વ્યાખ્યા:લંબગોળ એ પ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકમાંથી બે આપેલ બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો સ્થિર છે.

M એ અંડાકારનું મનસ્વી બિંદુ છે. O – મધ્યમ F 1 F 2 . F 1 F 2 =2s. અંતરનો સરવાળો 2a છે અમે સંકલન પ્રણાલીને એવી રીતે પસંદ કરીએ છીએ કે Ox F 1, F 2 માંથી પસાર થાય છે અને Oy 2c ને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

F 1 M+ F 2 M=2a. - લંબગોળનું ur-e.

ચાલો પરિવર્તન કરીએ: ; 2a>2c, a>c,a 2 -c 2 = b 2

તે સ્પષ્ટ છે કે અંડાકારનો દરેક બિંદુ આ સમીકરણને સંતોષે છે. પરંતુ કારણ કે રૂપાંતર પ્રક્રિયા દરમિયાન, અમે બંને બાજુઓને બે વાર સ્ક્વેર્ડ કર્યા, પછી તે તપાસવું જરૂરી છે કે શું વધારાના પોઈન્ટ પ્રાપ્ત થયા છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તમારે તપાસવાની જરૂર છે કે સમીકરણનો દરેક બિંદુ (4) એલિપ્સ સાથે સંબંધિત છે. ચાલો પહેલા સમીકરણ (4) ને અનુરૂપ રેખાના આકાર વિશે થોડી ટિપ્પણી કરીએ.

. સમીકરણો પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે સીધી રેખા મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે. વધવા સાથે 0 થી a b થી 0 સુધી ઘટે છે. વળાંકના બિંદુઓ લંબચોરસમાં આવેલા છે

ચાલો હવે તપાસીએ કે પરિણામી સમીકરણ દ્વારા નિર્ધારિત રેખા પરનો દરેક બિંદુ એલિપ્સ સાથે સંબંધિત છે. આ કરવા માટે, તે દર્શાવવું જરૂરી છે કે જો બિંદુ M(x 0,y 0) ના કોઓર્ડિનેટ્સ સંતોષે છે (4) તો F 1 M+ F 2 M=2a.

આમ, કોઈ વધારાના પોઈન્ટ દેખાતા નથી.

સંખ્યાઓ અને - અંડાકારના મુખ્ય અને નાના અર્ધ-અક્ષો F 1, F 2 - અંડાકારનું કેન્દ્ર.

મુ
અમે મેળવીએ છીએ
- વર્તુળનું સમીકરણ.

અંડાકારના પેરામેટ્રિક સમીકરણો: ચાલો ત્રિજ્યા સાથે બે વર્તુળો બનાવીએ અને મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે. બિંદુ O થી આપણે T કોણ પર Ox તરફ વળેલું કિરણ દોરીએ છીએ. ચાલો B દ્વારા આડી રેખા દોરીએ અને A દ્વારા ઊભી રેખા દોરીએ. t ને 0 થી 2 π સુધી બદલીને, બિંદુ M એક લંબગોળનું વર્ણન કરશે.
- લંબગોળ સમીકરણના પરિમાણો. a=b માટે આપણને મળે છે
- પેરામેટ્રિક સમીકરણોવર્તુળો

વ્યાખ્યા.અંડાકારની વિષમતા એ તેના મુખ્ય ધરીની લંબાઇ અને ફોસી વચ્ચેના અડધા અંતરનો ગુણોત્તર છે: .

કારણ કે
, તેથી < 1.
, તેથી,

ટિપ્પણી:અંડાકારની વિલક્ષણતાને તેના વિસ્તરણના માપ તરીકે ગણી શકાય. વિષમતા જેટલી વધારે છે, તેટલો નાનો ગુણોત્તર (એલિપ્સના નાના અક્ષ અને તેના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષનો).

હાયપરબોલાની તરંગીતા.

વ્યાખ્યા:હાયપરબોલા એ પ્લેન પરના બિંદુઓનું સ્થાન છે જેના માટે આ પ્લેનના બે નિશ્ચિત બિંદુઓ F 1 અને F 2 ના અંતરમાં તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય, જેને ફોસી કહેવાય છે, તે સ્થિર મૂલ્ય છે અને 0 ની બરાબર નથી.

ચાલો ફરીથી F 1 F 2 સેગમેન્ટની મધ્યમાં કોઓર્ડિનેટ અક્ષો અને મૂળ પસંદ કરીએ. અંતર F 1 F 2 2s છે. અને આપણે 2a દ્વારા અંતરમાં તફાવત દર્શાવીએ છીએ.

વ્યાખ્યામાંથી અમારી પાસે છે:
. 2a<2c, а

અને અમારો અર્થ છે:

ચાલો તેને ચોરસ કરીએ.

ફરીથી ચોરસ. સરળ પરિવર્તનો પછી આપણને મળે છે:

દ્વારા બંને ભાગોનું વિભાજન
અમને મળે છે:
.

અંડાકારના કિસ્સામાં, તે તપાસવું જરૂરી છે કે તેને બે વાર ચોરસ કરવા છતાં, અમને વધારાના પોઈન્ટ મળશે નહીં. અને તેથી સમીકરણ (1) એ અતિપરવલયનું સમીકરણ છે.

ચાલો પહેલા સમીકરણ (1) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાના કેટલાક ગુણધર્મોની નોંધ લઈએ. સમીકરણ (1) પરથી તે અનુસરે છે
.

