તેઓ તેની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે. અને તેથી સંખ્યાનો લઘુગણક bપર આધારિત છે એઘાતાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેના પર સંખ્યા વધારવી આવશ્યક છે aનંબર મેળવવા માટે b(લોગરીધમ માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે જ અસ્તિત્વમાં છે).
આ ફોર્મ્યુલેશન પરથી તે ગણતરીને અનુસરે છે x=log a b, સમીકરણ ઉકેલવા માટે સમકક્ષ છે a x = b.ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 2 8 = 3કારણ કે 8 = 2 3 . લોગરીધમનું નિર્માણ તેને યોગ્ય ઠેરવવાનું શક્ય બનાવે છે જો b=a c, પછી સંખ્યાનો લઘુગણક bપર આધારિત છે aબરાબર સાથે. તે પણ સ્પષ્ટ છે કે લઘુગણકનો વિષય સંખ્યાની શક્તિઓના વિષય સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે.
લઘુગણક સાથે, કોઈપણ સંખ્યાની જેમ, તમે કરી શકો છો સરવાળો, બાદબાકીની કામગીરીઅને દરેક શક્ય રીતે પરિવર્તન કરો. પરંતુ એ હકીકતને કારણે કે લઘુગણક સંપૂર્ણપણે સામાન્ય સંખ્યાઓ નથી, તેમના પોતાના વિશેષ નિયમો અહીં લાગુ પડે છે, જેને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય ગુણધર્મો.
લઘુગણક ઉમેરવું અને બાદબાકી કરવી.
ચાલો સાથે બે લઘુગણક લઈએ સમાન આધારો પર: લોગ a xઅને લોગ a y. પછી ઉમેરા અને બાદબાકીની કામગીરી કરવી શક્ય છે:
લોગ a x+ લોગ a y = લોગ a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
લોગ એ(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = લોગ a x 1 + લોગ a x 2 + લોગ a x 3 + ... + લોગ a x k.
થી લઘુગણક ગુણાંક પ્રમેયલઘુગણકની વધુ એક મિલકત મેળવી શકાય છે. તે સામાન્ય જ્ઞાન છે કે લોગ a 1=0, તેથી
લોગ a 1 /b=લોગ a 1 - લોગ a b= -લોગ a b.
આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં સમાનતા છે:
log a 1 / b = - log a b.
બે પારસ્પરિક સંખ્યાઓના લઘુગણકઆ જ કારણસર માત્ર સાઇન દ્વારા એકબીજાથી અલગ હશે. તેથી:
લોગ 3 9= - લોગ 3 1 / 9 ; લોગ 5 1 / 125 = -લોગ 5 125.
લઘુગણક શું છે?
ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")
લઘુગણક શું છે? લોગરીધમ્સ કેવી રીતે ઉકેલવા? આ પ્રશ્નો ઘણા સ્નાતકોને મૂંઝવણમાં મૂકે છે. પરંપરાગત રીતે, લઘુગણકનો વિષય જટિલ, અગમ્ય અને ડરામણો માનવામાં આવે છે. ખાસ કરીને લઘુગણક સાથેના સમીકરણો.
આ બિલકુલ સાચું નથી. ચોક્કસ! મારા પર વિશ્વાસ નથી થતો? દંડ. હવે, માત્ર 10-20 મિનિટમાં તમે:
1. તમે સમજી શકશો લઘુગણક શું છે.
2. નક્કી કરવાનું શીખો આખો વર્ગ ઘાતાંકીય સમીકરણો. ભલે તમે તેમના વિશે કશું સાંભળ્યું ન હોય.
3. સરળ લઘુગણકની ગણતરી કરવાનું શીખો.
તદુપરાંત, આ માટે તમારે ફક્ત ગુણાકાર કોષ્ટક અને સંખ્યાને પાવરમાં કેવી રીતે વધારવી તે જાણવાની જરૂર પડશે...
