સમીકરણોની સિસ્ટમ આપેલ ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ. સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા આપવામાં આવેલા ગર્ભિત કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી

સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનને સ્પષ્ટપણે સ્પષ્ટ કરવા દો
(1) .
અને આ સમીકરણ, અમુક મૂલ્ય માટે, દો એકમાત્ર ઉકેલ.
.
બિંદુ પર ફંક્શનને એક અલગ ફંક્શન બનવા દો, અને
(2) .

પછી, આ મૂલ્ય પર, એક વ્યુત્પન્ન છે, જે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

પુરાવો
.
તેને સાબિત કરવા માટે, કાર્યને ચલના જટિલ કાર્ય તરીકે ધ્યાનમાં લો: ચાલો જટિલ ફંક્શનના ભિન્નતાનો નિયમ લાગુ કરીએ અને ડાબેથી ચલના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન શોધીએ અનેજમણા ભાગો
(3) :
.
સમીકરણો
(4) ;
.

કારણ કે સતતનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અને , પછી

સૂત્ર સાબિત થાય છે.

ઉચ્ચ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ્ઝ
(4) .
ચાલો વિવિધ સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ (4) ફરીથી લખીએ:
;
.
તે જ સમયે, અને ચલના જટિલ કાર્યો છે:
(1) .

નિર્ભરતા સમીકરણ (1) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
અમે સમીકરણ (4) ની ડાબી અને જમણી બાજુઓમાંથી ચલના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
;
.
જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્ર મુજબ, અમારી પાસે છે:

.
ઉત્પાદન વ્યુત્પન્ન સૂત્ર અનુસાર:


.

વ્યુત્પન્ન રકમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
(5) .
સમીકરણ (4) ની જમણી બાજુનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હોવાથી

અહીં વ્યુત્પન્નને બદલીને, અમે ગર્ભિત સ્વરૂપમાં બીજા-ક્રમના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ.
.
સમાન રીતે વિભેદક સમીકરણ (5), અમે ત્રીજા ક્રમના વ્યુત્પન્ન ધરાવતું સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

અહીં પ્રથમ અને બીજા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝના મળેલા મૂલ્યોને બદલીને, આપણે ત્રીજા ક્રમના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ.

નિરંતર ભિન્નતા, કોઈ પણ ઓર્ડરનું વ્યુત્પન્ન શોધી શકે છે.

ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1
સમીકરણ દ્વારા ગર્ભિત રીતે આપેલ ફંક્શનનું પ્રથમ-ક્રમનું વ્યુત્પન્ન શોધો: .

(P1)

સૂત્ર 2 દ્વારા ઉકેલ
(2) .

અમે સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ: ચાલો બધા ચલોને પર ખસેડીએડાબી બાજુ
.
જેથી સમીકરણ સ્વરૂપ લે.

અહીંથી.
;
;
;
.

અમે તેને અચળ ધ્યાનમાં લેતા, તેના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.
;
;
;
.

અમે ચલના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ, ચલ સ્થિરને ધ્યાનમાં લેતા.
.

સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:
.
જો આપણે નોંધીએ કે મૂળ સમીકરણ (A.1) અનુસાર પરિણામને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
.

ચાલો અવેજી કરીએ:

આનાથી અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો:

બીજી રીતનો ઉકેલ
.
અમે વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંક સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ:
;
.
અમે જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ:
.
ચાલો તફાવત કરીએ મૂળ સમીકરણ(પૃ.1).
સમીકરણ દ્વારા ગર્ભિત રીતે આપેલ ફંક્શનનું પ્રથમ-ક્રમનું વ્યુત્પન્ન શોધો: ;
;
.
અમે શરતો દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને જૂથ કરીએ છીએ.
;
.

ચાલો અવેજી કરીએ (સમીકરણ (A1) માંથી):
.
દ્વારા ગુણાકાર કરો:
.

જવાબ આપો

ઉદાહરણ 2

સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટપણે આપેલ ફંક્શનના બીજા-ક્રમના વ્યુત્પન્ન શોધો:
(A2.1) .

ઉકેલ

અમે ચલના સંદર્ભમાં મૂળ સમીકરણને અલગ પાડીએ છીએ, તે ધ્યાનમાં લેતા કે તે એક કાર્ય છે:
;
.
વ્યુત્પન્ન સૂત્ર લાગુ કરો જટિલ કાર્ય.
.