રેખા (1) સંકલન અક્ષોના સંદર્ભમાં અને મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. તે સ્પષ્ટ છે કે
. તો ગલીમાં
ત્યાં કોઈ વળાંક બિંદુઓ નથી. પરિણામે, વળાંકમાં બે અલગ શાખાઓનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંથી એક અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે.
(જમણી શાખા), અને બીજી - અડધા વિમાનમાં -
(ડાબી શાખા).

સમીકરણ (1) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખા પર M(x 0,y 0) ને મનસ્વી બિંદુ બનવા દો.
. જો આપણે તે સાબિત કરીએ
, પછી આપણે સાબિત કરીશું કે સમીકરણ (1) એક અતિપરવલય સમીકરણ છે.

પછી આપણે આ સૂત્રમાં y 0 ને બદલીએ, કૌંસ ખોલીએ, સમાન આપીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ કે
ચાલો દરેક મૂળ હેઠળ સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ. પરિણામે આપણને મળે છે:
. દો
(જમણી શાખાના બિંદુઓ માટે), પછી.

મુ
(ડાબી શાખાના બિંદુઓ માટે) પછી.

આમ . અમે તે મેળવીએ છીએ
. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ (1) એ અતિપરવલય સમીકરણ છે. ત્યાં કોઈ વધારાના પોઈન્ટ ન હતા.

સંખ્યા aને અતિપરવલાની વાસ્તવિક અર્ધ-અક્ષ કહેવામાં આવે છે, સંખ્યા bને કાલ્પનિક અર્ધ-અક્ષ કહેવામાં આવે છે. હાયપરબોલાના તેના સમપ્રમાણતાની ધરી સાથે આંતરછેદના બિંદુઓને અતિપરવલાના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. પોઈન્ટ્સ F 1 અને F 2 એ હાઈપરબોલાના કેન્દ્રબિંદુ છે.

વિશે
ચાલો હાયપરબોલા ફોર્મ્યુલાના વધુ એક લક્ષણની નોંધ લઈએ. હાઇપરબોલા સાથે, સીધી રેખાઓની જોડીને ધ્યાનમાં લો
. પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં, સમાન એબ્સીસા સાથે, હાયપરબોલાના બિંદુઓના ઓર્ડિનેટ્સ સીધી રેખાના અનુરૂપ બિંદુઓના અનુરૂપ ઓર્ડિનેટ્સ કરતા ઓછા હોય છે, કારણ કે
. , કારણ કે . તે. હાયપરબોલાના બિંદુઓ, એબ્સીસામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, સીધી રેખાના અનુરૂપ બિંદુઓની ઇચ્છા મુજબ નજીક આવે છે
. સમપ્રમાણતાને કારણે, અન્ય ચતુર્થાંશમાં અતિપરવલયના બિંદુઓ અનિશ્ચિતપણે રેખાઓના બિંદુઓની નજીક આવે છે જ્યારે
.

પ્રત્યક્ષ
- હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ. હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ 2a અને 2b બાજુઓવાળા લંબચોરસના કર્ણ સાથે નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, જે હાયપરબોલાના સમપ્રમાણતા અક્ષોની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે.

જો a=b હોય તો અતિપરવલયનું સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે
. આવા હાઇપરબોલાને સમભુજ કહેવાય છે.

હાયપરબોલાની વિલક્ષણતા.ચલો c ને હાયપરબોલાના ફોસી વચ્ચેનું અડધું અંતર છે, અને હાયપરબોલાના વાસ્તવિક અર્ધ-અક્ષ બનવા દો.

વ્યાખ્યા:હાઇપરબોલાની વિલક્ષણતા એ જથ્થો છે .

c,a,b વચ્ચેના જોડાણને ધ્યાનમાં લેતા આપણને મળે છે:
. હાયપરબોલાની તરંગીતા 1 કરતા વધારે છે.

ટિપ્પણી:હાયપરબોલાની તરંગીતાને તેના એસિમ્પ્ટોટ્સ વચ્ચેના ખૂણાના મૂલ્ય તરીકે ગણી શકાય, કારણ કે
, જ્યાં φ એ હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ વચ્ચેના ખૂણાનું મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા 7.1.પ્લેન પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ જેના માટે બે નિશ્ચિત બિંદુઓ F 1 અને F 2 સુધીના અંતરનો સરવાળો આપેલ સ્થિર મૂલ્ય કહેવાય છે. લંબગોળ

અંડાકારની વ્યાખ્યા તેના ભૌમિતિક બાંધકામની નીચેની પદ્ધતિ આપે છે. અમે પ્લેન પર બે બિંદુઓ F 1 અને F 2 ઠીક કરીએ છીએ, અને 2a દ્વારા બિન-નકારાત્મક સ્થિર મૂલ્ય દર્શાવીએ છીએ. બિંદુ F 1 અને F 2 વચ્ચેનું અંતર 2c થવા દો. ચાલો કલ્પના કરીએ કે લંબાઈ 2a નો અક્ષમ થ્રેડ F 1 અને F 2 બિંદુઓ પર નિશ્ચિત છે, ઉદાહરણ તરીકે, બે સોયનો ઉપયોગ કરીને. તે સ્પષ્ટ છે કે આ ફક્ત ≥ c માટે જ શક્ય છે. પેંસિલથી દોરાને ખેંચીને, એક રેખા દોરો, જે લંબગોળ હશે (ફિગ. 7.1).

