સંભાવના વધારે અથવા વધારે છે. સંભાવના સિદ્ધાંત

જો તમને શીર્ષક પ્રશ્નમાં રુચિ છે, તો તમે કદાચ એવા વિદ્યાર્થી અથવા શાળાના છોકરા છો કે જેને નવા વિષયનો સામનો કરવો પડ્યો છે. સંભવિત સિદ્ધાંતની સમસ્યાઓ હવે અદ્યતન શાળાઓમાં પાંચમા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ અને શાબ્દિક રીતે તમામ વિશેષતા ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓ - ભૂગોળશાસ્ત્રીઓથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા હલ કરવામાં આવી રહી છે. આ કયા પ્રકારનું ઑબ્જેક્ટ છે અને તેનો સંપર્ક કેવી રીતે કરવો?

સંભાવના. આ શું છે?

સંભાવના સિદ્ધાંત, નામ સૂચવે છે તેમ, સંભાવનાઓ સાથે વહેવાર કરે છે. આપણે એવી ઘણી વસ્તુઓ અને ઘટનાઓથી ઘેરાયેલા છીએ જેના વિશે વિજ્ઞાન ગમે તેટલું વિકસિત હોય, સચોટ આગાહી કરવી અશક્ય છે.

અમે જાણતા નથી કે અમે ડેકમાંથી કયું કાર્ડ રેન્ડમ ડ્રો કરીશું અથવા મે મહિનામાં કેટલા દિવસ વરસાદ પડશે, પરંતુ કેટલાક વધારાની માહિતી, અમે આગાહી કરી શકીએ છીએ અને સંભાવનાઓની ગણતરી કરોઆ રેન્ડમ ઘટનાઓ.

આમ, આપણે મૂળભૂત ખ્યાલનો સામનો કરી રહ્યા છીએ રેન્ડમ ઘટના- એવી ઘટના કે જેના વર્તનની આગાહી કરી શકાતી નથી, એક પ્રયોગ જેના પરિણામની અગાઉથી ગણતરી કરી શકાતી નથી, વગેરે. તે ઘટનાઓની સંભાવનાઓ છે જે લાક્ષણિક સમસ્યાઓમાં ગણવામાં આવે છે.

સંભાવના- આ અમુક, કડક રીતે કહીએ તો, ફંક્શન છે જે 0 થી 1 સુધીના મૂલ્યો લે છે અને આપેલ રેન્ડમ ઇવેન્ટને લાક્ષણિકતા આપે છે. 0 - ઘટના વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે, 1 - ઘટના લગભગ નિશ્ચિત છે, 0.5 (અથવા "50 થી 50") - સાથે સમાન સંભાવનાઘટના બનશે કે નહીં.

સંભાવના સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ

તમે સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત બાબતો વિશે વધુ જાણી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, ઑનલાઇન પાઠ્યપુસ્તકમાં.

હવે ચાલો ઝાડની આસપાસ હરાવીએ નહીં, અને ચાલો રચના કરીએ રેખાકૃતિ, જેનો ઉપયોગ ધોરણ ઉકેલવા માટે થવો જોઈએ શીખવાના હેતુઓરેન્ડમ ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે અને પછી નીચે ચાલો ઉદાહરણો સાથે સમજાવીએતેની અરજી.

• કાર્યને કાળજીપૂર્વક વાંચો અને સમજો કે બરાબર શું થઈ રહ્યું છે (કયા બૉક્સમાંથી શું ખેંચવામાં આવી રહ્યું છે, ક્યાં શું પડ્યું હતું, કેટલા ઉપકરણો કામ કરી રહ્યા છે વગેરે.)
• "ગણતરી કરો" જેવી સમસ્યાનો મુખ્ય પ્રશ્ન શોધો તેવી સંભાવના, તે..." અને આ અંડાકાર ઘટનાના રૂપમાં લખો, જેની સંભાવના શોધવી આવશ્યક છે.
• ઘટના રેકોર્ડ કરવામાં આવી છે. હવે આપણે એ સમજવાની જરૂર છે કે ઉકેલ માટેના સૂત્રોને યોગ્ય રીતે પસંદ કરવા માટે સમસ્યા એ સંભવિતતા સિદ્ધાંતની કઈ "યોજના" થી સંબંધિત છે. જવાબ આપો પરીક્ષણ પ્રશ્નોપ્રકાર:
  • ત્યાં એક પરીક્ષણ છે (ઉદાહરણ તરીકે, બે ડાઇસ ફેંકવું) અથવા ઘણા (ઉદાહરણ તરીકે, 10 ઉપકરણો તપાસવું);
  • જો ત્યાં ઘણા પરીક્ષણો છે, તો શું એકના પરિણામો અન્ય પર આધારિત છે (ઘટનાઓની અવલંબન અથવા સ્વતંત્રતા);
  • ઘટના એક જ પરિસ્થિતિમાં થાય છે અથવા એક કાર્ય અનેકની વાત કરે છે સંભવિત પૂર્વધારણાઓ(ઉદાહરણ તરીકે, બોલ ત્રણમાંથી કોઈપણ બોક્સમાંથી અથવા ચોક્કસ એકમાંથી લેવામાં આવે છે).
  સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં તમારી પાસે જેટલો વધુ અનુભવ હશે, તે નક્કી કરવાનું સરળ બનશે કે કયા સૂત્રો યોગ્ય છે.
• ઉકેલ માટે એક સૂત્ર (અથવા અનેક) પસંદ કરવામાં આવ્યું છે. અમે તમામ કાર્ય ડેટા લખીએ છીએ અને તેને આ ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ.
• વોઇલા, સંભાવના મળી આવી છે.

કેવી રીતે સમસ્યાઓ હલ કરવી: ક્લાસિકલ પ્રોબેબિલિટી

ઉદાહરણ 1. 30 વિદ્યાર્થીઓના જૂથમાં, કસોટી પર, 6 વિદ્યાર્થીઓએ “5”, 10 વિદ્યાર્થીઓને “4”, 9 વિદ્યાર્થીઓને “3”, બાકીનાને “2” મળ્યા. બોર્ડને બોલાવવામાં આવેલા 3 વિદ્યાર્થીઓને કસોટીમાં “2” મળ્યા હોવાની સંભાવના શોધો.