ચાલો મૂળ સમીકરણને અલગ પાડીએ (A2.1):
;
.
મૂળ સમીકરણ (A2.1) પરથી તે અનુસરે છે.
.
ચાલો અવેજી કરીએ:
;
કૌંસ ખોલો અને સભ્યોનું જૂથ બનાવો: .
(A2.2)
અમને પ્રથમ ઓર્ડર વ્યુત્પન્ન મળે છે: .

(A2.3)
;
;
;
.
સેકન્ડ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવ શોધવા માટે, અમે સમીકરણને અલગ પાડીએ છીએ (A2.2).
.
દ્વારા ગુણાકાર કરો:

;
.
ચાલો ફર્સ્ટ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવ (A2.3) માટે અભિવ્યક્તિને બદલીએ:

જવાબ આપો

અહીંથી આપણે બીજા-ક્રમનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 3
સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગર્ભિત રીતે આપેલ ફંક્શનનો ત્રીજો ક્રમ વ્યુત્પન્ન શોધો: .

ઉકેલ

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
અમે ચલના સંદર્ભમાં મૂળ સમીકરણને અલગ પાડીએ છીએ, એમ માનીને કે તે નું કાર્ય છે. ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
ચાલો ચલના સંદર્ભમાં સમીકરણ (A3.2) ને અલગ પાડીએ. .

(A3.3)
;
;
;
;
;
ચાલો સમીકરણને અલગ કરીએ (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

સમીકરણો (A3.2), (A3.3) અને (A3.4) પરથી આપણે ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો પર શોધીએ છીએ.

સમીકરણોની સિસ્ટમ આપીઅથવા સંક્ષિપ્તમાં(એફ, x)=0 (1)

yx= વ્યાખ્યા. સિસ્ટમ (1) ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે(એફf) ચાલુ ડી આર

,

n એફ ) ચાલુ : અથવા સંક્ષિપ્તમાં(એફ , વ્યાખ્યા. સિસ્ટમ (1) ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે(એફ)) = 0.

જો

પ્રમેય (સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત મેપિંગનું અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા). દોપછી અમુક મહોલ્લામાં (એફ 0 યુx = વ્યાખ્યા. સિસ્ટમ (1) ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે(એફ) આ પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત એક અનન્ય કાર્ય (નકશો) છે

 એફ પછી અમુક મહોલ્લામાં (એફ 0 ) : અથવા સંક્ષિપ્તમાં(એફ, વ્યાખ્યા. સિસ્ટમ (1) ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે(એફ), જેમ કેx 0 = વ્યાખ્યા. સિસ્ટમ (1) ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે(એફ 0 ).

))=0 અનેએફ 0 .

બિંદુના કેટલાક પડોશમાં આ કાર્ય સતત અલગ છે

5. સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્દિષ્ટ ગર્ભિત કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી

(1)

તંત્રને આપ્યું છે અમે ધારીશું કે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેયની શરતો સંતુષ્ટ છેગર્ભિત કાર્ય x= વ્યાખ્યા. સિસ્ટમ (1) ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે(એફ) . , સમીકરણોની આ સિસ્ટમ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચાલો આ કાર્યને સૂચિત કરીએ એફ 0 પછી બિંદુના કેટલાક પડોશમાં

ઓળખો માન્ય છે (2)

(F(x, f(x))=0) એફ દ્વારા આ ઓળખોને અલગ પાડવી j

=0 (3)

અમે મેળવીએ છીએ આ સમાનતાઓ લખી શકાય છે

, (3)

મેટ્રિક્સ ફોર્મ

.

અથવા વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં અથવા સંક્ષિપ્તમાં(એફ, વ્યાખ્યા. સિસ્ટમ (1) ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે(એફ))=0 નોંધ કરો કે સમાનતામાંથી સંક્રમણ
, થી એફ જ્યારે કેસ માટે ભિન્નતા નિયમોને અનુરૂપ છે xઅને એક-પરિમાણીય જગ્યાના બિંદુઓ છે. મેટ્રિક્સ
શરત દ્વારા ડિજનરેટ નથી, તેથી મેટ્રિક્સ સમીકરણ
ઉકેલ છે . આ રીતે તમે ગર્ભિત કાર્યોના પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધી શકો છો

. તફાવતો શોધવા માટે અમે સૂચવીએ છીએ = ,dy = ડીએક્સ (2) j

=0 ,

, સમાનતાઓને અલગ પાડવી

. (4)

અથવા મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં

.