મને લાગે છે કે તમને શંકા છે... સારું, ઠીક છે, સમય ચિહ્નિત કરો! ચાલો જઈએ!
પ્રથમ, તમારા માથામાં આ સમીકરણ ઉકેલો:
જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...
માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)
તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)
તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.
આજે આપણે તેના વિશે વાત કરીશું લઘુગણક સૂત્રોઅને અમે સૂચક આપીશું ઉકેલ ઉદાહરણો.
તેઓ પોતે લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો અનુસાર સોલ્યુશન પેટર્ન સૂચવે છે. હલ કરવા માટે લઘુગણક સૂત્રો લાગુ કરતાં પહેલાં, ચાલો તમને તમામ ગુણધર્મોની યાદ અપાવીએ:
હવે, આ સૂત્રો (ગુણધર્મો) ના આધારે, આપણે બતાવીશું લઘુગણક ઉકેલવાના ઉદાહરણો.
સૂત્રોના આધારે લઘુગણક ઉકેલવાના ઉદાહરણો.
લઘુગણક હકારાત્મક સંખ્યા b થી બેઝ a (લોગ a b દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે) એ ઘાતાંક છે કે જેના પર b મેળવવા માટે a ઉભું કરવું આવશ્યક છે, b > 0, a > 0, અને 1 સાથે.
વ્યાખ્યા મુજબ, લોગ a b = x, જે a x = b ની સમકક્ષ છે, તેથી લોગ a a x = x.
લઘુગણક, ઉદાહરણો:
લોગ 2 8 = 3, કારણ કે 2 3 = 8
લોગ 7 49 = 2, કારણ કે 7 2 = 49
લોગ 5 1/5 = -1, કારણ કે 5 -1 = 1/5
દશાંશ લઘુગણક- આ એક સામાન્ય લઘુગણક છે, જેનો આધાર 10 છે. તે lg તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.
લોગ 10 100 = 2, કારણ કે 10 2 = 100
કુદરતી લઘુગણક- સામાન્ય લઘુગણક લઘુગણક પણ, પરંતુ આધાર e સાથે (e = 2.71828... - અતાર્કિક સંખ્યા). ln તરીકે સૂચિત.
લોગરીધમ્સના સૂત્રો અથવા ગુણધર્મોને યાદ રાખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, કારણ કે લઘુગણક ઉકેલતી વખતે આપણને તેની જરૂર પડશે, લઘુગણક સમીકરણોઅને અસમાનતા. ચાલો દરેક ફોર્મ્યુલા પર ફરીથી ઉદાહરણો સાથે કામ કરીએ.
- મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- ઉત્પાદનનો લઘુગણક સરવાળો સમાનલઘુગણક
log a (bc) = log a b + log a cલોગ 3 8.1 + લોગ 3 10 = લોગ 3 (8.1*10) = લોગ 3 81 = 4
- ભાગલાકારનો લઘુગણક તફાવત સમાનલઘુગણક
log a (b/c) = log a b - log a c9 લોગ 5 50 /9 લોગ 5 2 = 9 લોગ 5 50- લોગ 5 2 = 9 લોગ 5 25 = 9 2 = 81
- લઘુગણક સંખ્યાની શક્તિ અને લઘુગણકના આધારના ગુણધર્મો
લઘુગણક સંખ્યાના ઘાતાંક લોગ a b m = mlog a b
લોગરીધમના આધારનો ઘાતાંક લોગ a n b =1/n*log a b
લોગ a n b m = m/n * લોગ a b,
જો m = n, તો આપણને log a n b n = log a b મળે છે
લોગ 4 9 = લોગ 2 2 3 2 = લોગ 2 3
- નવા પાયામાં સંક્રમણ
લોગ એ બી = લોગ સી બી/ લોગ સી એ,જો c = b, તો આપણને log b b = 1 મળે છે
પછી લોગ a b = 1/ log b a
લોગ 0.8 3*લોગ 3 1.25 = લોગ 0.8 3*લોગ 0.8 1.25/લોગ 0.8 3 = લોગ 0.8 1.25 = લોગ 4/5 5/4 = -1
જેમ તમે જોઈ શકો છો, લઘુગણક માટેના સૂત્રો લાગે છે એટલા જટિલ નથી. હવે, લઘુગણક ઉકેલવાના ઉદાહરણો જોઈને, આપણે લઘુગણક સમીકરણો તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ. અમે લેખમાં વધુ વિગતમાં લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો જોઈશું: "". તેને ચૂકશો નહીં!
