એક ચલમાં અસમાનતા ઉકેલવી. એક ચલ સાથે અસમાનતા

1. એક ચલ સાથે અસમાનતાનો ખ્યાલ

2. સમાન અસમાનતાઓ. અસમાનતાની સમાનતા પર પ્રમેય

3. એક ચલ સાથે અસમાનતાઓ ઉકેલવી

4. એક ચલ સાથે અસમાનતાનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

5. મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળ ચલ ધરાવતી અસમાનતા

6. મુખ્ય તારણો

એક ચલ સાથે અસમાનતા

ઑફર્સ 2 એક્સ + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 ને એક ચલ સાથેની અસમાનતા કહેવામાં આવે છે.

IN સામાન્ય દૃશ્યઆ ખ્યાલ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

વ્યાખ્યા. ચલ x અને ડોમેન X સાથે f(x) અને g(x) ને બે સમીકરણો થવા દો. પછી ફોર્મ f(x) > g(x) અથવા f(x) ની અસમાનતા< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

ચલ મૂલ્ય xઘણા થી X,જેમાં અસમાનતા સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં ફેરવાય છે તેને કહેવાય છે નિર્ણયઅસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે તેના ઘણા ઉકેલો શોધવા.

આમ, અસમાનતાને હલ કરીને 2 x + 7 > 10 -x, x? આરનંબર છે x= 5, કારણ કે 2 5 + 7 > 10 - 5 એ સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતા છે. અને તેના ઉકેલોનો સમૂહ અંતરાલ (1, ∞) છે, જે અસમાનતાના રૂપાંતરણ દ્વારા જોવા મળે છે: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.

સમાન અસમાનતાઓ. અસમાનતાની સમાનતા પર પ્રમેય

એક ચલ સાથે અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેનો આધાર સમાનતાનો ખ્યાલ છે.

વ્યાખ્યા. બે અસમાનતાઓ સમકક્ષ કહેવાય છે જો તેમના સોલ્યુશન સેટ સમાન હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા 2 x+ 7 > 10 અને 2 x> 3 સમકક્ષ છે, કારણ કે તેમના સોલ્યુશન સેટ સમાન છે અને અંતરાલ (2/3, ∞) દર્શાવે છે.

અસમાનતાઓની સમાનતા પરના પ્રમેય અને તેમાંથી આવતા પરિણામો સમીકરણોની સમાનતા પરના અનુરૂપ પ્રમેય જેવા જ છે. તેમના પુરાવા સાચા આંકડાકીય અસમાનતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરે છે.

પ્રમેય 3.અસમાનતા દો f(x) > g(x)સેટ પર વ્યાખ્યાયિત એક્સઅને h(x) એ જ સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત અભિવ્યક્તિ છે. પછી અસમાનતાઓ f(x) > g(x) અને f(x)+ h(x) > g(x) + h(x)સેટ પર સમકક્ષ છે એક્સ.

કોરોલરીઝ આ પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે, જેનો ઉપયોગ અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે થાય છે:

1) જો અસમાનતાની બંને બાજુએ f(x) > g(x)સમાન નંબર ઉમેરો ડી,પછી આપણને અસમાનતા મળે છે f(x) + d > g(x)+ d,મૂળની સમકક્ષ.

2) જો કોઈપણ શબ્દ (સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ અથવા ચલ સાથેની અભિવ્યક્તિ) અસમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે, શબ્દના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલીને, તો આપણે આપેલ એકની સમકક્ષ અસમાનતા મેળવીએ છીએ.

પ્રમેય 4.અસમાનતા દો f(x) > g(x)સેટ પર વ્યાખ્યાયિત એક્સઅને h(એક્સ એક્સઘણા થી એક્સઅભિવ્યક્તિ h(x)સ્વીકારે છે હકારાત્મક મૂલ્યો. પછી અસમાનતાઓ f(x) > g(x) અને f(x) h(x) > g(x) h(x)સેટ પર સમકક્ષ છે એક્સ.

f(x) > g(x)સમાન વડે ગુણાકાર કરો હકારાત્મક સંખ્યા ડી,પછી આપણને અસમાનતા મળે છે f(x) d > g(x) d,આની સમકક્ષ.