વિસ્તૃત (4) અમારી પાસે એક-પરિમાણીય જગ્યાઓના કિસ્સામાં સમાન સ્વરૂપ છે આર=1, પી=1. આનો ઉકેલ મેટ્રિક્સ સમીકરણફોર્મમાં લખવામાં આવશે
. બીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટે, ઓળખને અલગ પાડવી જરૂરી રહેશે (3) (બીજા ક્રમના તફાવતની ગણતરી કરવા માટે, તમારે ઓળખને અલગ કરવાની જરૂર છે (4) ). આમ, આપણને મળે છે

,

જ્યાં મારફતે એ શરતો કે જેમાં આવશ્યકતાઓ શામેલ નથી તે સૂચવવામાં આવે છે
.

ડેરિવેટિવ્ઝ નક્કી કરવા માટે આ સિસ્ટમનો ગુણાંક મેટ્રિક્સ
જેકોબિયન મેટ્રિક્સ તરીકે સેવા આપે છે .

વિભેદકો માટે સમાન સૂત્ર મેળવી શકાય છે. આ દરેક કિસ્સામાં, સમાન ગુણાંક મેટ્રિક્સ સાથે મેટ્રિક્સ સમીકરણ મેળવવામાં આવશે ઇચ્છિત ડેરિવેટિવ્સ અથવા ભિન્નતા નક્કી કરવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં. આ જ વસ્તુ નીચેના ભિન્નતા દરમિયાન થશે.

ઉદાહરણ 1. શોધો ,,બિંદુ પર u=1, વિ=1.

ઉકેલ. આપેલ સમાનતાઓને ભેદ કરો

(5)

નોંધ કરો કે સમસ્યાની રચના અનુસાર, આપણે સ્વતંત્ર ચલોને ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ એફ, x. પછી કાર્યો હશે z, u, વિ. આમ, સિસ્ટમ (5) અજાણ્યાઓ અંગે ઉકેલ લાવવો જોઈએ du, ડીવી, dz . મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં તે આના જેવું દેખાય છે

.

ચાલો ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને આ સિસ્ટમને હલ કરીએ. ગુણાંક મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક

, માટે ત્રીજો "અવેજી" નિર્ણાયક dz સમાન હશે (અમે છેલ્લી કૉલમ પર વિસ્તરણ કરીને તેની ગણતરી કરીએ છીએ)

, પછી

dz =
, અને
,
.

ચાલો તફાવત કરીએ (5) વધુ એક વખત ( એફ, x – સ્વતંત્ર ચલો)

સિસ્ટમનો ગુણાંક મેટ્રિક્સ સમાન છે, ત્રીજો નિર્ણાયક

આ સિસ્ટમને હલ કરીને, અમે એક અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ ડી 2 z જ્યાં તમે ઇચ્છિત વ્યુત્પન્ન શોધી શકો છો.

આપણે સ્પષ્ટપણે ઉલ્લેખિત કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શીખીશું, એટલે કે ચલોને જોડતા ચોક્કસ સમીકરણો દ્વારા નિર્દિષ્ટ એફઅને x. સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યોના ઉદાહરણો:

,

,

ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યોના વ્યુત્પન્ન, અથવા ગર્ભિત કાર્યોના વ્યુત્પન્ન, તદ્દન સરળ રીતે જોવા મળે છે. હવે ચાલો અનુરૂપ નિયમ અને ઉદાહરણ જોઈએ, અને પછી શોધો કે આની જરૂર કેમ છે.

સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે x ના સંદર્ભમાં સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ કરવાની જરૂર છે. તે શબ્દો કે જેમાં ફક્ત X હાજર છે તે X માંથી ફંક્શનના સામાન્ય વ્યુત્પન્નમાં ફેરવાશે. અને રમત સાથેની શરતો જટિલ કાર્યોના ભિન્નતાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અલગ હોવી જોઈએ, કારણ કે રમત X નું કાર્ય છે. તેને એકદમ સરળ રીતે કહીએ તો, x સાથેના શબ્દનું પરિણામી વ્યુત્પન્ન પરિણામ આવવું જોઈએ: y માંથી ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન y માંથી વ્યુત્પન્ન વડે ગુણાકાર. ઉદાહરણ તરીકે, શબ્દનું વ્યુત્પન્ન આ તરીકે લખવામાં આવશે, શબ્દનું વ્યુત્પન્ન આ રીતે લખવામાં આવશે. આગળ, આ બધામાંથી, તમારે આ "ગેમ સ્ટ્રોક" ને વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે અને સ્પષ્ટપણે ઉલ્લેખિત કાર્યનું ઇચ્છિત વ્યુત્પન્ન પ્રાપ્ત થશે. ચાલો આને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ.

