Implémentation de quelques méthodes de modification d'histogrammes dans Matlab

Comme cela a été noté à plusieurs reprises, l'une des caractéristiques les plus importantes d'une image est l'histogramme de la répartition de la luminosité de ses éléments. Auparavant, nous avons déjà brièvement passé en revue les fondements théoriques de la modification des histogrammes, c'est pourquoi dans ce travail nous accorderons plus d'attention aux aspects pratiques de la mise en œuvre de certaines méthodes de transformation des histogrammes dans le système Matlab. Parallèlement, on constate que la modification des histogrammes est l'une des méthodes permettant d'améliorer la qualité visuelle des images.

Étape 1 : Lecture de l'image originale.

Nous lisons l'image originale du fichier dans l'espace de travail Matlab et l'affichons sur l'écran du moniteur.

L=imread("lena.bmp");

figure, imshow(L);

Puisque l’image originale étudiée est en demi-teinte, nous ne considérerons qu’un seul composant du tableau multidimensionnel.

Riz. 1. Image originale.

Puisque le travail considère les méthodes de transformation d'histogramme, nous construirons également un histogramme de l'image originale.

Fig.2. Histogramme de l'image originale.

Étape 2 : Transformation uniforme de l'histogramme.

La transformation uniforme de l'histogramme est effectuée selon la formule

où , - les valeurs minimales et maximales des éléments du tableau d'intensités de l'image originale ;

Fonction de distribution de probabilité de l'image originale, qui est approximée par l'histogramme de distribution . Autrement dit, nous parlons deà propos de l'histogramme cumulé d'une image.

Dans Matlab, cela peut être implémenté comme suit. Calculer l'histogramme cumulé de l'image originale

CH = somme (H)./(N*M);

Le vecteur des valeurs d'histogramme de l'image originale, et , sont les dimensions de cette image, qui sont déterminées à l'aide de la fonction taille

L1(i,j)=CH(ceil(255*L(i,j)+eps));

figure, imshow(L1);

La valeur eps est utilisée conjointement avec la fonction ceil pour éviter d'attribuer des valeurs nulles aux indices cumulés de l'histogramme. Le résultat de l’application de la méthode de transformation uniforme de l’histogramme est présenté dans la Fig. 3.

Riz. 3. L'image originale traitée par la méthode de transformation uniforme de l'histogramme.

L'histogramme de l'image transformée selon la formule (1) est présenté sur la figure. 4. Il occupe en réalité presque toute la plage dynamique et est uniforme.

Riz. 4. Histogramme de l'image présentée sur la Fig. 3.

La transmission uniforme des niveaux d'intensité des éléments de l'image est également mise en évidence par son histogramme cumulatif (Fig. 5).

Figure 5. Histogramme cumulatif de l'image présentée sur la Fig. 3.

Étape 3 : Transformation exponentielle de l'histogramme.

La transformation exponentielle de l'histogramme s'effectue selon la formule

où est une certaine constante caractérisant la raideur de la transformation exponentielle.

Dans Matlab, les transformations selon la formule (2) peuvent être implémentées comme suit.

L2(i,j)=-(1/alfa1)*log10(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)));

figure, imshow(L2);

Riz. 6. L'image originale après traitement à l'aide de la méthode de transformation exponentielle de l'histogramme.

L'histogramme de l'image traitée par la méthode de transformation exponentielle est présenté sur la figure. 7.

Riz. 7. Histogramme d'une image traitée par la méthode de transformation exponentielle.

La nature exponentielle des transformations se manifeste le plus clairement dans l'histogramme cumulatif de l'image traitée, présenté sur la figure 1. 8.

Riz. 8. Histogramme cumulatif d'une image traitée par la méthode de transformation exponentielle.

Étape 4 : Transformez l'histogramme en utilisant la loi de Rayleigh.

La transformation de l'histogramme selon la loi de Rayleigh s'effectue selon l'expression

où est une certaine constante caractérisant l'histogramme de la répartition des intensités des éléments de l'image résultante.

Présentons la mise en œuvre de ces transformations dans l'environnement Matlab.

L3(i,j)=sqrt(2*alfa2^2*log10(1/(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))));

figure, imshow(L3);

Riz. 9. L'image originale traitée par la méthode de transformation d'histogramme selon la loi de Rayleigh.

L'histogramme de l'image traitée par la méthode de transformation de la loi de Rayleigh est présenté sur la figure. 10.

Riz. 10. Histogramme d'une image traitée par la méthode de transformation de la loi de Rayleigh.

L'histogramme cumulé de l'image traitée par la méthode de transformation de la loi de Rayleigh est présenté sur la Fig. 11.

Riz. 11. Histogramme cumulatif d'une image traitée par la méthode de transformation de la loi de Rayleigh.

Étape 5 : Transformez l'histogramme en utilisant la loi de puissance.

