પેરાબોલાની ફોકલ લંબાઈ. હાયપરબોલા અને તેનું પ્રામાણિક સમીકરણ

કાર્ય નંબર 1. ફોસીના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સનું સમીકરણ બનાવો

આ સમીકરણને સમીકરણ સાથે સરખાવી
, આપણે શોધીએ છીએ કે 2p=4, ક્યાંથી . તેથી બિંદુ
- પેરાબોલાના કેન્દ્ર અને સીધી રેખા
, એટલે કે x=-1 અથવા x+1=0 એ તેનું ડાયરેક્ટ્રીક્સ છે.

જવાબ: (1;0)

સમસ્યા નં. 2. મૂળ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાનું કેન્દ્રબિંદુ F(0;-4) બિંદુ પર આવેલું છે. આ પેરાબોલાનું સમીકરણ લખો.

સમસ્યા નંબર 3. મૂળ પર શિરોબિંદુ સાથેના પેરાબોલાની ડાયરેક્ટ્રીક્સ સીધી રેખા 2x+5=0 છે

સમીકરણ લખો અને પેરાબોલાના ફોકસના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

આર
ઉકેલ: મૂળ પર શિરોબિંદુ સાથેના પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એ રેખા 2x+5=0 છે અથવા
, પછી તેના ફોકસમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે

, તેથી ઇચ્છિત વળાંક ઓક્સ અક્ષ F( વિશે સપ્રમાણ છે )
અને તેની શાખાઓ જમણી તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે (ફોકસની એબ્સિસા હકારાત્મક છે). તેથી, પેરાબોલાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

કારણ કે
તે
અને પેરાબોલાનું સમીકરણ હશે:
, અને તેના ફોકસના કોઓર્ડિનેટ્સ F(2.5;0) છે.

જવાબ:
; F(2.5;0)

કાર્ય નંબર 4. જો તે બિંદુ B(1;-2) માંથી પસાર થાય તો સંકલન પ્રણાલીના મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે, ઓય અક્ષ વિશે સપ્રમાણતા ધરાવતા પેરાબોલાનું સમીકરણ લખો.

પેરાબોલા ઓય અક્ષ વિશે સપ્રમાણતા ધરાવતું હોવાથી અને સંકલન પ્રણાલીના મૂળમાં શિરોબિંદુ ધરાવે છે, તેના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે
. બિંદુ B(1;-2) પેરાબોલા પર આવેલો હોવાથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ પેરાબોલાસને સંતોષે છે, એટલે કે.
,

જ્યાં
, અને તેથી
- પેરાબોલાનું સમીકરણ.

જવાબ:

સમસ્યા નંબર 5. 24 મીટર લાંબા પુલની કમાનની ઊંચાઈ શોધો, જો કમાન પેરાબોલાનું સ્વરૂપ ધરાવે છે, તો જેનું સમીકરણ છે

ચાલો એક પેરાબોલાને સ્કેચ કરીએ
કાર્ટેશિયનમાં લંબચોરસ સિસ્ટમસંકલન ચાલો આપણે પુલની ઊંચાઈ h દ્વારા દર્શાવીએ અને બાય =24 - પુલ કમાનની લંબાઈ. પછી, A(12;-h) પી:
.

ટી
કેવી રીતે બિંદુ A પેરાબોલાને અનુસરે છે
, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ પેરાબોલાના સમીકરણને સંતોષે છે. આ વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ (x;y) ને બદલે આપેલ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને પેરાબોલા સમીકરણમાં બદલવાનું શક્ય બનાવે છે. પછી અમારી પાસે છે

તેથી, પુલની કમાનની ઊંચાઈ 3 મીટર છે.

સમસ્યા નંબર 6. ક્ષિતિજ સમતલના ખૂણા પર નિર્દેશિત પાણીનો પ્રવાહ 2 મીટરની ઊંચાઈએ વધે છે અને નળીની ટોચ પરથી 12 મીટર નીચે પડે છે. જેટનો પેરાબોલિક માર્ગ શોધો.

ઉકેલ: ચાલો જેટના પેરાબોલિક ટ્રેજેક્ટરીને કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે સાંકળીએ જેથી પેરાબોલિક ટ્રેજેક્ટરી ઓય અક્ષ સાથે સપ્રમાણ હોય, શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત હોય, અને તેનું શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર આવેલું હોય.

પછી આવા પેરાબોલિક માર્ગનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે
, બિંદુ A(6;-2) પી:
, તેથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ પેરાબોલાના સમીકરણને સંતોષે છે. પેરાબોલાના વર્તમાન x અને y કોઓર્ડિનેટ્સને બદલે બિંદુ A ના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીને
, સમાનતા આપે છે

. આથી,
- જેટના પેરાબોલિક માર્ગનું સમીકરણ.

જવાબ:

તમારા માટે નક્કી કરો:

સમસ્યા નંબર 7. પરાવર્તકની ધરીમાંથી પસાર થતા પ્લેન દ્વારા પરાવર્તકનો ક્રોસ સેક્શન પેરાબોલા છે. જો પરાવર્તકની પહોળાઈ 30 સેમી અને ઊંડાઈ 20 સેમી હોય તો તેનું સમીકરણ લખો (પરાવર્તકની ધરી બળદની ધરી સાથે એકરુપ હોય છે)

જવાબ:

સમસ્યા નંબર 8. પૃથ્વીની સપાટી પરના છિદ્રમાંથી પાણી એક પ્રવાહમાં વહે છે જે પેરાબોલાની શાખાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે
. જો છિદ્રની ઊંચાઈ હોય તો ટાંકીની ધારથી સ્ટ્રીમ જમીન પર પડે છે

જવાબ: 3 મી.

