તર્કસંગત સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા. વિડિઓ પાઠ “તર્કસંગત સમીકરણો

આ લેખમાં હું તમને બતાવીશ સાત પ્રકારના તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટેના ગાણિતીક નિયમો, જે ચલોને બદલીને ઘટાડી શકાય છે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, પરિવર્તન તરફ દોરી જતા પરિવર્તનો ખૂબ જ બિન-તુચ્છ હોય છે, અને તમારા પોતાના પર તેમના વિશે અનુમાન લગાવવું ખૂબ મુશ્કેલ છે.

દરેક પ્રકારના સમીકરણ માટે, હું તેમાં ચલમાં ફેરફાર કેવી રીતે કરવો તે સમજાવીશ, અને પછી સંબંધિત વિડીયો ટ્યુટોરીયલમાં વિગતવાર ઉકેલ બતાવીશ.

તમારી પાસે સમીકરણો જાતે ઉકેલવાનું ચાલુ રાખવાની તક છે, અને પછી વિડિઓ પાઠ સાથે તમારા ઉકેલને તપાસો.

તો ચાલો શરુ કરીએ.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

નોંધ કરો કે સમીકરણની ડાબી બાજુએ ચાર કૌંસનું ઉત્પાદન છે, અને જમણી બાજુએ એક સંખ્યા છે.

1. ચાલો કૌંસને બે દ્વારા જૂથબદ્ધ કરીએ જેથી મુક્ત પદોનો સરવાળો સમાન હોય.

2. તેમને ગુણાકાર કરો.

3. ચાલો ચલનો ફેરફાર રજૂ કરીએ.

અમારા સમીકરણમાં, આપણે પ્રથમ કૌંસને ત્રીજા સાથે અને બીજાને ચોથા સાથે જૂથબદ્ધ કરીશું, કારણ કે (-1)+(-4)=(-7)+2:

આ બિંદુએ ચલ રિપ્લેસમેન્ટ સ્પષ્ટ બને છે:

અમને સમીકરણ મળે છે

જવાબ:

2 .

આ પ્રકારનું સમીકરણ એક તફાવત સાથે પાછલા સમીકરણ જેવું જ છે: સમીકરણની જમણી બાજુએ સંખ્યાનું ઉત્પાદન છે અને . અને તે સંપૂર્ણપણે અલગ રીતે હલ થાય છે:

1. અમે કૌંસને બે દ્વારા જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ જેથી મફત શરતોનું ઉત્પાદન સમાન હોય.

2. કૌંસની દરેક જોડીને ગુણાકાર કરો.

3. આપણે દરેક અવયવમાંથી x લઈએ છીએ.

4. દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરો.

5. અમે ચલનો ફેરફાર રજૂ કરીએ છીએ.

આ સમીકરણમાં, અમે પ્રથમ કૌંસને ચોથા સાથે અને બીજાને ત્રીજા સાથે જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ, કારણ કે:

નોંધ કરો કે દરેક કૌંસમાં અને માટે ગુણાંક મફત સભ્યસમાન ચાલો દરેક કૌંસમાંથી એક પરિબળ લઈએ:

કારણ કે x=0 એ રુટ નથી મૂળ સમીકરણ, સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે વિભાજીત કરો. અમને મળે છે:

અમને સમીકરણ મળે છે:

જવાબ:

3 .

નોંધ કરો કે બંને અપૂર્ણાંકના છેદ છે ચોરસ ત્રિપદી, જેના માટે અગ્રણી ગુણાંક અને મુક્ત શબ્દ સમાન છે. ચાલો બીજા પ્રકારના સમીકરણની જેમ x ને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ. અમને મળે છે:

દરેક અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને x દ્વારા વિભાજીત કરો:

હવે આપણે ચલ રિપ્લેસમેન્ટ રજૂ કરી શકીએ છીએ:

અમે ચલ t માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

4 .