ઉદાહરણ 1.

ઉકેલ. અમે x ના સંદર્ભમાં સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ પાડીએ છીએ, એમ માનીને કે i x નું કાર્ય છે:

અહીંથી અમને કાર્યમાં જરૂરી વ્યુત્પન્ન મળે છે:

હવે સ્પષ્ટપણે ઉલ્લેખિત કાર્યોની અસ્પષ્ટ ગુણધર્મ વિશે અને તેમના ભિન્નતા માટે શા માટે વિશેષ નિયમોની જરૂર છે તે વિશે કંઈક. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, તમે ચકાસી શકો છો કે અવેજી માં આપેલ સમીકરણ(ઉપરના ઉદાહરણો જુઓ) y ને બદલે, x દ્વારા તેની અભિવ્યક્તિ એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે આ સમીકરણ એક ઓળખ બની જાય છે. તેથી. ઉપરોક્ત સમીકરણ નીચેના કાર્યોને સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત કરે છે:

મૂળ સમીકરણમાં x દ્વારા સ્ક્વેર્ડ ગેમ માટે અભિવ્યક્તિ બદલ્યા પછી, અમે ઓળખ મેળવીએ છીએ:

.

અમે અવેજી કરેલ સમીકરણો રમત માટે સમીકરણ ઉકેલીને મેળવવામાં આવ્યા હતા.

જો આપણે અનુરૂપ સ્પષ્ટ કાર્યને અલગ પાડવા માટે હતા

તો પછી આપણને ઉદાહરણ 1 ની જેમ જવાબ મળશે - સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યમાંથી:

પરંતુ સ્પષ્ટપણે ઉલ્લેખિત દરેક કાર્ય ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાતું નથી x = વ્યાખ્યા. સિસ્ટમ (1) ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે(એફ) . તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યો

દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવતા નથી પ્રાથમિક કાર્યો, એટલે કે, આ સમીકરણો ખેલાડીના સંદર્ભમાં હલ કરી શકાતા નથી. તેથી, સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત ફંક્શનને અલગ પાડવા માટેનો એક નિયમ છે, જેનો આપણે પહેલાથી અભ્યાસ કર્યો છે અને તે અન્ય ઉદાહરણોમાં સતત લાગુ થશે.

ઉદાહરણ 2.ગર્ભિત રીતે આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

.

અમે પ્રાઇમ અને - આઉટપુટ પર - સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન વ્યક્ત કરીએ છીએ:

ઉદાહરણ 3.ગર્ભિત રીતે આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

.

ઉકેલ. x ના સંદર્ભમાં અમે સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ પાડીએ છીએ:

.

ઉદાહરણ 4.ગર્ભિત રીતે આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

.

ઉકેલ. x ના સંદર્ભમાં અમે સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ પાડીએ છીએ:

.

અમે વ્યુત્પન્ન વ્યક્ત કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

.

ઉદાહરણ 5.ગર્ભિત રીતે આપેલ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

ઉકેલ. અમે સમીકરણની જમણી બાજુના શબ્દોને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ છીએ અને જમણી બાજુએ શૂન્ય છોડીએ છીએ. x ના સંદર્ભમાં આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ પાડીએ છીએ.

ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ ફોર્મ્યુલા (1) ના ક્રમિક તફાવત દ્વારા જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ. શોધો અને જો (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

ઉકેલ. દ્વારા આ સમીકરણની ડાબી બાજુ સૂચવે છે વ્યાખ્યા. સિસ્ટમ (1) ગર્ભિત રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરે છે(x,y) આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

અહીંથી, ફોર્મ્યુલા (1) લાગુ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

.

બીજું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, સંદર્ભમાં તફાવત કરો એક્સપ્રથમ વ્યુત્પન્ન મળ્યું, તે ધ્યાનમાં લેતા ખાતેત્યાં એક ફંક્શન x છે:

.

2°. કેટલાક સ્વતંત્ર ચલોનો કેસ. તેવી જ રીતે, જો સમીકરણ F(x, y, z)=0, ક્યાં F(x, y, z) - ચલોનું વિભેદક કાર્ય x, yજ્યારે કેસ માટે ભિન્નતા નિયમોને અનુરૂપ છે z, વ્યાખ્યાયિત કરે છે zસ્વતંત્ર ચલોના કાર્ય તરીકે એક્સઅને ખાતેજ્યારે કેસ માટે ભિન્નતા નિયમોને અનુરૂપ છે Fz(x, y, z)≠ 0, પછી આના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ગર્ભિત આપેલ કાર્ય, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે

ફંક્શન z ના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની બીજી રીત નીચે મુજબ છે: સમીકરણને અલગ કરીને F(x, y, z) = 0, અમને મળે છે:

.