La transformation de l'histogramme de l'image selon la loi de puissance est mise en œuvre selon l'expression

Dans Matlab, cette méthode peut être implémentée comme suit.

L4(i,j)=(CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))^(2/3);

figure, imshow(L4);

Riz. 12. L'image originale traitée par la méthode de transformation d'histogramme selon la loi de puissance.

L'histogramme de la distribution des intensités des éléments de l'image traitée est présenté sur la Fig. 13.

Riz. 13. Histogramme d'une image traitée par la méthode de transformation d'histogramme selon la loi de puissance.

L'histogramme cumulé de l'image traitée, qui démontre le plus clairement la nature de la transmission des niveaux de gris, est présenté sur la Fig. 14.

Riz. 14. Histogramme cumulatif d'une image traitée par la méthode de transformation en loi de puissance.

Étape 6 : Transformation de l'histogramme hyperbolique.

La transformation hyperbolique de l'histogramme est mise en œuvre selon la formule

où est une certaine constante par rapport à laquelle s'effectue la transformation hyperbolique de l'histogramme. En fait, le paramètre est égal à la valeur minimale d'intensité des éléments de l'image.

Dans l'environnement Matlab, cette méthode peut être implémentée comme suit

L5(i,j)=0,01^(CH(ceil(255*L(i,j)+eps))); %V dans ce cas A=0,01

figure, imshow(L5);

Riz. 15. L'image originale traitée par la méthode de transformation hyperbolique.

L'histogramme de la distribution des intensités des éléments de l'image ainsi traitée est représenté sur la Fig. 16.

Riz. 16. Histogramme d'une image traitée par la méthode de transformation hyperbolique.

L'histogramme cumulé, dont la forme correspond à la nature des transformations effectuées, est présenté sur la Fig. 17.

Riz. 17. Histogramme cumulatif d'une image traitée par la méthode de transformation hyperbolique.

Dans ce travail, certaines méthodes de modification des histogrammes ont été considérées. Le résultat de l'application de chaque méthode est que l'histogramme de la répartition de la luminosité des éléments de l'image traitée prend une certaine forme. Ce type de transformation peut être utilisé pour éliminer les distorsions dans la transmission des niveaux de quantification auxquels les images ont été soumises au stade de la formation, de la transmission ou du traitement des données.

A noter également que les méthodes considérées peuvent être implémentées non seulement globalement, mais également en mode glissant. Cela compliquera les calculs, puisqu'il faudra analyser l'histogramme à chaque zone locale. Cependant, d'un autre côté, de telles transformations, contrairement à la mise en œuvre globale, permettent d'augmenter le détail des zones locales.

MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION ET DES SCIENCES DE RUSSIE

Établissement d'enseignement budgétaire de l'État fédéral

formation professionnelle supérieure

« L'Université d'État de Tchouvache du nom d'I.N. Oulianov"

Faculté de design et de technologies informatiques

Département des technologies informatiques

dans la discipline « Fiabilité, ergonomie et qualité des systèmes de contrôle automatisés et des systèmes de contrôle »

sur le sujet " Basique modèles mathématiques, utilisé en théoriefiabilité»

Complété:

étudiant gr. ZDIKT-25-08

Lyusenkov I.V.

À carreaux:

Grigoriev V.G.

Tcheboksary

Introduction

Modèles mathématiques de base utilisés dans la théorie de la fiabilité…….

Répartition de Weibull……………………………………………………….

Distribution exponentielle…………………………………………….

Répartition de Rayleigh……………………………………………………………… 5

Distribution normale (distribution gaussienne)………………………….. 5 Définition du droit de la distribution……………………………………………. 6

Sélection du nombre d'indicateurs de fiabilité…………………………………….

Précision et fiabilité

évaluation statistique

indicateurs de fiabilité... 10 Caractéristiques des programmes de fiabilité………………………………………… 11 Littérature………………………………………………………………………………… 13

Modèles mathématiques de base utilisés en théorie de la fiabilité

Dans les relations mathématiques ci-dessus, le concept de densité de probabilité et la loi de distribution ont souvent été utilisés.

Loi de distribution - un lien établi d'une certaine manière entre des valeurs possibles

variable aléatoire et leurs probabilités correspondantes., δ > 0);

La densité de distribution (probabilité) est une manière largement utilisée pour décrire la loi de distribution

Distribution de Weibull

La distribution de Weibull est une distribution à deux paramètres. D'après cette distribution, la densité de probabilité du moment de défaillance

(2)

où δ est le paramètre de forme (déterminé par sélection à la suite du traitement

(3)

données expérimentales

λ - paramètre d'échelle,<1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при δ >Le graphique de la fonction de densité de probabilité dépend en grande partie de la valeur du coefficient de forme.

