ઑનલાઇન અપૂર્ણાંક સાથે અભિવ્યક્તિઓ ઘટાડવી. બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઘટાડવું

અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઘટાડવો તે સમજવા માટે, ચાલો પહેલા એક ઉદાહરણ જોઈએ.

અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે અંશ અને છેદને સમાન વસ્તુ દ્વારા વિભાજિત કરવું. 360 અને 420 બંને એક અંકમાં સમાપ્ત થાય છે, તેથી આપણે આ અપૂર્ણાંકને 2 થી ઘટાડી શકીએ છીએ. નવા અપૂર્ણાંકમાં, 180 અને 210 બંને પણ 2 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી આપણે આ અપૂર્ણાંકને 2 વડે ઘટાડીશું. 90 અને 105 નંબરોમાં, સરવાળો અંકોમાંથી 3 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી આ બંને સંખ્યાઓ 3 વડે વિભાજ્ય છે, આપણે અપૂર્ણાંકને 3 વડે ઘટાડીએ છીએ. નવા અપૂર્ણાંકમાં, 30 અને 35 0 અને 5 માં સમાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે બંને સંખ્યાઓ 5 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી આપણે ઘટાડીએ છીએ 5 દ્વારા અપૂર્ણાંક. છ-સાતમા ભાગનો પરિણામી અપૂર્ણાંક અફર છે. આ અંતિમ જવાબ છે.

આપણે એક જ જવાબ પર અલગ રીતે પહોંચી શકીએ છીએ.

360 અને 420 બંને શૂન્યમાં સમાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ 10 વડે વિભાજ્ય છે. અમે અપૂર્ણાંકને 10 વડે ઘટાડીએ છીએ. નવા અપૂર્ણાંકમાં, અંશ 36 અને છેદ 42 બંને 2 વડે વિભાજિત થાય છે. અમે અપૂર્ણાંકને 2 વડે ઘટાડીએ છીએ. આગામી અપૂર્ણાંક, અંશ 18 અને છેદ 21 બંનેને 3 વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે અપૂર્ણાંકને 3 વડે ઘટાડીએ છીએ. અમે પરિણામ પર આવ્યા - છ સાતમા.

અને એક વધુ ઉકેલ.

આગલી વખતે આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડવાનાં ઉદાહરણો જોઈશું.

અનુકૂળ અને સરળ ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરવિગતવાર ઉકેલો સાથે અપૂર્ણાંકકદાચ:

• ઉમેરો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરો અપૂર્ણાંક ઓનલાઇન,
• પ્રાપ્ત કરો તૈયાર સોલ્યુશનચિત્ર સાથે અપૂર્ણાંક અને તેને સ્થાનાંતરિત કરવું અનુકૂળ છે.

અપૂર્ણાંક ઉકેલવાનું પરિણામ અહીં હશે...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
અપૂર્ણાંક ચિહ્ન "/" + - * :
સાફ કરો
અમારા ઑનલાઇન અપૂર્ણાંક કેલ્ક્યુલેટરમાં ઝડપી ઇનપુટ છે. અપૂર્ણાંક ઉકેલવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, ખાલી લખો 1/2+2/7 કેલ્ક્યુલેટરમાં અને "" દબાવો અપૂર્ણાંક ઉકેલો". કેલ્ક્યુલેટર તમને લખશે વિગતવાર ઉકેલઅપૂર્ણાંકઅને જારી કરશે નકલ કરવા માટે સરળ છબી.

કેલ્ક્યુલેટરમાં લખવા માટે વપરાતા ચિહ્નો

ઑનલાઇન અપૂર્ણાંક કેલ્ક્યુલેટરની વિશેષતાઓ

જો તમારે નકારાત્મક અપૂર્ણાંકોને હલ કરવાની જરૂર હોય, તો માત્ર બાદબાકીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો. જ્યારે ગુણાકાર અને ભાગાકાર નકારાત્મક અપૂર્ણાંકબે નકારાત્મક એક હકારાત્મક બનાવે છે. એટલે કે, ઋણ અપૂર્ણાંકનું ઉત્પાદન અને વિભાજન સમાન સકારાત્મક અપૂર્ણાંકના ઉત્પાદન અને વિભાજન સમાન છે. જો ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરતી વખતે એક અપૂર્ણાંક નકારાત્મક હોય, તો પછી ફક્ત બાદબાકી દૂર કરો અને પછી તેને જવાબમાં ઉમેરો. નકારાત્મક અપૂર્ણાંકો ઉમેરતી વખતે, પરિણામ એ જ હશે કે જો તમે તે જ ઉમેરી રહ્યા હોવ હકારાત્મક અપૂર્ણાંક. જો તમે એક ઋણ અપૂર્ણાંક ઉમેરો છો, તો તે સમાન હકારાત્મકને બાદબાકી કરવા સમાન છે.
નકારાત્મક અપૂર્ણાંકોને બાદ કરતી વખતે, પરિણામ એ જ હશે જેમ કે તેઓને સ્વેપ કરીને હકારાત્મક બનાવવામાં આવ્યા હતા. એટલે કે માઇનસ બાય માઇનસ ઇન આ કિસ્સામાંવત્તા આપે છે, પરંતુ શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી સરવાળો બદલાતો નથી. અપૂર્ણાંકને બાદ કરતી વખતે આપણે સમાન નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જેમાંથી એક નકારાત્મક છે.