જો તમને હજી પણ ઉકેલ વિશે પ્રશ્નો હોય, તો તેમને લેખની ટિપ્પણીઓમાં લખો.
નોંધ: અમે એક અલગ વર્ગનું શિક્ષણ મેળવવાનું અને એક વિકલ્પ તરીકે વિદેશમાં અભ્યાસ કરવાનું નક્કી કર્યું.
તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.
વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ
વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.
જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.
અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.
અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:
- જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઇમેઇલવગેરે
અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:
- અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
- સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
- અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
- જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત
અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.
અપવાદો:
- જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
- પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.
વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ
અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.
કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો
તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.
જેમ તમે જાણો છો, જ્યારે અભિવ્યક્તિઓને શક્તિઓ સાથે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઘાતાંક હંમેશા ઉમેરે છે (a b *a c = a b+c). આ ગાણિતિક કાયદોઆર્કિમિડીઝ દ્વારા લેવામાં આવ્યું હતું, અને પછીથી, 8મી સદીમાં, ગણિતશાસ્ત્રી વિરાસેને પૂર્ણાંક ઘાતાંકનું કોષ્ટક બનાવ્યું હતું. તે તેઓ હતા જેમણે લઘુગણકની વધુ શોધ માટે સેવા આપી હતી. આ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો લગભગ દરેક જગ્યાએ મળી શકે છે જ્યાં સરળ ઉમેરા દ્વારા બોજારૂપ ગુણાકારને સરળ બનાવવા જરૂરી છે. જો તમે આ લેખ વાંચવામાં 10 મિનિટ પસાર કરો છો, તો અમે તમને સમજાવીશું કે લઘુગણક શું છે અને તેમની સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરવું. સરળ અને સુલભ ભાષામાં.
ગણિતમાં વ્યાખ્યા
લઘુગણક એ નીચેના સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે: લોગ a b=c, એટલે કે, કોઈપણનું લઘુગણક બિન-નકારાત્મક સંખ્યા(એટલે કે, કોઈપણ હકારાત્મક) તેના આધાર "a" દ્વારા "b" એ "c" ની શક્તિ તરીકે ગણવામાં આવે છે કે જેના પર આધાર "a" ને આખરે "b" મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરવા માટે વધારવો આવશ્યક છે. ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણકનું વિશ્લેષણ કરીએ, ચાલો કહીએ કે એક અભિવ્યક્તિ લોગ છે 2 8. જવાબ કેવી રીતે શોધવો? તે ખૂબ જ સરળ છે, તમારે એવી શક્તિ શોધવાની જરૂર છે કે 2 થી જરૂરી શક્તિ સુધી તમને 8 મળે. તમારા માથામાં થોડી ગણતરીઓ કર્યા પછી, અમને 3 નંબર મળે છે! અને તે સાચું છે, કારણ કે 2 ની ઘાત 3 નો જવાબ 8 આપે છે.
