વિષય પર ગ્રેડ 10 માં બીજગણિતમાં પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "એકવિધતા માટે કાર્યનું સંશોધન. સંશોધન અલ્ગોરિધમ"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

1C થી ગ્રેડ 10 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં મેન્યુઅલ અને સિમ્યુલેટર
પરિમાણો સાથે બીજગણિત સમસ્યાઓ, ગ્રેડ 9-11
સોફ્ટવેર પર્યાવરણ "1C: મેથેમેટિકલ કન્સ્ટ્રક્ટર 6.1"

આપણે શું અભ્યાસ કરીશું:
1. કાર્યોમાં ઘટાડો અને વધારો.
2. કાર્યની વ્યુત્પન્નતા અને એકવિધતા વચ્ચેનો સંબંધ.
3. એકવિધતા પર બે મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય.
4. ઉદાહરણો.

ગાય્ઝ, અગાઉ આપણે ઘણું જોયું વિવિધ કાર્યોઅને તેમના આલેખ બનાવ્યા. હવે ચાલો નવા નિયમો રજૂ કરીએ જે તમામ કાર્યો માટે કાર્ય કરે છે જે આપણે ધ્યાનમાં લીધા છે અને ધ્યાનમાં લેવાનું ચાલુ રાખીશું.

કાર્યોમાં ઘટાડો અને વધારો

ફંક્શન એ પત્રવ્યવહાર છે y= f(x), જેમાં x નું દરેક મૂલ્ય y ના એક મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલું છે.

ચાલો અમુક કાર્યનો ગ્રાફ જોઈએ:

અમારો આલેખ બતાવે છે: મોટો x, નાનો y. તો ચાલો ઘટતા કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. એક કાર્ય ઘટતું હોવાનું કહેવાય છે જો ઉચ્ચ મૂલ્યદલીલ મેળ ખાય છે ઓછી કિંમતકાર્યો

જો x2 > x1, તો f(x2) હવે આ ફંકશનનો ગ્રાફ જોઈએ:
આ આલેખ બતાવે છે કે જેટલો મોટો x, તેટલો મોટો y. તો ચાલો વધતા કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. જો દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તો ફંક્શનને વધતું કહેવામાં આવે છે.
જો x2 > x1, તો f(x2 > f(x1) અથવા: જેટલો મોટો x, તેટલો મોટો y.

જો કોઈ કાર્ય ચોક્કસ અંતરાલમાં વધે અથવા ઘટે, તો તે કહેવાય છે તે આ અંતરાલ પર એકવિધ છે.

કાર્યની વ્યુત્પન્નતા અને એકવિધતા વચ્ચેનો સંબંધ

જો તમે અમારા સ્પર્શકને જુઓ અથવા અન્ય કોઈ સ્પર્શકને દૃષ્ટિની રીતે દોરો, તો તમે જોશો કે સ્પર્શક અને x-અક્ષની હકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો ખૂણો તીવ્ર હશે. આનો અર્થ એ છે કે સ્પર્શકમાં હકારાત્મક છે ઢાળ. સ્પર્શક ઢાળ મૂલ્યની સમાનસ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુના એબ્સીસામાં વ્યુત્પન્ન. આમ, વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય આપણા ગ્રાફમાં તમામ બિંદુઓ પર હકારાત્મક છે. વધતા કાર્ય માટે નીચેની અસમાનતા: f"(x) ≥ 0, કોઈપણ બિંદુ x માટે.

મિત્રો, હવે ચાલો અમુક ઘટતા ફંક્શનના ગ્રાફને જોઈએ અને ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શક બનાવીએ.

ચાલો સ્પર્શકોને જોઈએ અને કોઈપણ અન્ય સ્પર્શકને દૃષ્ટિની રીતે દોરીએ. આપણે જોશું કે સ્પર્શક અને x-અક્ષની સકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો ખૂણો અસ્પષ્ટ છે, જેનો અર્થ થાય છે કે સ્પર્શકને નકારાત્મક ઢોળાવ છે. આમ, વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય આપણા ગ્રાફમાં તમામ બિંદુઓ પર નકારાત્મક છે. ઘટતા કાર્ય માટે, નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે: f"(x) ≤ 0, કોઈપણ બિંદુ x માટે.

તેથી, કાર્યની એકવિધતા વ્યુત્પન્નના સંકેત પર આધારિત છે:

જો કોઈ ફંક્શન અંતરાલ પર વધે છે અને આ અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન હોય છે, તો આ વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક રહેશે નહીં.

જો કોઈ ફંક્શન અંતરાલ પર ઘટે છે અને આ અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન હોય, તો આ વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક રહેશે નહીં.

મહત્વપૂર્ણ, જેથી અંતરાલો કે જેના પર આપણે કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ તે ખુલ્લા છે!

એકવિધતા પર બે મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય

પ્રમેય 1. જો ખુલ્લા અંતરાલ X ના તમામ બિંદુઓ પર અસમાનતા f’(x) ≥ 0 ધરાવે છે (અને શૂન્યમાં વ્યુત્પન્નની સમાનતા કાં તો પકડી શકતી નથી અથવા ધરાવે છે, પરંતુ માત્ર મર્યાદિત સમૂહપોઈન્ટ), પછી ફંક્શન y= f(x) અંતરાલ X પર વધે છે.