તેથી, વર્ણવેલ સમૂહ ખાલી નથી જો a ≥ c. જ્યારે a = c, લંબગોળ એ F 1 અને F 2 ના અંત સાથેનો સેગમેન્ટ છે અને જ્યારે c = 0, એટલે કે. જો અંડાકારની વ્યાખ્યામાં નિર્દિષ્ટ નિયત બિંદુઓ એકરૂપ થાય, તો તે ત્રિજ્યા aનું વર્તુળ છે. આ અધોગતિના કેસોને છોડી દેવાથી, અમે નિયમ તરીકે, આગળ ધારીશું કે a > c > 0.

અંડાકારની વ્યાખ્યા 7.1 માં નિશ્ચિત બિંદુઓ F 1 અને F 2 કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 7.1 જુઓ) લંબગોળ કેન્દ્ર, તેમની વચ્ચેનું અંતર, 2c દ્વારા દર્શાવેલ છે, - ફોકલ લંબાઈ, અને સેગમેન્ટ્સ F 1 M અને F 2 M કનેક્ટિંગ મનસ્વી બિંદુ M તેના ફોસી સાથે લંબગોળ પર, - ફોકલ ત્રિજ્યા.

લંબગોળનો આકાર કેન્દ્રીય લંબાઈ |F 1 F 2 | દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે = 2c અને પરિમાણ a, અને પ્લેન પર તેની સ્થિતિ - પોઈન્ટ F 1 અને F 2 ની જોડી.

લંબગોળની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તે ફોસી F 1 અને F 2માંથી પસાર થતી રેખાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, તેમજ તે રેખાના સંદર્ભમાં જે F 1 F 2 સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે અને તેની લંબ છે. (ફિગ. 7.2, એ). આ રેખાઓ કહેવામાં આવે છે લંબગોળ અક્ષો. તેમના આંતરછેદનો બિંદુ O એ અંડાકારની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે, અને તેને કહેવામાં આવે છે લંબગોળનું કેન્દ્ર, અને સમપ્રમાણતાની અક્ષો સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ (અંજીર 7.2, a માં A, B, C અને D બિંદુઓ) - લંબગોળના શિરોબિંદુઓ.

નંબર a કહેવાય છે અંડાકારની અર્ધ મુખ્ય ધરી, અને b = √(a 2 - c 2) - તેના નાની અક્ષ. તે જોવાનું સરળ છે કે c > 0 માટે, અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ એ એલિપ્સના કેન્દ્રથી તેના શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતર જેટલો છે જે લંબગોળના કેન્દ્રબિંદુ સાથે સમાન ધરી પર છે (શિરોબિંદુ A અને B ફિગ. 7.2, a) માં, અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ b એ કેન્દ્ર લંબગોળથી તેના અન્ય બે શિરોબિંદુઓ (ફિગ. 7.2, a માં શિરોબિંદુઓ C અને D) ના અંતર જેટલું છે.

અંડાકાર સમીકરણ.ચાલો F 1 અને F 2 બિંદુઓ, મુખ્ય અક્ષ 2a પર ફોકસ સાથે સમતલ પરના કેટલાક લંબગોળોને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો 2c ને કેન્દ્રીય લંબાઈ, 2c = |F 1 F 2 |

ચાલો પ્લેન પર એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ઓક્સી પસંદ કરીએ જેથી તેનું મૂળ લંબગોળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય અને તેનું ફોસી ચાલુ હોય. x-અક્ષ(ફિગ. 7.2, બી). આવી સંકલન પ્રણાલી કહેવામાં આવે છે પ્રમાણભૂતપ્રશ્નમાં લંબગોળ માટે, અને અનુરૂપ ચલો છે પ્રમાણભૂત.

પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, ફોસીમાં F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે. બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શરત |F 1 M| લખીએ છીએ + |F 2 M| કોઓર્ડિનેટ્સમાં = 2a:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

આ સમીકરણ અસુવિધાજનક છે કારણ કે તેમાં બે ચોરસ રેડિકલ છે. તો ચાલો તેને રૂપાંતરિત કરીએ. ચાલો સમીકરણ (7.2) માં બીજા આમૂલને ખસેડીએ જમણી બાજુઅને તેને ચોરસ કરો:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

કૌંસ અને કાસ્ટિંગ ખોલ્યા પછી સમાન શરતોઅમે મેળવીએ છીએ

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

જ્યાં ε = c/a. અમે બીજા રેડિકલને દૂર કરવા માટે સ્ક્વેરિંગ ઑપરેશનનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, અથવા, દાખલ કરેલ પરિમાણ ε, (a 2 - c 2) ના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . ત્યારથી a 2 - c 2 = b 2 > 0, પછી

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

સમીકરણ (7.4) એલિપ્સ પર આવેલા તમામ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ છે. પરંતુ આ સમીકરણ મેળવતી વખતે, બિનસમાન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો મૂળ સમીકરણ(7.2) - બે ચોરસ, દૂર કરી રહ્યા છીએ ચોરસ રેડિકલ. સમીકરણનું વર્ગીકરણ છે સમકક્ષ પરિવર્તન, જો તેના બંને ભાગોની કિંમતો c સમાન નિશાની સાથે, પરંતુ અમે અમારા પરિવર્તનમાં આ તપાસ્યું નથી.

