ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂલ્યોનું કોષ્ટક

નોંધ. ત્રિકોણમિતિ કાર્ય મૂલ્યોનું આ કોષ્ટક સૂચવવા માટે √ ચિહ્નનો ઉપયોગ કરે છે વર્ગમૂળ. અપૂર્ણાંક દર્શાવવા માટે, "/" ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો.

પણ જુઓઉપયોગી સામગ્રી:

માટે ત્રિકોણમિતિ કાર્યનું મૂલ્ય નક્કી કરવું, તેને ત્રિકોણમિતિ કાર્ય દર્શાવતી રેખાના આંતરછેદ પર શોધો. ઉદાહરણ તરીકે, સાઈન 30 ડિગ્રી - અમે હેડિંગ sin (sine) સાથે કૉલમ શોધીએ છીએ અને "30 ડિગ્રી" પંક્તિ સાથે આ કોષ્ટક કૉલમનું આંતરછેદ શોધીએ છીએ, તેમના આંતરછેદ પર આપણે પરિણામ વાંચીએ છીએ - અડધા. એ જ રીતે આપણે શોધીએ છીએ કોસાઇન 60ડિગ્રી, સાઈન 60ડિગ્રી (ફરી એક વાર, પાપ કૉલમ અને 60 ડિગ્રી રેખાના આંતરછેદ પર આપણને મૂલ્ય sin 60 = √3/2 મળે છે), વગેરે. અન્ય “લોકપ્રિય” ખૂણાઓના સાઈન, કોસાઈન્સ અને સ્પર્શકોના મૂલ્યો એ જ રીતે જોવા મળે છે.

સાઈન પાઈ, કોસાઈન પાઈ, ટેન્જેન્ટ પાઈ અને રેડિયનમાં અન્ય ખૂણો

કોસાઇન્સ, સાઇન અને ટેન્જેન્ટનું નીચેનું કોષ્ટક ત્રિકોણમિતિ વિધેયોનું મૂલ્ય શોધવા માટે પણ યોગ્ય છે જેની દલીલ છે રેડિયનમાં આપેલ છે. આ કરવા માટે, કોણ મૂલ્યોની બીજી કૉલમનો ઉપયોગ કરો. આનો આભાર, તમે લોકપ્રિય ખૂણાના મૂલ્યને ડિગ્રીથી રેડિયનમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પ્રથમ લીટીમાં 60 ડિગ્રીનો કોણ શોધીએ અને તેની નીચેની રેડિયનમાં તેની કિંમત વાંચીએ. 60 ડિગ્રી π/3 રેડિયનની બરાબર છે.

નંબર pi અસ્પષ્ટપણે પરિઘની અવલંબન વ્યક્ત કરે છે ડિગ્રી માપખૂણો આમ, પાઇ રેડિયન 180 ડિગ્રી બરાબર છે.

પાઇ (રેડિયન) ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરાયેલ કોઈપણ સંખ્યાને પાઇ (π) ને 180 સાથે બદલીને સરળતાથી ડિગ્રીમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે..

ઉદાહરણો:
1. સાઈન પી.
sin π = sin 180 = 0
આમ, pi ની સાઈન 180 ડિગ્રીની સાઈન જેટલી જ છે અને તે શૂન્યની બરાબર છે.

2. કોસાઇન પી.
cos π = cos 180 = -1
આમ, pi નો કોસાઇન 180 ડિગ્રીના કોસાઇન જેટલો જ છે અને તે માઇનસ વન બરાબર છે.

3. સ્પર્શક પી
tg π = tg 180 = 0
આમ, સ્પર્શક pi એ સ્પર્શક 180 ડિગ્રી સમાન છે અને તે શૂન્યની બરાબર છે.

કોણ 0 - 360 ડિગ્રી (સામાન્ય મૂલ્યો) માટે સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક મૂલ્યોનું કોષ્ટક

જો ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યોના કોષ્ટકમાં ફંક્શન વેલ્યુ (ટેન્જેન્ટ (ટીજી) 90 ડિગ્રી, કોટેન્જેન્ટ (સીટીજી) 180 ડિગ્રી) ને બદલે ડેશ સૂચવવામાં આવે છે, તો પછી કોણના ડિગ્રી માપના આપેલ મૂલ્ય માટે ફંક્શન ચોક્કસ મૂલ્ય નથી. જો ત્યાં કોઈ ડૅશ નથી, તો કોષ ખાલી છે, જેનો અર્થ છે કે અમે હજી દાખલ થયા નથી ઇચ્છિત મૂલ્ય. અમને રસ છે કે વપરાશકર્તાઓ અમારી પાસે કઈ પ્રશ્નો માટે આવે છે અને કોષ્ટકને નવા મૂલ્યો સાથે પૂરક બનાવે છે, એ હકીકત હોવા છતાં કે સૌથી સામાન્ય કોણ મૂલ્યોના કોસાઇન્સ, સાઇન અને ટેન્જેન્ટના મૂલ્યો પરનો વર્તમાન ડેટા મોટાભાગના ઉકેલવા માટે પૂરતો છે. સમસ્યાઓ

