નિર્ણાયક અને સ્ટોકેસ્ટિક મોડલ મૂળભૂત ખ્યાલો. નિર્ણાયક અને સ્ટોકેસ્ટિક મોડલ

મોડેલિંગ એ સૌથી મહત્વપૂર્ણ સાધનોમાંનું એક છે આધુનિક જીવનજ્યારે તેઓ ભવિષ્યની આગાહી કરવા માંગે છે. અને આ આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે આ પદ્ધતિની ચોકસાઈ ખૂબ ઊંચી છે. ચાલો આ લેખમાં તે શું છે તેના પર એક નજર કરીએ નિર્ધારિત મોડેલ.

સામાન્ય માહિતી

પ્રણાલીઓના નિર્ણાયક મોડલની ખાસિયત છે કે જો તેઓ પર્યાપ્ત સરળ હોય તો તેનો વિશ્લેષણાત્મક રીતે અભ્યાસ કરી શકાય છે. વિપરીત કિસ્સામાં, જ્યારે નોંધપાત્ર સંખ્યામાં સમીકરણો અને ચલોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે આ હેતુ માટે ઇલેક્ટ્રોનિક કમ્પ્યુટર્સનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. વધુમાં, કોમ્પ્યુટર સહાય, એક નિયમ તરીકે, ફક્ત તેમને ઉકેલવા અને જવાબો શોધવા માટે નીચે આવે છે. આને કારણે, સમીકરણોની પ્રણાલીઓ બદલવી અને અલગ વિવેકીકરણનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. અને આ ગણતરીમાં ભૂલનું જોખમ વધારે છે. તમામ પ્રકારના નિર્ણાયક મોડેલો એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે ચોક્કસ અભ્યાસ કરેલ અંતરાલ પરના પરિમાણોનું જ્ઞાન આપણને સીમાઓની બહાર જાણીતા સૂચકાંકોના વિકાસની ગતિશીલતાને સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

વિશિષ્ટતા

પરિબળ મોડેલિંગ

આના સંદર્ભો સમગ્ર લેખમાં જોઈ શકાય છે, પરંતુ અમે હજી સુધી તે શું છે તેની ચર્ચા કરી નથી. પરિબળ મોડેલિંગ સૂચવે છે કે મુખ્ય જોગવાઈઓ કે જેના માટે માત્રાત્મક સરખામણી જરૂરી છે તે ઓળખવામાં આવે છે. નિર્ધારિત ધ્યેયો હાંસલ કરવા માટે, સંશોધન સ્વરૂપને પરિવર્તિત કરે છે.

જો સખત રીતે નિર્ધારિત મોડેલમાં બે કરતાં વધુ પરિબળો હોય, તો તેને મલ્ટિફેક્ટોરિયલ કહેવામાં આવે છે. તેનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણ કરી શકાય છે વિવિધ તકનીકો. ચાલો આ કિસ્સામાં, તેણીએ સોંપેલ કાર્યોને પૂર્વ-સ્થાપિત અને પ્રાયોરી મોડેલોના દૃષ્ટિકોણથી ધ્યાનમાં લઈએ. તેમની વચ્ચેની પસંદગી તેમની સામગ્રી અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે.

ઉચ્ચ-ગુણવત્તાવાળા મોડેલ બનાવવા માટે, સૈદ્ધાંતિક અને ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે પ્રાયોગિક અભ્યાસસાર તકનીકી પ્રક્રિયાઅને તેના કારણ અને અસર સંબંધો. અમે જે વિષયો પર વિચાર કરી રહ્યા છીએ તેનો આ ચોક્કસ મુખ્ય ફાયદો છે. નિર્ણાયક મોડેલો આપણા જીવનના ઘણા ક્ષેત્રોમાં સચોટ આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેમના ગુણવત્તા પરિમાણો અને વર્સેટિલિટી માટે આભાર, તેઓ ખૂબ વ્યાપક બની ગયા છે.

સાયબરનેટિક નિર્ધારિત મોડલ

વિશ્લેષણ-આધારિત ક્ષણિક પ્રક્રિયાઓ કે જે કોઈપણ સાથે થાય છે, આક્રમક ગુણધર્મોમાં સૌથી નજીવા ફેરફારોને કારણે તેઓ અમારા માટે રસ ધરાવે છે. બાહ્ય વાતાવરણ. ગણતરીની સરળતા અને ઝડપ માટે વર્તમાન પરિસ્થિતિકેસોને એક સરળ મોડેલ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. મહત્વની બાબત એ છે કે તે તમામ મૂળભૂત જરૂરિયાતોને સંતોષે છે.

ઓટોમેટિક કંટ્રોલ સિસ્ટમનું પ્રદર્શન અને તે લીધેલા નિર્ણયોની અસરકારકતા તમામ જરૂરી પરિમાણોની એકતા પર આધારિત છે. આ કિસ્સામાં, નીચેની સમસ્યાને હલ કરવી જરૂરી છે: વધુ માહિતી એકત્રિત કરવામાં આવે છે, ભૂલની સંભાવના વધારે છે અને પ્રક્રિયાનો સમય લાંબો છે. પરંતુ જો તમે તમારા ડેટા સંગ્રહને મર્યાદિત કરો છો, તો તમે ઓછા વિશ્વસનીય પરિણામની અપેક્ષા રાખી શકો છો. તેથી તે શોધવું જરૂરી છે સોનેરી સરેરાશ, જે તમને પૂરતી ચોકસાઈની માહિતી મેળવવાની મંજૂરી આપશે, અને તે જ સમયે તે બિનજરૂરી તત્વો દ્વારા બિનજરૂરી રીતે જટિલ બનશે નહીં.

ગુણાકાર નિર્ણાયક મોડેલ

તે ઘણા પરિબળોમાં વિભાજીત કરીને બનાવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે ઉત્પાદિત ઉત્પાદનો (પીપી) ના વોલ્યુમ બનાવવાની પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. તેથી, આ માટે તમારી પાસે શ્રમ (PC), સામગ્રી (M) અને ઊર્જા (E) હોવી જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, PP પરિબળને સમૂહ (RS;M;E) માં વિભાજિત કરી શકાય છે. આ વિકલ્પ પરિબળ સિસ્ટમના ગુણાકાર સ્વરૂપ અને તેના વિભાજનની શક્યતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. આ કિસ્સામાં, તમે નીચેની રૂપાંતર પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો: વિસ્તરણ, ઔપચારિક વિઘટન અને લંબાઈ. પ્રથમ વિકલ્પને વિશ્લેષણમાં વ્યાપક એપ્લિકેશન મળી છે. તેનો ઉપયોગ કર્મચારીની કામગીરીની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે, વગેરે.

લંબાઈ કરતી વખતે, એક મૂલ્ય અન્ય પરિબળો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પરંતુ અંતે તે સમાન સંખ્યા હોવી જોઈએ. વિસ્તરણના ઉદાહરણની ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. જે બાકી છે તે ઔપચારિક વિઘટન છે. તેમાં એક અથવા વધુ પરિમાણોને બદલવાને કારણે મૂળ પરિબળ મોડેલના છેદને લંબાવવાનો ઉપયોગ શામેલ છે. ચાલો આ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ: અમે ઉત્પાદનની નફાકારકતાની ગણતરી કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, નફાની રકમ ખર્ચની રકમ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ગુણાકાર કરતી વખતે, એક મૂલ્યને બદલે, અમે સામગ્રી, કર્મચારીઓ, કર વગેરે માટેના સરવાળા ખર્ચથી ભાગીએ છીએ.

સંભાવનાઓ

ઓહ, જો બધું બરાબર આયોજન મુજબ થયું હોય! પરંતુ આવું ભાગ્યે જ બને છે. તેથી, વ્યવહારમાં, નિશ્ચયવાદી અને બાદમાં વિશે શું કહી શકાય તે ઘણીવાર એકસાથે ઉપયોગમાં લેવાય છે? તેમની ખાસિયત એ છે કે તેઓ વિવિધ સંભાવનાઓને પણ ધ્યાનમાં લે છે. ઉદાહરણ તરીકે નીચેના લો. બે રાજ્યો છે. તેમની વચ્ચેના સંબંધો ખૂબ જ ખરાબ છે. તૃતીય પક્ષ નિર્ણય લે છે કે કોઈ એક દેશમાં વ્યવસાયમાં રોકાણ કરવું કે નહીં. છેવટે, જો યુદ્ધ ફાટી નીકળે, તો નફો મોટા પ્રમાણમાં નુકસાન થશે. અથવા તમે ઊંચા વિસ્તારમાં પ્લાન્ટ બનાવવાનું ઉદાહરણ આપી શકો છો સિસ્મિક પ્રવૃત્તિ. તેઓ અહીં કામ કરે છે કુદરતી પરિબળો, જે ચોક્કસ રીતે ધ્યાનમાં લઈ શકાતું નથી, આ ફક્ત અંદાજે જ કરી શકાય છે.

