સમપ્રમાણતાના પ્રકાર, સમાનતા પરિવર્તન અને તેના ગુણધર્મો. ભૌમિતિક પરિવર્તનો

75. આકાર પરિવર્તનના ઉદાહરણો.

પ્લેનમાં અને અવકાશમાં ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં આકૃતિઓના પરિવર્તનનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. જો પ્લેન અથવા અવકાશમાં આપેલ આકૃતિના દરેક બિંદુને કોઈ રીતે ખસેડવામાં આવે છે, તો આપણને એક નવી આકૃતિ મળે છે. તેઓ કહે છે કે આ આંકડો આમાંથી પરિવર્તન દ્વારા મેળવવામાં આવ્યો છે. અહીં આકાર પરિવર્તનના કેટલાક ઉદાહરણો છે.

1. બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા ( કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા). બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. O ને એક નિશ્ચિત બિંદુ અને X ને મનસ્વી બિંદુ થવા દો. જો બિંદુઓ સમાન સીધી રેખા અને બિંદુ પર સ્થિત હોય, તો બિંદુ O ના સાપેક્ષ બિંદુ X માટે સપ્રમાણ કહેવાય છે. સપ્રમાણ બિંદુઓહ, આકૃતિમાં 203 બિંદુઓ X છે અને O બિંદુની સાપેક્ષમાં એકબીજા સાથે સપ્રમાણ છે.

ચાલો F - આ આંકડોઅને O એ પ્લેનનું નિશ્ચિત બિંદુ છે. આકૃતિ F નું આકૃતિમાં રૂપાંતર જેમાં તેના દરેક બિંદુ X આપેલ બિંદુ O ની સાપેક્ષ સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ પર જાય છે તેને બિંદુ O ની સાપેક્ષ સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર કહેવાય છે. આકૃતિ 204 કેન્દ્રની સાપેક્ષ સપ્રમાણતા દર્શાવે છે ઓ.

આકૃતિ 205 બિંદુ O વિશે સપ્રમાણતાવાળા બે સમઘન દર્શાવે છે.

જો બિંદુ O વિશે સમપ્રમાણતા રૂપાંતરણ થાય છે

આકૃતિને પોતાનામાં ફેરવો, પછી આકૃતિને કેન્દ્રિય સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે, અને બિંદુ O એ તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમાંતરગ્રામ એ કેન્દ્રિય સપ્રમાણ આકૃતિ છે. તેની સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ છે (ફિગ. 206, a). કેન્દ્ર O ધરાવતું વર્તુળ એ પણ કેન્દ્રીય સપ્રમાણ આકૃતિ છે જેમાં કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા O (ફિગ. 206, b) સૂચિબદ્ધ તમામ આકૃતિઓ સપાટ છે.

અવકાશમાં, તેમજ પ્લેન પર, કેન્દ્રિય સપ્રમાણ આકૃતિઓના ઘણા ઉદાહરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 207 નીચેના આંકડાઓ બતાવે છે: એક ક્યુબ, એક ગોળા, એક સમાંતર.

2. સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતા ( અક્ષીય સમપ્રમાણતા). ચાલો હું એક નિશ્ચિત સીધી રેખા બનીએ (ફિગ. 208). જો સીધી રેખા I ની સીધી રેખાને લંબરૂપ હોય અને જ્યાં O એ સીધી રેખાઓ અને Iના આંતરછેદનું બિંદુ હોય, તો બિંદુને સીધી રેખા Iની સાપેક્ષમાં બિંદુ X માટે સપ્રમાણ કહેવાય છે. જો બિંદુ X પર સ્થિત છે સીધી રેખા I, પછી તે બિંદુ સપ્રમાણ છે તે બિંદુ X છે. આકૃતિ 208 પર, અને બિંદુઓ સીધી રેખા I વિશે સપ્રમાણ છે.

આકૃતિ F નું રૂપાંતરણ જેમાં દરેક બિંદુ X રેખા I ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ પર જાય છે તેને રેખા I ના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, રેખા I ના સંદર્ભમાં આકૃતિઓને સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે.

સીધી રેખા I. આકૃતિ 208, b સીધી રેખા I ના સંદર્ભમાં વર્તુળોને સપ્રમાણતા બતાવે છે.

આકૃતિ 209 સીધી રેખા I વિશે સપ્રમાણતા ધરાવતા બે ગોળાઓ દર્શાવે છે.

જો રેખા I ના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર આકૃતિ F ને પોતાનામાં રૂપાંતરિત કરે છે, તો આકૃતિને રેખા 19ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે અને રેખા I આકૃતિની સમપ્રમાણતાની ધરી કહેવાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તેની બાજુઓના સમાંતર લંબચોરસના કર્ણના આંતરછેદ બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ એ લંબચોરસની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે (ફિગ. 210, a). સીધી રેખાઓ કે જેના પર સમચતુર્ભુજના કર્ણ આવેલા છે તે તેની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે (ફિગ. 210, b). વર્તુળ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ સીધી રેખાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે (ફિગ. 210, c). આ તમામ આંકડા સપાટ છે.

અવકાશમાં, તેમજ પ્લેનમાં, સપ્રમાણતાની અક્ષો ધરાવતા આકૃતિઓના ઘણા ઉદાહરણો છે. આકૃતિ 211 નીચેના આંકડાઓ દર્શાવે છે: આ છે ક્યુબોઇડ, શંકુ, નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડ.

3. પ્લેનની તુલનામાં સમપ્રમાણતા. એક મનસ્વી નિશ્ચિત પ્લેન બનવા દો. બિંદુ X થી કાટખૂણે પ્લેન a પર નીચે આવે છે (O એ પ્લેન a સાથે તેના આંતરછેદનું બિંદુ છે) અને બિંદુ O ની બહાર તેના વિસ્તરણ પર

એક સેગમેન્ટ બાજુ પર રાખો પોઈન્ટ્સની સમાન X અને પ્લેન a (ફિગ. 212) ની તુલનામાં સપ્રમાણ કહેવાય છે.

આકૃતિ F નું રૂપાંતરણ જેમાં આકૃતિ F ના દરેક બિંદુ X સમતલ a ની તુલનામાં સમપ્રમાણતાના બિંદુ પર જાય છે તેને સમતલની સાપેક્ષમાં સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે

આકૃતિ 213 પ્લેન a ની તુલનામાં બે ગોળાઓ સપ્રમાણતા દર્શાવે છે.

જો વિમાનની તુલનામાં સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર કોઈ આકૃતિને પોતાનામાં પરિવર્તિત કરે છે, તો આકૃતિને સમતલની તુલનામાં સમપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 214 ગોળાની સમપ્રમાણતાના બે વિમાનો બતાવે છે. નોંધ કરો કે ગોળામાં સપ્રમાણતાના આવા વિમાનો છે અનંત સમૂહ. ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાના વિમાનો પણ છે. આકૃતિ 215 તેમાંથી બે બતાવે છે.

4. હોમોથેટી. F એ આપેલ આકૃતિ અને O એક નિશ્ચિત બિંદુ (ફિગ. 216) હોવા દો. ચાલો તમને પસાર કરીએ મનસ્વી બિંદુઆકૃતિ F નો X એ એક કિરણ છે અને તેના પર એક સેગમેન્ટ લખો જ્યાં - હકારાત્મક સંખ્યા. આકૃતિનું રૂપાંતર જેમાં તેના દરેક બિંદુ X નિર્દેશિત રીતે બાંધવામાં આવેલા બિંદુ સુધી જાય છે તેને સંદર્ભમાં હોમોથેટી કહેવામાં આવે છે.

પૃષ્ઠ 1

પ્લેનમાં અને અવકાશમાં ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં આકૃતિઓના પરિવર્તનનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. જો પ્લેન અથવા અવકાશમાં આપેલ આકૃતિના દરેક બિંદુને કોઈ રીતે ખસેડવામાં આવે છે, તો આપણને એક નવી આકૃતિ મળે છે. તેઓ કહે છે કે આ આંકડો આમાંથી પરિવર્તન દ્વારા મેળવવામાં આવ્યો છે.  

આકૃતિ F નું F2 માં રૂપાંતર એ એક સમાનતા રૂપાંતર છે, કારણ કે તે અનુરૂપ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના સંબંધોને સાચવે છે, પરંતુ આ રૂપાંતર એક સમાનતા નથી.  

આકૃતિ F નું આકૃતિ F માં રૂપાંતરણને કેન્દ્રીય રૂપાંતર અથવા હોમોથેટી કહેવામાં આવે છે.  

આકૃતિ F નું આકૃતિ P માં રૂપાંતરણને સમાનતા રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે જો આ રૂપાંતર દરમિયાન બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન સંખ્યામાં બદલાય (વધારો અથવા ઘટાડો).  

આકૃતિ F નું આકૃતિ FI માં રૂપાંતર થવા દો આકૃતિ F ના વિવિધ બિંદુઓને આકૃતિ F ના વિવિધ ફાયરબોક્સમાં સ્થાનાંતરિત કરો. આ રૂપાંતર સાથે આકૃતિ F ના મનસ્વી બિંદુ X ને આકૃતિ F ના બિંદુ X પર જવા દો. નું પરિવર્તન આકૃતિ FI ને આકૃતિ F માં, જેમાં બિંદુ X બિંદુ X પર જશે, તેને આપેલ એકનું વ્યસ્ત રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે. પરિવર્તન, વિપરીત ગતિ, પણ એક ચળવળ છે.  

ભૂમિતિમાં, આ પ્રકૃતિની આકૃતિઓના રૂપાંતરને સમાનતા રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે.  

