સીધી રેખાના ઢોળાવનો ગુણાંક. ઢાળ કેવી રીતે શોધવી? ઢાળવાળા રેખા સમીકરણમાંથી અન્ય પ્રકારના રેખા સમીકરણ અને પાછળનું સંક્રમણ

ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્સ લેવાનું શીખો.ડેરિવેટિવ આ ફંક્શનના ગ્રાફ પર આવેલા ચોક્કસ બિંદુએ ફંક્શનના ફેરફારના દરને દર્શાવે છે. IN આ કિસ્સામાંગ્રાફ સીધી અથવા વક્ર રેખા હોઈ શકે છે. એટલે કે, વ્યુત્પન્ન સમયના ચોક્કસ બિંદુએ ફંક્શનના ફેરફારના દરને દર્શાવે છે. યાદ રાખો સામાન્ય નિયમો, જેના દ્વારા ડેરિવેટિવ્ઝ લેવામાં આવે છે, અને તે પછી જ આગળના પગલા પર આગળ વધો.

• લેખ વાંચો.
• સૌથી સરળ ડેરિવેટિવ્ઝ કેવી રીતે લેવું, ઉદાહરણ તરીકે, ડેરિવેટિવ ઘાતાંકીય સમીકરણ, વર્ણવેલ. નીચેના પગલાઓમાં પ્રસ્તુત ગણતરીઓ તેમાં વર્ણવેલ પદ્ધતિઓ પર આધારિત હશે.

જેમાં કાર્યો વચ્ચે તફાવત શીખો ઢાળફંક્શનના વ્યુત્પન્ન દ્વારા ગણતરી કરવાની જરૂર છે.સમસ્યાઓ હંમેશા તમને ફંક્શનનો ઢોળાવ અથવા વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે કહેતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, તમને બિંદુ A(x,y) પર ફંક્શનના ફેરફારનો દર શોધવા માટે કહેવામાં આવી શકે છે. તમને બિંદુ A(x,y) પર સ્પર્શકનો ઢોળાવ શોધવા માટે પણ કહેવામાં આવી શકે છે. બંને કિસ્સાઓમાં કાર્યનું વ્યુત્પન્ન લેવું જરૂરી છે.

ઢોળાવ સીધો છે. આ લેખમાં આપણે ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં સમાવિષ્ટ કોઓર્ડિનેટ પ્લેન સંબંધિત સમસ્યાઓ જોઈશું. આ માટેના કાર્યો છે:

- સીધી રેખાના કોણીય ગુણાંકનું નિર્ધારણ જ્યારે તે પસાર થાય છે તે બે બિંદુઓ જાણીતા છે;
- પ્લેન પર બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના એબ્સીસા અથવા ઓર્ડિનેટનું નિર્ધારણ.

આ વિભાગમાં બિન્દુનું અબ્સિસા અને ઓર્ડિનેટ શું છે તેનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. તેમાં આપણે કોઓર્ડિનેટ પ્લેન સંબંધિત ઘણી સમસ્યાઓનો વિચાર કર્યો છે. વિચારણા હેઠળની સમસ્યાના પ્રકાર માટે તમારે શું સમજવાની જરૂર છે? થોડો સિદ્ધાંત.

ચાલુ રેખાનું સમીકરણ સંકલન વિમાનફોર્મ ધરાવે છે:

જ્યાં k – આ લાઇનનો ઢોળાવ છે.

આગલી ક્ષણ! સીધો ઢોળાવ સ્પર્શક સમાનસીધી રેખાના ઝોકનો કોણ. આ આપેલ રેખા અને ધરી વચ્ચેનો કોણ છેઓહ.

તે 0 થી 180 ડિગ્રી સુધીની છે.

એટલે કે, જો આપણે રેખાના સમીકરણને ફોર્મમાં ઘટાડીએ y = kx + b, તો પછી આપણે હંમેશા k (સ્લોપ ગુણાંક) ગુણાંક નક્કી કરી શકીએ છીએ.

ઉપરાંત, જો સ્થિતિના આધારે આપણે સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણાની સ્પર્શકને નિર્ધારિત કરી શકીએ, તો આપણે તેના કોણીય ગુણાંકને શોધીશું.