Le taux d'échec est déterminé par l'expression

Comme indiqué, la distribution exponentielle de la probabilité de fonctionnement sans défaillance est un cas particulier de la distribution de Weibull lorsque le paramètre de forme δ = 1. Cette distribution est à un paramètre, c'est-à-dire que pour écrire l'expression calculée, un paramètre λ = const est suffisant. Pour cette loi, l'affirmation inverse est également vraie : si le taux de défaillance est constant, alors la probabilité de fonctionnement sans défaillance en fonction du temps obéit à la loi exponentielle :

(4)

Le temps moyen de fonctionnement sans panne selon la loi exponentielle de distribution de l'intervalle de fonctionnement sans panne est exprimé par la formule :

(5)

Ainsi, connaissant le temps moyen de fonctionnement sans panne T 1 (ou le taux de panne constant λ), dans le cas d'une distribution exponentielle, il est possible de trouver la probabilité de fonctionnement sans panne pour l'intervalle de temps à partir du moment où l'objet est allumé à un instant t donné.

Distribution de Rayleigh

La densité de probabilité dans la loi de Rayleigh a la forme suivante

(6)

où δ * est le paramètre de distribution de Rayleigh.

Le taux d'échec est de :

. (7)

Un trait caractéristique de la distribution de Rayleigh est la ligne droite du graphique λ(t), partant de l'origine.

La probabilité de fonctionnement sans panne de l'objet dans ce cas est déterminée par l'expression

(8)

Distribution normale (distribution gaussienne)

La loi de distribution normale est caractérisée par une densité de probabilité de la forme

(9)

où m x, σ x - respectivement espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire X.

Lors de l'analyse de la fiabilité de RESI, sous la forme d'une variable aléatoire, en plus du temps, les valeurs de courant, de tension électrique et d'autres arguments apparaissent souvent. La loi normale est une loi à deux paramètres, pour écrire laquelle il faut connaître m x et s x.

La probabilité de fonctionnement sans panne est déterminée par la formule

(10)

et le taux d'échec est selon la formule

(11)

Ce manuel montre uniquement les lois de distribution les plus courantes d'une variable aléatoire. Il existe un certain nombre de lois connues qui sont également utilisées dans les calculs de fiabilité : distribution gamma, distribution χ 2, distribution de Maxwell, distribution d'Erlang, etc.

Fonction de densité de probabilité

Fonction de distribution

, x³0;

Estimation ponctuelle paramètre de loi de distribution

Loi de distribution d'Erlang (distribution gamma)

Fonction de densité de probabilité

Fonction de distribution

, x³0;

Estimation ponctuelle des paramètres de la loi de distribution :

et par k" k est pris comme l'entier le plus proche (k=1, 2, 3,...) ; .

Loi de distribution de Weibull

Fonction de densité de probabilité

fonction de distribution

, x³0;

Estimation ponctuelle des paramètres de la loi de distribution

;

Dans les systèmes avec des exigences de priorité, une distinction est faite entre la priorité relative (sans interruption de service), lorsqu'une demande avec une priorité plus élevée arrive, elle est acceptée pour le service après que le traitement précédemment commencé d'une demande avec une priorité inférieure soit terminé, et priorité absolue, lorsque le canal est immédiatement libéré pour répondre à une demande entrante avec une priorité plus élevée.

L'échelle de priorité peut être construite sur la base de certains critères externes au système de services ou d'indicateurs liés au fonctionnement du système de services lui-même. Importance pratique avoir types suivants priorités :

priorité donnée aux besoins le moins de temps service. L’efficacité de cette priorité peut être démontrée dans exemple suivant. Deux demandes ont été reçues séquentiellement avec une durée de service de 6,0 et 1,0 heures, respectivement. Lorsqu'elles sont acceptées pour le service par un canal vide dans l'ordre d'arrivée, le temps d'arrêt sera de 6,0 heures pour la 1ère demande et de 6,0 + 1,0 = 7 pour. la deuxième 0,0 heure ou un total de 13,0 heures pour deux exigences. Si vous donnez la priorité à la deuxième exigence et l'acceptez pour le service en premier, alors son temps d'arrêt sera de 1,0 heure et le temps d'arrêt de l'autre sera de 1,0 + 6,0 = 7,0 heures ou au total pour deux exigences 8,0 heures Le gain de la priorité attribuée sera de 5,0 heures (13-8) de réduction du temps d'arrêt des exigences dans le système ;

la priorité est donnée aux exigences avec un rapport minimum entre le temps de service et la puissance (performance) de la source de demande, par exemple à la capacité de charge d'un véhicule.

Le mécanisme de service est caractérisé par les paramètres des canaux de service individuels, le débit du système dans son ensemble et d'autres données sur les exigences de service. La capacité du système est déterminée par le nombre de canaux (périphériques) et les performances de chacun d'eux.

45. Détermination des intervalles de confiance des variables aléatoires

Estimation d'intervalle Le paramètre de distribution d'une variable aléatoire est déterminé par le fait qu'avec la probabilité g

abs(P – P m) ≤d,

où P est la valeur exacte (vraie) du paramètre ;

P m – estimation des paramètres basée sur l'échantillon ;

d – précision (erreur) de l’estimation du paramètre P.