આ કિસ્સામાં, આકૃતિનું રૂપાંતર તેના વિસ્થાપન તરીકે સમજવામાં આવે છે. પરિવર્તનોમાં, હલનચલન અને સમાનતા રૂપાંતર અલગ પડે છે. ચોક્કસ પ્રકારની હલનચલન ગણવામાં આવે છે: અક્ષીય સપ્રમાણતા, કેન્દ્રીય સપ્રમાણતા, પરિભ્રમણ, સમાંતર અનુવાદ. સમાનતા પરિવર્તનનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર હોમોથેટી છે.  

આ રૂપાંતરણને અનુરૂપ આંકડા કહેવામાં આવે છે. એક આકૃતિ કે જે તેના પરસ્પર ધ્રુવીય સાથે સુસંગત હોય તેને કહેવામાં આવે છે.  

ભૂમિતિમાં, આકૃતિઓના આ પ્રકારના પરિવર્તનને સમાન કહેવામાં આવે છે.  

ચળવળ દ્વારા અમારો અર્થ એ છે કે આકૃતિઓના આવા રૂપાંતર જ્યારે તેમના તમામ બિંદુઓ, બદલ્યા વિના સંબંધિત સ્થિતિ, તેને નિશ્ચિત પ્રક્ષેપણ વિમાનોની તુલનામાં બદલો. પ્લેન-સમાંતર ચળવળ સાથે, આકૃતિના તમામ બિંદુઓ સમાંતર વિમાનોમાં આગળ વધે છે. આ સામાન્ય રીતે લેવલ પ્લેન અથવા પ્રોજેક્શન પ્લેન હોય છે. જે રેખાઓ સાથે બિંદુઓ ફરે છે તેને તેમની ગતિ કહેવામાં આવે છે.  

જો કે, ઘણા કિસ્સાઓમાં તે થાય છે ઉપયોગી ઉપયોગએક આકૃતિને સમાન આકૃતિમાં રૂપાંતરિત કરવું. આ સમાનતા ખૂણાઓને સાચવે છે, પરંતુ અંતર બદલી શકે છે. આ કિસ્સામાં, સમાન ગુણોત્તરમાં તમામ અંતર વધે છે (અથવા ઘટે છે), જેને સમાનતા ગુણાંક કહેવાય છે.  

આકૃતિઓ બદલવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાના ઉકેલ પર પહોંચવું ઘણીવાર શક્ય છે, અને ઘણા કિસ્સાઓમાં પણ આ પદ્ધતિની સફળતા પ્રથમ નજરમાં જોઈ શકાય છે. આ પદ્ધતિમાં આપેલ અથવા ઇચ્છિત આકૃતિ અથવા તેના અમુક ભાગને મૂળ ચોક્કસ બાંધકામ સાથે સંકળાયેલ નવી આકૃતિ સાથે બદલવાનો અને સમસ્યાને ઉકેલવા અથવા તેના ઉકેલની નજીક જવાની મંજૂરી આપવાનો સમાવેશ થાય છે. હમણાં માટે, અમે ફક્ત તે જ રૂપાંતરણોને ધ્યાનમાં લઈશું જેમાં નવો આંકડો જૂના સમાન છે અને તે ફક્ત સ્થિતિમાં જ તેનાથી અલગ છે.  

ડેસર્ગેસિયન રૂપરેખાંકનનું નિર્માણ આકૃતિઓના પરિવર્તન અને બાંધકામને લગતા એક રસપ્રદ પરિણામ તરફ દોરી જાય છે. પરિપ્રેક્ષ્ય અંદાજો. નક્કી કરતી વખતે અગાઉનું કાર્યપાંચ બિંદુઓ આપવામાં આવ્યા હતા - બે બિંદુઓ M અને P દ્વારા વ્યાખ્યાયિત એક Desarguesian સીધી રેખા, એક Desarguesian બિંદુ S અને બે બિંદુ A અને A, તેના વિવિધ વિભાગોમાં પિરામિડની સમાન ધાર પર સ્થિત છે. પિરામિડના એક વિભાગના અન્ય બે બિંદુઓ (તેનો આધાર), B અને C, અનુરૂપ બિંદુઓ B અને C બીજા વિભાગમાં જોવા મળ્યા હતા. અનુરૂપ બિંદુઓ સમાન ધાર પર સ્થિત બિંદુઓ છે.  

મિરર સિમેટ્રી. ક્લાસિકલ "ડાબે-જમણે" સમપ્રમાણતા, જ્યારે ફોર્મનો અડધો ભાગ, જેવો હતો, અરીસાની છબીઅન્ય કાલ્પનિક પ્લેન જે આવી આકૃતિઓને બે અરીસા જેવા સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે તેને સમપ્રમાણતાનું પ્લેન કહેવામાં આવે છે અને લેટિન અક્ષર "m" દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

કેન્દ્રીય-અક્ષીય સમપ્રમાણતા (અક્ષીય, રોટેશનલ સપ્રમાણતા).

સમપ્રમાણતાના બે અથવા વધુ વિમાનોના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલી કેન્દ્રીય (ઘણી વખત ઊભી) અક્ષ વિશેની સપ્રમાણતા. મુ સંપૂર્ણ વળાંક(360*) આકાર ઘણી વખત પોતાની સાથે જોડાય છે. આવા સંયોજનોની સંખ્યા સમપ્રમાણતાના અક્ષ (પરિવર્તનની સંખ્યા) નો ક્રમ નક્કી કરે છે, જે લેટિન અક્ષર "n" અને સંખ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ચોરસમાં ચાર ગણો અક્ષ (“n4”), ષટ્કોણમાં છ-અક્ષ હોય છે અને પેન્ટાગ્રામમાં પાંચ ગણો અક્ષ હોય છે.

અનુવાદ સમપ્રમાણતા (અનુવાદ સમપ્રમાણતા).

"અનંત" આકૃતિઓ તરફ દોરી જતું સૌથી સરળ રૂપાંતરણ એ એક સીધી રેખા સાથે તત્વનું મર્યાદિત લંબાઈના સેગમેન્ટમાં ટ્રાન્સફર છે - "a". માર્ગદર્શિકાને અનુવાદ અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને અંતરાલોને અનુવાદ અવધિ કહેવામાં આવે છે. જો અસમપ્રમાણતાવાળા તત્વને ધરી સાથે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, તો તેઓ ધ્રુવીય અક્ષની વાત કરે છે, જેનો અર્થ છે કે ગુણધર્મો રેખીય આકારએક દિશામાં વિરુદ્ધ દિશામાં કરતાં અલગ છે. આમ, આર્કિટેક્ચર પર ભાર મૂકે છે આગળ ચળવળએક દિશામાં.

અનુવાદ અક્ષ ઉપરાંત, અન્ય પ્રકારના રૂપાંતરણો પરિવર્તનમાં સામેલ થઈ શકે છે - પ્રતિબિંબ અને પરિભ્રમણ. વધુ જટિલ "રેખાંકનો" આંશિક અંતરાલો (1/2, ¼, ¾, વગેરે) નો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે. તેવી જ રીતે, "બોર્ડર્સ" (ફ્રેન્ચ બોર્ડર્સ) તરીકે ઓળખાતી રેખીય અનંત પેટર્ન બનાવવામાં આવે છે. આ પ્રકારના સપ્રમાણ રૂપાંતરણોને BERDSની સમપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે, અને તેમાં, અનુવાદની સમપ્રમાણતાની જેમ, ધ્રુવીય (દિશાત્મક) સ્વરૂપો અને બિન-ધ્રુવીય સ્વરૂપોને અલગ પાડવામાં આવે છે.

મેશ ઓર્નામેન્ટ્સ અને ટાઈટ પેકિંગની સમપ્રમાણતા. ("Parquets").

આ પ્રકારની સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ સજાતીય પદાર્થોનું વર્ણન અને વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે. સમાન તત્વોરચનાઓ, વોલ્યુમેટ્રિક અને પ્લાનર બંને.

સૌથી સરળ જાળીદાર આભૂષણ એ સમાંતરગ્રામની ગ્રીડ છે. ફ્લેટ ગ્રીડમાં બે બિન-સમાંતર અનુવાદ અક્ષો હોય છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, "ફ્લેટ" ગ્રીડ એ યોજનાનું મર્યાદિત વિભાગોમાં વિભાજન છે, જે ઉપરાંત ઓળખ પરિવર્તનબે વધુ નોનકોલિનિયર શિફ્ટ ઓટોમોર્ફિઝમ્સ સ્વીકારે છે. નોડ્સને કનેક્ટ કરવાની પદ્ધતિઓ પર આધાર રાખીને, અસંખ્ય મેશેસ નોડ્સની સમાન સિસ્ટમને અનુરૂપ છે. તમામ બિંદુ પ્રણાલીઓમાં અનુવાદ અક્ષો ઉપરાંત અન્ય સમપ્રમાણતા તત્વો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નિયમિત ત્રિકોણાકાર જાળી, જેના દરેક શિરોબિંદુ પર ત્રણ માર્ગદર્શિકા એકબીજાને છેદે છે અને તેમાં છ છે ઊભી અક્ષોગાંઠોમાં.

સપ્રમાણતા અને કોષ પરિમાણમાં એકબીજાથી ભિન્ન હોય તેવા બિંદુઓની માત્ર પાંચ સમાંતર ચતુષ્કોણ પ્રણાલીઓ છે:

ચોરસ સિસ્ટમગાંઠો

સાચો ત્રિકોણાકાર સિસ્ટમગાંઠો

રોમ્બિક ગાંઠ સિસ્ટમ,

લંબચોરસ સિસ્ટમગાંઠો

ગાંઠોની ત્રાંસી સમાંતરગ્રામ સિસ્ટમ.