આગામી સૈદ્ધાંતિક મુદ્દો!આપેલ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ.સૂત્ર આના જેવો દેખાય છે:

ચાલો સમસ્યાઓ પર વિચાર કરીએ (માંથી સમસ્યાઓ સમાન ખુલ્લી બેંકકાર્યો):

કોઓર્ડિનેટ્સ (–6;0) અને (0;6) સાથે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢોળાવ શોધો.

આ સમસ્યામાં સૌથી વધુ તર્કસંગત માર્ગઉકેલ એ x અક્ષ અને આપેલ સીધી રેખા વચ્ચેના ખૂણાની સ્પર્શક શોધવાનો છે. તે ઓળખાય છે કે તે ઢાળ સમાન છે. સીધી રેખા અને અક્ષો x અને oy દ્વારા રચાયેલા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો:

માં કોણની સ્પર્શક જમણો ત્રિકોણસંબંધ છે વિરુદ્ધ બાજુબાજુમાં:

*બંને પગ છ બરાબર છે (આ તેમની લંબાઈ છે).

ચોક્કસપણે, આ કાર્યઆપેલ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણને શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. પરંતુ આ એક લાંબો ઉકેલ હશે.

જવાબ: 1

કોઓર્ડિનેટ્સ (5;0) અને (0;5) સાથે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢોળાવ શોધો.

અમારા બિંદુઓમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (5;0) અને (0;5) છે. અર્થ,

ચાલો ફોર્મ્યુલાને ફોર્મમાં મૂકીએ y = kx + b

અમે શોધી કાઢ્યું કે ઢાળ k = – 1.

જવાબ:-1

સીધું aકોઓર્ડિનેટ્સ (0;6) અને (8;0) સાથેના બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. સીધું bકોઓર્ડિનેટ્સ (0;10) સાથે બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખાની સમાંતર છે a bધરી સાથે ઓહ

આ સમસ્યામાં તમે રેખાનું સમીકરણ શોધી શકો છો a, તેના માટે ઢાળ નક્કી કરો. સીધી રેખા પર bઢાળ સમાન હશે કારણ કે તેઓ સમાંતર છે. આગળ તમે રેખાનું સમીકરણ શોધી શકો છો b. અને પછી, તેમાં મૂલ્ય y = 0 ને બદલીને, abscissa શોધો. પરંતુ!

આ કિસ્સામાં, ત્રિકોણની સમાનતાની મિલકતનો ઉપયોગ કરવો વધુ સરળ છે.

આ (સમાંતર) રેખાઓ અને સંકલન અક્ષો દ્વારા બનેલા જમણા ત્રિકોણ સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર સમાન છે.

આવશ્યક એબ્સીસા 40/3 છે.

જવાબ: 40/3

સીધું aકોઓર્ડિનેટ્સ (0;8) અને (–12;0) સાથેના બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. સીધું bકોઓર્ડિનેટ્સ (0; –12) સાથે બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખાની સમાંતર છે a. રેખાના આંતરછેદના બિંદુનો એબ્સીસા શોધો bધરી સાથે ઓહ.

આ સમસ્યા માટે, તેને હલ કરવાની સૌથી તર્કસંગત રીત એ છે કે ત્રિકોણની સમાનતાની મિલકતનો ઉપયોગ કરવો. પરંતુ અમે તેને અલગ રીતે હલ કરીશું.

આપણે જાણીએ છીએ કે જે બિંદુઓમાંથી રેખા પસાર થાય છે એ. આપણે સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખી શકીએ છીએ. આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ માટેનું સૂત્ર આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

શરત પ્રમાણે, બિંદુઓમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (0;8) અને (–12;0) હોય છે. અર્થ,

ચાલો તેને ધ્યાનમાં લઈએ y = kx + b:

તે ખૂણો મળ્યો k = 2/3.

*કોણ ગુણાંક 8 અને 12 પગવાળા કાટકોણ ત્રિકોણમાં કોણની સ્પર્શક દ્વારા શોધી શકાય છે.

તે જાણીતું છે કે સમાંતર રેખાઓ સમાન કોણ ગુણાંક ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ (0;-12)માંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

મૂલ્ય શોધો bઆપણે abscissa ને બદલી શકીએ છીએ અને સમીકરણમાં ગોઠવી શકીએ છીએ:

આમ, સીધી રેખા આના જેવી દેખાય છે:

હવે, x અક્ષ સાથે રેખાના આંતરછેદના બિંદુના ઇચ્છિત એબ્સીસા શોધવા માટે, તમારે y = 0 ને બદલવાની જરૂર છે:

જવાબ: 18

અક્ષ આંતરછેદ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધો ઓહઅને બિંદુ B(10;12)માંથી પસાર થતી રેખા અને મૂળ અને બિંદુ A(10;24)માંથી પસાર થતી રેખાની સમાંતર.

ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સ (0;0) અને (10;24) સાથેના બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ શોધીએ.

આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ માટેનું સૂત્ર આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

અમારા બિંદુઓમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (0;0) અને (10;24) છે. અર્થ,

ચાલો તેને ધ્યાનમાં લઈએ y = kx + b

સમાંતર રેખાઓના કોણ ગુણાંક સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ B(10;12)માંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

અર્થ bચાલો આ સમીકરણમાં બિંદુ B(10;12) ના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીને શોધીએ:

અમને સીધી રેખાનું સમીકરણ મળ્યું:

અક્ષ સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધવા માટે ઓહશોધાયેલ સમીકરણમાં બદલવાની જરૂર છે એક્સ= 0:

*સૌથી સરળ ઉપાય. મદદ સાથે સમાંતર ટ્રાન્સફરઆ રેખાને ધરી સાથે નીચે ખસેડો ઓહબિંદુ સુધી (10;12). શિફ્ટ 12 એકમો દ્વારા થાય છે, એટલે કે, બિંદુ A(10;24) બિંદુ B(10;12) પર "ખસેડાયેલ" અને બિંદુ O(0;0) બિંદુ (0;–12) પર "ખસેડાયેલ" છે. આનો અર્થ એ છે કે પરિણામી સીધી રેખા ધરીને છેદે છે ઓહબિંદુ પર (0;–12).

જરૂરી ઓર્ડિનેટ -12 છે.

જવાબ: -12

સમીકરણ દ્વારા આપેલ રેખાના આંતરછેદના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધો

3x + 2у = 6, ધરી સાથે ઓય.

અક્ષ સાથે આપેલ રેખાના આંતરછેદના બિંદુનું સંકલન ઓહફોર્મ ધરાવે છે (0; ખાતે). ચાલો સમીકરણમાં abscissa ને બદલીએ એક્સ= 0, અને ઓર્ડિનેટ શોધો:

રેખા અને અક્ષના આંતરછેદના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ ઓહ 3 બરાબર છે.

* સિસ્ટમ હલ થઈ ગઈ છે:

જવાબ: 3

સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધો

3x + 2y = 6અને y = – x.

જ્યારે બે લીટીઓ આપવામાં આવે છે, અને પ્રશ્ન આ લીટીઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનો હોય છે, ત્યારે આ સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલાય છે:

પ્રથમ સમીકરણમાં આપણે બદલીએ છીએ - એક્સતેના બદલે ખાતે:

ઓર્ડિનેટ માઈનસ છ બરાબર છે.

જવાબ: – 6

કોઓર્ડિનેટ્સ (–2;0) અને (0;2) સાથે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢોળાવ શોધો.

કોઓર્ડિનેટ્સ (2;0) અને (0;2) સાથે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢોળાવ શોધો.

રેખા એ કોઓર્ડિનેટ્સ (0;4) અને (6;0) સાથે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. રેખા b કોઓર્ડિનેટ્સ (0;8) સાથે બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખા a ની સમાંતર છે. ઓક્સ અક્ષ સાથે રેખા b ના આંતરછેદના બિંદુના એબ્સીસા શોધો.

ઓય અક્ષના આંતરછેદના બિંદુ અને બિંદુ B (6;4)માંથી પસાર થતી રેખા અને મૂળ અને બિંદુ A (6;8)માંથી પસાર થતી રેખાની સમાંતર રેખા શોધો.

1. સ્પષ્ટપણે સમજવું જરૂરી છે કે સીધી રેખાનો કોણીય ગુણાંક સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક સમાન છે. આ તમને આ પ્રકારની ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ કરશે.

2. આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા શોધવાનું સૂત્ર સમજવું આવશ્યક છે. તેની મદદથી, જો તેના બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવે તો તમે હંમેશા રેખાનું સમીકરણ મેળવશો.

3. યાદ રાખો કે સમાંતર રેખાઓના ઢોળાવ સમાન છે.

