વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ એ આપેલ બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન છે. વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ

શોધવા માટે ભૌમિતિક મૂલ્યવ્યુત્પન્ન, કાર્ય y = f(x) ના ગ્રાફને ધ્યાનમાં લો. ચાલો લઈએ મનસ્વી બિંદુકોઓર્ડિનેટ્સ (x, y) અને તેની નજીકના બિંદુ N સાથે M (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). ચાલો $\overline(M_(1) M)$ અને $\overline(N_(1) N)$, અને બિંદુ M થી - OX અક્ષની સમાંતર એક સીધી રેખા દોરીએ.

ગુણોત્તર $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ એ OX અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે સેકન્ટ MN દ્વારા રચાયેલ કોણ $\alpha $1 નો સ્પર્શક છે. જેમ જેમ $\Delta $x શૂન્ય તરફ વળે છે, બિંદુ N M ની નજીક જશે, અને સેકન્ટ MN ની મર્યાદિત સ્થિતિ એ બિંદુ M પર વળાંકની સ્પર્શક MT હશે. આમ, વ્યુત્પન્ન f`(x) સ્પર્શકની બરાબર છે. OX અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે બિંદુ M (x, y) પર વળાંક માટે સ્પર્શક દ્વારા રચાયેલ કોણ $\alpha $ - સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક (ફિગ. 1).

આકૃતિ 1. કાર્ય ગ્રાફ

સૂત્રો (1) નો ઉપયોગ કરીને મૂલ્યોની ગણતરી કરતી વખતે, ચિહ્નોમાં ભૂલો ન કરવી મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે વધારો નકારાત્મક પણ હોઈ શકે છે.

વળાંક પર પડેલો બિંદુ N કોઈપણ બાજુથી M તરફ વલણ ધરાવે છે. તેથી, જો આકૃતિ 1 માં સ્પર્શકને વિરુદ્ધ દિશા આપવામાં આવી હોય, તો કોણ $\alpha $ $\pi $ ની રકમથી બદલાશે, જે કોણની સ્પર્શકને અને તે મુજબ, કોણીય ગુણાંકને નોંધપાત્ર રીતે અસર કરશે.

નિષ્કર્ષ

તે અનુસરે છે કે વ્યુત્પન્નનું અસ્તિત્વ વળાંક y = f(x) ના સ્પર્શકના અસ્તિત્વ સાથે સંકળાયેલું છે, અને કોણીય ગુણાંક - tg $\alpha $ = f`(x) મર્યાદિત છે. તેથી, સ્પર્શક OY અક્ષની સમાંતર ન હોવી જોઈએ, અન્યથા $\alpha $ = $\pi $/2, અને કોણની સ્પર્શક અનંત હશે.

અમુક બિંદુઓ પર, સતત વળાંકમાં સ્પર્શક ન હોઈ શકે અથવા OY અક્ષ (ફિગ. 2) ની સમાંતર સ્પર્શક ન હોય. પછી ફંક્શનમાં આ મૂલ્યોમાં વ્યુત્પન્ન હોઈ શકતું નથી. ફંક્શન કર્વ પર કોઈપણ સમાન બિંદુઓ હોઈ શકે છે.

આકૃતિ 2. વળાંકના અપવાદરૂપ બિંદુઓ

આકૃતિ 2 ને ધ્યાનમાં લો. ચાલો $\Delta $x ને નકારાત્મક અથવા સકારાત્મક મૂલ્યોમાંથી શૂન્ય તરફ વળે:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

જો માં આ કિસ્સામાંસંબંધો (1) ની અંતિમ મર્યાદા હોય છે, તે આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે:

પ્રથમ કિસ્સામાં, વ્યુત્પન્ન ડાબી બાજુએ છે, બીજામાં, વ્યુત્પન્ન જમણી બાજુએ છે.