પ્રમેય 5.અસમાનતા દો f(x) > g(x)સેટ પર વ્યાખ્યાયિત એક્સઅને h(એક્સ) - સમાન સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત અભિવ્યક્તિ, અને બધા માટે એક્સતેમાંના ઘણા છે એક્સઅભિવ્યક્તિ h(એક્સ) સ્વીકારે છે નકારાત્મક મૂલ્યો. પછી અસમાનતાઓ f(x) > g(x) અને f(x) h(x) > g(x) h(x)સેટ પર સમકક્ષ છે એક્સ.

આ પ્રમેયમાંથી એક પરિણામ આવે છે: જો અસમાનતાની બંને બાજુઓ f(x) > g(x)સમાન નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો ડીઅને અસમાનતાના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલો, આપણને અસમાનતા મળે છે f(x) d > g(x) d,આની સમકક્ષ.

એક ચલ વડે અસમાનતાઓ ઉકેલવી

ચાલો અસમાનતા 5 હલ કરીએ એક્સ - 5 < 2х - 16, એક્સ? આર, અને અમે સોલ્યુશન પ્રક્રિયામાં જે પરિવર્તનો કરીશું તેને અમે ન્યાયી ઠેરવીશું.

અસમાનતાનું નિરાકરણ એક્સ < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5એક્સ - 5 < 2x + 16 એ અંતરાલ છે (-∞, 7).

કસરતો

1. નીચેની એન્ટ્રીઓમાંથી કઈ એક ચલ સાથે અસમાનતા છે તે નક્કી કરો:

a) -12 - 7 એક્સ< 3x+ 8; ડી) 12 x + 3(એક્સ- 2);

b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12·8;

c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3x-4> 0.

2. શું નંબર 3 અસમાનતાનો ઉકેલ છે 6(2x + 7) < 15(એક્સ + 2), એક્સ? આર? 4.25 નંબર વિશે શું?

3. શું અસમાનતાઓની નીચેની જોડી વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર સમકક્ષ છે:

a) -17 એક્સ< -51 и એક્સ > 3;

b) (3 x-1)/4 >0 અને 3 એક્સ-1>0;

c) 6-5 x>-4 અને એક્સ<2?

4. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે:

a) -7 એક્સ < -28 => x>4;

b) x < 6 => x < 5;

વી) એક્સ< 6 => એક્સ< 20?

5. અસમાનતા ઉકેલો 3( x - 2) - 4(એક્સ + 1) < 2(х - 3) - 2 અને તમે જે રૂપાંતરણ કરશો તે બધાને યોગ્ય ઠેરવો.

6. અસમાનતા ઉકેલીને સાબિત કરો 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2એક્સ) કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

7. સાબિત કરો કે તે અસ્તિત્વમાં નથી વાસ્તવિક સંખ્યા, જે અસમાનતા 3(2 -) નો ઉકેલ હશે એક્સ) - 2 > 5 - 3એક્સ.

8. ત્રિકોણની એક બાજુ 5 સેમી છે, અને બીજી 8 સેમી છે જો ત્રિકોણની પરિમિતિ હોય તો ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કેટલી હોઈ શકે છે:

a) 22 સેમી કરતા ઓછી;

b) 17 સે.મી.થી વધુ?

એક ચલ સાથેની અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન.માટે ગ્રાફિક ઉકેલઅસમાનતા f (x) > g (x)કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર છે

y = f (x) = g (x)અને એબ્સીસા અક્ષના તે અંતરાલો પસંદ કરો કે જેના પર ફંક્શનનો ગ્રાફ છે y = f(x)ફંક્શન y = ના ગ્રાફની ઉપર સ્થિત છે g(x).

ઉદાહરણ 17.8.ગ્રાફિકલી અસમાનતા ઉકેલો x 2- 4 > 3એક્સ.

ઉકેલ.ચાલો એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવીએ

y = x 2 - 4 અને y = Zx (ફિગ. 17.5). આકૃતિ દર્શાવે છે કે કાર્યોનો આલેખ ખાતે= x 2- 4 એ ફંક્શન y = 3 ના ગ્રાફની ઉપર સ્થિત છે એક્સખાતે એક્સ< -1 અને x > 4, એટલે કે. મૂળ અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ એ સમૂહ છે

(- ¥; -1) È (4; + oo) .