નિષ્કર્ષ

અમે મોડેલો શું છે તે જોયું નિર્ધારિત વિશ્લેષણ. અરે, તેમને સંપૂર્ણ રીતે સમજવા અને વ્યવહારમાં લાગુ કરવા સક્ષમ થવા માટે, તમારે ખૂબ સારી રીતે અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે. સૈદ્ધાંતિક પાયાપહેલેથી જ ત્યાં. લેખના માળખામાં પણ, અલગ સરળ ઉદાહરણો. આગળ, કાર્યકારી સામગ્રીને ધીમે ધીમે જટિલ બનાવવાના માર્ગને અનુસરવાનું વધુ સારું છે. તમે તમારા કાર્યને થોડું સરળ બનાવી શકો છો અને અભ્યાસ શરૂ કરી શકો છો સોફ્ટવેર, જે યોગ્ય અનુકરણો કરી શકે છે. પરંતુ પસંદગી ગમે તે હોય, મૂળભૂત બાબતોને સમજવી અને શું, કેવી રીતે અને શા માટે હજુ પણ જરૂરી છે તે અંગેના પ્રશ્નોના જવાબ આપવા સક્ષમ બનવું. તમારે પહેલા સાચો ઇનપુટ ડેટા પસંદ કરવાનું શીખવું જોઈએ અને પસંદ કરવું જોઈએ જરૂરી ક્રિયાઓ. પછી પ્રોગ્રામ્સ તેમના કાર્યો સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરવામાં સક્ષમ હશે.

અમે અત્યાર સુધી જે સિસ્ટમ મોડલ્સ વિશે વાત કરી છે તે નિર્ધારિત (ચોક્કસ) છે, એટલે કે. ઇનપુટ પ્રભાવને સ્પષ્ટ કરવાથી સિસ્ટમનું આઉટપુટ વિશિષ્ટ રીતે નક્કી થાય છે. જો કે, વ્યવહારમાં આ ભાગ્યે જ થાય છે: વર્ણન વાસ્તવિક સિસ્ટમોઅનિશ્ચિતતા સામાન્ય રીતે સહજ હોય ​​છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્થિર મોડેલ માટે, સંબંધ લખીને અનિશ્ચિતતાને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે (2.1)

સિસ્ટમ આઉટપુટમાં ભૂલ ક્યાં સામાન્ય છે.

અનિશ્ચિતતાના કારણો વિવિધ છે:

- સિસ્ટમ ઇનપુટ્સ અને આઉટપુટના માપમાં ભૂલો અને દખલગીરી (કુદરતી ભૂલો);

- સિસ્ટમ મોડેલની જ અચોક્કસતા, જે ભૂલને કૃત્રિમ રીતે મોડેલમાં દાખલ કરવાની ફરજ પાડે છે;

- સિસ્ટમ પરિમાણો વગેરે વિશે અધૂરી માહિતી.

વચ્ચે વિવિધ રીતેસ્પષ્ટતા અને અનિશ્ચિતતાની ઔપચારિકતા સૌથી વધુ વિતરણઅસ્તવ્યસ્ત (સંભવિત) અભિગમ પ્રાપ્ત થયો, જેમાં અનિશ્ચિત માત્રાને રેન્ડમ ગણવામાં આવે છે. સંભાવના સિદ્ધાંત અને કોમ્પ્યુટેશનલ ઉપકરણ વિકસાવ્યું ગાણિતિક આંકડાતમને સિસ્ટમનું માળખું પસંદ કરવા અને તેના પરિમાણોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે ચોક્કસ ભલામણો આપવા માટે પરવાનગી આપે છે. તેમના અભ્યાસ માટેની સિસ્ટમો અને પદ્ધતિઓના સ્ટોકેસ્ટિક મોડલ્સનું વર્ગીકરણ કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. 1.4. તારણો અને ભલામણો સરેરાશ અસર પર આધારિત છે: રેન્ડમ વિચલનોચોક્કસ જથ્થાના માપના પરિણામો તેના અપેક્ષિત મૂલ્યમાંથી જ્યારે સરવાળો કરવામાં આવે ત્યારે એકબીજાને રદ કરે છે અને અંકગણિત સરેરાશ મોટી સંખ્યામાંમાપ અપેક્ષિત મૂલ્યની નજીક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ગાણિતિક ફોર્મ્યુલેશનઆ અસર કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે મોટી સંખ્યામાંઅને કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય. મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો જણાવે છે કે જો ગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ મૂલ્ય) અને ભિન્નતા સાથે રેન્ડમ ચલ હોય, તો

પર્યાપ્ત મોટા પર એન. આ માપના આધારે મનસ્વી રીતે સચોટ આકારણી કરવાની મૂળભૂત શક્યતા દર્શાવે છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય, સ્પષ્ટતા (2.32), જણાવે છે કે

જ્યાં પ્રમાણભૂત સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ છે

કારણ કે જથ્થાનું વિતરણ સારી રીતે જાણીતું છે અને ટેબ્યુલેટેડ છે (ઉદાહરણ તરીકે, તે જાણીતું છે કે સંબંધ (2.33) અંદાજની ભૂલની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે શોધવા માંગો છો કે અંદાજ કાઢવામાં ભૂલ કયા માપની સંખ્યા પર છે. 0.95 ની સંભાવના સાથેની તેમની ગાણિતિક અપેક્ષા 0.01 કરતા ઓછી હશે, જો દરેક માપનો તફાવત (2.33) થી 0.25 હોય તો નીચેની અસમાનતા હોવી આવશ્યક છે. એન> 10000.

અલબત્ત, ફોર્મ્યુલેશન (2.32), (2.33) વધુ આપી શકાય છે કડક દેખાવ, અને આ સંભવિત કન્વર્જન્સના ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી કરી શકાય છે. આ કડક નિવેદનોની શરતોને ચકાસવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોટી સંખ્યામાં અને કેન્દ્રીય કાયદામાં મર્યાદા પ્રમેયવ્યક્તિગત માપન (અમલીકરણ) ની સ્વતંત્રતા જરૂરી છે રેન્ડમ ચલઅને તેના ભિન્નતાની મર્યાદિતતા. જો આ શરતોનું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવે છે, તો પછી નિષ્કર્ષનું પણ ઉલ્લંઘન થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો બધા માપો એકરૂપ થાય છે: તો પછી, અન્ય તમામ શરતો પૂરી થઈ હોવા છતાં, સરેરાશ કરવાનો કોઈ પ્રશ્ન હોઈ શકે નહીં. બીજું ઉદાહરણ: મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો માન્ય નથી જો રેન્ડમ ચલોને કોચીના નિયમ અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે (વિતરણ ઘનતા સાથે કે જેમાં મર્યાદિત નથી ગાણિતિક અપેક્ષાઅને વિખેરવું. પણ આવો કાયદો જીવનમાં બને છે! ઉદાહરણ તરીકે, કૌચીના મતે, રેક્ટીલીનિયર કિનારા પરના બિંદુઓની અભિન્ન રોશની સમુદ્રમાં (વહાણ પર) સ્થિત એકસરખી ફરતી સર્ચલાઇટ દ્વારા વિતરિત કરવામાં આવે છે અને ચાલુ કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ક્ષણોસમય

પરંતુ હજુ પણ મોટી મુશ્કેલીઓ"રેન્ડમ" શબ્દના ખૂબ જ ઉપયોગની માન્યતાની ચકાસણી માટે કહે છે. રેન્ડમ ચલ શું છે? રેન્ડમ ઘટનાવગેરે ઘણીવાર એવું કહેવાય છે કે એક ઘટના એતક દ્વારા, જો પ્રયોગના પરિણામે તે થઈ શકે છે (સંભાવના સાથે p)અથવા ન થાય (સંભાવના સાથે 1- p).જો કે, બધું એટલું સરળ નથી. સંભાવનાની ખૂબ જ ખ્યાલ પ્રયોગોના પરિણામો સાથે માત્ર પ્રયોગોની ચોક્કસ સંખ્યા (શ્રેણી) માં તેની ઘટનાની આવર્તન દ્વારા સંકળાયેલ હોઈ શકે છે: , જ્યાં એન એ- પ્રયોગોની સંખ્યા જેમાં ઘટના બની, એન- કુલ સંખ્યા; પ્રયોગો જો સંખ્યાઓ પૂરતી મોટી હોય એનકેટલાક નજીક આવી રહ્યા છે સતત સંખ્યા આર એ:

તે ઘટના એરેન્ડમ અને નંબર કહી શકાય આર- તેની સંભાવના. આ કિસ્સામાં, પ્રયોગોની વિવિધ શ્રેણીમાં જોવા મળતી ફ્રીક્વન્સી એકબીજાની નજીક હોવી જોઈએ (આ ગુણધર્મને આંકડાકીય સ્થિરતાઅથવા એકરૂપતા).ઉપરોક્ત રેન્ડમ ચલના ખ્યાલને પણ લાગુ પડે છે, કારણ કે જો ઘટનાઓ રેન્ડમ હોય તો મૂલ્ય રેન્ડમ હોય છે (અને<£<Ь} для любых чисел એ,bપ્રયોગોની લાંબી શ્રૃંખલામાં આવી ઘટનાઓની ઘટનાઓની આવર્તન ચોક્કસ સ્થિર મૂલ્યોની આસપાસ જૂથબદ્ધ હોવી જોઈએ.