મર્યાદાનું અસ્તિત્વ ડાબા અને જમણા ડેરિવેટિવ્ઝની સમાનતા અને સમાનતા દર્શાવે છે:

જો ડાબા અને જમણા ડેરિવેટિવ્સ અસમાન હોય, તો આપેલ બિંદુ પર એવા સ્પર્શકો છે જે OY (બિંદુ M1, ફિગ. 2) ની સમાંતર નથી. બિંદુઓ M2, M3 સંબંધો (1) પર અનંતતા તરફ વલણ ધરાવે છે.

M2 ની ડાબી બાજુએ આવેલા N પોઈન્ટ માટે, $\Delta $x $

$M_2$ ની જમણી બાજુએ, $\Delta $x $>$ 0, પરંતુ અભિવ્યક્તિ પણ f(x + $\Delta $x) -- f(x) $ છે

ડાબી બાજુના $M_3$ બિંદુ માટે, $\Delta $x $$ 0 અને f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, એટલે કે. અભિવ્યક્તિઓ (1) ડાબી અને જમણી બાજુ બંને હકારાત્મક છે અને $\Delta $x -0 અને +0 સુધી પહોંચે છે ત્યારે તે +$\infty $ બંને તરફ વલણ ધરાવે છે.

માં ડેરિવેટિવની ગેરહાજરીના કેસ ચોક્કસ બિંદુઓસીધી રેખા (x = c) આકૃતિ 3 માં બતાવવામાં આવી છે.

આકૃતિ 3. કોઈ ડેરિવેટિવ્ઝ નથી

ઉદાહરણ 1

આકૃતિ 4 એબ્સીસા પોઈન્ટ $x_0$ પર ફંક્શનનો ગ્રાફ અને ગ્રાફની સ્પર્શક દર્શાવે છે. abscissa માં ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

ઉકેલ. એક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તર સમાન છે. ચાલો પૂર્ણાંક કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે સ્પર્શક પરના બે બિંદુઓ પસંદ કરીએ. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, આ બિંદુઓ F (-3.2) અને C (-2.4) છે.

ભૌમિતિક અર્થવ્યુત્પન્ન આ વિષય સાથે સંબંધિત પરીક્ષા કાર્યો સ્નાતકો માટે કેટલીક મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. તેમાંના મોટા ભાગના ખરેખર ખૂબ જ સરળ છે.આ લેખમાં અમે એવા કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરીશું જેમાં તમારે ક્યારે વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે આપેલ શેડ્યૂલચોક્કસ બિંદુ પર ગ્રાફ માટે કાર્ય અને સ્પર્શક

* વધુમાં, આ સમસ્યાઓમાં, ઓછામાં ઓછા બે બિંદુઓ કે જેના દ્વારા આ સ્પર્શક પસાર થાય છે તે સ્કેચ પર સ્પષ્ટ રીતે ચિહ્નિત થયેલ છે. ઉકેલવા માટે તમારે શું જાણવાની જરૂર છે?

ચાલો ચોક્કસ ફંક્શન y = f (x) નો મનસ્વી ગ્રાફ બનાવીએ પર સંકલન વિમાન, બિંદુ x o પર સ્પર્શક બનાવો, ચાલો સીધી રેખા અને બળદની ધરી વચ્ચેના ખૂણોને α (આલ્ફા) તરીકે દર્શાવીએ

બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાંથી આપણે જાણીએ છીએ કે સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

એટલે કે, કાર્યનું વ્યુત્પન્નy = f(x) બિંદુ x 0 પર સ્પર્શકની ઢાળ જેટલી:

અને બદલામાં કોણીય ગુણાંક સ્પર્શક સમાનકોણ α (આલ્ફા), એટલે કે:

કોણ α (આલ્ફા) 90 ડિગ્રી કરતા ઓછું, અથવા વધારે હોઈ શકે છે શૂન્ય બરાબર.

ચાલો બે કિસ્સાઓ સમજાવીએ:

1. સ્પર્શકોણ 90 ડિગ્રી (સ્થૂળ કોણ) કરતા વધારે છે.

2. સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ શૂન્ય ડિગ્રી છે (સ્પર્શક અક્ષની સમાંતર છે ઓહ).

એટલે કે, સમસ્યાઓ કે જેમાં ફંક્શનનો આલેખ આપવામાં આવે છે, ચોક્કસ બિંદુએ આ ગ્રાફની સ્પર્શક, અને તેને સ્પર્શક બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે જરૂરી છે, તે સ્પર્શકનો ઢોળાવ શોધવામાં ઘટાડો થાય છે (અથવા સ્પર્શકના ઝોકના કોણની સ્પર્શક, જે સમાન વસ્તુ છે).

નીચે આપણે સ્પર્શક અને એબ્સીસા અક્ષ (અક્ષઓહ), અમે નજીકના ભવિષ્યમાં બીજી ઉકેલ પદ્ધતિ (કોણીય ગુણાંક દ્વારા વ્યુત્પન્ન શોધવા) પર વિચાર કરીશું. ફંક્શનના ગ્રાફને વાંચવા માટે ડેરિવેટિવના ગુણધર્મોનું જ્ઞાન જરૂરી હોય તેવી સમસ્યાઓ પર પણ વિચાર કરીશું. તેને ચૂકશો નહીં!

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સંકલન પ્લેન પર બે બિંદુઓ છે જેના દ્વારા સ્પર્શક પસાર થાય છે - આ ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ બિંદુ(કોઈ આ કાર્યોમાં કી કહી શકે છે).

બીજું શું જોઈએ?- આ એક સ્થૂળ કોણની સ્પર્શક માટેનું જ્ઞાન છે.

y = f(x) x 0 y = f(x) બિંદુ પર x 0 .

સ્પર્શેન્દ્રિયના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય સ્પર્શકના ઢોળાવ જેટલું છે, જે બદલામાં આ સ્પર્શકના એબ્સીસા અક્ષ તરફના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક સમાન છે. આ ખૂણોની સ્પર્શક શોધવા માટે, આપણે એક કાટખૂણ ત્રિકોણ બનાવીશું, જ્યાં ગ્રાફ પર બે બિંદુઓથી બંધાયેલો ખંડ કર્ણાકાર હશે, અને પગ અક્ષોની સમાંતર હશે. આ સમસ્યામાં આ બિંદુઓ છે (–5; –4), (1; 5).

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું: સ્પર્શક તીવ્ર કોણવી જમણો ત્રિકોણસંબંધ કહેવાય છે વિરુદ્ધ પગબાજુમાં.

પગ કોષોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

એબ્સીસા અક્ષ તરફ સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ કોણ સમાનબી.એ.સી , ઓહ. અર્થ

જવાબ: 1.5

y = f(x) x 0 y = f(x) બિંદુ પર x 0 .

કાર્ય પાછલા એક જેવું જ છે. અમે એક કાટકોણ ત્રિકોણ પણ બનાવીએ છીએ, જ્યાં ગ્રાફ પરના બે બિંદુઓથી બંધાયેલો ખંડ કર્ણાકાર હશે. આ સમસ્યામાં આ બિંદુઓ છે (–5; –7), (3; 3).

પગ પણ કોષોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

x-અક્ષ તરફ સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ BAC કોણ સમાન છે , કારણ કે AC પગ અક્ષની સમાંતર છે ઓહ. અર્થ

જવાબ: 1.25

આકૃતિ કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છેy = f(x) અને એબ્સીસા બિંદુ પર તેની સ્પર્શકx 0 . ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધોy = f(x) બિંદુ પર x 0 .

અમે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવીએ છીએ, જ્યાં ગ્રાફ પરના બે બિંદુઓથી બંધાયેલો ખંડ કર્ણાકાર હશે. આ સમસ્યામાં આ બિંદુઓ છે (–3; 3) અને (5; 11). બિંદુ (5;11) થી આપણે પગની સાતત્ય બનાવીએ છીએ જેથી આપણને બાહ્ય કોણ મળે.