નોંધ કરો કે સમીકરણના ગુણાંક કેન્દ્રિય એકના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. આ સમીકરણ કહેવાય છે પરત કરી શકાય તેવું .

તેને ઉકેલવા માટે,

1. સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે વિભાજીત કરો (આપણે આ કરી શકીએ છીએ કારણ કે x=0 એ સમીકરણનું મૂળ નથી.) આપણને મળે છે:

2. ચાલો શરતોને આ રીતે જૂથબદ્ધ કરીએ:

3. દરેક જૂથમાં, ચાલો સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ:

4. ચાલો બદલીને રજૂ કરીએ:

5. ટી દ્વારા અભિવ્યક્તિ વ્યક્ત કરો:

અહીંથી

અમને t માટે સમીકરણ મળે છે:

જવાબ:

5. સજાતીય સમીકરણો.

ઘાતાંકીય, લઘુગણક અને ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો, તેથી તમારે તેને ઓળખવામાં સમર્થ હોવું જરૂરી છે.

સજાતીય સમીકરણો નીચેની રચના ધરાવે છે:

આ સમાનતામાં, A, B અને C સંખ્યાઓ છે અને ચોરસ અને વર્તુળ સમાન સમીકરણો દર્શાવે છે. એટલે કે, સજાતીય સમીકરણની ડાબી બાજુએ મોનોમિયલનો સરવાળો છે સમાન ડિગ્રી(વી આ કિસ્સામાંમોનોમિયલ્સની ડિગ્રી 2 છે), અને ત્યાં કોઈ મફત શબ્દ નથી.

નક્કી કરવા માટે સજાતીય સમીકરણ, બંને બાજુઓ દ્વારા વિભાજીત કરો

ધ્યાન આપો! જ્યારે સમીકરણની જમણી અને ડાબી બાજુઓને અજ્ઞાત ધરાવતી અભિવ્યક્તિ દ્વારા વિભાજીત કરો, ત્યારે તમે મૂળ ગુમાવી શકો છો. તેથી, એ તપાસવું જરૂરી છે કે સમીકરણની બંને બાજુએ આપણે જે અભિવ્યક્તિ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ તે મૂળ સમીકરણના મૂળ છે કે કેમ.

ચાલો પહેલા રસ્તે જઈએ. અમને સમીકરણ મળે છે:

હવે અમે વેરીએબલ રિપ્લેસમેન્ટ રજૂ કરીએ છીએ:

ચાલો અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ અને મેળવીએ દ્વિપક્ષીય સમીકરણટી સંબંધિત:

જવાબ:અથવા

7 .

આ સમીકરણની નીચેની રચના છે:

તેને ઉકેલવા માટે, તમારે સમીકરણની ડાબી બાજુએ એક સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની જરૂર છે.

સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવા માટે, તમારે ઉત્પાદનમાં બે વાર ઉમેરવા અથવા બાદબાકી કરવાની જરૂર છે. પછી આપણને સરવાળો અથવા તફાવતનો વર્ગ મળે છે. સફળ ચલ રિપ્લેસમેન્ટ માટે આ મહત્વપૂર્ણ છે.

ચાલો બમણું ઉત્પાદન શોધીને શરૂ કરીએ. આ વેરીએબલને બદલવાની ચાવી હશે. અમારા સમીકરણમાં, બમણું ઉત્પાદન બરાબર છે

હવે ચાલો જોઈએ કે આપણા માટે વધુ અનુકૂળ શું છે - સરવાળાનો વર્ગ અથવા તફાવત. ચાલો પહેલા અભિવ્યક્તિઓના સરવાળાને ધ્યાનમાં લઈએ:

સરસ! આ અભિવ્યક્તિ ઉત્પાદનના બમણા બરાબર છે. પછી, કૌંસમાં સરવાળોનો વર્ગ મેળવવા માટે, તમારે ડબલ ઉત્પાદન ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાની જરૂર છે:

વિષય પર પ્રસ્તુતિ અને પાઠ: "તર્કસંગત સમીકરણો. અલ્ગોરિધમ અને તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 8 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં શૈક્ષણિક સહાય અને સિમ્યુલેટર
મકરીચેવ યુ.એન. દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક માટે મેન્યુઅલ. મોર્ડકોવિચ એ.જી. દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક માટેની માર્ગદર્શિકા.

