligner à quelle variable aléatoire appartient la fonction de distribution F(x), on attribue parfois à cette fonction un indice désignant une variable aléatoire spécifique. Par exemple, F X (x) = P(X< х}

Commentaire. Dans certaines publications, la fonction de distribution est définie comme F(x) = P(X ≤ x). Cette définition ne change rien au fond au concept de fonction de distribution ; seule la dernière, cinquième propriété change. La fonction dans ce cas s'avère être juste continue.

Digression : « Qu'est-ce qu'une fonction ?

Donnons-nous deux ensembles X et Y, et Y est un ensemble numérique. Et donnons une règle f, selon laquelle chaque élément (point) de l'ensemble X est associé à (un et un seul) élément (numéro) de l'ensemble Y. La règle f, ainsi que les ensembles X et Y, définir la fonction f. La notation y=f(x) signifie que la règle f a été appliquée à un point x de l'ensemble X, et par conséquent nous avons obtenu un point y de l'ensemble Y. X est appelé l'argument (variable indépendante), et y est la valeur (variable dépendante) de la fonction f au point X. L'ensemble X est appelé le domaine de définition (domaine de définition) de la fonction ; on dit que la fonction est définie sur cet ensemble ; l'ensemble Y est appelé l'ensemble des valeurs de la fonction. L'ensemble X n'est pas nécessairement ensemble numérique. Ainsi, une variable aléatoire est une fonction définie sur un espace non numérique d'événements élémentaires.

VARIABLES ALÉATOIRES

Une grandeur aléatoire est une grandeur qui, à la suite d'un test, prendra une et une seule valeur possible, et laquelle n'est pas connue à l'avance.

Discrète est une variable aléatoire qui prend des valeurs possibles distinctes et isolées avec certaines probabilités.

Continu est une variable aléatoire qui peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle fini ou infini.

La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est la correspondance entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités. Cette loi est donnée sous forme de tableau, de formule ou de graphique.

Pour les variables aléatoires discrètes, l'une des plus couramment utilisées est la loi dite de distribution binomiale, qui conduit au schéma de répétition du test de Bernoulli. La formule (8) est expression analytique cette loi.

Exemple 11.

Un message est transmis sur un canal de communication à l'aide d'un code composé de deux caractères. La probabilité que le premier apparaisse est de 2/3. Trois personnages ont été transmis. Trouvez la loi de distribution des occurrences du premier caractère.

Solution.

Par condition n=4, r=2/3, q=1/3. Valeurs possibles pour le nombre d'apparitions du premier personnage : 0, 1, 2 et 3. Trouvons leurs probabilités à l'aide de la formule (8) :

Cette loi peut être présentée sous forme de tableau

Une fonction de distribution est une fonction qui détermine la probabilité qu'une variable aléatoire Xà la suite du test, il prendra une valeur inférieure X, c'est

Géométriquement, cela signifie qu'une variable aléatoire avec probabilité r prendra la valeur qui est représentée sur l'axe des nombres par un point situé à gauche X.

Pour une variable aléatoire continue, la fonction de distribution est une fonction continue différentiable par morceaux. Les propriétés de base sont dérivées de la définition :

1. Les valeurs de la fonction de distribution appartiennent au segment, c'est-à-dire

2. F(x) est une fonction non décroissante, c'est-à-dire si

3. La probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur contenue dans l'intervalle [ un,b[, est égal à l'incrément de la fonction de répartition sur cet intervalle

Pour une variable aléatoire continue, la probabilité de prendre sens séparé est égal à zéro. Par conséquent, pour les variables aléatoires continues

Exemple 12.

Variable aléatoire X donné par la fonction de distribution

Trouvez la probabilité qu'à la suite du test X prendra une valeur appartenant au segment [-1;0.5].

Solution.

Il découle de la condition que X- une variable aléatoire continue pouvant prendre une valeur de 0 à 1.