સમસ્યા નંબર 9. પેરાબોલિક મિરરનો અક્ષીય વિભાગ પેરાબોલા છે

અરીસાનો વ્યાસ નક્કી કરો જો તેની "ઊંડાઈ" 18.75 સે.મી.

જવાબ: 30 સે.મી.

સમસ્યા નંબર 10. નીચે ફેંકવામાં આવેલો પથ્થર તીવ્ર કોણક્ષિતિજ પ્લેન સુધી, પહોંચ્યા સૌથી મોટી ઊંચાઈ 16 મી., પેરાબોલિક માર્ગનું વર્ણન કર્યા પછી, પથ્થર ફેંકવાના બિંદુથી 48 મીટર નીચે પડ્યો. પથ્થરનો માર્ગ શોધો.

જવાબ:
.

સમસ્યા નંબર 11 જો તેનું ફોકસ બિંદુ a) F(3;0);

b) F(-2;0);
c) F(0;4);
d) F(0;-)
જવાબ: a)

;
b)

;
c) F(0;4);
d) F(0;-)
વી)
.

;

જી)
c) F(0;4);
d) F(0;-)
વી)
સમસ્યા નંબર 12 જો ડાયરેક્ટ્રીક્સ આપવામાં આવ્યા હોય તો મૂળ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાસ શોધો: a)

;

b)x=-5; c) y=3; ડી) y=-2;

જવાબ: a)

; જી)

સમસ્યા નંબર 13. ફોકસના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો અને દરેક પેરાબોલાસ માટે ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ લખો.

જવાબ:

એ)

. આ પેરાબોલાસ બનાવો.

જવાબ: a) F(2;0); x+2=0 ; b) F(-3;0); x-3=0 ; c) F(0;); 2y+5=0

ડી) F(0;-4); x-4=0

સમસ્યા નંબર 14. A(2;-2) અને B(1;2) પોઈન્ટ પેરાબોલા પર આવેલા છે કે કેમ તે તપાસો

જવાબ: A છે, B નથી.
સમસ્યા નં. 15. મૂળ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાના સમીકરણ લખો, ઓક્સ અક્ષ વિશે સપ્રમાણતા અને બિંદુમાંથી પસાર થતા
સમસ્યા નંબર 16. મૂળ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાના સમીકરણ લખો જો:
એ) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ઉપલા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 4 ની બરાબર છે;
.

બી) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે નીચલા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 6 છે;

બી) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે જમણા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 3 ની બરાબર છે; d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. – 6જવાબ a) – 16 = 0, 13d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. – 10જવાબ a); b)

3.2. અતિપરવલય માટે સ્પર્શક માટે સમીકરણો લખો

1) બિંદુમાંથી પસાર થવું એ(4, 1), બી(5, 2) અને સી(5, 6);

2) સીધી રેખા 10 ની સમાંતર d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. – 3જવાબ a) + 9 = 0;

3) સીધી રેખા 10 ને લંબરૂપ d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. – 3જવાબ a) + 9 = 0.

પેરાબોલાપ્લેનમાં પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન છે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે

પેરાબોલા પરિમાણો:

ડોટ એફ(પી/2, 0) કહેવાય છે ફોકસ પેરાબોલાસ, તીવ્રતા પી – પરિમાણ , બિંદુ વિશે(0, 0) – ટોચ . આ કિસ્સામાં, સીધી રેખા ઓફ, જેના વિશે પેરાબોલા સપ્રમાણ છે, આ વળાંકની ધરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

તીવ્રતા જ્યાં એમ(d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે., જવાબ a)) – મનસ્વી બિંદુપેરાબોલાસ કહેવામાં આવે છે ફોકલ ત્રિજ્યા , સીધા ડી: d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. = –પી/2 – મુખ્ય શિક્ષિકા (તે પેરાબોલાના આંતરિક વિસ્તારને છેદતું નથી). તીવ્રતા પેરાબોલાની તરંગીતા કહેવાય છે.

પેરાબોલાની મુખ્ય લાક્ષણિકતા: પેરાબોલાના તમામ બિંદુઓ ડાયરેક્ટ્રીક્સ અને ફોકસથી સમાન અંતરે છે (ફિગ. 24).

પ્રામાણિક પેરાબોલા સમીકરણના અન્ય સ્વરૂપો છે જે સંકલન પ્રણાલીમાં તેની શાખાઓની અન્ય દિશાઓ નક્કી કરે છે (ફિગ. 25):

માટે પેરામેટ્રિક સેટિંગપેરાબોલાસ પરિમાણ તરીકે tપેરાબોલા બિંદુનું ઓર્ડિનેટ મૂલ્ય લઈ શકાય છે:

જ્યાં tએક મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ 1.તેના પ્રામાણિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલાના પરિમાણો અને આકાર નક્કી કરો:

ઉકેલ. 1. સમીકરણ જવાબ a) 2 = –8d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે.બિંદુ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે વિશે ઓહ. તેની શાખાઓ ડાબી તરફ નિર્દેશિત છે. સરખામણી આપેલ સમીકરણસમીકરણ સાથે જવાબ a) 2 = –2px, અમે શોધીએ છીએ: 2 પી = 8, પી = 4, પી/2 = 2. તેથી, ધ્યાન બિંદુ પર છે એફ(–2; 0), ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ ડી: d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે.= 2 (ફિગ. 26).

2. સમીકરણ d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. 2 = –4જવાબ a)બિંદુ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે ઓ(0; 0), ધરી વિશે સપ્રમાણ ઓય. તેની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત છે. આ સમીકરણને સમીકરણ સાથે સરખાવી d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. 2 = –2py, અમે શોધીએ છીએ: 2 પી = 4, પી = 2, પી/2 = 1. તેથી, ધ્યાન બિંદુ પર છે એફ(0; –1), ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ ડી: જવાબ a)= 1 (ફિગ. 27).