તેથી, સ્ટોકેસ્ટિક અભિગમ લાગુ થવા માટે, નીચેની આવશ્યકતાઓને પૂર્ણ કરવી આવશ્યક છે:

1) હાથ ધરવામાં આવેલા પ્રયોગોના મોટા પાયે, એટલે કે. તદ્દન મોટી સંખ્યા;

2) પ્રાયોગિક પરિસ્થિતિઓની પુનરાવર્તિતતા, વિવિધ પ્રયોગોના પરિણામોની તુલનાને ન્યાયી ઠેરવવી;

3) આંકડાકીય સ્થિરતા.

સ્ટોકેસ્ટિક અભિગમ દેખીતી રીતે એક પ્રયોગો પર લાગુ કરી શકાતો નથી: "કાલે વરસાદ પડવાની સંભાવના", "0.8 ની સંભાવના સાથે, ઝેનિટ કપ જીતશે", વગેરે જેવા અભિવ્યક્તિઓ અર્થહીન છે. પરંતુ જો પ્રયોગો વ્યાપક અને પુનરાવર્તિત હોય તો પણ, આંકડાકીય સ્થિરતા ન હોઈ શકે, અને આ તપાસવું એ સરળ કાર્ય નથી. સંભવિતતામાંથી આવર્તનના અનુમતિપાત્ર વિચલનના જાણીતા અંદાજો કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય અથવા ચેબીશેવની અસમાનતા પર આધારિત છે અને માપનની સ્વતંત્રતા અથવા નબળા અવલંબન વિશે વધારાની પૂર્વધારણાઓની જરૂર છે. સ્વતંત્રતાની સ્થિતિની પ્રાયોગિક ચકાસણી વધુ મુશ્કેલ છે, કારણ કે તેને વધારાના પ્રયોગોની જરૂર છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતને લાગુ કરવા માટેની પદ્ધતિ અને વ્યવહારિક વાનગીઓ વી.એન. દ્વારા ઉપદેશક પુસ્તકમાં વધુ વિગતવાર રજૂ કરવામાં આવી છે. ટ્યુટ્યુબાલિન, જેનો વિચાર નીચેના અવતરણો દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે:

“કોઈપણ પ્રયોગના પરિણામને રેન્ડમ ચલ તરીકે ગણી શકાય એવી ગેરસમજને નાબૂદ કરવી અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે જે ક્યારેક ઈજનેરો અને પ્રાકૃતિક વૈજ્ઞાનિકો કે જેઓ સંભાવનાના સિદ્ધાંતથી પૂરતા પ્રમાણમાં પરિચિત નથી. ખાસ કરીને ગંભીર કિસ્સાઓમાં, આ વિતરણના સામાન્ય કાયદામાં વિશ્વાસ સાથે છે, અને જો રેન્ડમ ચલો પોતે સામાન્ય નથી, તો તેઓ માને છે કે તેમના લઘુગણક સામાન્ય છે."

"આધુનિક વિભાવનાઓ અનુસાર, સંભાવના-સૈદ્ધાંતિક પદ્ધતિઓના ઉપયોગનો અવકાશ આંકડાકીય સ્થિરતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ ઘટનાઓ સુધી મર્યાદિત છે. જો કે, આંકડાકીય સ્થિરતાનું પરીક્ષણ કરવું મુશ્કેલ અને હંમેશા અધૂરું હોય છે, અને તે ઘણીવાર નકારાત્મક નિષ્કર્ષ આપે છે. પરિણામે, જ્ઞાનના સમગ્ર ક્ષેત્રોમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ભૂસ્તરશાસ્ત્રમાં, એક અભિગમ એ ધોરણ બની ગયો છે જેમાં આંકડાકીય સ્થિરતા બિલકુલ તપાસવામાં આવતી નથી, જે અનિવાર્યપણે ગંભીર ભૂલો તરફ દોરી જાય છે. વધુમાં, અમારા અગ્રણી વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા હાથ ધરવામાં આવેલા સાયબરનેટિક્સના પ્રચારે (કેટલાક કિસ્સાઓમાં!) કંઈક અંશે અણધાર્યું પરિણામ આપ્યું છે: હવે એવું માનવામાં આવે છે કે માત્ર એક મશીન (અને કોઈ વ્યક્તિ નહીં) ઉદ્દેશ્ય વૈજ્ઞાનિક પરિણામો મેળવવા માટે સક્ષમ છે.

આવા સંજોગોમાં, દરેક શિક્ષકની ફરજ એ છે કે પીટર મેં રશિયન વેપારીઓમાં પ્રસ્થાપિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો તે જૂના સત્યને ફરીથી અને ફરીથી પ્રસારિત કરવું (અસફળ રીતે): કે વ્યક્તિએ છેતરપિંડી વિના, પ્રમાણિકપણે વેપાર કરવો જોઈએ, કારણ કે અંતે તે પોતાને માટે વધુ નફાકારક છે. "

જો સમસ્યામાં અનિશ્ચિતતા હોય, પરંતુ સ્ટોકેસ્ટિક અભિગમ લાગુ ન હોય તો સિસ્ટમનું મોડેલ કેવી રીતે બનાવવું? નીચે અમે અસ્પષ્ટ સેટ થિયરીના આધારે વૈકલ્પિક અભિગમોમાંથી એકની ટૂંકમાં રૂપરેખા આપીએ છીએ.

અમે તમને યાદ અપાવીએ છીએ કે સંબંધ (અને વચ્ચેનો સંબંધ) એ સમૂહનો સબસેટ છે. તે જોડીનો અમુક સમૂહ R=(( x, ખાતે)), ક્યાં,. ઉદાહરણ તરીકે, વિધેયાત્મક જોડાણ (નિર્ભરતા) સમૂહો વચ્ચેના સંબંધ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેમાં જોડી ( એક્સ, ખાતે), જેના માટે.

સૌથી સરળ કિસ્સામાં તે હોઈ શકે છે, R એ ઓળખ સંબંધ છે જો.

કોષ્ટકમાં ઉદાહરણો 12-15. 1. 1 ની શોધ 1988 માં શાળા 292 એમ. કોરોટીવના 86 મા ધોરણના વિદ્યાર્થી દ્વારા કરવામાં આવી હતી.

અહીંના ગણિતશાસ્ત્રી, અલબત્ત, જોશે કે (1.4) માં લઘુત્તમ, સખત રીતે કહીએ તો, પ્રાપ્ત થઈ શકશે નહીં અને (1.4) ની રચનામાં rnin ને inf સાથે બદલવું જરૂરી છે ("infimum" એ ચોક્કસ infimum છે. સેટ). જો કે, આ પરિસ્થિતિને બદલશે નહીં: આ કિસ્સામાં ઔપચારિકકરણ કાર્યના સારને પ્રતિબિંબિત કરતું નથી, એટલે કે. ખોટી રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે. ભવિષ્યમાં, એન્જિનિયરને "ડરાવવા" ન કરવા માટે, અમે નોટેશન min, max નો ઉપયોગ કરીશું; ધ્યાનમાં રાખીને કે, જો જરૂરી હોય, તો તેઓને વધુ સામાન્ય માહિતી, sup દ્વારા બદલવામાં આવે.

અહીં "સંરચના" શબ્દનો ઉપયોગ પેટાવિભાગની જેમ અંશે સંકુચિત અર્થમાં થાય છે. 1.1, અને તેનો અર્થ સિસ્ટમમાં સબસિસ્ટમ્સની રચના અને જોડાણોના પ્રકારો છે તેમની વચ્ચે.

ગ્રાફ એ એક જોડી છે ( જી, આર), જ્યાં G=(g 1... g n) એ શિરોબિંદુઓનો મર્યાદિત સમૂહ છે, a - સાથે દ્વિસંગી સંબંધ જી.જો, પછી અને માત્ર જો, તો ગ્રાફને નિર્દેશિત કહેવામાં આવે છે, અન્યથા - નિર્દેશિત. જોડીને આર્ક્સ (કિનારીઓ) અને સમૂહના તત્વો કહેવામાં આવે છે જી- ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ.