બિન-લંબચોરસ મેશના આધારે, વિમાનોને વિભાજીત કરવા માટે તદ્દન અભિવ્યક્ત સિસ્ટમો પ્રાપ્ત થાય છે.

ક્યારે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાપોઈન્ટની પાંચ પ્રણાલીઓને અલગ પાડવાનું શક્ય છે, પરંતુ 14 અનંત આકૃતિઓ, જેને બ્રાવાઈસ જાળી કહેવાય છે.

સર્પાકાર સમપ્રમાણ (હેલિકલ).

આ સમપ્રમાણતા જૂથ રચાય છે ક્રમિક રૂપાંતરણસ્વરૂપો, બે પ્રકારોનો ઉપયોગ કરીને - પરિભ્રમણ અને અનુવાદ. એક આકૃતિમાં સમપ્રમાણતાનો "હેલિકલ અક્ષ" હોય છે જો તે અનુગામી બે કામગીરી કર્યા પછી તેની સાથે સંરેખણમાં આવે છે: એક ખૂણા દ્વારા પરિભ્રમણ અને પરિભ્રમણ અક્ષ સાથે 1 જેટલું અંતર દ્વારા અનુવાદ. જો કોણ 360*/ n છે, તો સ્ક્રુ અક્ષને ક્રમ n/....ની અક્ષ કહેવામાં આવે છે. ટ્વિસ્ટિંગ જમણી અને ડાબી બંને તરફ કરી શકાય છે, તેથી જમણી અને ડાબી બાજુના સ્ક્રુ અક્ષો વચ્ચે તફાવત બનાવવામાં આવે છે. સર્પાકાર રજૂ કરે છે લોકસબિંદુઓ કે જે એક બાંધકામના નિયમને સંતોષે છે, જેમ કે આર્કિમીડીયન સર્પાકાર r = a

સમાનતાની સમપ્રમાણતા.

આકૃતિઓના પરિવર્તનની પ્રકૃતિ અનુસાર, ISOMETRIC (ઓર્થોગોનલ) અને NON-ISOMETRIC (એફાઇન, પ્રોજેક્ટિવ, વગેરે) સમપ્રમાણતા જૂથોને અલગ પાડવામાં આવે છે.

આઇસોમેટ્રિક - પરિભ્રમણના જૂથો, પ્રતિબિંબ, અનુવાદો, મૂળ તત્વોના મેટ્રિક ગુણધર્મોને સાચવે છે. આમાં ઉપર ચર્ચા કરેલ તમામ સમપ્રમાણતા જૂથોનો સમાવેશ થાય છે. અનંત આકૃતિઓના આઇસોમેટ્રિક રૂપાંતરણોને અન્યથા "ચલન" કહેવામાં આવે છે.

AFFINE જૂથોમાં સજાતીય વિકૃતિઓના સેટનો સમાવેશ થાય છે - સ્ટ્રેચિંગ, કમ્પ્રેશન, પરિપ્રેક્ષ્ય સંકોચન, અનંત આકૃતિઓ દ્વારા માન્ય છે.

સમાનતા રૂપાંતર જૂથો એફાઈન જૂથોનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે. તત્વો ક્રમિક શ્રેણી સમાન આંકડાએકબીજા સાથે સુસંગત છે પ્રમાણસર નિર્ભરતા. તેઓ અંકગણિત, ભૌમિતિક અથવા હાર્મોનિક પ્રગતિના મૂલ્યો દ્વારા સંબંધિત હોઈ શકે છે.

આમ સાત મુખ્ય સમપ્રમાણતા જૂથો છે. સમપ્રમાણતા અક્ષોની સંખ્યા અને અન્ય રૂપાંતરણોને સંયોજિત કરવાથી આ જૂથોના આધારે 230 મેળવવાનું શક્ય બને છે. શક્ય પ્રકારોજગ્યાને સજાતીય તત્વોમાં વિભાજીત કરતી બિંદુ જાળીઓ.

માલોયાઝોવસ્કાયા બશ્કીર વ્યાયામશાળા

ભૂમિતિ

નિબંધ

"આકાર પરિવર્તન"

આના દ્વારા પૂર્ણ: ધોરણ 10 B ના વિદ્યાર્થી

ખલીયુલિન એ.એન.

ચકાસાયેલ: Israfilova R.Kh.

મલોયાઝ 2003

આઈ . પરિવર્તન.

II . પરિવર્તનના પ્રકારો

1. હોમોથેટી

2. સમાનતા

3. ચળવળ

III . ચળવળના પ્રકારો

1. બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા

2. સીધી રેખા વિશે સપ્રમાણતા

3. પ્લેનની તુલનામાં સમપ્રમાણતા

4. ફેરવો

5. સમાંતર ટ્રાન્સફરઅવકાશ મા

આઈ . રૂપાંતર- આપેલ આકૃતિના દરેક બિંદુનું કોઈ રીતે વિસ્થાપન, અને નવી આકૃતિ મેળવવી.

II . અવકાશમાં પરિવર્તનના પ્રકાર : સમાનતા, સમાનતા, ચળવળ.

આકૃતિ Fનું રૂપાંતરણ કહેવાય છે સમાનતા પરિવર્તન,જો આ રૂપાંતર દરમિયાન પોઈન્ટ વચ્ચેનું અંતર સમાન સંખ્યામાં બદલાય છે, એટલે કે. આકૃતિ F ના કોઈપણ પોઈન્ટ X અને Y અને પોઈન્ટ X', આકૃતિ F' ના Y' જ્યાં તે જાય છે, X'Y' = k * XY.

સમાનતા ગુણધર્મો: 1. સમાનતા રેખાઓને સીધી રેખાઓમાં, અર્ધ-રેખાને અર્ધ-લાઇનમાં, વિભાગોને ભાગોમાં પરિવર્તિત કરે છે.

2. સમાનતા અર્ધ-રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓને સાચવે છે

3. સમાનતા વિમાનોને વિમાનમાં પરિવર્તિત કરે છે.

બે આકૃતિઓ સમાનતા રૂપાંતર દ્વારા એકબીજામાં પરિવર્તિત થાય તો તેને સમાન કહેવામાં આવે છે.

હોમોથેટી

હોમોથેટી એ હોમોથેટી ગુણાંક k સાથે કેન્દ્ર O ના સંદર્ભમાં સૌથી સરળ પરિવર્તન છે. આ એક રૂપાંતર છે જે કિરણ OX ના મનસ્વી બિંદુ X'ને રૂપાંતરિત કરે છે જેમ કે OX' = k*OX.

હોમોથેટી પ્રોપર્ટી: 1. હોમોથેટી ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને, તે કોઈપણ પ્લેન જે હોમોથેટી સેન્ટરમાંથી પસાર થતું નથી સમાંતર વિમાન(અથવા તમારી જાતને જ્યારે k =1).

પુરાવો. ખરેખર, O ને હોમોથેટી સેન્ટર બનવા દો અને કોઈ પણ પ્લેન હોઈએ જે O બિંદુમાંથી પસાર ન થાય. પ્લેન a માં કોઈપણ સીધી રેખા AB લો. હોમોથેટી ટ્રાન્સફોર્મેશન રે OA પર પોઈન્ટ A થી પોઈન્ટ A' લે છે અને OA'/OA = k, OB'/OB = k સાથે રે OB પર પોઈન્ટ B થી પોઈન્ટ B લે છે, જ્યાં k એ હોમોથેટી ગુણાંક છે. આ AOB અને A'OB' ત્રિકોણની સમાનતા સૂચવે છે. ત્રિકોણની સમાનતામાંથી સમાનતા અનુસરે છે અનુરૂપ ખૂણા OAB અને OA'B', જેનો અર્થ થાય છે સીધી રેખાઓ AB અને A'B'ની સમાંતરતા. ચાલો હવે પ્લેન a માં બીજી સીધી રેખા AC લઈએ. હોમોથેટી હેઠળ, તે સમાંતર રેખા A'C' પર જશે. વિચારણા હેઠળની સમાનતા સાથે, પ્લેન a એ પ્લેનમાં જશે, A'B', A'C' રેખાઓમાંથી પસાર થશે. ત્યારથી A'B'||AB અને A'C'||AC, પછી પ્રમેય દ્વારા એક વિમાનની બે છેદતી રેખાઓ અનુક્રમે બીજા સમતલની છેદતી રેખાઓ સાથે સમાંતર હોવાથી, સમતલ a અને a' સમાંતર છે, જે શું છે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ચળવળ

ચળવળ- એક આકૃતિનું બીજામાં રૂપાંતર જો તે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સાચવે છે, એટલે કે. એક આકૃતિના કોઈપણ બે બિંદુ X અને Y ને બીજી આકૃતિના X, Y માં રૂપાંતરિત કરે છે જેથી XY = XY

ચળવળ ગુણધર્મો: 1. ખસેડતી વખતે, સીધી રેખા પર પડેલા બિંદુઓ સીધી રેખા પર પડેલા બિંદુઓમાં પરિવર્તિત થાય છે, અને તેમની સંબંધિત સ્થિતિનો ક્રમ જાળવવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે જો A, B, C, રેખા પર પડેલા હોય, તો A 1, B 1, C 1 બિંદુઓ પર જાઓ. પછી આ બિંદુઓ પણ એક સીધી રેખા પર આવેલા છે; જો બિંદુ B બિંદુ A અને C વચ્ચે આવેલું છે, તો બિંદુ B 1 બિંદુ A 1 અને C 1 વચ્ચે આવેલું છે.