CD એ x-અક્ષની સમાંતર હોવાથી, ખૂણો ABD એ x-અક્ષ તરફના સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણા જેટલો છે. આમ, આપણે કોણ ABD ની સ્પર્શકની ગણતરી કરીશું. નોંધ કરો કે તે 90 ડિગ્રીથી વધુ છે, તેથી અહીં તમારે સ્પર્શક માટે ઘટાડા સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:

અર્થ

*પગની લંબાઈ કોષોની સંખ્યા દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

જવાબ: -1.75

આકૃતિ કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે y = f(x) અને એબ્સીસા બિંદુ પર તેની સ્પર્શક x 0 . ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો y = f(x) બિંદુ પર x 0 . x 0

બસ એટલું જ! તમને શુભકામનાઓ!

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ.

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.

પાઠ હેતુઓ:

વિદ્યાર્થીઓએ જાણવું જોઈએ:

• શું કહેવાય છે ઢાળપ્રત્યક્ષ
• સીધી રેખા અને બળદની ધરી વચ્ચેનો કોણ;
• વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ શું છે;
• કાર્યના ગ્રાફ સાથે સ્પર્શકનું સમીકરણ;
• પેરાબોલાને સ્પર્શક બનાવવા માટેની પદ્ધતિ;
• અરજી કરી શકશે સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાનવ્યવહારમાં.

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક: વિદ્યાર્થીઓને વ્યુત્પન્નના યાંત્રિક અને ભૌમિતિક અર્થની વિભાવનાઓ સાથે જ્ઞાન, કૌશલ્યો અને ક્ષમતાઓની સિસ્ટમમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરવા માટેની પરિસ્થિતિઓ બનાવો.

શૈક્ષણિક: વિદ્યાર્થીઓમાં વૈજ્ઞાનિક વિશ્વ દૃષ્ટિકોણ રચવા માટે.

વિકાસલક્ષી: વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનાત્મક રસ, સર્જનાત્મકતા, ઇચ્છાશક્તિ, સ્મૃતિ, વાણી, ધ્યાન, કલ્પના, ધારણા વિકસાવવા.

શૈક્ષણિક અને જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિઓનું આયોજન કરવાની પદ્ધતિઓ:

• દ્રશ્ય
• વ્યવહારુ
• દ્વારા માનસિક પ્રવૃત્તિ: પ્રેરક;
• સામગ્રીના એસિમિલેશન અનુસાર: આંશિક રીતે શોધ, પ્રજનન;
• સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી દ્વારા: પ્રયોગશાળા કાર્ય;
• ઉત્તેજક: પ્રોત્સાહન;
• નિયંત્રણ: મૌખિક આગળનો સર્વે.

પાઠ યોજના

1. મૌખિક કસરતો (વ્યુત્પન્ન શોધો)
2. વિષય પર વિદ્યાર્થી સંદેશ “કારણો ગાણિતિક વિશ્લેષણ”.
3. નવી સામગ્રી શીખવી
4. ભૌતિક. માત્ર એક મિનિટ.
5. કાર્યો ઉકેલવા.
6. લેબોરેટરી કામ.
7. પાઠનો સારાંશ.
8. હોમવર્ક પર ટિપ્પણી.

સાધનો: મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર (પ્રસ્તુતિ), કાર્ડ્સ ( પ્રયોગશાળા કામ).

"વ્યક્તિ ત્યારે જ કંઈક હાંસલ કરે છે જ્યાં તેને પોતાની શક્તિમાં વિશ્વાસ હોય"

એલ. ફ્યુઅરબેક

સમગ્ર પાઠ દરમિયાન વર્ગનું સંગઠન, પાઠ માટે વિદ્યાર્થીઓની તૈયારી, ક્રમ અને શિસ્ત.