અમે ઉપર વર્ણવેલ મુદ્દાઓ અનુસાર ઉકેલ શરૂ કરીએ છીએ.

• સમસ્યામાં અમે વાત કરી રહ્યા છીએજૂથમાંથી 3 વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરવા વિશે જે અમુક શરતોને પૂર્ણ કરે છે.
• મુખ્ય ઇવેન્ટ દાખલ કરો $X$ = (બોર્ડને બોલાવવામાં આવેલા તમામ 3 વિદ્યાર્થીઓને ટેસ્ટમાં "2" મળ્યો).
• કાર્યમાં માત્ર એક જ કસોટી થાય છે અને તે ચોક્કસ સ્થિતિ હેઠળ પસંદગી/પસંદગી સાથે સંકળાયેલ હોવાથી, અમે સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. ચાલો સૂત્ર લખીએ: $P=m/n$, જ્યાં $m$ એ ઘટના $X$ ની ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા છે, અને $n$ એ સમાન રીતે શક્ય તમામની સંખ્યા છે. પ્રાથમિક પરિણામો.
• હવે આપણે આ સમસ્યા માટે $m$ અને $n$ ની કિંમતો શોધવાની જરૂર છે. પ્રથમ, ચાલો તમામ સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા શોધીએ - 30 માંથી 3 વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા. પસંદગીના ક્રમમાં કોઈ ફરક પડતો નથી, આ 30 બાય 3 ના સંયોજનોની સંખ્યા છે: $$n=C_(30 )^3=\frac(30{3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших "2". Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$!}
• અમને સંભાવના મળે છે: $$P(X)=\frac(m)(n)=\frac(10)(4060)=0.002.$$ સમસ્યા હલ થઈ.

નક્કી કરવાનો સમય નથી? ઉકેલાયેલ સમસ્યા શોધો

સમસ્યાઓ માટે તૈયાર ઉકેલોસંભાવના સિદ્ધાંતના કોઈપણ વિભાગ માટે, 10,000 થી વધુ ઉદાહરણો! તમારું કાર્ય શોધો.

મુ કોઈપણ અવ્યવસ્થિત ઘટનાની ઘટનાની સંભાવનાનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે, આપણે જે ઘટનામાં રસ ધરાવીએ છીએ તે ઘટનાની સંભાવના () અન્ય ઘટનાઓ કેવી રીતે વિકસિત થાય છે તેના પર નિર્ભર છે કે કેમ તેની સારી સમજ હોવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

શાસ્ત્રીય યોજનાના કિસ્સામાં, જ્યારે તમામ પરિણામો સમાન રીતે સંભવિત હોય છે, ત્યારે અમે સ્વતંત્ર રીતે અમને રસ ધરાવતી વ્યક્તિગત ઘટનાના સંભવિત મૂલ્યોનો પહેલેથી જ અંદાજ લગાવી શકીએ છીએ. જો ઘટના કેટલાક પ્રાથમિક પરિણામોનો જટિલ સંગ્રહ હોય તો પણ અમે આ કરી શકીએ છીએ. જો એકસાથે અથવા ક્રમિક રીતે અનેક રેન્ડમ ઘટનાઓ બને તો શું? અમને જે ઘટના બનવામાં રસ છે તેની સંભાવનાને આ કેવી રીતે અસર કરે છે?

જો હું ઘણી વખત ડાઇ રોલ કરું અને સિક્સ આવે અને હું કમનસીબ થતો રહું, તો શું તેનો અર્થ એ છે કે મારે મારી શરત વધારવી જોઈએ કારણ કે, પ્રોબેબિલિટી થિયરી મુજબ, હું નસીબદાર બનવાનો છું? અરે, સંભાવના સિદ્ધાંત આના જેવું કંઈપણ જણાવતું નથી. કોઈ ડાઇસ, કોઈ કાર્ડ, કોઈ સિક્કા નહીં યાદ રાખી શકતા નથી તેઓએ અમને શું બતાવ્યું છેલ્લી વખત. આજે હું મારા નસીબની કસોટી કરી રહ્યો છું તે પહેલી વખત છે કે દસમી વખત છે તેનાથી તેમને કોઈ ફરક પડતો નથી. દર વખતે જ્યારે હું રોલનું પુનરાવર્તન કરું છું, ત્યારે હું ફક્ત એક જ વસ્તુ જાણું છું: અને આ વખતે સિક્સ મેળવવાની સંભાવના ફરીથી એક છઠ્ઠી છે. અલબત્ત, આનો અર્થ એ નથી કે મને જે નંબરની જરૂર છે તે ક્યારેય આવશે નહીં. આનો અર્થ માત્ર એટલો જ છે કે પ્રથમ ફેંક્યા પછી અને કોઈપણ અન્ય ફેંક્યા પછી મારી ખોટ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.

ઘટનાઓ A અને B કહેવામાં આવે છે સ્વતંત્ર, જો તેમાંથી એકનું અમલીકરણ અન્ય ઘટનાની સંભાવનાને કોઈપણ રીતે અસર કરતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, બે શસ્ત્રોમાંથી પ્રથમ વડે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવનાઓ અન્ય શસ્ત્રો દ્વારા લક્ષ્યને હિટ કરવામાં આવી હતી કે કેમ તેના પર નિર્ભર નથી, તેથી "પ્રથમ હથિયાર લક્ષ્યને ફટકારે છે" અને "બીજા શસ્ત્ર લક્ષ્યને ફટકારે છે" ઘટનાઓ છે. સ્વતંત્ર

જો બે ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર છે, અને તે દરેકની સંભાવના જાણીતી છે, તો ઘટના A અને ઘટના B ( AB સૂચવવામાં આવે છે) બંનેની એક સાથે ઘટનાની સંભાવના નીચેના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય

ઉદાહરણ.પ્રથમ અને બીજી બંદૂકો ગોળીબાર કરતી વખતે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે: p 1 =0.7;

p 2 =0.8. એકસાથે બંને બંદૂકો દ્વારા એક સાલ્વો વડે હિટ થવાની સંભાવના શોધો.ઉકેલ:

આપણે પહેલેથી જ જોયું છે તેમ, ઘટનાઓ A (પ્રથમ બંદૂક દ્વારા અથડાવી) અને B (બીજી બંદૂક દ્વારા હિટ) સ્વતંત્ર છે, એટલે કે. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0.56.