4. જેમ તમે સમજો છો, કેટલીક સમસ્યાઓમાં ત્રિકોણ સમાનતા સુવિધાનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. સમસ્યાઓ વ્યવહારીક રીતે મૌખિક રીતે ઉકેલવામાં આવે છે.

5. સમસ્યાઓ કે જેમાં બે લીટીઓ આપવામાં આવી છે અને તેના આંતરછેદના બિંદુના એબ્સીસા અથવા ઓર્ડિનેટ શોધવાની જરૂર છે તે ઉકેલી શકાય છે ગ્રાફિકલી. એટલે કે, તેમને કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર બનાવો (ચોરસમાં કાગળની શીટ પર) અને આંતરછેદ બિંદુને દૃષ્ટિની રીતે નક્કી કરો. *પરંતુ આ પદ્ધતિ હંમેશા લાગુ પડતી નથી.

6. અને છેલ્લે. જો કોઈ સીધી રેખા અને સંકલન અક્ષો સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવે, તો આવી સમસ્યાઓમાં રચાયેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં કોણની સ્પર્શક શોધીને કોણીય ગુણાંક શોધવાનું અનુકૂળ છે. આ ત્રિકોણ ક્યારે "જોવું" કેવી રીતે વિવિધ સ્થળોપ્લેન પર સીધી રેખાઓ યોજનાકીય રીતે નીચે દર્શાવેલ છે:

>> 0 થી 90 ડિગ્રી સુધીનો સીધો કોણ<<

>> 90 થી 180 ડિગ્રી સુધીનો સીધો કોણ<<

બસ એટલું જ. તમને શુભકામનાઓ!

શ્રેષ્ઠ સાદર, એલેક્ઝાન્ડર.

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.

અગાઉના પ્રકરણમાં તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે, પ્લેન પર ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પસંદ કરીને, અમે વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના સમીકરણ દ્વારા વિશ્લેષણાત્મક રીતે વિચારણા હેઠળની રેખાના બિંદુઓને દર્શાવતા ભૌમિતિક ગુણધર્મોને વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. આમ આપણને રેખાનું સમીકરણ મળે છે. આ પ્રકરણ સીધી રેખાના સમીકરણોને જોશે.

કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં સીધી રેખા માટે સમીકરણ બનાવવા માટે, તમારે કોઈક રીતે એવી શરતો સેટ કરવાની જરૂર છે કે જે સંકલન અક્ષોની તુલનામાં તેની સ્થિતિ નક્કી કરે.

પ્રથમ, અમે રેખાના કોણીય ગુણાંકની વિભાવના રજૂ કરીશું, જે પ્લેન પરની રેખાની સ્થિતિને દર્શાવતા જથ્થાઓમાંની એક છે.

ચાલો ઓક્સ અક્ષ તરફની સીધી રેખાના ઝોકના કોણને કોણ કહીએ જેના દ્વારા ઓક્સ અક્ષને ફેરવવાની જરૂર છે જેથી તે આપેલ રેખા સાથે એકરુપ થાય (અથવા તેની સમાંતર હોવાનું બહાર આવે). હંમેશની જેમ, અમે ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેતા કોણને ધ્યાનમાં લઈશું (ચિહ્ન પરિભ્રમણની દિશા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ અથવા કાઉન્ટરવાઇઝ). 180° ના ખૂણા દ્વારા બળદની અક્ષનું વધારાનું પરિભ્રમણ તેને ફરીથી સીધી રેખા સાથે સંરેખિત કરશે, તેથી અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકનો કોણ અસંદિગ્ધ રીતે પસંદ કરી શકાતો નથી (એક શબ્દ સુધી જે .

આ કોણની સ્પર્શક વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે (કારણ કે કોણ બદલવાથી તેની સ્પર્શક બદલાતી નથી).

ઓક્સ અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શકને સીધી રેખાનો કોણીય ગુણાંક કહેવામાં આવે છે.