સૌથી વધુ લોકપ્રિય ખૂણાઓ માટે ત્રિકોણમિતિ વિધેયો sin, cos, tg ના મૂલ્યોનું કોષ્ટક
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 ડિગ્રી
(સંખ્યાત્મક મૂલ્યો "બ્રાડિસ કોષ્ટકો મુજબ")

આપણે ત્રિકોણમિતિનો અમારો અભ્યાસ કાટકોણ ત્રિકોણથી શરૂ કરીશું. ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે સાઈન અને કોસાઈન શું છે, તેમજ ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ તીવ્ર કોણ. આ ત્રિકોણમિતિની મૂળભૂત બાબતો છે.

ચાલો તે યાદ કરીએ જમણો ખૂણો 90 ડિગ્રી જેટલો ખૂણો છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અડધો વળેલો કોણ.

તીવ્ર કોણ- 90 ડિગ્રી કરતા ઓછું.

અસ્પષ્ટ કોણ- 90 ડિગ્રીથી વધુ. આવા ખૂણાના સંબંધમાં, "ઓબ્ટ્યુસ" એ અપમાન નથી, પરંતુ ગાણિતિક શબ્દ છે :-)

ચાલો કાટકોણ ત્રિકોણ દોરીએ. જમણો ખૂણો સામાન્ય રીતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ફક્ત નાની. આમ, બાજુ વિરુદ્ધ કોણ A નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

કોણ અનુરૂપ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે ગ્રીક અક્ષર.

હાયપોટેન્યુઝકાટકોણ ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુ છે જમણો ખૂણો.

પગ- તીવ્ર ખૂણાઓની વિરુદ્ધ બાજુઓ.

કોણની સામે પડેલા પગને કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ(કોણને સંબંધિત). બીજો પગ, જે કોણની એક બાજુ પર રહેલો છે, તેને કહેવામાં આવે છે અડીને.

સાઇનસમાં તીવ્ર કોણ જમણો ત્રિકોણ- આ એક વલણ છે વિરુદ્ધ પગકર્ણ માટે:

કોસાઇનકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ - અડીને આવેલા પગનો કર્ણાકારનો ગુણોત્તર:

સ્પર્શકકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ - બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર:

બીજી (સમકક્ષ) વ્યાખ્યા: તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ કોણની સાઈન અને તેના કોસાઈનનો ગુણોત્તર છે:

કોટેન્જેન્ટકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ - બાજુની બાજુનો વિપરીત ગુણોત્તર (અથવા, જે સમાન છે, કોસાઇન અને સાઇનનો ગુણોત્તર):

નીચે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ માટેના મૂળભૂત સંબંધોની નોંધ લો. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે તેઓ અમારા માટે ઉપયોગી થશે.

ચાલો તેમાંથી કેટલાકને સાબિત કરીએ.

ઠીક છે, અમે વ્યાખ્યાઓ આપી છે અને સૂત્રો લખ્યા છે. પરંતુ શા માટે આપણને હજુ પણ સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની જરૂર છે?

તે આપણે જાણીએ છીએ કોઈપણ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર છે.

વચ્ચેનો સંબંધ આપણે જાણીએ છીએ પક્ષોજમણો ત્રિકોણ. આ પાયથાગોરિયન પ્રમેય છે: .

તે તારણ આપે છે કે ત્રિકોણમાં બે ખૂણાઓ જાણીને, તમે ત્રીજો શોધી શકો છો. કાટકોણ ત્રિકોણની બે બાજુઓને જાણીને, તમે ત્રીજી બાજુ શોધી શકો છો. આનો અર્થ એ છે કે ખૂણાઓનો પોતાનો ગુણોત્તર હોય છે, અને બાજુઓનો પોતાનો ગુણોત્તર હોય છે. પરંતુ તમારે શું કરવું જોઈએ જો કાટકોણ ત્રિકોણમાં તમે એક ખૂણો (જમણો ખૂણો સિવાય) અને એક બાજુ જાણો છો, પરંતુ તમારે બીજી બાજુઓ શોધવાની જરૂર છે?

વિસ્તાર અને તારાવાળા આકાશના નકશા બનાવતી વખતે ભૂતકાળમાં લોકોએ આનો સામનો કરવો પડ્યો હતો. છેવટે, ત્રિકોણની બધી બાજુઓને સીધું માપવાનું હંમેશા શક્ય નથી.

સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ - તેમને પણ કહેવામાં આવે છે ત્રિકોણમિતિ કોણ કાર્યો- વચ્ચે સંબંધો આપો પક્ષોઅને ખૂણાત્રિકોણ કોણ જાણીને, તમે તે બધું શોધી શકો છો ત્રિકોણમિતિ કાર્યોખાસ કોષ્ટકો અનુસાર. અને ત્રિકોણના ખૂણાઓ અને તેની એક બાજુના સાઇન્સ, કોસાઇન્સ અને સ્પર્શકોને જાણીને, તમે બાકીનાને શોધી શકો છો.

આપણે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોનું કોષ્ટક પણ "સારા" ખૂણાઓ માટે દોરીશું.

કૃપા કરીને કોષ્ટકમાં બે લાલ ડૅશની નોંધ લો. યોગ્ય ખૂણાના મૂલ્યો પર, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ અસ્તિત્વમાં નથી.

ચાલો FIPI ટાસ્ક બેંકમાંથી કેટલીક ત્રિકોણમિતિ સમસ્યાઓ જોઈએ.

1. ત્રિકોણમાં, કોણ છે , . શોધો.

સમસ્યા ચાર સેકન્ડમાં ઉકેલાઈ જાય છે.

ત્યારથી, .

2. ત્રિકોણમાં, કોણ છે , , . શોધો.

ચાલો તેને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ.

સમસ્યા હલ થાય છે.

ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં ખૂણા અને અથવા ખૂણા અને સાથે ત્રિકોણ હોય છે. હૃદયથી તેમના માટે મૂળભૂત ગુણોત્તર યાદ રાખો!

ખૂણાવાળા ત્રિકોણ માટે અને કોણની સામેનો પગ બરાબર છે કર્ણનો અડધો ભાગ.

ખૂણાઓ સાથેનો ત્રિકોણ અને સમદ્વિબાજુ છે. તેમાં, કર્ણ પગ કરતા ગણો મોટો છે.

અમે કાટખૂણે ત્રિકોણ ઉકેલતી સમસ્યાઓ તરફ જોયું - એટલે કે, અજાણી બાજુઓ અથવા ખૂણાઓ શોધવા. પરંતુ તે બધુ જ નથી! IN યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા વિકલ્પોગણિતમાં ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અથવા કોટેન્જેન્ટ સાથે સંકળાયેલી ઘણી સમસ્યાઓ છે. આગળના લેખમાં આ વિશે વધુ.

ત્રિકોણમિતિ ઓળખો- આ સમાનતાઓ છે જે એક ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે, જે તમને આમાંથી કોઈપણ ફંક્શન શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે, જો કે અન્ય કોઈ જાણીતું હોય.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

આ ઓળખ કહે છે કે એક ખૂણાના સાઈનના વર્ગનો સરવાળો અને એક ખૂણાના કોસાઈનના વર્ગનો સરવાળો એક સમાન છે, જે વ્યવહારમાં એક ખૂણાની સાઈનની ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવે છે જ્યારે તેનો કોસાઈન જાણીતો હોય અને તેનાથી ઊલટું .

રૂપાંતર કરતી વખતે ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓઆ ઓળખ ઘણી વાર ઉપયોગમાં લેવામાં આવે છે, જે એક ખૂણાના કોસાઈન અને સાઈનના ચોરસના સરવાળાને એક વડે બદલી શકે છે અને રિવર્સ ક્રમમાં રિપ્લેસમેન્ટ ઑપરેશન પણ કરી શકે છે.

સાઈન અને કોસાઈનનો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ શોધવી

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

આ ઓળખો સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓમાંથી બનાવવામાં આવી છે. છેવટે, જો તમે તેને જુઓ, તો વ્યાખ્યા મુજબ ઓર્ડિનેટ y એ સાઈન છે, અને એબ્સીસા x એ કોસાઈન છે. પછી સ્પર્શક હશે ગુણોત્તર સમાન \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), અને ગુણોત્તર \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- કોટેન્જેન્ટ હશે.

ચાલો આપણે ઉમેરીએ કે ફક્ત આવા ખૂણાઓ \ alpha માટે કે જેમાં ત્રિકોણમિતિ વિધેયો તેમાં સમાવિષ્ટ છે તે અર્થપૂર્ણ બને છે, ઓળખ ધરાવે છે, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

ઉદાહરણ તરીકે: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)એંગલ \આલ્ફા માટે માન્ય છે જે તેનાથી અલગ છે \frac(\pi)(2)+\pi z, એ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z સિવાયના કોણ \alpha માટે, z એ પૂર્ણાંક છે.

સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વચ્ચેનો સંબંધ

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

આ ઓળખ માત્ર એંગલ \આલ્ફા માટે માન્ય છે જે તેનાથી અલગ છે \frac(\pi)(2) z. નહિંતર, કોટેન્જેન્ટ અથવા ટેન્જેન્ટ નક્કી કરવામાં આવશે નહીં.