મિશ્ર અપૂર્ણાંક (અપૂર્ણાંક જેમાં આખો ભાગ અલગ છે) ઉકેલવા માટે, ફક્ત આખા ભાગને અપૂર્ણાંકમાં ફિટ કરો. આ કરવા માટે, આખા ભાગને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરો અને અંશમાં ઉમેરો.

જો તમારે 3 કે તેથી વધુ અપૂર્ણાંક ઓનલાઈન ઉકેલવાની જરૂર હોય, તો તમારે તેમને એક પછી એક ઉકેલવા જોઈએ. પ્રથમ, પ્રથમ 2 અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરો, પછી તમને મળેલા જવાબ સાથે આગળના અપૂર્ણાંકને ઉકેલો, વગેરે. એક પછી એક કામગીરી કરો, એક સમયે 2 અપૂર્ણાંક, અને આખરે તમને સાચો જવાબ મળશે.

અપૂર્ણાંકને વધુ ઘટાડવા માટે અપૂર્ણાંક ઘટાડવો જરૂરી છે સરળ દૃશ્ય, ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ ઉકેલવાના પરિણામે પ્રાપ્ત જવાબમાં.

અપૂર્ણાંક, વ્યાખ્યા અને સૂત્ર ઘટાડવું.

અપૂર્ણાંક ઘટાડવા શું છે? અપૂર્ણાંક ઘટાડવાનો અર્થ શું છે?

વ્યાખ્યા:
અપૂર્ણાંક ઘટાડવા- આ એક જ વસ્તુમાં અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનું વિભાજન છે હકારાત્મક સંખ્યાશૂન્ય અને એક સમાન નથી. ઘટાડાના પરિણામે, નાના અંશ અને છેદ સાથેનો અપૂર્ણાંક પ્રાપ્ત થાય છે, જે મુજબ અગાઉના અપૂર્ણાંકની બરાબર છે.

અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટેનું સૂત્રમુખ્ય મિલકત તર્કસંગત સંખ્યાઓ.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
અપૂર્ણાંક ઘટાડો \(\frac(9)(15)\)

ઉકેલ:
આપણે અપૂર્ણાંકને માં વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ મુખ્ય પરિબળોઅને સામાન્ય પરિબળોને ઘટાડે છે.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \ગુણો 1=\frac(3)(5)\)

જવાબ: ઘટાડા પછી આપણને અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(5)\) મળ્યો. તર્કસંગત સંખ્યાઓના મૂળ ગુણધર્મ અનુસાર, મૂળ અને પરિણામી અપૂર્ણાંક સમાન છે.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઘટાડવો? અપૂર્ણાંકને તેના અપૂર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડીને.

પરિણામે અફર અપૂર્ણાંક મેળવવા માટે, અમને જરૂર છે સૌથી મોટું શોધો સામાન્ય વિભાજક(NOD)અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ માટે.

GCD શોધવાની ઘણી રીતો છે ઉદાહરણમાં આપણે સંખ્યાઓના વિઘટનનો મુખ્ય પરિબળોમાં ઉપયોગ કરીશું.

અફર અપૂર્ણાંક મેળવો \(\frac(48)(136)\).

ઉકેલ:
ચાલો GCD(48, 136) શોધીએ. ચાલો 48 અને 136 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવોમાં લખીએ.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો નિયમ.

1. તમારે અંશ અને છેદ માટે સૌથી મોટા સામાન્ય ભાજક શોધવાની જરૂર છે.
2. અવિભાજ્ય અપૂર્ણાંક મેળવવા માટે તમારે સૌથી સામાન્ય વિભાજક દ્વારા અંશ અને છેદને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ:
અપૂર્ણાંક ઘટાડો \(\frac(152)(168)\).

ઉકેલ:
ચાલો GCD(152, 168) શોધીએ. ચાલો 152 અને 168 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવોમાં લખીએ.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

જવાબ: \(\frac(19)(21)\) અફર અપૂર્ણાંક.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક ઘટાડવું.