કોણીય ગુણાંક સીધી રેખાની દિશા દર્શાવે છે (અમે અહીં સીધી રેખાની બે પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશાઓ વચ્ચે તફાવત કરતા નથી). જો રેખાનો ઢોળાવ શૂન્ય હોય, તો રેખા x-અક્ષની સમાંતર હોય છે. સકારાત્મક કોણીય ગુણાંક સાથે, ઑક્સ અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકનો કોણ તીવ્ર હશે (અમે અહીં ઝોકના ખૂણાના સૌથી નાના હકારાત્મક મૂલ્યને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ) (ફિગ. 39); તદુપરાંત, કોણીય ગુણાંક જેટલો મોટો હશે, તેટલો જ ઓક્સ અક્ષ તરફ તેના ઝોકનો કોણ વધારે છે. જો કોણીય ગુણાંક નકારાત્મક હોય, તો ઑક્સ અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકનો કોણ અસ્પષ્ટ હશે (ફિગ. 40). નોંધ કરો કે ઓક્સ અક્ષની લંબરૂપ સીધી રેખામાં કોણીય ગુણાંક નથી (કોણની સ્પર્શક અસ્તિત્વમાં નથી).

સીધી રેખા y=f(x) બિંદુ x0 પર આકૃતિમાં દર્શાવેલ ગ્રાફની સ્પર્શક હશે જો તે કોઓર્ડિનેટ્સ (x0; f(x0)) સાથે બિંદુમાંથી પસાર થાય અને તેમાં કોણીય ગુણાંક f"(x0) હોય. શોધો. આવા ગુણાંક, સ્પર્શકની વિશેષતાઓ જાણવી, તે મુશ્કેલ નથી.

તમને જરૂર પડશે

• - ગાણિતિક સંદર્ભ પુસ્તક;
• - એક સરળ પેંસિલ;
• - નોટબુક;
• - પ્રોટ્રેક્ટર;
• - હોકાયંત્ર;
• - પેન.

સૂચનાઓ

જો મૂલ્ય f‘(x0) અસ્તિત્વમાં નથી, તો કાં તો ત્યાં કોઈ સ્પર્શક નથી, અથવા તે ઊભી રીતે ચાલે છે. આને ધ્યાનમાં રાખીને, બિંદુ x0 પર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની હાજરી બિંદુ (x0, f(x0)) પરના ફંક્શનના ગ્રાફમાં બિન-ઊભી સ્પર્શક સ્પર્શકના અસ્તિત્વને કારણે છે. આ કિસ્સામાં, સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક f" (x0) ની બરાબર હશે. આમ, વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ સ્પષ્ટ થાય છે - સ્પર્શકના કોણીય ગુણાંકની ગણતરી.

વધારાના સ્પર્શક દોરો જે બિંદુ x1, x2 અને x3 પર કાર્યના ગ્રાફના સંપર્કમાં હશે, અને આ સ્પર્શકો દ્વારા રચાયેલા ખૂણાઓને પણ x-અક્ષ સાથે ચિહ્નિત કરો (આ ખૂણો અક્ષથી સકારાત્મક દિશામાં ગણવામાં આવે છે. સ્પર્શરેખા). ઉદાહરણ તરીકે, કોણ, એટલે કે, α1, તીવ્ર હશે, બીજો (α2) અસ્પષ્ટ હશે, અને ત્રીજો (α3) શૂન્ય હશે, કારણ કે સ્પર્શરેખા OX અક્ષની સમાંતર છે. આ કિસ્સામાં, સ્થૂળ કોણની સ્પર્શક નકારાત્મક છે, તીવ્ર કોણની સ્પર્શક હકારાત્મક છે, અને tg0 પર પરિણામ શૂન્ય છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

સ્પર્શક દ્વારા રચાયેલ કોણ યોગ્ય રીતે નક્કી કરો. આ કરવા માટે, પ્રોટ્રેક્ટરનો ઉપયોગ કરો.

ઉપયોગી સલાહ

બે વલણવાળી રેખાઓ સમાંતર હશે જો તેમના કોણીય ગુણાંક એકબીજા સાથે સમાન હોય; કાટખૂણે જો આ સ્પર્શકોના કોણીય ગુણાંકનું ઉત્પાદન -1 બરાબર હોય.

સ્ત્રોતો:

• ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્પર્શક

કોસાઈન, સાઈનની જેમ, "પ્રત્યક્ષ" ત્રિકોણમિતિ કાર્ય તરીકે વર્ગીકૃત થયેલ છે. સ્પર્શક (કોટેન્જેન્ટ સાથે) ને "ડેરિવેટિવ્ઝ" તરીકે ઓળખાતી બીજી જોડી તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. આ વિધેયોની ઘણી વ્યાખ્યાઓ છે જે સમાન મૂલ્યના જાણીતા કોસાઇન મૂલ્ય દ્વારા આપેલ સ્પર્શકને શોધવાનું શક્ય બનાવે છે.