ઉદાહરણ.જો પ્રારંભિક ઘટનાઓ સ્વતંત્ર ન હોય તો અમારા અંદાજોનું શું થશે? ચાલો અગાઉના ઉદાહરણને થોડું બદલીએ. બે શૂટર્સ સ્પર્ધામાં લક્ષ્યો પર ગોળીબાર કરે છે, અને જો તેમાંથી એક ચોક્કસ રીતે ગોળીબાર કરે છે, તો પ્રતિસ્પર્ધી નર્વસ થવા લાગે છે અને તેના પરિણામો વધુ ખરાબ થાય છે. આ રોજિંદા પરિસ્થિતિને કેવી રીતે ફેરવવીગણિતની સમસ્યા અને તેને હલ કરવાની રીતો રૂપરેખા આપો? તે સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે આપણે કોઈક રીતે બે વિકલ્પોને અલગ કરવાની જરૂર છેવિકાસ , અનિવાર્યપણે બે દૃશ્યો બનાવો, બે. પ્રથમ કિસ્સામાં, જો વિરોધી ચૂકી જાય, તો દૃશ્ય નર્વસ રમતવીર માટે અનુકૂળ રહેશે અને તેની ચોકસાઈ વધારે હશે. બીજા કિસ્સામાં, જો પ્રતિસ્પર્ધીએ તેની તક યોગ્ય રીતે લીધી, તો બીજા એથ્લેટ માટે લક્ષ્યને ફટકારવાની સંભાવના ઓછી થાય છે.

અલગતા માટે શક્ય દૃશ્યો(તેમને ઘણીવાર પૂર્વધારણા કહેવામાં આવે છે) ઘટનાઓના વિકાસ માટે, અમે ઘણીવાર "સંભાવના વૃક્ષ" રેખાકૃતિનો ઉપયોગ કરીશું. આ રેખાકૃતિ નિર્ણય વૃક્ષના અર્થમાં સમાન છે જેની સાથે તમે કદાચ પહેલેથી જ વ્યવહાર કર્યો છે. દરેક શાખા ઘટનાઓના વિકાસ માટે એક અલગ દૃશ્ય રજૂ કરે છે, ફક્ત હવે તેની પાસે છે eigenvalue કહેવાતાશરતી

સંભાવનાઓ (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

આ યોજના ક્રમિક રેન્ડમ ઘટનાઓનું વિશ્લેષણ કરવા માટે ખૂબ જ અનુકૂળ છે. તે એક વધુ મહત્વપૂર્ણ પ્રશ્નને સ્પષ્ટ કરવાનું બાકી છે: સંભાવનાઓના પ્રારંભિક મૂલ્યો ક્યાંથી આવે છે? વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓ

ઉદાહરણ.? છેવટે, સંભાવના સિદ્ધાંત માત્ર સિક્કા અને ડાઇસ સાથે કામ કરતું નથી? સામાન્ય રીતે આ અંદાજો આંકડા પરથી લેવામાં આવે છે, અને જ્યારે આંકડાકીય માહિતી ઉપલબ્ધ ન હોય, ત્યારે અમે અમારું પોતાનું સંશોધન કરીએ છીએ. અને આપણે ઘણી વાર તેની શરૂઆત ડેટા એકત્ર કરીને નહીં, પરંતુ આપણને ખરેખર કઈ માહિતીની જરૂર છે તે પ્રશ્ન સાથે કરવી પડે છે. ચાલો કહીએ કે આપણે એક લાખ રહેવાસીઓની વસ્તીવાળા શહેરમાં નવા ઉત્પાદન માટે બજારના જથ્થાનો અંદાજ લગાવવાની જરૂર છે જે આવશ્યક વસ્તુ નથી, ઉદાહરણ તરીકે, રંગીન વાળની ​​સંભાળ માટે મલમ માટે. ચાલો "સંભાવના વૃક્ષ" રેખાકૃતિને ધ્યાનમાં લઈએ. આ કિસ્સામાં, આપણે દરેક "શાખા" પર સંભવિતતા મૂલ્યનો અંદાજિત અંદાજ લગાવવાની જરૂર છે.

તેથી, બજાર ક્ષમતાના અમારા અંદાજો:

1) શહેરના તમામ રહેવાસીઓમાં, 50% મહિલાઓ છે,

2) બધી સ્ત્રીઓમાંથી, ફક્ત 30% જ તેમના વાળ વારંવાર રંગે છે,

3) તેમાંથી, ફક્ત 10% રંગીન વાળ માટે બામનો ઉપયોગ કરે છે,

4) તેમાંથી, ફક્ત 10% નવા ઉત્પાદનને અજમાવવાની હિંમત એકત્ર કરી શકે છે,

p 2 =0.8. એકસાથે બંને બંદૂકો દ્વારા એક સાલ્વો વડે હિટ થવાની સંભાવના શોધો. 5) તેમાંથી 70% સામાન્ય રીતે અમારી પાસેથી નહીં, પરંતુ અમારા સ્પર્ધકો પાસેથી બધું ખરીદે છે.

સંભાવનાઓના ગુણાકારના કાયદા અનુસાર, અમે A = (શહેરનો રહેવાસી અમારી પાસેથી આ નવો મલમ ખરીદે છે) = 0.00045 માં અમને રસ છે તે ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરીએ છીએ.

ચાલો આ સંભાવના મૂલ્યને શહેરના રહેવાસીઓની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીએ. પરિણામે, અમારી પાસે ફક્ત 45 સંભવિત ગ્રાહકો છે, અને આ ઉત્પાદનની એક બોટલ ઘણા મહિનાઓ સુધી ચાલે છે તે ધ્યાનમાં લેતા, વેપાર ખૂબ જીવંત નથી.