અયોગ્ય અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઘટાડવો?
અપૂર્ણાંક ઘટાડવાના નિયમો યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો માટે સમાન છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
અયોગ્ય અપૂર્ણાંક \(\frac(44)(32)\).

ઉકેલ:
ચાલો અંશ અને છેદને સરળ અવયવોમાં લખીએ. અને પછી અમે સામાન્ય પરિબળોને ઘટાડીશું.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

મિશ્ર અપૂર્ણાંક ઘટાડવું.

મિશ્ર અપૂર્ણાંક સામાન્ય અપૂર્ણાંકો જેવા જ નિયમોનું પાલન કરે છે. ફરક એટલો જ છે કે આપણે કરી શકીએ છીએ આખા ભાગને સ્પર્શ કરશો નહીં, પરંતુ અપૂર્ણાંક ભાગને ઓછો કરોઅથવા મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો, તેને ઘટાડીને તેને યોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
મિશ્ર અપૂર્ણાંક રદ કરો \(2\frac(30)(45)\).

ઉકેલ:
ચાલો તેને બે રીતે હલ કરીએ:
પ્રથમ માર્ગ:
ચાલો આંશિક ભાગને સરળ પરિબળોમાં લખીએ, પરંતુ આપણે આખા ભાગને સ્પર્શ કરીશું નહીં.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

બીજી રીત:
ચાલો પહેલા તેને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ, અને પછી તેને મુખ્ય પરિબળોમાં લખીએ અને ઘટાડીએ. ચાલો પરિણામી અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

વિષય પર પ્રશ્નો:
શું તમે ઉમેરો કે બાદબાકી કરતી વખતે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકો છો?
જવાબ: ના, તમારે પહેલા નિયમો અનુસાર અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અથવા બાદબાકી કરવી પડશે, અને પછી જ તેમને ઘટાડવા પડશે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

અભિવ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન કરો \(\frac(50+20-10)(20)\) .

ઉકેલ:
તેઓ ઘણી વાર સંક્ષિપ્ત શબ્દની ભૂલ કરે છે સમાન સંખ્યાઓઅમારા કિસ્સામાં, અંશ અને છેદ પાસે 20 નંબર છે, પરંતુ જ્યાં સુધી તમે સરવાળો અને બાદબાકી પૂર્ણ ન કરો ત્યાં સુધી તે ઘટાડી શકાશે નહીં.

\(\frac(50+\color(લાલ) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

તમે કઈ સંખ્યાઓ દ્વારા અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકો છો?
જવાબ: તમે સૌથી મોટા સામાન્ય અવયવ અથવા અંશ અને છેદના સામાન્ય વિભાજક દ્વારા અપૂર્ણાંકને ઘટાડી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \(\frac(100)(150)\).

ચાલો 100 અને 150 નંબરોને અવિભાજ્ય અવયવોમાં લખીએ.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક નંબર હશે GCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

અમને અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\) મળ્યો.

પરંતુ હંમેશા gcd દ્વારા ભાગાકાર કરવો જરૂરી નથી; ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 100 અને 150 નો સામાન્ય વિભાજક 2 છે. ચાલો અપૂર્ણાંક \(\frac(100)(150)\) ને 2 વડે ઘટાડીએ.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

અમને ઘટાડી શકાય તેવો અપૂર્ણાંક મળ્યો \(\frac(50)(75)\).

કયા અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકાય છે?
જવાબ: તમે એવા અપૂર્ણાંકોને ઘટાડી શકો છો જેમાં અંશ અને છેદ એક સામાન્ય ભાજક હોય. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \(\frac(4)(8)\). નંબર 4 અને 8 પાસે એક સંખ્યા છે જેના દ્વારા તે બંને વિભાજ્ય છે - સંખ્યા 2. તેથી, આવા અપૂર્ણાંકને નંબર 2 દ્વારા ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ:
બે અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરો \(\frac(2)(3)\) અને \(\frac(8)(12)\).

આ બે અપૂર્ણાંક સમાન છે. ચાલો અપૂર્ણાંક પર નજીકથી નજર કરીએ \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\ગુણા 1=\frac(2)(3)\)

અહીંથી આપણને મળે છે, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

બે અપૂર્ણાંક સમાન છે જો અને માત્ર જો તેમાંથી એક બીજા અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને મેળવવામાં આવે સામાન્ય ગુણકઅંશ અને છેદ.

ઉદાહરણ:
જો શક્ય હોય તો, નીચેના અપૂર્ણાંકોને ઘટાડો: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) ડી) \(\frac(100)(250)\)

ઉકેલ:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \ વખત 3 \ ગુણ્યા 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) અફર અપૂર્ણાંક
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(લાલ) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ ગુણ્યા 5)=\frac(2)(5)\)

તેથી, આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરી શકાય છે, અપૂર્ણાંક બદલાશે નહીં. ચાલો ત્રણ અભિગમો ધ્યાનમાં લઈએ:

એક અભિગમ.