એટલે કે બીજગણિતીય અથવા ગુણાતીત.

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, ગણનાપાત્ર સમૂહ એ ચોક્કસ આદર્શીકરણ છે જે તકનીકી પ્રણાલીઓના મર્યાદિત કદ અને માનવ દ્રષ્ટિની મર્યાદાઓને કારણે વ્યવહારીક રીતે સાકાર કરી શકાતું નથી. આવા આદર્શ મોડેલો (ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ એન=(1, 2,...)) સીમિત છે, પરંતુ પ્રાથમિક રીતે અમર્યાદિત (અથવા અજ્ઞાત) ઘટકોની સંખ્યા ધરાવતા સમૂહો માટે રજૂ કરવામાં અર્થપૂર્ણ છે.

ઔપચારિક રીતે, ઓપરેશનની વિભાવના એ સમૂહોના ઘટકો વચ્ચેના સંબંધની વિભાવનાનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે નંબરો ઉમેરવાની ક્રિયા 3-સ્થળ (ટર્નરી) સંબંધને સ્પષ્ટ કરે છે આર:સંખ્યાના ત્રણ (x, y, z) z) સંબંધથી સંબંધિત છે આર(અમે લખીએ છીએ (x,y,z)), જો z = x+y.

જટિલ સંખ્યા, બહુપદીની દલીલ એ(), IN().

આ ધારણા ઘણીવાર વ્યવહારમાં પરિપૂર્ણ થાય છે.

જો જથ્થો અજાણ્યો હોય, તો તેને અંદાજ સાથે (2.33) માં બદલવો જોઈએ જ્યાં આ કિસ્સામાં, જથ્થો હવે સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવશે નહીં, પરંતુ વિદ્યાર્થીના કાયદા અનુસાર, જે સામાન્યથી વ્યવહારીક રીતે અસ્પષ્ટ છે.

તે જોવાનું સરળ છે કે (2.34) એ (2.32) નો વિશેષ કેસ છે, જ્યારે આપણે ઘટનાને લઈએ છીએ એઅંદર આવ્યા j- m પ્રયોગ, અન્યથા. તે જ સમયે

અને આજે તમે "... અને કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન" (લેખકની નોંધ) ઉમેરી શકો છો.

કોઈપણ વાસ્તવિક પ્રક્રિયા લાક્ષણિકતાસમયાંતરે કોઈપણ પરિબળોની ભૌતિક પરિવર્તનશીલતાને કારણે રેન્ડમ વધઘટ. વધુમાં, સિસ્ટમ પર રેન્ડમ બાહ્ય પ્રભાવ હોઈ શકે છે. તેથી, ઇનપુટ પરિમાણોના સમાન સરેરાશ મૂલ્ય સાથે જુદા જુદા સમયે આઉટપુટ પરિમાણો અલગ હશે. તેથી, જો અભ્યાસ હેઠળની સિસ્ટમ પર અવ્યવસ્થિત અસરો નોંધપાત્ર હોય, તો તેનો વિકાસ કરવો જરૂરી છે સંભવિત (સ્ટોકેસ્ટિક)ઑબ્જેક્ટનું મોડેલ, સિસ્ટમ પરિમાણોના વિતરણના આંકડાકીય કાયદાઓને ધ્યાનમાં લેવું અને યોગ્ય ગાણિતિક ઉપકરણ પસંદ કરવું.

જ્યારે મકાન નિર્ધારિત મોડેલોઅવ્યવસ્થિત પરિબળોની અવગણના કરવામાં આવે છે, ફક્ત સમસ્યાના ઉકેલની ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓને ધ્યાનમાં લેતા, ઑબ્જેક્ટના ગુણધર્મો અને આંતરિક જોડાણો (શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રની લગભગ તમામ શાખાઓ આ સિદ્ધાંત પર બનેલી છે)

નિર્ધારિત પદ્ધતિઓનો વિચાર- સિસ્ટમના ઉત્ક્રાંતિ દરમિયાન મોડેલની પોતાની ગતિશીલતાના ઉપયોગમાં.

અમારા કોર્સમાં આ પદ્ધતિઓ રજૂ કરવામાં આવી છે: મોલેક્યુલર ડાયનેમિક્સ પદ્ધતિ, જેના ફાયદા છે: સંખ્યાત્મક અલ્ગોરિધમની ચોકસાઈ અને નિશ્ચિતતા; ગેરલાભ એ છે કે કણો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દળોની ગણતરીને કારણે તે શ્રમ-સઘન છે (N કણોની સિસ્ટમ માટે, તમારે દરેક પગલા પર કાર્ય કરવાની જરૂર છે.
આ દળોની ગણતરીની કામગીરી).

મુ નિર્ધારિત અભિગમગતિના સમીકરણો સમય સાથે સ્પષ્ટ અને સંકલિત થાય છે. અમે ઘણા કણોની સિસ્ટમો પર વિચાર કરીશું. કણોની સ્થિતિ સિસ્ટમની કુલ ઊર્જામાં સંભવિત ઊર્જાનું યોગદાન આપે છે, અને તેમના વેગ ગતિ ઊર્જાના યોગદાનને નિર્ધારિત કરે છે. સિસ્ટમ તબક્કાવાર અવકાશમાં સતત ઊર્જા સાથે માર્ગ સાથે આગળ વધે છે (વધુ સ્પષ્ટતાઓ અનુસરવામાં આવશે). નિર્ધારિત પદ્ધતિઓ માટે, માઇક્રોકેનોનિકલ જોડાણ કુદરતી છે, જેની ઊર્જા ગતિનું અભિન્ન અંગ છે. આ ઉપરાંત, એવી પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ કરવો શક્ય છે કે જેના માટે ગતિનું અભિન્ન અંગ તાપમાન અને (અથવા) દબાણ છે. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ બંધ નથી, અને તે થર્મલ જળાશય (કેનોનિકલ એન્સેમ્બલ) ના સંપર્કમાં રજૂ કરી શકાય છે. તેનું મોડેલ બનાવવા માટે, અમે એક અભિગમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ જેમાં અમે સિસ્ટમની સ્વતંત્રતાની સંખ્યાને મર્યાદિત કરીએ છીએ (ઉદાહરણ તરીકે, અમે શરત સેટ કરીએ છીએ
).

આપણે પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, જ્યારે સિસ્ટમમાં પ્રક્રિયાઓ અણધારી રીતે થાય છે, ત્યારે આવી ઘટનાઓ અને તેમની સાથે સંકળાયેલી માત્રા કહેવામાં આવે છે. રેન્ડમ, અને સિસ્ટમમાં મોડેલિંગ પ્રક્રિયાઓ માટે એલ્ગોરિધમ્સ - સંભવિત (સ્ટોકેસ્ટિક). ગ્રીક stoohastikos- શાબ્દિક અર્થ થાય છે "જે અનુમાન કરી શકે છે."

સ્ટોકેસ્ટિક પદ્ધતિઓ નિર્ણાયક પદ્ધતિઓ કરતાં થોડી અલગ અભિગમનો ઉપયોગ કરે છે: તેમને ફક્ત સમસ્યાના રૂપરેખાંકન ભાગની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. સિસ્ટમના વેગ માટેના સમીકરણો હંમેશા એકીકૃત થઈ શકે છે. પછી જે સમસ્યા ઊભી થાય છે તે એ છે કે એક રૂપરેખાંકનમાંથી બીજામાં સંક્રમણ કેવી રીતે કરવું, જે નિર્ધારિત અભિગમમાં વેગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સ્ટોકેસ્ટિક પદ્ધતિઓમાં આવા સંક્રમણો સંભવિત ઉત્ક્રાંતિ સાથે કરવામાં આવે છે માર્કોવ પ્રક્રિયા. માર્કોવ પ્રક્રિયા એ મોડેલની પોતાની ગતિશીલતાનું સંભવિત એનાલોગ છે.

આ અભિગમનો ફાયદો એ છે કે તે કોઈને એવી પ્રણાલીઓનું મોડેલ બનાવવાની મંજૂરી આપે છે કે જેમાં કોઈ અંતર્ગત ગતિશીલતા નથી.

નિર્ણાયક પદ્ધતિઓથી વિપરીત, PC પર સ્ટોકેસ્ટિક પદ્ધતિઓ અમલમાં મૂકવા માટે સરળ અને ઝડપી છે, પરંતુ સાચા મૂલ્યોની નજીકના મૂલ્યો મેળવવા માટે, સારા આંકડા જરૂરી છે, જેમાં કણોના વિશાળ જોડાણનું મોડેલિંગ જરૂરી છે.