Densité de distribution de probabilité continu variable aléatoire X est appelée la dérivée première de la fonction de distribution

Fonction de répartition F(x) est l'une des primitives de la densité de distribution. Basé sur la définition de la densité ou loi différentielle distribution et sa connexion avec la fonction de distribution, il est facile de montrer les propriétés suivantes :

1. La densité de distribution d'une variable aléatoire continue est une fonction non négative

2. Probabilité de toucher une variable aléatoire X dans l'intervalle est égal à

(16)

3. De la propriété 2 nous obtenons une expression pour la fonction de distribution

(17)

4. Condition de normalisation

(18)

Exemple 13. Quantité discrète X donné par le tableau

Trouvez la fonction de distribution et tracez-la.

Solution.

1. Si , alors , depuis X ne peut pas prendre une valeur inférieure à 2.

Dans ce cas, dans l'intervalle (-¥, X) une seule valeur de la variable aléatoire arrive X (X=2). C'est pourquoi

Pour toute valeur d'argument X fonctions F(x), satisfaisant cette inégalité, dans l'intervalle (-¥, X) atteint deux valeurs de la variable aléatoire ( X=2 et X=3). Parce que les événements qui X acceptera que les valeurs données soient incohérentes (ou X=2 ou X=3), alors

4. De même si

La fonction de distribution aura donc la forme

Représenter graphiquement la fonction de distribution

Riz. 1 - Graphique de la fonction de distribution

variable aléatoire discrète

Exemple 14. Densité de distribution des erreurs de mesure

Expansion du concept événements aléatoires, consistant en l'apparition de certains valeurs numériquesà la suite de l'expérience, est variable aléatoire X.

Définition. Aléatoire Ils appellent une quantité qui, à la suite d'une expérience, ne prend qu'une seule valeur parmi une partie de leur totalité et dont on ne sait pas d'avance laquelle.

Variable aléatoire, par exemple, est un modèle raisonnable pour décrire des données géologiques, prenant en compte l'influence de divers facteurs sur le champ physique.

Comme le résultat d'une expérience distincte, valeur exacte Il est impossible de prédire une variable aléatoire ; on peut seulement établir ses modèles statistiques, c'est-à-dire déterminer les probabilités de valeurs de variables aléatoires. Par exemple, les mesures propriétés physiques rochers sont des observations des variables aléatoires correspondantes.

Parmi les variables aléatoires rencontrées par un géologue, on peut distinguer deux types principaux : les variables discret et l'ampleur continu.

Définition. Discret Une variable aléatoire est une variable qui peut prendre un ensemble de valeurs fini ou infini.

Comme exemples typiques Une variable aléatoire discrète peut être tous les résultats de travaux de terrain, tous les résultats d'expériences, des échantillons apportés du terrain, etc.

Toutes les valeurs possibles d'une forme de variable aléatoire groupe completévénements, c'est-à-dire , où est fini ou infini. On peut donc dire que variable aléatoire généralise la notion d'événement aléatoire.

Supposons que la série de données suivante soit obtenue à la suite de la recherche : composition quantitative certaines races : 4 ; 3 ; 1 ; 2 ; 5 ; 4 ; 2 ; 2 ; 3 ; 1 ; 5 ; 4 ; 3 ; 5 ; 5 ; 2 ; 5 ; 5 ; 6 ; 1. Au total, 20 tests ont été effectués. Afin de faciliter le travail avec les données, elles ont été transformées : les valeurs résultantes ont été classées par ordre croissant et le nombre d'occurrences de chaque valeur a été compté. En conséquence, nous avons obtenu (tableau 7.1) :

Définition. Une distribution ascendante de données est appelée classement.

Définition. La valeur observée d’un attribut d’une variable aléatoire est appelée une variante.

Définition. Une série composée d'options s'appelle série de variations.

Définition. Un changement dans un attribut d'une variable aléatoire est appelé varié.

Définition. Le nombre indiquant combien de fois une option donnée varie est appelé fréquence et est noté .