ઉદાહરણ 2.પરિમાણો અને વળાંકનો પ્રકાર નક્કી કરો d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. 2 + 8d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. – 16જવાબ a)– 32 = 0. એક ચિત્ર બનાવો.

ઉકેલ.ચાલો પરિવર્તન કરીએ ડાબી બાજુનિષ્કર્ષણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો સંપૂર્ણ ચોરસ:

d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. 2 + 8d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે.– 16જવાબ a) – 32 =0;

(d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. + 4) 2 – 16 – 16જવાબ a) – 32 =0;

(d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. + 4) 2 – 16જવાબ a) – 48 =0;

(d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. + 4) 2 – 16(જવાબ a) + 3).

પરિણામે આપણને મળે છે

(d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. + 4) 2 = 16(જવાબ a) + 3).

આ પ્રામાણિક સમીકરણબિંદુ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાસ (–4, –3), પરિમાણ પી= 8, ઉપર તરફ નિર્દેશ કરતી શાખાઓ (), અક્ષ d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે.= –4. ફોકસ પોઈન્ટ પર છે એફ(–4; –3 + પી/2), એટલે કે. એફ(-4; 1) મુખ્ય શિક્ષિકા ડીસમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે જવાબ a) = –3 – પી/2 અથવા જવાબ a)= –7 (ફિગ. 28).

ઉદાહરણ 4.બિંદુ પર તેના શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલા માટે સમીકરણ લખો વી(3; -2) અને બિંદુ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો એફ(1; –2).

ઉકેલ.આપેલ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ અને ફોકસ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા પર આવેલું છે બળદ(સમાન ઓર્ડિનેટ્સ), પેરાબોલાની શાખાઓ ડાબી તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે (ફોકસની એબ્સીસા શિરોબિંદુના એબ્સીસા કરતા ઓછી છે), ફોકસથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર છે પી/2 = 3 – 1 = 2, પી= 4. તેથી, જરૂરી સમીકરણ

(જવાબ a)+ 2) 2 = –2 4( d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે.– 3) અથવા ( જવાબ a) + 2) 2 = = –8(d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. – 3).

માટે કાર્યો સ્વતંત્ર નિર્ણય

સ્તર I

1.1. પેરાબોલાના પરિમાણો નક્કી કરો અને તેને બનાવો:

1) જવાબ a) 2 = 2d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે.; 2) જવાબ a) 2 = –3d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે.;

3) d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. 2 = 6જવાબ a); 4) d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. 2 = –જવાબ a).

1.2. પેરાબોલાના સમીકરણને મૂળ પર તેના શિરોબિંદુ સાથે લખો જો તમને ખબર હોય કે:

1) પેરાબોલા અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે બળદઅને પી = 4;

2) પેરાબોલા અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે ઓયઅને બિંદુ પરથી પસાર થાય છે એમ(4; –2).

3) ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ 3 દ્વારા આપવામાં આવે છે જવાબ a) + 4 = 0.

1.3. એક વળાંક માટે એક સમીકરણ લખો જેનાં તમામ બિંદુઓ બિંદુ (2; 0) અને સીધી રેખાથી સમાન છે d) પેરાબોલા ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે, અને તેનું કેન્દ્રીય પરિમાણ 5 ની બરાબર છે. = –2.

સ્તર II

2.1. વળાંકના પ્રકાર અને પરિમાણો નક્કી કરો.

આ સમગ્ર પ્રકરણમાં એવું માનવામાં આવે છે કે પ્લેનમાં (જેમાં નીચે ગણવામાં આવતા તમામ આંકડાઓ આવેલા છે) ચોક્કસ સ્કેલ પસંદ કરવામાં આવ્યો છે; આ સ્કેલ સાથે માત્ર લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

§ 1. પેરાબોલા

પેરાબોલા થી વાચક માટે જાણીતું છે શાળા અભ્યાસક્રમએક વળાંક તરીકે ગણિત કે જે ફંક્શનનો ગ્રાફ છે

(ફિગ. 76). (1)

કોઈપણ ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનો આલેખ

પેરાબોલા પણ છે; ફક્ત સંકલન પ્રણાલીને સ્થાનાંતરિત કરીને (કેટલાક વેક્ટર OO દ્વારા), એટલે કે રૂપાંતર કરીને શક્ય છે

ખાતરી કરો કે ફંક્શનનો ગ્રાફ (બીજી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં) ગ્રાફ (2) (પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં) સાથે એકરુપ છે.

હકીકતમાં, ચાલો (3) ને સમાનતા (2) માં બદલીએ. અમને મળે છે

અમે એવું પસંદ કરવા માંગીએ છીએ કે અને માટે ગુણાંક મફત સભ્યઆ સમાનતાની જમણી બાજુએ બહુપદી (સાપેક્ષે) શૂન્ય સમાન હતા. આ કરવા માટે, અમે સમીકરણ પરથી નક્કી કરીએ છીએ

જે આપે છે

હવે અમે સ્થિતિ પરથી નક્કી કરીએ છીએ

જેમાં આપણે પહેલાથી મળેલી કિંમતને બદલીએ છીએ. અમને મળે છે

તેથી, શિફ્ટ (3) ના માધ્યમથી, જેમાં

અમે આગળ વધ્યા નવી સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ, જેમાં પેરાબોલા (2) નું સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે

(ફિગ. 77).

ચાલો સમીકરણ (1) પર પાછા ફરીએ. તે પેરાબોલાની વ્યાખ્યા તરીકે સેવા આપી શકે છે. ચાલો તેના સરળ ગુણધર્મોને યાદ કરીએ. વળાંકમાં સમપ્રમાણતાની ધરી હોય છે: જો કોઈ બિંદુ સમીકરણ (1) ને સંતોષે છે, તો બિંદુ સપ્રમાણ બિંદુઓર્ડિનેટ અક્ષની સાપેક્ષ M પણ સમીકરણને સંતોષે છે (1) - વળાંક ઓર્ડિનેટ અક્ષની તુલનામાં સપ્રમાણ છે (ફિગ. 76).