ઘટાડવા માટે, અંશ અને છેદને સામાન્ય વિભાજક દ્વારા વિભાજિત કરો. ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:

ચાલો ટૂંકું કરીએ:

આપેલ ઉદાહરણોમાં, અમે તરત જ જોઈ શકીએ છીએ કે ઘટાડા માટે કયા વિભાજકો લેવા જોઈએ. પ્રક્રિયા સરળ છે - આપણે 2,3,4,5 અને તેથી આગળ વધીએ છીએ. મોટાભાગના શાળા અભ્યાસક્રમોના ઉદાહરણોમાં, આ તદ્દન પર્યાપ્ત છે. પરંતુ જો તે અપૂર્ણાંક છે:

અહીં વિભાજકો પસંદ કરવાની પ્રક્રિયામાં ઘણો સમય લાગી શકે છે;). અલબત્ત, આવા ઉદાહરણો શાળાના અભ્યાસક્રમની બહાર છે, પરંતુ તમારે તેમની સાથે સામનો કરવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે. નીચે આપણે જોઈશું કે આ કેવી રીતે થાય છે. હમણાં માટે, ચાલો કદ ઘટાડવાની પ્રક્રિયા પર પાછા જઈએ.

ઉપર ચર્ચા કર્યા મુજબ, અપૂર્ણાંકને ઘટાડવા માટે, અમે નક્કી કરેલા સામાન્ય વિભાજક(ઓ) વડે ભાગ્યા છીએ. બધું સાચું છે! વ્યક્તિએ ફક્ત સંખ્યાઓના વિભાજ્યતાના ચિહ્નો ઉમેરવાના છે:

- જો સંખ્યા સમ હોય, તો તે 2 વડે ભાગી શકાય છે.

- જો છેલ્લા બે અંકોની સંખ્યા 4 વડે વિભાજ્ય હોય, તો તે સંખ્યા પોતે 4 વડે વિભાજ્ય છે.

— જો સંખ્યા બનાવે છે તેવા અંકોનો સરવાળો 3 વડે વિભાજ્ય હોય, તો સંખ્યા પોતે 3 વડે વિભાજ્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. બાર એ 3 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી 123031 3 વડે વિભાજ્ય છે.

- જો સંખ્યા 5 અથવા 0 થી સમાપ્ત થાય છે, તો સંખ્યા 5 વડે ભાગી શકાય છે.

— જો સંખ્યા બનાવે છે તેવા અંકોનો સરવાળો 9 વડે વિભાજ્ય હોય, તો સંખ્યા પોતે 9 વડે વિભાજ્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. અઢાર એ 9 વડે વિભાજ્ય છે, જેનો અર્થ છે કે 623032 9 વડે વિભાજ્ય છે.

બીજો અભિગમ.

સંક્ષિપ્તમાં કહીએ તો, હકીકતમાં, આખી ક્રિયા અંશ અને છેદને ફેક્ટર કરવા અને પછી અંશ અને છેદમાં સમાન પરિબળોને ઘટાડવામાં આવે છે (આ અભિગમ પ્રથમ અભિગમનું પરિણામ છે):

દૃષ્ટિની રીતે, મૂંઝવણ અને ભૂલોને ટાળવા માટે, સમાન પરિબળોને સરળ રીતે પાર કરવામાં આવે છે. પ્રશ્ન - સંખ્યાને કેવી રીતે અવયવિત કરવી? શોધ કરીને તમામ વિભાજકો નક્કી કરવા જરૂરી છે. આ એક અલગ વિષય છે, તે જટિલ નથી, પાઠયપુસ્તકમાં અથવા ઇન્ટરનેટ પર માહિતી જુઓ. શાળાના અપૂર્ણાંકમાં હાજર હોય તેવા ફેક્ટરિંગ નંબરો સાથે તમને કોઈ મોટી સમસ્યાઓનો સામનો કરવો પડશે નહીં.

ઔપચારિક રીતે, ઘટાડો સિદ્ધાંત નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

ત્રણ અભિગમ.

અદ્યતન અને એક બનવા માંગતા લોકો માટે અહીં સૌથી રસપ્રદ બાબત છે. ચાલો અપૂર્ણાંક 143/273 ઘટાડીએ. તેને જાતે અજમાવી જુઓ! સારું, તે ઝડપથી કેવી રીતે થયું? હવે જુઓ!