અને તેમ છતાં અમારા મૂલ્યાંકનોથી થોડો ફાયદો છે.

સૌપ્રથમ, અમે વિવિધ વ્યવસાયિક વિચારોની આગાહીઓની તુલના કરી શકીએ છીએ; તેઓ ડાયાગ્રામમાં અલગ અલગ "કાંટા" હશે, અને, અલબત્ત, સંભાવના મૂલ્યો પણ અલગ હશે. બીજું, જેમ આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે,તેને રેન્ડમ કહેવામાં આવતું નથી કારણ કે તે કોઈ પણ વસ્તુ પર નિર્ભર નથી. માત્ર તેણીના ચોક્કસઅર્થ અગાઉથી જાણીતો નથી. અમે જાણીએ છીએ કે ખરીદદારોની સરેરાશ સંખ્યા વધારી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, નવા ઉત્પાદનની જાહેરાત કરીને). તેથી તે "કાંટા" પર અમારા પ્રયત્નો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું અર્થપૂર્ણ છે જ્યાં સંભવિતતા વિતરણ અમને ખાસ કરીને અનુકૂળ નથી, તે પરિબળો પર કે જેને આપણે પ્રભાવિત કરી શકીએ છીએ.

ચાલો એક વધુ જોઈએ માત્રાત્મક ઉદાહરણખરીદી વર્તન પર સંશોધન.

ઉદાહરણ.સરેરાશ, દરરોજ 10,000 લોકો ફૂડ માર્કેટની મુલાકાત લે છે. બજાર મુલાકાતી પેવેલિયનમાં પ્રવેશે તેવી સંભાવના ડેરી ઉત્પાદનો, 1/2 બરાબર છે.

તે જાણીતું છે કે આ પેવેલિયન દરરોજ સરેરાશ 500 કિલો વિવિધ ઉત્પાદનોનું વેચાણ કરે છે.

શું આપણે કહી શકીએ કે પેવેલિયનમાં સરેરાશ ખરીદીનું વજન માત્ર 100 ગ્રામ છે?ચર્ચા.

અલબત્ત નહીં. તે સ્પષ્ટ છે કે પેવેલિયનમાં પ્રવેશનાર દરેક વ્યક્તિએ ત્યાં કંઈક ખરીદ્યું નથી.

આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, ખરીદીના સરેરાશ વજન વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે પ્રશ્નનો જવાબ શોધવો જોઈએ, પેવેલિયનમાં પ્રવેશનાર વ્યક્તિ ત્યાં કંઈક ખરીદશે તેની સંભાવના શું છે. જો અમારી પાસે આવો ડેટા નથી, પરંતુ અમને તેની જરૂર છે, તો અમારે કેટલાક સમય માટે પેવેલિયનમાં મુલાકાતીઓનું નિરીક્ષણ કરીને તે જાતે મેળવવું પડશે. ચાલો કહીએ કે અમારા અવલોકનો દર્શાવે છે કે પેવેલિયન મુલાકાતીઓમાંથી માત્ર પાંચમા ભાગ જ કંઈક ખરીદે છે. એકવાર અમે આ અંદાજો મેળવી લીધા પછી, કાર્ય સરળ બની જાય છે. બજારમાં આવતા 10,000 લોકોમાંથી 5,000 ડેરી ઉત્પાદનો પેવેલિયનમાં જશે; માત્ર 1,000 લોકો જ ખરીદી કરશે.સરેરાશ વજન ખરીદી 500 ગ્રામ જેટલી છે. તે નોંધવું રસપ્રદ છે કે બાંધવુંસંપૂર્ણ ચિત્ર

થઈ રહ્યું છે, શરતી "શાખાઓ" ના તર્કને અમારા તર્કના દરેક તબક્કે સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત કરવું જોઈએ જાણે કે આપણે કોઈ "નક્કર" પરિસ્થિતિ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, અને સંભાવનાઓ સાથે નહીં.

સ્વ-પરીક્ષણ કાર્યો 1. રહેવા દોઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ

, n શ્રેણી-જોડાયેલા ઘટકોનો સમાવેશ કરે છે, જેમાંથી દરેક અન્યથી સ્વતંત્ર રીતે કાર્ય કરે છે.

દરેક તત્વની નિષ્ફળતાની સંભાવના p જાણીતી છે. સર્કિટના સમગ્ર વિભાગ (ઇવેન્ટ A) ની યોગ્ય કામગીરીની સંભાવના નક્કી કરો. 2. વિદ્યાર્થી 25 માંથી 20 જાણે છેપરીક્ષાના પ્રશ્નો

3. ઉત્પાદનમાં ચાર ક્રમિક તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંના દરેક સાધન કાર્ય કરે છે, જેના માટે આગામી મહિનામાં નિષ્ફળતાની સંભાવના અનુક્રમે p 1, p 2, p 3 અને p 4 જેટલી છે. એક મહિનામાં સાધનસામગ્રીની નિષ્ફળતાને કારણે ઉત્પાદન અટકશે નહીં તેવી સંભાવના શોધો.

ચાલો સમસ્યાઓ વિશે વાત કરીએ જેમાં "ઓછામાં ઓછું એક" વાક્ય દેખાય છે. ચોક્કસ તમે ઘરે આવા કાર્યોનો સામનો કર્યો છે અને પરીક્ષણો, અને હવે તમે તેમને કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખીશું. પહેલા હું તેના વિશે વાત કરીશ સામાન્ય નિયમ, અને પછી એક વિશિષ્ટ કેસ ધ્યાનમાં લો અને દરેક માટે સૂત્રો અને ઉદાહરણો લખો.

સામાન્ય પદ્ધતિ અને ઉદાહરણો

સામાન્ય તકનીક"ઓછામાં ઓછું એક" વાક્ય આવે છે તે સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે નીચે મુજબ છે:

સંભાવનાઓ પર કાર્ય કરવાની જરૂરિયાત ત્યારે થાય છે જ્યારે કેટલીક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ જાણીતી હોય છે, અને આ ઘટનાઓ સાથે સંકળાયેલી અન્ય ઘટનાઓની સંભાવનાઓની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

જ્યારે તમારે સંયોજનની સંભાવના અથવા રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સના તાર્કિક સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય ત્યારે સંભાવનાઓના ઉમેરણનો ઉપયોગ થાય છે.