Les valeurs les plus communément acceptées sont g de 0,8 à 0,99.

Intervalle de confiance Le paramètre est l'intervalle dans lequel la valeur du paramètre tombe avec une probabilité g. Par exemple, sur cette base, la taille d'échantillon requise d'une variable aléatoire est trouvée, ce qui fournit une estimation de l'espérance mathématique avec une précision d avec une probabilité g. Le type de connexion est déterminé par la loi de distribution de la variable aléatoire.

La probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans un intervalle donné [Х 1 , Х 2 ] est déterminée par l'incrément de la fonction de distribution intégrale sur l'intervalle considéré F(Х 2) – F(Х 1). Sur cette base, quand fonction connue distribution, vous pouvez trouver le minimum garanti attendu X gn (x≥ X gn) ou valeur maximale X gv (x≤ X gv) variable aléatoire c probabilité donnée g (Figure 2.15). Le premier d'entre eux est la valeur selon laquelle la variable aléatoire sera supérieure à celle avec la probabilité g, et le second est que la variable aléatoire avec la probabilité g sera inférieure à cette valeur. Garanti valeur minimale X gn avec probabilité g est assuré lorsque F(x)= 1-g et maximum X gy à F(x)=g. Ainsi, les valeurs de X gn et X gv se trouvent par les expressions :

X gn = F -1 (1-g) ;

X gv = F -1 (g).

Exemple. La variable aléatoire a une distribution exponentielle avec la fonction .

Il faut trouver les valeurs de X r et X r pour lesquelles la variable aléatoire X avec probabilité g = 0,95, respectivement supérieure à X gv et inférieure à X gv.

En partant du fait que F -1 (α) = -1/l ln(1- α) (voir conclusion plus haut) et α = 1-g = 0,05, nous obtenons

X gn = -1/l ln(1- α) = -1/0,01 ln(1-0,05)=-100 (-.0513)=5,13.

Pour X gv α = g = 0,95 nous avons de la même manière

X gv = -1/l ln(1- α) = -1/0,01 ln(1-0,95)=-100 (-2,996)=299,6.

Pour loi normale les distributions des valeurs de X gv et X gv peuvent être calculées à l'aide des formules

X g = x m + s U 1- g = x m - s U g ;

X gv = x m + s U g,

où x m est l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ; s – écart type d'une variable aléatoire ; U g – quantile unilatéral de la loi de distribution normale avec probabilité g.

Figure 2.15 – Interprétation graphique de la définition de X gn et X gv

46.Description des flux de besoins en services

Le flux entrant est une séquence d'exigences (applications) arrivant au système de service, et se caractérise par la fréquence de réception des exigences par unité de temps (intensité) et la loi de répartition de l'intensité du flux. Le flux entrant peut également être décrit par des intervalles de temps entre les instants de réception des requêtes et la loi de répartition de ces intervalles.

Les requêtes dans un flux peuvent arriver une par une (flux ordinaires) ou en groupes (flux non ordinaires).

La propriété d’un flux ordinaire est qu’une seule requête peut arriver à un instant donné. En d’autres termes, la propriété est que la probabilité de recevoir plus d’une requête dans un court laps de temps est une valeur infinitésimale.

Dans le cas de réception groupée de demandes, l'intensité de réception des groupes de demandes et la loi de sa répartition, ainsi que la taille des groupes et la loi de leur répartition sont précisées.

L'intensité de réception des besoins peut varier dans le temps (flux non stationnaires) ou dépend uniquement de l'unité de temps adoptée pour déterminer l'intensité (flux stationnaires). Un flux est dit stationnaire si la probabilité d'apparition de n requêtes sur une période de temps (t 0 , t 0 +Δt) ne dépend pas de t 0 , mais dépend uniquement de Δt.

Dans un écoulement instable, l'intensité change au fil du temps de manière non périodique ou motif périodique(par exemple, processus saisonniers), et peuvent également avoir des périodes correspondant à un retard d'écoulement partiel ou complet.

Selon qu'il existe un lien entre le nombre de requêtes entrant dans le système avant et après un certain moment, le flux peut avoir ou non une séquelle.

Un flux ordinaire et stationnaire de demandes sans séquelles est le plus simple.

47.Critères de l’accord Pearson et Romanovsky

Dans les chapitres suivants, nous rencontrerons plusieurs différents types variables aléatoires. Dans cette section, nous répertorions ces nouvelles variables aléatoires fréquentes, leurs PDF, PDF et moments. Nous commencerons par la distribution binomiale, qui est la distribution d'une variable aléatoire discrète, puis introduisons la distribution de certaines variables aléatoires continues.

Distribution binomiale. Soit une variable aléatoire discrète qui prend deux valeurs possibles, par exemple ou , avec probabilité et respectivement. Le PDF correspondant est présenté dans la Fig. 2.1.6.