જો આપણે નીચેની બાબતોને ધ્યાનમાં લઈએ તો આપણે પરિવર્તનની સમાનતાને તપાસવાનું ટાળી શકીએ છીએ. પોઈન્ટની જોડી F 1 અને F 2, |F 1 F 2 | = 2c, પ્લેન પર આ બિંદુઓ પર ફોસી સાથે લંબગોળોના પરિવારને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પ્લેનનો દરેક બિંદુ, F 1 F 2 સેગમેન્ટના બિંદુઓ સિવાય, સૂચવેલ પરિવારના અમુક લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે. આ કિસ્સામાં, કોઈ બે લંબગોળ છેદે નથી, કારણ કે કેન્દ્રીય ત્રિજ્યાનો સરવાળો વિશિષ્ટ રીતે ચોક્કસ લંબગોળ નક્કી કરે છે. તેથી, આંતરછેદ વગરના લંબગોળોનું વર્ણવેલ કુટુંબ F 1 F 2 સેગમેન્ટના બિંદુઓ સિવાય, સમગ્ર વિમાનને આવરી લે છે. ચાલો બિંદુઓના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેના કોઓર્ડિનેટ સમીકરણ (7.4) ને પરિમાણ a ના આપેલ મૂલ્ય સાથે સંતોષે છે. શું આ સમૂહને અનેક લંબગોળો વચ્ચે વહેંચી શકાય? સમૂહના કેટલાક બિંદુઓ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ a સાથે લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે. અર્ધ મુખ્ય ધરી a સાથે લંબગોળ પર આવેલા આ સમૂહમાં એક બિંદુ હોવા દો. પછી આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણનું પાલન કરે છે

તે સમીકરણો (7.4) અને (7.5) ધરાવે છે સામાન્ય ઉકેલો. જો કે, તે સિસ્ટમ ચકાસવા માટે સરળ છે

ã ≠ a માટે કોઈ ઉકેલ નથી. આ કરવા માટે, તે બાકાત કરવા માટે પૂરતું છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ સમીકરણમાંથી x:

જે પરિવર્તન પછી સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે

જેની પાસે ã ≠ a માટે કોઈ ઉકેલ નથી, ત્યારથી. તેથી, (7.4) એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ a > 0 અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ b =√(a 2 - c 2) > 0 સાથે લંબગોળનું સમીકરણ છે. તેને કહેવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત લંબગોળ સમીકરણ.

લંબગોળ દૃશ્ય.ઉપર ચર્ચા કરી ભૌમિતિક પદ્ધતિલંબગોળ બાંધવાથી પૂરતો ખ્યાલ આવે છે દેખાવલંબગોળ પરંતુ લંબગોળના આકારનો પણ તેના પ્રામાણિક સમીકરણ (7.4) નો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે y ≥ 0 ધારીને, x દ્વારા y ને વ્યક્ત કરી શકો છો: y = b√(1 - x 2 /a 2), અને, આ કાર્યનો અભ્યાસ કર્યા પછી, તેનો ગ્રાફ બનાવી શકો છો. એલિપ્સ બનાવવાની બીજી રીત છે. લંબગોળ (7.4) ની પ્રામાણિક સંકલન પ્રણાલીના મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા aનું વર્તુળ સમીકરણ x 2 + y 2 = a 2 દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. જો તે ગુણાંક a/b > 1 સાથે સંકુચિત છે y-અક્ષ, પછી તમને એક વળાંક મળે છે જે સમીકરણ x 2 + (ya/b) 2 = a 2, એટલે કે, એક લંબગોળ દ્વારા વર્ણવેલ છે.

ટિપ્પણી 7.1.જો સમાન વર્તુળ a/b પરિબળ દ્વારા સંકુચિત હોય

લંબગોળ તરંગીતા. અંડાકારની કેન્દ્રીય લંબાઈ અને તેની મુખ્ય ધરીનો ગુણોત્તર કહેવાય છે અંડાકારની તરંગીતાઅને ε દ્વારા સૂચિત. આપેલ એક લંબગોળ માટે

પ્રમાણભૂત સમીકરણ (7.4), ε = 2c/2a = c/a. જો (7.4) માં પરિમાણો a અને b અસમાનતા a દ્વારા સંબંધિત છે

જ્યારે c = 0, જ્યારે લંબગોળ વર્તુળમાં ફેરવાય છે, અને ε = 0. અન્ય કિસ્સાઓમાં, 0

સમીકરણ (7.3) એ સમીકરણ (7.4) ની સમકક્ષ છે, કારણ કે સમીકરણો (7.4) અને (7.2) સમકક્ષ છે. તેથી, લંબગોળનું સમીકરણ પણ છે (7.3). વધુમાં, સંબંધ (7.3) રસપ્રદ છે કારણ કે તે લંબાઈ |F 2 M| માટે સરળ, આમૂલ-મુક્ત સૂત્ર આપે છે. અંડાકારના બિંદુ M(x; y) ના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યામાંથી એક: |F 2 M| = a + εx.

બીજા ફોકલ ત્રિજ્યા માટે સમાન સૂત્ર સપ્રમાણતાના વિચારણાઓમાંથી અથવા ગણતરીઓનું પુનરાવર્તન કરીને મેળવી શકાય છે જેમાં, સમીકરણ (7.2) વર્ગીકરણ કરતા પહેલા, પ્રથમ રેડિકલને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, અને બીજામાં નહીં. તેથી, લંબગોળ પર કોઈપણ બિંદુ M(x; y) માટે (જુઓ આકૃતિ. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

અને આ દરેક સમીકરણો એલિપ્સનું સમીકરણ છે.

ઉદાહરણ 7.1.ચાલો અર્ધમેજર અક્ષ 5 અને વિલક્ષણતા 0.8 સાથે લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ શોધીએ અને તેનું નિર્માણ કરીએ.