Définition. Probabilité l'apparition de cette option est égale au rapport fréquence / montant total série de variations

Compte tenu des définitions introduites, nous réécrivons le tableau 7.1.

Probabilité À analyse statistique les données expérimentales sont principalement utilisées quantités discrètes . Le tableau 7.3 présente les principales caractéristiques numériques de ces grandeurs, qui sont importantes signification pratique

variables aléatoires	N p/p	Caractéristiques (paramètre) d'une variable aléatoire et sa désignation	Formule pour trouver les caractéristiques d'une variable aléatoire
1	Note	(2)	Attente
2	Caractérise la position d'une variable aléatoire sur l'axe des nombres	(3)	Valeur moyenne
3	Si la variable aléatoire est indépendante, alors	Mode	C'est la valeur pour laquelle le plus grand Égal à la valeur la plus fréquente. Si de telles valeurs dans série de variations
4	plusieurs, ce n’est pas déterminé.	Médian Si même, alors	Si c'est étrange, alors
5	C'est la valeur qui se trouve au centre de la série classée.		Dispersion
7	Caractérise la diffusion réelle d'une variable aléatoire autour de la valeur moyenne.	(6)	Coefficient de variation
8	Avec la dispersion, il caractérise la variabilité d'une variable aléatoire

Déviation normalisée centrée

Établissement d'enseignement "État biélorusse

Académie agricole"

Département de mathématiques supérieures

Lignes directrices

pour étudier le thème « Variables aléatoires » par les étudiants de la Faculté de comptabilité pour l'enseignement par correspondance (NISPO)

Gorki, 2013

Variables aléatoires

Variables aléatoires discrètes et continues L'un des principaux concepts de la théorie des probabilités est le concept . variable aléatoire est une grandeur qui, à la suite d’un test, ne prend qu’une de ses nombreuses valeurs possibles, et on ne sait pas à l’avance laquelle.

Il existe des variables aléatoires discret et continu . Variable aléatoire discrète (DRV) est une variable aléatoire qui peut prendre un nombre fini de valeurs isolées les unes des autres, c'est-à-dire si les valeurs possibles de cette quantité peuvent être recalculées. Variable aléatoire continue (CNV) est une variable aléatoire dont toutes les valeurs possibles remplissent complètement un certain intervalle de la droite numérique.

Les variables aléatoires sont désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin X, Y, Z, etc. Les valeurs possibles des variables aléatoires sont indiquées par les minuscules correspondantes.

Enregistrer
signifie « la probabilité qu'une variable aléatoire X prendra une valeur de 5, égale à 0,28.

Exemple 1 . X Les dés sont lancés une fois. Dans ce cas, des chiffres de 1 à 6 peuvent apparaître, indiquant le nombre de points. Notons la variable aléatoire X=(nombre de points obtenus). Cette variable aléatoire résultant du test ne peut prendre qu'une des six valeurs suivantes : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Par conséquent, la variable aléatoire

il y a DSV. Exemple 2 X. Lorsqu’une pierre est lancée, elle parcourt une certaine distance. Notons la variable aléatoire X=(distance de vol de pierre). Cette variable aléatoire peut prendre n’importe quelle valeur, mais une seule, dans un certain intervalle. Par conséquent, la variable aléatoire

il y a le NSV.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète Une variable aléatoire discrète est caractérisée par les valeurs qu'elle peut prendre et les probabilités avec lesquelles ces valeurs sont prises. La correspondance entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète et leurs probabilités correspondantes est appelée .

loi de distribution d'une variable aléatoire discrète
Si toutes les valeurs possibles sont connues X variable aléatoire
et probabilités l'apparition de ces valeurs, alors ils croient que la loiX Distributions DSV

est connu et peut s’écrire sous forme de tableau :
,
, …,
La loi de distribution DSV peut être représentée graphiquement si les points sont représentés dans un système de coordonnées rectangulaires

et connectez-les avec des segments de ligne droite. La figure résultante est appelée un polygone de distribution. Exemple 3 X. Les céréales destinées au nettoyage contiennent 10 % de mauvaises herbes. 4 grains ont été sélectionnés au hasard. Notons la variable aléatoire X=(nombre de mauvaises herbes parmi les quatre sélectionnées). Construire la loi de distribution DSV

et polygone de distribution. Solution

Écrivons la loi de distribution de DSV X sous forme de tableau et construisons un polygone de distribution :

Attente d'une variable aléatoire discrète

Les propriétés les plus importantes d'une variable aléatoire discrète sont décrites par ses caractéristiques. L'une de ces caractéristiques est espérance mathématique variable aléatoire.