અતાર્કિક સમીકરણોનો પરિચય

$r(x)$ થવા દો તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ. આવી અભિવ્યક્તિ ચલ $x$ અથવા બહુપદીના ગુણોત્તરમાં એક સરળ બહુપદી હોઈ શકે છે (એક વિભાજન ક્રિયા રજૂ કરવામાં આવી છે, જેમ કે તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે).
સમીકરણ $r(x)=0$ કહેવાય છે તર્કસંગત સમીકરણ.
$p(x)=q(x)$ ફોર્મનું કોઈપણ સમીકરણ, જ્યાં $p(x)$ અને $q(x)$ એ તર્કસંગત સમીકરણો છે, તે પણ હશે તર્કસંગત સમીકરણ.

ચાલો તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉકેલ.
ચાલો બધા સમીકરણો પર ખસેડીએ ડાબી બાજુ: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
જો સમીકરણની ડાબી બાજુ રજૂ કરવામાં આવી હતી સામાન્ય સંખ્યાઓ, તો આપણે એક સામાન્ય છેદમાં બે અપૂર્ણાંક લાવીએ.
ચાલો આ કરીએ: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))(x-3)*x)$.
અમને સમીકરણ મળ્યું: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

અપૂર્ણાંક શૂન્ય બરાબર છે જો અને માત્ર જો અપૂર્ણાંકનો અંશ હોય શૂન્ય બરાબર, અને છેદ શૂન્યથી અલગ છે. પછી આપણે અલગથી અંશને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ અને અંશના મૂળ શોધીએ.
$3(x^2+2x-3)=0$ અથવા $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
હવે ચાલો અપૂર્ણાંકના છેદને તપાસીએ: $(x-3)*x≠0$.
જ્યારે આ સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે બે સંખ્યાઓનો ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય છે. પછી: $x≠0$ અથવા $x-3≠0$.
$x≠0$ અથવા $x≠3$.
અંશ અને છેદમાં મેળવેલ મૂળ એકરૂપ થતા નથી. તો આપણે જવાબમાં અંશના બંને મૂળ લખીએ.
જવાબ: $x=1$ અથવા $x=-3$.

જો અચાનક અંશના મૂળમાંથી એક છેદના મૂળ સાથે એકરુપ થાય, તો તેને બાકાત રાખવું જોઈએ. આવા મૂળને બાહ્ય કહેવાય છે!

તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:

ઉદાહરણ 2.
સમીકરણ ઉકેલો: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

ઉકેલ.
ચાલો એલ્ગોરિધમના પોઈન્ટ મુજબ હલ કરીએ.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. અંશને શૂન્ય સાથે સમાન કરો: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. છેદને શૂન્ય સાથે સમાન કરો:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ અને $x=-1$.
મૂળમાંથી એક $x=1$ અંશના મૂળ સાથે મેળ ખાય છે, પછી આપણે તેને જવાબમાં લખતા નથી.
જવાબ: $x=-1$.

ચલોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તર્કસંગત સમીકરણોને ઉકેલવા માટે તે અનુકૂળ છે. ચાલો આનું નિદર્શન કરીએ.

ઉદાહરણ 3.
સમીકરણ ઉકેલો: $x^4+12x^2-64=0$.

ઉકેલ.
ચાલો બદલીને રજૂ કરીએ: $t=x^2$.
પછી આપણું સમીકરણ ફોર્મ લેશે:
$t^2+12t-64=0$ - સામાન્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણ.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
ચાલો વિપરીત અવેજીને રજૂ કરીએ: $x^2=4$ અથવા $x^2=-16$.
પ્રથમ સમીકરણના મૂળ એ સંખ્યાઓની જોડી છે $x=±2$. બીજી વાત એ છે કે તેના કોઈ મૂળ નથી.
જવાબ: $x=±2$.