અમે તેને ફેરવીએ છીએ (અમે અંશ અને છેદના સ્થાનો બદલીએ છીએ). પરિણામી અપૂર્ણાંકને ખૂણા સાથે વિભાજીત કરો અને તેને કન્વર્ટ કરો મિશ્ર સંખ્યા, એટલે કે, અમે આખો ભાગ પસંદ કરીએ છીએ:

તે પહેલાથી જ સરળ છે. આપણે જોઈએ છીએ કે અંશ અને છેદ 13 થી ઘટાડી શકાય છે:

હવે અપૂર્ણાંકને ફરીથી ફેરવવાનું ભૂલશો નહીં, ચાલો આખી સાંકળ લખીએ:

ચકાસાયેલ - તે વિભાજકોને શોધવા અને તપાસવા કરતાં ઓછો સમય લે છે. ચાલો આપણા બે ઉદાહરણો પર પાછા જઈએ:

પ્રથમ. ખૂણા સાથે વિભાજીત કરો (કેલ્ક્યુલેટર પર નહીં), અમને મળે છે:

અલબત્ત, આ અપૂર્ણાંક સરળ છે, પરંતુ ઘટાડો ફરીથી એક સમસ્યા છે. હવે આપણે અપૂર્ણાંક 1273/1463 નું અલગથી વિશ્લેષણ કરીએ છીએ અને તેને ફેરવીએ છીએ:

તે અહીં સરળ છે. આપણે વિભાજકને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જેમ કે 19. બાકીના યોગ્ય નથી, આ સ્પષ્ટ છે: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. હુરે! ચાલો નીચે લખીએ:

આગલું ઉદાહરણ. ચાલો 88179/2717 ટૂંકાવીએ.

વિભાજીત કરો, અમને મળે છે:

અલગથી, અમે અપૂર્ણાંક 1235/2717 નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ અને તેને ફેરવીએ છીએ:

અમે વિભાજકને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જેમ કે 13 (13 સુધી યોગ્ય નથી):

અંશ 247:13=19 છેદ 1235:13=95

*પ્રક્રિયા દરમિયાન અમે 19 ની બરાબર બીજો વિભાજક જોયો. તે તારણ આપે છે કે:

હવે અમે મૂળ નંબર લખીએ છીએ:

અને અપૂર્ણાંકમાં શું મોટું છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી - અંશ અથવા છેદ, જો તે છેદ હોય, તો અમે તેને ફેરવીએ છીએ અને વર્ણવ્યા પ્રમાણે કાર્ય કરીએ છીએ. આ રીતે આપણે કોઈપણ અપૂર્ણાંકને ઘટાડી શકીએ છીએ; ત્રીજો અભિગમ સાર્વત્રિક કહી શકાય.

અલબત્ત, ઉપર ચર્ચા કરેલ બે ઉદાહરણો સરળ ઉદાહરણો નથી. ચાલો આપણે પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લીધેલા "સરળ" અપૂર્ણાંકો પર આ તકનીકનો પ્રયાસ કરીએ:

બે ક્વાર્ટર.

સિત્તેર-બે સાઠ. અંશ છેદ કરતા મોટો છે, તેને ઉલટાવી લેવાની જરૂર નથી:

અલબત્ત, ત્રીજો અભિગમ આવા માટે લાગુ કરવામાં આવ્યો હતો સરળ ઉદાહરણોમાત્ર એક વિકલ્પ તરીકે. પદ્ધતિ, જેમ કે પહેલેથી જ કહ્યું છે, તે સાર્વત્રિક છે, પરંતુ તમામ અપૂર્ણાંકો માટે અનુકૂળ અને યોગ્ય નથી, ખાસ કરીને સરળ લોકો માટે.

અપૂર્ણાંકની વિવિધતા મહાન છે. તે મહત્વનું છે કે તમે સિદ્ધાંતોને સમજો. અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવા માટે કોઈ કડક નિયમ નથી. અમે જોયું, કાર્ય કરવું વધુ અનુકૂળ કેવી રીતે હશે તે શોધી કાઢ્યું અને આગળ વધ્યા. પ્રેક્ટિસ સાથે, કૌશલ્ય આવશે અને તમે તેને બીજની જેમ ક્રેક કરશો.

નિષ્કર્ષ:

જો તમે અંશ અને છેદ માટે સામાન્ય વિભાજક(ઓ) જુઓ, તો તેનો ઉપયોગ ઘટાડવા માટે કરો.

જો તમે જાણો છો કે સંખ્યાને કેવી રીતે ઝડપથી અવયવિત કરવી, તો પછી અંશ અને છેદને અવયવિત કરો, પછી ઘટાડો.

જો તમે સામાન્ય વિભાજક નક્કી કરી શકતા નથી, તો પછી ત્રીજા અભિગમનો ઉપયોગ કરો.

*અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે, ઘટાડાના સિદ્ધાંતોમાં નિપુણતા હોવી, અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મને સમજવું, હલ કરવાના અભિગમો જાણવું અને ગણતરીઓ કરતી વખતે અત્યંત સાવચેત રહેવું મહત્વપૂર્ણ છે.

અને યાદ રાખો! જ્યાં સુધી તે અટકે નહીં ત્યાં સુધી અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો રિવાજ છે, એટલે કે જ્યાં સુધી સામાન્ય વિભાજક હોય ત્યાં સુધી તેને ઘટાડવો.

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ.

જો આપણે 497 ને 4 વડે વિભાજિત કરવાની જરૂર હોય, તો ભાગાકાર કરતી વખતે આપણે જોશું કે 497 4 વડે સરખે ભાગે વિભાજ્ય નથી, એટલે કે. વિભાગ બાકી રહે છે. આવા કિસ્સાઓમાં તે પૂર્ણ થયું હોવાનું કહેવાય છે શેષ સાથે વિભાજન, અને ઉકેલ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:
497: 4 = 124 (1 શેષ).

સમાનતાની ડાબી બાજુના વિભાજન ઘટકોને શેષ વિનાના વિભાજનની જેમ જ કહેવામાં આવે છે: 497 - ડિવિડન્ડ, 4 - વિભાજક. જ્યારે શેષ સાથે ભાગવામાં આવે ત્યારે ભાગાકારનું પરિણામ કહેવાય છે અપૂર્ણ ખાનગી. અમારા કિસ્સામાં, આ નંબર 124 છે. અને છેલ્લે, છેલ્લો ઘટક, જે અંદર નથી સામાન્ય વિભાગ, - બાકી. એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં કોઈ બાકી ન હોય, એક સંખ્યાને બીજી સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે ટ્રેસ વિના, અથવા સંપૂર્ણપણે. એવું માનવામાં આવે છે કે આવા વિભાજન સાથે બાકી રહે છે શૂન્ય બરાબર. અમારા કિસ્સામાં, બાકી 1 છે.

શેષ હંમેશા વિભાજક કરતા ઓછો હોય છે.

ભાગાકારને ગુણાકાર દ્વારા ચકાસી શકાય છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, ત્યાં સમાનતા 64: 32 = 2 છે, તો પછી ચેક આ રીતે કરી શકાય છે: 64 = 32 * 2.

ઘણીવાર એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં શેષ સાથે વિભાજન કરવામાં આવે છે, તે સમાનતાનો ઉપયોગ કરવા માટે અનુકૂળ છે
a = b * n + r,
જ્યાં a એ ડિવિડન્ડ છે, b એ વિભાજક છે, n એ આંશિક ભાગ છે, r એ શેષ છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ભાગને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે.

અપૂર્ણાંકનો અંશ એ ડિવિડન્ડ છે, અને છેદ એ વિભાજક છે.

કારણ કે અપૂર્ણાંકનો અંશ એ ડિવિડન્ડ છે અને છેદ એ વિભાજક છે, માને છે કે અપૂર્ણાંકની રેખાનો અર્થ ભાગાકારની ક્રિયા છે. કેટલીકવાર ":" ચિહ્નનો ઉપયોગ કર્યા વિના ભાગાકારને અપૂર્ણાંક તરીકે લખવાનું અનુકૂળ છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ m અને n ના ભાગલા ભાગને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે \(\frac(m)(n) \), જ્યાં અંશ m એ ડિવિડન્ડ છે, અને છેદ n એ વિભાજક છે:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

નીચેના નિયમો સાચા છે:

અપૂર્ણાંક \(\frac(m)(n)\) મેળવવા માટે, તમારે એકમને n સમાન ભાગો (શેર) માં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે અને m આવા ભાગો લેવા પડશે.

અપૂર્ણાંક \(\frac(m)(n)\) મેળવવા માટે, તમારે સંખ્યા m ને સંખ્યા n વડે ભાગવાની જરૂર છે.

સંપૂર્ણનો ભાગ શોધવા માટે, તમારે સંપૂર્ણને અનુરૂપ સંખ્યાને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરવાની અને આ ભાગને વ્યક્ત કરતા અપૂર્ણાંકના અંશ દ્વારા પરિણામને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

તેના ભાગમાંથી સંપૂર્ણ શોધવા માટે, તમારે આ ભાગને અનુરૂપ સંખ્યાને અંશ દ્વારા વિભાજીત કરવાની અને આ ભાગને વ્યક્ત કરતા અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા પરિણામને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંનેને સમાન સંખ્યા (શૂન્ય સિવાય) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે તો, અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:
\(\મોટા \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંનેને સમાન સંખ્યા (શૂન્ય સિવાય) દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે તો, અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:
\(\મોટો \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
આ મિલકત કહેવાય છે અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત.