જવાબ: x ઓ(- oo; -1) અને ( 4; + oo).

શેડ્યૂલ ચતુર્ભુજ કાર્ય ખાતે= ax 2 + bx + cજો શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશ કરે છે તો તે પેરાબોલા છે a > 0, અને નીચે જો એ< 0. આ કિસ્સામાં, ત્રણ કિસ્સાઓ શક્ય છે: પેરાબોલા અક્ષને છેદે છે ઓહ(એટલે ​​કે સમીકરણ આહ 2+ bx+ c = 0 બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે); પેરાબોલા અક્ષને સ્પર્શે છે એક્સ(એટલે ​​કે સમીકરણ ax 2 + bx+ c = 0 પાસે એક મૂળ છે); પેરાબોલા ધરીને છેદે નહીં ઓહ(એટલે ​​કે સમીકરણ આહ 2+ bx+ c = 0 ને કોઈ મૂળ નથી). આમ, પેરાબોલાની છ સંભવિત સ્થિતિઓ છે, જે ફંક્શન y = ના ગ્રાફ તરીકે સેવા આપે છે. આહ 2+b x + c(ફિગ. 17.6). આ ચિત્રોનો ઉપયોગ કરીને, તમે ચતુર્ભુજ અસમાનતાઓને હલ કરી શકો છો.

ઉદાહરણ 17.9.અસમાનતા ઉકેલો: a) 2 x જી+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

ઉકેલ, a) સમીકરણ 2x 2 + 5x -3 = 0 બે મૂળ ધરાવે છે: x, = -3, x 2 = 0.5. ફંક્શનના ગ્રાફ તરીકે સેવા આપતા પેરાબોલા ખાતે= 2x 2+ 5x -3, ફિગમાં બતાવેલ છે. એ.અસમાનતા 2x 2તે મૂલ્યો માટે + 5x -3 > 0 સંતુષ્ટ છે X,જેના માટે પેરાબોલાના બિંદુઓ ધરીની ઉપર આવેલા છે ઓહ:પર હશે એક્સ< х х અથવા ક્યારે એક્સ> x g>તે ખાતે એક્સ< -3 અથવા મુ x > 0.5. આનો અર્થ એ છે કે મૂળ અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ (- ¥; -3) અને (0.5; + ¥) નો સમૂહ છે.

b) સમીકરણ -Зх 2 + 2x- 6 = 0 પાસે કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. ફંક્શનના ગ્રાફ તરીકે સેવા આપતા પેરાબોલા ખાતે= - 3x 2 - 2x - 6, ફિગમાં બતાવેલ છે. 17.6 અસમાનતા -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X,જેના માટે પેરાબોલાના બિંદુઓ ધરીની નીચે આવેલા છે ઓહ.કારણ કે સમગ્ર પેરાબોલા ધરીની નીચે આવેલું છે ઓહ,પછી મૂળ અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ એ સમૂહ R છે .

મોડ્યુલ સાઇન હેઠળ વેરીએબલ ધરાવતી અસમાનતાઓ.આ અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે, તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે:

|f(x) | =

f(x), જો f(x) ³ 0,

- f(x), જો f(x) < 0,

તે જ સમયે, વિસ્તાર સ્વીકાર્ય મૂલ્યોઅસમાનતાઓને અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવી જોઈએ, જેમાંના દરેક પર મોડ્યુલસ ચિહ્ન હેઠળના અભિવ્યક્તિઓ તેમની નિશાની જાળવી રાખે છે. પછી, મોડ્યુલોને વિસ્તૃત કરીને (અભિવ્યક્તિઓના સંકેતોને ધ્યાનમાં લેતા), તમારે દરેક અંતરાલ પર અસમાનતાને હલ કરવાની જરૂર છે અને પરિણામી ઉકેલોને મૂળ અસમાનતાના ઉકેલોના સમૂહમાં જોડવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 17.10.અસમાનતા ઉકેલો:

|x -1| + |2- x| > 3+x.