જો , તો પેરાબોલા (1) ઉપલા અર્ધ-વિમાનમાં આવેલું છે, જે એબ્સીસા અક્ષ સાથે અનન્ય સંબંધ ધરાવે છે સામાન્ય બિંદુવિશે.

એબ્સીસાના સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, ઓર્ડિનેટ પણ મર્યાદા વિના વધે છે. વળાંકનું સામાન્ય દૃશ્ય ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 76, એ.

જો (ફિગ. 76, બી), તો વળાંક એબ્સિસા અક્ષને વળાંકની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે નીચલા અર્ધ-પ્લેનમાં સ્થિત છે.

જો આપણે નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પર જઈએ તો તેમાંથી મેળવેલ છે જૂની બદલીઓર્ડિનેટ અક્ષની સકારાત્મક દિશા વિરુદ્ધ, પછી પેરાબોલા, જે જૂની સિસ્ટમમાં y સમીકરણ ધરાવે છે, તે નવી સંકલન સિસ્ટમમાં y સમીકરણ પ્રાપ્ત કરશે. તેથી, પેરાબોલાસનો અભ્યાસ કરતી વખતે, આપણે આપણી જાતને સમીકરણો (1) સુધી મર્યાદિત કરી શકીએ છીએ, જેમાં .

ચાલો આપણે છેલ્લે અક્ષોના નામ બદલીએ, એટલે કે, આપણે નવી સંકલન પ્રણાલી પર જઈશું, જેમાં ઓર્ડિનેટ અક્ષ એ જૂની એબ્સીસા અક્ષ હશે, અને એબ્સીસા અક્ષ એ જૂની ઓર્ડિનેટ અક્ષ હશે. આ નવી સિસ્ટમમાં સમીકરણ (1) ફોર્મમાં લખવામાં આવશે

અથવા, જો નંબર ફોર્મમાં , દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

સમીકરણ (4) કહેવામાં આવે છે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિપેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ; લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી કે જેમાં આપેલ પેરાબોલામાં સમીકરણ (4) હોય છે તેને પ્રામાણિક સંકલન પ્રણાલી (આ પેરાબોલા માટે) કહેવાય છે.

હવે આપણે ઇન્સ્ટોલ કરીશું ભૌમિતિક અર્થગુણાંક આ કરવા માટે અમે બિંદુ લઈએ છીએ

સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, પેરાબોલાના ફોકસ (4), અને સીધી રેખા d કહેવાય છે

આ રેખાને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવામાં આવે છે (4) (ફિગ 78 જુઓ).

પેરાબોલા (4) નું મનસ્વી બિંદુ બનવા દો. સમીકરણ (4) પરથી તે અનુસરે છે કે તેથી, ડાયરેક્ટ્રીક્સ d થી બિંદુ M નું અંતર એ સંખ્યા છે

ફોકસ F થી બિંદુ M નું અંતર છે

પરંતુ, તેથી

તેથી, પેરાબોલાના તમામ બિંદુઓ M તેના ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સથી સમાન છે:

તેનાથી વિપરીત, દરેક બિંદુ M સંતોષકારક સ્થિતિ (8) પેરાબોલા (4) પર રહે છે.

હકીકતમાં,

આથી,

અને, કૌંસ ખોલ્યા પછી અને સમાન શરતો લાવ્યા પછી,

અમે સાબિત કર્યું છે કે દરેક પેરાબોલા (4) એ ફોકસ F અને આ પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ d થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે.

તે જ સમયે, અમે સમીકરણ (4) માં ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ સ્થાપિત કર્યો છે: સંખ્યા ફોકસ અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે.

ચાલો હવે ધારીએ કે બિંદુ F અને રેખા d આ બિંદુમાંથી પસાર થતા નથી તે પ્લેન પર મનસ્વી રીતે આપવામાં આવે છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે ફોકસ F અને ડાયરેક્ટ્રિક્સ d સાથે પેરાબોલા અસ્તિત્વમાં છે.

આ કરવા માટે, બિંદુ F (ફિગ. 79) દ્વારા એક રેખા g દોરો, જે રેખા d ને લંબરૂપ છે; ચાલો D દ્વારા બંને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને દર્શાવીએ; અંતર (એટલે ​​​​કે બિંદુ F અને સીધી રેખા d વચ્ચેનું અંતર) દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે.

ચાલો સીધી રેખા g ને ધરીમાં ફેરવીએ, તેના પરની દિશા DF ને ધન તરીકે લઈએ. ચાલો આ અક્ષને લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની એબ્સીસા અક્ષ બનાવીએ, જેનું મૂળ સેગમેન્ટનો મધ્ય O છે.

પછી સીધી રેખા d પણ સમીકરણ મેળવે છે.

હવે આપણે પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ લખી શકીએ છીએ:

જ્યાં બિંદુ F ફોકસ હશે, અને સીધી રેખા d એ પેરાબોલા (4) ની ડાયરેક્ટ્રીક્સ હશે.

અમે ઉપર સ્થાપિત કર્યું છે કે પેરાબોલા એ બિંદુ F અને રેખા d થી સમાન અંતરે આવેલા M બિંદુઓનું સ્થાન છે. તેથી, આપણે પેરાબોલાની આવી ભૌમિતિક (એટલે ​​​​કે, કોઈપણ સંકલન પ્રણાલીથી સ્વતંત્ર) વ્યાખ્યા આપી શકીએ છીએ.