ઉદાહરણ 4.
સમીકરણ ઉકેલો: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
ઉકેલ.
ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ: $t=x^2+x+1$.
પછી સમીકરણ ફોર્મ લેશે: $t=\frac(15)(t+2)$.
આગળ આપણે એલ્ગોરિધમ પ્રમાણે આગળ વધીશું.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - મૂળ એકરૂપ થતા નથી.
ચાલો એક વિપરીત અવેજીની રજૂઆત કરીએ.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
ચાલો દરેક સમીકરણને અલગથી હલ કરીએ:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ના મૂળ
અને બીજું સમીકરણ: $x^2+x-2=0$.
મૂળ આપેલ સમીકરણ$x=-2$ અને $x=1$ નંબરો હશે.
જવાબ: $x=-2$ અને $x=1$.

ઉદાહરણ 5.
સમીકરણ ઉકેલો: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

ઉકેલ.
ચાલો બદલીને રજૂ કરીએ: $t=x+\frac(1)(x)$.
પછી:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ અથવા $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
અમને સમીકરણ મળ્યું: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
આ સમીકરણના મૂળ જોડી છે:
$t=-3$ અને $t=2$.
ચાલો વિપરીત અવેજીની રજૂઆત કરીએ:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
અમે અલગથી નક્કી કરીશું.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
ચાલો બીજું સમીકરણ હલ કરીએ:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
આ સમીકરણનું મૂળ નંબર $x=1$ છે.
જવાબ: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે આપણે પહેલેથી જ શીખ્યા છીએ. હવે ચાલો અભ્યાસ કરેલ પદ્ધતિઓને તર્કસંગત સમીકરણો સુધી વિસ્તારીએ.

તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ શું છે? અમે પહેલેથી જ આ ખ્યાલનો સામનો કર્યો છે. તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓસંખ્યાઓ, ચલો, તેમની શક્તિઓ અને ગાણિતિક ક્રિયાઓના પ્રતીકોથી બનેલી અભિવ્યક્તિ છે.

તદનુસાર, તર્કસંગત સમીકરણો એ સ્વરૂપના સમીકરણો છે: , જ્યાં - તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓ.

અગાઉ, અમે ફક્ત તે જ તર્કસંગત સમીકરણો ધ્યાનમાં લેતા હતા જે રેખીય સમીકરણોમાં ઘટાડી શકાય છે. હવે ચાલો તે તર્કસંગત સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેને ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ 1

સમીકરણ ઉકેલો: .

ઉકેલ:

અપૂર્ણાંક 0 ની બરાબર છે જો અને માત્ર જો તેનો અંશ 0 ના બરાબર હોય અને તેનો છેદ 0 ના બરાબર હોય.

અમને નીચેની સિસ્ટમ મળે છે:

સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. તેને ઉકેલતા પહેલા, ચાલો તેના તમામ ગુણાંકને 3 વડે વિભાજીત કરીએ. આપણને મળે છે:

આપણને બે મૂળ મળે છે: ; .

કારણ કે 2 ક્યારેય 0 ની બરાબર નથી, બે શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે: . કારણ કે ઉપરોક્ત મેળવેલ સમીકરણના કોઈપણ મૂળ સાથે મેળ ખાતા નથી અમાન્ય મૂલ્યોચલ કે જે બીજી અસમાનતાને હલ કરીને મેળવવામાં આવ્યા હતા, તે બંને આ સમીકરણના ઉકેલો છે.

જવાબ:.

તેથી, ચાલો તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક અલ્ગોરિધમ ઘડીએ:

1. બધી શરતોને ડાબી બાજુએ ખસેડો જેથી જમણી બાજુ 0 સાથે સમાપ્ત થાય.

2. ડાબી બાજુ રૂપાંતરિત કરો અને સરળ બનાવો, બધા અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવો.