ઉકેલ. બિંદુઓ x = 1 અને x = 2 વિભાજિત થાય છે સંખ્યા અક્ષ (ડીઝેડ અસમાનતા(17.9) ત્રણ અંતરાલોમાં: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. ચાલો નક્કી કરીએ આ અસમાનતાતેમાંના દરેક પર. જો એક્સ< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; તેથી |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. આનો અર્થ એ છે કે અસમાનતા (17.9) સ્વરૂપ લે છે: 1- x + 2 - x > 3 + x, એટલે કે. એક્સ< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

જો 1 £ x £.2 હોય, તો x - 1 ³ 0 અને 2 – x ³ 0; તેથી | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ ધરાવે છે:

x – 1 + 2 – x > 3 + x,

અસમાનતાની પરિણામી સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી, અંતરાલ પર [ 1; 2] અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ (17.9) ખાલી છે.

જો x > 2, તો x - 1 >0 અને 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 અથવા

ODZ અસમાનતા (17.9) ના તમામ ભાગો પર મળેલા ઉકેલોને જોડીને, અમે તેનો ઉકેલ મેળવીએ છીએ - સમૂહ (-¥; 0) È (6; +oo).

કેટલીકવાર તેનો ઉપયોગ કરવો ઉપયોગી છે ભૌમિતિક અર્થઘટનવાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ, જે મુજબ | a | એટલે મૂળ O, a | થી સંકલન રેખાના બિંદુ aનું અંતર a - b | એટલે સંકલન રેખા પર બિંદુઓ a અને b વચ્ચેનું અંતર. વૈકલ્પિક રીતે, તમે અસમાનતાની બંને બાજુઓને વર્ગીકરણ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

પ્રમેય 17.5. જો અભિવ્યક્તિઓ f(x) અને g(x)કોઈપણ x માટે માત્ર બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો લો, પછી અસમાનતાઓ f (x) > g (x)અને f (x) ² > g (x) ²સમકક્ષ છે.

58. મુખ્ય તારણો § 12

આ વિભાગમાં અમે નીચેની વ્યાખ્યા આપી છે ખ્યાલો:

સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ;

અર્થ સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ;

એક અભિવ્યક્તિ જેનો કોઈ અર્થ નથી;

ચલ(ઓ) સાથે અભિવ્યક્તિ;

અભિવ્યક્તિ વ્યાખ્યા અવકાશ;

સમાનરૂપે સમાન અભિવ્યક્તિઓ;

ઓળખ;

ઓળખ પરિવર્તનઅભિવ્યક્તિઓ

સંખ્યાત્મક સમાનતા;

સંખ્યાત્મક અસમાનતા;

એક ચલ સાથે સમીકરણ;

સમીકરણનું મૂળ;

સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે;

સમકક્ષ સમીકરણો;

એક ચલ સાથે અસમાનતા;

અસમાનતાઓનું નિરાકરણ;

અસમાનતાનો ઉકેલ લાવવાનો અર્થ શું છે;

સમાન અસમાનતાઓ.

વધુમાં, અમે સમીકરણો અને અસમાનતાઓની સમાનતા પર પ્રમેયની તપાસ કરી, જે તેમના ઉકેલ માટેનો આધાર છે.

સમીકરણો અને અસમાનતાઓની સમાનતા પર ઉપરોક્ત તમામ ખ્યાલો અને પ્રમેયની વ્યાખ્યાઓનું જ્ઞાન - જરૂરી સ્થિતિસાથે પદ્ધતિસરની રીતે સક્ષમ અભ્યાસ નાના શાળાના બાળકોબીજગણિત સામગ્રી.

પાઠ: "એક ચલ સાથે અસમાનતાઓને ઉકેલવી"

આઇટમ:બીજગણિત
વિષય:એક ચલ વડે અસમાનતાઓ ઉકેલવી

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક:

એક ચલ, સમકક્ષ અસમાનતા, અસમાનતા ઉકેલવા જેવી વિભાવનાઓને સમજવા, સમજવા અને શરૂઆતમાં એકીકૃત કરવા માટે વિદ્યાર્થીઓની પ્રવૃત્તિઓનું આયોજન કરો; આ પાઠમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિદ્યાર્થીઓની અગાઉના પાઠોમાં મેળવેલા જ્ઞાન અને કૌશલ્યોનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા તપાસો.