પુરાવો. રેખા AC ના બિંદુ B એ બિંદુ A અને C વચ્ચે આવેલા છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે બિંદુ A 1 , B 1 , C 1 એ જ રેખા પર આવેલા છે.

જો બિંદુઓ A 1 , B 1 , C 1 રેખા પર આવેલા નથી, તો તે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે. તેથી A 1 C 1< A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC

અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચ્યા છીએ. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ B 1 એ રેખા A 1 C 1 પર આવેલો છે. પ્રમેયનું પ્રથમ વિધાન સાબિત થાય છે.

ચાલો હવે બતાવીએ કે બિંદુ B 1 A 1 અને C 1 ની વચ્ચે આવેલો છે. ચાલો ધારીએ કે બિંદુ A 1 બિંદુ B 1 અને C 1 વચ્ચે આવેલું છે. પછી A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1, અને તેથી AB+AC=BC. પરંતુ આ અસમાનતા AB+BC=AC નો વિરોધાભાસ કરે છે. આમ, બિંદુ A 1 બિંદુ B 1 અને C 1 વચ્ચે ન હોઈ શકે.

આપણે એ જ રીતે સાબિત કરીએ છીએ કે બિંદુ C 1 એ બિંદુ A 1 અને B 1 વચ્ચે રહેતું નથી.

ત્રણ બિંદુઓમાંથી A 1 , B 1 , C 1 એક બીજા બે વચ્ચે આવેલો હોવાથી આ બિંદુ માત્ર B 1 જ હોઈ શકે છે. પ્રમેય સંપૂર્ણપણે સાબિત થાય છે.

2. ખસેડતી વખતે, સીધી રેખાઓ સીધી રેખાઓમાં ફેરવાય છે, અર્ધ-સીધી રેખાઓ અડધી સીધી રેખામાં, ભાગોને ભાગોમાં ફેરવે છે

3. ખસેડતી વખતે, અર્ધ-રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓ સાચવવામાં આવે છે.

પુરાવો. AB અને AC એ બિંદુ A માંથી નીકળતી બે અર્ધ-રેખા હોવા દો, પરંતુ આ રેખા પર આવેલા નથી. ખસેડતી વખતે, આ અર્ધ-રેખાઓ કેટલીક અર્ધ-રેખા A 1 B 1 અને A 1 C 1 માં પરિવર્તિત થાય છે. ગતિ અંતરને સાચવતી હોવાથી, ત્રિકોણ ABC અને A 1 B 1 C 1 ત્રિકોણની સમાનતાના ત્રીજા માપદંડ મુજબ સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે કોણ BAC અને B 1 A 1 C 1 સમાન છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

4. ચળવળ વિમાનને વિમાનમાં પરિવર્તિત કરે છે.

ચાલો આ મિલકત સાબિત કરીએ. એક મનસ્વી પ્લેન બનવા દો. ચાલો તેના પર કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ A, B, C ચિહ્નિત કરીએ જે સમાન રેખા પર ન હોય. ચાલો તેમના દ્વારા એક વિમાન દોરીએ.

ચાલો સાબિત કરીએ કે વિચારણા હેઠળની ગતિ દરમિયાન પ્લેન a પ્લેન a માં રૂપાંતરિત થાય છે".

તેથી સીધી રેખા a" સમતલ a માં આવે છે". બિંદુ X, જ્યારે ખસેડે છે, ત્યારે સીધી રેખા a ના બિંદુ X" અને તેથી પ્લેન a" પર જાય છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

અવકાશમાં, તેમજ પ્લેનમાં, બે આકૃતિઓ કહેવામાં આવે છે સમાન, જો તેઓ ચળવળ દ્વારા જોડાયેલા હોય.

III . ચળવળના પ્રકારો: બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા, સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતા, વિમાન વિશેની સમપ્રમાણતા, પરિભ્રમણ, ચળવળ, સમાંતર અનુવાદ.

બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા

આકૃતિ F નું આકૃતિ F માં રૂપાંતર", જેમાં તેના દરેક બિંદુ X બિંદુ X પર જાય છે", આપેલ બિંદુ O ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણતા, કહેવામાં આવે છે બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતાનું પરિવર્તન O. આ કિસ્સામાં, આકૃતિઓ F અને F" કહેવામાં આવે છે બિંદુ વિશે સપ્રમાણઓ.

ઉદાહરણ તરીકે, સમાંતર ચતુષ્કોણ એ કેન્દ્રિય સપ્રમાણ આકૃતિ છે. તેનું સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ છે.

પ્રમેય: બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતાનું રૂપાંતર એ એક ચળવળ છે.

પુરાવો. X અને Y એ આકૃતિ F ના બે મનસ્વી બિંદુઓ હોવા દો. બિંદુ O વિશે સપ્રમાણતા રૂપાંતર તેમને X" અને Y" બિંદુઓમાં પરિવર્તિત કરે છે. ત્રિકોણ XOY અને X"OY" ને ધ્યાનમાં લો. આ ત્રિકોણ પ્રથમ ત્રિકોણ સમાનતા માપદંડ અનુસાર એકરૂપ છે. શિરોબિંદુ O પરના તેમના ખૂણાઓ વર્ટિકલ સમાન છે, અને બિંદુ O ના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતાની વ્યાખ્યા દ્વારા OX=OX", OY=OY". ત્રિકોણની સમાનતાથી બાજુઓની સમાનતાને અનુસરે છે: XY=X"Y". આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ O વિશેની સમપ્રમાણતા એ ગતિ છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતા

ચાલો જી એક નિશ્ચિત રેખા બનીએ. ચાલો એક મનસ્વી બિંદુ X લઈએ અને કાટખૂણે AX ને સીધી રેખા g પર છોડીએ. બિંદુ A થી આગળના લંબને ચાલુ રાખવા પર આપણે AX સેગમેન્ટને છૂટા કરીએ છીએ, AX સેગમેન્ટની બરાબર છે. પોઇન્ટ X" કહેવાય છે. સપ્રમાણ બિંદુએક્સ પ્રમાણમાં સીધા g જો બિંદુ X રેખા g પર આવેલું હોય, તો તે બિંદુ X પોતે જ છે, દેખીતી રીતે, બિંદુ X" માટે સપ્રમાણતા બિંદુ X છે.

જો સીધી રેખા g ના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતા રૂપાંતરણ આકૃતિ F ને પોતાની અંદર લે છે, તો આ આકૃતિ કહેવાય છે સીધા સાપેક્ષ સપ્રમાણ g, અને રેખા g કહેવામાં આવે છે સમપ્રમાણતાની અક્ષઆંકડા

ઉદાહરણ તરીકે, તેની બાજુઓના સમાંતર લંબચોરસના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ એ લંબચોરસની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે. સીધી રેખાઓ કે જેના પર સમચતુર્ભુજના કર્ણ આવેલા છે તે તેની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે.

પ્રમેય: સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતાનું પરિવર્તન એ એક ચળવળ છે.

ચાલો બે મનસ્વી બિંદુઓ A (x;y) અને B (x;y) લઈએ. તેઓ પોઈન્ટ A" (-x;y) અને B" (-x;y) પર જશે.

AB 2 =(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2

A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2

આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે AB=A"B". આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતાનું પરિવર્તન ગતિ છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્લેનની તુલનામાં સમપ્રમાણતા

એક મનસ્વી નિશ્ચિત પ્લેન બનવા દો. આકૃતિના બિંદુ X થી આપણે કાટખૂણે XA ને પ્લેન a પર નીચે કરીએ છીએ અને બિંદુ A થી આગળ તેના વિસ્તરણ પર આપણે AX" XA ની બરાબર છે. બિંદુ X" કહેવાય છે. સપ્રમાણપ્લેન a ની સાપેક્ષમાં બિંદુ X, અને તે રૂપાંતરણ કે જે X ને બિંદુ X સપ્રમાણ સુધી લઈ જાય છે તેને કહેવાય છે પ્લેનની તુલનામાં સમપ્રમાણતાનું પરિવર્તન a

પ્લેનનું ભૌમિતિક રૂપાંતર એ આ પ્લેનનું એક-થી-એક મેપિંગ છે. સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભૌમિતિક પરિવર્તન હલનચલન છે, એટલે કે. અંતર જાળવતું પરિવર્તન. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો પ્લેનની ગતિ છે, તો આ પ્લેનના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર અને બરાબર છે.

હલનચલન આકૃતિઓની સમાનતા (એકરૂપતા) ની વિભાવના સાથે સંકળાયેલી છે: બે આકૃતિઓ અને પ્લેન એ સમાન કહેવાય છે જો આ પ્લેનની હિલચાલ હોય જે પ્રથમ આકૃતિને બીજામાં સ્થાનાંતરિત કરે છે. વાસ્તવમાં, આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ યુક્લિડ (જુઓ ભૂમિતિ) દ્વારા પણ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે બે આંકડાઓને સમાન ગણાવ્યા હતા જો તેમાંથી એકને બીજા પર સુપરઇમ્પોઝ કરી શકાય જેથી તેઓ તેમના તમામ બિંદુઓ સાથે સુસંગત હોય; અહીં, સુપરપોઝિશનને નક્કર સંપૂર્ણ (અંતર બદલ્યા વિના) તરીકે આકૃતિને ફરીથી ગોઠવવા તરીકે સમજવું જોઈએ, એટલે કે. ચળવળ

પ્લેન હલનચલનના ઉદાહરણો અક્ષીય અને કેન્દ્રિય સમપ્રમાણતા, સમાંતર અનુવાદ અને પરિભ્રમણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સમાંતર ટ્રાન્સફરની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ. પ્લેનના કેટલાક વેક્ટર બનવા દો. એક ભૌમિતિક રૂપાંતરણ જે દરેક બિંદુને એવા બિંદુ સુધી લઈ જાય છે કે (ફિગ. 1) વેક્ટરને સમાંતર ટ્રાન્સફર કહેવાય છે. સમાંતર ટ્રાન્સફર એક ચળવળ છે: જો પોઈન્ટ અને જાઓ અને, એટલે કે. , , પછી , અને તેથી .

હલનચલનનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, આંતરછેદને સાચવવાની મિલકતનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે: કોઈપણ ચળવળ સાથે, આકૃતિઓનું આંતરછેદ તેમની છબીઓના આંતરછેદમાં ફેરવાય છે, એટલે કે. જો - મનસ્વી આકૃતિઓ, તો પછી આકૃતિ ચળવળના પરિણામે આકૃતિમાં ફેરવાય છે. (સમાન મિલકત સંઘ માટે ધરાવે છે.)

સમસ્યા 1. એક વર્તુળ, જેનું કેન્દ્ર કોણના દ્વિભાજકનું છે, તેની બાજુઓને બિંદુઓ પર છેદે છે અને (ફિગ. 2). તે સાબિત કરો.

ઉકેલ. ચાલો આપણે કોણની એક બાજુ દ્વારા અને વડે - વર્તુળ જેની સીમા પ્રશ્નમાં રહેલું વર્તુળ છે તે દર્શાવીએ. કોણના દ્વિભાજકની તુલનામાં સમપ્રમાણતા સાથે, કિરણ કિરણમાં પરિવર્તિત થાય છે, જે કોણની બીજી બાજુ બનાવે છે, અને વર્તુળ પોતાનામાં રૂપાંતરિત થાય છે: , . આંતરછેદ સંરક્ષણ મિલકત અનુસાર, આકૃતિ , એટલે કે, માં જાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સેગમેન્ટ સેગમેન્ટમાં જાય છે અને તેથી .

સમસ્યા 2. એક ખૂણાની અંદર આપેલ બિંદુ દ્વારા (અવરોધિત કરતા નાના), એક સીધી રેખા દોરો, જેનો ભાગ, કોણની બાજુઓ વચ્ચે બંધાયેલ છે, આ બિંદુએ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે.

ઉકેલ. ચાલો બિંદુ વિશેની સમપ્રમાણતા દ્વારા દર્શાવીએ અને સીધી રેખાઓ જેના પર કોણની બાજુઓ આવેલી છે (ફિગ. 3). સપ્રમાણતાના પરિણામે, સીધી રેખા તેની સમાંતર સીધી રેખામાં પરિવર્તિત થાય છે, જે બિંદુ પરના ખૂણાની બીજી બાજુને છેદે છે. ત્યારથી, પછી એક બિંદુ જે સપ્રમાણ છે તે રેખા સાથે સંબંધિત છે જે સપ્રમાણ છે, એટલે કે. . આમ, બિંદુઓ અને નાં સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, અને તેથી સેગમેન્ટ બિંદુ પર અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે, એટલે કે. સીધું - ઇચ્છિત.

કાર્ય 1 માં અક્ષીય સમપ્રમાણતા અને કાર્ય 2 માં કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા શા માટે વપરાય છે તે સમજવું મુશ્કેલ નથી. કોણનું દ્વિભાજક તેની સમપ્રમાણતાની અક્ષ હોવાથી, સમસ્યા 1 માં અક્ષીય સમપ્રમાણતા લાગુ કરવાનો પ્રયાસ સંપૂર્ણપણે કુદરતી છે (સમસ્યા 2 માં કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતાના ઉપયોગની જેમ જ, કારણ કે સેગમેન્ટને એક બિંદુએ અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે, એટલે કે. જરૂરી બિંદુઓ બિંદુની તુલનામાં સપ્રમાણતા હોવા જોઈએ). અને અન્ય કિસ્સાઓમાં, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓનું વિશ્લેષણ તમને ચળવળ શોધવાની મંજૂરી આપે છે, જેનો ઉપયોગ ઉકેલ આપે છે.

સમસ્યા 3. બાજુઓ પર અને ત્રિકોણ, ચોરસ અને તેની બહાર બાંધવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે સેગમેન્ટ ત્રિકોણના મધ્યકને લંબ છે અને આ મધ્યક કરતાં બમણું લાંબું છે.

ઉકેલ. ચાલો 90° પરિભ્રમણ લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, એટલે કે, ખાતરી કરો કે જ્યારે બિંદુ (ઘડિયાળની દિશામાં) ની આસપાસ 90° ફેરવવામાં આવે, ત્યારે સેગમેન્ટ સમાંતર અને બમણી લંબાઈ ધરાવતા સેગમેન્ટમાં ફેરવાઈ જશે. આ પરિભ્રમણ સાથે, વેક્ટર (ફિગ. 4) માં જાય છે, અને વેક્ટર . તેથી, વેક્ટર માં જાય છે, એટલે કે માં પરંતુ ત્યારથી. તેથી, જ્યારે 90° દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે વેક્ટરનું રૂપાંતર થાય છે, એટલે કે. સમાન વેક્ટરમાં તે આમાંથી અનુસરે છે કે અને .

હલનચલન અને અભિગમ વચ્ચેનું જોડાણ ખૂબ મહત્વનું છે. ફિગ માં. આકૃતિ 5 બહુકોણ બતાવે છે, જેના સમોચ્ચ પર ટ્રાવર્સલની સકારાત્મક દિશા નિર્દિષ્ટ છે (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં). સમાંતર અનુવાદ સાથે, બહુકોણ સમાન ટ્રાવર્સલ દિશા સાથે મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે. સમાંતર ટ્રાન્સફર ટ્રાવર્સલની દિશાને સાચવે છે, અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, ઓરિએન્ટેશન સાચવે છે. પરિભ્રમણ (ખાસ કરીને કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા, જે 180° પરિભ્રમણ છે) પણ ઓરિએન્ટેશનને સાચવે છે (આકૃતિ 6). તેનાથી વિપરિત, અક્ષીય સમપ્રમાણતા બાયપાસ (ફિગ. 7) ની દિશાને ઉલટાવે છે, એટલે કે. અભિગમ બદલાય છે. ચળવળનું બીજું ઉદાહરણ કે જે ઓરિએન્ટેશનમાં ફેરફાર કરે છે તે સ્લાઇડિંગ સપ્રમાણતા છે, એટલે કે. અમુક રેખા અને સમાંતર અનુવાદના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતાની રચના, જેનો વેક્ટર સમાંતર છે (ફિગ. 8).

19મી સદીના ફ્રેન્ચ મિકેનિક અને જિયોમીટર. એમ. ચાલ્સે નીચેનું પ્રમેય ઘડ્યો: પ્લેનની કોઈપણ દિશા-સંરક્ષિત હિલચાલ કાં તો સમાંતર અનુવાદ અથવા પરિભ્રમણ છે; પ્લેનની કોઈપણ હિલચાલ કે જે ઓરિએન્ટેશનમાં ફેરફાર કરે છે તે અક્ષીય અથવા સરકતી સમપ્રમાણતા છે.

સમસ્યા 4. સાબિત કરો કે છેદતી અક્ષો સાથે બે અક્ષીય સમપ્રમાણતાઓની રચના પરિભ્રમણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

ઉકેલ. ચાલો અને અક્ષીય સમપ્રમાણતા હોઈએ જેની અક્ષો (સીધી રેખાઓ અને ) બિંદુ પર છેદે છે. બંને હિલચાલ ઓરિએન્ટેશનમાં ફેરફાર કરતી હોવાથી, તેમની રચના (પહેલા કરવામાં આવે છે, પછી ) એ ઓરિએન્ટેશન-સંરક્ષિત ચળવળ છે. ચલના પ્રમેય મુજબ, ક્યાં તો સમાંતર અનુવાદ અથવા પરિભ્રમણ છે. પરંતુ દરેક ચળવળ દરમિયાન બિંદુ ગતિહીન હોવાથી, તેમની રચના દરમિયાન બિંદુ સ્થાને રહે છે. તેથી, બિંદુની આસપાસ એક પરિભ્રમણ છે. પરિભ્રમણનો કોણ કેવી રીતે શોધવો તે ફિગમાંથી સ્પષ્ટ છે. 9: જો સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ છે અને , તો પછી (બિંદુનું ભાષાંતર ચળવળ દ્વારા થાય છે, અને હિલચાલ દ્વારા બિંદુ સપ્રમાણતાના સંદર્ભમાં) જે ચળવળમાં અનુવાદ થાય છે તે કોણ દ્વારા પરિભ્રમણ (બિંદુની આસપાસ) છે .

પ્લેનના ભૌમિતિક પરિવર્તનનું આગલું સૌથી મહત્વપૂર્ણ જૂથ સમાનતા પરિવર્તન છે. તેમાંથી સૌથી સરળ હોમોથેટી છે. ચાલો યાદ કરીએ કે કેન્દ્ર અને ગુણાંક સાથેની સમાનતા એ ભૌમિતિક રૂપાંતરણ છે જે મનસ્વી બિંદુને એવા બિંદુમાં પરિવર્તિત કરે છે (ફિગ. 10). હોમોથેટી દરેક લાઇનને તેની સમાંતર રેખામાં રૂપાંતરિત કરે છે, અને દરેક વર્તુળને ફરીથી વર્તુળમાં પરિવર્તિત કરે છે. હોમોથેટી એંગલ્સને સાચવે છે, અને પરિબળ દ્વારા તમામ લંબાઈને વધારે છે: જો હોમોથેટી હેઠળ પોઈન્ટ જાય છે, તો . તે આનાથી અનુસરે છે કે હોમોથેટી આકૃતિઓના આકાર (પરંતુ કદને નહીં) સાચવે છે; જો, ઉદાહરણ તરીકે, તો કેન્દ્ર અને ગુણાંક સાથે સમાનતા દરમિયાન આકૃતિ જે આકૃતિમાં જાય છે તે આકૃતિની વિસ્તૃત નકલ છે (ફિગ. 10), અને જો તે ઘટેલી નકલ છે.