સમગ્ર પાઠ માટે અને તેના વ્યક્તિગત તબક્કાઓ બંને માટે વિદ્યાર્થીઓ માટે શીખવાના લક્ષ્યો નક્કી કરવા.

આ વિષય અને સમગ્ર અભ્યાસક્રમ બંનેમાં જે સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેનું મહત્વ નક્કી કરો.

મૌખિક ગણતરી

1. વ્યુત્પન્ન શોધો:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. તર્ક પરીક્ષણ.

a) ગુમ થયેલ અભિવ્યક્તિ દાખલ કરો.

વિજ્ઞાનના વિકાસની સામાન્ય દિશા આખરે માનવ પ્રવૃત્તિના અભ્યાસની જરૂરિયાતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જટિલ અધિક્રમિક વ્યવસ્થાપન પ્રણાલી સાથે પ્રાચીન રાજ્યોનું અસ્તિત્વ અંકગણિત અને બીજગણિતના પર્યાપ્ત વિકાસ વિના અશક્ય હતું, કારણ કે કર વસૂલવા, સૈન્ય પુરવઠો ગોઠવવા, મહેલો અને પિરામિડ બનાવવા અને સિંચાઈ પ્રણાલી બનાવવા માટે જટિલ ગણતરીઓની જરૂર હતી. પુનરુજ્જીવન દરમિયાન, મધ્યયુગીન વિશ્વના વિવિધ ભાગો વચ્ચેના જોડાણો વિસ્તર્યા, વેપાર અને હસ્તકલાનો વિકાસ થયો. ઉત્પાદનના તકનીકી સ્તરમાં ઝડપી વધારો શરૂ થાય છે, અને ઊર્જાના નવા સ્ત્રોતો કે જે મનુષ્ય અથવા પ્રાણીઓના સ્નાયુબદ્ધ પ્રયત્નો સાથે સંકળાયેલા નથી તેનો ઔદ્યોગિક ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. XI-XII સદીઓમાં, ફુલિંગ અને વણાટ મશીનો દેખાયા, અને XV ની મધ્યમાં - પ્રિન્ટીંગ પ્રેસ. આ સમયગાળા દરમિયાન સામાજિક ઉત્પાદનના ઝડપી વિકાસની જરૂરિયાતને કારણે, પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાનનો સાર, જે પ્રાચીન સમયથી વર્ણનાત્મક હતો, બદલાઈ ગયો. કુદરતી વિજ્ઞાનનો ધ્યેય કુદરતી પ્રક્રિયાઓનો ગહન અભ્યાસ છે, વસ્તુઓનો નહીં. ગણિત, જે સતત જથ્થા સાથે કાર્યરત હતું, પ્રાચીનકાળના વર્ણનાત્મક કુદરતી વિજ્ઞાનને અનુરૂપ હતું. એક ગાણિતિક ઉપકરણ બનાવવું જરૂરી હતું જે પ્રક્રિયાના પરિણામને નહીં, પરંતુ તેના પ્રવાહની પ્રકૃતિ અને તેના અંતર્ગત દાખલાઓનું વર્ણન કરે. પરિણામે, 12મી સદીના અંત સુધીમાં, ઇંગ્લેન્ડમાં ન્યૂટન અને જર્મનીમાં લીબનીઝે ગાણિતિક વિશ્લેષણ બનાવવાનો પ્રથમ તબક્કો પૂર્ણ કર્યો. "ગાણિતિક વિશ્લેષણ" શું છે? કોઈ પણ પ્રક્રિયાની લાક્ષણિકતાઓને કેવી રીતે લાક્ષણિકતા અને આગાહી કરી શકે છે? આ સુવિધાઓનો ઉપયોગ કરીએ? ચોક્કસ ઘટનાના સારમાં ઊંડે સુધી પ્રવેશવા માટે?

