Solution. Notons les événements : A - « la pièce sélectionnée est défectueuse », H i - « la pièce sélectionnée est reçue du i-ème fournisseur », i = 1, 2, 3 Hypothèses H 1, H 2, H 3 forme groupe complet Pas événements communs. Par condition
P(H1) = 0,5 ; P(H2) = 0,2 ; P(H3) = 0,3
P(A|H1) = 0,04 ; P(A|H2) = 0,05 ; P(A|H 3) = 0,02

D'après la formule pleine probabilité(1.11) la probabilité de l'événement A est égale à
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 · 0,05 + 0,3 · 0,02=0,036
La probabilité qu'une pièce sélectionnée au hasard soit défectueuse est de 0,036.

Supposons que dans les conditions de l'exemple précédent, l'événement A se soit déjà produit : la pièce sélectionnée s'avère défectueuse. Quelle est la probabilité qu’il provienne du premier fournisseur ? La réponse à cette question est donnée par la formule de Bayes.
Nous avons commencé l'analyse des probabilités avec seulement des valeurs préliminaires, a priori, des probabilités d'événements. Ensuite, une expérience a été réalisée (une partie a été sélectionnée), et nous avons reçu Informations Complémentaires sur l'événement qui nous intéresse. Avec ces nouvelles informations, nous pouvons affiner nos probabilités antérieures. Les nouvelles valeurs des probabilités des mêmes événements seront déjà des probabilités a posteriori (post-expérimentales) des hypothèses (Fig. 1.5).

Schéma de réévaluation des hypothèses
Supposons que l'événement A soit réalisé uniquement avec l'une des hypothèses H 1 , H 2 , …, H n (un groupe complet d'événements incompatibles). Nous avons noté les probabilités a priori des hypothèses comme P(H i) et les probabilités conditionnelles de l'événement A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Si l'expérience a déjà été réalisée et qu'en conséquence l'événement A s'est produit, alors les probabilités a posteriori des hypothèses seront les probabilités conditionnelles P(H i |A), i = 1, 2,…, n. Dans la notation de l'exemple précédent, P(H 1 |A) est la probabilité que la pièce sélectionnée qui s'est avérée défectueuse ait été reçue du premier fournisseur.
Nous nous intéressons à la probabilité de l'événement H k |A Considérons l'occurrence conjointe des événements H k et A, c'est-à-dire l'événement AH k. Sa probabilité peut être trouvée de deux manières, en utilisant les formules de multiplication (1.5) et (1.6) :
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AHk) = P(A)P(Hk |A).

Égalisons les côtés droits de ces formules
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

donc la probabilité a posteriori de l'hypothèse H k est égale à

Le dénominateur contient la probabilité totale de l'événement A. En substituant sa valeur à la place de P(A) selon la formule de probabilité totale (1.11), nous obtenons :
(1.12)
La formule (1.12) s'appelle Formule de Bayes et est utilisé pour réestimer les probabilités des hypothèses.
Dans les conditions de l’exemple précédent, on retrouvera la probabilité que la pièce défectueuse ait été reçue du premier fournisseur. Mettons les conditions que nous connaissons dans un seul tableau probabilités antérieures hypothèses P(H i) probabilités conditionnelles P(A|H i) calculées pendant le processus de résolution probabilités conjointes P(AH i) = P(H i) P(A|H i) et probabilités a posteriori P(H k |A) calculées à l'aide de la formule (1.12), i,k = 1, 2,…, n (Tableau 1.3) .

Tableau 1.3 - Réévaluation des hypothèses

Exemple n°3. Il y a trois urnes identiques ; la première urne contient deux boules blanches et une boule noire ; dans le second - trois blancs et un noir ; dans le troisième il y a deux boules blanches et deux boules noires. Pour l’expérience, une urne est choisie au hasard et une boule en est tirée. Trouvez la probabilité que cette boule soit blanche.
Solution. Considérons trois hypothèses : H 1 - la première urne est sélectionnée, H 2 - la deuxième urne est sélectionnée, H 3 - la troisième urne est sélectionnée et l'événement A - est tiré au sort. boule blanche.
Puisque les hypothèses selon les conditions du problème sont également possibles, alors

Les probabilités conditionnelles de l’événement A sous ces hypothèses sont respectivement égales :
D'après la formule de probabilité totale

Exemple n°4. Il y a 19 fusils dans la pyramide, dont 3 avec viseur optique. Un tireur tirant avec un fusil avec viseur optique peut atteindre la cible avec une probabilité de 0,81, et tirant avec un fusil sans viseur optique avec une probabilité de 0,46. Trouvez la probabilité qu'un tireur atteigne une cible en utilisant un fusil aléatoire.
Solution. Ici, le premier test consiste à choisir un fusil au hasard, le second consiste à tirer sur une cible. Considérez les événements suivants : A - le tireur atteint la cible ; H 1 - le tireur prendra un fusil à viseur optique ; H 2 - le tireur prendra un fusil sans viseur optique. Nous utilisons la formule de probabilité totale. Nous avons

Exemple n°5. Dans une urne contenant 2 boules blanches et 3 boules noires, on tire au hasard deux boules et on ajoute 1 boule blanche dans l'urne. Trouvez la probabilité qu'une boule choisie au hasard soit blanche.
Solution. On note l'événement « une boule blanche est tirée » par A. Événement H 1 - deux boules blanches sont tirées au hasard ; H 2 - deux boules noires ont été tirées au hasard ; H 3 - une boule blanche et une boule noire ont été tirées. Puis les probabilités des hypothèses avancées

Exemple n°6. Deux coups de feu sont tirés sur la cible. La probabilité de toucher au premier coup est de 0,2, au second de 0,6. La probabilité de destruction d'une cible avec un seul coup est de 0,3, avec deux - 0,9. Trouvez la probabilité que la cible soit détruite.
Solution. Laissez l'événement A - la cible est détruite. Pour ce faire, il suffit de frapper avec un tir sur deux ou de toucher la cible avec deux tirs d'affilée sans rater. Formulons des hypothèses : H 1 - les deux tirs touchent la cible. Alors P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H 2 - soit la première fois, soit la deuxième fois, un échec a été commis. Alors P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. L'hypothèse H 3 - les deux tirs ont été ratés - n'est pas prise en compte, puisque la probabilité de destruction de la cible est nulle. Alors les probabilités conditionnelles sont respectivement égales : la probabilité de destruction de la cible, à condition que les deux tirs réussis soient effectués, est P(A|H 1) = 0,9, et la probabilité de destruction de la cible, à condition qu'un seul tir réussi soit P(A|H 2) = 0,3. Alors la probabilité de destruction de la cible selon la formule de probabilité totale est égale.

En pratique, il est souvent nécessaire de déterminer la probabilité qu’un événement d’intérêt se produise avec l’un des événements formant un groupe complet. Le théorème suivant, qui est une conséquence des théorèmes d'addition et de multiplication de probabilité, conduit à la conclusion formule importante pour calculer la probabilité de tels événements. Cette formule est appelée formule de probabilité totale.

Laisser H 1 , H 2 , … , H n est nincompatible par paireévénements formant un groupe complet :

1) tous les événements sont incompatibles par paire : Salut ∩ Hj= ; je, j= 1,2, … , n; jej;

2) leur combinaison forme l'espace résultats élémentaires W :

De tels événements sont parfois appelés hypothèses. Que l'événement se produise UN, qui ne peut se produire que si l'un des événements se produit H je ( je = 1, 2, … , n). Alors le théorème est vrai.