અહીંથી આપણે નક્કી કરી શકીએ છીએ ડીઝેડ,અને તેથી .

ઉદાહરણ. શોધો અને જો x ² - 2y²+3z² -yz +y = 0.

1લી પદ્ધતિ. દ્વારા આ સમીકરણની ડાબી બાજુ સૂચવે છે F(x, y, z), ચાલો આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

સૂત્રો (2) લાગુ કરીને, અમને મળે છે:

2જી પદ્ધતિ. આ સમીકરણને અલગ કરીને, અમને મળે છે:

2xડીએક્સ -4ydy +6zડીઝેડ-yડીઝેડ-zdy +dy = 0

અહીંથી આપણે નક્કી કરીએ છીએ dz, એટલે કે ગર્ભિત કાર્યનો કુલ તફાવત:

.

સૂત્ર સાથે સરખામણી , આપણે તે જોઈએ છીએ

.

3°. ગર્ભિત કાર્ય સિસ્ટમ. જો બે સમીકરણોની સિસ્ટમ

વ્યાખ્યાયિત કરે છે uઅને વિ x અને y અને જેકોબિયન ચલોના કાર્યો તરીકે

,

પછી સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી આ કાર્યોના તફાવતો (અને તેથી તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ) શોધી શકાય છે

ઉદાહરણ: સમીકરણો u+v=x+y, xu+yv=1નક્કી કરો uઅને વિકાર્યો તરીકે એક્સઅને ખાતે; શોધો .

ઉકેલ. 1લી પદ્ધતિ. x ના સંદર્ભમાં બંને સમીકરણોને અલગ કરીને, આપણને મળે છે:

.

એ જ રીતે આપણે શોધીએ છીએ:

.

2જી પદ્ધતિ. ભિન્નતા દ્વારા આપણે ચારેય ચલોના ભિન્નતાને જોડતા બે સમીકરણો શોધીએ છીએ: du +dv =dx +dyxdu +udx +ydv+વિdy = 0.

ડિફરન્સિયલ માટે આ સિસ્ટમનું નિરાકરણ duઅને ડીવી, અમને મળે છે:

4°. પેરામેટ્રિક સ્પષ્ટીકરણકાર્યો. જો r ચલોનું કાર્ય એક્સઅને ખાતેસમીકરણો દ્વારા પેરામેટ્રિકલી આપવામાં આવે છે x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)અને

,

પછી આ કાર્યનો તફાવત સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી શોધી શકાય છે

વિભેદક જાણવું dz=p dx+q dy, આપણે આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ છીએ અને .

ઉદાહરણ. કાર્ય zદલીલો એક્સઅને ખાતેસમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

શોધો અને.

ઉકેલ. 1લી પદ્ધતિ. ભિન્નતા દ્વારા આપણે ત્રણ સમીકરણો શોધીએ છીએ જે તમામ પાંચ ચલોના તફાવતને જોડે છે:

પ્રથમ બે સમીકરણોથી આપણે નક્કી કરીએ છીએ duઅને ડીવી:

.

ચાલો મળેલા મૂલ્યોને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીએ duઅને ડીવી:

.

2જી પદ્ધતિ. આપેલ ત્રીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધી શકીએ છીએ:

ચાલો પહેલા બે સમીકરણોને સંદર્ભમાં અલગ કરીએ X,પછી દ્વારા ખાતે:

પ્રથમ સિસ્ટમમાંથી આપણે શોધીએ છીએ: .

બીજી સિસ્ટમમાંથી આપણે શોધીએ છીએ: .

અભિવ્યક્તિઓને બદલીને અને સૂત્ર (5) માં, અમને મળે છે:

ચલોને બદલી રહ્યા છીએ

જ્યારે વિભેદક અભિવ્યક્તિઓમાં ચલોને બદલી રહ્યા હોય, ત્યારે તેમાં સમાવિષ્ટ ડેરિવેટિવ્ઝ જટિલ કાર્યને અલગ પાડવાના નિયમો અનુસાર અન્ય ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવા જોઈએ.

1°. સામાન્ય ડેરિવેટિવ્સ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓમાં ચલોને બદલીને.

,

માનતા

ખાતેદ્વારા એક્સના ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા ખાતેદ્વારા t. અમારી પાસે છે:

,

.