સંપૂર્ણપણે સ્ટોકેસ્ટિક પદ્ધતિનું ઉદાહરણ છે મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ. સ્ટોકેસ્ટિક પદ્ધતિઓ માર્કોવ પ્રક્રિયા (માર્કોવ સાંકળ) ના મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલનો ઉપયોગ કરે છે. માર્કોવ પ્રક્રિયા ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં પ્રક્રિયાનું સંભવિત અનુરૂપ છે. માર્કોવ સાંકળ મેમરીની ગેરહાજરી દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, એટલે કે નજીકના ભવિષ્યની આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓ ભૂતકાળને ધ્યાનમાં લીધા વિના, વર્તમાન દ્વારા જ નક્કી કરવામાં આવે છે.

વ્યસ્ત કરતાં વધુ વ્યવહારુ 2.

રેન્ડમ વોક મોડલ

ઉદાહરણ(ઔપચારિક)

ચાલો ધારીએ કે દ્વિ-પરિમાણીય જાળીના ગાંઠો પર કણો મનસ્વી સ્થિતિમાં મૂકવામાં આવે છે. દરેક સમયે, કણ નિષ્ક્રિય સ્થાનોમાંથી એક પર "કૂદકો" કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે કણ ચાર નજીકના સ્થાનોમાંથી કોઈપણ પર તેના કૂદકાની દિશા પસંદ કરવાની ક્ષમતા ધરાવે છે. કૂદકા માર્યા પછી, કણ "યાદ નથી" કે તે ક્યાંથી કૂદ્યો. આ કેસ રેન્ડમ વોકને અનુરૂપ છે અને માર્કોવ સાંકળ છે. દરેક પગલા પર પરિણામ એ કણ સિસ્ટમની નવી સ્થિતિ છે. એક રાજ્યમાંથી બીજા રાજ્યમાં સંક્રમણ ફક્ત પહેલાની સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે, એટલે કે, રાજ્ય i માં સિસ્ટમ હોવાની સંભાવના માત્ર રાજ્ય i-1 પર આધારિત છે.

નક્કર શરીરમાં કઈ શારીરિક પ્રક્રિયાઓ આપણને યાદ અપાવે છે (જેવી રીતે) રેન્ડમ વોકના વર્ણવેલ ઔપચારિક મોડેલ?

અલબત્ત, પ્રસરણ, એટલે કે, ખૂબ જ પ્રક્રિયાઓ, જે પદ્ધતિઓ આપણે ગરમી અને સામૂહિક સ્થાનાંતરણ (3 જી કોર્સ) દરમિયાન ધ્યાનમાં લીધી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો આપણે સ્ફટિકમાં સામાન્ય શાસ્ત્રીય સ્વ-પ્રસારને યાદ કરીએ, જ્યારે, તેમના દૃશ્યમાન ગુણધર્મોને બદલ્યા વિના, અણુઓ સમયાંતરે અસ્થાયી રહેઠાણની જગ્યાઓ બદલતા હોય છે અને કહેવાતા "વેકેન્સી" મિકેનિઝમનો ઉપયોગ કરીને જાળીની આસપાસ ભટકતા હોય છે. તે એલોયમાં પ્રસરણની સૌથી મહત્વપૂર્ણ પદ્ધતિઓમાંની એક પણ છે. ઘન પદાર્થોમાં અણુઓના સ્થાનાંતરણની ઘટના ઘણી પરંપરાગત અને બિન-પરંપરાગત તકનીકોમાં નિર્ણાયક ભૂમિકા ભજવે છે - ધાતુશાસ્ત્ર, ધાતુકામ, સેમિકન્ડક્ટર અને સુપરકન્ડક્ટરની રચના, રક્ષણાત્મક કોટિંગ્સ અને પાતળા ફિલ્મો.

1896 માં રોબર્ટ ઓસ્ટેન દ્વારા સોના અને સીસાના પ્રસારને અવલોકન કરીને તેની શોધ કરવામાં આવી હતી. પ્રસરણ- અસ્તવ્યસ્ત (થર્મલ) સ્થળાંતર દ્વારા અવકાશમાં અણુ સાંદ્રતાના પુનઃવિતરણની પ્રક્રિયા. કારણો, થર્મોડાયનેમિક્સના દૃષ્ટિકોણથી, ત્યાં બે હોઈ શકે છે: એન્ટ્રોપી (હંમેશા) અને ઊર્જા (ક્યારેક). એન્ટ્રોપિક કારણ એ છે કે કોતરવામાં આવેલી વિવિધતાના અણુઓનું મિશ્રણ કરતી વખતે અરાજકતામાં વધારો થાય છે. ઊર્જા - એલોયની રચનાને પ્રોત્સાહન આપે છે, જ્યારે તે નજીકમાં વિવિધ પ્રકારના અણુઓ રાખવા વધુ ફાયદાકારક હોય છે, અને પ્રસરણ વિઘટનને પ્રોત્સાહન આપે છે, જ્યારે સમાન પ્રકારના અણુઓને એકસાથે મૂકીને ઉર્જાનો લાભ સુનિશ્ચિત કરવામાં આવે છે.

સૌથી સામાન્ય પ્રસરણ પદ્ધતિઓ છે:

ખાલી જગ્યા

આંતરિક

વિસ્થાપન પદ્ધતિ

વેકેન્સી મિકેનિઝમ લાગુ કરવા માટે, ઓછામાં ઓછી એક જગ્યા જરૂરી છે. ખાલી જગ્યાઓનું સ્થળાંતર પડોશી અણુઓમાંના એકની બિન-કબજોવાળી સાઇટ પર ખસેડીને હાથ ધરવામાં આવે છે. જો તેની બાજુમાં ખાલી જગ્યા હોય તો અણુ પ્રસરણ જમ્પ કરી શકે છે. વેકેન્સી સે.મી., જાળીના સ્થળે અણુના થર્મલ સ્પંદનોના સમયગાળા સાથે, તાપમાન T = 1330 K (6 K દ્વારા< точки плавления), число скачков, которое совершает вакансия в 1с, путь за одну секунду-см=3 м (=10 км/ч). По прямой же путь, проходимый вакансиейсм, т. е. в 300 раз короче пути по ломаной.

કુદરતને તેની જરૂર હતી. જેથી ખાલી જગ્યા 1 સે.ની અંદર તેના રહેઠાણનું સ્થાન બદલી નાખે છે, તૂટેલી રેખા 3 મીટરથી પસાર થાય છે અને સીધી રેખા સાથે માત્ર 10 માઇક્રોન આગળ વધે છે. અણુઓ ખાલી જગ્યાઓ કરતાં શાંત વર્તે છે. પરંતુ તેઓ તેમના રહેઠાણનું સ્થાન પણ પ્રતિ સેકન્ડમાં એક મિલિયન વખત બદલે છે અને લગભગ 1 મીટર/કલાકની ઝડપે આગળ વધે છે.

તેથી. કેટલાંક હજાર અણુઓ દીઠ એક ખાલી જગ્યા ગલન નજીકના તાપમાને સૂક્ષ્મ સ્તરે અણુઓને ખસેડવા માટે પૂરતી છે.

ચાલો હવે સ્ફટિકમાં પ્રસરણની ઘટના માટે રેન્ડમ વોક મોડલ બનાવીએ. અણુની ભટકવાની પ્રક્રિયા અસ્તવ્યસ્ત અને અણધારી છે. જો કે, ભટકતા અણુઓના જોડાણ માટે, આંકડાકીય નિયમિતતાઓ દેખાવી જોઈએ. અમે અસંબંધિત કૂદકાઓને ધ્યાનમાં લઈશું.

આનો અર્થ એ છે કે જો
અને
i અને j કૂદકા દરમિયાન અણુઓની હિલચાલ છે, પછી ભટકતા અણુઓના જોડાણની સરેરાશ પછી:

(સરેરાશ ઉત્પાદન = સરેરાશનું ઉત્પાદન. જો ચાલવું સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ છે, તો બધી દિશાઓ સમાન છે અને
=0.)

જોડાણના દરેક કણને N પ્રાથમિક કૂદકા કરવા દો. પછી તેનું કુલ વિસ્થાપન છે:

;

અને વિસ્થાપનનો સરેરાશ ચોરસ

કોઈ સહસંબંધ ન હોવાથી, બીજો શબ્દ =0.

દરેક કૂદકાને સમાન લંબાઈ h અને રેન્ડમ દિશા દો, અને એકમ સમય દીઠ કૂદકાની સરેરાશ સંખ્યા v છે. પછી

તે સ્પષ્ટ છે કે

ચાલો જથ્થાને કૉલ કરીએ
- ભટકતા અણુઓના પ્રસરણ ગુણાંક. પછી
;

ત્રિ-પરિમાણીય કેસ માટે -
.

અમને મળ્યું પેરાબોલિક પ્રસરણ કાયદો- વિસ્થાપનનો સરેરાશ વર્ગ ભટકતા સમયના પ્રમાણસર છે.