પ્રમેય 2. જો અસમાનતા f'(x) ≤ 0 ખુલ્લા અંતરાલ X ના તમામ બિંદુઓ પર ધરાવે છે (અને શૂન્યથી વ્યુત્પન્નની સમાનતા કાં તો પકડી રાખતી નથી અથવા ધરાવે છે, પરંતુ માત્ર બિંદુઓના મર્યાદિત સમૂહ પર), તો પછી કાર્ય y= f(x) અંતરાલ X પર ઘટે છે.

પ્રમેય 3. જો ખુલ્લા અંતરાલ X ના તમામ બિંદુઓ પર સમાનતા
f’(x)= 0, પછી ફંક્શન y= f(x) આ અંતરાલ પર સ્થિર છે.

એકવિધતા માટે કાર્યનો અભ્યાસ કરવાના ઉદાહરણો

1) સાબિત કરો કે ફંક્શન y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વધી રહ્યું છે.

ઉકેલ: ચાલો આપણા ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. x પરની ડિગ્રી સમ હોવાથી, પછી પાવર કાર્યમાત્ર સ્વીકારે છે હકારાત્મક મૂલ્યો. પછી કોઈપણ x માટે y"> 0, જેનો અર્થ પ્રમેય 1 દ્વારા થાય છે, આપણું કાર્ય સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વધે છે.

2) સાબિત કરો કે કાર્ય ઘટી રહ્યું છે: y=sin(2x) - 3x.

ચાલો આપણા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: y"= 2cos(2x) - 3.
ચાલો અસમાનતાને હલ કરીએ:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
કારણ કે -1 ≤ cos(x) ≤ 1, જેનો અર્થ છે કે આપણી અસમાનતા કોઈપણ x માટે સંતુષ્ટ છે, પછી પ્રમેય 2 દ્વારા કાર્ય y= sin(2x) - 3x ઘટે છે.

3) એકવિધતા માટે કાર્યનું પરીક્ષણ કરો: y= x 2 + 3x - 1.

ઉકેલ: ચાલો આપણા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: y"= 2x + 3.
ચાલો અસમાનતાને હલ કરીએ:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
પછી આપણું કાર્ય x ≥ -3/2 માટે વધે છે, અને x ≤ -3/2 માટે ઘટે છે.
જવાબ: x ≥ -3/2 માટે, કાર્ય વધે છે, x ≤ -3/2 માટે, કાર્ય ઘટે છે.

4) ફંક્શનની એકવિધતા તપાસો: y= $\sqrt(3x - 1)$.

ઉકેલ: ચાલો આપણા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
ચાલો અસમાનતા હલ કરીએ: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

આપણી અસમાનતા શૂન્ય કરતા વધારે અથવા બરાબર છે:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
ચાલો અસમાનતાને હલ કરીએ:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
પરંતુ આ અશક્ય છે, કારણ કે ... વર્ગમૂળમાત્ર હકારાત્મક અભિવ્યક્તિઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે આપણા કાર્યમાં કોઈ ઘટતા અંતરાલો નથી.
જવાબ: x ≥ 1/3 માટે કાર્ય વધે છે.

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ

એકવિધ કાર્યએક કાર્ય છે વધારોજે ચિહ્નને બદલતું નથી, એટલે કે, હંમેશા બિન-નકારાત્મક અથવા હંમેશા બિન-પોઝિટિવ. જો વધારામાં વધારો શૂન્ય ન હોય, તો કાર્ય કહેવામાં આવે છે સખત એકવિધ. એકવિધ કાર્ય એ એક કાર્ય છે જે સમાન દિશામાં બદલાય છે.

જો મોટી દલીલ મૂલ્ય મોટા ફંક્શન મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તો ફંક્શનમાં વધારો થાય છે. જો દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તો ફંક્શન ઘટે છે.

પછી ફંક્શન આપવા દો

(કડકથી) વધતા અથવા ઘટતા કાર્યને (કડકથી) મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે.

ચરમસીમાની વ્યાખ્યા

કાર્ય y = f(x) ચોક્કસ અંતરાલમાં વધતું (ઘટતું) કહેવાય છે જો, x1 માટે< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

જો ડિફરન્સિબલ ફંક્શન y = f(x) અંતરાલ પર વધે (ઘટે), તો આ અંતરાલ પર તેનું વ્યુત્પન્ન f "(x) > 0

(f" (x)< 0).

બિંદુ xо એ ફંકશન f(x) નો સ્થાનિક મહત્તમ (ન્યૂનતમ) બિંદુ કહેવાય છે જો બિંદુ xо ની પડોશી હોય જેના માટે અસમાનતા f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо) )) બધા પોઈન્ટ માટે સાચું છે.

મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓને આત્યંતિક બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને આ બિંદુઓ પરના કાર્યના મૂલ્યોને તેની આત્યંતિક બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે.

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ

એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી શરતો. જો બિંદુ xо એ ફંક્શન f(x) નો અંતિમ બિંદુ છે, તો કાં તો f "(xо) = 0, અથવા f (xо) અસ્તિત્વમાં નથી. આવા બિંદુઓને જટિલ કહેવામાં આવે છે, અને કાર્ય પોતે જ નિર્ણાયક બિંદુનિર્ધારિત ફંક્શનનો અંતિમ ભાગ તેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ વચ્ચે શોધવો જોઈએ.

પ્રથમ પૂરતી સ્થિતિ. xo ને નિર્ણાયક બિંદુ બનવા દો. જો બિંદુ xoમાંથી પસાર થતી વખતે f"(x) વત્તાથી માઈનસમાં ચિહ્ન બદલે છે, તો બિંદુ xo પર કાર્ય મહત્તમ હોય છે, અન્યથા તેની પાસે લઘુત્તમ હોય છે. જો નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલતું નથી, પછી બિંદુ xo પર કોઈ અંતિમ નથી.