આ સમીકરણમાં મળેલા વ્યુત્પન્ન અભિવ્યક્તિઓને બદલીને અને બદલીને એક્સદ્વારા, અમને મળે છે:

ઉદાહરણ. સમીકરણ કન્વર્ટ કરો

,

તેને દલીલ તરીકે લેવું ખાતે, અને ફંક્શન x માટે.

ઉકેલ. ના ડેરિવેટિવ્ઝ વ્યક્ત કરીએ ખાતેદ્વારા એક્સના ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા એક્સદ્વારા u

.

આ સમીકરણમાં આ વ્યુત્પન્ન અભિવ્યક્તિઓને બદલીને, આપણી પાસે હશે:

,

અથવા, છેવટે,

.

ઉદાહરણ. સમીકરણ કન્વર્ટ કરો

તરફ આગળ વધી રહ્યું છે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ

ઉકેલ. વિચારણા આરકાર્ય તરીકે φ , સૂત્રોમાંથી (1) આપણે મેળવીએ છીએ:

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

જેમ જાણીતું છે, એક ચલનું ગર્ભિત રીતે આપેલ કાર્ય નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે: સ્વતંત્ર ચલ xનું કાર્ય y જો તે સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવ્યું હોય જે y ના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલ નથી:

ઉદાહરણ 1.11.

સમીકરણ

ગર્ભિત રીતે બે કાર્યોનો ઉલ્લેખ કરે છે:

અને સમીકરણ

કોઈપણ કાર્ય સ્પષ્ટ કરતું નથી.

પ્રમેય 1.2 (એક ગર્ભિત કાર્યનું અસ્તિત્વ).

કાર્ય z =f(x,y) અને તેના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ f"x અને f"y ને M0(x0y0) બિંદુના કેટલાક પડોશી UM0 માં વ્યાખ્યાયિત અને સતત રહેવા દો. વધુમાં, f(x0,y0)=0 અને f"(x0,y0)≠0, પછી સમીકરણ (1.33) UM0 ની પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરે છે એક ગર્ભિત કાર્ય y= y(x), સતત અને અમુક અંતરાલ D માં અલગ બિંદુ x0 પર કેન્દ્ર સાથે અને y(x0)=y0.

કોઈ સાબિતી નથી.

પ્રમેય 1.2 થી તે અનુસરે છે કે આ અંતરાલ D પર:

એટલે કે, માં એક ઓળખ છે

જ્યાં (1.31) અનુસાર "કુલ" વ્યુત્પન્ન જોવા મળે છે

એટલે કે, (1.35) એક ચલ x ના ગર્ભિત રીતે આપેલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેનું સૂત્ર આપે છે.

બે અથવા વધુ ચલોનું ગર્ભિત કાર્ય સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો Oxyz જગ્યાના અમુક પ્રદેશ V માં સમીકરણ ધરાવે છે:

પછી ફંક્શન F પર અમુક શરતો હેઠળ તે ફંક્શનને સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત કરે છે

વધુમાં, (1.35) સાથે સામ્યતા દ્વારા, તેના આંશિક વ્યુત્પન્ન નીચે પ્રમાણે જોવા મળે છે:

ઉદાહરણ 1.12. એમ ધારીને સમીકરણ

ગર્ભિત રીતે કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરે છે

z"x, z"y શોધો.

તેથી, (1.37) મુજબ, અમને જવાબ મળે છે.

11.ભૂમિતિમાં આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ.

12.બે ચલોના કાર્યની એક્સ્ટ્રીમા.

બે ચલોના ફંક્શનની મહત્તમ, ન્યૂનતમ અને સીમાની વિભાવનાઓ એક સ્વતંત્ર ચલના કાર્યની અનુરૂપ વિભાવનાઓ સમાન છે (વિભાગ 25.4 જુઓ).

કાર્ય z = ƒ(x;y) ને અમુક ડોમેન D માં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો, બિંદુ N(x0;y0) О D.

બિંદુ (x0;y0) ને ફંક્શન z=ƒ(x;y) નો મહત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો બિંદુ (x0;y0) ની d-પડોશી હોય કે જે દરેક બિંદુ (x;y) માટે અલગ હોય (xo;yo), આ પડોશમાંથી અસમાનતા ƒ(x;y) ધરાવે છે<ƒ(хо;уо).

એ કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે: (x0; y0) સિવાયના તમામ બિંદુઓ (x; y) માટે, બિંદુ (xo; yo) ના d-પડોશમાંથી નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

આકૃતિ 210 માં: N1 એ મહત્તમ બિંદુ છે, અને N2 એ z=ƒ(x;y) કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે.