Objectif du travail : développer des compétences pour résoudre des problèmes de théorie des probabilités en utilisant la formule de probabilité totale et la formule de Bayes.

Formule de probabilité totale

Probabilité de l'événement UN, qui ne peut se produire que si l'un des événements incompatibles se produit B x, B 2,..., B p, former un groupe complet est égal à la somme des produits des probabilités de chacun de ces événements par la probabilité conditionnelle correspondante de l'événement A :

Cette formule s'appelle la formule de probabilité totale.

Probabilité des hypothèses. Formule de Bayes

Laissez l'événement UN peut survenir sous réserve de la survenance d’un des événements incompatibles V b 2 ,..., V p, formant un groupe complet. Puisqu’on ne sait pas à l’avance lesquels de ces événements se produiront, on les appelle des hypothèses. Probabilité d'occurrence de l'événement UN déterminé par la formule de probabilité totale :

Supposons qu'un test ait été effectué, à la suite duquel un événement s'est produit UN. Il est nécessaire de déterminer comment les changements (du fait que l'événement UN est déjà arrivé) la probabilité des hypothèses. Les probabilités conditionnelles des hypothèses sont trouvées à l'aide de la formule

Dans cette formule, indice / = 1,2

Cette formule est appelée formule de Bayes (du nom du mathématicien anglais qui l'a dérivée ; publiée en 1764). La formule de Bayes nous permet de réestimer les probabilités des hypothèses une fois qu'elles deviennent résultat connu test ayant abouti à un événement UN.

Tâche 1. L'usine produit un certain type de pièce, chaque pièce présente un défaut avec une probabilité de 0,05. La pièce est inspectée par un inspecteur ; il détecte un défaut avec une probabilité de 0,97, et si aucun défaut n'est détecté, il fait passer la pièce produits finis. De plus, l'inspecteur peut rejeter par erreur une pièce qui ne présente pas de défaut ; la probabilité que cela se produise est de 0,01. Trouvez les probabilités des événements suivants : A - la pièce sera rejetée ; B - la pièce sera rejetée, mais de manière incorrecte ; C - la pièce sera transformée en produit fini avec un défaut.

Solution

Notons les hypothèses :

N= (une pièce standard sera envoyée pour inspection) ;

N=(une pièce non standard sera envoyée pour inspection).

Événement UNE =(la pièce sera rejetée).

A partir des conditions problématiques, nous trouvons les probabilités

R N (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

En utilisant la formule de probabilité totale, nous obtenons

La probabilité qu'une pièce soit rejetée par erreur est

Trouvons la probabilité qu'une pièce soit incluse dans le produit fini avec un défaut :

Répondre:

Tâche 2. La conformité du produit est vérifiée par l'un des trois experts en matières premières. La probabilité que le produit atteigne le premier marchandiseur est de 0,25, le deuxième de 0,26 et le troisième de 0,49. La probabilité que le produit soit reconnu comme standard par le premier marchandiseur est de 0,95, par le deuxième de 0,98 et par le troisième de 0,97. Trouvez la probabilité qu'un produit standard soit vérifié par un deuxième inspecteur.

Solution

Notons les événements :

L. =(le produit sera envoyé au/ième marchandiseur pour inspection) ; / = 1, 2, 3 ;

B =(le produit sera considéré comme standard).

Selon les conditions du problème, les probabilités sont connues :

Les probabilités conditionnelles sont également connues

A l'aide de la formule de Bayes, on trouve la probabilité qu'un produit standard soit contrôlé par un deuxième inspecteur :

Répondre:« 0,263.

Tâche 3. Deux machines produisent des pièces qui sont envoyées sur un convoyeur commun. La probabilité de recevoir une pièce non standard sur la première machine est de 0,06 et sur la seconde de 0,09. La productivité de la deuxième machine est deux fois supérieure à celle de la première. Une pièce non standard a été retirée de la chaîne de montage. Trouvez la probabilité que cette pièce ait été produite par la deuxième machine.

Solution

Notons les événements :

A. =(une pièce prélevée sur le convoyeur a été réalisée par la /ème machine) ; / = 1,2 ;

DANS= (la partie prise sera non standard).

Les probabilités conditionnelles sont également connues

En utilisant la formule de probabilité totale, nous trouvons

A l'aide de la formule de Bayes, on trouve la probabilité que la pièce non standard sélectionnée ait été réalisée par la deuxième machine :

Répondre: 0,75.

Tâche 4. Un appareil composé de deux unités est testé, dont la fiabilité est respectivement de 0,8 et 0,9. Les nœuds échouent indépendamment les uns des autres. L'appareil est tombé en panne. En tenant compte de cela, trouvez la probabilité des hypothèses :

• a) seul le premier nœud est défectueux ;
• b) seul le deuxième nœud est défectueux ;
• c) les deux nœuds sont défectueux.

Solution

Notons les événements :

D = (le 7ème nœud n'échouera pas) ; je = 1,2;

D - événements opposés correspondants ;

UN= (pendant le test, il y aura une panne de l'appareil).

A partir des conditions du problème on obtient : P(D) = 0,8 ; R(L 2) = 0,9.

Par la propriété des probabilités d'événements opposés

Événement UNégal à la somme des produits événements dépendants

Utiliser le théorème d'addition de probabilités d'événements incompatibles et le théorème de multiplication des probabilités événements indépendants, nous obtenons

On retrouve maintenant les probabilités des hypothèses :

Répondre:

Tâche 5.À l'usine, les boulons sont produits sur trois machines, qui produisent respectivement 25 %, 30 % et 45 % du nombre total de boulons. Dans les produits de machines-outils, les défauts sont respectivement de 4 %, 3 % et 2 %. Quelle est la probabilité qu’un boulon prélevé au hasard sur un produit entrant soit défectueux ?

Solution

Notons les événements :

4 = (un boulon pris au hasard a été réalisé sur la i-ème machine) ; je = 1, 2, 3;

DANS= (un boulon pris au hasard sera défectueux).

A partir des conditions du problème, en utilisant la formule de probabilité classique, on retrouve les probabilités des hypothèses :

Aussi, en utilisant la formule de probabilité classique, on trouve des probabilités conditionnelles :

En utilisant la formule de probabilité totale, nous trouvons

Répondre: 0,028.

Tâche 6. Le circuit électronique appartient à l'un des trois partis avec des probabilités de 0,25 ; 0,5 et 0,25. La probabilité que le circuit fonctionne au-delà de la durée de vie de la garantie pour chaque lot est de 0,1 ; 0,2 et 0,4. Trouvez la probabilité qu'un circuit choisi au hasard fonctionne au-delà de sa période de garantie.

Solution

Notons les événements :

4 = (schéma pris au hasard à partir de la fête); je = 1, 2, 3;

DANS= (un circuit choisi au hasard fonctionnera au-delà de la période de garantie).

Selon les conditions du problème, les probabilités des hypothèses sont connues :

Les probabilités conditionnelles sont également connues :

En utilisant la formule de probabilité totale, nous trouvons

Répondre: 0,225.

Tâche 7. L'appareil contient deux blocs dont l'état de fonctionnement de chacun est nécessaire au fonctionnement de l'appareil. Les probabilités de fonctionnement sans panne de ces blocs sont respectivement de 0,99 et 0,97. L'appareil est en panne. Déterminez la probabilité que les deux unités échouent.

Solution

Notons les événements :

ré = ( bloc zéchouera); je = 1,2;

UN= (l'appareil échouera).