બીજી પર્યાપ્ત સ્થિતિ. ફંક્શન f(x) ને બિંદુ xо ની નજીકમાં f " (x) વ્યુત્પન્ન થવા દો અને બિંદુ xо પર જ બીજું વ્યુત્પન્ન. જો f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

સેગમેન્ટ પર, ફંક્શન y = f(x) તેના ન્યૂનતમ અથવા મહત્તમ મૂલ્ય સુધી નિર્ણાયક બિંદુઓ પર અથવા સેગમેન્ટના છેડે પહોંચી શકે છે.

7. બહિર્મુખતા, અંતર્મુખ કાર્યોના અંતરાલો .ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ.

તેણીનું સમીકરણ.

આપણે બતાવવું જોઈએ કે કાર્યનો આલેખ ચાલુ છે આ સ્પર્શકની નીચે આવેલું છે, એટલે કે. સમાન મૂલ્ય પર.

વક્રનું ઓર્ડિનેટ સ્પર્શકના ઓર્ડિનેટ કરતાં ઓછી હશે.ફંક્શનનો ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, જુઓ

ઇન્ફ્લેક્શન બિંદુ ફંક્શન આંતરિક બિંદુનો ઇન્ફ્લેક્શન પોઇન્ટવ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર , જેમ કે આ બિંદુએ સતત છે, આ બિંદુએ એક મર્યાદિત અથવા ચોક્કસ ચિહ્ન અનંત વ્યુત્પન્ન છે, તે સાથે સાથે ઉપરની તરફ સખત બહિર્મુખતાના અંતરાલનો અંત અને નીચે તરફ સખત બહિર્મુખતાના અંતરાલની શરૂઆત છે, અથવા તેનાથી ઊલટું.બિનસત્તાવાર

આ કિસ્સામાં મુદ્દો છે

ફંક્શનના વધતા, ઘટતા અને ચરમસીમાના અંતરાલ શોધવાનું આ પ્રમાણે છે: એક સ્વતંત્ર કાર્ય, અને અન્ય કાર્યોનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભાગ, ખાસ કરીને, સંપૂર્ણ કાર્ય અભ્યાસ. પ્રારંભિક માહિતીકાર્યના વધારા, ઘટાડા અને ચરમસીમા વિશે આપેલ છે વ્યુત્પન્ન પર સૈદ્ધાંતિક પ્રકરણ, જેનો હું પ્રારંભિક અભ્યાસ માટે ખૂબ ભલામણ કરું છું (અથવા પુનરાવર્તન)– એ પણ કારણસર કે નીચેની સામગ્રી ખૂબ જ પર આધારિત છે આવશ્યકપણે વ્યુત્પન્ન,આ લેખનું સુમેળભર્યું ચાલુ છે. જો કે, જો સમય ઓછો હોય, તો આજના પાઠમાંથી ઉદાહરણોની સંપૂર્ણ ઔપચારિક પ્રેક્ટિસ પણ શક્ય છે.

અને આજે હવામાં દુર્લભ સર્વસંમતિની ભાવના છે, અને હું સીધો અનુભવ કરી શકું છું કે હાજર દરેક વ્યક્તિ ઇચ્છાથી બળી રહ્યો છે તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ કરવાનું શીખો. તેથી, વાજબી, સારી, શાશ્વત પરિભાષા તરત જ તમારા મોનિટર સ્ક્રીન પર દેખાય છે.

શેના માટે? કારણો પૈકી એક સૌથી વ્યવહારુ છે: જેથી તે સ્પષ્ટ થાય કે કોઈ ચોક્કસ કાર્યમાં તમારા માટે સામાન્ય રીતે શું જરૂરી છે!

કાર્યની એકવિધતા. એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા

ચાલો કેટલાક કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. સરળ રીતે કહીએ તો, અમે ધારીએ છીએ કે તેણી સતતસમગ્ર સંખ્યા રેખા પર:

ફક્ત કિસ્સામાં, ચાલો તરત જ સંભવિત ભ્રમણાથી છુટકારો મેળવીએ, ખાસ કરીને તે વાચકો માટે કે જેઓ તાજેતરમાં પરિચિત થયા છે. કાર્યના સતત સંકેતના અંતરાલો. હવે અમે રસ નથી, કેવી રીતે કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષની તુલનામાં સ્થિત છે (ઉપર, નીચે, જ્યાં અક્ષ છેદે છે). ખાતરી કરવા માટે, માનસિક રૂપે અક્ષોને ભૂંસી નાખો અને એક ગ્રાફ છોડી દો. કારણ કે ત્યાં જ રસ રહેલો છે.

કાર્ય વધે છેઅંતરાલ પર, જો આ અંતરાલના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે, સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ, અસમાનતા સાચી છે. એટલે કે, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે, અને તેનો ગ્રાફ "નીચેથી ઉપર" જાય છે. નિદર્શન કાર્ય અંતરાલ પર વધે છે.

તેવી જ રીતે, કાર્ય ઘટે છેઅંતરાલ પર જો આપેલ અંતરાલના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે જેમ કે, અસમાનતા સાચી છે. એટલે કે, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે, અને તેનો ગ્રાફ "ઉપરથી નીચે" જાય છે. આપણું કાર્ય અંતરાલ પર ઘટે છે .