Riz. 2.1.6. Fonction de distribution de probabilité

Supposons maintenant que

où , , sont des variables aléatoires statistiquement indépendantes et distribuées de manière identique avec PDF illustré à la Fig. 2.1.6. Quelle est la fonction de répartition ?

Pour répondre à cette question, sachez qu’il s’agit initialement d’une série d’entiers de 0 à . La probabilité que , soit simplement égale à la probabilité que tout . Puisqu’ils sont statistiquement indépendants, alors

La probabilité que , soit égale à la probabilité qu'un terme soit , et que les autres soient égaux à zéro. Puisque cet événement peut se produire de diverses manières,

(2.1.84)

diverses combinaisons qui conduisent au résultat, on obtient

où est le coefficient binomial. Par conséquent, le PDF peut être exprimé comme

, (2.1.87)

où signifie le plus grand entier tel que .

IFR (2.1.87) caractérise distribution binomiale variable aléatoire.

Les deux premiers instants sont égaux

et la fonction caractéristique

. (2.1.89)

Distribution uniforme. Les PDF et IDF d'une variable aléatoire uniformément distribuée sont présentés sur la Fig. 2.1.7.

Riz. 2.1.7. Graphiques de PDF et IFR pour une variable aléatoire uniformément distribuée

Les deux premiers instants sont égaux

, (2.1.90)

et la fonction caractéristique est égale à

(2.1.91)

Distribution gaussienne. La PDF d'une variable aléatoire gaussienne ou normalement distribuée est déterminée par la formule

, (2.1.92)

où est l'espérance mathématique et est la variance de la variable aléatoire. FMI est égal à

où est la fonction d'erreur, qui est déterminée par l'expression

. (2.1.94)

Le PDF et le PFR sont illustrés dans la Fig. 2.1.8.

Riz. 2.1.8. Graphiques de PDF (a) et IDF (b) d'une variable aléatoire gaussienne

L'IFR peut également être exprimé en termes d'une fonction d'erreur supplémentaire, c'est-à-dire

. (2.1.95)

Noter que , , Et . Car la fonction d'erreur supplémentaire est proportionnelle à l'aire sous la partie du PDF gaussien. Pour les grandes valeurs, une fonction d'erreur supplémentaire peut être approchée par la série

, (2.1.96)

et l'erreur d'approximation est inférieure au dernier terme retenu.

La fonction qui est habituellement utilisée pour l'aire sous la partie du PDF gaussien est notée et définie comme

, . (2.1.97)

En comparant (2.1.95) et (2.1.97), on trouve

. (2.1.98)

La fonction caractéristique d'une variable aléatoire gaussienne de moyenne et de variance est égale à

Les moments centraux d'une variable aléatoire gaussienne sont

(2.1.100)

et les moments ordinaires peuvent s'exprimer à travers points centraux

. (2.1.101)

La somme des variables aléatoires gaussiennes statiquement indépendantes est également une variable aléatoire gaussienne. Pour le démontrer, supposons

où , sont des variables aléatoires indépendantes avec moyenne et variances. A l'aide du résultat (2.1.79), on trouve que la fonction caractéristique est égale à

Il s’agit donc d’une variable aléatoire gaussienne avec moyenne et variance.

Distribution du chi carré. Une variable aléatoire de distribution chi carré est générée par une variable aléatoire gaussienne, dans le sens où sa formation peut être considérée comme une transformation de cette dernière. Pour être précis, soit , où est une variable aléatoire gaussienne. A ensuite une distribution du chi carré. Nous distinguons deux types de distribution du Chi carré. La première est appelée distribution centrale du Chi carré et est obtenue lorsqu’elle a une moyenne de zéro. La seconde est appelée distribution du Chi carré non centrale et est obtenue lorsqu'elle a une moyenne non nulle.

Considérons d’abord la distribution centrale du chi carré. Soit une variable aléatoire gaussienne de moyenne et de variance nulles. Puisque , le résultat est donné par la fonction (2.1.47) avec les paramètres et . Ainsi, on obtient le PDF sous la forme

, . (2.1.105)

qui ne peut être exprimé sous une forme fermée. Fonction caractéristique, cependant, peut être exprimé sous forme fermée :

. (2.1.107)

Supposons maintenant que la variable aléatoire soit définie comme

où , , sont des variables aléatoires gaussiennes statistiquement indépendantes et distribuées de manière identique avec une moyenne et une variance nulles. En raison de indépendance statistique fonction caractéristique

. (2.1.109)

La transformation inverse de cette fonction caractéristique donne le PDF

, , (2.1.110)

où est la fonction gamma définie comme

Entier, , (2.1.111)

Cette PDF est une généralisation de (2.1.105) et est appelée PDF du chi carré (ou gamma) avec degrés de liberté. Il est illustré sur la Fig. 2.1.9.

