સરળ ગાણિતિક પ્રમેય અને પુરાવા. પ્રમેય અને પ્રમેયનો પુરાવો શું છે? પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો

પ્રમેય પર શિક્ષકનું કાર્ય બહુ-તબક્કાનું છે. ચાલો આ તબક્કાઓમાંના મુખ્યને પ્રકાશિત કરીએ: 1) જ્ઞાનને અપડેટ કરવું, પ્રમેયના અભ્યાસ માટે પ્રેરણા; 2) પ્રમેયની રચના અને તેની સામગ્રીનું એસિમિલેશન; 3) પ્રમેયનો પુરાવો; 4) પ્રમેયનું એકીકરણ અને ઉપયોગ

નોંધ કરો કે દરેક ચોક્કસ કિસ્સામાં શિક્ષક પોતે નક્કી કરે છે કે કયા તબક્કાનો ઉપયોગ કેટલી હદ સુધી કરવો અને કયા તબક્કાઓ સાથે વિતરિત કરી શકાય. તે વર્ગની વિશેષતાઓ, શિક્ષકનો અગાઉનો અનુભવ, સમજણ માટેના પ્રમેયની જટિલતા વગેરે પર આધાર રાખે છે.

સ્ટેજ 1 - જ્ઞાન અપડેટ કરવું(આધાર પુનરાવર્તન) અને પ્રમેયના અભ્યાસ માટે પ્રેરણા.

સંદર્ભ પુનરાવર્તન ગોઠવવા માટેની તકનીક: શિક્ષક

- પુરાવાને મહત્તમ સંખ્યામાં પગલાઓમાં વિભાજિત કરે છે;

- તમામ ગાણિતિક તથ્યોને ઓળખે છે જેના પર સાબિતી આધારિત છે;

- વિશ્લેષણ કરે છે કે શું તે બધા અને વિદ્યાર્થીઓ કેટલી હદ સુધી જાણીતા છે;

- વાતચીતના સ્વરૂપમાં મૂળભૂત પુનરાવર્તનનું આયોજન કરે છે, આગળનો સર્વેક્ષણ, પ્રારંભિક કાર્યોની સિસ્ટમ (મોટેભાગે "તૈયાર ડ્રોઇંગ્સ પર" - નીચે જુઓ).

પ્રમેયનો અભ્યાસ કરવાની પ્રેરણા મોટાભાગે શિક્ષક દ્વારા ઉકેલ સાથે સંકળાયેલી હોય છે વ્યવહારુ સમસ્યા, જેમાં પ્રમેયમાં પ્રતિબિંબિત હકીકત જરૂરી છે (પૃષ્ઠ 30 પર ઉદાહરણ જુઓ).

સ્ટેજ 2 - પ્રમેયની રચનાનો પરિચય અને તેની સામગ્રીમાં નિપુણતા.

ચાલો પ્રમેયની રચનાને રજૂ કરવાની બે મુખ્ય રીતોનું વર્ણન કરીએ.

1લી પદ્ધતિ. શિક્ષક પોતે પ્રાથમિક પ્રેરણા સાથે અથવા વગર પ્રમેય ઘડે છે.

ફોર્મ્યુલેશનમાં ઉતાવળ કરવાની જરૂર નથી. જો તે સરળ અને સમજી શકાય તેવું હોય તો જ તમે શબ્દોથી શરૂઆત કરી શકો છો. જો ફોર્મ્યુલેશન સરળ ન હોય, તો શિક્ષક સૌ પ્રથમ એક આકૃતિ દોરે છે, શોધે છે અને બોર્ડ પર શરત, પ્રમેયનું નિષ્કર્ષ લખે છે અને તે પછી જ તેને સંપૂર્ણ રીતે ઘડે છે.

પદ્ધતિના ફાયદા સંક્ષિપ્તતા, સ્પષ્ટતા, સમય બચત છે; ગેરલાભ - ઔપચારિકતા અને કટ્ટરવાદ શક્ય છે.

2જી પદ્ધતિ. વિદ્યાર્થીઓ સ્વતંત્ર રીતે પ્રમેય ઘડવા માટે તૈયાર છે.

પ્લાનિમેટ્રીમાં, અનુરૂપ આકૃતિઓ બાંધવા અને માપવા માટેની કવાયતનો ઉપયોગ આ હેતુ માટે થાય છે.