અંડાકાર a = 5 અને વિષમતા ε = 0.8 ના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષને જાણીને, આપણે તેની અર્ધ-ગૌણ ધરી b શોધીશું. ત્યારથી b = √(a 2 - c 2), અને c = εa = 4, પછી b = √(5 2 - 4 2) = 3. તેથી પ્રામાણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ x 2 /5 2 + y 2 /3 છે 2 = 1. અંડાકાર બાંધવા માટે, કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની ઉત્પત્તિ પર કેન્દ્ર સાથે લંબચોરસ દોરવાનું અનુકૂળ છે, જેની બાજુઓ અંડાકારની સમપ્રમાણતા અક્ષોની સમાંતર છે અને તેના અનુરૂપ અક્ષો (ફિગ. 7.4). આ લંબચોરસ સાથે છેદે છે

લંબગોળની અક્ષો તેના શિરોબિંદુઓ A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), અને તેમાં લંબગોળ પોતે જ અંકિત છે. ફિગ માં. 7.4 એ એલિપ્સનું ફોસી F 1.2 (±4; 0) પણ દર્શાવે છે.

લંબગોળના ભૌમિતિક ગુણધર્મો.ચાલો પ્રથમ સમીકરણને (7.6) માં |F 1 M| તરીકે ફરીથી લખીએ = (a/ε - x)ε. નોંધ કરો કે a > c માટે a/ε - x એ ધન છે, કારણ કે ફોકસ F 1 એલિપ્સ સાથે સંબંધિત નથી. આ મૂલ્ય આ રેખાની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ M(x; y) થી ઊભી રેખા d: x = a/ε સુધીનું અંતર દર્શાવે છે. લંબગોળ સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

તેનો અર્થ એ છે કે આ લંબગોળ પ્લેનના તે બિંદુઓ M(x; y) નો સમાવેશ કરે છે જેના માટે કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા F 1 M ની લંબાઈ અને સીધી રેખા d ના અંતરનો ગુણોત્તર ε (ફિગ. 7.5).

સીધી રેખા d માં "ડબલ" હોય છે - લંબગોળના કેન્દ્રની સાપેક્ષ d ની સપ્રમાણતા, જે સમીકરણ x = -a/ε દ્વારા આપવામાં આવે છે, d ના સંદર્ભમાં, અંડાકારમાં વર્ણવેલ છે એ જ રીતે ડીના સંદર્ભમાં. બંને રેખાઓ d અને d" કહેવામાં આવે છે એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ. એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એ એલિપ્સની સમપ્રમાણતાના અક્ષને લંબરૂપ હોય છે કે જેના પર તેનું ફોસી સ્થિત હોય છે, અને તે અંડાકારના કેન્દ્રથી a/ε = a 2 /c (અંજીર 7.5 જુઓ) ના અંતરે આવેલા હોય છે.

ડાયરેક્ટ્રીક્સથી તેની સૌથી નજીકના ફોકસ સુધીનું અંતર p કહેવાય છે લંબગોળનું કેન્દ્રીય પરિમાણ. આ પરિમાણ બરાબર છે

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

લંબગોળનું બીજું મહત્ત્વ છે ભૌમિતિક મિલકત: કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા F 1 M અને F 2 M બિંદુ M પર લંબગોળની સ્પર્શક સમાન છે સમાન ખૂણા(ફિગ. 7.6).

આ મિલકત સ્પષ્ટ છે ભૌતિક અર્થ. જો પ્રકાશ સ્ત્રોતને F 1 ફોકસ પર મૂકવામાં આવે છે, તો આ ફોકસમાંથી નીકળતું કિરણ, લંબગોળમાંથી પ્રતિબિંબ પછી, બીજા કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા સાથે જશે, કારણ કે પ્રતિબિંબ પછી તે પ્રતિબિંબ પહેલાંના વળાંકના સમાન ખૂણા પર હશે. આમ, ફોકસ F 1 માંથી નીકળતા તમામ કિરણો બીજા ફોકસ F 2 માં કેન્દ્રિત થશે અને તેનાથી વિપરિત. આ અર્થઘટનના આધારે, આ મિલકત કહેવામાં આવે છે એલિપ્સની ઓપ્ટિકલ પ્રોપર્ટી.

લંબગોળ દોરતા પહેલા, ચાલો તેના કેટલાક ગુણધર્મો શોધીએ.

મિલકત 33.1. એક લંબગોળમાં સમપ્રમાણતાના બે પરસ્પર લંબ અક્ષો હોય છે, જેમાંથી એક તેના ફોસી અને સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર ધરાવે છે. જો અંડાકાર પ્રમાણભૂત સમીકરણ (33.4) દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો તેની સમપ્રમાણતાની અક્ષો Ox અને Oy અક્ષો છે, અને મૂળ સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે.

પુરાવો. ચાલો સમીકરણના આધારે સાબિતી આપીએ (33.4).

લંબગોળને સમીકરણ (33.4) અને દ્વારા આપવામાં આવે છે M 1 (x 1 ;y 1)–– લંબગોળનો અમુક બિંદુ. પછી

ડોટ M 2 (-x 1 ; y 1)બિંદુ છે સપ્રમાણ બિંદુ M 1 ઓય અક્ષને સંબંધિત છે (ફિગ. 33.2).