મહત્તમ (લઘુત્તમ) ના બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમત ફંક્શનની મહત્તમ (લઘુત્તમ) કહેવાય છે. ફંક્શનની મહત્તમ અને લઘુત્તમને તેની સીમા કહેવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે, વ્યાખ્યા દ્વારા, ફંક્શનનો અંતિમ બિંદુ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનની અંદર રહેલો છે; મહત્તમ અને લઘુત્તમમાં સ્થાનિક (સ્થાનિક) અક્ષર હોય છે: બિંદુ (x0; y0) પરના કાર્યના મૂલ્યની તુલના (x0; y0) ની નજીકના બિંદુઓ પર તેના મૂલ્યો સાથે કરવામાં આવે છે. પ્રદેશ D ​​માં, ફંક્શનમાં ઘણા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે છે અથવા કોઈ નથી.

46.2. એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો

ચાલો ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટેની શરતોને ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રમેય 46.1 (એક અંતિમ માટે જરૂરી શરતો). જો N(x0;y0) બિંદુ પર વિભેદક કાર્ય z=ƒ(x;y) એક સીમા ધરાવે છે, તો આ બિંદુએ તેના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્યના બરાબર છે: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

ચાલો એક ચલને ઠીક કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે, y=y0 મૂકીએ. પછી આપણે એક ચલનું ફંક્શન ƒ(x;y0)=φ(x) મેળવીએ છીએ, જેનું એક્સ્ટ્રામમ x = x0 છે. તેથી, એક ચલના કાર્યની સીમા માટે જરૂરી સ્થિતિ અનુસાર (વિભાગ 25.4 જુઓ), φ"(x0) = 0, એટલે કે ƒ"x(x0;y0)=0.

તેવી જ રીતે, તે બતાવી શકાય છે કે ƒ"y(x0;y0) = 0.

ભૌમિતિક રીતે, સમાનતાઓ ƒ"x(x0;y0)=0 અને ƒ"y(x0;y0)=0 નો અર્થ એ થાય છે કે ફંક્શન z=ƒ(x;y) ના અંતિમ બિંદુએ સપાટી પરના સ્પર્શક સમતલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ફંક્શન ƒ(x;y) ), ઓક્સી સમતલની સમાંતર છે, કારણ કે સ્પર્શક સમતલનું સમીકરણ z=z0 છે (સૂત્ર (45.2) જુઓ).

ઝેડ નોંધ ફંક્શનમાં એવા બિંદુઓ પર એક્સ્ટ્રીમમ હોઈ શકે છે જ્યાં ઓછામાં ઓછું એક આંશિક ડેરિવેટિવ્સ અસ્તિત્વમાં નથી. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય બિંદુ O(0;0) પર મહત્તમ હોય છે (જુઓ. ફિગ. 211), પરંતુ આ બિંદુએ આંશિક ડેરિવેટિવ્સ નથી.

જે બિંદુ પર ફંક્શન z ≈ ƒ(x; y) ના પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્યની બરાબર છે, એટલે કે f"x=0, f"y=0, તેને ફંક્શન z નો સ્થિર બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

સ્થિર બિંદુઓ અને બિંદુઓ કે જેના પર ઓછામાં ઓછું એક આંશિક વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી તેને નિર્ણાયક બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે.

નિર્ણાયક બિંદુઓ પર, કાર્યમાં એક્સ્ટ્રીમમ હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. શૂન્ય માટે આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની સમાનતા જરૂરી છે, પરંતુ નહીં પૂરતી સ્થિતિએક ચરમસીમાનું અસ્તિત્વ. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન z = xy ધ્યાનમાં લો. તેના માટે, બિંદુ O(0; 0) મહત્વપૂર્ણ છે (તેના પર z"x=y અને z"y - x અદૃશ્ય થઈ જાય છે). જો કે, ફંક્શન z=xy તેમાં એક્સ્ટ્રીમમ નથી, કારણ કે બિંદુ O(0; 0) ના પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પડોશમાં એવા બિંદુઓ છે જેના માટે z>0 (પ્રથમ અને ત્રીજા ક્વાર્ટરના બિંદુઓ) અને z છે.< 0 (точки II и IV четвертей).

આમ, આપેલ ક્ષેત્રમાં ફંક્શનની સીમા શોધવા માટે, ફંક્શનના દરેક નિર્ણાયક બિંદુને વધારાના સંશોધનને આધિન કરવું જરૂરી છે.