હોમોથેટીમાં બધી લંબાઈ એકસરખી સંખ્યામાં બદલાતી હોવાથી, લંબાઈનો ગુણોત્તર બદલાતો નથી. અંતરનો અંદાજ કાઢવાની વિવિધ પદ્ધતિઓ આના પર આધારિત છે; ઉદાહરણ તરીકે, હાથની લંબાઇ અને અંગૂઠાની લંબાઇને જાણીને અને વિસ્તરેલા હાથનો અંગૂઠો ઑબ્જેક્ટની દૃશ્યમાન છબી સાથે કેટલી વાર બંધબેસે છે તેનો અંદાજ લગાવવાથી, વ્યક્તિ ઊભી વસ્તુની ઊંચાઈ અને અંતરનો ગુણોત્તર શોધી શકે છે. તેના માટે (ફિગ. 11 માં આપણી પાસે છે , જ્યાંથી, માપવાથી, તમે શોધી શકો છો , અને તેથી પાઇપની ઊંચાઈ, જે લગભગ ત્રણ ગણી મોટી છે).

કાર્ય 5. આપેલ સેક્ટરમાં કોતરેલ ચોરસ બનાવો (ચોરસના બે શિરોબિંદુઓ એક ત્રિજ્યા પર, ત્રીજું બીજા પર, ચોથું સેક્ટરની ચાપ પર છે).

ઉકેલ. ચાલો અને (ફિગ. 12) ખૂણામાં કોતરેલા બે ચોરસ હોઈએ. કેન્દ્ર સાથેની હોમોથેટી સાથે, જે બિંદુને , પર લઈ જાય છે (આ હોમોથેટીનો ગુણાંક બરાબર છે), સેગમેન્ટ સેગમેન્ટમાં પરિવર્તિત થાય છે, અને તેથી ચોરસ ચોરસમાં રૂપાંતરિત થાય છે (કોણથી, તેમજ ગુણોત્તર સેગમેન્ટ્સ, સાચવેલ છે). તે આનાથી અનુસરે છે કે શિરોબિંદુઓ અને બિંદુમાંથી નીકળતા સમાન કિરણ પર આવેલા છે. હવે તે સ્પષ્ટ છે કે એક ખૂણામાં અંકિત કેટલાક ચોરસ બાંધીને અને કિરણ દોરવાથી, આપણે ઇચ્છિત ચોરસનું શિરોબિંદુ (એટલે ​​​​કે, સેક્ટરની ચાપ સાથે કિરણના આંતરછેદનું બિંદુ) શોધી શકીએ છીએ અને પછી જરૂરી પૂર્ણ કરી શકીએ છીએ. ચોરસ (ફિગ. 13).

પ્લેન ટ્રાન્સફોર્મેશનને ગુણાંક સાથે સમાનતા કહેવામાં આવે છે જો પ્લેનના કોઈપણ બિંદુઓ માટે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર અને બરાબર હોય. કોઈપણ સમાનતા (જેમ કે હોમોથેટી - સમાનતાનો વિશેષ કેસ) ખૂણાઓ, તેમજ લંબાઈના ગુણોત્તરને સાચવે છે, એટલે કે. આકૃતિઓનો આકાર જાળવી રાખે છે. જો કે, સમાનતાથી વિપરીત, સમાનતા એક રેખાને એક રેખામાં પરિવર્તિત કરી શકે છે જે તેની સમાંતર નથી.

ફિગ માં. આકૃતિ 14 એ સમાન વિસ્તારની બે યોજનાઓ બતાવે છે, જે અલગ-અલગ ભીંગડા પર બનાવેલ છે અને પ્લેન પર અલગ રીતે પડેલી છે. આ વિમાનો સમાન પરંતુ હોમોથેટિક આકૃતિઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા નથી; ઉદાહરણ તરીકે, રેખા અને તેની અનુરૂપ રેખા સમાંતર નથી. યોજનામાંથી યોજના મેળવવા માટે, તમે આ કરી શકો છો: પ્રથમ યોજનાને ફેરવો જેથી કરીને તેની બાજુઓ યોજનાની બાજુઓની સમાંતર બને, અને પછી હોમોથેટી લાગુ કરો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચળવળ (પરિભ્રમણ) અને હોમોથેટીની રચનાનો ઉપયોગ કરીને , જેવી યોજના મેળવવામાં આવે છે.

આ સંજોગો સામાન્ય છે, એટલે કે. કોઈપણ સમાનતા એક રચનાના સ્વરૂપમાં રજૂ થાય છે, જ્યાં ચળવળ છે અને સમાનતા છે. આના પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે સમાનતા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, વ્યક્તિ પોતાની જાતને માત્ર હોમોથેટી (કેટલીક ચળવળ સાથે) ને ધ્યાનમાં રાખીને મર્યાદિત કરી શકે છે. આમાં ચોક્કસ સગવડતાઓ છે: યાદ રાખો કે બાજુઓના ગુણોત્તરની સમાનતા લખતી વખતે અલગ અલગ રીતે સ્થિત સમાન ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ જોવા મળે છે (અને આ સંબંધોને હોમોથેટિક ત્રિકોણ માટે કેટલી સરળતા સાથે લખવામાં આવે છે).

સમસ્યા 6. ત્રિકોણની બાજુઓ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે. સાબિત કરો કે કોણ કોણ કરતા બમણું છે.

ઉકેલ. લીટી પર એક બિંદુ બનીએ જેમ કે , અને વચ્ચે આવેલું છે (ફિગ. 15). પછી ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે, અને તેથી ; ઉપરાંત, . કોણ દ્વિભાજકના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતા સાથે, બિંદુઓ અને બિંદુઓમાં રૂપાંતરિત થશે અને જેમ કે , ; ઉપરાંત . સમાનતા ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે

જ્યાંથી તે અનુસરે છે કે કેન્દ્ર અને ગુણાંક સાથે સમાનતા હેઠળ બિંદુઓ જાય છે. તેથી અને કારણ કે, એટલે કે. . ત્રિકોણનો બાહ્ય કોણ હોવાથી, તે ખૂણાઓના સરવાળા સમાન છે અને, એટલે કે. બમણા કોણ સમાન.

સમાનતા રૂપાંતરણો વિશેની વાર્તાના નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે તેઓ રૂપાંતરણોનું જૂથ બનાવે છે અને તેથી (ભૂમિતિ જુઓ) એર્લાંગેન પ્રોગ્રામ અનુસાર તેઓ "તેમની" ભૂમિતિને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ જૂથના અવ્યવહારો (એટલે ​​​​કે તે ગુણધર્મો કે જે તમામ સમાનતા પરિવર્તન હેઠળ સાચવવામાં આવે છે અને સમાનતાઓની ભૂમિતિમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે) એ કોણ છે, બે વિભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર, બે સીધી રેખાઓની સમાંતરતા વગેરે. જો કે સેગમેન્ટની લંબાઈ હવે સાચવવામાં આવી નથી, સમાનતાઓની ભૂમિતિમાં લંબાઈના ગુણોત્તરના સંરક્ષણને કારણે, આપણે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની વાત કરી શકીએ છીએ (એટલે ​​​​કે, એક ત્રિકોણ જેમાં બાજુની બાજુઓની લંબાઈનો ગુણોત્તર હોય છે. 1 ની બરાબર). સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં પાયાના ખૂણો સમાન હોય છે તે પ્રમેય સમાનતાઓની ભૂમિતિમાં પણ સાચું છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય પણ ધરાવે છે (સ્વરૂપમાં , પગની લંબાઈ અને કર્ણની લંબાઈના ગુણોત્તર ક્યાં અને છે), વગેરે.

જો કે, કોઈએ એવું ન વિચારવું જોઈએ કે સમાનતાની ભૂમિતિ પ્રસ્તુતિના સ્વરૂપ સિવાય અન્ય કોઈપણ બાબતમાં યુક્લિડિયન ભૂમિતિથી અલગ નથી. એવા તથ્યો છે જે આ બે ભૂમિતિઓને અલગ પાડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો એ કહેવા માટે સંમત થઈએ કે જો આ રેખાના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે કોઈ રૂપાંતર (વિચારણા હેઠળની ભૂમિતિને વ્યાખ્યાયિત કરતા જૂથ સાથે સંબંધિત) હોય તો રેખા પોતાની તરફ સરકી શકે છે જે રેખાને પોતાનામાં અને બિંદુને માં લઈ જાય છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં (એટલે ​​​​કે, પ્લેનની ગતિના જૂથ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ભૂમિતિમાં), ત્યાં ફક્ત બે પ્રકારની જોડાયેલ રેખાઓ છે (એટલે ​​​​કે, એક ભાગનો સમાવેશ થાય છે) જે પોતાના પર સરકી શકે છે: સીધી રેખાઓ અને વર્તુળો. અને સમાનતાઓની ભૂમિતિમાં ત્યાં રેખાઓ છે, જે સીધી રેખાઓ અને વર્તુળોથી અલગ છે, જે પોતાને પર સ્લાઇડ કરી શકે છે; આ લઘુગણક સર્પાકાર છે, જે સમીકરણ દ્વારા ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે (ફિગ. 16).