ઘટનાઓનો સરવાળો એઅને બીસૂચવો એ + બીઅથવા એ ∪ બી. બે ઘટનાઓનો સરવાળો એ એક એવી ઘટના છે જે બને છે જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને. આનો અર્થ એ છે કે એ + બી- જો અને માત્ર જો ઘટના અવલોકન દરમિયાન આવી હોય તો જ થાય છે એઅથવા ઘટના બી, અથવા એક સાથે એઅને બી.

જો ઘટનાઓ એઅને બીપરસ્પર અસંગત હોય છે અને તેમની સંભાવનાઓ આપવામાં આવે છે, પછી સંભવિતતાના ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને આમાંની એક ઘટના એક અજમાયશના પરિણામે બનશે તેવી સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય.બેમાંથી એક વસ્તુ બનશે તેવી સંભાવના પરસ્પર અસંગત છે. સંયુક્ત ઘટનાઓ, આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા સમાન છે:

ઉદાહરણ તરીકે, શિકાર કરતી વખતે, બે ગોળી ચલાવવામાં આવે છે. ઘટના એ- પ્રથમ શોટ, ઇવેન્ટ સાથે બતકને મારવું IN- બીજા શોટથી હિટ, ઘટના ( એ+ IN) – પ્રથમ અથવા બીજા શોટથી અથવા બે શોટમાંથી હિટ. તેથી, જો બે ઘટનાઓ એઅને IN – અસંગત ઘટનાઓ, તે એ+ IN- આ ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક અથવા બે ઘટનાઓની ઘટના.

ઉદાહરણ 1.એક બોક્સમાં 30 બોલ છે સમાન કદ: 10 લાલ, 5 વાદળી અને 15 સફેદ. સંભાવનાની ગણતરી કરો કે રંગીન (સફેદ નહીં) બોલ જોયા વિના લેવામાં આવશે.

ઉકેલ. ચાલો માની લઈએ કે ઘટના એ- "લાલ બોલ લેવામાં આવ્યો છે", અને ઘટના IN- "વાદળી બોલ લેવામાં આવ્યો હતો." પછી ઇવેન્ટ "એક રંગીન (સફેદ નહીં) બોલ લેવામાં આવે છે." ચાલો ઘટનાની સંભાવના શોધીએ એ:

અને ઘટનાઓ IN:

ઘટનાઓ એઅને IN- પરસ્પર અસંગત, કારણ કે જો એક બોલ લેવામાં આવે, તો પછી વિવિધ રંગોના બોલ લેવાનું અશક્ય છે. તેથી, અમે સંભાવનાઓના ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ઘણી અસંગત ઘટનાઓ માટે સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનો પ્રમેય.જો ઘટનાઓ ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે, તો તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે:

વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો પણ 1 ની બરાબર છે:

વિરોધી ઘટનાઓ ઘટનાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે છે, અને ઘટનાઓના સંપૂર્ણ સમૂહની સંભાવના 1 છે.

વિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ સામાન્ય રીતે નાના અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે પીઅને q. ખાસ કરીને,

શું અનુસરે છે નીચેના સૂત્રોવિપરીત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:

ઉદાહરણ 2.શૂટિંગ રેન્જમાં લક્ષ્યને 3 ઝોનમાં વહેંચવામાં આવ્યું છે. ચોક્કસ શૂટર પ્રથમ ઝોનમાં લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરે તેવી સંભાવના 0.15 છે, બીજા ઝોનમાં - 0.23, ત્રીજા ઝોનમાં - 0.17. શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના અને શૂટર લક્ષ્ય ચૂકી જશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ: શૂટર લક્ષ્યને હિટ કરશે તેવી સંભાવના શોધો:

ચાલો સંભાવના શોધીએ કે શૂટર લક્ષ્ય ચૂકી જશે:

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ માટે, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ જુઓ.

પરસ્પર એક સાથે ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો ઉમેરો

બે અવ્યવસ્થિત ઘટનાઓને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે જો એક ઘટનાની ઘટના એ જ અવલોકનમાં બીજી ઘટનાની ઘટનાને બાકાત રાખતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ફેંકવું ડાઇસઘટના એનંબર 4 રોલ આઉટ ગણવામાં આવે છે, અને ઘટના IN- નુકશાન સમ સંખ્યા. 4 એ સમ સંખ્યા હોવાથી, આ બે ઘટનાઓ સુસંગત છે. વ્યવહારમાં, પરસ્પર એક સાથે ઘટનાઓમાંની એકની ઘટનાની સંભાવનાઓની ગણતરી કરવામાં સમસ્યાઓ છે.

સંયુક્ત ઘટનાઓ માટે સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય.સંયુક્ત ઘટનાઓમાંથી એક થવાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે, જેમાંથી સંભાવના બાદ કરવામાં આવે છે. સામાન્ય આક્રમકબંને ઘટનાઓ, એટલે કે, સંભાવનાઓનું ઉત્પાદન. સંયુક્ત ઘટનાઓની સંભાવનાઓ માટેના સૂત્રમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

ઘટનાઓ થી એઅને INસુસંગત, ઘટના એ+ INત્રણમાંથી એક થાય તો થાય છે શક્ય ઘટનાઓ: અથવા એબી. અસંગત ઘટનાઓના ઉમેરણના પ્રમેય અનુસાર, અમે નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરીએ છીએ:

ઘટના એજો બેમાંથી એક અસંગત ઘટના બને તો થશે: અથવા એબી. જો કે, ઘણી અસંગત ઘટનાઓમાંથી એક ઘટના બનવાની સંભાવના આ બધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે:

તેવી જ રીતે:

અભિવ્યક્તિ (6) અને (7) ને અભિવ્યક્તિ (5) માં બદલીને, અમે સંયુક્ત ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

સૂત્ર (8) નો ઉપયોગ કરતી વખતે, તે ઘટનાઓને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ એઅને INહોઈ શકે છે:

• પરસ્પર સ્વતંત્ર;
• પરસ્પર નિર્ભર.

પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર:

પરસ્પર આધારિત ઘટનાઓ માટે સંભાવના સૂત્ર:

જો ઘટનાઓ એઅને INઅસંગત છે, તો પછી તેમનો સંયોગ એક અશક્ય કેસ છે અને આમ, પી(એબી) = 0. અસંગત ઘટનાઓ માટે ચોથું સંભાવના સૂત્ર છે:

ઉદાહરણ 3.ઓટો રેસિંગમાં, જ્યારે તમે પ્રથમ કાર ચલાવો છો, ત્યારે તમારી જીતવાની વધુ સારી તક હોય છે, અને જ્યારે તમે બીજી કાર ચલાવો છો. શોધો:

• સંભાવના છે કે બંને કાર જીતશે;
• સંભાવના કે ઓછામાં ઓછી એક કાર જીતશે;

1) પ્રથમ કાર જીતશે તેવી સંભાવના બીજી કારના પરિણામ પર આધારિત નથી, તેથી ઘટનાઓ એ(પ્રથમ કાર જીતે છે) અને IN(બીજી કાર જીતશે) - સ્વતંત્ર ઇવેન્ટ્સ. ચાલો બંને કાર જીતવાની સંભાવના શોધીએ:

2) બેમાંથી એક કાર જીતશે તેવી સંભાવના શોધો:

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ માટે, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ જુઓ.

સંભવિતતાની સમસ્યાનો ઉમેરો જાતે ઉકેલો, અને પછી ઉકેલ જુઓ

ઉદાહરણ 4.બે સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે. ઘટના એ- પ્રથમ સિક્કા પર શસ્ત્રોના કોટનું નુકસાન. ઘટના બી- બીજા સિક્કા પર શસ્ત્રોના કોટનું નુકસાન. ઘટનાની સંભાવના શોધો સી = એ + બી .

ગુણાકાર સંભાવનાઓ

જ્યારે ઘટનાઓના તાર્કિક ઉત્પાદનની સંભાવનાની ગણતરી કરવી આવશ્યક હોય ત્યારે સંભાવના ગુણાકારનો ઉપયોગ થાય છે.

તે જ સમયે રેન્ડમ ઘટનાઓસ્વતંત્ર હોવું જોઈએ. બે ઘટનાઓ પરસ્પર સ્વતંત્ર હોવાનું કહેવાય છે જો એક ઘટનાની ઘટના બીજી ઘટનાની ઘટનાની સંભાવનાને અસર કરતી નથી.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય.બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની એક સાથે ઘટનાની સંભાવના એઅને INઆ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે અને સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 5.સિક્કો સતત ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે. શસ્ત્રોનો કોટ ત્રણેય વખત દેખાશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. સિક્કાના પ્રથમ ટૉસ પર, બીજી વખત અને ત્રીજી વખત શસ્ત્રોનો કોટ દેખાશે તેવી સંભાવના. ચાલો સંભાવના શોધીએ કે આર્મ્સનો કોટ ત્રણેય વખત દેખાશે:

સંભવિતતાના ગુણાકારની સમસ્યાઓ તમારી જાતે ઉકેલો અને પછી ઉકેલ જુઓ

ઉદાહરણ 6.નવ નવા ટેનિસ બોલનું બોક્સ છે. રમવા માટે, ત્રણ બોલ લેવામાં આવે છે, અને રમત પછી તેઓ પાછા મૂકવામાં આવે છે. બોલની પસંદગી કરતી વખતે, રમાયેલા દડાઓ ન રમાયેલા દડાઓથી અલગ પડતા નથી. પછી તેની સંભાવના કેટલી છે ત્રણ રમતોશું બૉક્સમાં કોઈ રમ્યા વિનાના બોલ બાકી છે?

ઉદાહરણ 7.કટ-આઉટ આલ્ફાબેટ કાર્ડ પર રશિયન મૂળાક્ષરના 32 અક્ષરો લખેલા છે. પાંચ કાર્ડ એક પછી એક રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે અને દેખાવના ક્રમમાં ટેબલ પર મૂકવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે અક્ષરો "અંત" શબ્દ બનાવશે.

ઉદાહરણ 8.કાર્ડ્સના સંપૂર્ણ ડેક (52 શીટ્સ) માંથી, ચાર કાર્ડ એકસાથે લેવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ ચારેય કાર્ડ અલગ-અલગ પોશાકોના હશે.

ઉદાહરણ 9.ઉદાહરણ 8 ની જેમ જ કાર્ય, પરંતુ દૂર કર્યા પછી દરેક કાર્ડ ડેક પર પરત કરવામાં આવે છે.

વધુ જટિલ સમસ્યાઓ, જેમાં તમારે સંભાવનાઓના ઉમેરા અને ગુણાકાર બંનેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, તેમજ ઘણી ઘટનાઓના ઉત્પાદનની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, "સંભાવનાઓના સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે સંકળાયેલી વિવિધ સમસ્યાઓ" પૃષ્ઠ પર મળી શકે છે.

પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવનાની ગણતરી વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનને 1 માંથી બાદ કરીને કરી શકાય છે, એટલે કે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:

ઉદાહરણ 10.કાર્ગો પરિવહનના ત્રણ પ્રકારો દ્વારા પહોંચાડવામાં આવે છે: નદી, રેલ અને માર્ગ પરિવહન. કાર્ગો વિતરિત કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના નદી પરિવહન, 0.82 છે, રેલ દ્વારા 0.87, મોટર પરિવહન દ્વારા 0.90. કાર્ગો ઓછામાં ઓછા એક દ્વારા વિતરિત કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો ત્રણ પ્રકારપરિવહન

તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક ઘટનામાં તેની ઘટના (તેના અમલીકરણ) ની શક્યતાની વિવિધ ડિગ્રી હોય છે. ઘટનાઓની તેમની સંભાવનાની ડિગ્રી અનુસાર જથ્થાત્મક રીતે એકબીજા સાથે તુલના કરવા માટે, દેખીતી રીતે, દરેક ઘટના સાથે સાંકળવું જરૂરી છે. ચોક્કસ સંખ્યા, જે ઘટના જેટલી વધુ શક્ય છે. આ સંખ્યાને ઘટનાની સંભાવના કહેવામાં આવે છે.