ઉદાહરણ. વિદ્યાર્થીઓ સ્વતંત્ર રીતે વર્તુળના તાર વિશે પ્રમેય શોધી શકે તે માટે, શિક્ષક સૂચવે છે નીચેના પ્રશ્નોઅને કાર્યો:

- વર્તુળમાં બે અસમાન તાર દોરો.

- આંખ દ્વારા સ્થાપિત કરો કે જે કેન્દ્રની નજીક છે.

- તમારા નિષ્કર્ષની રચના કરો.

પદ્ધતિના ફાયદા એ છે કે વિદ્યાર્થીઓની સર્જનાત્મક ક્ષમતાઓનો વિકાસ, ભૂમિતિના અભ્યાસમાં રસ વધારવો; ગેરફાયદા - ઘણો સમય, બિનમહત્વપૂર્ણ વિગતો તરફ ધ્યાનનું શક્ય વિખેરવું.

પ્રમેય ઘડ્યા પછી, અમે સ્પષ્ટતા પર કામ કરીએ છીએ: અમે પરિભાષાનો ઉલ્લેખ કરીએ છીએ, પ્રમેયની સ્થિતિ અને નિષ્કર્ષને પ્રકાશિત કરીએ છીએ. તે જ સમયે, ડેટાનું સંક્ષિપ્ત રેકોર્ડિંગ અને શું સાબિત કરવાની જરૂર છે તે હાથ ધરવામાં આવે છે; ડ્રોઇંગ બનાવવામાં આવી રહ્યું છે.

ડ્રોઇંગ આવશ્યકતાઓ:

- સામાન્ય રીતે દર્શાવવું જોઈએ, નહીં ખાસ કેસ;

- ડ્રોઇંગના પરિમાણો શ્રેષ્ઠ હોવા જોઈએ;

- ડ્રોઇંગમાં ડેટા અને શોધાયેલો રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે, હોદ્દો માટે વિશિષ્ટ ગુણ અને પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

સ્ટેજ 3 - પ્રમેયનો પુરાવો.

અગાઉ (જુઓ 3.2) અમે મૂળભૂત તાર્કિક અને ગાણિતિક પદ્ધતિઓપ્રમેયના પુરાવા.

પાઠ્યપુસ્તક મોટે ભાગે સાબિતી પદ્ધતિની પસંદગી નક્કી કરે છે: તાર્કિક (પ્રત્યક્ષ અથવા પરોક્ષ, વિશ્લેષણાત્મક, કૃત્રિમ અથવા વિરોધાભાસ દ્વારા પદ્ધતિ) અને ગાણિતિક (ભૌમિતિક પરિવર્તનની પદ્ધતિ અથવા ત્રિકોણની સમાનતા અથવા સમાનતાની પદ્ધતિ).

શિક્ષકને તમામ પ્રકારના પુરાવાના બંધારણની સારી સમજ હોવી જોઈએ અને તે સિન્થેટીક પ્રૂફનું ભાષાંતર કરી શકે છે. વિશ્લેષણાત્મક અને ઊલટું; પાઠમાં તર્કની વિશ્લેષણાત્મક અથવા કૃત્રિમ રીત સભાનપણે પસંદ કરો (વિદ્યાર્થીઓની ઉંમર અને તાલીમના સ્તર, વર્ગની પ્રોફાઇલ, સંભવિત સમય ખર્ચ વગેરેના આધારે).

વિદ્યાર્થીઓએ સમજવું જોઈએ કે સાબિતીની પ્રક્રિયામાં તર્કની સુસંગત સાંકળ બાંધવામાં આવે છે, જે પહેલાથી જ જાણીતા ગાણિતિક તથ્યોનો ઉપયોગ કરીને ન્યાયી છે. નિષ્કર્ષ તેની છેલ્લી કડી છે.

જેમ આપણે જાણીએ છીએ, આ સાંકળનું દરેક પગલું એક સિલોગિઝમ છે. શાળામાં “સિલોજિમ”, “મેજર પ્રિમાઈસ”, “માઈનોર પ્રિમાઈસ” શબ્દો દાખલ કરવાની કોઈ શક્યતા નથી કે કોઈ જરૂર નથી. સામાન્ય રીતે, પ્રાથમિક શાળામાં ભૂમિતિ શીખવવામાં, "પગલું" અને "સ્ટેજ" શબ્દોનો ઉપયોગ થાય છે: પુરાવાના દરેક પગલા પર, નિવેદન અને તેનું સમર્થન સૂચવવામાં આવે છે.