A partir des conditions du problème, selon la propriété des probabilités d'événements opposés, on obtient : DD) = 1-0,99 = 0,01 ; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Événement UN se produit uniquement lorsqu'au moins un des événements D ou Un 2. Cet événement est donc égal à la somme des événements UN= D + UN 2 .

Par le théorème d'addition de probabilités d'événements conjoints on obtient

En utilisant la formule de Bayes, nous trouvons la probabilité que l'appareil tombe en panne en raison de la panne des deux unités.

Répondre:

Problèmes à résoudre de manière autonome Tâche 1. Dans l'entrepôt du studio de télévision se trouvent 70 % des tubes cathodiques fabriqués par l'usine n°1 ; le reste des tubes cathodiques a été fabriqué par l'usine n° 2. La probabilité que le tube cathodique ne tombe pas en panne pendant la durée de vie de la garantie est de 0,8 pour les tubes cathodiques de l'usine n° 1 et de 0,7 pour les tubes cathodiques de l'usine n° 2. Le tube cathodique a survécu à la durée de vie de la garantie. Trouvez la probabilité qu'il ait été fabriqué par l'usine n°2.

Tâche 2. Les pièces sont reçues pour assemblage à partir de trois machines. On sait que la 1ère machine donne 0,3% de défauts, la 2ème - 0,2%, la 3ème - 0,4%. Trouvez la probabilité de recevoir une pièce défectueuse pour l'assemblage si 1 000 pièces étaient reçues de la 1ère machine, 2 000 de la 2ème et 2 500 de la 3ème machine.

Tâche 3. Deux machines produisent des pièces identiques. La probabilité qu'une pièce produite sur la première machine soit standard est de 0,8 et sur la seconde de 0,9. La productivité de la deuxième machine est trois fois supérieure à la productivité de la première. Trouvez la probabilité qu'une pièce prise au hasard sur un convoyeur qui reçoit les pièces des deux machines soit standard.

Tâche 4. Le chef de l'entreprise a décidé de recourir aux services de deux des trois sociétés de transport. Les probabilités de livraison intempestive des marchandises pour les première, deuxième et troisième entreprises sont respectivement égales à 0,05 ; 0,1 et 0,07. Après avoir comparé ces données avec les données sur la sécurité du transport de marchandises, le responsable est arrivé à la conclusion que le choix était équivalent et a décidé de le faire par tirage au sort. Trouvez la probabilité que la cargaison expédiée soit livrée à temps.

Tâche 5. L'appareil contient deux blocs dont l'état de fonctionnement de chacun est nécessaire au fonctionnement de l'appareil. Les probabilités de fonctionnement sans panne de ces blocs sont respectivement de 0,99 et 0,97. L'appareil est en panne. Déterminez la probabilité que la deuxième unité tombe en panne.

Tâche 6. L'atelier d'assemblage reçoit les pièces de trois machines. La première machine donne 3% de défauts, la seconde - 1% et la troisième - 2%. Déterminez la probabilité qu'une pièce non défectueuse entre dans l'assemblage si 500, 200, 300 pièces étaient reçues de chaque machine, respectivement.

Tâche 7. L'entrepôt reçoit des produits de trois sociétés. De plus, la production de la première entreprise est de 20 %, la deuxième de 46 % et la troisième de 34 %. On sait également que le pourcentage moyen de produits non standards pour la première entreprise est de 5 %, pour la seconde de 2 % et pour la troisième de 1 %. Trouvez la probabilité qu'un produit choisi au hasard soit fabriqué par une deuxième entreprise s'il s'avère standard.

Tâche 8. Défauts dans les produits d'usine dus à un défaut UN est de 5 %, et parmi ceux rejetés sur la base de UN les produits sont défectueux dans 10% des cas r. Et dans des produits exempts de défauts UN, défaut r survient dans 1% des cas. Trouver la probabilité de rencontrer un défaut R. dans tous les produits.

Tâche 9. L'entreprise possède 10 voitures neuves et 5 anciennes qui étaient auparavant en réparation. La probabilité de bon fonctionnement d'une voiture neuve est de 0,94, pour une ancienne de 0,91. Trouvez la probabilité qu'une voiture sélectionnée au hasard fonctionne correctement.

Problème 10. Deux capteurs envoient des signaux sur un canal de communication commun, le premier envoyant deux fois plus de signaux que le second. La probabilité de recevoir un signal déformé du premier capteur est de 0,01, celle du second de 0,03. Quelle est la probabilité de recevoir un signal déformé dans canal général relations?

Problème 11. Il existe cinq lots de produits : trois lots de 8 pièces, dont 6 standards et 2 non standards, et deux lots de 10 pièces, dont 7 standards et 3 non standards. L'un des lots est sélectionné au hasard, et une partie est prélevée sur ce lot. Déterminez la probabilité que la pièce prise soit standard.

Problème 12. L'assembleur reçoit en moyenne 50 % des pièces de la première usine, 30 % de la deuxième usine et 20 % de la troisième usine. La probabilité qu'une partie de la première plante soit d'excellente qualité est de 0,7 ; pour les pièces des deuxième et troisième usines, respectivement 0,8 et 0,9. La pièce prise au hasard s'est avérée d'excellente qualité. Trouvez la probabilité que la pièce ait été fabriquée par la première usine.

Problème 13. Le contrôle douanier des véhicules est effectué par deux inspecteurs. En moyenne, sur 100 voitures, 45 passent par le premier inspecteur. La probabilité que lors de l'inspection une voiture correspondant réglementation douanière, ne sera pas détenu, est de 0,95 pour le premier inspecteur et de 0,85 pour le second. Trouvez la probabilité qu'une voiture conforme aux règles douanières ne soit pas retenue.

Problème 14. Les pièces nécessaires à l'assemblage de l'appareil proviennent de deux machines dont les performances sont les mêmes. Calculez la probabilité de recevoir une pièce standard à assembler si l'une des machines présente une violation moyenne de 3 % de la norme et la seconde de 2 %.

Problème 15. L'entraîneur d'haltérophilie a calculé que pour recevoir des points d'équipe dans une catégorie de poids donnée, un athlète doit pousser une barre de 200 kg. Ivanov, Petrov et Sidorov se disputent une place dans l'équipe. Pendant l'entraînement, Ivanov a essayé de soulever un tel poids dans 7 cas et l'a soulevé dans 3 d'entre eux. Petrov a soulevé la barre dans 6 cas sur 13 et Sidorov a 35 % de chances de réussir à manipuler la barre. L'entraîneur sélectionne au hasard un athlète pour l'équipe.

• a) Trouvez la probabilité que l'athlète sélectionné rapporte des points à l'équipe.
• b) L'équipe n'a reçu aucun point. Trouvez la probabilité que Sidorov ait joué.

Problème 16. Il y a 12 boules rouges et 6 boules bleues dans une boîte blanche. En noir, il y a 15 boules rouges et 10 boules bleues. Jeter un dé. Si le nombre de points est un multiple de 3, alors une boule est tirée au hasard dans la case blanche. Si un autre nombre de points est obtenu, une boule est tirée au hasard dans la boîte noire. Quelle est la probabilité qu’une boule rouge apparaisse ?

Problème 17. Deux cartons contiennent des tubes radio. Le premier carton contient 12 lampes dont 1 non standard ; dans la seconde il y a 10 lampes, dont 1 non standard. Une lampe est prise au hasard dans la première boîte et placée dans la seconde. Trouvez la probabilité qu’une lampe prise au hasard dans la deuxième boîte ne soit pas standard.

