કાર્યને સમ (વિષમ) કહેવામાં આવે છે જો કોઈ હોય તો અને સમાનતા 
.
સમ કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે 
.
વિચિત્ર કાર્યનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે.
ઉદાહરણ 6.2.તપાસો કે ફંક્શન સમ કે વિષમ છે
1)
;
2)
;
3)
.
ઉકેલ.
1) કાર્ય ક્યારે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે 
. અમે શોધીશું 
.
તે. 
. અર્થ, આ કાર્યસમ છે.
2) કાર્ય ક્યારે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે 
તે. 
. આમ, આ કાર્ય વિચિત્ર છે.
3) કાર્ય માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, એટલે કે. માટે
,
. તેથી ફંક્શન સમ કે વિષમ નથી. ચાલો તેને સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય કહીએ.
3. એકવિધતા માટે કાર્યનો અભ્યાસ.
કાર્ય 
ચોક્કસ અંતરાલ પર વધારો (ઘટાડો) કહેવાય છે જો આ અંતરાલ દરેકમાં હોય ઉચ્ચ મૂલ્યદલીલ ફંક્શનના મોટા (નાના) મૂલ્યને અનુરૂપ છે.
ચોક્કસ અંતરાલમાં વધતા (ઘટાડા) કાર્યોને મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે.
જો કાર્ય 
અંતરાલ પર અલગ 
અને તેમાં સકારાત્મક (નકારાત્મક) વ્યુત્પન્ન છે 
, પછી કાર્ય 
આ અંતરાલ પર વધે છે (ઘટે છે).
ઉદાહરણ 6.3. કાર્યોની એકવિધતાના અંતરાલો શોધો
1)
;
3)
.
ઉકેલ.
1) આ કાર્ય સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ.
વ્યુત્પન્ન જો શૂન્ય બરાબર છે 
અને 
. અવકાશ - સંખ્યા અક્ષ, બિંદુઓ દ્વારા વિભાજિત 
,
અંતરાલો પર. ચાલો દરેક અંતરાલમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ.
અંતરાલમાં 
વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, આ અંતરાલ પર કાર્ય ઘટે છે.
અંતરાલમાં 
વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, તેથી, કાર્ય આ અંતરાલ પર વધે છે.
2) આ કાર્ય વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જો 
અથવા
.
અમે દરેક અંતરાલમાં ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું ચિહ્ન નક્કી કરીએ છીએ.
આમ, કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન
ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ 
,
, જો 
, એટલે કે 
, પરંતુ 
. ચાલો અંતરાલોમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ 
.
અંતરાલમાં 
વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, તેથી, અંતરાલ પર કાર્ય ઘટે છે 
. અંતરાલમાં 
વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, કાર્ય અંતરાલ પર વધે છે 
.
4. અંતિમ ભાગ પર કાર્યનો અભ્યાસ.
ડોટ 
કાર્યનો મહત્તમ (ન્યૂનતમ) બિંદુ કહેવાય છે 
, જો બિંદુની આવી પડોશી હોય 
તે દરેક માટે છે 
આ પડોશમાંથી અસમાનતા ધરાવે છે 
.
ફંક્શનના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓને એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે.
જો કાર્ય 
બિંદુ પર 
એક્સ્ટ્રીમમ છે, તો પછી આ બિંદુએ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી (એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી સ્થિતિ).
જે બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી તેને જટિલ કહેવામાં આવે છે.
5. એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરતો.
નિયમ 1. જો સંક્રમણ દરમિયાન (ડાબેથી જમણે) જટિલ બિંદુ દ્વારા 
વ્યુત્પન્ન 
"+" થી "-" માં ચિહ્ન બદલો, પછી બિંદુ પર 
કાર્ય 
મહત્તમ છે; જો “–” થી “+” હોય, તો ન્યૂનતમ; જો 
ચિહ્ન બદલાતું નથી, પછી ત્યાં કોઈ અંતિમ નથી.