ઉપરોક્ત મુદ્દાઓના આધારે, અમે તે મેળવીએ છીએ tg \alpha = \frac(y)(x), એ ctg \alpha=\frac(x)(y). તે તેને અનુસરે છે tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. આમ, સમાન ખૂણાના સ્પર્શક અને સહસ્પર્શક કે જેના પર તેઓનો અર્થ થાય છે તે પરસ્પર વ્યસ્ત સંખ્યાઓ છે.

સ્પર્શક અને કોસાઈન, કોટેન્જેન્ટ અને સાઈન વચ્ચેના સંબંધો

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- કોણ \alpha અને 1 ની સ્પર્શકના ચોરસનો સરવાળો આ ખૂણાના કોસાઈનના વ્યસ્ત વર્ગ જેટલો છે. આ ઓળખ અન્ય તમામ \alpha માટે માન્ય છે \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 નો સરવાળો અને કોણ \ આલ્ફાના કોટિંજન્ટનો વર્ગ સાઈનના વ્યસ્ત વર્ગ જેટલો છે આપેલ કોણ. આ ઓળખ \pi z થી અલગ કોઈપણ \alpha માટે માન્ય છે.

ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓના ઉકેલ સાથેના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1

\sin \alpha અને tg \alpha જો શોધો \cos \alpha=-\frac12અને \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

ઉકેલ બતાવો

ઉકેલ

વિધેયો \sin \alpha અને \cos \alpha સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. આ ફોર્મ્યુલામાં અવેજી \cos \alpha = -\frac12, અમને મળે છે:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

આ સમીકરણમાં 2 ઉકેલો છે:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

શરતે \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . બીજા ક્વાર્ટરમાં સાઈન પોઝિટિવ છે, તેથી \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tan \alpha શોધવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ઉદાહરણ 2

શોધો \cos \alpha અને ctg \alpha if અને \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

ઉકેલ બતાવો

ઉકેલ

ફોર્મ્યુલામાં અવેજીમાં \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1આપેલ નંબર \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), અમને મળે છે \left (\frac(\sqrt3)(2)\જમણે)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. આ સમીકરણમાં બે ઉકેલો છે \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

શરતે \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . બીજા ક્વાર્ટરમાં કોસાઇન નકારાત્મક છે, તેથી \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha શોધવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). આપણે અનુરૂપ મૂલ્યો જાણીએ છીએ.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વિભાવનાઓ ત્રિકોણમિતિની મુખ્ય શ્રેણીઓ છે, જે ગણિતની એક શાખા છે અને કોણની વ્યાખ્યા સાથે અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલી છે. આની માલિકી ગાણિતિક વિજ્ઞાનફોર્મ્યુલા અને પ્રમેયની યાદ અને સમજણની જરૂર છે, તેમજ વિકસિત અવકાશી વિચારસરણી. આથી જ ત્રિકોણમિતિની ગણતરીઓ ઘણીવાર શાળાના બાળકો અને વિદ્યાર્થીઓ માટે મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. તેમને દૂર કરવા માટે, તમારે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો અને સૂત્રોથી વધુ પરિચિત થવું જોઈએ.

ત્રિકોણમિતિમાં ખ્યાલો

સમજવા માટે મૂળભૂત ખ્યાલોત્રિકોણમિતિ, તમારે પહેલા નક્કી કરવું જોઈએ કે વર્તુળમાં કાટકોણ ત્રિકોણ અને કોણ શું છે અને શા માટે તમામ મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ગણતરીઓ તેમની સાથે સંકળાયેલી છે. એક ત્રિકોણ જેમાં એક ખૂણો 90 ડિગ્રી માપે છે તે લંબચોરસ છે. ઐતિહાસિક રીતે, આ આંકડો ઘણીવાર આર્કિટેક્ચર, નેવિગેશન, કલા અને ખગોળશાસ્ત્રમાં લોકો દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાય છે. તદનુસાર, આ આંકડોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ અને વિશ્લેષણ કરીને, લોકો તેના પરિમાણોના અનુરૂપ ગુણોત્તરની ગણતરી કરવા આવ્યા હતા.

જમણા ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલી મુખ્ય શ્રેણીઓ કર્ણ અને પગ છે. કર્ણો એ ત્રિકોણની બાજુ છે જે જમણા ખૂણાની વિરુદ્ધ છે. પગ, અનુક્રમે, અન્ય બે બાજુઓ છે. કોઈપણ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 180 ડિગ્રી હોય છે.

ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિ એ ત્રિકોણમિતિનો એક વિભાગ છે જેનો અભ્યાસ શાળામાં થતો નથી, પરંતુ તેમાં થાય છે લાગુ વિજ્ઞાનજેમ કે ખગોળશાસ્ત્ર અને ભૂસ્તરશાસ્ત્ર, વૈજ્ઞાનિકો તેનો ઉપયોગ કરે છે. ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિમાં ત્રિકોણની ખાસિયત એ છે કે તેમાં હંમેશા 180 ડિગ્રી કરતા વધારે ખૂણાઓનો સરવાળો હોય છે.

ત્રિકોણના ખૂણા

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, ખૂણાની સાઈન એ ત્રિકોણના કર્ણાકારના ઇચ્છિત ખૂણાની સામેના પગનો ગુણોત્તર છે. તદનુસાર, કોસાઇન એ અડીને પગ અને કર્ણનો ગુણોત્તર છે. આ બંને મૂલ્યોની તીવ્રતા હંમેશા એક કરતા ઓછી હોય છે, કારણ કે કર્ણો હંમેશા પગ કરતા લાંબો હોય છે.

ખૂણાની સ્પર્શક એ ઇચ્છિત કોણની બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુના ગુણોત્તર અથવા સાઈનથી કોસાઈન સમાન મૂલ્ય છે. કોટેન્જેન્ટ, બદલામાં, ઇચ્છિત કોણની અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. એક ખૂણાના કોટિંજન્ટને સ્પર્શક મૂલ્ય દ્વારા ભાગાકાર કરીને પણ મેળવી શકાય છે.

એકમ વર્તુળ

ભૂમિતિમાં એકમ વર્તુળ એ એક વર્તુળ છે જેની ત્રિજ્યા એક સમાન. આવા વર્તુળમાં બાંધવામાં આવે છે કાર્ટેશિયન સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ, જ્યારે વર્તુળનું કેન્દ્ર મૂળ બિંદુ સાથે એકરુપ છે, અને પ્રારંભિક સ્થિતિત્રિજ્યા વેક્ટર X અક્ષ (એબ્સીસા અક્ષ) ની હકારાત્મક દિશા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વર્તુળ પરના દરેક બિંદુમાં બે કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે: XX અને YY, એટલે કે, એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટના કોઓર્ડિનેટ્સ. XX સમતલમાં વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુને પસંદ કરીને અને તેમાંથી એક કાટખૂણે એબ્સિસા અક્ષ પર છોડીને, અમે ત્રિજ્યા દ્વારા પસંદ કરેલા બિંદુ (અક્ષર C દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે), X અક્ષ તરફ દોરવામાં આવેલ લંબરૂપ ત્રિકોણ મેળવીએ છીએ. (છેદન બિંદુ એ અક્ષર G દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે), અને એબ્સીસા અક્ષ એ કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ (બિંદુ એ અક્ષર A દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે) અને આંતરછેદ બિંદુ G વચ્ચે છે. પરિણામી ત્રિકોણ ACG એ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં અંકિત થયેલ છે. એક વર્તુળ, જ્યાં AG એ કર્ણ છે, અને AC અને GC એ પગ છે. વર્તુળ AC ની ત્રિજ્યા અને હોદ્દો AG સાથે એબ્સિસા અક્ષના સેગમેન્ટ વચ્ચેનો કોણ α (આલ્ફા) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તેથી, cos α = AG/AC. ધ્યાનમાં લેતા કે AC એ એકમ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, અને તે એક સમાન છે, તે તારણ આપે છે કે cos α=AG. તેવી જ રીતે, sin α=CG.

વધુમાં, આ ડેટાને જાણીને, તમે વર્તુળ પર બિંદુ C નું સંકલન નક્કી કરી શકો છો, કારણ કે cos α=AG, અને sin α=CG, જેનો અર્થ થાય છે બિંદુ C આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સ(cos α;sin α). એ જાણીને કે સ્પર્શક એ સાઈન અને કોસાઈનના ગુણોત્તર સમાન છે, અમે તે નક્કી કરી શકીએ છીએ કે tan α = y/x, અને cot α = x/y. નકારાત્મક સંકલન પ્રણાલીમાં ખૂણાઓને ધ્યાનમાં લઈને, તમે ગણતરી કરી શકો છો કે કેટલાક ખૂણાઓના સાઈન અને કોસાઈન મૂલ્યો નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

ગણતરીઓ અને મૂળભૂત સૂત્રો

ત્રિકોણમિતિ કાર્ય મૂલ્યો

દ્વારા ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સારને ધ્યાનમાં લીધા પછી એકમ વર્તુળ, તમે કેટલાક ખૂણાઓ માટે આ કાર્યોની કિંમતો મેળવી શકો છો. મૂલ્યો નીચેના કોષ્ટકમાં સૂચિબદ્ધ છે.

સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ ઓળખ

સમીકરણો જેમાં ત્રિકોણમિતિ કાર્યની નિશાની હેઠળ અજ્ઞાત મૂલ્ય હોય છે તેને ત્રિકોણમિતિ કહેવાય છે. મૂલ્ય sin x = α, k - કોઈપણ પૂર્ણાંક સાથેની ઓળખ:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. પાપ x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, કોઈ ઉકેલો નથી.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

કિંમત cos x = a સાથેની ઓળખ, જ્યાં k કોઈપણ પૂર્ણાંક છે:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, કોઈ ઉકેલો નથી.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

મૂલ્ય tg x = a સાથેની ઓળખ, જ્યાં k કોઈપણ પૂર્ણાંક છે:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

ctg x = a મૂલ્ય સાથેની ઓળખ, જ્યાં k કોઈપણ પૂર્ણાંક છે:

1. cot x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

ઘટાડાનાં સૂત્રો

આ શ્રેણી સતત સૂત્રોપદ્ધતિઓ સૂચવે છે કે જેના દ્વારા કોઈ વ્યક્તિ ફોર્મના ત્રિકોણમિતિ વિધેયોમાંથી દલીલના કાર્યોમાં ખસેડી શકે છે, એટલે કે, કોઈપણ મૂલ્યના કોણની સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટને 0 થી અંતરાલના ખૂણાના અનુરૂપ સૂચકાંકો સુધી ઘટાડવા માટે ગણતરીઓની વધુ સુવિધા માટે 90 ડિગ્રી સુધી.

કોણની સાઈન માટે ફંક્શન ઘટાડવા માટેના સૂત્રો આના જેવા દેખાય છે:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

કોણના કોસાઇન માટે:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ બે નિયમોને આધીન શક્ય છે. પ્રથમ, જો કોણને મૂલ્ય (π/2 ± a) અથવા (3π/2 ± a) તરીકે રજૂ કરી શકાય, તો કાર્યનું મૂલ્ય બદલાય છે:

• પાપ થી cos સુધી;
• cos થી પાપ સુધી;
• tg થી ctg સુધી;
• ctg થી tg સુધી.

જો કોણ (π ± a) અથવા (2π ± a) તરીકે રજૂ કરી શકાય તો કાર્યનું મૂલ્ય યથાવત રહે છે.

બીજું, ઘટાડેલા કાર્યનું ચિહ્ન બદલાતું નથી: જો તે શરૂઆતમાં હકારાત્મક હતું, તો તે તે જ રહે છે. નકારાત્મક કાર્યો સાથે સમાન.

ઉમેરણ સૂત્રો

આ સૂત્રો તેમના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો દ્વારા બે પરિભ્રમણ ખૂણાઓના સરવાળા અને તફાવતના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોને વ્યક્ત કરે છે. સામાન્ય રીતે ખૂણાઓ α અને β તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

સૂત્રો આના જેવા દેખાય છે:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

આ સૂત્રો કોઈપણ ખૂણા α અને β માટે માન્ય છે.

ડબલ અને ટ્રિપલ એંગલ ફોર્મ્યુલા

દ્વિ અને ત્રિકોણ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો એવા સૂત્રો છે જે અનુક્રમે 2α અને 3α ખૂણાના કાર્યોને કોણ α ના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સાથે સંબંધિત છે. વધારાના સૂત્રોમાંથી તારવેલી:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

સરવાળાથી ઉત્પાદનમાં સંક્રમણ

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), આ સૂત્રને સરળ બનાવતા, આપણે sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ઓળખ મેળવીએ છીએ. તેવી જ રીતે sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

ઉત્પાદનથી સરવાળામાં સંક્રમણ

આ સૂત્રો ઉત્પાદનમાં સરવાળાના સંક્રમણની ઓળખ પરથી અનુસરે છે:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

ડિગ્રી ઘટાડવાના સૂત્રો

આ ઓળખમાં, ચોરસ અને ઘન ડિગ્રીસાઈન અને કોસાઈનને બહુવિધ કોણની પ્રથમ ડિગ્રીના સાઈન અને કોસાઈન દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

સાર્વત્રિક અવેજી

સાર્વત્રિક સૂત્રો ત્રિકોણમિતિ અવેજીત્રિકોણમિતિ વિધેયોને અડધા ખૂણાના સ્પર્શકની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરો.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn સાથે;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), જ્યાં x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), જ્યાં x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn સાથે.

ખાસ કેસો

પ્રોટોઝોઆના ખાસ કિસ્સાઓ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોનીચે આપેલ છે (k કોઈપણ પૂર્ણાંક છે).