Problème 18. Une boule blanche est jetée dans une urne contenant deux boules, après quoi une boule est tirée au hasard. Trouvez la probabilité que la boule extraite soit blanche si toutes les hypothèses possibles sur la composition initiale des boules (basées sur la couleur) sont également possibles.

Problème 19. Une pièce standard est jetée dans une boîte contenant 3 pièces identiques, puis une pièce est retirée au hasard. Déterminez la probabilité qu'une pièce standard soit retirée si toutes les suppositions possibles sur le nombre de pièces standard initialement contenues dans la boîte sont également probables.

Problème 20. Pour améliorer la qualité des communications radio, deux récepteurs radio sont utilisés. La probabilité que chaque récepteur reçoive un signal est de 0,8, et ces événements (réception du signal par le récepteur) sont indépendants. Déterminez la probabilité de réception du signal si la probabilité de fonctionnement sans panne pendant une session de communication radio pour chaque récepteur est de 0,9.

Formule de probabilité totale et formules de Bayes

Sur cette leçon nous considérerons conséquence importante théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités et apprenez à résoudre tâches typiques sur le sujet. Les lecteurs qui ont lu l'article sur événements dépendants, ce sera plus simple, puisque nous y avons déjà commencé à utiliser la formule de probabilité totale. Si vous venez d'un moteur de recherche et/ou ne comprenez pas théorie des probabilités (lien vers la 1ère leçon du cours), alors je vous recommande de visiter ces pages en premier.

En fait, continuons. Considérons événement dépendant, qui ne peut survenir qu'à la suite de la mise en œuvre de l'une des dispositions incompatibles hypothèses , qui forme groupe complet. Que leurs probabilités et les probabilités conditionnelles correspondantes soient connues. La probabilité que l’événement se produise est alors :

Cette formule s'appelle formules de probabilité totale. Dans les manuels, il est formulé sous la forme d'un théorème dont la preuve est élémentaire : d'après algèbre des événements, (un événement s'est produit Et ou un événement s'est produit Et après est arrivé un événement ou un événement s'est produit Et après est arrivé un événement ou …. ou un événement s'est produit Et après est arrivé un événement). Puisque les hypothèses sont incompatibles, et l'événement est dépendant, alors selon le théorème d'addition de probabilités d'événements incompatibles (premier pas) Et théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants (deuxième étape):

Beaucoup de gens anticipent probablement le contenu du premier exemple =)

Partout où vous crachez, il y a une urne :

Problème 1

Il y a trois urnes identiques. La première urne contient 4 boules blanches et 7 boules noires, la deuxième - uniquement des boules blanches et la troisième - uniquement des boules noires. Une urne est sélectionnée au hasard et une boule en est tirée au hasard. Quelle est la probabilité que cette boule soit noire ?

Solution: considérez l'événement - une boule noire sera tirée d'une urne choisie au hasard. Cet événement peut survenir à la suite de l’une des hypothèses suivantes :
- la 1ère urne sera sélectionnée ;
- la 2ème urne sera sélectionnée ;
- la 3ème urne sera sélectionnée.

Puisque l'urne est choisie au hasard, le choix de l'une des trois urnes tout aussi possible, ainsi:

Veuillez noter que les hypothèses ci-dessus forment groupe complet d'événements, c'est-à-dire que, selon la condition, une boule noire ne peut sortir que de ces urnes et, par exemple, ne peut pas provenir d'une table de billard. Faisons une simple vérification intermédiaire :
, OK, passons à autre chose :

La première urne contient 4 blanches + 7 noires = 11 boules chacune définition classique:
- probabilité de tirer une boule noire étant donné que, que la 1ère urne sera sélectionnée.

La deuxième urne ne contient que des boules blanches, donc si choisi l'apparence de la boule noire devient impossible: .

Et enfin, la troisième urne ne contient que des boules noires, ce qui signifie les boules correspondantes. probabilité conditionnelle extraire la boule noire sera (l'événement est fiable).

- la probabilité qu'une boule noire soit tirée d'une urne choisie au hasard.

Répondre:

L’exemple analysé suggère à nouveau à quel point il est important d’approfondir la CONDITION. Prenons les mêmes problèmes avec les urnes et les boules - malgré leur similitude externe, les méthodes de solution peuvent être complètement différentes : quelque part, il suffit d'appliquer définition classique de la probabilité, quelque part des événements indépendant, quelque part dépendant, et quelque part nous parlons d'hypothèses. Dans le même temps, il n'existe pas de critère formel clair pour choisir une solution - il faut presque toujours y penser. Comment améliorer vos compétences ? On décide, on décide et on décide encore !

Problème 2

Le champ de tir dispose de 5 fusils de précision variable. Les probabilités d'atteindre la cible pour un tireur donné sont respectivement égales et 0,4. Quelle est la probabilité d’atteindre la cible si le tireur tire un coup avec un fusil choisi au hasard ?

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon.

En majorité tâches thématiques Bien entendu, les hypothèses ne sont pas également probables :

Problème 3

Il y a 5 fusils dans la pyramide, dont trois sont équipés d'un viseur optique. La probabilité qu'un tireur atteigne la cible en tirant avec un fusil à lunette de visée est de 0,95 ; pour une carabine sans viseur optique, cette probabilité est de 0,7. Trouvez la probabilité que la cible soit touchée si le tireur tire un coup avec un fusil pris au hasard.

Solution: dans ce problème le nombre de fusils est exactement le même que dans le précédent, mais il n'y a que deux hypothèses :
- le tireur sélectionnera une carabine à viseur optique ;
- le tireur choisira une carabine sans viseur optique.
Par définition classique de la probabilité: .
Contrôle:

Considérons l'événement : - un tireur touche une cible avec un fusil pris au hasard.
Selon la condition : .

D'après la formule de probabilité totale :

Répondre: 0,85

En pratique, une manière abrégée de formater une tâche, que vous connaissez également, est tout à fait acceptable :

Solution: Par définition classique: - la probabilité de choisir respectivement un fusil avec viseur optique et sans viseur optique.

Selon l'état, - la probabilité de toucher la cible avec les types de fusils correspondants.

D'après la formule de probabilité totale :
- la probabilité qu'un tireur touche une cible avec un fusil choisi au hasard.

Répondre: 0,85

La tâche suivante est à résoudre par vous-même :

Problème 4

Le moteur fonctionne selon trois modes : normal, forcé et ralenti. En mode veille, la probabilité de défaillance est de 0,05, en mode de fonctionnement normal - 0,1 et en mode forcé - 0,7. 70 % du temps, le moteur fonctionne en mode normal et 20 % en mode forcé. Quelle est la probabilité de panne moteur pendant le fonctionnement ?

Au cas où, je vous rappelle que pour obtenir les valeurs de probabilité, il faut diviser les pourcentages par 100. Soyez très prudent ! D'après mes observations, les gens essaient souvent de confondre les conditions des problèmes impliquant la formule de probabilité totale ; et j'ai spécifiquement choisi cet exemple. Je vais te dire un secret - j'ai failli me perdre moi-même =)

Solution à la fin de la leçon (formatée de manière courte)

Problèmes d'utilisation des formules de Bayes

Le matériel est étroitement lié au contenu du paragraphe précédent. Laissez l'événement se produire à la suite de la mise en œuvre de l'une des hypothèses . Comment déterminer la probabilité qu’une hypothèse particulière se réalise ?