લઘુગણકના પ્રકાર
ઘણા વિદ્યાર્થીઓ અને વિદ્યાર્થીઓ માટે, આ વિષય જટિલ અને અગમ્ય લાગે છે, પરંતુ હકીકતમાં લઘુગણક એટલા ડરામણા નથી, મુખ્ય વસ્તુ તેમના સામાન્ય અર્થને સમજવા અને તેમની મિલકતો અને કેટલાક નિયમોને યાદ રાખવાની છે. ત્રણ છે વ્યક્તિગત પ્રજાતિઓલઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ:
- કુદરતી લઘુગણક ln a, જ્યાં આધાર યુલર નંબર છે (e = 2.7).
- દશાંશ a, જ્યાં આધાર 10 છે.
- કોઈપણ સંખ્યા b નું લઘુગણક a>1 આધાર.
તેમાંથી દરેક નક્કી કરવામાં આવે છે પ્રમાણભૂત રીતે, જેમાં લઘુગણક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને એક લઘુગણકમાં સરળીકરણ, ઘટાડો અને અનુગામી ઘટાડોનો સમાવેશ થાય છે. લઘુગણકના સાચા મૂલ્યો મેળવવા માટે, તમારે તેમને હલ કરતી વખતે તેમના ગુણધર્મો અને ક્રિયાઓનો ક્રમ યાદ રાખવો જોઈએ.
નિયમો અને કેટલાક પ્રતિબંધો
ગણિતમાં, એવા કેટલાય નિયમો-અવરોધ છે જે સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓ ચર્ચાને પાત્ર નથી અને સત્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓને શૂન્યથી વિભાજિત કરવી અશક્ય છે, અને નકારાત્મક સંખ્યાઓના સમાન મૂળને કાઢવાનું પણ અશક્ય છે. લોગરીધમના પણ પોતાના નિયમો હોય છે, જેને અનુસરીને તમે લાંબા અને કેપેસિયસ લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ સાથે પણ સરળતાથી કામ કરવાનું શીખી શકો છો:
- આધાર "a" હંમેશા હોવો જોઈએ શૂન્ય કરતાં વધુ, અને તે જ સમયે 1 ની બરાબર નથી, અન્યથા અભિવ્યક્તિ તેનો અર્થ ગુમાવશે, કારણ કે "1" અને "0" કોઈપણ ડિગ્રી માટે હંમેશા તેમના મૂલ્યો સમાન હોય છે;
- જો a > 0, પછી a b > 0, તો તે તારણ આપે છે કે "c" પણ શૂન્ય કરતા મોટો હોવો જોઈએ.
લોગરીધમ્સ કેવી રીતે ઉકેલવા?
ઉદાહરણ તરીકે, 10 x = 100 ના સમીકરણનો જવાબ શોધવા માટે કાર્ય આપવામાં આવ્યું છે. આ ખૂબ જ સરળ છે, તમારે સંખ્યા દસ વધારીને એક ઘાત પસંદ કરવાની જરૂર છે જેના પર આપણને 100 મળે છે. આ, અલબત્ત, 10 2 = છે. 100.
હવે કલ્પના કરીએ આ અભિવ્યક્તિલઘુગણક સ્વરૂપમાં. અમને લોગ 10 100 = 2 મળે છે. લઘુગણક ઉકેલતી વખતે, આપેલ સંખ્યા મેળવવા માટે લોગરીધમના આધારમાં પ્રવેશ કરવો જરૂરી છે તે શક્તિ શોધવા માટે બધી ક્રિયાઓ વ્યવહારીક રીતે એકીકૃત થાય છે.