જો કોઈ કાર્ય અંતરાલમાં વધે અથવા ઘટે, તો તેને કહેવામાં આવે છે સખત એકવિધઆ અંતરાલ પર. એકવિધતા શું છે? તેને શાબ્દિક રીતે લો - એકવિધતા.

તમે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો બિન-ઘટતુંકાર્ય (પ્રથમ વ્યાખ્યામાં હળવા સ્થિતિ) અને બિન-વધતુંકાર્ય (2જી વ્યાખ્યામાં નરમ સ્થિતિ). એક અંતરાલ પર બિન-ઘટતા અથવા ન વધતા કાર્યને આપેલ અંતરાલ પર એકવિધ કાર્ય કહેવાય છે (કડક એકવિધતા - ખાસ કેસ"માત્ર" એકવિધતા).

થિયરી ફંક્શનના વધારા/ઘટાડાને નિર્ધારિત કરવા માટેના અન્ય અભિગમોને પણ ધ્યાનમાં લે છે, જેમાં અર્ધ-અંતરો, સેગમેન્ટ્સનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ તમારા માથા પર તેલ-તેલ-તેલ ન રેડવા માટે, અમે સ્પષ્ટ વ્યાખ્યાઓ સાથે ખુલ્લા અંતરાલ સાથે કામ કરવા માટે સંમત થઈશું. - આ સ્પષ્ટ છે, અને ઘણાને ઉકેલવા માટે વ્યવહારુ સમસ્યાઓતદ્દન પર્યાપ્ત.

આમ, મારા લેખોમાં "ફંક્શનની એકવિધતા" શબ્દ લગભગ હંમેશા છુપાયેલો રહેશે અંતરાલોકડક એકવિધતા(ફંક્શનમાં સખત વધારો અથવા સખત ઘટાડો).

બિંદુની પડોશ. શબ્દો કે જેના પછી વિદ્યાર્થીઓ ગમે ત્યાં ભાગી જાય છે અને ખૂણામાં ભયાનક રીતે સંતાઈ જાય છે. ...જોકે પોસ્ટ પછી કોચી મર્યાદાતેઓ કદાચ હવે છુપાવી રહ્યાં નથી, પરંતુ માત્ર સહેજ ધ્રૂજી રહ્યા છે =) ચિંતા કરશો નહીં, હવે પ્રમેયની કોઈ સાબિતી હશે નહીં ગાણિતિક વિશ્લેષણ- વ્યાખ્યાઓ વધુ કડક રીતે ઘડવા માટે મને આસપાસના વાતાવરણની જરૂર હતી આત્યંતિક બિંદુઓ. ચાલો યાદ કરીએ:

બિંદુની પડોશસમાવિષ્ટ અંતરાલ કહેવાય છે આ બિંદુ, જ્યારે સગવડ માટે અંતરાલ ઘણીવાર સપ્રમાણ હોવાનું માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુ અને તેના પ્રમાણભૂત પડોશી:

વાસ્તવમાં, વ્યાખ્યાઓ:

બિંદુ કહેવાય છે સખત મહત્તમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેણીનો પડોશ, દરેક માટેજેનાં મૂલ્યો, બિંદુ સિવાય, અસમાનતા. અમારા માં ચોક્કસ ઉદાહરણઆ મુદ્દો છે.

બિંદુ કહેવાય છે કડક ન્યૂનતમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેણીનો પડોશ, દરેક માટેજેનાં મૂલ્યો, બિંદુ સિવાય, અસમાનતા. ડ્રોઇંગમાં બિંદુ "a" છે.

નોંધ : પડોશી સમપ્રમાણતાની જરૂરિયાત બિલકુલ જરૂરી નથી. વધુમાં, તે મહત્વપૂર્ણ છે અસ્તિત્વની હકીકતઆસપાસની (નાની પણ, માઇક્રોસ્કોપિક પણ), સંતોષકારક ઉલ્લેખિત શરતો

પોઈન્ટ કહેવાય છે સખત આત્યંતિક બિંદુઓઅથવા માત્ર આત્યંતિક બિંદુઓકાર્યો એટલે કે, તે મહત્તમ પોઈન્ટ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ્સ માટે સામાન્યકૃત શબ્દ છે.

આપણે "આત્યંતિક" શબ્દને કેવી રીતે સમજી શકીએ? હા, એકવિધતા જેટલી જ સીધી. રોલર કોસ્ટરના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ.

મોનોટોનિસિટીના કિસ્સામાં, છૂટક પોસ્ટ્યુલેટ્સ અસ્તિત્વમાં છે અને સિદ્ધાંતમાં વધુ સામાન્ય છે (જે, અલબત્ત, માનવામાં આવતા કડક કેસો હેઠળ આવે છે!):

બિંદુ કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેની આસપાસનો માહોલ એવો છે દરેક માટે
બિંદુ કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેની આસપાસનો માહોલ એવો છે દરેક માટેઆ પડોશના મૂલ્યો, અસમાનતા ધરાવે છે.

નોંધ કરો કે છેલ્લી બે વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, સ્થિર કાર્યનો કોઈપણ બિંદુ (અથવા ફંક્શનનો "સપાટ વિભાગ") મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુ બંને ગણવામાં આવે છે! કાર્ય, માર્ગ દ્વારા, બંને બિન-વધતા અને ન ઘટતા, એટલે કે, એકવિધ છે. જો કે, અમે આ વિચારણાઓ સિદ્ધાંતવાદીઓ પર છોડી દઈશું, કારણ કે વ્યવહારમાં આપણે હંમેશા પરંપરાગત "પહાડીઓ" અને "હોલોઝ" (રેખાંકન જુઓ)ને અનન્ય "પહાડીના રાજા" અથવા "સ્વેમ્પની રાજકુમારી" સાથે ચિંતન કરીએ છીએ. વિવિધતા તરીકે, તે થાય છે ટીપ, ઉપર અથવા નીચે નિર્દેશિત, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ પર કાર્યનું ન્યૂનતમ.