Étant donné que cet événement c'est déjà arrivé, probabilités d'hypothèse surestimé selon les formules qui ont reçu le nom du prêtre anglais Thomas Bayes :

- la probabilité que l'hypothèse se soit réalisée ;
- la probabilité que l'hypothèse se soit réalisée ;
…
- la probabilité que l'hypothèse se soit réalisée.

À première vue, cela semble complètement absurde : pourquoi recalculer les probabilités des hypothèses si elles sont déjà connues ? Mais en fait il y a une différence :

Ce a priori(estimé à tests) probabilité.

Ce a posteriori(estimé après tests) probabilités des mêmes hypothèses, recalculées en relation avec des « circonstances nouvellement découvertes » - en tenant compte du fait que l'événement c'est certainement arrivé.

Examinons cette différence avec un exemple précis :

Problème 5

2 lots de produits sont arrivés à l'entrepôt : le premier - 4000 pièces, le second - 6000 pièces. Le pourcentage moyen de produits non standard dans le premier lot est de 20 % et dans le second de 10 %. Le produit pris au hasard dans l'entrepôt s'est avéré standard. Trouvez la probabilité que ce soit : a) du premier lot, b) du deuxième lot.

Première partie solutions consiste à utiliser la formule de probabilité totale. En d’autres termes, les calculs sont effectués en supposant que le test pas encore produit et événement "le produit s'est avéré standard" pas encore.

Considérons deux hypothèses :
- un produit tiré au sort sera issu du 1er lot ;
- un produit tiré au sort sera issu du 2ème lot.

Total : 4000 + 6000 = 10000 articles en stock. Selon la définition classique :
.

Contrôle:

Considérons l'événement dépendant : - un produit pris au hasard dans l'entrepôt sera standard.

Dans le premier lot 100% - 20% = 80% de produits standards donc : étant donné que qu'il appartient au 1er parti.

De même, dans le deuxième lot 100% - 10% = 90% de produits standards et - la probabilité qu'un produit pris au hasard dans un entrepôt soit standard étant donné que qu'il appartient au 2ème parti.

D'après la formule de probabilité totale :
- la probabilité qu'un produit pris au hasard dans un entrepôt soit standard.

Deuxième partie. Qu'un produit pris au hasard dans un entrepôt se révèle standard. Cette phrase est directement énoncée dans la condition et indique le fait que l'événement arrivé.

D'après les formules de Bayes :

a) - la probabilité que le produit standard sélectionné appartienne au 1er lot ;

b) - la probabilité que le produit standard sélectionné appartienne au 2ème lot.

Après réévaluation des hypothèses, bien sûr, se forment encore groupe complet:
(examen;-))

Répondre:

Ivan Vasilyevich, qui a de nouveau changé de métier et est devenu directeur de l'usine, nous aidera à comprendre le sens de la réévaluation des hypothèses. Il sait qu'aujourd'hui le 1er atelier a expédié 4 000 produits à l'entrepôt, et le 2ème atelier - 6 000 produits, et vient s'en assurer. Supposons que tous les produits soient du même type et se trouvent dans le même conteneur. Naturellement, Ivan Vasilyevich a calculé au préalable que le produit qu'il allait maintenant retirer pour inspection serait très probablement fabriqué par le 1er atelier et très probablement par le second. Mais une fois que le produit choisi s'est avéré standard, il s'exclame : « Quel boulon cool ! "C'était plutôt libéré dès le 2ème atelier." Ainsi, la probabilité de la deuxième hypothèse est surestimée de meilleur côté, et la probabilité de la première hypothèse est sous-estimée : . Et cette revalorisation n'est pas sans fondement - après tout, le 2ème atelier a non seulement fabriqué plus de produits, mais fonctionne aussi 2 fois mieux !

Du pur subjectivisme, dites-vous ? En partie - oui, d'ailleurs, Bayes lui-même a interprété a posteriori probabilités comme niveau de confiance. Cependant, tout n'est pas si simple : il y a aussi un grain objectif dans l'approche bayésienne. Après tout, la probabilité que le produit soit standard (0,8 et 0,9 pour le 1er et le 2ème ateliers respectivement) Ce préliminaire(a priori) et moyenneévaluations. Mais, philosophiquement parlant, tout coule, tout change, y compris les probabilités. Il est fort possible que au moment de l'étude le 2ème atelier, plus réussi, a augmenté le pourcentage de production de produits standards (et/ou le 1er atelier réduit), et si vous vérifiez plus ou si les 10 000 produits sont en stock, alors les valeurs surestimées seront beaucoup plus proches de la vérité.

À propos, si Ivan Vasilyevich extrait une pièce non standard, au contraire, il sera plus «méfiant» à l'égard du 1er atelier et moins du second. Je vous suggère de vérifier ceci par vous-même :

Problème 6

2 lots de produits sont arrivés à l'entrepôt : le premier - 4000 pièces, le second - 6000 pièces. Le pourcentage moyen de produits non standards dans le premier lot est de 20 %, dans le second de 10 %. Le produit pris au hasard dans l'entrepôt s'est avéré être Pas standard. Trouvez la probabilité que ce soit : a) du premier lot, b) du deuxième lot.

La condition se distingue par deux lettres que j’ai soulignées en gras. Le problème peut être résolu avec " table rase", ou utilisez les résultats des calculs précédents. Dans l'échantillon que j'ai réalisé solution complète, mais pour qu'il n'y ait pas de chevauchement formel avec la tâche n°5, l'événement « un produit pris au hasard dans un entrepôt sera hors norme » indiqué par .

Le schéma bayésien de réestimation des probabilités est présent partout et il est également activement exploité par divers types d’escrocs. Prenons l’exemple d’une société par actions à trois lettres devenue célèbre, qui attire les dépôts du public, les investit soi-disant quelque part, verse régulièrement des dividendes, etc. Ce qui se passe? Jour après jour, mois après mois, et de plus en plus de faits nouveaux, véhiculés par la publicité et le bouche à oreille, ne font qu'augmenter le niveau de confiance dans pyramide financière (réestimation bayésienne a posteriori due à des événements passés !). Autrement dit, aux yeux des investisseurs, il y a une augmentation constante de la probabilité que "c'est une entreprise sérieuse"; tandis que la probabilité de l'hypothèse opposée (« ce ne sont que des escrocs supplémentaires »), bien sûr, diminue et diminue. Ce qui suit, je pense, est clair. Il est à noter que la réputation acquise donne aux organisateurs le temps de se cacher avec succès d'Ivan Vasilyevich, qui s'est retrouvé non seulement sans un lot de boulons, mais également sans pantalon.

Nous reviendrons un peu plus tard sur des exemples tout aussi intéressants, mais pour l’instant la prochaine étape est peut-être le cas le plus courant avec trois hypothèses :

Problème 7

Les lampes électriques sont fabriquées dans trois usines. La 1ère usine produit 30% nombre total lampes, 2ème - 55% et 3ème - le reste. Les produits de la 1ère usine contiennent 1% de lampes défectueuses, la 2ème - 1,5%, la 3ème - 2%. Le magasin reçoit des produits des trois usines. La lampe achetée s'est avérée défectueuse. Quelle est la probabilité qu’il ait été produit par l’usine 2 ?

Notez que dans les problèmes sur les formules de Bayes dans la condition Nécessairement il y a un certain ce qui s'est passéévénement, dans dans ce cas- acheter une lampe.

Les événements se sont multipliés et solution Il est plus pratique de l’organiser dans un style « rapide ».