3. પરિણામી અપૂર્ણાંકને 0, દ્વારા સમાન કરો નીચેના અલ્ગોરિધમનો: .

4. પ્રથમ સમીકરણમાં મેળવેલા મૂળને લખો અને જવાબમાં બીજી અસમાનતાને સંતોષે છે.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 2

સમીકરણ ઉકેલો: .

ઉકેલ

ખૂબ જ શરૂઆતમાં, અમે બધી શરતોને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ છીએ જેથી કરીને 0 જમણી બાજુએ રહે.

ચાલો હવે સમીકરણની ડાબી બાજુને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ:

આ સમીકરણ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે:

સિસ્ટમનું પ્રથમ સમીકરણ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે.

આ સમીકરણના ગુણાંક: . અમે ભેદભાવની ગણતરી કરીએ છીએ:

આપણને બે મૂળ મળે છે: ; .

હવે ચાલો બીજી અસમાનતા ઉકેલીએ: અવયવોનું ઉત્પાદન 0 ની બરાબર નથી અને જો કોઈ પણ પરિબળ 0 ની બરાબર ન હોય તો જ.

બે શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે: . અમને લાગે છે કે પ્રથમ સમીકરણના બે મૂળમાંથી માત્ર એક જ યોગ્ય છે - 3.

જવાબ:.

આ પાઠમાં, અમે યાદ કર્યું કે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ શું છે, અને તર્કસંગત સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે પણ શીખ્યા, જે ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં ઘટે છે.

આગળના પાઠમાં આપણે તર્કસંગત સમીકરણોને મોડેલ તરીકે જોઈશું વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓ, અને ચળવળના કાર્યોને પણ ધ્યાનમાં લો.

સંદર્ભો

1. બશ્માકોવ એમ.આઈ. બીજગણિત, 8 મા ધોરણ. - એમ.: શિક્ષણ, 2004.
2. ડોરોફીવ જી.વી., સુવોરોવા એસ.બી., બુનિમોવિચ ઇ.એ. અને અન્ય બીજગણિત, 8. 5મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2010.
3. નિકોલ્સ્કી એસ.એમ., પોટાપોવ એમ.એ., રેશેટનિકોવ એન.એન., શેવકિન એ.વી. બીજગણિત, 8 મા ધોરણ. માટે ટ્યુટોરીયલ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ. - એમ.: શિક્ષણ, 2006.

1. ઉત્સવ શિક્ષણશાસ્ત્રના વિચારો "ખુલ્લો પાઠ" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

હોમવર્ક

ઓછામાં ઓછું સામાન્ય છેદઆ સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે વપરાય છે.જ્યારે તમે આપેલ સમીકરણ એક સાથે લખી શકતા નથી ત્યારે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે તર્કસંગત અભિવ્યક્તિસમીકરણની દરેક બાજુ પર (અને ગુણાકારની ક્રિસક્રોસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો). આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ જ્યારે તમને 3 અથવા વધુ અપૂર્ણાંક સાથે તર્કસંગત સમીકરણ આપવામાં આવે છે (બે અપૂર્ણાંકના કિસ્સામાં, ક્રિસ-ક્રોસ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે).

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક:

• અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોની વિભાવનાની રચના;
• અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને હલ કરવાની વિવિધ રીતો ધ્યાનમાં લો;
• અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરો, જેમાં અપૂર્ણાંક શૂન્ય સમાન હોય તેવી સ્થિતિ સહિત;
• અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને હલ કરવાનું શીખવો;
• પરીક્ષણ હાથ ધરીને વિષયની નિપુણતાનું સ્તર તપાસવું.