વ્યાખ્યા. પેરાબોલા એ અમુક નિશ્ચિત બિંદુ (પેરાબોલાના "ફોકસ") અને અમુક નિશ્ચિત રેખા (પેરાબોલાના "ડાયરેક્ટ્રીક્સ") થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે.

દ્વારા ફોકસ અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવતા, આપણે હંમેશા એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ શોધી શકીએ છીએ જે આપેલ પેરાબોલા માટે પ્રમાણભૂત હોય છે, એટલે કે, જેમાં પેરાબોલાના સમીકરણનું પ્રામાણિક સ્વરૂપ હોય છે:

તેનાથી વિપરિત, કોઈપણ વળાંક કે જે અમુક લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં આવા સમીકરણ ધરાવે છે તે પેરાબોલા છે (ભૌમિતિક અર્થમાં હમણાં જ સ્થાપિત).

પેરાબોલાના ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેના અંતરને ફોકલ પેરામીટર અથવા ફક્ત પેરાબોલાના પેરામીટર કહેવાય છે.

પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રિક્સ તરફ લંબરૂપ ફોકસમાંથી પસાર થતી રેખાને તેની ફોકલ અક્ષ (અથવા ખાલી અક્ષ) કહેવાય છે; તે પેરાબોલાની સપ્રમાણતાની અક્ષ છે - આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે પેરાબોલાની અક્ષ એ સંકલન પ્રણાલીમાં એબ્સીસા અક્ષ છે, જેની સાપેક્ષમાં પેરાબોલાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે (4).

જો કોઈ બિંદુ સમીકરણ (4) ને સંતોષે છે, તો પછી એબ્સીસા અક્ષની તુલનામાં બિંદુ M સાથે સપ્રમાણતા ધરાવતો બિંદુ પણ આ સમીકરણને સંતોષે છે.

તેની ધરી સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે; તે આપેલ પેરાબોલા માટે કેનોનિકલ સંકલન પ્રણાલીનું મૂળ છે.

ચાલો પેરાબોલા પરિમાણનું બીજું ભૌમિતિક અર્થઘટન આપીએ.

ચાલો પેરાબોલાના ફોકસ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ, જે પેરાબોલાની ધરીને લંબ છે; તે પેરાબોલાને બે બિંદુઓ પર છેદે છે (જુઓ. આકૃતિ 79) અને પેરાબોલાના કહેવાતા ફોકલ તાર નક્કી કરશે (એટલે ​​​​કે, પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સની સમાંતર ફોકસમાંથી પસાર થતી તાર). ફોકલ કોર્ડની અડધી લંબાઈ પેરાબોલાના પરિમાણ છે.

હકીકતમાં, ફોકલ કોર્ડની અડધી લંબાઈ છે સંપૂર્ણ મૂલ્યકોઈપણ પોઈન્ટના ઓર્ડિનેટ્સ, જેમાંથી દરેકનો એબ્સીસા ફોકસના એબ્સીસા સમાન છે, એટલે કે. તેથી, દરેક બિંદુના ઓર્ડિનેટ માટે અમારી પાસે છે

Q.E.D.

ચાલો એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરીએ, જ્યાં. ધરીને ફોકસમાંથી પસાર થવા દો એફ પેરાબોલા અને ડાયરેક્ટ્રિક્સ પર લંબરૂપ છે, અને અક્ષ ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચે મધ્યમાં પસાર થાય છે. ચાલો ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેના અંતર દ્વારા દર્શાવીએ. પછી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ.

સંખ્યાને પેરાબોલાના ફોકલ પેરામીટર કહેવામાં આવે છે. ચાલો પેરાબોલાના વર્તમાન બિંદુ હોઈએ. હાઇપરબોલાના બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા હોવા દો બિંદુથી ડાયરેક્ટ્રિક્સ સુધીનું અંતર. પછી( રેખાંકન 27.)

રેખાંકન 27.

પેરાબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા. આથી,

ચાલો સમીકરણનો વર્ગ કરીએ અને મેળવીએ:

(15)

જ્યાં (15) એ પેરાબોલાનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે જે ધરી વિશે સપ્રમાણ છે અને મૂળમાંથી પસાર થાય છે.

પેરાબોલાના ગુણધર્મોની તપાસ

1) પેરાબોલાના શિરોબિંદુ:

સમીકરણ (15) સંખ્યાઓ દ્વારા સંતુષ્ટ છે અને તેથી, પેરાબોલા મૂળમાંથી પસાર થાય છે.

2) પેરાબોલાની સમપ્રમાણતા:

ચાલો પેરાબોલાને અનુસરીએ, એટલે કે સાચી સમાનતા. બિંદુ એ અક્ષની સાપેક્ષ બિંદુ સાથે સપ્રમાણ છે, તેથી, પેરાબોલા એબ્સિસા અક્ષની તુલનામાં સપ્રમાણ છે.

પેરાબોલા વિલક્ષણતા:

વ્યાખ્યા 4.2.પેરાબોલાની વિલક્ષણતા એ એક સમાન સંખ્યા છે.

પેરાબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા.

4) પેરાબોલાની સ્પર્શક:

સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ પર પરાવલાને સ્પર્શક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે

ક્યાં ( રેખાંકન 28.)

રેખાંકન 28.

પેરાબોલાની છબી

રેખાંકન 29.

ESO-Mathcad નો ઉપયોગ કરવો:

રેખાંકન 30.)

રેખાંકન 30.

a) ICT નો ઉપયોગ કર્યા વિના બાંધકામ: પેરાબોલા બનાવવા માટે, અમે બિંદુ O પર કેન્દ્ર સાથે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સેટ કરીએ છીએ અને એકમ સેગમેન્ટ. અમે OX અક્ષ પર ફોકસને ચિહ્નિત કરીએ છીએ, કારણ કે આપણે એવું દોરીએ છીએ, અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ. આપણે ત્રિજ્યા સાથે એક બિંદુ પર વર્તુળ બનાવીએ છીએ અંતર જેટલુંસીધી રેખાથી પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધી. વર્તુળ રેખાને બિંદુઓ પર છેદે છે. અમે પેરાબોલા બનાવીએ છીએ જેથી તે મૂળમાંથી અને બિંદુઓમાંથી પસાર થાય.( રેખાંકન 31.)