શૈક્ષણિક:

વ્યવહારમાં ICT ના ઉપયોગ દ્વારા ગણિતમાં રસ કેળવો; વિદ્યાર્થીઓની જ્ઞાનાત્મક જરૂરિયાતો કેળવવી; જવાબદારી, લક્ષ્યો હાંસલ કરવામાં દ્રઢતા, સ્વતંત્રતા જેવા વ્યક્તિગત ગુણો રચવા.

પાઠ પ્રગતિ

I. સંસ્થાકીય ક્ષણ

II. પરીક્ષા હોમવર્ક(મૂળભૂત જ્ઞાન અપડેટ કરવું)

1. સંકલન રેખાનો ઉપયોગ કરીને, અંતરાલોનું આંતરછેદ શોધો: a) (1;8) અને (5;10); b) (-4;4) અને [-6;6]; c) (5;+∞) અને [-∞;4]

જવાબ: a) (1;5); b) (-4;4); c) ત્યાં કોઈ આંતરછેદો નથી

2. આકૃતિમાં દર્શાવેલ અંતરાલો લખો:

2)

3)

જવાબ: 1) (2; 6); b) (-1;7]; c).

ઉદાહરણ3, અસમાનતા 3(x-1) ઉકેલો<-4+3х.

ચાલો અસમાનતાની ડાબી બાજુએ કૌંસ ખોલીએ: 3x-3<-4+3х.

ચાલો વિરોધી ચિહ્નો સાથે 3x શબ્દને જમણી બાજુથી ડાબી તરફ અને શબ્દ -3 ને ડાબી બાજુથી જમણી તરફ લઈ જઈએ અને સમાન શબ્દો આપીએ: 3x-3x<-4+3,

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, આ સંખ્યાત્મક અસમાનતા x ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાચી નથી. આનો અર્થ એ છે કે એક ચલ સાથેની આપણી અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી.

સિમ્યુલેટર

અસમાનતા ઉકેલો અને તેના ઉકેલને ચિહ્નિત કરો:

f) 7x-2.4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

i) 16x-44>x+1;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

જવાબ: a) (-8; +∞); b) [-1.5; +∞ ); c) (5; +∞); ડી) (-∞; 3); e) (-∞; -0.25); f) (-∞; 0.4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); જે) ; l) (2; +∞).

IV. તારણો

એક ચલમાં અસમાનતાનો ઉકેલ એ ચલનું મૂલ્ય છે જે તેને સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં ફેરવે છે. અસમાનતાને ઉકેલવાનો અર્થ છે તેના તમામ ઉકેલો શોધવા અથવા સાબિત કરવું કે કોઈ ઉકેલો નથી. સમાન ઉકેલો ધરાવતી અસમાનતાઓને સમકક્ષ કહેવાય છે. અસમાનતા કે જેનો કોઈ ઉકેલ નથી તે પણ સમકક્ષ ગણવામાં આવે છે. જો અસમાનતાની બંને બાજુઓ સમાન નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જ્યારે અસમાનતાના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલતા હોય છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં તે સમાન રહે છે.

વી. અંતિમ પરીક્ષણ

1) એક ચલમાં અસમાનતા ઉકેલવાને કહેવાય છે...

a) ચલનું મૂલ્ય, જે તેને સાચી અસમાનતામાં ફેરવે છે;

b) ચલનું મૂલ્ય, જે તેને સાચા આંકડામાં ફેરવે છે

અસમાનતા

c) એક ચલ જે તેને સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં ફેરવે છે.

2) કઈ સંખ્યાઓ અસમાનતા 8+5y>21+6yનો ઉકેલ છે:

a) 2 અને 5 b) -1 અને 8 c) -12 અને 1 d) -15 અને -30?

3) અસમાનતા 4(x+1)>20 ના ઉકેલોના સમૂહનો ઉલ્લેખ કરો:

a) (- ∞; 4); b) (4; +∞); વી))