વિકાસલક્ષી:

• હસ્તગત જ્ઞાન સાથે યોગ્ય રીતે કાર્ય કરવાની અને તાર્કિક રીતે વિચારવાની ક્ષમતા વિકસાવવી;
• બૌદ્ધિક કૌશલ્યોનો વિકાસ અને માનસિક કામગીરી- વિશ્લેષણ, સંશ્લેષણ, સરખામણી અને સંશ્લેષણ;
• પહેલનો વિકાસ, નિર્ણયો લેવાની ક્ષમતા અને ત્યાં અટકવું નહીં;
• વિકાસ આલોચનાત્મક વિચારસરણી;
• સંશોધન કુશળતાનો વિકાસ.

શિક્ષણ:

• ઉછેર જ્ઞાનાત્મક રસવિષય માટે;
• નિર્ણય લેવામાં સ્વતંત્રતાને પ્રોત્સાહન આપવું શૈક્ષણિક કાર્યો;
• અંતિમ પરિણામો હાંસલ કરવા માટે ઇચ્છા અને ખંતને પોષવું.

પાઠનો પ્રકાર: પાઠ - નવી સામગ્રીની સમજૂતી.

પાઠ પ્રગતિ

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

હેલો મિત્રો! બોર્ડ પર સમીકરણો લખેલા છે, તેને ધ્યાનથી જુઓ. શું તમે આ બધા સમીકરણો હલ કરી શકશો? કયા નથી અને શા માટે?

સમીકરણો જેમાં ડાબી અને જમણી બાજુ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો હોય છે તેને અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. તમને શું લાગે છે કે આજે આપણે વર્ગમાં અભ્યાસ કરીશું? પાઠનો વિષય ઘડવો. તેથી, તમારી નોટબુક ખોલો અને "અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા" પાઠનો વિષય લખો.

2. જ્ઞાન અપડેટ કરવું. આગળનો સર્વે, મૌખિક કાર્યવર્ગ સાથે.

અને હવે આપણે મુખ્ય સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનું પુનરાવર્તન કરીશું જેનો આપણે અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે નવો વિષય. કૃપા કરીને નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો:

1. સમીકરણ શું છે? ( ચલ અથવા ચલો સાથે સમાનતા.)
2. સમીકરણ નંબર 1 નું નામ શું છે? ( રેખીય.) ઉકેલ રેખીય સમીકરણો. (અજાણ્યા સાથે દરેક વસ્તુને સમીકરણની ડાબી બાજુએ, બધી સંખ્યાઓને જમણી તરફ ખસેડો. લીડ સમાન શરતો. અજ્ઞાત પરિબળ શોધો).
3. સમીકરણ નંબર 3 નું નામ શું છે? ( ચોરસ.) ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ. ( પસંદગી સંપૂર્ણ ચોરસ, સૂત્રો દ્વારા, વિએટાના પ્રમેય અને તેના પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને.)
4. પ્રમાણ શું છે? ( બે ગુણોત્તરની સમાનતા.) પ્રમાણની મુખ્ય મિલકત. ( જો પ્રમાણ સાચો હોય, તો તેની આત્યંતિક શરતોનું ઉત્પાદન મધ્યમ શરતોના ઉત્પાદન સમાન છે.)
5. સમીકરણો ઉકેલતી વખતે કયા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ થાય છે? ( 1. જો તમે સમીકરણમાં કોઈ શબ્દને એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં ખસેડો છો, તેની નિશાની બદલો છો, તો તમને આપેલ એકની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે. 2. જો સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો તમને આપેલ એકની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.)
6. જ્યારે અપૂર્ણાંક શૂન્ય બરાબર થાય છે? ( જ્યારે અંશ શૂન્ય હોય અને છેદ શૂન્ય ન હોય ત્યારે અપૂર્ણાંક શૂન્યની બરાબર હોય છે..)

3. નવી સામગ્રીની સમજૂતી.

તમારી નોટબુકમાં અને બોર્ડ પર સમીકરણ નંબર 2 ઉકેલો.

જવાબ આપો: 10.

જે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણશું તમે પ્રમાણના મૂળ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો? (નં. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

તમારી નોટબુકમાં અને બોર્ડ પર સમીકરણ નંબર 4 ઉકેલો.