Le cas où ils sont égaux

Les deux premiers instants sont égaux

, (2.1.112)

FMI est égal à

, (2.1.113)

Riz. 2.1.9 Graphiques PDF pour une variable aléatoire avec une distribution du chi carré pour plusieurs valeurs de degrés de liberté

Cette intégrale est convertie en une fonction gamma incomplète, qui a été tabulée par Pearson (1965).

S'il est pair, l'intégrale (2.11.113) peut être exprimée sous forme fermée.

En particulier, soit , où soit un entier. Ensuite, en utilisant une intégration par parties répétée, on obtient

, . (2.1.114)

Considérons maintenant la distribution du chi carré non centrale, qui est le résultat de la mise au carré d'une variable aléatoire gaussienne avec une moyenne non nulle. S'il s'agit d'une variable aléatoire gaussienne avec moyenne et variance, la variable aléatoire a un PDF

, (2.1.115)

Ce résultat est obtenu en utilisant (2.1.47) pour une PDF gaussienne avec distribution (2.1.92). Fonction caractéristique pour PDF

. (2.1.116)

Pour généraliser les résultats, supposons qu'il s'agisse de la somme des carrés des variables aléatoires gaussiennes définies par (2.1.108). Tous les , , sont supposés statistiquement indépendants avec des moyennes , et des variances égales. Alors la fonction caractéristique obtenue à partir de (2.1.116), en utilisant la relation (2.1.79), est égale à

. (2.1.117)

La transformée de Fourier inverse de cette fonction caractéristique donne le PDF

où la désignation est introduite

a est une fonction de Bessel modifiée du premier type d'ordre, qui peut être représentée par une série infinie

, . (2.1.120)

La PDF définie par (2.1.118) est appelée distribution du Chi carré non centrale avec degrés de liberté. Le paramètre est appelé paramètre de non-centralité de distribution. IDF pour la distribution du chi carré non centrale avec degrés de liberté

Cette intégrale n'est pas exprimée sous forme fermée. Cependant, s'il s'agit d'un nombre entier, l'IDF peut être exprimé en termes de fonction Marcum généralisée, qui est définie comme

, (2.1.122)

, (2.1.123)

Si nous remplaçons la variable d'intégration dans (1.2.121) par , et , et supposons que , alors nous pouvons facilement trouver

. (2.1.124)

En conclusion, nous notons que les deux premiers moments de la distribution centrale du chi carré des variables aléatoires sont égaux à

Distribution de Rayleigh. La distribution de Rayleigh est souvent utilisée comme modèle pour les signaux statistiques transmis sur des canaux radio, comme dans les communications radio cellulaires. Cette distribution est étroitement liée à la distribution centrale du chi carré. Pour illustrer cela, supposons que , où et sont des variables aléatoires gaussiennes statistiquement indépendantes avec des moyennes nulles et une variance égale. De ce qui précède, il s’ensuit qu’il a une distribution du chi carré avec deux degrés de liberté. Par conséquent, le PDF pour

, . (2.1.126)

Supposons maintenant que nous définissions une nouvelle variable aléatoire

. (2.1.127)

Après avoir effectué des transformations simples dans (2.1.126), on obtient pour le PDF

, . (2.1.128)

Il s'agit du PDF de la variable aléatoire Rayleigh. Le FMI correspondant est égal à

, . (2.1.129)

Les moments de sont égaux

, (2.1.130)

et dispersion

. (2.1.131)

Fonction caractéristique pour une variable aléatoire distribuée de Rayleigh

. (2.1.132)

Cette intégrale peut s’exprimer ainsi :

où est la fonction hypergéométrique dégénérée définie comme

, … (2.1.134)

Bowley (1990) a montré qu’il peut s’exprimer sous la forme

. (2.1.135)

En guise de généralisation des expressions obtenues ci-dessus, considérons la variable aléatoire

où , , sont des variables aléatoires gaussiennes statistiquement indépendantes et distribuées de manière identique avec une moyenne nulle. Il est clair qu’il a une distribution du Chi carré avec des degrés de liberté. Son PDF est donné par la formule (2.1.100). Conversions simples la variable dans (2.1.110) mène au PDF pour sous la forme

, . (2.1.137)

En raison de la relation fondamentale entre la distribution centrale du Chi carré et la distribution de Rayleigh, l'IDF correspondant est assez simple. Ainsi, pour tout IFR, for peut être représenté sous la forme d'une fonction gamma incomplète. Dans un cas particulier, lorsqu'il est clair, c'est-à-dire quand , le FMI pour peut être représenté sous forme fermée

, . (2.1.138)

En conclusion, nous présentons la formule du ième moment

, , (2.1.139)

juste pour tout le monde.

Distribution de riz. Alors que la distribution de Rayleigh est liée à la distribution centrale du chi carré, la distribution de Rice est liée à la distribution non centrale du chi carré. Pour illustrer cette relation, posons , où et sont des variables aléatoires gaussiennes statistiquement indépendantes de moyenne et de même variance. D'après la discussion précédente, nous savons qu'une distribution du Chi carré non centrale a un paramètre de déviation. Le PDF pour est obtenu à partir de (2.1.118), et pour on trouve

, . (2.1.140)

Introduisons maintenant une nouvelle variable.