L'algorithme est exactement le même : dans un premier temps, nous trouvons la probabilité que la lampe achetée se révèle défectueuse.

À l'aide des données initiales, nous convertissons les pourcentages en probabilités :
- la probabilité que la lampe ait été produite respectivement par la 1ère, la 2ème et la 3ème usine.
Contrôle:

De même : - la probabilité de produire une lampe défectueuse pour les usines correspondantes.

D'après la formule de probabilité totale :

- la probabilité que la lampe achetée soit défectueuse.

Deuxième étape. Que la lampe achetée se révèle défectueuse (l'événement s'est produit)

D'après la formule de Bayes :
- la probabilité que la lampe défectueuse achetée ait été fabriquée par une deuxième usine

Répondre:

Pourquoi la probabilité initiale de la 2ème hypothèse a-t-elle augmenté après la réévaluation ? Après tout, la deuxième usine produit des lampes de qualité moyenne (la première est meilleure, la troisième est pire). Alors pourquoi a-t-il augmenté a posteriori Est-il possible que la lampe défectueuse provienne de la 2ème usine ? Cela ne s’explique plus par la « réputation », mais par la taille. Puisque l'usine n°2 produisait le plus grand nombre lampes (plus de la moitié), alors le caractère au moins subjectif de la surestimation est logique (« très probablement, cette lampe défectueuse vient de là »).

Il est intéressant de noter que les probabilités des 1ère et 3ème hypothèses ont été surestimées dans les directions attendues et sont devenues égales :

Contrôle: , c'est ce qui devait être vérifié.

À propos, à propos des estimations sous-estimées et surestimées :

Problème 8

DANS groupe d'étudiants 3 personnes ont haut niveau formation, 19 personnes - moyennes et 3 - faibles. Probabilités réussite l'examen pour ces étudiants est respectivement égal à : 0,95 ; 0,7 et 0,4. On sait qu'un étudiant a réussi l'examen. Quelle est la probabilité que :

a) il était très bien préparé ;
b) était moyennement préparé ;
c) était mal préparé.

Effectuer des calculs et analyser les résultats de la réévaluation des hypothèses.

La tâche est proche de la réalité et est particulièrement plausible pour un groupe d'étudiants à temps partiel, où l'enseignant n'a pratiquement aucune connaissance des capacités d'un élève en particulier. Dans ce cas, le résultat peut avoir des conséquences tout à fait inattendues. (surtout pour les examens du 1er semestre). Si un élève mal préparé a la chance d'obtenir un ticket, alors l'enseignant est susceptible de le considérer comme un bon élève, voire même étudiant fort, ce qui apportera de bons dividendes à l'avenir (bien sûr, il faut « relever la barre » et entretenir son image). Si un étudiant étudiait, bachotait et redoublait pendant 7 jours et 7 nuits, mais n'avait tout simplement pas de chance, alors d'autres événements peut se développer de la pire des manières - avec de nombreux mulligans et en équilibre au bord de l'élimination.

Il va sans dire que la réputation est le capital le plus important ; ce n'est pas un hasard si de nombreuses entreprises portent les noms de leurs pères fondateurs, qui ont dirigé l'entreprise il y a 100 à 200 ans et sont devenus célèbres pour leur réputation irréprochable.

Oui, l'approche bayésienne dans dans une certaine mesure subjectif, mais... c'est ainsi que fonctionne la vie !

Consolidons le matériel avec un dernier exemple industriel, dans lequel je parlerai des subtilités techniques jusqu'ici inconnues de la solution :

Problème 9

Trois ateliers de l'usine produisent le même type de pièces, qui sont envoyées dans un conteneur commun pour assemblage. On sait que le premier atelier produit 2 fois plus de détails que le deuxième atelier, et 4 fois plus que le troisième atelier. Dans le premier atelier, le taux de défauts est de 12 %, dans le deuxième de 8 %, dans le troisième de 4 %. Pour le contrôle, une partie est prélevée du conteneur. Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ? Quelle est la probabilité que la pièce défectueuse extraite ait été fabriquée par le 3ème atelier ?

Ivan Vasilyevich est à nouveau à cheval =) Le film doit avoir une fin heureuse =)

Solution: contrairement aux problèmes n°5 à 8, ici une question est explicitement posée, qui est résolue à l'aide de la formule de probabilité totale. Mais d'un autre côté, la condition est un peu « cryptée », et la compétence scolaire consistant à composer des équations simples nous aidera à résoudre cette énigme. Il est pratique de prendre la plus petite valeur comme « x » :

Soit la part des pièces produites par le troisième atelier.

Selon la condition, le premier atelier produit 4 fois plus que le troisième atelier, donc la part du 1er atelier est de .

De plus, le premier atelier fabrique 2 fois plus de produits que le deuxième atelier, soit la part de ce dernier : .

Créons et résolvons l'équation :

Ainsi : - la probabilité que la pièce sortie du conteneur ait été réalisée respectivement par les 1er, 2ème et 3ème ateliers.

Contrôle: . De plus, cela ne ferait pas de mal de revoir la phrase « On sait que le premier atelier fabrique des produits 2 fois plus que le deuxième atelier et 4 fois plus grand que le troisième atelier" et assurez-vous que les valeurs de probabilité obtenues correspondent réellement à cette condition.

Dans un premier temps, on pourrait prendre la part du 1er ou la part du 2ème atelier comme « X » – les probabilités seraient les mêmes. Mais, d’une manière ou d’une autre, le plus difficile a été franchi et la solution est en bonne voie :

De la condition on trouve :
- la probabilité de fabriquer une pièce défectueuse pour les ateliers concernés.

D'après la formule de probabilité totale :
- la probabilité qu'une pièce retirée aléatoirement d'un conteneur se révèle non standard.

Deuxième question : quelle est la probabilité que la pièce défectueuse extraite ait été fabriquée par le 3ème atelier ? Cette question suppose que la pièce a déjà été retirée et qu'elle s'est avérée défectueuse. Nous réévaluons l'hypothèse à l'aide de la formule de Bayes :
- la probabilité souhaitée. Tout à fait attendu - après tout, le troisième atelier produit non seulement la plus petite proportion de pièces, mais est également leader en termes de qualité !

Compilé par l'enseignant du département mathématiques supérieures Ishchanov T.R. Leçon n°4. Formule de probabilité totale. Probabilité des hypothèses. Formules bayésiennes.

Matériel théorique
Formule de probabilité totale
Théorème. La probabilité de l'événement A, qui ne peut se produire que si l'un des événements incompatibles formant un groupe complet se produit, est égale à la somme des produits des probabilités de chacun de ces événements par la probabilité conditionnelle correspondante de l'événement A :

.
Cette formule est appelée « formule de probabilité totale ».