આપણે રૂપાંતરણને ધ્યાનમાં લઈને સમાનતાઓની ભૂમિતિ વિશે બીજી અસામાન્ય હકીકત મેળવીએ છીએ, જ્યાં ખૂણા દ્વારા બિંદુની આસપાસ પરિભ્રમણ છે અને કેન્દ્ર અને ગુણાંક સાથેની સમાનતા છે. ચાલો બિંદુઓનો ક્રમ હોઈએ જે પરિવર્તન દરમિયાન એકબીજામાં પરિવર્તિત થાય છે, એટલે કે. કોઈપણ સંપૂર્ણ માટે (ફિગ. 17). આ બિંદુઓ સમાન લઘુગણક સર્પાકાર પર આવેલા છે, અને કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે કોણ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે. આ બિંદુઓને સતત જોડતા, આપણને અનંત તૂટેલી રેખા મળે છે , જે પોતાનામાં રૂપાંતર દ્વારા અનુવાદિત થાય છે, અને દરેક શિરોબિંદુ પડોશી શિરોબિંદુમાં અનુવાદિત થાય છે.

નોંધ કરો કે સમાનતા રૂપાંતરણ ગણવામાં આવે છે (તેને રોટેશનલ ડિલેશન કહેવાય છે) જટિલ સંખ્યાઓ સાથે ગાઢ જોડાણ ધરાવે છે. જટિલ સંખ્યાને મૂળથી બિંદુ સુધી જતા નિર્દેશિત સેગમેન્ટ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ ભૌમિતિક રજૂઆત સાથે, જટિલ સંખ્યાઓ વેક્ટર તરીકે ઉમેરવામાં આવે છે (ફિગ. 18). અને જટિલ સંખ્યાઓના ગુણાકારનું ભૌમિતિક અર્થઘટન મેળવવા માટે, ઉપર ચર્ચા કરેલ રોટેશનલ ડિલેશન અનુકૂળ છે. જેમ કે, અમુક જટિલ સંખ્યા થવા દો, તેનું મોડ્યુલ (એટલે ​​​​કે પ્રતિનિધિત્વ કરતા સેગમેન્ટની લંબાઈ), અને દલીલ તરીકે રહેવા દો (એટલે ​​​​કે એબ્સિસા અક્ષના સકારાત્મક ભાગ તરફ પ્રતિનિધિત્વ કરતા ડાયરેક્શનલ સેગમેન્ટના ઝોકનો કોણ). નંબર 1 માંથી નંબર મેળવવામાં આવે છે, જો, પ્રથમ, નંબર 1 ને રજૂ કરતા વેક્ટરને પરિબળ દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે, અને, બીજું, કોણ દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે (ફિગ. 19), એટલે કે વેક્ટર વેક્ટર 1 માંથી પરિવર્તન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. , જ્યાં ઉત્પત્તિ અને ગુણાંક પર કેન્દ્ર સાથે સમાનતા હોય છે, અને એક ખૂણા દ્વારા મૂળની આસપાસ પરિભ્રમણ છે. તેથી, . જો હવે બીજી જટિલ સંખ્યા છે, તો જ્યારે રૂપાંતરણ લાગુ કરવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે, ઇમેજ વેક્ટરને પરિબળ દ્વારા ખેંચીને અને તેને ખૂણાથી ફેરવો) ત્યારે સંખ્યા બને છે (ફિગ. 19). આપણે તેને બીજી રીતે કહી શકીએ: ફિગમાં ત્રિકોણ. 19 સમાન છે. આ જટિલ સંખ્યાઓના ગુણાકારનું ભૌમિતિક અર્થઘટન આપે છે. જે કહેવામાં આવ્યું છે તેના પરથી, તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે બધી જટિલ સંખ્યાઓને સમાન જટિલ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે જટિલ સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમતલ પરિભ્રમણીય ખેંચાણમાંથી પસાર થાય છે. ખાસ કરીને, આપણી પાસે કોઈપણ ત્રણ જટિલ સંખ્યાઓ માટે , જ્યાં એક જટિલ સંખ્યા છે જેનું મોડ્યુલસ વેક્ટર અને ની લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલું છે અને દલીલ આ વેક્ટર વચ્ચેના કોણની બરાબર છે (ફિગ. 20).

સમસ્યા 7. ત્રિકોણની બાજુઓ પર, તેની બહાર સમાન ત્રિકોણ બાંધવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ મધ્યકના આંતરછેદના બિંદુ સાથે એકરુપ છે.

ઉકેલ. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ વેક્ટર દ્વારા રજૂ કરાયેલ જટિલ સંખ્યાઓ , , , , , . પછી , , , જ્યાં એક જટિલ સંખ્યા છે જેનું મોડ્યુલસ વિચારણા હેઠળના સમાન ત્રિકોણની બાજુની બાજુઓના ગુણોત્તર સમાન છે, અને દલીલ સમાન છે (ફિગ. 21). આ સમાનતાઓ ઉમેરીને, અમે મેળવીએ છીએ (સ્પષ્ટ સરળીકરણો પછી):

(કારણ કે સંખ્યાની દલીલ શૂન્યથી અલગ છે), તે તેને અનુસરે છે. વેક્ટર નોટેશન પર સ્વિચ કરીને અને 3 વડે ભાગતા, આપણને મળે છે

અને આનો અર્થ એ છે કે મધ્યના આંતરછેદ બિંદુઓ અને એકરૂપ થાય છે (જુઓ વેક્ટર).

ચાલો આધુનિક ભૂમિતિમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવતા અન્ય પરિવર્તનો વિશે ટૂંકમાં વાત કરીએ. યુક્લિડિયન પ્લેનનું રૂપાંતરણ એફાઈન કહેવાય છે જો તે દરેક રેખાને પાછી સીધી રેખામાં પરિવર્તિત કરે છે અને એકબીજાની સમાંતર રેખાઓ ફરીથી સમાંતર રેખાઓમાં પરિવર્તિત થાય છે (ફિગ. 22). જો પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરવામાં આવે છે, તો પછી રેખીય સંબંધો દ્વારા અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન આપવામાં આવે છે, એટલે કે. બિંદુ જે બિંદુ પર જાય છે તે સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

,

જ્યાં (અને ઊલટું: આવા સૂત્રો કેટલાક સંલગ્ન પરિવર્તનનો ઉલ્લેખ કરે છે). વધુમાં, જો પ્લેનના ત્રણ બિંદુઓ છે જે એક જ લાઇન પર આવેલા નથી, અને અન્ય ત્રણ બિંદુઓ છે જે એક જ લાઇન પર પણ આવેલા નથી, તો ત્યાં અસ્તિત્વમાં છે, અને વધુમાં, માત્ર એક, સંલગ્ન રૂપાંતર જે બિંદુઓને લે છે. , અનુક્રમે, માટે. નોંધ કરો કે લંબાઇ અને ખૂણાઓ સંલગ્ન પરિવર્તન દરમિયાન બદલાઈ શકે છે. સેગમેન્ટ્સની લંબાઈનો ગુણોત્તર પણ સાચવેલ નથી (સમાનતા પરિવર્તનોથી વિપરીત). જો કે, બે સમાંતર વિભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર કોઈપણ સંલગ્ન રૂપાંતરણ હેઠળ સચવાય છે. ખાસ કરીને, એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ, સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ સેગમેન્ટની મધ્યમાં પાછો જાય છે, એક સમાંતરચતુષ્કોણ સમાંતર ચતુષ્કોણમાં જાય છે, ત્રિકોણનો મધ્યક મધ્યમાં જાય છે, વગેરે. સંલગ્ન રૂપાંતરણ હેઠળ, એક વર્તુળ એકમાં જાય છે. અંડાકાર, અને ઉપરોક્ત નોંધાયેલા સંલગ્ન રૂપાંતરણના ગુણધર્મો પરથી, તે સરળતાથી અનુસરે છે કે સમાંતર રેખાઓના મધ્યબિંદુઓ અંડાકારની તાર અંડાકૃતિના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા એક સેગમેન્ટ પર આવેલા છે (ફિગ. 23).

સમતલના તમામ સંલગ્ન પરિવર્તનો, એકસાથે લેવામાં આવે છે, રૂપાંતરણોનું જૂથ બનાવે છે, અને તેથી (ભૂમિતિ જુઓ) તેઓ કેટલીક ભૂમિતિને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેને affine ભૂમિતિ કહેવાય છે. આ જૂથના વિચલનો (એટલે ​​​​કે આકૃતિઓના તે ગુણધર્મો કે જેનો સંલગ્ન ભૂમિતિમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે) એ બિંદુઓની લંબચોરસ ગોઠવણી, સમાંતરતા, સમાંતર ભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર અને આમાંથી મેળવેલા અન્ય ગુણધર્મો છે (ઉદાહરણ તરીકે, કેન્દ્રની હાજરી આકૃતિમાં સમપ્રમાણતાની). આ ભૂમિતિ વિશે વધુ વિગતમાં બોલ્યા વિના, અમે ઉદાહરણો સાથે બતાવીશું કે સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે ઉપરોક્ત નોંધેલ અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનના ગુણધર્મો કેવી રીતે લાગુ કરી શકાય છે.

સમસ્યા 8. સાબિત કરો કે એક મનસ્વી ટ્રેપેઝોઇડમાં પાયાના મધ્યબિંદુઓ, કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ અને બાજુની બાજુઓના વિસ્તરણના આંતરછેદના બિંદુ સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે.