ચોખા. 33.2 પોઈન્ટની સમપ્રમાણતા

અમે બિંદુ M 2 પર સમીકરણ (33.4) ની ડાબી બાજુના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ

સમાનતા (33.6) ના આધારે, અમે મેળવીએ છીએ

તેથી બિંદુ એમ 2લંબગોળ પર આવેલું છે. ડોટ M 3 (x 1 ; -y 1)બિંદુ માટે સપ્રમાણ બિંદુ છે એમ 1ધરીને સંબંધિત બળદ(ફિગ. 33.2). તેના માટે, એવી જ રીતે અમને ખાતરી છે કે

તે છે એમ 3એલિપ્સનો એક બિંદુ છે. છેલ્લે મુદ્દો M 4 (-x 1 ; -y 1)બિંદુ માટે સપ્રમાણ છે એમ 1મૂળને સંબંધિત (ફિગ. 33.2). અગાઉની દલીલોને પુનરાવર્તિત કરતાં, આપણે શોધીએ છીએ કે આ બિંદુ પણ લંબગોળ પર આવેલું છે. તેથી, જો અંડાકારમાં સમીકરણ હોય તો નિવેદન સાબિત થાય છે (33.4). અને ત્યારથી, પ્રમેય 1 દ્વારા, અમુક સંકલન પ્રણાલીમાં કોઈપણ લંબગોળ આવા સમીકરણ ધરાવે છે, લેમ્મા સંપૂર્ણપણે સાબિત થાય છે.

ચાલો એક લંબગોળ બનાવીએ, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે(33.4). નોંધ કરો કે સમપ્રમાણતાને લીધે, ઉપલા અર્ધ-વિમાનમાં પડેલા લંબગોળ ભાગને દોરવા માટે તે પૂરતું છે. અમે સમીકરણ (33.4) માંથી y વ્યક્ત કરીને અને મૂળની સામે “+” ચિહ્ન લઈને આ રેખાનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ,

ચાલો આ ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ. વ્યાખ્યાનું ડોમેન - સેગમેન્ટ [-a; a], y(0)=b, વધતા ચલ સાથે xથી 0 થી aકાર્ય એકવિધ રીતે ઘટે છે. અક્ષની સાપેક્ષ ગ્રાફની સમપ્રમાણતાને કારણે ઓયકાર્ય yએકવિધ રીતે વધે છે કારણ કે તે બદલાય છે -aથી 0 . વ્યુત્પન્ન અંતરાલના તમામ બિંદુઓ પર વ્યાખ્યાયિત (0; એ)અને, તેથી, આલેખ સરળ છે (કિંક્સ સમાવતું નથી, કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક હોય છે). બીજું વ્યુત્પન્ન અંતરાલના તમામ બિંદુઓ પર નકારાત્મક (a; b), તેથી, આલેખ ઉપરની તરફ બહિર્મુખ છે.

સેગમેન્ટના છેડા નજીક વળાંકનું વર્તન [-α; α]. ચાલો સમીકરણમાંથી ચલ વ્યક્ત કરીએ (33.4) xદ્વારા y: . દેખીતી રીતે, બિંદુ પર y = 0આ ફંક્શનમાં વ્યુત્પન્ન છે, એટલે કે, બિંદુ પર આ ગ્રાફની સ્પર્શક છે (a, 0)અસ્તિત્વમાં છે. તે તપાસવું સરળ છે કે તે ધરીની સમાંતર છે ઓય. અંડાકારની સમપ્રમાણતા પરથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે આ એક સરળ વળાંક છે અને મેળવેલા ડેટા (ફિગ. 33.3)ને ધ્યાનમાં રાખીને તેનું નિર્માણ કરીએ છીએ.

ચોખા. 33.3.એલિપ્સ

વ્યાખ્યા 33.4. સમપ્રમાણતાની અક્ષો સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓને કહેવામાં આવે છે શિખરોલંબગોળ, સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર –– કેન્દ્ર લંબગોળ, ફોસી ધરાવતા બે શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના સેગમેન્ટને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય ધરીલંબગોળ, તેની અડધી લંબાઈ –– અર્ધ-મુખ્ય શાફ્ટ લંબગોળ સમપ્રમાણતાના અક્ષ પર શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનો એક સેગમેન્ટ કે જેમાં ફોસી ન હોય તેને કહેવામાં આવે છે. નાની અક્ષ લંબગોળ, તેની અડધી લંબાઈ –– નાની અક્ષ. જથ્થો કહેવાય છે તરંગીતા લંબગોળ .

લંબગોળ એ પ્લેન પરના પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન છે, તેમાંના દરેકથી બે આપેલ બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો છે F_1, અને F_2 એ સ્થિર મૂલ્ય (2a) આ વચ્ચેના અંતર (2c) કરતા વધારે છે. આપેલ પોઈન્ટ(ફિગ. 3.36, એ). આ ભૌમિતિક વ્યાખ્યા વ્યક્ત કરે છે લંબગોળની કેન્દ્રીય મિલકત.

અંડાકારની ફોકલ પ્રોપર્ટી

બિંદુઓ F_1 અને F_2 ને લંબગોળનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે, તેમની વચ્ચેનું અંતર 2c=F_1F_2 છે - ફોકલ લંબાઈ, સેગમેન્ટ F_1F_2 નો મધ્ય O એ અંડાકારનું કેન્દ્ર છે, સંખ્યા 2a એ અંડાકારના મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ છે (તે મુજબ, સંખ્યા a એ અંડાકારની અર્ધ-મુખ્ય ધરી છે). લંબગોળના મનસ્વી બિંદુ M ને તેના ફોસી સાથે જોડતા F_1M અને F_2M વિભાગોને બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. અંડાકારના બે બિંદુઓને જોડતા ખંડને અંડાકારનો તાર કહેવામાં આવે છે.

e=\frac(c)(a) ગુણોત્તરને અંડાકારની વિષમતા કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા (2a>2c) થી તે અનુસરે છે કે 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