સાઈન માટે અવશેષો:

કોસાઇન માટે અવતરણ:

સ્પર્શક માટે અવતરણ:

કોટેન્જેન્ટ માટે અવતરણો:

પ્રમેય

સાઇન્સનું પ્રમેય

પ્રમેયની બે આવૃત્તિઓ છે - સરળ અને વિસ્તૃત. સરળ પ્રમેયસાઈન: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. આ કિસ્સામાં, a, b, c ત્રિકોણની બાજુઓ છે, અને α, β, γ અનુક્રમે વિરોધી ખૂણા છે.

માટે વિસ્તૃત સાઈન પ્રમેય મનસ્વી ત્રિકોણ: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. આ ઓળખમાં, R એ વર્તુળની ત્રિજ્યા સૂચવે છે જેમાં આપેલ ત્રિકોણ અંકિત થયેલ છે.

કોસાઇન પ્રમેય

ઓળખ નીચે પ્રમાણે પ્રદર્શિત થાય છે: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. સૂત્રમાં, a, b, c એ ત્રિકોણની બાજુઓ છે અને α એ બાજુ a ની વિરુદ્ધ કોણ છે.

સ્પર્શક પ્રમેય

સૂત્ર બે ખૂણાઓની સ્પર્શક અને તેમની સામેની બાજુઓની લંબાઈ વચ્ચેના સંબંધને વ્યક્ત કરે છે. બાજુઓ પર a, b, c લેબલ થયેલ છે અને અનુરૂપ વિરોધી ખૂણાઓ α, β, γ છે. સ્પર્શક પ્રમેયનું સૂત્ર: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

કોટેન્જેન્ટ પ્રમેય

ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યાને તેની બાજુઓની લંબાઈ સાથે જોડે છે. જો a, b, c ત્રિકોણની બાજુઓ છે, અને A, B, C, અનુક્રમે, તેમની સામેના ખૂણા છે, તો r એ અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, અને p એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે, નીચેના ઓળખો માન્ય છે:

• cot A/2 = (p-a)/r;
• cot B/2 = (p-b)/r;
• cot C/2 = (p-c)/r.

અરજી

ત્રિકોણમિતિ - માત્ર નહીં સૈદ્ધાંતિક વિજ્ઞાનથી સંબંધિત ગાણિતિક સૂત્રો. તેના ગુણધર્મો, પ્રમેય અને નિયમો વ્યવહારમાં વપરાય છે વિવિધ ઉદ્યોગો માનવ પ્રવૃત્તિ- ખગોળશાસ્ત્ર, હવા અને દરિયાઈ નેવિગેશન, સંગીત સિદ્ધાંત, ભૂસ્તરશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, ધ્વનિશાસ્ત્ર, ઓપ્ટિક્સ, ઇલેક્ટ્રોનિક્સ, આર્કિટેક્ચર, અર્થશાસ્ત્ર, મિકેનિકલ એન્જિનિયરિંગ, માપન કાર્ય, કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ, કાર્ટોગ્રાફી, સમુદ્રશાસ્ત્ર અને અન્ય ઘણા.

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ એ ત્રિકોણમિતિની મૂળભૂત વિભાવનાઓ છે, જેની મદદથી કોઈ વ્યક્તિ ત્રિકોણમાં બાજુઓના ખૂણા અને લંબાઈ વચ્ચેના સંબંધોને ગાણિતિક રીતે વ્યક્ત કરી શકે છે અને ઓળખ, પ્રમેય અને નિયમો દ્વારા જરૂરી પ્રમાણો શોધી શકે છે.

જ્યાં કાટકોણ ત્રિકોણ ઉકેલવામાં સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી, મેં સાઈન અને કોસાઈનની વ્યાખ્યાઓને યાદ રાખવા માટેની તકનીક રજૂ કરવાનું વચન આપ્યું હતું. તેનો ઉપયોગ કરીને, તમે હંમેશા ઝડપથી યાદ રાખશો કે કઈ બાજુ કર્ણ (સંલગ્ન અથવા વિરુદ્ધ) ની છે. મેં તેને વધુ સમય માટે બંધ ન રાખવાનું નક્કી કર્યું, જરૂરી સામગ્રીનીચે, કૃપા કરીને વાંચો 😉

હકીકત એ છે કે મેં વારંવાર અવલોકન કર્યું છે કે કેવી રીતે ધોરણ 10-11ના વિદ્યાર્થીઓને આ વ્યાખ્યાઓ યાદ રાખવામાં મુશ્કેલી પડે છે. તેઓ ખૂબ જ સારી રીતે યાદ કરે છે કે પગ એ કર્ણનો સંદર્ભ આપે છે, પરંતુ કયો- તેઓ ભૂલી જાય છે અને મૂંઝવણ. ભૂલની કિંમત, જેમ તમે પરીક્ષામાં જાણો છો, તે ખોવાયેલો મુદ્દો છે.