ઘટનાની સંભાવના- ડિગ્રીનું સંખ્યાત્મક માપ છે ઉદ્દેશ્ય શક્યતાઆ ઘટનાની ઘટના.

સ્ટોકેસ્ટિક પ્રયોગ અને આ પ્રયોગમાં અવલોકન કરાયેલ રેન્ડમ ઘટના A ને ધ્યાનમાં લો. ચાલો આ પ્રયોગને n વખત પુનરાવર્તિત કરીએ અને m(A) એ પ્રયોગોની સંખ્યા ગણીએ જેમાં A ઘટના બની હતી.

સંબંધ (1.1)

કહેવાય છે સંબંધિત આવર્તનપ્રયોગોની શ્રેણીમાં ઘટના A.

ગુણધર્મોની માન્યતા ચકાસવી સરળ છે:

જો A અને B અસંગત હોય (AB= ), તો ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

સંબંધિત આવર્તનપ્રયોગોની શ્રેણી પછી જ નક્કી કરવામાં આવે છે અને, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, શ્રેણીથી શ્રેણીમાં બદલાઈ શકે છે. જો કે, અનુભવ દર્શાવે છે કે ઘણા કિસ્સાઓમાં, પ્રયોગોની સંખ્યામાં વધારો થતાં, સંબંધિત આવર્તન ચોક્કસ સંખ્યાની નજીક પહોંચે છે. સંબંધિત આવર્તન સ્થિરતાની આ હકીકત વારંવાર ચકાસવામાં આવી છે અને તેને પ્રાયોગિક રીતે સ્થાપિત ગણી શકાય.

ઉદાહરણ 1.19.. જો તમે એક સિક્કો ફેંકો છો, તો કોઈ પણ આગાહી કરી શકતું નથી કે તે કઈ બાજુ ટોચ પર ઉતરશે. પરંતુ જો તમે બે ટન સિક્કા ફેંકો છો, તો પછી દરેક કહેશે કે લગભગ એક ટન શસ્ત્રોના કોટ સાથે પડશે, એટલે કે, શસ્ત્રોના કોટની સાપેક્ષ આવર્તન લગભગ 0.5 છે.

જો, પ્રયોગોની સંખ્યામાં વધારો સાથે, ઘટના ν(A) ની સંબંધિત આવર્તન ચોક્કસ નિશ્ચિત સંખ્યા તરફ વળે છે, તો એવું કહેવાય છે કે ઘટના A આંકડાકીય રીતે સ્થિર છે, અને આ સંખ્યાને ઘટના A ની સંભાવના કહેવાય છે.

ઘટનાની સંભાવના એઅમુક નિશ્ચિત સંખ્યા P(A) કહેવાય છે, જેના પર આ ઘટનાની સાપેક્ષ આવર્તન ν(A) જેમ જેમ પ્રયોગોની સંખ્યા વધે છે તેમ તેમ વળે છે, એટલે કે,

આ વ્યાખ્યા કહેવામાં આવે છે આંકડાકીય વ્યાખ્યાસંભાવનાઓ .

ચાલો ચોક્કસ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રયોગને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેની જગ્યા દો પ્રાથમિક ઘટનાઓપ્રાથમિક ઘટનાઓ ω 1, ω 2, …, ω i, …. ચાલો આપણે માની લઈએ કે દરેક પ્રાથમિક ઘટના ω i ને ચોક્કસ સંખ્યા - р i , આપેલ પ્રાથમિક ઘટના અને સંતોષકારક બનવાની સંભાવનાની ડિગ્રી દર્શાવતી. નીચેના ગુણધર્મો:

આ નંબર p i કહેવાય છે પ્રાથમિક ઘટનાની સંભાવનાωi.

ચાલો હવે A ને આ પ્રયોગમાં અવલોકન કરાયેલ રેન્ડમ ઘટના બનવા દો, અને તેને ચોક્કસ સમૂહને અનુરૂપ થવા દો

આ સેટિંગમાં ઘટનાની સંભાવના એ A ની તરફેણ કરતી પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળાને કૉલ કરો(અનુરૂપ સમૂહ A માં સમાવેલ છે):

(1.4)

આ રીતે રજૂ કરાયેલ સંભાવનામાં સંબંધિત આવર્તન સમાન ગુણધર્મો છે, એટલે કે:

અને જો AB = (A અને B અસંગત હોય),

પછી P(A+B) = P(A) + P(B)

ખરેખર, મુજબ (1.4)

છેલ્લા સંબંધમાં અમે એ હકીકતનો લાભ લીધો કે એક પણ પ્રાથમિક ઘટના એક જ સમયે બે અસંગત ઘટનાઓની તરફેણ કરી શકતી નથી.

અમે ખાસ કરીને નોંધીએ છીએ કે સંભાવના સિદ્ધાંત p i ને નિર્ધારિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓનો સંકેત આપતો નથી;

ઉદાહરણ તરીકે, ધ્યાનમાં લો ક્લાસિક યોજનાસંભાવના સિદ્ધાંત. આ કરવા માટે, સ્ટોકેસ્ટિક પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો, પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા જેમાં ઘટકોની મર્યાદિત (n) સંખ્યા હોય છે. ચાલો આપણે એમ પણ માની લઈએ કે આ બધી પ્રાથમિક ઘટનાઓ સમાન રીતે શક્ય છે, એટલે કે, પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ p(ω i)=p i =p સમાન છે. તે તેને અનુસરે છે

ઉદાહરણ 1.20. સપ્રમાણ સિક્કો ફેંકતી વખતે, માથા અને પૂંછડીઓ મેળવવી સમાન રીતે શક્ય છે, તેમની સંભાવનાઓ 0.5 જેટલી છે.

ઉદાહરણ 1.21. સપ્રમાણ ડાઇ ફેંકતી વખતે, બધા ચહેરા સમાન રીતે શક્ય હોય છે, તેમની સંભાવનાઓ 1/6 જેટલી હોય છે.