લંબગોળની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા, તેની ફોકલ પ્રોપર્ટી વ્યક્ત કરતી, તેની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે - અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલી રેખા:

ખરેખર, ચાલો એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (ફિગ. 3.36c) રજૂ કરીએ. અમે અંડાકારના કેન્દ્ર O ને સંકલન પ્રણાલીના મૂળ તરીકે લઈએ છીએ; આપણે ફોસી (ફોકલ અક્ષ અથવા અંડાકારની પ્રથમ અક્ષ)માંથી પસાર થતી સીધી રેખાને એબ્સીસા અક્ષ તરીકે લઈએ છીએ (તેના પરની હકારાત્મક દિશા બિંદુ F_1 થી બિંદુ F_2 સુધી છે); ચાલો આપણે કેન્દ્રીય અક્ષને લંબરૂપ એક સીધી રેખા લઈએ અને અંડાકારની મધ્યમાંથી પસાર થઈએ (અંડાકારની બીજી અક્ષ) ઓર્ડિનેટ અક્ષ તરીકે (ઓર્ડિનેટ અક્ષ પરની દિશા પસંદ કરવામાં આવે જેથી કરીને લંબચોરસ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ ઓક્સી યોગ્ય હોવાનું બહાર આવ્યું છે).

ચાલો તેની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને અંડાકાર માટે એક સમીકરણ બનાવીએ, જે કેન્દ્રીય ગુણધર્મને વ્યક્ત કરે છે. પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં, અમે foci ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ F_1(-c,0), ~F_2(c,0). અંડાકાર સાથે જોડાયેલા મનસ્વી બિંદુ M(x,y) માટે, અમારી પાસે છે:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

આ સમાનતાને સંકલન સ્વરૂપમાં લખવાથી, આપણને મળે છે:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

અમે બીજા રેડિકલને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, સમીકરણની બંને બાજુએ ચોરસ કરીએ છીએ અને સમાન શરતો લાવીએ છીએ:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4 વડે ભાગતા, આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ છીએ:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

નિયુક્ત કર્યા b=\sqrt(a^2-c^2)>0, અમને મળે છે b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. બંને બાજુઓને a^2b^2\ne0 વડે વિભાજીત કરીને, આપણે પહોંચીએ છીએ પ્રામાણિક સમીકરણલંબગોળ

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

તેથી, પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલી કેનોનિકલ છે.

જો અંડાકારનું કેન્દ્રબિંદુ એકરુપ હોય, તો અંડાકાર એક વર્તુળ છે (ફિગ. 3.36,6), કારણ કે a=b. આ કિસ્સામાં, બિંદુ પર મૂળ સાથેની કોઈપણ લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ પ્રમાણભૂત હશે O\equiv F_1\equiv F_2, અને સમીકરણ x^2+y^2=a^2 એ બિંદુ O પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે અને a ની બરાબર ત્રિજ્યા છે.

માં તર્ક કરીને વિપરીત ક્રમ, તે બતાવી શકાય છે કે તમામ બિંદુઓ કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (3.49), અને માત્ર તેઓ જ સંબંધિત છે ભૌમિતિક સ્થાનબિંદુઓ, જેને લંબગોળ કહેવાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યાલંબગોળ તેની સમકક્ષ છે ભૌમિતિક વ્યાખ્યા, લંબગોળની કેન્દ્રીય મિલકતને વ્યક્ત કરે છે.

અંડાકારની નિર્દેશક મિલકત

એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એ કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર ચાલતી બે સીધી રેખાઓ છે જે તેમાંથી સમાન અંતર \frac(a^2)(c) પર છે. c=0 પર, જ્યારે લંબગોળ વર્તુળ હોય છે, ત્યાં કોઈ ડાયરેક્ટ્રીક્સ નથી (આપણે ધારી શકીએ કે ડાયરેક્ટ્રીક્સ અનંત પર છે).

વિલક્ષણતા 0 સાથે લંબગોળ સમતલમાં બિંદુઓનું સ્થાન, જેમાંથી દરેક માટે આપેલ બિંદુ F (ફોકસ) અને આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી ન હોય તેવી સીધી રેખા d (ડાયરેક્ટ્રીક્સ) ના અંતરના અંતરનો ગુણોત્તર સ્થિર અને વિષમતા સમાન છે e ( અંડાકારની નિર્દેશક મિલકત). અહીં F અને d એ એલિપ્સના ફોસીમાંથી એક છે અને તેના ડાયરેક્ટ્રીક્સમાંથી એક છે, કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના ઓર્ડિનેટ અક્ષની એક બાજુએ સ્થિત છે, એટલે કે.

F_1,d_1 અથવા F_2,d_2 . હકીકતમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ફોકસ F_2 અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ d_2 (ફિગ. 3.37,6) માટે સ્થિતિ\frac(r_2)(\rho_2)=e

સંકલન સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\જમણે) અતાર્કિકતાથી છુટકારો મેળવવો અને બદલવું e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2 , આપણે પ્રામાણિક લંબગોળ સમીકરણ (3.49) પર પહોંચીએ છીએ. ફોકસ F_1 અને ડિરેક્ટર માટે સમાન તર્ક હાથ ધરી શકાય છે.

d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e

ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં લંબગોળનું સમીકરણ

ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી F_1r\varphi (ફિગ. 3.37, c અને 3.37 (2)) માં અંડાકારનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

જ્યાં p=\frac(b^2)(a) એ એલિપ્સનું ફોકલ પેરામીટર છે.