આ બરાબર એ જ સમસ્યા છે જે આપણે આગામી પ્રયોગશાળાના કાર્યમાં હલ કરવાની છે - એક-પરિમાણીય રેન્ડમ વોકનું મોડેલિંગ.

સંખ્યાત્મક મોડેલ.

અમે M કણોના જોડાણને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જેમાંથી દરેક N પગલાં લે છે, એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે, સમાન સંભાવના સાથે જમણી કે ડાબી તરફ. પગલાની લંબાઈ = h.

દરેક કણ માટે આપણે વિસ્થાપનના ચોરસની ગણતરી કરીએ છીએ
N પગલાંઓમાં. પછી અમે એસેમ્બલ પર સરેરાશ પ્રદર્શન કરીએ છીએ -
. તીવ્રતા
, જો
, એટલે કે વિસ્થાપનનો સરેરાશ ચોરસ રેન્ડમ વૉક ટાઈમના પ્રમાણસર છે
- એક પગલાનો સરેરાશ સમય) - પ્રસરણનો પેરાબોલિક કાયદો.

અર્થશાસ્ત્ર અને પ્રોગ્રામિંગમાં ગાણિતિક મોડલ

1. અર્થશાસ્ત્રમાં નિર્ણાયક અને સંભવિત ગાણિતિક મોડલ. ફાયદા અને ગેરફાયદા

આર્થિક પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિઓ ગાણિતિક - નિર્ધારિત અને સંભવિત - મોડેલોના ઉપયોગ પર આધારિત છે જે પ્રક્રિયા, પ્રણાલી અથવા પ્રવૃત્તિના પ્રકારનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આવા મોડેલો સમસ્યાનું માત્રાત્મક વર્ણન પ્રદાન કરે છે અને શ્રેષ્ઠ વિકલ્પની શોધ કરતી વખતે મેનેજમેન્ટ નિર્ણયો લેવા માટેના આધાર તરીકે સેવા આપે છે. આ નિર્ણયો કેટલા વાજબી છે, શું તે શ્રેષ્ઠ શક્ય છે, તે બધા પરિબળો છે કે જે શ્રેષ્ઠ ઉકેલને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે અને તેનું વજન નક્કી કરે છે, આ ઉકેલ ખરેખર શ્રેષ્ઠ છે તે નિર્ધારિત કરવાનો માપદંડ શું છે - આ પ્રશ્નોની શ્રેણી છે જે પ્રોડક્શન મેનેજરો માટે ખૂબ મહત્વ, અને જેનો જવાબ ઑપરેશન સંશોધન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે [ચેસ્નોકોવ એસ.વી. - એમ.: નૌકા, 1982, પૃષ્ઠ 45].

કંટ્રોલ સિસ્ટમ બનાવવાના સિદ્ધાંતો પૈકી એક સાયબરનેટિક (ગાણિતિક) મોડલની પદ્ધતિ છે. ગાણિતિક મોડેલિંગ પ્રયોગ અને સિદ્ધાંત વચ્ચે મધ્યવર્તી સ્થાન ધરાવે છે: સિસ્ટમનું વાસ્તવિક ભૌતિક મોડેલ બનાવવાની જરૂર નથી; તેને ગાણિતિક મોડેલ દ્વારા બદલવામાં આવશે. નિયંત્રણ પ્રણાલીની રચનાની વિશિષ્ટતા નિયંત્રણ પ્રક્રિયાઓ માટે સંભવિત, આંકડાકીય અભિગમમાં રહેલી છે. સાયબરનેટિક્સમાં, તે સ્વીકારવામાં આવે છે કે કોઈપણ નિયંત્રણ પ્રક્રિયા અવ્યવસ્થિત, અવ્યવસ્થિત પ્રભાવોને આધિન છે. આમ, ઉત્પાદન પ્રક્રિયા મોટી સંખ્યામાં પરિબળોથી પ્રભાવિત થાય છે, જેને નિર્ધારિત રીતે ધ્યાનમાં લઈ શકાતી નથી. તેથી, ઉત્પાદન પ્રક્રિયાને રેન્ડમ સિગ્નલોથી પ્રભાવિત ગણવામાં આવે છે. આને કારણે, એન્ટરપ્રાઇઝ પ્લાનિંગ માત્ર સંભવિત હોઈ શકે છે.

આ કારણોસર, જ્યારે આર્થિક પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક મોડેલિંગ વિશે વાત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેનો અર્થ ઘણીવાર સંભવિત મોડેલો થાય છે.

ચાલો દરેક પ્રકારના ગાણિતિક મોડેલનું વર્ણન કરીએ.

નિર્ણાયક ગાણિતિક મોડેલો એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે કે તેઓ કાર્યાત્મક અવલંબન તરીકે અસરકારક સૂચક સાથે કેટલાક પરિબળોના જોડાણનું વર્ણન કરે છે, એટલે કે નિર્ણાયક મોડેલોમાં, મોડેલનું અસરકારક સૂચક ઉત્પાદન, ભાગ, બીજગણિતના સ્વરૂપમાં રજૂ થાય છે. પરિબળોનો સરવાળો, અથવા કોઈપણ અન્ય કાર્યના સ્વરૂપમાં. આ પ્રકારના ગાણિતિક મોડેલો સૌથી સામાન્ય છે, કારણ કે, ઉપયોગમાં લેવા માટે એકદમ સરળ હોવાને કારણે (સંભવિત મોડલની તુલનામાં), તે આર્થિક પ્રક્રિયાના વિકાસમાં મુખ્ય પરિબળોની ક્રિયાના તર્કને સમજવા, તેમના પ્રભાવને માપવા, ઉત્પાદન કાર્યક્ષમતા વધારવા માટે કયા પરિબળો અને કયા પ્રમાણમાં તે શક્ય અને સલાહભર્યું છે તે સમજો.

સંભવિત ગાણિતિક મોડેલો મૂળભૂત રીતે નિર્ધારિત કરતા અલગ હોય છે કારણ કે સંભવિત મોડેલોમાં પરિબળો અને પરિણામી લક્ષણ વચ્ચેનો સંબંધ સંભવિત (સ્ટોકેસ્ટિક) હોય છે: કાર્યાત્મક અવલંબન (નિર્ધારિત મોડેલો) સાથે, પરિબળોની સમાન સ્થિતિ પરિણામી એક સ્થિતિને અનુરૂપ હોય છે. લક્ષણ, જ્યારે સંભવિત મોડેલોમાં પરિબળની એક અને સમાન સ્થિતિ પરિણામી વિશેષતાના રાજ્યોના સંપૂર્ણ સમૂહને અનુરૂપ છે [ટોલ્સ્ટોવા યુ. આર્થિક પ્રક્રિયાઓના ગાણિતિક વિશ્લેષણનું તર્ક. - એમ.: નૌકા, 2001, પૃષ્ઠ. 32-33].

નિર્ધારિત મોડેલોનો ફાયદો એ તેમની ઉપયોગમાં સરળતા છે. મુખ્ય ખામી એ વાસ્તવિકતાની ઓછી પર્યાપ્તતા છે, કારણ કે, ઉપર નોંધ્યા મુજબ, મોટાભાગની આર્થિક પ્રક્રિયાઓ પ્રકૃતિમાં સંભવિત છે.

સંભવિત મોડેલોનો ફાયદો એ છે કે, એક નિયમ તરીકે, તેઓ નિર્ધારિત કરતા વાસ્તવિકતા (વધુ પર્યાપ્ત) સાથે વધુ સુસંગત છે. જો કે, સંભવિત મોડેલોનો ગેરલાભ એ તેમની એપ્લિકેશનની જટિલતા અને શ્રમશીલતા છે, તેથી ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં તે પોતાને નિર્ધારિત મોડેલો સુધી મર્યાદિત કરવા માટે પૂરતું છે.

2. ફૂડ રાશન સમસ્યાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનું નિવેદન

પ્રથમ વખત, શ્રેષ્ઠ પરિવહન યોજના બનાવવાની દરખાસ્તના સ્વરૂપમાં રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનું નિર્માણ; 1930 માં સોવિયેત અર્થશાસ્ત્રી એ.એન. ટોલ્સટોયના કાર્યમાં કુલ માઇલેજ ઘટાડવાની મંજૂરી આપવામાં આવી હતી.

રશિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ એલ. વી. કેન્ટોરોવિચ, વી.એસ. નેમચિનોવ અને અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને અર્થશાસ્ત્રીઓના કાર્યોમાં રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાઓનો વ્યવસ્થિત અભ્યાસ અને તેમને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય પદ્ધતિઓનો વિકાસ વધુ કરવામાં આવ્યો હતો. ઉપરાંત, વિદેશી અને, સૌથી ઉપર, અમેરિકન વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા ઘણા કાર્યો રેખીય પ્રોગ્રામિંગ પદ્ધતિઓ માટે સમર્પિત છે.