ઓહ, અને રોયલ્ટી વિશે બોલતા:
- અર્થ કહેવાય છે મહત્તમકાર્યો;
- અર્થ કહેવાય છે ન્યૂનતમકાર્યો

સામાન્ય નામ – ચરમસીમાકાર્યો

કૃપા કરીને તમારા શબ્દોથી સાવચેત રહો!

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ- આ "X" મૂલ્યો છે.
આત્યંતિક- "રમત" નો અર્થ.

! નોંધ : કેટલીકવાર સૂચિબદ્ધ શબ્દો "X-Y" બિંદુઓનો સંદર્ભ આપે છે જે સીધા જ કાર્યના ગ્રાફ પર આવેલા છે.

ફંક્શનમાં કેટલા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે?

કોઈ નહીં, 1, 2, 3, ... વગેરે. જાહેરાત અનંત ઉદાહરણ તરીકે, સાઈનમાં અનંતપણે ઘણા મિનિમા અને મેક્સિમા છે.

મહત્વપૂર્ણ!શબ્દ "મહત્તમ કાર્ય" સમાન નથીશબ્દ " મહત્તમ મૂલ્યકાર્યો" તે નોંધવું સરળ છે કે મૂલ્ય ફક્ત સ્થાનિક પડોશમાં જ મહત્તમ છે, અને ટોચની ડાબી બાજુએ "કૂલર સાથીઓ" છે. તેવી જ રીતે, "લઘુત્તમ કાર્ય" એ "જેવું" નથી ન્યૂનતમ મૂલ્યફંક્શન્સ”, અને ડ્રોઇંગમાં આપણે જોઈએ છીએ કે મૂલ્ય ફક્ત ચોક્કસ વિસ્તારમાં ન્યૂનતમ છે. આ સંદર્ભે, એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ પણ કહેવામાં આવે છે સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ, અને અંતિમ - સ્થાનિક ચરમસીમાઓ . તેઓ ચાલે છે અને નજીકમાં ભટકતા હોય છે અને વૈશ્વિકભાઈઓ તેથી, કોઈપણ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ પર હોય છે વૈશ્વિક લઘુત્તમઅથવા વૈશ્વિક મહત્તમ. આગળ, હું ચરમસીમાના પ્રકારો વચ્ચે તફાવત કરીશ નહીં, અને સમજૂતી સામાન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે વધુ ઉચ્ચારવામાં આવે છે - વધારાના વિશેષણો "સ્થાનિક"/"વૈશ્વિક" તમને આશ્ચર્યચકિત કરવા જોઈએ નહીં.

ચાલો ટેસ્ટ શૉટ સાથે સિદ્ધાંતમાં અમારા ટૂંકા પ્રવાસનો સારાંશ આપીએ: કાર્ય "એકવિધતાના અંતરાલો અને કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ શોધો" નો અર્થ શું છે?

શબ્દો તમને શોધવા માટે પ્રોત્સાહિત કરે છે:

- વધતા/ઘટાડતા કાર્યના અંતરાલો (ઘટાડા વગરના, ન વધતા ઘણી ઓછી વાર દેખાય છે);

- મહત્તમ અને/અથવા લઘુત્તમ પોઈન્ટ (જો કોઈ હોય તો). ઠીક છે, નિષ્ફળતા ટાળવા માટે, લઘુત્તમ/મહત્તમ ;-) પોતાને શોધવાનું વધુ સારું છે.

આ બધું કેવી રીતે નક્કી કરવું?વ્યુત્પન્ન કાર્યનો ઉપયોગ કરીને!

વધતા, ઘટતા અંતરાલો કેવી રીતે શોધવી,
એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા?

ઘણા નિયમો, વાસ્તવમાં, પહેલાથી જ જાણીતા અને સમજવામાં આવ્યા છે વ્યુત્પન્નના અર્થ વિશેનો પાઠ.

સ્પર્શક વ્યુત્પન્ન ખુશખુશાલ સમાચાર લાવે છે કે કાર્ય સમગ્રમાં વધી રહ્યું છે વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર.

કોટેન્જેન્ટ અને તેના વ્યુત્પન્ન સાથે પરિસ્થિતિ બરાબર વિપરીત છે.

આર્કસાઇન અંતરાલ પર વધે છે - અહીં વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે: .
જ્યારે ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ અલગ નથી. જો કે, નિર્ણાયક બિંદુ પર જમણા હાથે વ્યુત્પન્ન અને જમણા હાથની સ્પર્શક હોય છે, અને બીજી ધાર પર તેમના ડાબા હાથના સમકક્ષ હોય છે.

મને લાગે છે કે આર્ક કોસાઇન અને તેના વ્યુત્પન્ન માટે સમાન તર્ક હાથ ધરવા તમારા માટે બહુ મુશ્કેલ નહીં હોય.

ઉપરોક્ત તમામ કેસો, જેમાંથી ઘણા છે ટેબ્યુલર ડેરિવેટિવ્ઝ, હું તમને યાદ કરું છું, સીધા જ અનુસરો વ્યુત્પન્ન વ્યાખ્યાઓ.

તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ શા માટે કરવું?