જવાબ આપો: 1,5.

સમીકરણની બંને બાજુઓને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરીને તમે કયા અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો? (નં. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

જવાબ આપો: 3;4.

હવે નીચેનામાંથી એક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ નંબર 7 ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરો.

સમજાવો કે આવું કેમ થયું? શા માટે એક કેસમાં ત્રણ મૂળ અને બીજામાં બે હોય છે? આ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણના મૂળ કયા નંબરો છે?

વિદ્યાર્થીઓ પાસે હજુ પણ ખ્યાલ છે બાહ્ય મૂળમળ્યા નથી, આ કેમ થયું તે સમજવું તેમના માટે ખરેખર ખૂબ મુશ્કેલ છે. જો વર્ગમાં કોઈ આ પરિસ્થિતિની સ્પષ્ટ સમજૂતી આપી શકતું નથી, તો શિક્ષક અગ્રણી પ્રશ્નો પૂછે છે.

• સમીકરણો નંબર 2 અને 4 સમીકરણો નંબર 5,6,7 થી કેવી રીતે અલગ પડે છે? ( સમીકરણ નં. 2 અને 4 માં છેદમાં સંખ્યાઓ છે, નં. 5-7 એ ચલ સાથેના સમીકરણો છે.)
• સમીકરણનું મૂળ શું છે? ( ચલનું મૂલ્ય કે જેના પર સમીકરણ સાચું બને છે.)
• સંખ્યા એ સમીકરણનું મૂળ છે કે કેમ તે કેવી રીતે શોધવું? ( ચેક કરો.)

પરીક્ષણ કરતી વખતે, કેટલાક વિદ્યાર્થીઓ નોંધે છે કે તેઓએ શૂન્ય વડે ભાગવાનું છે. તેઓ તારણ આપે છે કે 0 અને 5 નંબરો આ સમીકરણના મૂળ નથી. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને હલ કરવાની કોઈ રીત છે જે આપણને દૂર કરવાની મંજૂરી આપે છે? આ ભૂલ? હા, આ પદ્ધતિ એ શરત પર આધારિત છે કે અપૂર્ણાંક શૂન્ય બરાબર છે.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

જો x=5, તો x(x-5)=0, જેનો અર્થ થાય છે 5 એ બાહ્ય મૂળ છે.

જો x=-2, તો x(x-5)≠0.

જવાબ આપો: -2.

ચાલો આ રીતે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને ઉકેલવા માટે એક અલ્ગોરિધમ ઘડવાનો પ્રયાસ કરીએ. બાળકો પોતે અલ્ગોરિધમ ઘડે છે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1. બધું ડાબી બાજુએ ખસેડો.
2. અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડો.
3. સિસ્ટમ બનાવો: જ્યારે અંશ શૂન્યની બરાબર હોય અને છેદ શૂન્યના બરાબર ન હોય ત્યારે અપૂર્ણાંક શૂન્યની બરાબર હોય છે.
4. સમીકરણ ઉકેલો.
5. બાહ્ય મૂળને બાકાત રાખવા માટે અસમાનતા તપાસો.
6. જવાબ લખો.

ચર્ચા: જો તમે પ્રમાણની મૂળભૂત મિલકતનો ઉપયોગ કરો છો અને સમીકરણની બંને બાજુઓને સામાન્ય છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરો છો તો ઉકેલને કેવી રીતે ઔપચારિક બનાવવું. (સોલ્યુશનમાં ઉમેરો: તેના મૂળમાંથી સામાન્ય છેદને અદૃશ્ય થઈ જાય તેમાંથી બાકાત રાખો).

4. નવી સામગ્રીની પ્રારંભિક સમજ.