Faites connaître la loi de distribution DSV X:

Attente mathématique DSV X est la somme des produits de chaque valeur de cette quantité par la probabilité correspondante :
.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est approximativement égale à la moyenne arithmétique de toutes ses valeurs. Par conséquent, dans les problèmes pratiques, il est souvent espérance mathématique prendre la valeur moyenne de cette variable aléatoire.

Exemple 8 . Le tireur marque 4, 8, 9 et 10 points avec des probabilités de 0,1, 0,45, 0,3 et 0,15. Trouvez l'espérance mathématique du nombre de points avec un seul tir.

et polygone de distribution. . Notons la variable aléatoire X=(nombre de points marqués). Alors . Ainsi, le nombre moyen attendu de points marqués avec un seul tir est de 8,2 et avec 10 tirs - 82.

Propriétés principales les attentes mathématiques sont :

.

.

, Où
,
.

.

, Où X Et Oui sont des variables aléatoires indépendantes.

Différence
appelé déviation variable aléatoire X de son espérance mathématique. Cette différence est une variable aléatoire et son espérance mathématique est nulle, c'est-à-dire
.

Variance d'une variable aléatoire discrète

Pour caractériser une variable aléatoire, en plus de l'espérance mathématique, on utilise également dispersion , qui permet d'estimer la dispersion (spread) des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance mathématique. Lors de la comparaison de deux variables aléatoires homogènes avec des attentes mathématiques égales, la « meilleure » valeur est considérée comme celle qui a le moins de dispersion, c'est-à-dire moins de dispersion.

Variance variable aléatoire X est appelée l'espérance mathématique de l'écart carré d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique : .

DANS problèmes pratiques ah pour calculer la variance, utilisez la formule équivalente.

Les principales propriétés de la dispersion sont :

.

L’un des concepts de base les plus importants de la théorie des probabilités est le concept de variable aléatoire.

Une variable aléatoire est une quantité qui, à la suite d'une expérience, peut prendre telle ou telle valeur, et on ne sait pas à l'avance laquelle.

Exemples de variables aléatoires :

1) nombre de coups sûrs avec trois tirs ;

2) le nombre d'appels reçus le central téléphonique par jour ;

3) taux de réussite avec 10 tirs.

Dans ces trois exemples, les variables aléatoires peuvent prendre des valeurs distinctes et isolées qui peuvent être énumérées à l'avance.

Ainsi, dans l'exemple 1) ces valeurs sont :

dans l'exemple 2) :

dans l'exemple 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

De telles variables aléatoires qui ne prennent que des valeurs discrètes pouvant être énumérées à l'avance sont appelées variables aléatoires discontinues ou discrètes.

Il existe d'autres types de variables aléatoires, par exemple :

1) abscisse du point d'impact lors du tir ;

2) erreur de pesée du corps sur les balances analytiques ;

3) la vitesse de l'avion au moment où il atteint une altitude donnée ;

4) le poids d'un grain de blé pris au hasard.

Les valeurs possibles de ces variables aléatoires ne sont pas séparées les unes des autres ; ils comblent continuellement un certain vide, qui a parfois des limites clairement définies, et le plus souvent des frontières vagues, très vagues.

De telles variables aléatoires, dont les valeurs possibles remplissent continuellement un certain intervalle, sont appelées variables aléatoires continues.