છેલ્લા બે પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.

જો અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાની જરૂર હોય, તો આ ક્રિયા કહેવાય છે સુધી અપૂર્ણાંક ઘટાડીને સામાન્ય છેદ .

યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક. મિશ્ર સંખ્યાઓ

તમે પહેલાથી જ જાણો છો કે સંપૂર્ણને સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીને અને આવા કેટલાક ભાગો લઈને અપૂર્ણાંક મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(4)\) નો અર્થ છે એકના ત્રણ-ચતુર્થાંશ. પાછલા ફકરામાં ઘણી બધી સમસ્યાઓમાં, અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ સમગ્રના ભાગોને દર્શાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો. સામાન્ય જ્ઞાનસૂચવે છે કે ભાગ હંમેશા સંપૂર્ણ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ, પરંતુ પછી અપૂર્ણાંક વિશે શું, ઉદાહરણ તરીકે, \(\frac(5)(5)\) અથવા \(\frac(8)(5)\)? તે સ્પષ્ટ છે કે આ હવે એકમનો ભાગ નથી. કદાચ આ જ કારણ છે કે જેના અંશ છેદ કરતા મોટા અથવા સમાન હોય તેવા અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક. બાકીના અપૂર્ણાંકો, એટલે કે અપૂર્ણાંક કે જેના અંશ છેદ કરતા ઓછા હોય, તેને કહેવામાં આવે છે. યોગ્ય અપૂર્ણાંક.

જેમ તમે જાણો છો, કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંક, સાચા અને ખોટા બંને, છેદ દ્વારા અંશને વિભાજિત કરવાના પરિણામ તરીકે ગણી શકાય. તેથી, ગણિતમાં, વિપરીત સામાન્ય ભાષા, "અયોગ્ય અપૂર્ણાંક" શબ્દનો અર્થ એ નથી કે અમે કંઈક ખોટું કર્યું છે, પરંતુ માત્ર એટલો જ છે કે આ અપૂર્ણાંકનો અંશ છેદ કરતાં મોટો અથવા તેની બરાબર છે.

જો સંખ્યા પૂર્ણાંક ભાગ અને અપૂર્ણાંક ધરાવે છે, તો પછી અપૂર્ણાંકને મિશ્ર કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 એ પૂર્ણાંક ભાગ છે, અને \(\frac(2)(3) \) એ અપૂર્ણાંક ભાગ છે.

જો અપૂર્ણાંકનો અંશ \(\frac(a)(b) \) કુદરતી સંખ્યા n વડે વિભાજ્ય હોય, તો આ અપૂર્ણાંકને n વડે ભાગવા માટે, તેના અંશને આ સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવો આવશ્યક છે:
\(\મોટો \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

જો અપૂર્ણાંકનો અંશ \(\frac(a)(b)\) કુદરતી સંખ્યા n વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો આ અપૂર્ણાંકને n વડે ભાગવા માટે, તમારે તેના છેદને આ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:
\(\મોટા \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

નોંધ કરો કે જ્યારે અંશ n વડે વિભાજ્ય હોય ત્યારે બીજો નિયમ પણ સાચો છે. તેથી, જ્યારે અપૂર્ણાંકનો અંશ n વડે વિભાજ્ય છે કે નહીં તે પ્રથમ નજરમાં નક્કી કરવું મુશ્કેલ હોય ત્યારે આપણે તેનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

અપૂર્ણાંક સાથેની ક્રિયાઓ. અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છીએ.

અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સાથે, કુદરતી સંખ્યાઓની જેમ, તમે કરી શકો છો અંકગણિત કામગીરી. ચાલો પહેલા અપૂર્ણાંક ઉમેરવા જોઈએ. સાથે સરળતાથી અપૂર્ણાંક ઉમેરો સમાન છેદ. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, \(\frac(2)(7)\) અને \(\frac(3)(7)\) નો સરવાળો શોધીએ. તે સમજવું સરળ છે કે \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના અંશ ઉમેરવાની જરૂર છે અને છેદને સમાન છોડવાની જરૂર છે.

અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવાનો નિયમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
\(\મોટા \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

જો તમારે સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવાની જરૂર હોય વિવિધ છેદ, તો પછી તેઓને પ્રથમ સામાન્ય સંપ્રદાય પર લાવવામાં આવશે. ઉદાહરણ તરીકે:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

અપૂર્ણાંક માટે, કુદરતી સંખ્યાઓ માટે, વિનિમયાત્મક અને સહયોગી ગુણધર્મોવધુમાં

મિશ્ર અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છે

નોટેશન જેમ કે \(2\frac(2)(3)\) કહેવાય છે મિશ્ર અપૂર્ણાંક. આ કિસ્સામાં, નંબર 2 કહેવામાં આવે છે આખો ભાગ મિશ્ર અપૂર્ણાંક, અને સંખ્યા \(\frac(2)(3)\) તેની છે અપૂર્ણાંક ભાગ . એન્ટ્રી \(2\frac(2)(3)\) નીચે પ્રમાણે વાંચવામાં આવે છે: "બે અને બે તૃતીયાંશ."

નંબર 8 ને નંબર 3 વડે વિભાજિત કરતી વખતે, તમે બે જવાબો મેળવી શકો છો: \(\frac(8)(3)\) અને \(2\frac(2)(3)\). તેઓ સમાન અપૂર્ણાંક સંખ્યાને વ્યક્ત કરે છે, એટલે કે \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

આમ, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક \(\frac(8)(3)\) મિશ્ર અપૂર્ણાંક \(2\frac(2)(3)\) તરીકે રજૂ થાય છે. આવા કિસ્સાઓમાં કહેવાય છે કે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક આખો ભાગ પ્રકાશિત કર્યો.

અપૂર્ણાંક બાદબાકી (અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ)

બાદબાકી અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ, કુદરતી રાશિઓની જેમ, ઉમેરણની ક્રિયાના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે: એક નંબરમાંથી બીજી બાદબાકી કરવાનો અર્થ એ છે કે એક નંબર શોધવો જે, જ્યારે બીજામાં ઉમેરવામાં આવે, ત્યારે પ્રથમ આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ત્યારથી \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = frac(8)(9)\)

સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકને બાદ કરવાનો નિયમ આવા અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા માટેના નિયમ જેવો જ છે:
સમાન છેદ સાથેના અપૂર્ણાંકો વચ્ચેનો તફાવત શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશમાંથી બીજાના અંશને બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, અને છેદને સમાન છોડવાની જરૂર છે.

અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, આ નિયમ આ રીતે લખાયેલ છે:
\(\મોટા \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર

અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેમના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને પ્રથમ ઉત્પાદનને અંશ તરીકે અને બીજાને છેદ તરીકે લખવાની જરૂર છે.

અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, અપૂર્ણાંકના ગુણાકાર માટેનો નિયમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
\(\મોટો \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

ઘડવામાં આવેલા નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તમે અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા, મિશ્ર અપૂર્ણાંક દ્વારા અને મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો પણ ગુણાકાર કરી શકો છો. આ કરવા માટે, તમારે 1 ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે કુદરતી સંખ્યા અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે મિશ્ર અપૂર્ણાંક લખવાની જરૂર છે.

અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગને અલગ કરીને ગુણાકારનું પરિણામ સરળ બનાવવું જોઈએ (જો શક્ય હોય તો).

અપૂર્ણાંકો માટે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની જેમ, ગુણાકારના વિનિમયાત્મક અને સંયોજન ગુણધર્મો, તેમજ સરવાળો સંબંધિત ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મ માન્ય છે.

અપૂર્ણાંકનું વિભાજન

ચાલો અપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\) લઈએ અને તેને "ફ્લિપ" કરીએ, અંશ અને છેદની અદલાબદલી કરીએ. આપણને અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(2)\) મળે છે. આ અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે વિપરીતઅપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\).

જો આપણે હવે અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(2)\ ને "વિપરીત" કરીએ, તો આપણને મૂળ અપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\) મળશે. તેથી, અપૂર્ણાંક જેમ કે \(\frac(2)(3)\) અને \(\frac(3)(2)\) કહેવાય છે પરસ્પર વિપરીત.

ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક \(\frac(6)(5) \) અને \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) અને \(\frac (18) )(7)\).

પરસ્પર અક્ષરોનો ઉપયોગ પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકનીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: \(\frac(a)(b) \) અને \(\frac(b)(a) \)

તે સ્પષ્ટ છે કે પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકનું ઉત્પાદન 1 બરાબર છે. ઉદાહરણ તરીકે: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને, તમે અપૂર્ણાંકના વિભાજનને ગુણાકારમાં ઘટાડી શકો છો.

અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવાનો નિયમ છે:
એક અપૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે વિભાજકના પરસ્પર દ્વારા ડિવિડન્ડનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવાનો નિયમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
\(\મોટો \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

જો ડિવિડન્ડ અથવા વિભાજક છે કુદરતી સંખ્યાઅથવા મિશ્ર અપૂર્ણાંક, તો પછી અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવા માટે, તેને પહેલા અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવવું આવશ્યક છે.