રેખાંકન 31.

b)ESO-Mathcad નો ઉપયોગ કરવો:

પરિણામી સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે: . Mathcad પ્રોગ્રામમાં સેકન્ડ-ઓર્ડર લાઇન બનાવવા માટે, અમે ફોર્મમાં સમીકરણ ઘટાડીએ છીએ: .( રેખાંકન 32.)

રેખાંકન 32.

માં સેકન્ડ ઓર્ડર લાઇન થિયરી પરના કામનો સારાંશ આપવા માટે પ્રાથમિક ગણિતઅને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે લીટીઓ વિશેની માહિતીનો ઉપયોગ કરવાની સગવડતા માટે, અમે કોષ્ટક નંબર 1 માં સેકન્ડ-ઓર્ડર લીટીઓ પરના તમામ ડેટાનો સમાવેશ કરીશું.

કોષ્ટક નં. 1.

પ્રાથમિક ગણિતમાં બીજી ક્રમ રેખાઓ

બીજા ક્રમની રેખાઓના અભ્યાસમાં ICT નો ઉપયોગ કરવાની શક્યતાઓ

માહિતીકરણની પ્રક્રિયા, જે આજે આધુનિક સમાજના જીવનના તમામ પાસાઓને આવરી લે છે, તેમાં ઘણા અગ્રતા ક્ષેત્રો છે, જેમાં, અલબત્ત, શિક્ષણનું માહિતીકરણ શામેલ હોવું જોઈએ. માહિતી અને સંચાર તકનીકો (ICT) ના ઉપયોગ દ્વારા માનવ બૌદ્ધિક પ્રવૃત્તિના વૈશ્વિક તર્કસંગતકરણ માટે તે મૂળભૂત આધાર છે.

છેલ્લી સદીના 90 ના દાયકાના મધ્યભાગથી આજ સુધી રશિયામાં વ્યક્તિગત કમ્પ્યુટર્સના વ્યાપક ઉપયોગ અને ઉપલબ્ધતા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, દૂરસંચારનો વ્યાપક ઉપયોગ, જે શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં વિકસિત શૈક્ષણિક માહિતી તકનીકોનો પરિચય, તેને સુધારવા અને આધુનિકીકરણ, સુધારણા અને સુધારણાને મંજૂરી આપે છે. જ્ઞાનની ગુણવત્તા, શીખવાની પ્રેરણા વધારવી, શિક્ષણના વ્યક્તિગતકરણના સિદ્ધાંતનો મહત્તમ ઉપયોગ કરવો. શિક્ષણના માહિતીકરણના આ તબક્કે શિક્ષણ માટેની માહિતી તકનીકો આવશ્યક સાધન છે.

માહિતી પ્રૌદ્યોગિકીઓ માત્ર માહિતીની ઍક્સેસને સરળ બનાવે છે અને શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓની વૈવિધ્યતા, તેના વ્યક્તિગતકરણ અને ભિન્નતા માટે શક્યતાઓ ખોલે છે, પરંતુ તે શીખવાના તમામ વિષયોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને નવી રીતે ગોઠવવાનું પણ શક્ય બનાવે છે. શૈક્ષણિક સિસ્ટમ, જેમાં વિદ્યાર્થી શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓમાં સક્રિય અને સમાન સહભાગી બનશે.

નવી રચના માહિતી ટેકનોલોજીવિષયના પાઠોના માળખામાં, તેઓ પાઠની અસરકારકતાને ગુણાત્મક રીતે સુધારવાના હેતુથી નવા સૉફ્ટવેર અને પદ્ધતિસરના સંકુલ બનાવવાની જરૂરિયાતને ઉત્તેજીત કરે છે. તેથી, માં સફળ અને લક્ષિત ઉપયોગ માટે શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાહિતી ટેકનોલોજી સાધનો, શિક્ષકો જાણતા હોવા જોઈએ સામાન્ય વર્ણનઓપરેટિંગ સિદ્ધાંતો અને સોફ્ટવેર એપ્લીકેશનની ઉપદેશાત્મક ક્ષમતાઓ, અને પછી, તેમના અનુભવ અને ભલામણોના આધારે, તેમને શૈક્ષણિક પ્રક્રિયામાં "બિલ્ડ" કરો.

ગણિતનો અભ્યાસ હાલમાં સંખ્યાબંધ લક્ષણો અને વિકાસલક્ષી મુશ્કેલીઓ સાથે સંકળાયેલો છે. શાળા શિક્ષણઆપણા દેશમાં.

ગણિતના શિક્ષણમાં કહેવાતી કટોકટી ઊભી થઈ છે. આના કારણો નીચે મુજબ છે.

સમાજમાં અને વિજ્ઞાનમાં બદલાતી પ્રાથમિકતાઓમાં, એટલે કે, માનવતાની પ્રાથમિકતા હાલમાં વધી રહી છે;

શાળામાં ગણિતના પાઠોની સંખ્યા ઘટાડવામાં;

જીવનમાંથી ગાણિતિક શિક્ષણની સામગ્રીનું અલગતા;

વિદ્યાર્થીઓની લાગણીઓ અને લાગણીઓ પર ઓછી અસર પડે છે.

આજે પ્રશ્ન ખુલ્લો રહે છે: "શાળાના બાળકોને ભણાવતી વખતે, ગણિત શીખવતી વખતે આધુનિક માહિતી અને સંચાર તકનીકોની સંભવિત ક્ષમતાઓનો સૌથી અસરકારક રીતે ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો?"