ચાલો ન્યુટન અને લીબનીઝના માર્ગને અનુસરીએ અને જોઈએ કે આપણે પ્રક્રિયાનું વિશ્લેષણ કેવી રીતે કરી શકીએ, તેને સમયના કાર્ય તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ.

ચાલો આપણે કેટલાક ખ્યાલો રજૂ કરીએ જે આપણને આગળ મદદ કરશે.

રેખીય કાર્ય y=kx+ b નો ગ્રાફ એક સીધી રેખા છે, સંખ્યા k કહેવાય છે સીધી રેખાનો ઢોળાવ. k=tg, સીધી રેખાનો કોણ ક્યાં છે, એટલે કે, આ સીધી રેખા અને ઓક્સ અક્ષની હકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો ખૂણો.

આકૃતિ 1

ફંક્શન y=f(x) ના આલેખને ધ્યાનમાં લો. ચાલો કોઈપણ બે બિંદુઓ દ્વારા સેકન્ટ દોરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, સેકન્ટ AM. (ફિગ.2)

સેકન્ટ k=tg નો કોણીય ગુણાંક. કાટકોણ ત્રિકોણ AMC માં<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

આકૃતિ 2

આકૃતિ 3

"સ્પીડ" શબ્દ પોતે જ એક જથ્થામાં બીજા ફેરફાર પરના ફેરફારની અવલંબનને દર્શાવે છે, અને બાદમાં સમય હોવો જરૂરી નથી.

તેથી, સેકન્ટના ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શક tg = .

અમને ટૂંકા ગાળામાં જથ્થામાં ફેરફારની અવલંબનમાં રસ છે. ચાલો દલીલના વધારાને શૂન્ય પર નિર્દેશિત કરીએ. પછી સૂત્રની જમણી બાજુ એ બિંદુ A પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે (શા માટે સમજાવો). જો x -> 0, તો બિંદુ M આલેખ સાથે બિંદુ A તરફ આગળ વધે છે, જેનો અર્થ થાય છે કે સીધી રેખા AM અમુક સીધી રેખા ABની નજીક આવે છે, જે છે બિંદુ A પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફની સ્પર્શક. (ફિગ.3)

સેકન્ટના ઝોકનો કોણ સ્પર્શકના ઝોકના કોણ તરફ વલણ ધરાવે છે.

વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ એ છે કે બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય બિંદુ પરના કાર્યના ગ્રાફના સ્પર્શકના ઢોળાવ જેટલું છે.

વ્યુત્પન્નનો યાંત્રિક અર્થ.

સ્પર્શકોણની સ્પર્શક એ આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનના પરિવર્તનનો ત્વરિત દર દર્શાવતું મૂલ્ય છે, એટલે કે, અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી પ્રક્રિયાની નવી લાક્ષણિકતા. લીબનીઝે આ જથ્થાને બોલાવી વ્યુત્પન્ન, અને ન્યૂટને કહ્યું કે વ્યુત્પન્ન પોતે જ તાત્કાલિક કહેવાય છે ઝડપ.

નંબર 91(1) પેજ 91 – બોર્ડ પર બતાવો.

બિંદુ x 0 – 1 પર વળાંક f(x) = x 3 માટે સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક એ x = 1. f’(1) = 3x 2 પર આ કાર્યના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય છે; f’(1) = 3.

નંબર 91 (3.5) – શ્રુતલેખન.

નંબર 92(1) – જો ઇચ્છિત હોય તો બોર્ડ પર.

નંબર 92 (3) - સ્વતંત્ર રીતે મૌખિક પરીક્ષણ સાથે.

નંબર 92 (5) – બોર્ડ પર.

જવાબો: 45 0, 135 0, 1.5 e 2.

ધ્યેય: ખ્યાલનો વિકાસ " યાંત્રિક અર્થમાંવ્યુત્પન્ન"

મિકેનિક્સ માટે ડેરિવેટિવ્ઝની એપ્લિકેશન.