જોડીમાં કામ કરો. વિદ્યાર્થીઓ સમીકરણના પ્રકાર પર આધાર રાખીને સમીકરણ જાતે કેવી રીતે હલ કરવું તે પસંદ કરે છે. પાઠ્યપુસ્તકમાંથી સોંપણીઓ “બીજગણિત 8”, યુ.એન. મકરીચેવ, 2007: નંબર 600(b,c,i); નંબર 601(a,e,g). શિક્ષક કાર્યની પૂર્ણતા પર નજર રાખે છે, ઉદ્ભવતા કોઈપણ પ્રશ્નોના જવાબ આપે છે અને ઓછા પ્રદર્શન કરતા વિદ્યાર્થીઓને સહાય પૂરી પાડે છે. સ્વ-પરીક્ષણ: જવાબો બોર્ડ પર લખેલા છે.

b) 2 - બાહ્ય મૂળ. જવાબ: 3.

c) 2 - બાહ્ય મૂળ. જવાબ: 1.5.

a) જવાબ: -12.5.

g) જવાબ: 1;1.5.

5. હોમવર્ક સેટ કરવું.

1. પાઠ્યપુસ્તકમાંથી ફકરો 25 વાંચો, ઉદાહરણો 1-3નું વિશ્લેષણ કરો.
2. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક અલ્ગોરિધમ શીખો.
3. નોટબુક નંબર 600 (a, d, e) માં ઉકેલો; નંબર 601(g,h).
4. નંબર 696(a) (વૈકલ્પિક) હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો.

6. અભ્યાસ કરેલ વિષય પર નિયંત્રણ કાર્ય પૂર્ણ કરવું.

કામ કાગળના ટુકડા પર કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ કાર્ય:

A) કયા સમીકરણો અપૂર્ણાંક તર્કસંગત છે?

B) જ્યારે અંશ ________________________ હોય અને છેદ _______________________ હોય ત્યારે અપૂર્ણાંક શૂન્યની બરાબર હોય છે.

Q) શું નંબર -3 સમીકરણ નંબર 6 નું મૂળ છે?

ડી) સમીકરણ નંબર 7 ઉકેલો.

સોંપણી માટે આકારણી માપદંડ:

• જો વિદ્યાર્થીએ 90% થી વધુ કાર્ય યોગ્ય રીતે પૂર્ણ કર્યું હોય તો "5" આપવામાં આવે છે.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50% -74%
• "2" એવા વિદ્યાર્થીને આપવામાં આવે છે જેણે 50% કરતા ઓછું કાર્ય પૂર્ણ કર્યું છે.
• જર્નલમાં 2 નું રેટિંગ આપવામાં આવ્યું નથી, 3 વૈકલ્પિક છે.

7. પ્રતિબિંબ.

સ્વતંત્ર વર્ક શીટ્સ પર, લખો:

• 1 - જો પાઠ તમારા માટે રસપ્રદ અને સમજી શકાય તેવું હતું;
• 2 - રસપ્રદ, પરંતુ સ્પષ્ટ નથી;
• 3 - રસપ્રદ નથી, પરંતુ સમજી શકાય તેવું;
• 4 - રસપ્રદ નથી, સ્પષ્ટ નથી.

8. પાઠનો સારાંશ.

તેથી, આજે પાઠમાં આપણે આંશિક તર્કસંગત સમીકરણોથી પરિચિત થયા, આ સમીકરણોને કેવી રીતે ઉકેલવા તે શીખ્યા. વિવિધ રીતે, તાલીમની મદદથી તેમના જ્ઞાનની ચકાસણી કરી સ્વતંત્ર કાર્ય. તમે આગલા પાઠમાં તમારા સ્વતંત્ર કાર્યના પરિણામો શીખી શકશો, અને ઘરે તમને તમારા જ્ઞાનને એકીકૃત કરવાની તક મળશે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોને ઉકેલવાની કઈ પદ્ધતિ, તમારા મતે, સરળ, વધુ સુલભ અને વધુ તર્કસંગત છે? અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના, તમારે શું યાદ રાખવું જોઈએ? અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણોની "ચાલકી" શું છે?

દરેકનો આભાર, પાઠ પૂરો થયો.