અજ્ઞાત ડિગ્રીના મૂલ્યને ચોક્કસપણે નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે ડિગ્રીના કોષ્ટક સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરવું તે શીખવાની જરૂર છે. તે આના જેવું દેખાય છે:
જેમ તમે જોઈ શકો છો, જો તમારી પાસે ટેક્નિકલ મન અને ગુણાકાર કોષ્ટકનું જ્ઞાન હોય તો કેટલાક ઘાતાંકનો સાહજિક રીતે અનુમાન લગાવી શકાય છે. જોકે માટે મોટા મૂલ્યોતમારે ડિગ્રીના ટેબલની જરૂર પડશે. તેનો ઉપયોગ એવા લોકો દ્વારા પણ થઈ શકે છે જેઓ જટિલ વિશે બિલકુલ જાણતા નથી ગાણિતિક વિષયો. ડાબી સ્તંભમાં સંખ્યાઓ (આધાર a) હોય છે, સંખ્યાઓની ટોચની પંક્તિ એ પાવર cનું મૂલ્ય છે કે જેના પર સંખ્યા a વધે છે. આંતરછેદ પર, કોષોમાં સંખ્યાના મૂલ્યો હોય છે જે જવાબ છે (a c =b). ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, 10 નંબર સાથેનો પહેલો કોષ લઈએ અને તેનો વર્ગ કરીએ, આપણને 100 મૂલ્ય મળે છે, જે આપણા બે કોષોના આંતરછેદ પર દર્શાવેલ છે. બધું એટલું સરળ અને સરળ છે કે સૌથી સાચો માનવતાવાદી પણ સમજી જશે!
સમીકરણો અને અસમાનતાઓ
તે તારણ આપે છે કે અમુક શરતો હેઠળ ઘાતાંક લઘુગણક છે. તેથી, કોઈપણ ગાણિતિક સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓલઘુગણક સમીકરણ તરીકે લખી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, 3 4 =81 ને 81 બરાબર ચાર (લોગ 3 81 = 4) ના આધાર 3 લઘુગણક તરીકે લખી શકાય. માટે નકારાત્મક શક્તિઓનિયમો સમાન છે: 2 -5 = 1/32 આપણે તેને લઘુગણક તરીકે લખીએ છીએ, આપણને લોગ 2 (1/32) = -5 મળે છે. ગણિતના સૌથી આકર્ષક વિભાગોમાંનો એક "લોગરીધમ્સ" નો વિષય છે. અમે સમીકરણોના ગુણધર્મનો અભ્યાસ કર્યા પછી તરત જ તેના ઉદાહરણો અને ઉકેલો નીચે જોઈશું. હવે ચાલો જોઈએ કે અસમાનતાઓ કેવી દેખાય છે અને તેમને સમીકરણોથી કેવી રીતે અલગ પાડવી.
નીચેના ફોર્મની અભિવ્યક્તિ આપેલ છે: લોગ 2 (x-1) > 3 - તે છે લઘુગણક અસમાનતા, કારણ કે અજ્ઞાત મૂલ્ય "x" લઘુગણકની નિશાની હેઠળ છે. અને અભિવ્યક્તિમાં પણ બે જથ્થાઓની તુલના કરવામાં આવે છે: બેઝ બે માટે ઇચ્છિત સંખ્યાનો લઘુગણક નંબર ત્રણ કરતા વધારે છે.
લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓ વચ્ચેનો સૌથી મહત્વનો તફાવત એ છે કે લઘુગણક સાથેના સમીકરણો (ઉદાહરણ - લઘુગણક 2 x = √9) એક અથવા વધુ ચોક્કસ જવાબો સૂચવે છે સંખ્યાત્મક મૂલ્યો, જ્યારે અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે પ્રદેશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યો, અને આ ફંક્શનના બ્રેકપોઇન્ટ્સ. પરિણામે, જવાબ એ સમીકરણના જવાબની જેમ વ્યક્તિગત સંખ્યાઓનો સરળ સમૂહ નથી, પરંતુ સતત શ્રેણી અથવા સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.
લઘુગણક વિશે મૂળભૂત પ્રમેય
લઘુગણકના મૂલ્યો શોધવાના આદિમ કાર્યોને હલ કરતી વખતે, તેના ગુણધર્મો જાણી શકાતા નથી. જો કે, જ્યારે લઘુગણક સમીકરણો અથવા અસમાનતાઓની વાત આવે છે, ત્યારે સૌ પ્રથમ, લઘુગણકના તમામ મૂળભૂત ગુણધર્મોને સ્પષ્ટપણે સમજવું અને વ્યવહારમાં લાગુ કરવું જરૂરી છે. અમે સમીકરણોના ઉદાહરણો પછીથી જોઈશું, ચાલો પહેલા દરેક મિલકતને વધુ વિગતવાર જોઈએ.