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા એ લીનિયર ફંક્શનને મહત્તમ (ઓછી) કરવાની છે.

પ્રતિબંધો હેઠળ

અને બધા

ટિપ્પણી. અસમાનતાનો વિરોધી અર્થ પણ હોઈ શકે છે. અનુરૂપ અસમાનતાઓને (-1) વડે ગુણાકાર કરીને વ્યક્તિ હંમેશા ફોર્મ (*) ની સિસ્ટમ મેળવી શકે છે.

જો સમસ્યાના ગાણિતિક મોડેલમાં અવરોધ પ્રણાલીના ચલોની સંખ્યા અને ઉદ્દેશ્ય કાર્ય 2 હોય, તો તેને ગ્રાફિકલી ઉકેલી શકાય છે.

તેથી, આપણે અવરોધોની સંતોષકારક સિસ્ટમ માટે કાર્યને મહત્તમ કરવાની જરૂર છે.

ચાલો આપણે પ્રતિબંધોની સિસ્ટમની એક અસમાનતા તરફ વળીએ.

ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી, આ અસમાનતાને સંતોષતા તમામ બિંદુઓ કાં તો એક રેખા પર આવેલા હોવા જોઈએ અથવા આ રેખાના પ્લેનને વિભાજિત કરવામાં આવેલા અર્ધ-વિમાનોમાંના એક સાથે સંબંધિત હોવા જોઈએ. તે શોધવા માટે, તમારે તપાસ કરવાની જરૂર છે કે તેમાંના કયા ડોટ () ધરાવે છે.

ટિપ્પણી 2. જો, તો બિંદુ (0;0) લેવાનું સરળ છે.

બિન-નેગેટિવિટી શરતો પણ અર્ધ-વિમાનોને અનુક્રમે સીમા રેખાઓ સાથે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. અમે ધારીશું કે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ સુસંગત છે, પછી અર્ધ-વિમાન, છેદે છે, એક સામાન્ય ભાગ બનાવે છે, જે બહિર્મુખ સમૂહ છે અને બિંદુઓના સમૂહને રજૂ કરે છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ આ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે - આ સ્વીકાર્ય સમૂહ છે ઉકેલો આ બિંદુઓ (ઉકેલ) ના સમૂહને ઉકેલ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે. તે બિંદુ, કિરણ, બહુકોણ અથવા અનબાઉન્ડેડ બહુકોણ વિસ્તાર હોઈ શકે છે. આમ, રેખીય પ્રોગ્રામિંગનું કાર્ય નિર્ણય બહુકોણમાં એક બિંદુ શોધવાનું છે કે જેના પર ઉદ્દેશ્ય કાર્ય મહત્તમ (ન્યૂનતમ) મૂલ્ય લે છે. આ બિંદુ અસ્તિત્વમાં છે જ્યારે ઉકેલ બહુકોણ ખાલી ન હોય અને તેના પર ઉદ્દેશ્ય કાર્ય ઉપરથી (નીચેથી) બંધાયેલ હોય. ઉલ્લેખિત પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, ઉકેલ બહુકોણના શિરોબિંદુઓમાંથી એક પર, ઉદ્દેશ્ય કાર્ય મહત્તમ મૂલ્ય લે છે. આ શિરોબિંદુ નક્કી કરવા માટે, અમે એક સીધી રેખા બનાવીએ છીએ (જ્યાં h અમુક સ્થિર છે). મોટેભાગે એક સીધી રેખા લેવામાં આવે છે. આ લાઇનની હિલચાલની દિશા શોધવાનું બાકી છે. આ દિશા ઉદ્દેશ્ય કાર્યના ઢાળ (એન્ટિગ્રેડિયન્ટ) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

દરેક બિંદુ પરનો વેક્ટર રેખાને લંબરૂપ છે, તેથી જેમ જેમ રેખા ઢાળની દિશામાં આગળ વધે છે તેમ f નું મૂલ્ય વધશે (એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં ઘટાડો). આ કરવા માટે, સીધી રેખાની સમાંતર સીધી રેખાઓ દોરો, ઢાળ (એન્ટિ-ગ્રેડિયન્ટ) ની દિશામાં સ્થળાંતર કરો.

જ્યાં સુધી રેખા ઉકેલ બહુકોણના છેલ્લા શિરોબિંદુમાંથી પસાર ન થાય ત્યાં સુધી અમે આ બાંધકામો ચાલુ રાખીશું. આ બિંદુ શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય નક્કી કરે છે.

તેથી, ભૌમિતિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનો ઉકેલ શોધવામાં નીચેના પગલાં શામેલ છે:

રેખાઓ બાંધવામાં આવે છે, જેનાં સમીકરણો ચોક્કસ સમાનતા ચિહ્નો સાથે પ્રતિબંધોમાં અસમાનતા ચિહ્નોને બદલીને મેળવવામાં આવે છે.

સમસ્યાના દરેક અવરોધો દ્વારા નિર્ધારિત અર્ધ-વિમાનોને શોધો.

ઉકેલ બહુકોણ શોધો.

વેક્ટર બનાવો.

તેઓ એક સીધી રેખા બનાવી રહ્યા છે.

તેઓ ઢાળ અથવા એન્ટિગ્રેડિયન્ટની દિશામાં સમાંતર સીધી રેખાઓ બનાવે છે, જેના પરિણામે તેઓ તે બિંદુ શોધે છે કે જેના પર ફંક્શન મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્ય લે છે અથવા સ્થાપિત કરે છે કે ફંક્શન ઉપરથી (નીચેથી) અનબાઉન્ડેડ છે. સ્વીકાર્ય સમૂહ.

કાર્યના મહત્તમ (લઘુત્તમ) બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવામાં આવે છે અને આ બિંદુએ ઉદ્દેશ્ય કાર્યનું મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે.

તર્કસંગત પોષણ અંગેની સમસ્યા (ખાદ્ય રાશન અંગેની સમસ્યા)

સમસ્યાનું નિવેદન

ફાર્મ વ્યવસાયિક હેતુઓ માટે પશુધનને ચરબી આપે છે. સરળતા માટે, ચાલો ધારીએ કે ત્યાં ફક્ત ચાર પ્રકારના ઉત્પાદનો છે: P1, P2, P3, P4; દરેક ઉત્પાદનની એકમ કિંમત અનુક્રમે C1, C2, C3, C4 જેટલી છે. આ ઉત્પાદનોમાંથી તમારે આહાર બનાવવાની જરૂર છે જેમાં શામેલ હોવું આવશ્યક છે: પ્રોટીન - ઓછામાં ઓછા b1 એકમો; કાર્બોહાઇડ્રેટ્સ - ઓછામાં ઓછા b2 એકમો; ચરબી - ઓછામાં ઓછા b3 એકમો. ઉત્પાદનો P1, P2, P3, P4 માટે, પ્રોટીન, કાર્બોહાઇડ્રેટ્સ અને ચરબી (ઉત્પાદનના એકમ દીઠ એકમોમાં) ની સામગ્રી જાણીતી છે અને કોષ્ટકમાં ઉલ્લેખિત છે, જ્યાં aij (i=1,2,3,4; j=1 2,3) - કેટલીક ચોક્કસ સંખ્યાઓ; પ્રથમ ઇન્ડેક્સ ઉત્પાદન નંબર સૂચવે છે, બીજો - તત્વ નંબર (પ્રોટીન, કાર્બોહાઇડ્રેટ્સ, ચરબી).

એનર્જી લોડ ગ્રાફના સંભવિત-નિર્ધારિત ગાણિતિક અનુમાનિત મોડેલો આંકડાકીય અને નિર્ધારિત મોડેલોનું સંયોજન છે. તે આ મોડેલો છે જે પાવર વપરાશની બદલાતી પ્રક્રિયામાં શ્રેષ્ઠ આગાહીની ચોકસાઈ અને અનુકૂલનક્ષમતા સુનિશ્ચિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

તેઓ પર આધારિત છે પ્રમાણિત મોડેલિંગ ખ્યાલોલોડ્સ, એટલે કે પ્રમાણિત ગ્રાફ પર વાસ્તવિક ભારનું ઉમેરણ વિઘટન (મૂળભૂત ઘટક, નિર્ણાયક વલણ) અને શેષ ઘટક :

જ્યાં t- દિવસની અંદરનો સમય; ડી- દિવસની સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, વર્ષમાં.