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે: જ્યાં તે “નીચે ઉપર” જાય છે, જ્યાં “ટોપ ડાઉન”, જ્યાં તે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ સુધી પહોંચે છે (જો તે બિલકુલ પહોંચે તો). બધા ફંક્શન એટલા સરળ હોતા નથી - મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં આપણને ચોક્કસ ફંક્શનના ગ્રાફ વિશે બિલકુલ ખ્યાલ હોતો નથી.

વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધવાનો અને વિચારવાનો સમય છે એકવિધતા અને કાર્યના અંતરાલો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:

ઉદાહરણ 1

ફંક્શનના વધારા/ઘટાડા અને અંતરાલો શોધો

ઉકેલ:

1) પ્રથમ પગલું શોધવાનું છે ફંક્શનનું ડોમેન, અને બ્રેકપોઇન્ટ્સની પણ નોંધ લો (જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો). IN આ કિસ્સામાંફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે, અને આ ક્રિયાવી અમુક હદ સુધીઔપચારિક રીતે પરંતુ અસંખ્ય કેસોમાં, અહીં ગંભીર જુસ્સો ભડકે છે, તેથી ચાલો અણગમો કર્યા વિના ફકરાની સારવાર કરીએ.

2) અલ્ગોરિધમનો બીજો મુદ્દો કારણે છે

એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ:

જો કોઈ બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ હોય, તો કાં તો મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં નથી.

અંત દ્વારા મૂંઝવણમાં છો? "મોડ્યુલસ x" ફંક્શનની સીમા .

શરત જરૂરી છે, પરંતુ પૂરતું નથી, અને વાતચીત હંમેશા સાચી હોતી નથી. તેથી, તે હજુ સુધી સમાનતાથી અનુસરતું નથી કે કાર્ય બિંદુ પર મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે. ઉત્તમ ઉદાહરણપહેલેથી જ ઉપર પ્રકાશિત - આ એક ક્યુબિક પેરાબોલા અને તેનો નિર્ણાયક બિંદુ છે.

પરંતુ તે બની શકે તેટલું બનો, જરૂરી સ્થિતિઆત્યંતિક શંકાસ્પદ બિંદુઓ શોધવાની જરૂરિયાત સૂચવે છે. આ કરવા માટે, વ્યુત્પન્ન શોધો અને સમીકરણ ઉકેલો:

પ્રથમ લેખની શરૂઆતમાં કાર્ય ગ્રાફ વિશેમેં તમને એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલાને ઝડપથી કેવી રીતે બનાવવું તે કહ્યું : "...આપણે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ: ...તેથી, આપણા સમીકરણનો ઉકેલ: - આ બિંદુએ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ સ્થિત છે..." હવે, મને લાગે છે કે, દરેક જણ સમજે છે કે શા માટે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ આ બિંદુએ બરાબર સ્થિત છે =) સામાન્ય રીતે, આપણે અહીં સમાન ઉદાહરણથી શરૂઆત કરવી જોઈએ, પરંતુ તે ખૂબ સરળ છે (એક ચાની કીટલી માટે પણ). વધુમાં, વિશેના પાઠના ખૂબ જ અંતમાં એક એનાલોગ છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. તેથી, ચાલો ડિગ્રી વધારીએ:

ઉદાહરણ 2

એકવિધતાના અંતરાલો અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધો

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે કાર્યનો અંદાજિત અંતિમ નમૂનો.

અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યો સાથે મળવાની લાંબા સમયથી રાહ જોવાતી ક્ષણ આવી ગઈ છે:

ઉદાહરણ 3

પ્રથમ ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ કરો

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે એક અને સમાન કાર્યને કેવી રીતે વિવિધ રીતે સુધારી શકાય છે.

ઉકેલ:

1) ફંક્શન પોઈન્ટ પર અનંત વિરામનો ભોગ બને છે.

2) અમે નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ છીએ. ચાલો પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ. અપૂર્ણાંક શૂન્ય બરાબર છે જ્યારે તેનો અંશ હોય છે શૂન્ય બરાબર:

આમ, અમને ત્રણ નિર્ણાયક મુદ્દા મળે છે:

3) અમે નંબર લાઇન પરના તમામ શોધાયેલ બિંદુઓ અને અંતરાલ પદ્ધતિઅમે ડેરિવેટિવના ચિહ્નોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:

હું તમને યાદ કરાવું છું કે તમારે અંતરાલમાં અમુક બિંદુ લેવાની અને તેના પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરવાની જરૂર છે અને તેની નિશાની નક્કી કરો. ગણતરી ન કરવી પણ મૌખિક રીતે "અંદાજ" કરવી તે વધુ નફાકારક છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ સાથે સંબંધિત બિંદુ લઈએ અને અવેજી કરીએ: .

બે "પ્લીસસ" અને એક "માઈનસ" એક "માઈનસ" આપે છે, તેથી, જેનો અર્થ થાય છે કે વ્યુત્પન્ન સમગ્ર અંતરાલ પર નકારાત્મક છે.

ક્રિયા, જેમ તમે સમજો છો, છ અંતરાલોમાંથી દરેક માટે હાથ ધરવાની જરૂર છે. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે અંશ પરિબળ અને છેદ કોઈપણ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુ માટે સખત રીતે હકારાત્મક છે, જે કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે.

તેથી, વ્યુત્પન્નએ અમને જણાવ્યું કે FUNCTION ITSELF દ્વારા વધે છે અને દ્વારા ઘટે છે. જોડાવા આયકન સાથે સમાન પ્રકારના અંતરાલોને જોડવાનું અનુકૂળ છે.