Preuve. Selon la condition, l'événement A peut se produire si l'un des événements incompatibles se produit. En d’autres termes, la survenance de l’événement A signifie la survenance de l’un des événements incompatibles, quel qu’il soit. En utilisant le théorème d'addition pour calculer la probabilité de l'événement A, nous obtenons
. (*)
Reste à calculer chacun des termes. Par le théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants on a
.
En substituant les membres droits de ces égalités dans la relation (*), on obtient la formule de la probabilité totale

Exemple 1. Il y a deux ensembles de pièces. La probabilité que la partie du premier ensemble soit standard est de 0,8 et la seconde est de 0,9. Trouvez la probabilité qu'une partie prise au hasard (dans un ensemble pris au hasard) soit standard.
Solution. Notons A l'événement « la pièce extraite est standard ».
La pièce peut être récupérée soit à partir du premier ensemble (événement), soit à partir du second (événement).
La probabilité qu’une pièce soit extraite du premier ensemble est de .
La probabilité qu’une pièce soit extraite du deuxième ensemble est de .
Probabilité conditionnelle qu'une pièce standard sera extraite du premier ensemble, .
Probabilité conditionnelle qu'une pièce standard soit tirée du deuxième ensemble .
La probabilité requise pour qu'une pièce extraite au hasard soit une pièce standard, selon la formule de probabilité totale, est égale à

Exemple 2. La première boîte contient 20 tubes radio, dont 18 standards ; dans la deuxième boîte il y a 10 lampes, dont 9 standards. Une lampe est prise au hasard dans la deuxième boîte et placée dans la première. Trouvez la probabilité qu’une lampe tirée au hasard dans la première case soit standard.
Solution. Notons A l'événement « un lampadaire est retiré de la première boîte ».
De la deuxième case, on pouvait retirer soit une lampe standard (événement), soit une lampe non standard (événement).
La probabilité qu’un lampadaire soit retiré de la deuxième boîte est .
La probabilité qu'une lampe non standard ait été retirée de la deuxième boîte est
La probabilité conditionnelle qu'un lampadaire soit retiré de la première case, à condition qu'un lampadaire ait été transféré de la deuxième case à la première, est égale à .
La probabilité conditionnelle qu'une lampe standard soit retirée de la première case, à condition qu'une lampe non standard ait été transférée de la deuxième case à la première, est égale à .
La probabilité requise qu'un lampadaire soit retiré de la première case, selon la formule de probabilité totale, est égale à

Probabilité des hypothèses. Formules bayésiennes

Supposons que l'événement A puisse se produire sous réserve de l'apparition de l'un des événements incompatibles qui forment un groupe complet. Puisqu’on ne sait pas à l’avance lesquels de ces événements se produiront, on les appelle des hypothèses. La probabilité d'occurrence de l'événement A est déterminée par la formule de probabilité totale :

Supposons qu'un test ait été effectué, à la suite duquel l'événement A est apparu. Fixons notre tâche pour déterminer comment les probabilités des hypothèses ont changé (en raison du fait que l'événement A s'est déjà produit). En d’autres termes, nous chercherons des probabilités conditionnelles

Trouvons d'abord la probabilité conditionnelle. Par le théorème de multiplication, nous avons

.

En remplaçant P(A) ici par la formule (*), nous obtenons

De même, des formules sont dérivées qui déterminent les probabilités conditionnelles des hypothèses restantes, c'est-à-dire que la probabilité conditionnelle de toute hypothèse peut être calculée à l'aide de la formule

Les formules résultantes sont appelées Formules bayésiennes(du nom du mathématicien anglais qui les a dérivés ; publié en 1764). Les formules de Bayes nous permettent de réestimer les probabilités des hypothèses après que le résultat du test ayant abouti à l'événement A soit connu.

Exemple. Les pièces produites par l'atelier de l'usine sont envoyées à l'un des deux inspecteurs pour vérifier leur conformité. La probabilité que la pièce parvienne au premier inspecteur est de 0,6 et au second de 0,4. La probabilité qu'une pièce appropriée soit reconnue comme standard par le premier inspecteur est de 0,94 et par le second de 0,98. La pièce valide s’est avérée standard lors de l’inspection. Trouvez la probabilité que le premier inspecteur ait vérifié cette pièce.
Solution. Notons A l'événement dans lequel une pièce adaptée est reconnue comme standard. Deux hypothèses peuvent être faites :
1) la pièce a été vérifiée par le premier inspecteur (hypothèse) ;
2) la pièce a été vérifiée par le deuxième inspecteur (hypothèse). Nous trouvons la probabilité souhaitée que le premier inspecteur ait vérifié la pièce en utilisant la formule de Bayes :

Selon les conditions problématiques, nous avons :
(probabilité que la pièce parvienne au premier inspecteur) ;
(probabilité que la pièce parvienne au deuxième inspecteur) ;
(la probabilité qu'une pièce adaptée soit reconnue comme standard par le premier inspecteur) ;
(la probabilité qu'une pièce adaptée soit reconnue comme standard par le deuxième inspecteur).
Probabilité requise

Comme vous pouvez le constater, avant le test, la probabilité de l'hypothèse était de 0,6 ; après que le résultat du test soit connu, la probabilité de cette hypothèse (plus précisément, la probabilité conditionnelle) a changé et est devenue égale à 0,59. Ainsi, l'utilisation de la formule de Bayes a permis de surestimer la probabilité de l'hypothèse considérée.

Matériel pratique.
1. (4) L'assembleur a reçu 3 cartons de pièces fabriquées par l'usine n°1 et 2 cartons de pièces fabriquées par l'usine n°2. La probabilité qu'une pièce de l'usine n°1 soit standard est de 0,8, et celle de l'usine n°2 est de 0,9, l'assembleur a sorti au hasard la pièce d'une boîte choisie au hasard. Trouvez la probabilité qu'une pièce standard soit supprimée.
représentant 0,84.
2. (5) La première boîte contient 20 pièces, dont 15 standards ; dans la seconde, il y a 30 pièces, dont 24 standards ; dans le troisième il y a 10 pièces, dont 6 standards. Trouvez la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans une boîte prise au hasard soit standard.
représentant 43/60.
3. (6) Il y a 4 kinéscopes dans le studio de télévision. Les probabilités que le kinéscope résiste à la durée de vie de la garantie sont respectivement égales à 0,8 ; 0,85 ; 0,9 ; 0,95. Trouvez la probabilité qu'un kinéscope pris au hasard résiste à la période de garantie.
représentant 0,875.
4. (3) Le groupe d'athlètes est composé de 20 skieurs, 6 cyclistes et 4 coureurs. La probabilité de satisfaire à la norme de qualification est la suivante : pour un skieur - 0,9, pour un cycliste - 0,8. et pour le coureur - 0,75. Trouvez la probabilité qu’un athlète choisi au hasard satisfasse à la norme.
représentant 0,86.
5. (C) Il y a 12 boules rouges et 6 boules bleues dans une boîte blanche. En noir, il y a 15 boules rouges et 10 boules bleues. Jeter un dé. Si le nombre de points est un multiple de 3, alors une boule est tirée au hasard dans la case blanche. Si un autre nombre de points est obtenu, une boule est tirée au hasard dans la boîte noire. Quelle est la probabilité qu’une boule rouge apparaisse ?
Solution:
Deux hypothèses sont possibles :
– lors du lancement d’un dé, apparaîtra le nombre de points multiple de 3, c’est-à-dire ou 3 ou 6 ;
– lors du lancement des dés, un nombre différent de points apparaîtra, c'est-à-dire ou 1 ou 2 ou 4 ou 5.
Selon la définition classique, les probabilités des hypothèses sont égales à :

Puisque les hypothèses constituent un groupe complet d’événements, l’égalité doit être satisfaite

Supposons que l'événement A consiste en l'apparition d'une boule rouge. Les probabilités conditionnelles de cet événement dépendent de l'hypothèse qui a été réalisée et sont donc :

Alors, selon la formule de probabilité totale, la probabilité de l'événement A sera égale à :

6. (7) Deux cartons contiennent des tubes radio. Le premier carton contient 12 lampes dont 1 non standard ; dans la seconde il y a 10 lampes, dont 1 non standard. Une lampe est prise au hasard dans la première boîte et placée dans la seconde. Trouvez la probabilité qu’une lampe prise au hasard dans la deuxième boîte ne soit pas standard.
représentant 13/132.