હવે ઘટના A ને m પ્રાથમિક ઘટનાઓ દ્વારા પસંદ કરવા દો, તેઓ સામાન્ય રીતે કહેવાય છે ઇવેન્ટ A માટે અનુકૂળ પરિણામો. પછી

પ્રાપ્ત સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા: ઘટના A ની સંભાવના P(A) એ ઘટના A ને પરિણામોની કુલ સંખ્યા સાથે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર સમાન છે

ઉદાહરણ 1.22. ભઠ્ઠીમાં m સફેદ દડા અને n કાળા દડા હોય છે. તેને બહાર કાઢવાની સંભાવના કેટલી છે? સફેદ બોલ?

ઉકેલ. પ્રાથમિક ઘટનાઓની કુલ સંખ્યા m+n છે. તે બધા સમાન સંભવિત છે. અનુકૂળ ઘટના A જેમાંથી m. આથી, .

નીચેના ગુણધર્મો સંભવિતતાની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે:

મિલકત 1. સંભાવના વિશ્વસનીય ઘટનાએક સમાન.

ખરેખર, જો ઘટના વિશ્વસનીય છે, તો પરીક્ષણના દરેક પ્રાથમિક પરિણામ ઘટનાની તરફેણ કરે છે. આ કિસ્સામાં t=p,તેથી,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

મિલકત 2. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે.

ખરેખર, જો કોઈ ઘટના અશક્ય છે, તો પરીક્ષણના પ્રાથમિક પરિણામોમાંથી કોઈ પણ ઘટનાની તરફેણ કરતું નથી. આ કિસ્સામાં ટી= 0, તેથી, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

મિલકત 3.અવ્યવસ્થિત ઘટનાની સંભાવના છે હકારાત્મક સંખ્યા, શૂન્ય અને એક વચ્ચે બંધ.

ખરેખર, એક રેન્ડમ ઘટના માત્ર કેટલાક દ્વારા તરફેણ કરવામાં આવે છે કુલ સંખ્યાપ્રાથમિક કસોટીના પરિણામો. એટલે કે, 0≤m≤n, જેનો અર્થ છે 0≤m/n≤1, તેથી, કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના બેવડી અસમાનતા 0≤ને સંતોષે છે. P(A) ≤1. (1.8)

સંભાવના (1.5) અને સંબંધિત આવર્તન (1.1) ની વ્યાખ્યાઓની તુલના કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: સંભાવનાની વ્યાખ્યા પરીક્ષણ હાથ ધરવાની જરૂર નથીવાસ્તવિકતામાં; સંબંધિત આવર્તનની વ્યાખ્યા ધારે છે કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંભાવનાની ગણતરી પ્રયોગ પહેલાં કરવામાં આવે છે, અને સંબંધિત આવર્તન - પ્રયોગ પછી.

જો કે, સંભાવનાની ગણતરી કરવી જરૂરી છે પ્રારંભિક માહિતીઅનુકૂળની સંખ્યા અથવા સંભાવનાઓ વિશે આ ઘટનાપ્રાથમિક પરિણામો. આવી પ્રાથમિક માહિતીની ગેરહાજરીમાં, પ્રાયોગિક માહિતીનો ઉપયોગ સંભાવના નક્કી કરવા માટે થાય છે, એટલે કે, ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન સ્ટોકેસ્ટિક પ્રયોગના પરિણામોના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1.23. તકનીકી નિયંત્રણ વિભાગ શોધ્યું 3 80 રેન્ડમલી પસંદ કરેલા ભાગોના બેચમાં બિન-માનક ભાગો. બિન-માનક ભાગોની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન r(A)= 3/80.

ઉદાહરણ 1.24. હેતુ મુજબ.ઉત્પાદિત 24 શોટ, અને 19 હિટ રેકોર્ડ કરવામાં આવી હતી. સંબંધિત લક્ષ્ય હિટ દર. r(A)=19/24.

લાંબા ગાળાના અવલોકનો દર્શાવે છે કે જો પ્રયોગો સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેકમાં પરીક્ષણોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય છે, તો સંબંધિત આવર્તન સ્થિરતાની મિલકત દર્શાવે છે. આ મિલકત છે શું છે વિવિધ અનુભવોસંબંધિત આવર્તન થોડો બદલાય છે (ઓછા, વધુ પરીક્ષણો કરવામાં આવે છે), ચોક્કસ સ્થિર સંખ્યાની આસપાસ વધઘટ થાય છે.તે બહાર આવ્યું છે કે આ સતત સંખ્યાઅંદાજિત સંભાવના મૂલ્ય તરીકે લઈ શકાય છે.

સંબંધિત આવર્તન અને સંભાવના વચ્ચેનો સંબંધ વધુ વિગતવાર અને વધુ સ્પષ્ટ રીતે નીચે વર્ણવવામાં આવશે. હવે ચાલો ઉદાહરણો સાથે સ્થિરતાના ગુણધર્મને સમજાવીએ.

ઉદાહરણ 1.25. સ્વીડિશ આંકડાઓ અનુસાર, 1935 માં છોકરીઓના જન્મની સંબંધિત આવર્તન નીચેની સંખ્યાઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે (સંખ્યાઓ મહિનાના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે, જેની શરૂઆત જાન્યુઆરી): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

સંબંધિત આવર્તન સંખ્યા 0.481 ની આસપાસ વધઘટ થાય છે, જે તરીકે લઈ શકાય છે અંદાજિત મૂલ્યછોકરીઓ હોવાની સંભાવના.

નોંધ કરો કે વિવિધ દેશોના આંકડાકીય ડેટા લગભગ સમાન સંબંધિત આવર્તન મૂલ્ય આપે છે.

ઉદાહરણ 1.26.સિક્કા ફેંકવાના પ્રયોગો ઘણી વખત હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, જેમાં "શસ્ત્રોના કોટ" ના દેખાવની સંખ્યા ગણવામાં આવી હતી. ઘણા પ્રયોગોના પરિણામો કોષ્ટકમાં બતાવવામાં આવ્યા છે.