નિયમ 2. બિંદુ પર દો 
ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન 
શૂન્ય બરાબર 
, અને બીજું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે અને શૂન્યથી અલગ છે. જો 
, તે 
- મહત્તમ બિંદુ, જો 
, તે 
- કાર્યનો ન્યૂનતમ બિંદુ.
ઉદાહરણ 6.4 . મહત્તમ અને લઘુત્તમ કાર્યોનું અન્વેષણ કરો:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
ઉકેલ.
1) કાર્ય અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે 
.
ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ 
અને સમીકરણ ઉકેલો 
, એટલે કે 
.અહીંથી 
- નિર્ણાયક મુદ્દાઓ.
ચાલો અંતરાલોમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ, 
.
જ્યારે પોઈન્ટમાંથી પસાર થાય છે 
અને 
વ્યુત્પન્ન ફેરફારો ચિહ્ન “–” થી “+”, તેથી, નિયમ 1 અનુસાર 
- ન્યૂનતમ પોઈન્ટ.
જ્યારે એક બિંદુ પરથી પસાર થાય છે 
વ્યુત્પન્ન ફેરફારો ચિહ્ન “+” થી “–”, તેથી 
- મહત્તમ બિંદુ.
,
.
2) કાર્ય અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે 
. ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ 
.
સમીકરણ હલ કર્યા 
, અમે શોધીશું 
અને 
- નિર્ણાયક મુદ્દાઓ. જો છેદ 
, એટલે કે 
, તો વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. તેથી, 
- ત્રીજો નિર્ણાયક બિંદુ. ચાલો અંતરાલોમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ.
તેથી, કાર્ય બિંદુ પર ન્યૂનતમ છે 
, પોઈન્ટમાં મહત્તમ 
અને 
.
3) કાર્ય વ્યાખ્યાયિત અને સતત જો 
, એટલે કે ખાતે 
.
ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ 
.
ચાલો નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધીએ: 
પોઈન્ટની પડોશ 
વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં નથી, તેથી તેઓ આત્યંતિક નથી. તેથી, ચાલો નિર્ણાયક મુદ્દાઓની તપાસ કરીએ 
અને 
.
4) કાર્ય વ્યાખ્યાયિત અને અંતરાલ પર સતત છે 
. ચાલો નિયમ 2 નો ઉપયોગ કરીએ. વ્યુત્પન્ન શોધો 
.
ચાલો નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધીએ:
ચાલો બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ 
અને પોઈન્ટ પર તેની નિશાની નક્કી કરો 
બિંદુઓ પર 
કાર્યમાં ન્યૂનતમ છે.
બિંદુઓ પર 
કાર્ય મહત્તમ છે.
ચલ x પર ચલ y ની અવલંબન, જેમાં x નું દરેક મૂલ્ય y ના એક મૂલ્યને અનુલક્ષે છે તેને કાર્ય કહેવામાં આવે છે. હોદ્દો માટે સંકેત y=f(x) નો ઉપયોગ કરો. દરેક કાર્યમાં સંખ્યાબંધ મૂળભૂત ગુણધર્મો હોય છે, જેમ કે એકવિધતા, સમાનતા, સામયિકતા અને અન્ય.
ધ્યાનમાં લો વધુ વિગતો મિલકતસમાનતા
ફંક્શન y=f(x) કહેવાય છે પછી ભલે તે નીચેની બે શરતોને સંતોષતું હોય:
2. બિંદુ x પરના ફંક્શનનું મૂલ્ય, ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંકળાયેલું છે, તે બિંદુ -x પરના ફંક્શનના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ. એટલે કે, કોઈપણ બિંદુ x માટે, નીચેની સમાનતા ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી સંતુષ્ટ થવી જોઈએ: f(x) = f(-x).
સમ કાર્યનો આલેખ
જો તમે આલેખ બનાવો છો સમ કાર્યતે ઓય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ હશે.
ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન y=x^2 સમ છે. ચાલો તેને તપાસીએ. વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ સમગ્ર સંખ્યાત્મક અક્ષ છે, જેનો અર્થ છે કે તે બિંદુ O વિશે સપ્રમાણ છે.
ચાલો એક મનસ્વી x=3 લઈએ. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. તેથી f(x) = f(-x). આમ, બંને શરતો પૂરી થાય છે, જેનો અર્થ છે કે કાર્ય સમ છે. નીચે ફંક્શન y=x^2 નો ગ્રાફ છે.
આકૃતિ દર્શાવે છે કે ગ્રાફ ઓય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે.
વિચિત્ર કાર્યનો આલેખ
ફંક્શન y=f(x)ને વિચિત્ર કહેવામાં આવે છે જો તે નીચેની બે શરતોને સંતોષે છે:
1. આપેલ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન બિંદુ O ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોવું જોઈએ. એટલે કે, જો અમુક બિંદુ a ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધ ધરાવે છે, તો અનુરૂપ બિંદુ -a પણ વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત હોવું જોઈએ. આપેલ કાર્યનું.
2. કોઈપણ બિંદુ x માટે, નીચેની સમાનતા ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી સંતુષ્ટ થવી જોઈએ: f(x) = -f(x).
વિષમ કાર્યનો આલેખ બિંદુ O - કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન y=x^3 વિચિત્ર છે. ચાલો તેને તપાસીએ. વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ સમગ્ર સંખ્યાત્મક અક્ષ છે, જેનો અર્થ છે કે તે બિંદુ O વિશે સપ્રમાણ છે.
ચાલો એક મનસ્વી x=2 લઈએ. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. તેથી f(x) = -f(x). આમ, બંને શરતો પૂરી થાય છે, જેનો અર્થ છે કે કાર્ય વિચિત્ર છે. નીચે ફંક્શન y=x^3 નો ગ્રાફ છે.
આકૃતિ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે વિચિત્ર કાર્ય y=x^3 એ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે.
આલેખ કન્વર્ટિંગ.
કાર્યનું મૌખિક વર્ણન.
ગ્રાફિક પદ્ધતિ.
ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ સૌથી વધુ વિઝ્યુઅલ છે અને તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર ટેકનોલોજીમાં થાય છે. IN ગાણિતિક વિશ્લેષણફંક્શન્સને સ્પષ્ટ કરવાની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ઉદાહરણ તરીકે થાય છે.
કાર્ય ગ્રાફ f એ તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે (x;y) સંકલન વિમાન, જ્યાં y=f(x), અને x આ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનને "રન કરે છે".
કોઓર્ડિનેટ પ્લેનનો સબસેટ એ ફંક્શનનો ગ્રાફ છે જો તેમાં વધુમાં વધુ એક હોય સામાન્ય બિંદુઓય અક્ષની સમાંતર કોઈપણ સીધી રેખામાંથી.
ઉદાહરણ. શું ફંકશનના આલેખ નીચે દર્શાવેલ આકૃતિઓ છે?
ફાયદો ગ્રાફિક કાર્યતેની દૃશ્યતા છે. તમે તરત જ જોઈ શકો છો કે ફંક્શન કેવી રીતે વર્તે છે, તે ક્યાં વધે છે અને ક્યાં ઘટે છે. ગ્રાફ પરથી તમે તરત જ કેટલાકને ઓળખી શકો છો મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓકાર્યો
સામાન્ય રીતે, વિશ્લેષણાત્મક અને ગ્રાફિક રીતોકાર્ય સોંપણીઓ હાથમાં જાય છે. સૂત્ર સાથે કામ કરવાથી ગ્રાફ બનાવવામાં મદદ મળે છે. અને આલેખ ઘણીવાર એવા ઉકેલો સૂચવે છે જે તમે ફોર્મ્યુલામાં ધ્યાનમાં પણ નહીં લેશો.