7. (89 D) Une boule blanche est jetée dans une urne contenant deux boules, après quoi une boule est tirée au hasard. Trouvez la probabilité que la boule extraite soit blanche si toutes les hypothèses possibles sur la composition initiale des boules (basées sur la couleur) sont également possibles.
Solution. Notons A l'événement - une boule blanche est tirée. Les hypothèses (hypothèses) suivantes sur la composition initiale des boules sont possibles : - pas de boules blanches, - une boule blanche, - deux boules blanches.
Puisqu'il y a trois hypothèses au total, et selon la condition elles sont également probables, et que la somme des probabilités des hypothèses est égale à un (puisqu'elles forment un groupe complet d'événements), alors la probabilité de chacune des hypothèses est égal à 1/3, soit .
La probabilité conditionnelle qu'une boule blanche soit tirée, étant donné qu'il n'y avait pas de boule blanche dans l'urne initialement, .
La probabilité conditionnelle qu'une boule blanche soit tirée, étant donné qu'il y avait initialement une boule blanche dans l'urne, .
La probabilité conditionnelle qu’une boule blanche soit tirée étant donné qu’il y avait initialement deux boules blanches dans l’urne.
Nous trouvons la probabilité requise qu'une boule blanche soit tirée à l'aide de la formule de probabilité totale :

8. (10) Une pièce standard est jetée dans une boîte contenant 3 pièces identiques, puis une pièce est tirée au sort. Déterminez la probabilité qu'une pièce standard soit retirée si toutes les suppositions possibles sur le nombre de pièces standard initialement contenues dans la boîte sont également probables.
représentant 0,625.

9. (6.5.2L) Pour améliorer la qualité des communications radio, deux récepteurs radio sont utilisés. La probabilité que chaque récepteur reçoive un signal est de 0,8, et ces événements (réception du signal par le récepteur) sont indépendants. Déterminez la probabilité de réception du signal si la probabilité de fonctionnement sans panne pendant une session de communication radio pour chaque récepteur est de 0,9.
Solution.
Soit l'événement A = (le signal sera reçu). Considérons quatre hypothèses :

=(le premier récepteur fonctionne, le second non) ;

=(le deuxième fonctionne, le premier non) ;

=(les deux récepteurs fonctionnent) ;

=(les deux récepteurs ne fonctionnent pas).

L’événement A ne peut se produire que sous l’une de ces hypothèses. Trouvons la probabilité de ces hypothèses en considérant les événements suivants :

=(le premier récepteur fonctionne),

=(le deuxième récepteur fonctionne).

Contrôle:

.

Les probabilités conditionnelles sont respectivement égales à :

;

;

Maintenant, en utilisant la formule de probabilité totale, nous trouvons la probabilité souhaitée

10. (11) Si la machine s'écarte du mode de fonctionnement normal, l'alarme C-1 est déclenchée avec une probabilité de 0,8 et l'alarme C-11 est déclenchée avec une probabilité de 1. Les probabilités que la machine soit équipée d'un C -1 ou C-11 sont respectivement égaux à 0, 6 et 0,4. Un signal a été reçu pour couper la mitrailleuse. Qu'est-ce qui est le plus probable : la machine est équipée d'un dispositif de signalisation S-1 ou S-11 ?
représentant La probabilité que la machine soit équipée d'un dispositif de signalisation S-1 est de 6/11, et S-11 est de 5/11

11. (12) Pour participer aux compétitions sportives de qualification des étudiants, 4 étudiants du premier groupe du cours ont été répartis, 6 du deuxième et 5 du troisième groupe. Les probabilités qu'un étudiant des premier, deuxième et troisième groupes entre dans l'équipe de l'institut sont respectivement égales à 0,9 ; 0,7 et 0,8. Un étudiant sélectionné au hasard s'est retrouvé dans l'équipe nationale à la suite du concours. À quel groupe cet élève appartenait-il le plus probablement ?
représentant Les probabilités qu'un élève du premier, deuxième, troisième groupe soit sélectionné sont respectivement : 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1,34K)V société commerciale Les téléviseurs sont arrivés de trois fournisseurs dans un rapport 1:4:5. La pratique a montré que les téléviseurs provenant des 1er, 2ème et 3ème fournisseurs ne nécessiteront pas de réparation pendant la période de garantie dans respectivement 98, 88 et 92 % des cas.
1) Trouvez la probabilité qu'un téléviseur reçu par une société commerciale ne nécessite pas de réparation pendant la période de garantie.
2) Le téléviseur vendu a nécessité des réparations pendant la période de garantie. De quel fournisseur ce téléviseur provient-il probablement ?
Solution.
Notons les événements : - le téléviseur est arrivé à la société commerciale en provenance du i-ème fournisseur (i=1,2,3) ;
R – le téléviseur ne nécessitera aucune réparation pendant la période de garantie.
Par condition

D'après la formule de probabilité totale

Event TV nécessitera des réparations pendant la période de garantie ; .
Par condition

D'après la formule de Bayes

;

Ainsi, après la survenance de l’événement, la probabilité de l’hypothèse augmente avec au maximum, et l'hypothèse a diminué du maximum à ; si plus tôt (avant la survenance de l'événement A) l'hypothèse la plus probable était , maintenant, à la lumière de nouvelles informations(survenance de l'événement A), l'hypothèse la plus probable est que ce téléviseur arrivera du 2ème fournisseur.

13. (1,35K) On sait qu'en moyenne 95 % des produits manufacturés répondent à la norme. Un système de contrôle simplifié reconnaît un produit comme étant approprié avec une probabilité de 0,98 s'il est standard, et avec une probabilité de 0,06 s'il n'est pas standard. Déterminez la probabilité que :
1) un produit pris au hasard fera l’objet d’un contrôle simplifié ;
2) un produit standard s'il : a) a passé avec succès le contrôle simplifié ; b) a réussi le contrôle simplifié à deux reprises.
Solution.
1). Notons les événements :
- un produit pris au hasard, respectivement standard ou non standard ;
- le produit a passé un contrôle simplifié.

Par condition

La probabilité qu'un produit pris au hasard réussisse le contrôle simplifié, selon la formule de probabilité totale :

2, a). La probabilité qu'un produit ait passé avec succès le contrôle simplifié est standard, selon la formule de Bayes :

2,b). Laissez l'événement - le produit passer deux fois par un contrôle simplifié. Alors, par le théorème de multiplication de probabilité :

D'après la formule de Bayes

est très faible, alors l'hypothèse selon laquelle un produit ayant passé deux fois le contrôle simplifié est non standard doit être écartée comme un événement pratiquement impossible.

14. (1,36K) Deux tireurs tirent sur une cible indépendamment l'un de l'autre, chacun tirant un coup. La probabilité d'atteindre la cible pour le premier tireur est de 0,8 ; pour le second – 0,4. Après le tir, un trou a été constaté dans la cible. Quelle est la probabilité qu'il appartienne à :
a) 1er tireur ;
b) 2ème tireur ?
Solution.
Notons les événements :

Les deux tireurs ont raté le cadre ;

Les deux tireurs ont touché la cible ;

Le 1er tireur a touché la cible, le 2ème ne l'a pas fait ;

Le 1er tireur a raté la cible, le 2ème l'a fait ;

Il y a un trou dans la cible (un coup).