સૂચનાઓ

આપેલ કોણના કોસાઇન પર વધેલા મૂલ્ય દ્વારા એકતાના ભાગને બાદ કરો અને પરિણામમાંથી વર્ગમૂળ કાઢો - આ કોણનું સ્પર્શક મૂલ્ય હશે, જે તેના કોસાઇન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવશે: tan(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સૂત્રમાં કોસાઇન અપૂર્ણાંકના છેદમાં છે. શૂન્ય વડે ભાગાકારની અશક્યતા 90°ના સમાન ખૂણાઓ માટે આ અભિવ્યક્તિના ઉપયોગને અટકાવે છે, તેમજ 180° (270°, 450°, -90°, વગેરે) ના ગુણાંકમાં સંખ્યાઓ દ્વારા આ મૂલ્યથી અલગ હોય છે.

જાણીતા કોસાઇન મૂલ્યમાંથી સ્પર્શકની ગણતરી કરવાની વૈકલ્પિક રીત છે. જો અન્યના ઉપયોગ પર કોઈ પ્રતિબંધ ન હોય તો તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ પદ્ધતિનો અમલ કરવા માટે, સૌપ્રથમ જાણીતી કોસાઇન મૂલ્યમાંથી કોણ મૂલ્ય નક્કી કરો - આ આર્ક કોસાઇન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. પછી પરિણામી મૂલ્યના કોણ માટે સ્પર્શકની ગણતરી કરો. સામાન્ય રીતે, આ અલ્ગોરિધમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા દ્વારા કોસાઇન અને સ્પર્શકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને એક વિચિત્ર વિકલ્પ પણ છે. આ વ્યાખ્યામાં, કોસાઇન એ કોણની બાજુના પગની લંબાઈના ગુણોત્તરને અનુલક્ષે છે જે વિચારણા હેઠળ છે તે કર્ણની લંબાઈને ધ્યાનમાં લે છે. કોસાઇનનું મૂલ્ય જાણીને, તમે આ બે બાજુઓની અનુરૂપ લંબાઈ પસંદ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, જો cos(α) = 0.5, તો અડીને 10 cm, અને hypotenuse - 20 cm લઈ શકાય. ચોક્કસ સંખ્યાઓ અહીં વાંધો નથી - તમને સમાન હોય તેવા કોઈપણ મૂલ્યો સાથે સમાન અને સાચી સંખ્યાઓ મળશે. પછી, પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, ગુમ થયેલ બાજુની લંબાઈ નક્કી કરો - વિરુદ્ધ પગ. તે ચોરસ કર્ણની લંબાઈ અને જાણીતા પગ વચ્ચેના તફાવતના વર્ગમૂળની બરાબર હશે: √(20²-10²)=√300. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, સ્પર્શક વિરોધી અને નજીકના પગ (√300/10) ની લંબાઈના ગુણોત્તરને અનુલક્ષે છે - તેની ગણતરી કરો અને કોસાઈનની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને મળેલ સ્પર્શક મૂલ્ય મેળવો.

સ્ત્રોતો:

• સ્પર્શક સૂત્ર દ્વારા કોસાઇન

ત્રિકોણમિતિ વિધેયોમાંથી એક, મોટાભાગે tg અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જો કે ટેનનો પણ ઉપયોગ થાય છે. સ્પર્શકને દર્શાવવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો સાઈન રેશિયો છે કોણતેના કોસાઇન માટે. આ એક વિચિત્ર સામયિક અને બિન-સતત કાર્ય છે, જેનું દરેક ચક્ર Pi નંબરની બરાબર છે અને વિરામ બિંદુ આ સંખ્યાના અડધા ભાગને અનુરૂપ છે.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ શાળાના અભ્યાસક્રમના મુશ્કેલ વિષયોમાંનો એક છે. દરેક સ્નાતક વ્યુત્પન્ન શું છે તે પ્રશ્નનો જવાબ આપશે નહીં.

આ લેખ સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવે છે કે વ્યુત્પન્ન શું છે અને શા માટે તેની જરૂર છે.. અમે હવે પ્રસ્તુતિમાં ગાણિતિક કઠોરતા માટે પ્રયત્ન કરીશું નહીં. સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે તેનો અર્થ સમજવો.