લગભગ કોઈપણ વિદ્યાર્થી ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની ત્રણ રીતો જાણે છે જે આપણે હમણાં જ જોયું છે.
ચાલો પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો પ્રયાસ કરીએ: "શું કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવાની અન્ય રીતો છે?"
આવી રીત છે.
કાર્યને શબ્દોમાં તદ્દન અસ્પષ્ટપણે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન y=2x નીચેના મૌખિક વર્ણન દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે: દલીલ x ની દરેક વાસ્તવિક કિંમત તેના ડબલ મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલ છે. નિયમ સ્થાપિત થયેલ છે, કાર્ય સ્પષ્ટ થયેલ છે.
તદુપરાંત, તમે મૌખિક રીતે એક ફંક્શનનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો જે અત્યંત મુશ્કેલ છે, જો અશક્ય ન હોય તો, ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે.
ઉદાહરણ તરીકે: કુદરતી દલીલ x નું દરેક મૂલ્ય x નું મૂલ્ય બનાવે છે તે અંકોના સરવાળા સાથે સંકળાયેલું છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો x=3, તો y=3. જો x=257, તો y=2+5+7=14. અને તેથી વધુ. આને ફોર્મ્યુલામાં લખવું સમસ્યારૂપ છે. પરંતુ નિશાની બનાવવી સરળ છે.
વે મૌખિક વર્ણન- એક જગ્યાએ ભાગ્યે જ ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિ. પરંતુ ક્યારેક તે કરે છે.
જો x અને y વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહારનો નિયમ હોય, તો ત્યાં એક કાર્ય છે. કયો કાયદો, કયા સ્વરૂપમાં તે વ્યક્ત થાય છે - એક સૂત્ર, એક ટેબ્લેટ, એક આલેખ, શબ્દો - બાબતના સારને બદલતા નથી.
ચાલો આપણે એવા કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેની વ્યાખ્યાના ડોમેન્સ મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, એટલે કે. કોઈપણ માટે એક્સવ્યાખ્યા નંબરના ડોમેનમાંથી (- એક્સ) પણ વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં છે. આ કાર્યો પૈકી છે સમાન અને વિચિત્ર.
વ્યાખ્યા.ફંક્શન f કહેવાય છે સમ, જો કોઈ માટે એક્સતેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાંથી
ઉદાહરણ.કાર્યને ધ્યાનમાં લો 
તે સમ છે. ચાલો તેને તપાસીએ.
કોઈપણ માટે એક્સસમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે
આમ, બંને શરતો પૂરી થાય છે, જેનો અર્થ છે કે કાર્ય સમ છે. નીચે આ કાર્યનો ગ્રાફ છે.
વ્યાખ્યા.ફંક્શન f કહેવાય છે વિચિત્ર, જો કોઈ માટે એક્સતેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાંથી 
ઉદાહરણ. કાર્યને ધ્યાનમાં લો 
તે વિચિત્ર છે. ચાલો તેને તપાસીએ.
વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર એ સમગ્ર સંખ્યાત્મક અક્ષ છે, જેનો અર્થ છે કે તે બિંદુ (0;0) વિશે સપ્રમાણ છે.
કોઈપણ માટે એક્સસમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે
આમ, બંને શરતો પૂરી થાય છે, જેનો અર્થ છે કે કાર્ય વિચિત્ર છે. નીચે આ કાર્યનો ગ્રાફ છે.
પ્રથમ અને ત્રીજા આંકડામાં દર્શાવેલ આલેખ ઓર્ડિનેટ અક્ષ વિશે સપ્રમાણતા ધરાવે છે, અને બીજા અને ચોથા આંકડામાં દર્શાવેલ આલેખ મૂળ વિશે સપ્રમાણતા ધરાવે છે.
આકૃતિઓમાં દર્શાવવામાં આવેલા આલેખમાંથી કયા ફંક્શન સમ છે અને કયા વિષમ છે?