La notion de variable aléatoire joue un rôle très important rôle important en théorie des probabilités. Si la théorie « classique » des probabilités fonctionnait principalement avec des événements, alors la théorie moderne des probabilités préfère, dans la mesure du possible, fonctionner avec des variables aléatoires.

Donnons des exemples de méthodes de transition d'événements vers des variables aléatoires typiques de la théorie des probabilités.

Une expérience est réalisée à la suite de laquelle un événement peut apparaître ou non. Au lieu d'un événement, on peut considérer une variable aléatoire, qui est égale à 1 si l'événement se produit et égale à 0 si l'événement ne se produit pas. La variable aléatoire est évidemment discontinue ; elle a deux valeurs possibles : 0 et 1. Cette variable aléatoire est appelée variable aléatoire caractéristique de l'événement. En pratique, il s’avère souvent plus pratique d’opérer avec leurs variables aléatoires caractéristiques plutôt qu’avec des événements. Par exemple, si une série d'expériences est réalisée, dans chacune desquelles l'apparition d'un événement est possible, alors nombre total Les occurrences d’un événement sont égales à la somme des variables aléatoires caractéristiques de l’événement dans toutes les expériences. Pour résoudre de nombreux problèmes pratiques, l’utilisation de cette technique s’avère très pratique.

D'un autre côté, très souvent, pour calculer la probabilité d'un événement, il s'avère pratique d'associer cet événement à une sorte de variable aléatoire continue (ou système de variables continues).

Par exemple, mesurons les coordonnées d'un objet O afin de construire un point M, représentant cet objet dans un panorama (scan) de la zone. Nous nous intéressons au cas où l'erreur R sur la position du point M ne dépassera pas la valeur spécifiée (Fig. 2.4.1). Désignons les erreurs aléatoires dans la mesure des coordonnées d'un objet. Évidemment, l'événement est équivalent à un point aléatoire M dont les coordonnées se situent dans un cercle de rayon ayant pour centre le point O. En d'autres termes, pour que l'événement se produise, les variables aléatoires doivent satisfaire l'inégalité

La probabilité d’un événement n’est rien d’autre que la probabilité que l’inégalité (2.4.1) soit satisfaite. Cette probabilité peut être déterminée si les propriétés des variables aléatoires sont connues.

Une telle connexion organique entre les événements et les variables aléatoires est très caractéristique de théorie moderne probabilités, qui, autant que possible, passent du « schéma des événements » au « schéma des variables aléatoires ». Ce dernier schéma, par rapport au premier, est un appareil beaucoup plus flexible et universel pour résoudre des problèmes liés aux phénomènes aléatoires.

LOI DE DISTRIBUTION ET CARACTÉRISTIQUES

VARIABLES ALÉATOIRES

Variables aléatoires, leur classification et méthodes de description.

Une quantité aléatoire est une quantité qui, à la suite d'une expérience, peut prendre telle ou telle valeur, mais laquelle n'est pas connue à l'avance. Par conséquent, pour une variable aléatoire, vous ne pouvez spécifier que des valeurs, dont l'une sera certainement le résultat d'une expérience. Dans ce qui suit nous appellerons ces valeurs valeurs possibles de la variable aléatoire. Puisqu'une variable aléatoire caractérise quantitativement résultat aléatoire expérience, cela peut être considéré comme caractéristique quantitativeévénement aléatoire.

Les variables aléatoires sont généralement désignées par des lettres majuscules de l'alphabet latin, par exemple X..Y..Z, et leurs valeurs possibles par les lettres minuscules correspondantes.

Il existe trois types de variables aléatoires :

Discret; Continu; Mixte.

Discret est une variable aléatoire dont le nombre de valeurs possibles forme un ensemble dénombrable. À son tour, un ensemble dont les éléments peuvent être numérotés est appelé dénombrable. Le mot « discret » vient du latin discretus, qui signifie « discontinu, constitué de pièces détachées» .

Exemple 1. Une variable aléatoire discrète est le nombre de pièces défectueuses X dans un lot de nproduits. En effet, les valeurs possibles de cette variable aléatoire sont une suite d'entiers allant de 0 à n.