ચાલો વ્યાખ્યા યાદ કરીએ:

વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શનના ફેરફારનો દર છે.

આકૃતિ ત્રણ કાર્યોના આલેખ બતાવે છે. તમને લાગે છે કે કયું ઝડપથી વધી રહ્યું છે?

જવાબ સ્પષ્ટ છે - ત્રીજો. તેમાં ફેરફારનો સૌથી વધુ દર છે, એટલે કે સૌથી મોટો વ્યુત્પન્ન.

અહીં બીજું ઉદાહરણ છે.

કોસ્ટ્યા, ગ્રીશા અને માત્વેને તે જ સમયે નોકરી મળી. ચાલો જોઈએ કે વર્ષ દરમિયાન તેમની આવક કેવી રીતે બદલાઈ.

ગ્રાફ એક જ સમયે બધું બતાવે છે, તે નથી? કોસ્ટ્યાની આવક છ મહિનામાં બમણીથી વધુ થઈ ગઈ છે. અને ગ્રીશાની આવક પણ વધી, પણ થોડી જ. અને માટવેની આવક ઘટીને શૂન્ય થઈ ગઈ. પ્રારંભિક શરતો સમાન છે, પરંતુ કાર્યના ફેરફારનો દર, એટલે કે વ્યુત્પન્ન, - અલગ. Matvey માટે, તેની આવક વ્યુત્પન્ન સામાન્ય રીતે નકારાત્મક છે.

સાહજિક રીતે, આપણે ફંક્શનના ફેરફારના દરનો સરળતાથી અંદાજ લગાવીએ છીએ. પરંતુ આપણે આ કેવી રીતે કરી શકીએ?

આપણે ખરેખર જોઈ રહ્યા છીએ કે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેટલો ઝડપથી ઉપર (અથવા નીચે) જાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, x બદલાતાં y કેટલી ઝડપથી બદલાય છે? દેખીતી રીતે, વિવિધ બિંદુઓ પર સમાન કાર્યમાં વિવિધ વ્યુત્પન્ન મૂલ્યો હોઈ શકે છે - એટલે કે, તે ઝડપી અથવા ધીમી બદલી શકે છે.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સૂચવવામાં આવે છે.

અમે તમને ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને તેને કેવી રીતે શોધવું તે બતાવીશું.

કેટલાક ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરવામાં આવ્યો છે. ચાલો તેના પર abscissa સાથે એક બિંદુ લઈએ. ચાલો આ બિંદુએ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક દોરીએ. આપણે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેટલો ઝડપથી ઉપર જાય છે તેનો અંદાજ કાઢવા માંગીએ છીએ. આ માટે અનુકૂળ મૂલ્ય છે સ્પર્શકોણની સ્પર્શક.

એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન આ બિંદુએ ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવેલા સ્પર્શકોણના સ્પર્શક સમાન છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સ્પર્શકના ઝોકના કોણ તરીકે આપણે સ્પર્શક અને ધરીની હકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો ખૂણો લઈએ છીએ.

ક્યારેક વિદ્યાર્થીઓ પૂછે છે કે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક શું છે. આ એક સીધી રેખા છે જે આ વિભાગમાં ગ્રાફ સાથે એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે, અને અમારી આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. તે વર્તુળના સ્પર્શક જેવું લાગે છે.

ચાલો તેને શોધીએ. આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સ્પર્શક બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર જેટલી હોય છે. ત્રિકોણમાંથી:

અમે ફંક્શનના સૂત્રને જાણ્યા વિના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધી કાઢ્યું. સંખ્યા હેઠળ ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં આવી સમસ્યાઓ વારંવાર જોવા મળે છે.

બીજો મહત્વનો સંબંધ છે. યાદ કરો કે સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવી છે

આ સમીકરણમાં જથ્થો કહેવાય છે સીધી રેખાનો ઢોળાવ. તે અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક સમાન છે.

.

અમે તે મેળવીએ છીએ

ચાલો આ સૂત્ર યાદ રાખીએ. તે વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ વ્યક્ત કરે છે.

એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન તે બિંદુ પરના ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શકના ઢોળાવ જેટલું છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વ્યુત્પન્ન એ સ્પર્શકોણના સ્પર્શક સમાન છે.