"ક્વાડ્રેટિક ફંક્શન" જેવા વિષયના અભ્યાસમાં કમ્પ્યુટર એક ઉત્તમ સહાયક છે, કારણ કે વિશિષ્ટ પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ કરીને તમે વિવિધ કાર્યોના ગ્રાફ બનાવી શકો છો, કાર્યનું અન્વેષણ કરી શકો છો, આંતરછેદ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સરળતાથી નક્કી કરી શકો છો, બંધ આકૃતિઓના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરી શકો છો, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રાફ ટ્રાન્સફોર્મેશન (સ્ટ્રેચિંગ, કોમ્પ્રેસિંગ, મૂવિંગ કોઓર્ડિનેટ એક્સેસ) માટે સમર્પિત 9મા ધોરણના બીજગણિત પાઠમાં તમે માત્ર બાંધકામનું સ્થિર પરિણામ જોઈ શકો છો, જ્યારે શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીની ક્રમિક ક્રિયાઓની સમગ્ર ગતિશીલતા જોઈ શકાય છે. મોનિટર સ્ક્રીન પર.

કમ્પ્યુટર જેવું બીજું કોઈ નથી તકનીકી માધ્યમો, સચોટ, સ્પષ્ટ અને ઉત્તેજક રીતે વિદ્યાર્થીને આદર્શ ગાણિતિક મોડેલો જાહેર કરે છે, એટલે કે. બાળકે તેની વ્યવહારિક ક્રિયાઓમાં શું પ્રયત્ન કરવો જોઈએ.

વિદ્યાર્થીઓને સમજાવવા માટે ગણિતના શિક્ષકને કેટલી મુશ્કેલીઓમાંથી પસાર થવું પડે છે કે ગ્રાફની સ્પર્શક ચતુર્ભુજ કાર્યસંપર્કના બિંદુ પર તે કાર્યના ગ્રાફ સાથે વ્યવહારીક રીતે ભળી જાય છે. કમ્પ્યુટર પર આ હકીકત દર્શાવવી ખૂબ જ સરળ છે - ઓક્સ અક્ષ સાથેના અંતરાલને સાંકડી કરવા અને સ્પર્શ બિંદુના ખૂબ જ નાના પડોશમાં, કાર્યનો ગ્રાફ અને સ્પર્શરેખા એકરૂપ થાય છે તે શોધવા માટે તે પૂરતું છે. આ બધી ક્રિયાઓ વિદ્યાર્થીઓની સામે થાય છે. આ ઉદાહરણ પાઠમાં સક્રિય પ્રતિબિંબ માટે પ્રોત્સાહન પૂરું પાડે છે. કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ વર્ગમાં નવી સામગ્રીની સમજૂતી દરમિયાન અને નિયંત્રણના તબક્કે બંને શક્ય છે. આ પ્રોગ્રામ્સની મદદથી, ઉદાહરણ તરીકે "મારી કસોટી", વિદ્યાર્થી સ્વતંત્ર રીતે તેના જ્ઞાનના સ્તરને સિદ્ધાંતમાં ચકાસી શકે છે અને સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ કાર્યોને પૂર્ણ કરી શકે છે. પ્રોગ્રામ્સ તેમની વૈવિધ્યતાને કારણે અનુકૂળ છે. તેનો ઉપયોગ સ્વ-નિયંત્રણ અને શિક્ષક નિયંત્રણ બંને માટે થઈ શકે છે.

ગણિત અને કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીનું વાજબી સંકલન આપણને સમસ્યાને ઉકેલવાની પ્રક્રિયા અને ગાણિતિક કાયદાઓને સમજવાની પ્રક્રિયાને વધુ સમૃદ્ધ અને ઊંડાણપૂર્વક જોવાની મંજૂરી આપશે. વધુમાં, કોમ્પ્યુટર વિદ્યાર્થીઓની ગ્રાફિક, ગાણિતિક અને માનસિક સંસ્કૃતિ બનાવવામાં મદદ કરશે અને કોમ્પ્યુટરની મદદથી તમે ડિડેક્ટિક સામગ્રી તૈયાર કરી શકો છો: કાર્ડ્સ, સર્વે શીટ્સ, ટેસ્ટ વગેરે. તે જ સમયે, બાળકોને આપો. સ્વતંત્ર રીતે વિષય પર પરીક્ષણો વિકસાવવાની તક, જે દરમિયાન રસ અને સર્જનાત્મક અભિગમ.

આમ, ગણિતના પાઠોમાં બને તેટલા વ્યાપકપણે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. માહિતી ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ જ્ઞાનની ગુણવત્તામાં સુધારો કરવામાં મદદ કરશે, ચતુર્ભુજ કાર્યના અભ્યાસની ક્ષિતિજને વિસ્તૃત કરશે અને તેથી વિષય અને વિષયમાં વિદ્યાર્થીઓની રુચિ જાળવવા માટે નવી સંભાવનાઓ શોધવામાં મદદ કરશે અને તેથી વધુ સારા, વધુ સચેત વલણ માટે. તે આજે, આધુનિક માહિતી તકનીકો સમગ્ર શાળાના આધુનિકીકરણ માટે - મેનેજમેન્ટથી શિક્ષણ સુધી અને શિક્ષણની સુલભતા સુનિશ્ચિત કરવા માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ સાધન બની રહી છે.