બિંદુએ કાર્ય તેની મહત્તમ પહોંચે છે:
બિંદુએ કાર્ય ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે:

શા માટે તમારે બીજા મૂલ્યની પુનઃગણતરી કરવાની જરૂર નથી તે વિશે વિચારો ;-)

જ્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલાતું નથી, તેથી ફંક્શનને ત્યાં કોઈ EXTREMUM નથી - તે બંને ઘટ્યું અને ઘટતું રહ્યું.

! ચાલો પુનરાવર્તન કરીએ મહત્વપૂર્ણ બિંદુ : બિંદુઓને નિર્ણાયક ગણવામાં આવતા નથી - તેમાં એક કાર્ય છે વ્યાખ્યાયિત નથી. તદનુસાર, અહીં સિદ્ધાંતમાં કોઈ ચરમસીમા હોઈ શકે નહીં(ભલે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો સાઇન).

જવાબ આપો: દ્વારા કાર્ય વધે છે અને તે બિંદુએ ઘટે છે જ્યાં ફંક્શનની મહત્તમ સંખ્યા પહોંચી જાય છે: , અને બિંદુ પર - ન્યૂનતમ: .

એકવિધતા અંતરાલો અને ચરમસીમાનું જ્ઞાન, સ્થાપિત સાથે જોડાયેલું એસિમ્પ્ટોટ્સપહેલેથી જ ઘણું આપે છે સારો શોઓ દેખાવકાર્ય ગ્રાફિક્સ. સરેરાશ તાલીમ સ્તરની વ્યક્તિ મૌખિક રીતે નક્કી કરવામાં સક્ષમ છે કે ફંક્શનના ગ્રાફમાં બે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે અને ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ. અહીં અમારો હીરો છે:

અભ્યાસના પરિણામોને આ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સાંકળવાનો ફરી એકવાર પ્રયાસ કરો.
નિર્ણાયક બિંદુ પર કોઈ આત્યંતિક નથી, પરંતુ ત્યાં છે આલેખ વળાંક(જે, એક નિયમ તરીકે, સમાન કિસ્સાઓમાં થાય છે).

ઉદાહરણ 4

ફંક્શનની સીમા શોધો

ઉદાહરણ 5

કાર્યના એકવિધતા અંતરાલ, મેક્સિમા અને મિનિમા શોધો

…આજે લગભગ અમુક પ્રકારની “X in a ક્યુબ” રજા જેવું છે....
સૂઓ, ગેલેરીમાં કોણે આ માટે પીવાની ઓફર કરી? =)

દરેક કાર્યમાં તેની પોતાની નોંધપાત્ર ઘોંઘાટ અને તકનીકી સૂક્ષ્મતા હોય છે, જેના પર પાઠના અંતે ટિપ્પણી કરવામાં આવે છે.

સંખ્યાત્મક સમૂહ એક્સગણતરી સપ્રમાણશૂન્યને સંબંધિત, જો કોઈ હોય તો નકારાત્મક, એટલે કેЄ એક્સઅર્થ - એક્સપણ સેટ માટે અનુસરે છે એક્સ.

કાર્ય y = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સએક્સ, ગણતરીઓ સમ એક્સ નકારાત્મક, એટલે કેЄ એક્સ, કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ) = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(-એક્સ).

યુ સમ કાર્યગ્રાફ ઓય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે.

કાર્ય y = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ), જે સેટ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે એક્સ, ગણતરીઓ વિચિત્ર, જો પરિપૂર્ણ થાય નીચેની શરતો: a) ઘણા એક્સશૂન્ય વિશે સપ્રમાણતા; b) કોઈપણ માટે નકારાત્મક, એટલે કેЄ એક્સ, કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ) = -કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(-એક્સ).

યુ વિચિત્ર કાર્યઆલેખ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે.

કાર્ય ખાતે = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(નકારાત્મક, એટલે કે), નકારાત્મક, એટલે કેЄ એક્સ, કહેવાય છે સામયિકપર એક્સ, જો ત્યાં સંખ્યા છે ટી (ટી ≠ 0) (સમયગાળોકાર્યો) કે જે નીચેની શરતો પૂરી થાય છે:

• એક્સ - ટીઅને એક્સ + ટીઘણા થી એક્સકોઈપણ માટે એક્સЄ એક્સ;
• કોઈપણ માટે એક્સЄ એક્સ, કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ + ટી) = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ - ટી) = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(X).

કિસ્સામાં ટીફંક્શનનો સમયગાળો છે, પછી ફોર્મની કોઈપણ સંખ્યા mT, ક્યાં mЄ ઝેડ, m≠ 0, આ પણ આ કાર્યનો સમયગાળો છે. સૌથી નાનું હકારાત્મક સમયગાળાઆપેલ કાર્યનો (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) તેનો મુખ્ય સમયગાળો કહેવાય છે.

કિસ્સામાં ટીફંક્શનનો મુખ્ય સમયગાળો છે, પછી તેનો ગ્રાફ બનાવવા માટે, તમે લંબાઈના નિર્ધારણના ડોમેનના કોઈપણ અંતરાલો પર આલેખનો ભાગ પ્લોટ કરી શકો છો ટીઅને પછી કરો સમાંતર ટ્રાન્સફર O અક્ષ સાથે ગ્રાફનો આ વિભાગ એક્સ± દ્વારા ટી, ±2 ટી, ....