અમે પહેલાથી જ કહ્યું છે કે સમાન ફંક્શનમાં વિવિધ બિંદુઓ પર વિવિધ ડેરિવેટિવ્સ હોઈ શકે છે. ચાલો જોઈએ કે ડેરિવેટિવ કેવી રીતે કાર્યના વર્તન સાથે સંબંધિત છે.

ચાલો અમુક ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરીએ. આ કાર્યને અમુક વિસ્તારોમાં વધવા દો અને અન્યમાં ઘટવા દો, અને વિવિધ દરે. અને આ ફંક્શનમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ હોવા દો.

એક તબક્કે કાર્ય વધે છે. બિંદુ પર દોરેલા ગ્રાફની સ્પર્શક તીવ્ર કોણ બનાવે છે; હકારાત્મક ધરી દિશા સાથે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે.

બિંદુએ આપણું કાર્ય ઘટે છે. આ બિંદુએ સ્પર્શક એક સ્થૂળ કોણ બનાવે છે; હકારાત્મક ધરી દિશા સાથે. સ્થૂળ કોણની સ્પર્શક નકારાત્મક હોવાથી, બિંદુ પરનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.

શું થાય છે તે અહીં છે:

જો કોઈ કાર્ય વધી રહ્યું હોય, તો તેનું વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે.

જો તે ઘટે છે, તો તેનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.

મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ પર શું થશે? આપણે જોઈએ છીએ કે બિંદુઓ (મહત્તમ બિંદુ) અને (લઘુત્તમ બિંદુ) પર સ્પર્શક આડી છે. તેથી, આ બિંદુઓ પર સ્પર્શકની સ્પર્શક શૂન્ય છે, અને વ્યુત્પન્ન પણ શૂન્ય છે.

બિંદુ - મહત્તમ બિંદુ. આ બિંદુએ, કાર્યમાં વધારો ઘટાડો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પરિણામે, વ્યુત્પત્તિની નિશાની બિંદુ પર “વત્તા” થી “માઈનસ” માં બદલાય છે.

બિંદુ પર - લઘુત્તમ બિંદુ - વ્યુત્પન્ન પણ શૂન્ય છે, પરંતુ તેનું ચિહ્ન "માઈનસ" થી "પ્લસ" માં બદલાય છે.

નિષ્કર્ષ: વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કાર્યની વર્તણૂક વિશે અમને રુચિ હોય તે બધું શોધી શકીએ છીએ.

જો વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, તો કાર્ય વધે છે.

જો વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હોય, તો કાર્ય ઘટે છે.

મહત્તમ બિંદુએ, વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અને "વત્તા" થી "માઈનસ" માં ચિહ્ન બદલાય છે.

ન્યૂનતમ બિંદુ પર, વ્યુત્પન્ન પણ શૂન્ય છે અને બાદબાકીથી વત્તામાં ચિહ્ન બદલાય છે.

ચાલો કોષ્ટકના રૂપમાં આ તારણો લખીએ:

ચાલો બે નાની સ્પષ્ટતા કરીએ. સમસ્યા હલ કરતી વખતે તમારે તેમાંથી એકની જરૂર પડશે. અન્ય - પ્રથમ વર્ષમાં, કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝના વધુ ગંભીર અભ્યાસ સાથે.

શક્ય છે કે અમુક સમયે ફંક્શનનું ડેરિવેટિવ શૂન્ય બરાબર હોય, પરંતુ ફંક્શનમાં આ બિંદુએ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ નથી. આ કહેવાતા છે :

એક બિંદુ પર, ગ્રાફની સ્પર્શક આડી છે અને વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે. જો કે, બિંદુ પહેલા કાર્ય વધ્યું - અને બિંદુ પછી તે વધવાનું ચાલુ રાખે છે. વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન બદલાતું નથી - તે જેમ હતું તેમ સકારાત્મક રહે છે.

એવું પણ બને છે કે મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. ગ્રાફ પર, આ તીવ્ર વિરામને અનુરૂપ છે, જ્યારે આપેલ બિંદુ પર સ્પર્શક દોરવાનું અશક્ય છે.

જો ફંક્શન ગ્રાફ દ્વારા નહીં, પરંતુ ફોર્મ્યુલા દ્વારા આપવામાં આવે તો વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું? આ કિસ્સામાં તે લાગુ પડે છે