Exemple 2. Une variable aléatoire discrète est le nombre de tirs avant le premier coup sur la cible. Ici, comme dans l'exemple 1, les valeurs possibles peuvent être numérotées, bien que dans le cas limite la valeur possible soit un nombre infiniment grand.

Continu est une variable aléatoire dont les valeurs possibles remplissent en permanence un certain intervalle de l'axe numérique, parfois appelé intervalle d'existence de cette variable aléatoire. Ainsi, sur tout intervalle fini d'existence, le nombre de valeurs possibles d'une variable aléatoire continue est infiniment grand.

Exemple 3. Une variable aléatoire continue est la consommation électrique mensuelle d'une entreprise.

Exemple 4. Une variable aléatoire continue est l'erreur de mesure de la hauteur à l'aide d'un altimètre. D'après le principe de fonctionnement de l'altimètre, l'erreur est comprise entre 0 et 2 m. L'intervalle d'existence de cette variable aléatoire est donc l'intervalle de 0 à 2 m.

Loi de distribution des variables aléatoires.

Une variable aléatoire est considérée comme entièrement spécifiée si ses valeurs possibles sont indiquées sur l'axe numérique et que la loi de distribution est établie.

Loi de distribution d'une variable aléatoire est une relation qui établit un lien entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités correspondantes.

Une variable aléatoire est dite distribuée sur cette loi, ou est soumis à une loi de distribution donnée. Un certain nombre de probabilités, de fonctions de distribution, de densité de probabilité et de fonctions caractéristiques sont utilisées comme lois de distribution.

La loi de distribution donne une description probable complète d'une variable aléatoire. Selon la loi de distribution, on peut juger avant l'expérience quelles valeurs possibles d'une variable aléatoire apparaîtront le plus souvent et lesquelles le moins souvent.

Pour une variable aléatoire discrète, la loi de distribution peut être précisée sous forme de tableau, analytiquement (sous forme de formule) et graphiquement.

La forme la plus simple définir la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète est un tableau (matrice) dans lequel toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes sont répertoriées par ordre croissant, c'est-à-dire

Un tel tableau est appelé une série de distribution d'une variable aléatoire discrète. 1

Les événements X 1, X 2,..., X n, consistant dans le fait qu'à la suite du test, la variable aléatoire X prendra respectivement les valeurs x 1, x 2,...x n, sont incohérent et les seuls possibles (puisque le tableau répertorie toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire), c'est-à-dire former un groupe complet. Par conséquent, la somme de leurs probabilités est égale à 1. Ainsi, pour toute variable aléatoire discrète

(Cette unité est en quelque sorte répartie parmi les valeurs de la variable aléatoire, d'où le terme « distribution »).

La série de distribution peut être représentée graphiquement si les valeurs de la variable aléatoire sont tracées le long de l'axe des abscisses et leurs probabilités correspondantes sont tracées le long de l'axe des ordonnées. La connexion des points obtenus forme une ligne brisée appelée polygone ou polygone de distribution de probabilité (Fig. 1).

Exemple La loterie comprend : une voiture d'une valeur de 5 000 den. unités, 4 téléviseurs coûtant 250 den. unités, 5 magnétoscopes d'une valeur de 200 den. unités Au total, 1000 billets sont vendus pendant 7 jours. unités Élaborer une loi de répartition des gains nets reçus par un participant à la loterie qui a acheté un billet.

et polygone de distribution.. Les valeurs possibles de la variable aléatoire X - les gains nets par ticket - sont égales à 0-7 = -7 argent. unités (si le ticket n'est pas gagnant), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unités (si le billet contient respectivement les gains d'un magnétoscope, d'un téléviseur ou d'une voiture). Considérant que sur 1000 billets, le nombre de non-gagnants est de 990 et que les gains indiqués sont respectivement de 5, 4 et 1, et en utilisant définition classique probabilité, nous obtenons.