પ્રમાણભૂત ઘટકમાં મોડેલિંગ દરમિયાન, તેઓ વ્યક્તિગત ઘટકોની ઉમેરણની પસંદગી પણ કરે છે જે ધ્યાનમાં લે છે: સરેરાશ મોસમી ભારમાં ફેરફાર ; વીજ વપરાશના સાપ્તાહિક ચક્રમાં ફેરફાર ; એક વલણ ઘટક જે સૂર્યોદય અને સૂર્યાસ્તના સમયથી ઋતુમાં ફેરફાર સાથે સંકળાયેલ વધારાની અસરોનું મોડેલ કરે છે ; ઘટક કે જે હવામાનશાસ્ત્રના પરિબળો પર વીજ વપરાશની અવલંબનને ધ્યાનમાં લે છે , ખાસ તાપમાનમાં, વગેરે.

ચાલો ઉપર જણાવેલ નિર્ણાયક અને આંકડાકીય મોડેલોના આધારે વ્યક્તિગત ઘટકોના મોડેલિંગ માટે વધુ વિગતવાર અભિગમોનો વિચાર કરીએ.

મોડેલિંગ સરેરાશ મોસમી ભાર ઘણીવાર સરળ મૂવિંગ એવરેજિંગનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

જ્યાં N એ પાછલા અઠવાડિયામાં n સમાવિષ્ટ સામાન્ય નિયમિત (કામના દિવસો) ની સંખ્યા છે. , કારણ કે "ખાસ", "અનિયમિત દિવસો", રજાઓ, વગેરેને અઠવાડિયામાંથી બાકાત રાખવામાં આવ્યા છે. છેલ્લા n અઠવાડિયામાં સરેરાશ ડેટા દ્વારા દૈનિક અપડેટ્સ હાથ ધરવામાં આવે છે.

સાપ્તાહિક ચક્રનું સિમ્યુલેશન ફોર્મની સરેરાશ ખસેડીને પણ હાથ ધરવામાં આવે છે

છેલ્લા n અઠવાડિયામાં ડેટાની સરેરાશ દ્વારા અથવા ઘાતાંકીય રીતે ભારિત મૂવિંગ એવરેજનો ઉપયોગ કરીને સાપ્તાહિક અપડેટ કરવામાં આવે છે:

પ્રાયોગિક રીતે નિર્ધારિત સ્મૂથિંગ પેરામીટર ક્યાં છે ( ).

મોડેલિંગના કામમાં અને સાત ઘટકો વપરાય છે , અઠવાડિયાના દરેક દિવસ માટે, અને દરેક ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ મોડલનો ઉપયોગ કરીને અલગથી નિર્ધારિત.

મોડેલિંગ માટેના કામના લેખકો હોલ્ટ-વિન્ટર્સ પ્રકારના ડબલ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગનો ઉપયોગ થાય છે. મોડેલિંગના કામમાં ફોર્મની હાર્મોનિક રજૂઆતનો ઉપયોગ કરો

પ્રયોગમૂલક ડેટા પરથી અંદાજિત પરિમાણો સાથે (મૂલ્ય “52” વર્ષમાં અઠવાડિયાની સંખ્યા નક્કી કરે છે). જો કે, આ કાર્યમાં આ પરિમાણોના અનુકૂલનશીલ ઓપરેશનલ અંદાજની સમસ્યા સંપૂર્ણપણે હલ થઈ નથી.

મોડેલિંગ , કેટલાક કિસ્સાઓમાં, ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે મર્યાદિત ફોરિયર શ્રેણી: સાપ્તાહિક સમયગાળા સાથે, દૈનિક સમયગાળા સાથે, અથવા અનુક્રમે પાંચ અને બે દિવસના સમયગાળા સાથે, કાર્યકારી અને સપ્તાહના દિવસોના અલગ મોડેલિંગ સાથે:

વલણ ઘટકનું મોડેલ બનાવવા માટે 2જી - 4ઠ્ઠી ઓર્ડરના બહુપદીનો ઉપયોગ કરો અથવા વિવિધ બિનરેખીય પ્રયોગમૂલક કાર્યોનો ઉપયોગ કરો, ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મના:

પ્રમાણમાં ધીમા સ્મૂથ્ડ લોડ ફેરફારોનું વર્ણન કરતું ચોથી-ડિગ્રી બહુપદી ક્યાં છે ઋતુઓ અનુસાર દિવસ દરમિયાન; , , – ઋતુ પ્રમાણે સૂર્યોદય અને સૂર્યાસ્તના સમયમાં ફેરફારો સાથે સંકળાયેલ મોડેલિંગ અસરો.

હવામાનશાસ્ત્રના પરિબળો પર વીજ વપરાશની નિર્ભરતાને ધ્યાનમાં લેવા માટે, કેટલાક કિસ્સાઓમાં વધારાના ઘટકની રજૂઆત કરવામાં આવે છે. . કાર્ય સૈદ્ધાંતિક રીતે સમાવેશને સમર્થન આપે છે મોડેલમાં, પરંતુ તાપમાનની અસરના મોડેલિંગની શક્યતાઓને માત્ર મર્યાદિત હદ સુધી જ ગણવામાં આવે છે. આમ, તાપમાન ઘટકનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે ઇજિપ્તની પરિસ્થિતિઓ માટે, બહુપદી મોડેલનો ઉપયોગ થાય છે

t-th કલાકે હવાનું તાપમાન ક્યાં છે.

એક-પરિમાણીય ઓટોરેગ્રેસિવ ઈન્ટિગ્રેટેડ મૂવિંગ એવરેજ (ARISS) મોડલ દ્વારા રજૂ કરાયેલ સામાન્ય ડેટા સાથે, પ્રક્રિયાના શિખરો અને ચાટને એકાઉન્ટ તાપમાનને "સામાન્ય" કરવા માટે રીગ્રેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

મોડેલિંગ માટે પણ વપરાય છે તાપમાનને ધ્યાનમાં લેતા, પુનરાવર્તિત કાલમેન ફિલ્ટર, જેમાં બાહ્ય પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે - તાપમાનની આગાહી. અથવા તેઓ ટૂંકા ગાળાની શ્રેણીમાં કલાકદીઠ લોડના બહુપદી ઘન પ્રક્ષેપનો ઉપયોગ કરે છે અને મોડેલમાં તાપમાનના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લે છે.

સરેરાશ દૈનિક તાપમાનની આગાહીઓ, વિશ્લેષણ પ્રક્રિયાના અમલીકરણ માટે વિવિધ હવામાન પરિસ્થિતિઓ અને તે જ સમયે મોડેલની સ્થિરતા વધારવા માટે, મૂવિંગ એવરેજ મોડલના વિશેષ ફેરફારનો ઉપયોગ કરવાની દરખાસ્ત છે.

,

જ્યાં સંભાવનાઓ સાથે સંકળાયેલ વિવિધ હવામાન પરિસ્થિતિઓ માટે m લોડ ગ્રાફની શ્રેણી રચાય છે , અને આગાહીને શરતી ગાણિતિક અપેક્ષા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બેયસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સંભાવનાઓને અપડેટ કરવામાં આવે છે કારણ કે નવા વાસ્તવિક લોડ મૂલ્યો અને પરિબળો દિવસ દરમિયાન ઉપલબ્ધ થાય છે.

મોડેલિંગ અવશેષ ઘટક હવામાનશાસ્ત્ર અને અન્ય બાહ્ય પરિબળોને ધ્યાનમાં લેતા, એક-પરિમાણીય મોડલ અને બહુપરિમાણીય બંનેનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. આમ, ઑર્ડર k નું ઑટોરેગ્રેસિવ મોડલ AR(k) ઘણીવાર એક-પરિમાણીય (એક-પરિબળ) મૉડલ તરીકે વપરાય છે.

,

શેષ સફેદ અવાજ ક્યાં છે. કલાકદીઠ (અડધા-કલાક) રીડિંગ્સની આગાહી કરવા માટે, AR(1), AR(2) અને AR(24) મોડલનો પણ ઉપયોગ થાય છે. જો સામાન્યકૃત ARISS મોડેલ માટે વપરાય છે કોઈપણ રીતે, તેની એપ્લિકેશન પાંચ-મિનિટ અને કલાકદીઠ લોડ માપન બંને માટે મોડલ AR(1), AR(2) પર આવે છે.

ઘટકનું મોડેલિંગ કરવા માટેનું બીજું એક-પરિબળ મોડેલ મોડેલ સિંગલ અથવા ડબલ છે ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ. આ મોડલ તમને શેષ લોડમાં ફેરફાર થતાં ટૂંકા ગાળાના વલણોને અસરકારક રીતે ઓળખવા દે છે. સરળતા, અર્થતંત્ર, પુનરાવર્તિતતા અને કોમ્પ્યુટેશનલ કાર્યક્ષમતા વ્યાપક એપ્લિકેશન સાથે ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પદ્ધતિ પ્રદાન કરે છે. સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ સ્થિરાંકો પર અને બે ઘાતાંકીય સરેરાશ નક્કી કરો અને . શેષ ઘટકની આગાહી સૂત્ર દ્વારા સક્રિયપણે નિર્ધારિત