વાસ્તવમાં, ચાલો ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીના ધ્રુવ તરીકે અંડાકારનું ડાબું ફોકસ F_1 પસંદ કરીએ અને ધ્રુવીય અક્ષ તરીકે F_1F_2 કિરણ (ફિગ. 3.37, c). પછી મનસ્વી બિંદુ M(r,\varphi) માટે, લંબગોળની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા (ફોકલ પ્રોપર્ટી) અનુસાર, આપણી પાસે r+MF_2=2a છે. અમે બિંદુઓ M(r,\varphi) અને F_2(2c,0) વચ્ચેનું અંતર વ્યક્ત કરીએ છીએ (ટિપ્પણી 2.8 નો ફકરો 2 જુઓ):

\begin(સંરેખિત)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(સંરેખિત)

તેથી, સંકલન સ્વરૂપમાં, લંબગોળ F_1M+F_2M=2a ના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

અમે સમીકરણની બંને બાજુના મૂળ, ચોરસને અલગ કરીએ છીએ, 4 વડે ભાગીએ છીએ અને સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2. ધ્રુવીય ત્રિજ્યા r ને વ્યક્ત કરો અને રિપ્લેસમેન્ટ કરો:

e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2, ~p=\frac(b^2)(a)

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

ચાલો અંડાકારના આંતરછેદ બિંદુઓને શોધીએ (ફિગ. 3.37a જુઓ). y=0 ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણે એબ્સીસા અક્ષ (ફોકલ અક્ષ સાથે) સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ: x=\pm a. પરિણામે, લંબગોળની અંદર સમાવિષ્ટ ફોકલ અક્ષના સેગમેન્ટની લંબાઈ 2a જેટલી છે. આ સેગમેન્ટ, જેમ ઉપર નોંધ્યું છે, તેને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા a એ અંડાકારની અર્ધ-મુખ્ય ધરી છે. x=0 ને બદલીને, આપણને y=\pm b મળે છે. તેથી, અંડાકારની અંદર સમાયેલ અંડાકારના બીજા અક્ષના સેગમેન્ટની લંબાઈ 2b ની બરાબર છે. આ સેગમેન્ટને અંડાકારની નાની અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા b એ અંડાકારની અર્ધ-માઇનોર અક્ષ છે.

ખરેખર, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, અને સમાનતા b=a માત્ર કિસ્સામાં c=0 માં પ્રાપ્ત થાય છે, જ્યારે અંડાકાર વર્તુળ હોય છે. વલણ k=\frac(b)(a)\leqslant1એલિપ્સ કમ્પ્રેશન રેશિયો કહેવાય છે.

નોંધો 3.9

1. સીધી રેખાઓ x=\pm a,~y=\pm b કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના મુખ્ય લંબચોરસને મર્યાદિત કરે છે, જેની અંદર એક લંબગોળ હોય છે (જુઓ. ફિગ. 3.37, a).

2. એક લંબગોળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે વર્તુળને તેના વ્યાસમાં સંકુચિત કરીને મેળવેલ બિંદુઓનું સ્થાન.

ખરેખર, લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ Oxy માં વર્તુળના સમીકરણને x^2+y^2=a^2 સ્વરૂપ આપવા દો. જ્યારે 0 ના ગુણાંક સાથે x-અક્ષ પર સંકુચિત થાય છે

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(કેસ)

વર્તુળો x=x" અને y=\frac(1)(k)y" ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણે બિંદુ M(x,y") ની છબી M"(x",y") ના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ. ):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\જમણે)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ત્યારથી b=k\cdot a. આ એલિપ્સનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે.

3. સંકલન અક્ષો (પ્રમાણિક સંકલન પ્રણાલીની) એ અંડાકારની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે (જેને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષો કહેવાય છે), અને તેનું કેન્દ્ર સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે.

ખરેખર, જો બિંદુ M(x,y) અંડાકાર સાથે સંબંધિત છે. પછી બિંદુઓ M"(x,-y) અને M""(-x,y), બિંદુ M ના સપ્રમાણતા સંકલન અક્ષો સાથે સંબંધિત છે, તે પણ સમાન લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે.

4. ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં અંડાકારના સમીકરણમાંથી r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(જુઓ. ફિગ. 3.37, c), ફોકલ પેરામીટરનો ભૌમિતિક અર્થ સ્પષ્ટ થાય છે - આ લંબગોળની તારની અડધી લંબાઈ છે જે તેના ફોકસ લંબરૂપ ફોકલ અક્ષમાંથી પસાર થાય છે ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. વિલક્ષણતા e એ એલિપ્સના આકારને દર્શાવે છે, એટલે કે લંબગોળ અને વર્તુળ વચ્ચેનો તફાવત. જેટલો મોટો e, એલિપ્સ વધુ વિસ્તરેલ છે અને e શૂન્યની નજીક છે, લંબગોળ વર્તુળની નજીક છે (ફિગ. 3.38a). ખરેખર, e=\frac(c)(a) અને c^2=a^2-b^2 ધ્યાનમાં લેતા, આપણને મળે છે

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\જમણે )\^2=1-k^2, !}

જ્યાં k એ એલિપ્સ કમ્પ્રેશન રેશિયો છે, 0

6. સમીકરણ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ખાતે a

7. સમીકરણ \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bબિંદુ O"(x_0,y_0) પર કેન્દ્ર સાથે લંબગોળ વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેની અક્ષો સંકલન અક્ષો (ફિગ. 3.38, c) સાથે સમાંતર હોય છે. સમાંતર અનુવાદ (3.36) નો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણને પ્રમાણભૂત એકમાં ઘટાડવામાં આવે છે.