- મુખ્ય ઓળખ આના જેવી દેખાય છે: a logaB =B. તે ત્યારે જ લાગુ થાય છે જ્યારે a 0 કરતા વધારે હોય, એકની બરાબર ન હોય અને B શૂન્ય કરતા વધારે હોય.
- ઉત્પાદનના લઘુગણકને માં રજૂ કરી શકાય છે નીચેનું સૂત્ર: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. આ કિસ્સામાં, ફરજિયાત શરત છે: d, s 1 અને s 2 > 0; a≠1. તમે ઉદાહરણો અને ઉકેલ સાથે આ લઘુગણક સૂત્ર માટે સાબિતી આપી શકો છો. ચાલો a s 1 = f 1 લોગ કરીએ અને a s 2 = f 2 લોગ કરીએ, પછી a f1 = s 1, a f2 = s 2. આપણે મેળવીએ છીએ કે s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ની ગુણધર્મો ડિગ્રી ), અને પછી વ્યાખ્યા દ્વારા: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
- ભાગનો લઘુગણક આના જેવો દેખાય છે: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- સૂત્રના સ્વરૂપમાં પ્રમેય નીચેનું સ્વરૂપ લે છે: log a q b n = n/q log a b.
આ સૂત્રને "લોગરિધમની ડિગ્રીની મિલકત" કહેવામાં આવે છે. તે સામાન્ય ડિગ્રીના ગુણધર્મો જેવું લાગે છે, અને તે આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે તમામ ગણિત કુદરતી ધારણાઓ પર આધારિત છે. ચાલો પુરાવા જોઈએ.
ચાલો a b = t લોગ કરીએ, તે t = b બહાર આવે છે. જો આપણે બંને ભાગોને પાવર m પર વધારીએ: a tn = b n ;
પરંતુ ત્યારથી a tn = (a q) nt/q = b n, તેથી a q b n = (n*t)/t લોગ કરો, પછી a q b n = n/q લોગ a b લોગ કરો. પ્રમેય સાબિત થયો છે.
સમસ્યાઓ અને અસમાનતાના ઉદાહરણો
લઘુગણક પરની સમસ્યાઓના સૌથી સામાન્ય પ્રકારો સમીકરણો અને અસમાનતાના ઉદાહરણો છે. તેઓ લગભગ તમામ સમસ્યા પુસ્તકોમાં જોવા મળે છે, અને તેમાં પણ સામેલ છે ફરજિયાત ભાગગણિતની પરીક્ષાઓ. યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશ અથવા પાસ થવા માટે પ્રવેશ પરીક્ષાઓગણિતમાં તમારે આવી સમસ્યાઓને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે હલ કરવી તે જાણવાની જરૂર છે.
કમનસીબે, લઘુગણકના અજ્ઞાત મૂલ્યને ઉકેલવા અને નિર્ધારિત કરવા માટે કોઈ એક યોજના અથવા યોજના નથી, પરંતુ દરેક માટે ગાણિતિક અસમાનતાઅથવા લઘુગણક સમીકરણ લાગુ કરી શકાય છે ચોક્કસ નિયમો. સૌ પ્રથમ, તમારે શોધવું જોઈએ કે શું અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી શકાય છે અથવા દોરી શકે છે સામાન્ય દેખાવ. જો તમે તેમના ગુણધર્મનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો છો તો તમે લાંબા લઘુગણક સમીકરણોને સરળ બનાવી શકો છો. ચાલો તેમને ઝડપથી જાણીએ.
લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, આપણે નક્કી કરવું જોઈએ કે આપણી પાસે કયા પ્રકારનું લઘુગણક છે: ઉદાહરણની અભિવ્યક્તિમાં કુદરતી લઘુગણક અથવા દશાંશ હોઈ શકે છે.
અહીં ln100, ln1026 ઉદાહરણો છે. તેમનું સોલ્યુશન એ હકીકત પર ઉકળે છે કે તેમને તે શક્તિ નક્કી કરવાની જરૂર છે કે જેના પર આધાર 10 અનુક્રમે 100 અને 1026 ની બરાબર હશે. ઉકેલો માટે કુદરતી લઘુગણકઅરજી કરવાની જરૂર છે લઘુગણક ઓળખઅથવા તેમની મિલકતો. ચાલો ઉદાહરણો સાથે ઉકેલ જોઈએ લઘુગણક સમસ્યાઓવિવિધ પ્રકારો.
લોગરીધમ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો: ઉદાહરણો અને ઉકેલો સાથે
તેથી, ચાલો લઘુગણક વિશેના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો જોઈએ.
- ઉત્પાદનના લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ એવા કાર્યોમાં થઈ શકે છે જ્યાં તેને વિસ્તૃત કરવું જરૂરી છે મહાન મૂલ્યસંખ્યાઓ b સરળ પરિબળોમાં. ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 2 4 + લોગ 2 128 = લોગ 2 (4*128) = લોગ 2 512. જવાબ 9 છે.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - જેમ તમે જોઈ શકો છો, લઘુગણક શક્તિના ચોથા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમે એક જટિલ અને વણઉકેલાયેલી અભિવ્યક્તિને ઉકેલવામાં વ્યવસ્થાપિત છીએ. તમારે ફક્ત આધારને પરિબળ કરવાની જરૂર છે અને પછી ઘાતાંકના મૂલ્યોને લઘુગણકની નિશાનીમાંથી બહાર કાઢો.
યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી સોંપણીઓ
લોગરીધમ ઘણી વખત માં જોવા મળે છે પ્રવેશ પરીક્ષાઓ, ખાસ કરીને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં ઘણી બધી લઘુગણક સમસ્યાઓ ( રાજ્ય પરીક્ષાતમામ શાળા છોડનારાઓ માટે). સામાન્ય રીતે આ કાર્યો માત્ર ભાગ A (સૌથી સરળ પરીક્ષણ ભાગપરીક્ષા), પણ ભાગ સીમાં (સૌથી જટિલ અને વિશાળ કાર્યો). પરીક્ષા માટે ચોક્કસ અને જરૂરી છે સંપૂર્ણ જ્ઞાનવિષયો "કુદરતી લઘુગણક".
અધિકારીઓ પાસેથી ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓના ઉકેલો લેવામાં આવે છે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા વિકલ્પો. ચાલો જોઈએ કે આવા કાર્યો કેવી રીતે હલ થાય છે.
આપેલ લોગ 2 (2x-1) = 4. ઉકેલ:
ચાલો અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખીએ, તેને થોડો લોગ 2 (2x-1) = 2 2 સરળ બનાવીએ, લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા આપણને મળે છે કે 2x-1 = 2 4, તેથી 2x = 17; x = 8.5.
- બધા લોગરીધમ્સને સમાન આધાર પર ઘટાડવાનું શ્રેષ્ઠ છે જેથી ઉકેલ બોજારૂપ અને ગૂંચવણભર્યો ન હોય.
- લઘુગણક ચિન્હ હેઠળના તમામ અભિવ્યક્તિઓ સકારાત્મક તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તેથી, જ્યારે લઘુગણક ચિન્હ હેઠળ હોય તેવા અભિવ્યક્તિના ઘાતાંક અને તેનો આધાર ગુણક તરીકે લેવામાં આવે છે, ત્યારે લઘુગણક હેઠળ બાકી રહેલી અભિવ્યક્તિ હકારાત્મક હોવી જોઈએ.