કાયદો ઘડવામાં આવ્યો છે રેક્ટીલીનિયર ચળવળપોઈન્ટ x = x(t), t.

1. ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન ચળવળની સરેરાશ ઝડપ;
2. t 04 સમયે વેગ અને પ્રવેગક
3. થોભવાની ક્ષણો; શું અટકવાની ક્ષણ પછીનો બિંદુ એ જ દિશામાં આગળ વધવાનું ચાલુ રાખે છે અથવા વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધવાનું શરૂ કરે છે;
4. સૌથી વધુ ઝડપચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન હલનચલન.

કાર્ય 12 વિકલ્પો અનુસાર કરવામાં આવે છે, કાર્યોને જટિલતાના સ્તર દ્વારા અલગ પાડવામાં આવે છે (પ્રથમ વિકલ્પ જટિલતાનું સૌથી નીચું સ્તર છે).

કામ શરૂ કરતા પહેલા, નીચેના પ્રશ્નો પર વાતચીત:

1. શું ભૌતિક અર્થડિસ્પ્લેસમેન્ટનું વ્યુત્પન્ન? (ઝડપ).
2. શું ઝડપનું વ્યુત્પન્ન શોધવું શક્ય છે?
3. શું આ જથ્થો ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વપરાય છે? તેને શું કહેવાય? (પ્રવેગક).ત્વરિત ગતિ
4. શૂન્ય બરાબર. આ ક્ષણે શરીરની હિલચાલ વિશે શું કહી શકાય? (આ થોભવાની ક્ષણ છે).

નીચેના નિવેદનોનો ભૌતિક અર્થ શું છે: ગતિનું વ્યુત્પન્ન બિંદુ t 0 પર શૂન્ય બરાબર છે; બિંદુ t 0માંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્ન પરિવર્તન ચિહ્ન છે? (શરીર અટકે છે; ચળવળની દિશા વિરુદ્ધમાં બદલાય છે).

વિદ્યાર્થીઓના કાર્યનો નમૂનો.

આકૃતિ 4

IN વિરુદ્ધ દિશામાં.

ચાલો ઝડપનો એક યોજનાકીય આકૃતિ દોરીએ. બિંદુ પર સૌથી વધુ ઝડપ પ્રાપ્ત થાય છે

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

આકૃતિ 5

1) વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ શું છે?
2) વ્યુત્પન્નનો યાંત્રિક અર્થ શું છે?
3) તમારા કાર્ય વિશે નિષ્કર્ષ દોરો.

પૃષ્ઠ 90. નંબર 91(2,4,6), નં.92(2,4,6,), પૃષ્ઠ 92 નંબર 112.

સાહિત્ય વપરાય છે

• પાઠ્યપુસ્તક બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત.
  લેખકો: Yu.M. કોલ્યાગિન, એમ.વી. Tkacheva, N.E. ફેડોરોવા, એમ.આઈ. શબુનીના.
  A. B. Zhizhchenko દ્વારા સંપાદિત.
• બીજગણિત 11 મા ધોરણ. પાઠ યોજનાઓએસ. એ. અલીમોવ, યુ. વી. સિદોરોવ. ભાગ 1.
• ઇન્ટરનેટ સંસાધનો:

વ્યાખ્યાન: કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ખ્યાલ, વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ

ચાલો કેટલાક ફંક્શન f(x) ને ધ્યાનમાં લઈએ, જે વિચારણાના સમગ્ર અંતરાલમાં સતત રહેશે. વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર, અમે બિંદુ x 0 પસંદ કરીએ છીએ, તેમજ આ બિંદુએ ફંક્શનનું મૂલ્ય પસંદ કરીએ છીએ.

તો, ચાલો ગ્રાફ જોઈએ કે જેના પર આપણે આપણા બિંદુ x 0, તેમજ બિંદુ (x 0 + ∆x) ને ચિહ્નિત કરીએ છીએ. યાદ કરો કે ∆х એ બે પસંદ કરેલા બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (તફાવત) છે.