જે માહિતી હું સીધી રજૂ કરીશ તેને ગણિત સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. તેણી સાથે જોડાયેલ છે કલ્પનાશીલ વિચારસરણી, અને મૌખિક-તાર્કિક સંચારની પદ્ધતિઓ સાથે. તે જ રીતે હું તેને એકવાર અને બધા માટે યાદ રાખું છુંવ્યાખ્યા માહિતી. જો તમે તેમને ભૂલી જાઓ છો, તો તમે પ્રસ્તુત તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને તેમને હંમેશા સરળતાથી યાદ રાખી શકો છો.

ચાલો હું તમને કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈન અને કોસાઈનની વ્યાખ્યા યાદ કરાવું:

કોસાઇનકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ એ કર્ણની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે:

સાઇનસકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ એ કર્ણાકારની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:

તો, કોસાઇન શબ્દ સાથે તમારી પાસે શું જોડાણ છે?

સંભવતઃ દરેકની પોતાની 😉 છેલિંક યાદ રાખો:

આમ, અભિવ્યક્તિ તરત જ તમારી મેમરીમાં દેખાશે -

«… કર્ણ અને અડીને પગનો ગુણોત્તર».

કોસાઇન નક્કી કરવાની સમસ્યા હલ કરવામાં આવી છે.

જો તમારે કાટકોણ ત્રિકોણમાં સાઈનની વ્યાખ્યા યાદ રાખવાની જરૂર હોય, તો કોસાઈનની વ્યાખ્યાને યાદ રાખીને, તમે સરળતાથી સ્થાપિત કરી શકો છો કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સાઈન એ કર્ણોની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. છેવટે, ત્યાં ફક્ત બે પગ છે; જો નજીકનો પગ કોસાઇન દ્વારા "કબજો" કરવામાં આવે છે, તો પછી ફક્ત વિરોધી પગ સાઇન સાથે રહે છે.

સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વિશે શું? મૂંઝવણ એ જ છે. વિદ્યાર્થીઓ જાણે છે કે આ પગનો સંબંધ છે, પરંતુ સમસ્યા એ યાદ રાખવાની છે કે કોનો ઉલ્લેખ કરે છે - કાં તો અડીને વિરુદ્ધ, અથવા ઊલટું.

વ્યાખ્યાઓ:

સ્પર્શકકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:

કોટેન્જેન્ટકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે:

કેવી રીતે યાદ રાખવું? બે રસ્તા છે. એક મૌખિક-તાર્કિક જોડાણનો પણ ઉપયોગ કરે છે, બીજો ગાણિતિક જોડાણનો ઉપયોગ કરે છે.

ગાણિતિક પદ્ધતિ

આવી વ્યાખ્યા છે - તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ કોણની સાઇન અને તેના કોસાઇનનો ગુણોત્તર છે:

*સૂત્રને યાદ રાખ્યા પછી, તમે હંમેશા નક્કી કરી શકો છો કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.

તેવી જ રીતે.એક્યુટ એન્ગલનો કોટેન્જેન્ટ એ કોણના કોસાઈન અને તેની સાઈનનો ગુણોત્તર છે:

તો! આ સૂત્રોને યાદ રાખીને, તમે હંમેશા નક્કી કરી શકો છો કે:

- કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે

- કાટકોણ ત્રિકોણમાં એક્યુટ એન્ગલનો કોટેન્જેન્ટ એ બાજુની બાજુ અને વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે.

શબ્દ-તાર્કિક પદ્ધતિ

સ્પર્શક વિશે. લિંક યાદ રાખો:

એટલે કે, જો તમારે આ તાર્કિક જોડાણનો ઉપયોગ કરીને સ્પર્શકની વ્યાખ્યા યાદ રાખવાની જરૂર હોય, તો તમે સરળતાથી યાદ રાખી શકો છો કે તે શું છે

"... બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર"

જો આપણે કોટેન્જેન્ટ વિશે વાત કરીએ, તો પછી સ્પર્શકની વ્યાખ્યાને યાદ રાખીને તમે સહેલાઈથી કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા કહી શકો છો -

"... બાજુની બાજુ અને વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર"

વેબસાઈટ પર ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટને યાદ રાખવા માટે એક રસપ્રદ યુક્તિ છે " ગાણિતિક ટેન્ડમ " , જુઓ.

યુનિવર્સલ પદ્ધતિ

તમે તેને ફક્ત યાદ કરી શકો છો.પરંતુ પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, મૌખિક-તાર્કિક જોડાણોને આભારી, વ્યક્તિ લાંબા સમય સુધી માહિતીને યાદ રાખે છે, અને માત્ર ગાણિતિક જ નહીં.

મને આશા છે કે સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી.

આપની, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સ્કીખ

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.