Le PDF pour est obtenu à partir de (2.1.140) en remplaçant la variable

, . (2.1.141)

La fonction (2.1.141) est appelée distribution de Rice.

Comme cela sera montré au Chap. En référence à la figure 5, ce PDF caractérise les statistiques de l'enveloppe d'un signal harmonique exposé à un bruit gaussien à bande étroite. Il est également utilisé pour les statistiques du signal transmis via certains canaux radio. L'IFR pour est facile à trouver à partir de (2.1.124) pour le cas où . Cela donne

, , (2.1.142)

où est défini par (2.1.123).

Pour généraliser le résultat ci-dessus, définissons-le par (2.1.136), où , sont des variables aléatoires statistiquement indépendantes de moyenne et de variances identiques. La variable aléatoire a une distribution du Chi carré non centrale avec un paramètre non central de -degrés de liberté, défini par (2.1.119). Sa PDF est déterminée par (2.1.118), donc la PDF pour est égale à

, , (2.1.143)

et l'IMF concernée

où est défini par (2.1.121). Dans le cas particulier où est un entier, on a

, , (2.1.145)

qui découle de (2.1.124). En conclusion, notons que le ème moment de

, , (2.1.146)

où est la fonction hypergéométrique dégénérée.

-Distribution Nakagami. Les distributions de Rayleigh et de Rice sont souvent utilisées pour décrire les statistiques des fluctuations du signal à la sortie d'un canal à trajets multiples à évanouissement. Ce modèle de canal est discuté au Chap. 14. Une autre distribution souvent utilisée pour caractériser les signaux statistiques transmis sur des canaux à évanouissements par trajets multiples est la distribution de Nakagami. Le PDF de cette distribution est donné par Nakagami (1960)

, , (2.1.147)

où est défini comme

et le paramètre est défini comme le rapport des moments et est appelé paramètre d'évanouissement :

, . (2.1.149)

Une version normalisée de (2.1.147) peut être obtenue en introduisant une autre variable aléatoire (voir problème 2.15). le ème moment à partir de est égal à

On peut voir que (2.1.147) conduit à la distribution de Rayleigh. Pour les valeurs satisfaisant la condition, on obtient une PDF qui a des queues plus longues qu'avec la distribution de Rayleigh. Aux valeurs, les queues de la PDF de la distribution de Nakagami diminuent plus rapidement que pour la distribution de Rayleigh. La figure 2.1.10 illustre le PDF pour différentes significations.

Distribution gaussienne multivariée. Parmi les nombreuses distributions multivariées ou multivariées pouvant être définies, la distribution gaussienne multivariable est la plus importante et la plus couramment utilisée en pratique. Présentons cette distribution et considérons ses propriétés fondamentales.

Supposons que , soient des variables aléatoires gaussiennes avec des moyennes , des variances et des covariances , . Il est clair que . Soit une matrice de covariance de dimension à éléments . Let définit le vecteur colonne des variables aléatoires et désigne le vecteur colonne des valeurs moyennes, . La PDF conjointe des variables aléatoires gaussiennes , , est définie comme suit. Nous voyons que si les variables aléatoires gaussiennes ne sont pas corrélées, elles sont également statistiquement indépendantes. ne sont pas corrélés et donc statistiquement indépendants. la forme est diagonale. Il faut donc exiger d’obtenir les vecteurs propres

Ainsi,

Il est facile de montrer que et , où les éléments diagonaux sont égaux à et .

Agence fédérale par éducation

Établissement d'enseignement public d'enseignement professionnel supérieur « Université technique d'État de l'Oural-UPI du nom du premier président de la Russie B.N. Eltsine"

Département des fondements théoriques de l'ingénierie radio

DISTRIBUTION RAYLEIGH

dans la discipline "Modèles Probabilistes"

Groupe : R-37072

Étudiante : Reshetnikova N.E.

Enseignant : député Trukhin.

Ekaterinbourg, 2009

Histoire d'origine 3

Fonction de densité de probabilité 4

Fonction de distribution cumulative 6

Moments centraux et absolus 8

Fonction caractéristique 10

Cumulants (semi-invariants) 11

Domaine d'application 12

Références 13

Histoire de l'apparition

Le 12 novembre 1842, Lord John William Rayleigh, physicien anglais, naît à Langford Grove (Essex). lauréat du prix Nobel. A reçu une éducation à domicile. Il est diplômé du Trinity College de l'Université de Cambridge et y travaille jusqu'en 1871. En 1873, il crée un laboratoire sur le domaine familial de Terlin Place. En 1879, il devient professeur de physique expérimentale à l'Université de Cambridge, en 1884 - secrétaire du London Société royale. En 1887-1905. - Professeur de la Royal Association, depuis 1905 - Président de la Royal Society of London, depuis 1908 - Président de l'Université de Cambridge.