તે સમજવું પણ યોગ્ય છે કે દરેક x અનુલક્ષે છે eigenvalueકાર્યો y.

બિંદુ x 0 અને (x 0 + ∆x) પર ફંક્શનના મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતને આ ફંક્શનનો વધારો કહેવામાં આવે છે: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

ચાલો ધ્યાન આપીએ વધારાની માહિતી, જે ગ્રાફ પર છે તે KL નામનો સેકન્ટ છે, તેમજ ત્રિકોણ કે જે તે KN અને LN અંતરાલો સાથે બનાવે છે.

જે ખૂણો પર સેકન્ટ સ્થિત છે તેને તેનો ઝોકનો કોણ કહેવામાં આવે છે અને તેને α તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તે સરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે ડિગ્રી માપકોણ LKN પણ α બરાબર છે.

હવે ચાલો કાટકોણ ત્રિકોણમાંના સંબંધોને યાદ કરીએ tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

એટલે કે, સેકન્ટના ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શક ગુણોત્તર સમાનફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટ થી દલીલ ઇન્ક્રીમેન્ટ.

એક સમયે, વ્યુત્પન્ન એ અનંત અંતરાલ પર દલીલના વધારા સાથે ફંક્શનના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા છે.

ડેરિવેટિવ એ દર નક્કી કરે છે કે કોઈ ચોક્કસ વિસ્તાર પર ફંક્શન બદલાય છે.

વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ

જો તમને કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર કોઈપણ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન મળે, તો તમે OX અક્ષની સાપેક્ષમાં આપેલ વર્તમાનમાં ગ્રાફની સ્પર્શક ક્યાં સ્થિત હશે તે કોણ નક્કી કરી શકો છો. ગ્રાફ પર ધ્યાન આપો - સ્પર્શક ઢાળ કોણ φ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને સીધી રેખાના સમીકરણમાં k ગુણાંક દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે: y = kx + b.

એટલે કે, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ એ કાર્યના અમુક બિંદુએ સ્પર્શકોણની સ્પર્શક છે.

વિષય. વ્યુત્પન્ન. વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અને યાંત્રિક અર્થ

જો આ મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોય, તો ફંક્શનને એક બિંદુએ અલગ કરી શકાય તેવું કહેવાય છે. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન (સૂત્ર 2) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

1. વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ. ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ જોઈએ. ફિગ. 1 થી સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શનના ગ્રાફના કોઈપણ બે બિંદુઓ A અને B માટે, સૂત્ર 3) લખી શકાય છે. તે સેકન્ટ AB ના ઝોકનો કોણ ધરાવે છે.

આમ, તફાવત ગુણોત્તર સેકન્ટના ઢાળ જેટલો છે. જો તમે બિંદુ A ને ઠીક કરો અને બિંદુ B ને તેની તરફ ખસેડો, તો તે મર્યાદા વિના ઘટે છે અને 0 ની નજીક આવે છે, અને સેકન્ટ AB સ્પર્શક ACની નજીક આવે છે. તેથી, તફાવત ગુણોત્તરની મર્યાદા બિંદુ A પર સ્પર્શકની ઢાળ જેટલી છે. આ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે.

એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ તે બિંદુ પરના આ ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શકનો ઢોળાવ છે. આ વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ છે.

1. સ્પર્શક સમીકરણ . ચાલો એક બિંદુ પરના ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવીએ. IN સામાન્ય કેસકોણીય ગુણાંક સાથે સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: . b શોધવા માટે, અમે એ હકીકતનો લાભ લઈએ છીએ કે સ્પર્શક બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે: . તે નીચે મુજબ છે: . b ને બદલે આ અભિવ્યક્તિને બદલીને, આપણે સ્પર્શક સમીકરણ (સૂત્ર 4) મેળવીએ છીએ.