કાર્ય y = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ), નીચે બંધાયેલસેટ પર એક્સ એતે કોઈપણ માટે એક્સЄ એક્સ, એ ≤ કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ). ફંક્શનનો ગ્રાફ જે સેટ પર નીચે બંધાયેલ છે એક્સ, સંપૂર્ણપણે સીધી રેખા ઉપર સ્થિત છે ખાતે = એ(આ એક આડી રેખા છે).

કાર્ય ખાતે = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(નકારાત્મક, એટલે કે), ઉપરથી બંધાયેલસેટ પર એક્સ(તે આ સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવું જ જોઈએ), જો ત્યાં સંખ્યા છે INતે કોઈપણ માટે એક્સЄ એક્સ, કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ) ≤ IN. સેટ X પર ઉપરથી બંધાયેલ ફંક્શનનો ગ્રાફ સંપૂર્ણપણે લીટીની નીચે સ્થિત છે ખાતે = IN(આ એક આડી રેખા છે).

કાર્ય ગણવામાં આવે છે મર્યાદિતસેટ પર એક્સ(તે આ સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવું જ જોઈએ) જો તે ઉપર અને નીચેથી આ સમૂહ પર બંધાયેલ હોય, એટલે કે આવી સંખ્યાઓ છે. એઅને INતે કોઈપણ માટે એક્સЄ એક્સઅસમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે એ ≤ કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(નકારાત્મક, એટલે કે) ≤ બી. ફંક્શનનો ગ્રાફ કે જે સમૂહ પર બંધાયેલ છે એક્સ, સંપૂર્ણપણે સીધી રેખાઓ વચ્ચે સ્થિત છે ખાતે = એઅને ખાતે = IN(આ આડી રેખાઓ છે).

કાર્ય ખાતે = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન (એક્સ), સેટ પર બંધાયેલ ગણવામાં આવે છે એક્સ(તે આ સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવું જ જોઈએ), જો ત્યાં સંખ્યા છે સાથે> 0, જે કોઈપણ માટે નકારાત્મક, એટલે કેЄ એક્સ, │કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ)│≤ સાથે.

કાર્ય ખાતે = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ), એક્સЄ એક્સ, કહેવાય છે વધતું (ન ઘટતું)સબસેટ પર એમસાથે એક્સજ્યારે દરેક માટે એક્સ 1 અને એક્સ 2 ના એમજેમ કે એક્સ 1 < એક્સ 2, સાચું કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ 1) < કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ 2) (કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ 1) ≤ કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ 2)). અથવા ફંક્શન y કહેવાય છે વધારોસેટ પર TO, જો આ સમૂહમાંથી દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ હોય.

કાર્ય ખાતે = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ), એક્સЄX, કહેવાય છે ઘટતું (બિન વધતું)સબસેટ પર એમસાથે એક્સજ્યારે દરેક માટે એક્સ 1 અને એક્સ 2 ના એમજેમ કે એક્સ 1 < એક્સ 2, સાચું કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ 1) > કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ 2) (કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ 1) ≥ કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ 2)). અથવા કાર્ય ખાતેસેટ પર ઘટતું કહેવાય છે TO, જો આ સમૂહમાંથી દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ હોય.

કાર્ય ખાતે = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(નકારાત્મક, એટલે કે), એક્સЄ એક્સ, કહેવાય છે એકવિધસબસેટ પર એમસાથે એક્સ, જો તે ઘટી રહ્યું છે (બિન-વધતું) અથવા વધી રહ્યું છે (ન-ઘટાતું) એમ.

જો કાર્ય ખાતે = કાર્યનું બીજું વ્યુત્પન્ન(એક્સ), એક્સЄ એક્સ, સબસેટ પર ઘટાડો અથવા વધી રહ્યો છે એમસાથે એક્સ, પછી આવા કાર્યને કહેવામાં આવે છે સખત એકવિધસેટ પર એમ.

નંબર એમકહેવાય છે કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્યસેટ પર y TO, જો આ સંખ્યા x ના ચોક્કસ મૂલ્ય પર કાર્યનું મૂલ્ય છે 0 સમૂહમાંથી દલીલTO, અને સમૂહ K માંથી દલીલના અન્ય મૂલ્યો માટે ફંક્શન y નું મૂલ્ય સંખ્યા કરતા વધારે નથીએમ.

નંબર mકહેવાય છે સૌથી નીચું મૂલ્ય સેટ પરના કાર્યો y TO, જો આ સંખ્યા ચોક્કસ મૂલ્ય પર કાર્યનું મૂલ્ય છે એક્સસેટમાંથી 0 દલીલો TO, અને સમૂહમાંથી દલીલ x ના અન્ય મૂલ્યો માટે TOકાર્ય મૂલ્યો ઓછી સંખ્યા m.

ફંક્શનના મૂળભૂત ગુણધર્મો , જેમાંથી તેનો અભ્યાસ અને સંશોધન શરૂ કરવું વધુ સારું છે, આ તેની વ્યાખ્યા અને મહત્વનો વિસ્તાર છે. તમારે યાદ રાખવું જોઈએ કે આલેખ કેવી રીતે દર્શાવવામાં આવે છે પ્રાથમિક કાર્યો. તે પછી જ તમે વધુ જટિલ ગ્રાફ બનાવવા તરફ આગળ વધી શકો છો. "કાર્યો" વિષય અર્થશાસ્ત્ર અને જ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રોમાં વ્યાપક એપ્લિકેશન ધરાવે છે. ગણિતના સમગ્ર અભ્યાસક્રમ દરમિયાન કાર્યોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અને તેમાં અભ્યાસ ચાલુ રહે છેઉચ્ચ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ . ત્યાં, પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને કાર્યોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.