ઉકેલ. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ માટે આ સ્પષ્ટ છે (કારણ કે સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ પાયાના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી સંબંધિત સીધી રેખા સાથે સપ્રમાણતા ધરાવે છે). ચાલો હવે મનસ્વી ટ્રેપેઝોઈડ બનીએ અને સમાન પાયાની લંબાઈ સાથે સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઈડ બનવા દો (ફિગ. 24). ચાલો એક સંલગ્ન રૂપાંતરણને ધ્યાનમાં લઈએ જે અનુક્રમે પોઈન્ટ લે છે. આ રૂપાંતર સાથે, રેખાઓ અંદર જશે (કારણ કે , અને રેખાઓની સમાંતરતા સાચવેલ છે). આગળ, ત્યારથી , પછી બિંદુ પર જશે (કારણ કે સમાંતર સેગમેન્ટ્સનો સંબંધ સાચવેલ છે). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ટ્રેપેઝોઇડ ટ્રેપેઝોઇડમાં ફેરવાશે. પરિણામે, બિંદુઓની રેક્ટિલિનિયર ગોઠવણી રહેશે, એટલે કે. ટ્રેપેઝોઇડમાં, બિંદુઓ પણ સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે.

સમસ્યા 9. એક લંબગોળ ત્રિકોણમાં અંકિત થયેલ છે અને ત્રણ વિભાગો દોરવામાં આવ્યા છે, જેમાંથી પ્રત્યેક શિરોબિંદુ અને લંબગોળના સ્પર્શના બિંદુને વિરુદ્ધ બાજુ સાથે જોડે છે. સાબિત કરો કે આ ત્રણ વિભાગો એક બિંદુ પર છેદે છે.

ઉકેલ. વિચારણા હેઠળ ચોક્કસ વર્તુળને લંબગોળમાં રૂપાંતરિત કરતું અફિન રૂપાંતર થવા દો, અને એક ત્રિકોણ બનવા દો જે, આ રૂપાંતરણ હેઠળ, માં પરિવર્તિત થાય છે. કારણ કે વિચારણા હેઠળની મિલકત, કારણ કે સાબિત કરવું સરળ છે, તે એક અંકિત વર્તુળ (ફિગ. 25 નો ડાબો ભાગ) માટે સાચું છે, તે અંકિત લંબગોળ (આકૃતિનો જમણો ભાગ) માટે પણ સાચું છે.

લેખ "પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ" એ વિશે વાત કરે છે કે કેવી રીતે અયોગ્ય ("અનંત દૂર") બિંદુઓ સાથે પ્લેનને ફરીથી ભરવાથી તે પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનમાં ફેરવાય છે. પ્રક્ષેપણીય સમતલના ભૌમિતિક રૂપાંતરણો જે પોઈન્ટની રેક્ટીલીનિયર ગોઠવણીને સાચવે છે તેને પ્રોજેકટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશન કહેવામાં આવે છે. પ્રોજેક્ટીવ રૂપાંતરણો રેખીય-અપૂર્ણાંક સૂત્રો દ્વારા કોઓર્ડિનેટ્સમાં ઉલ્લેખિત છે:

(1)

વધુ વિગતમાં: જો યુક્લિડિયન પ્લેન છે જેમાં કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે અને તે અયોગ્ય તત્વો ઉમેરીને મેળવેલ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેન છે, તો પ્લેનનું કોઈપણ પ્રોજેક્ટીવ રૂપાંતર સૂત્ર (1) દ્વારા વિચારણા હેઠળના કોઓર્ડિનેટ્સમાં લખાયેલ છે જો કે બિંદુ અને તે જ્યાં જાય છે તે અયોગ્ય નથી.

પ્રોજેક્ટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ પ્રોજેક્ટિવ પ્લેનના રૂપાંતરણોનું જૂથ બનાવે છે. એર્લાંગેન પ્રોગ્રામ મુજબ, આ જૂથ કેટલીક ભૂમિતિને વ્યાખ્યાયિત કરે છે - આ પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિ છે. પ્રોજેકટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશનના ઇન્વેરિઅન્ટ્સ (એટલે ​​​​કે આકૃતિઓના તે ગુણધર્મો કે જેનો પ્રોજેક્ટીવ ભૂમિતિમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે) એ બિંદુઓની રેક્ટીલીનિયર ગોઠવણી, સમાન રેખા પર પડેલા ચાર બિંદુઓનો એનહાર્મોનિક ગુણોત્તર વગેરે છે.

જો પ્રોજેકટિવ પ્લેનના ચાર બિંદુઓ હોય, જેમાંથી કોઈ ત્રણ એક જ રેખા પર ન હોય, અને આ પ્લેનના અન્ય ચાર બિંદુઓ હોય, જેમાંથી કોઈ ત્રણ પણ એક જ રેખા પર ન હોય, તો ત્યાં છે, અને માત્ર એક, પ્રક્ષેપણ રૂપાંતરણ જે ભાષાંતર કરે છે, દેખીતી રીતે સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે (સીધી રેખાઓ અને વચ્ચેની સ્ટ્રીપની મધ્યરેખા પર). વ્યસ્ત રૂપાંતરણ લાગુ કરીને, અમે ફિગમાં તે તારણ કાઢીએ છીએ. 26 ડાબી બાજુએ, પોઈન્ટ એ જ લીટી પર આવેલા છે (કારણ કે પ્રોજેકટિવ ટ્રાન્સફોર્મેશન પોઈન્ટની રેક્ટીલીનિયર ગોઠવણીને સાચવે છે).

ઉપર ચર્ચા કરાયેલા તમામ રૂપાંતરણોએ પોઈન્ટની રેક્ટીલીનિયર ગોઠવણી (યુક્લિડિયન અથવા પ્રક્ષેપિત પ્લેન પર) સાચવી રાખી છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્લેન પરની બધી સીધી રેખાઓની સિસ્ટમ ફરીથી સમાન રેખાઓની સિસ્ટમમાં અનુવાદિત થાય છે. રૂપાંતરણોનો એક રસપ્રદ વર્ગ છે જે રેખાઓની બીજી સિસ્ટમના સંદર્ભમાં સમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે. જેમ કે: ચાલો પ્લેન (યુક્લિડિયન) પર બધી સીધી રેખાઓ અને બધા વર્તુળો ધરાવતી સિસ્ટમનો વિચાર કરીએ. રૂપાંતરણ કે જે આ રેખાઓની સિસ્ટમને સમાન સિસ્ટમમાં ફેરવે છે તેને વર્તુળાકાર રૂપાંતરણ કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગોળાકાર પરિવર્તન દરમિયાન, એક સીધી રેખા કાં તો સીધી રેખામાં અથવા અમુક વર્તુળમાં જાય છે (અને તે જ વર્તુળ માટે સાચું છે). નીચે અમે યુક્લિડિયન પ્લેન સંબંધિત એક સંમેલનને સ્પષ્ટ કરીશું જે ગોળ પરિવર્તનને ધ્યાનમાં લેતી વખતે જરૂરી છે, પરંતુ પહેલા આપણે વર્તુળાકાર પરિવર્તનના એક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ પર વિચાર કરીશું - કહેવાતા વ્યુત્ક્રમ.

અને ત્રિજ્યા. આના આધારે, અમે એવું માનવા માટે સંમત થયા કે પ્લેન પર એક અયોગ્ય બિંદુ છે આ રેખાઓ એક જ ખૂણા પર છેદે છે; જો, ખાસ કરીને, વર્તુળ વ્યુત્ક્રમ વર્તુળ માટે ઓર્થોગોનલ છે, એટલે કે. તેને કાટખૂણે છેદે છે (આવા વર્તુળોની ચર્ચા લોબાચેવ્સ્કીના ભૂમિતિ પરના લેખના અંતે કરવામાં આવી હતી), પછી વ્યુત્ક્રમ દરમિયાન આ વર્તુળ પોતે જ ફેરવાઈ જાય છે (માત્ર વ્યુત્ક્રમ વર્તુળની અંદર અને બહાર પડેલા તેના ભાગો સ્થાનો બદલે છે). વ્યુત્ક્રમ ગોળાકાર પરિવર્તનોમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે: તે સાબિત કરી શકાય છે કે પ્લેનનું કોઈપણ ગોળ રૂપાંતર કાં તો વ્યુત્ક્રમ છે, અથવા સમાનતા છે, અથવા વ્યુત્ક્રમ અને સમાનતાની રચના છે. એકસાથે લેવામાં આવે તો, ગોળાકાર રૂપાંતરણો રૂપાંતરણોના જૂથની રચના કરે છે જે ગોળાકાર સમતલ પર એક અનન્ય ભૂમિતિ ("પરિપત્ર") વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

અમે પ્લેનના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભૌમિતિક પરિવર્તન વિશે વાત કરી. તમે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ, લોબાચેવ્સ્કી પ્લેન (અથવા જગ્યા) અને અન્ય ભૌમિતિક વસ્તુઓના ભૌમિતિક પરિવર્તનને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકો છો. ચાલો નોંધ કરીએ, ખાસ કરીને, જો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશની ગતિ છે (ત્યારથી અને , અને સીધી રેખાને પાછી સીધી રેખામાં રૂપાંતરિત કરો). તે તારણ આપે છે કે પ્લેનના કોઈપણ પ્રોજેક્ટિવ રૂપાંતરણને આ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે.

ભૌમિતિક પરિવર્તનો સાથે પરિચિતતા અને તેમને લાગુ કરવાની ક્ષમતા એ ગાણિતિક સંસ્કૃતિનું એક મહત્વપૂર્ણ તત્વ છે.