Étant un naturaliste très érudit, il s'est distingué dans de nombreuses branches scientifiques : théorie des vibrations, optique, acoustique, théorie du rayonnement thermique, physique moléculaire, hydrodynamique, électricité et autres domaines de la physique. En étudiant les vibrations acoustiques (vibrations des cordes, des tiges, des plaques, etc.), il formule un certain nombre de théorèmes fondamentaux de la théorie linéaire des vibrations (1873), permettant de tirer des conclusions qualitatives sur les fréquences propres des systèmes oscillatoires, et développe une méthode de perturbation quantitative pour trouver des fréquences naturelles système oscillatoire. Rayleigh fut le premier à souligner la spécificité des systèmes non linéaires capables d'effectuer des oscillations non amorties sans influence extérieure périodique, et la nature particulière de ces oscillations, appelées plus tard auto-oscillations.

Il a expliqué la différence entre le groupe et vitesses de phase et obtenu une formule pour la vitesse de groupe (formule de Rayleigh).

La distribution de Rayleigh est apparue en 1880 à la suite de la réflexion sur le problème de l'addition d'un ensemble d'oscillations avec des phases aléatoires, dans laquelle il a obtenu une fonction de distribution pour l'amplitude résultante. La méthode développée par Rayleigh depuis longtemps a déterminé le développement ultérieur de la théorie des processus aléatoires.

Fonction de densité de probabilité

Type de fonction de distribution :

Paramètre σ.

Ainsi, en fonction du paramètre σ, non seulement l'amplitude, mais aussi la dispersion de la distribution change. À mesure que σ diminue, l’amplitude augmente et le graphique se « rétrécit », et à mesure que σ augmente, la dispersion augmente et l’amplitude diminue.

Fonction de distribution cumulative

La fonction de distribution cumulée, par définition égale à l'intégrale de la densité de probabilité, est égale à :

Graphique de la fonction de distribution intégrale pour divers paramètres σ :

En fonction de σ, le graphique de la fonction de distribution ressemble à ceci :

Ainsi, lorsque le paramètre σ change, le graphique change. À mesure que σ diminue, le graphique devient plus raide, et à mesure que σ augmente, il devient plus plat :

Moments centraux et absolus

Les lois de distribution décrivent complètement une variable aléatoire X Avec point probabiliste vision (contient des informations complètes sur la variable aléatoire). Dans la pratique, cela n’est souvent pas nécessaire description complète, il suffit d'indiquer les valeurs de paramètres individuels (caractéristiques numériques) qui déterminent certaines propriétés de la distribution de probabilité d'une variable aléatoire.

Parmi les caractéristiques numériques, l'espérance mathématique joue le rôle le plus important et est considérée comme le résultat de l'application opérations de calcul de moyenne à une variable aléatoire X, noté comme
.

Le moment de départs – première commande variable aléatoire X appelé espérance mathématique s – la puissance de cette quantité :

Pour une variable aléatoire continue :

L’espérance mathématique d’une valeur distribuée selon la loi de Rayleigh est :

La valeur de l'espérance mathématique pour différentes valeurs du paramètre σ :

Variable aléatoire centrée X son écart par rapport à l'espérance mathématique est appelé
.

Moment central s – première commande variable aléatoire X appelé espérance mathématique s– ième degré de la grandeur centrée
:

Pour une variable aléatoire continue

Deuxième point central. Dispersion Il y a caractéristique de diffusion variable aléatoire sur son espérance mathématique

Pour une variable aléatoire distribuée selon la loi de Rayleigh, la dispersion (deuxième moment central) est égale à :

Fonction caractéristique

La fonction caractéristique d'une variable aléatoire X est la fonction

- cette fonction représente l'espérance mathématique d'une variable aléatoire complexe
, qui est fonction de la variable aléatoire X. Lors de la résolution de nombreux problèmes, il est plus pratique d'utiliser la fonction caractéristique plutôt que la loi de distribution.

Connaissant la loi de distribution, vous pouvez trouver la fonction caractéristique à l'aide de la formule :

Comme nous le voyons, cette formule n'est rien de plus que la transformée de Fourier inverse de la fonction de densité de distribution. Évidemment, avec l'aide conversion directe Fourier peut utiliser la fonction caractéristique pour trouver la loi de distribution.

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire distribuée selon la loi de Rayleigh :

Où
- intégrale de la probabilité d'un argument complexe.

Cumulants (semi-invariants)

Fonction
est appelée la fonction cumulante de la variable aléatoire X. La fonction cumulante est une caractéristique probabiliste complète de la variable aléatoire, tout comme. L’intérêt de l’introduction de la fonction cumulant est que cette fonction s’avère souvent être la plus simple parmi les caractéristiques probabilistes complètes.