પ્રમેય 46.2 (એક છેડા માટે પૂરતી સ્થિતિ). અંદર આવવા દો સ્થિર બિંદુ(xo;y0) અને તેના કેટલાક પડોશમાં, ફંક્શન ƒ(x;y) બીજા ક્રમ સહિત સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્સ ધરાવે છે. ચાલો બિંદુ (x0;y0) પર A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ. . ચાલો સૂચિત કરીએ

1. જો Δ > 0 હોય, તો બિંદુ (x0;y0) પર ફંક્શન ƒ(x;y) એક સીમા ધરાવે છે: મહત્તમ જો A< 0; минимум, если А > 0;

2. જો Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Δ = 0 ના કિસ્સામાં, બિંદુ (x0;y0) પર એક્સ્ટ્રીમમ હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. વધુ સંશોધનની જરૂર છે.

કાર્યો

1.

ઉદાહરણ.વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો શોધો. ઉકેલ.પ્રથમ પગલું છે કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધવું. અમારા ઉદાહરણમાં, છેદમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્ય પર ન જવી જોઈએ, તેથી, . ચાલો વ્યુત્પન્ન કાર્ય પર આગળ વધીએ: પર્યાપ્ત માપદંડના આધારે કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે વ્યાખ્યાના ડોમેન પર અસમાનતાઓને હલ કરીએ છીએ. ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કરીએ. અંશનું એક માત્ર વાસ્તવિક મૂળ છે x = 2, અને છેદ શૂન્ય પર જાય છે x = 0. આ બિંદુઓ વ્યાખ્યાના ડોમેનને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે જેમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે. ચાલો આ બિંદુઓને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ. અમે પરંપરાગત રીતે વ્યુત્પન્ન કે ઋણાત્મક એવા અંતરાલોને પ્લીસસ અને ઓછા કરીને દર્શાવીએ છીએ. નીચેના તીરો યોજનાકીય રીતે અનુરૂપ અંતરાલ પર કાર્યમાં વધારો અથવા ઘટાડો દર્શાવે છે. આમ, અને . બિંદુએ x = 2કાર્ય વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે, તેથી તેને વધતા અને ઘટતા બંને અંતરાલોમાં ઉમેરવું જોઈએ. બિંદુએ x = 0ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી અમે જરૂરી અંતરાલોમાં આ બિંદુનો સમાવેશ કરતા નથી. અમે તેની સાથે મેળવેલા પરિણામોની તુલના કરવા માટે ફંક્શનનો ગ્રાફ રજૂ કરીએ છીએ. જવાબ:સાથે કાર્ય વધે છે , અંતરાલ પર ઘટે છે (0; 2] .

2.

ઉદાહરણો.

વળાંકની બહિર્મુખતા અને અંતર્મુખતાના અંતરાલો સેટ કરો x = 2 – એફ 2 .

અમે શોધીશું x"" અને નક્કી કરો કે બીજું વ્યુત્પન્ન ક્યાં સકારાત્મક છે અને ક્યાં નકારાત્મક છે. x" = –2એફ, x"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

x = ઇ એફ. x"" = ઇકારણ કે એફ x > 0 કોઈપણ માટે

x = એફ 3 . x"" = 6એફ, પછી વળાંક સર્વત્ર અંતર્મુખ છે. x"" < 0 при એફ < 0 и x, તે એફ""> 0 વાગ્યે એફ < 0 кривая выпукла, а при એફ> 0. તેથી, ક્યારે

3.

4. ફંક્શન z=x^2-y^2+5x+4y, વેક્ટર l=3i-4j અને બિંદુ A(3,2) આપેલ છે. dz/dl (જેમ હું સમજું છું, વેક્ટરની દિશામાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન), gradz(A), |gradz(A)| શોધો. ચાલો આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ: z(x ના સંદર્ભમાં)=2x+5 z(y ના સંદર્ભમાં)=-2y+4 ચાલો બિંદુ A(3,2) પર ડેરિવેટિવ્ઝની કિંમતો શોધીએ: z(સાથે x ના સંદર્ભમાં)(3,2)=2*3+ 5=11 z(y દ્વારા)(3,2)=-2*2+4=0 ક્યાંથી, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 વેક્ટર l ની દિશામાં ફંક્શન z નું વ્યુત્પન્ન: dz/dl=z(x માં)*cosa+z(y માં)*cosb , a, વેક્ટરનો b-કોણ l સંકલન અક્ષો સાથે. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.