પ્લેન પરની એક લાઇન અને આ લાઇન પર ન આવેલા બિંદુને ધ્યાનમાં લો. અને લંબગોળ, અને અતિશયબિંદુઓના ભૌમિતિક સ્થાન તરીકે એકીકૃત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેના માટે આપેલ બિંદુ અને આપેલ સીધી રેખાના અંતરના અંતરનો ગુણોત્તર એક સ્થિર મૂલ્ય છે

રેન્ક ε. 0 1 પર - હાઇપરબોલા. પરિમાણ ε છે એલિપ્સ અને હાઇપરબોલા બંનેની તરંગીતા. શક્ય છે હકારાત્મક મૂલ્યોએક પરિમાણ ε, એટલે કે ε = 1, ન વપરાયેલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. આ મૂલ્ય આપેલ બિંદુ અને આપેલ રેખાથી સમાન અંતરના બિંદુઓના ભૌમિતિક સ્થાનને અનુરૂપ છે.

વ્યાખ્યા 8.1. ભૌમિતિક સ્થળનિયત બિંદુથી અને નિશ્ચિત રેખાથી સમાન અંતરના સમતલના બિંદુઓને કહેવામાં આવે છે પેરાબોલા

નિયત બિંદુ કહેવાય છે પેરાબોલાનું ધ્યાન, અને સીધી રેખા - પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ. તે જ સમયે, એવું માનવામાં આવે છે પેરાબોલા તરંગીતાએક સમાન.

ભૌમિતિક વિચારણાઓથી તે અનુસરે છે કે પેરાબોલા ડાયરેક્ટ્રીક્સની લંબરૂપ સીધી રેખાના સંદર્ભમાં અને પેરાબોલાના ફોકસમાંથી પસાર થતી સપ્રમાણતા ધરાવે છે. આ સીધી રેખાને પેરાબોલાની સમપ્રમાણતાની અક્ષ અથવા સરળ કહેવામાં આવે છે પેરાબોલાની ધરી. પેરાબોલા તેની સમપ્રમાણતાની ધરીને એક બિંદુ પર છેદે છે. આ બિંદુ કહેવામાં આવે છે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ. તે પેરાબોલાના ફોકસને ડાયરેક્ટ્રીક્સ (ફિગ. 8.3) સાથે તેની ધરીના આંતરછેદના બિંદુ સાથે જોડતા સેગમેન્ટની મધ્યમાં સ્થિત છે.

પેરાબોલા સમીકરણ.પેરાબોલાના સમીકરણ મેળવવા માટે, અમે પ્લેન પર પસંદ કરીએ છીએ મૂળપેરાબોલાના શિરોબિંદુ પર, જેમ x-અક્ષ- પેરાબોલાની અક્ષ, સકારાત્મક દિશા કે જેના પર ફોકસની સ્થિતિ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે (ફિગ. 8.3 જુઓ). આ સંકલન સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે પ્રમાણભૂતપ્રશ્નમાં પેરાબોલા માટે, અને અનુરૂપ ચલો છે પ્રમાણભૂત.

ચાલો ફોકસથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીનું અંતર p દ્વારા દર્શાવીએ. તેઓ તેને બોલાવે છે પેરાબોલાના ફોકલ પેરામીટર.

પછી ફોકસમાં F(p/2; 0) કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે, અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ d એ સમીકરણ x = - p/2 દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. બિંદુઓનું સ્થાન M(x; y), બિંદુ F અને રેખા d થી સમાન અંતરે, સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે

ચાલો વર્ગ સમીકરણ (8.2) કરીએ અને સમાન સમીકરણો રજૂ કરીએ. અમને સમીકરણ મળે છે

જે કહેવાય છે પ્રામાણિક પેરાબોલા સમીકરણ.

નોંધ કરો કે સ્ક્વેરિંગ ઇન કરો આ કિસ્સામાં - સમકક્ષ રૂપાંતરસમીકરણ (8.2), કારણ કે સમીકરણની બંને બાજુઓ બિન-નકારાત્મક છે, જેમ કે આમૂલ હેઠળની અભિવ્યક્તિ છે.

પેરાબોલાના પ્રકાર.જો પેરાબોલા y 2 = x, જેનું સ્વરૂપ આપણે જાણીતું ગણીએ છીએ, તેને x-અક્ષ સાથે 1/(2p) ના ગુણાંક સાથે સંકુચિત કરવામાં આવે છે, તો આપણને પેરાબોલા મળે છે. સામાન્ય દૃશ્ય, જે સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (8.3).

ઉદાહરણ 8.2.ચાલો ફોકસના કોઓર્ડિનેટ્સ અને પેરાબોલાના ડાયરેક્ટ્રિક્સનું સમીકરણ શોધીએ જો તે એવા બિંદુમાંથી પસાર થાય કે જેના પ્રમાણભૂત કોઓર્ડિનેટ્સ (25; 10) હોય.

IN પ્રમાણભૂત કોઓર્ડિનેટ્સપેરાબોલાનું સમીકરણ y 2 = 2px છે. બિંદુ (25; 10) પેરાબોલા પર હોવાથી, પછી 100 = 50p અને તેથી p = 2. તેથી, y 2 = 4x એ પેરાબોલાનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે, x = - 1 એ તેના ડાયરેક્ટ્રીક્સનું સમીકરણ છે, અને ફોકસ બિંદુ પર છે (1; 0 ).

પેરાબોલાની ઓપ્ટિકલ પ્રોપર્ટી.પેરાબોલામાં નીચેના છે ઓપ્ટિકલ મિલકત. જો પેરાબોલાના કેન્દ્રમાં પ્રકાશ સ્ત્રોત મૂકવામાં આવે, તો બધું પ્રકાશ કિરણોપેરાબોલાના પ્રતિબિંબ પછી, તેઓ પેરાબોલાની ધરીની સમાંતર હશે (ફિગ. 8.4). ઓપ્ટિકલ પ્રોપર્ટીનો અર્થ એ છે કે પેરાબોલાના કોઈપણ બિંદુએ એમ સામાન્ય વેક્ટરસ્પર્શક કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા MF અને એબ્સીસા અક્ષ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.