શરૂઆતમાં, પુરાવાની રચનાને સમજવા માટે, તે મળી ગયા પછી, તેને બે કૉલમના સ્વરૂપમાં ડિઝાઇન કરવું ઉપયોગી છે, જેમાંના એકમાં નિવેદનો છે, અને બીજામાં વાજબીપણું છે.

ઉદાહરણ. સમાંતર રેખાઓનું ચિહ્ન.

પ્રમેય: જો, જ્યારે બે રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે, તો રેખાઓ સમાંતર છે.

પુરાવાના તર્કમાં નિપુણતા મેળવવી એ સૌથી મોટી મુશ્કેલી છે. સ્વતંત્ર કાર્ય તરીકે ઉપયોગમાં લઈ શકાય તેવા વિશિષ્ટ કાર્ડ અહીં ખૂબ મદદરૂપ થઈ શકે છે, હોમવર્ક, વ્યક્તિગત ઇન્ટરવ્યુ વગેરે માટેના કાર્યો. 1

તેમને બનાવવા માટેની તકનીક સરળ છે: "નિવેદન" અને "વાજબીતા" કૉલમમાં કેટલાક મુદ્દાઓને બાદ કરીને, અમને વ્યક્તિગત કાર્ડ માટેના વિકલ્પોમાંથી એક મળે છે, જેનો ઉપયોગ શીટ તરીકે થઈ શકે છે મુદ્રિત આધાર(વિદ્યાર્થી પુરાવાના ખૂટતા ટુકડાઓ ભરે છે).

કાર્ડનો ઉપયોગ કરવાની પદ્ધતિ: કાર્ડ જારી કરવામાં આવે છે અને તેને ભરવાનું કહેવામાં આવે છે ખાલી બેઠકો; વિદ્યાર્થીઓના જુદા જુદા જૂથોને અલગ-અલગ ટેક્સ્ટ સામગ્રી સાથે કાર્ડ ઓફર કરવામાં આવે છે, આમ ગણિતના શિક્ષણને વ્યક્તિગત કરે છે.

માટે વિદ્યાર્થીઓને પુરાવાનો અભ્યાસ કરવા માટે તૈયાર કરી રહ્યા છે ઘણા શિક્ષકો પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે પુરાવાઓની યોજના બનાવવાની પદ્ધતિ. સામાન્ય રીતે બે તબક્કા હોય છે.

1 અભિગમ. આપેલ તૈયાર યોજનાનવા પ્રમેયનો પુરાવો, વિદ્યાર્થીઓને યોજનાનો ઉપયોગ કરીને તેને પોતાને સાબિત કરવા માટે કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.પ્રમેય માટે “જો ચતુષ્કોણમાં હોય વિરુદ્ધ બાજુઓજોડીમાં સમાન હોય, તો તે સમાંતર ચતુર્ભુજ છે," નીચેની યોજના પ્રસ્તાવિત છે:

1. કર્ણ દોરો

2. પરિણામી ત્રિકોણની સમાનતા સાબિત કરો

3. ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓની સમાંતરતા સાબિત કરો

4. નિષ્કર્ષ દોરો. 

યોજના વર્ગને બતાવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ, મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર અથવા ઓવરહેડ પ્રોજેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સ્ક્રીન પર. આની જેમ નવો ગણવેશવિદ્યાર્થીઓ અપવાદરૂપ રસ સાથે કાર્યોને જુએ છે. જલદી યોજના સ્ક્રીન પર દેખાય છે, તેઓ શાંત થઈ જાય છે - તેઓ વિચારે છે. ત્યારે ઘણા લોકો જવાબ આપવાની ઈચ્છા વ્યક્ત કરે છે. આ વધેલા રસને આપણે કેવી રીતે સમજાવી શકીએ?

પ્રથમ, યોજના પ્રમેયના પુરાવાને સરળ, પ્રાથમિક પગલાઓની શ્રેણીમાં તોડી નાખે છે જેને વિદ્યાર્થીઓ પહેલેથી અનુસરી શકે છે. જો તેઓ હજુ સુધી તેનો અમલ કેવી રીતે કરવો તે શીખ્યા નથી, તો પછી તેમને યોજના આપવાનો કોઈ અર્થ નથી.

બીજું, વિદ્યાર્થીઓને લાગે છે કે યોજનાની મદદથી તેઓ સાબિત કરી શકશે નવો પ્રમેય. સાંભળો અને યાદ રાખશો નહીં, પરંતુ તેને જાતે સાબિત કરો. આ ખરેખર તેમને અપીલ કરે છે.

ત્રીજે સ્થાને, યોજના તમને સંપૂર્ણ પુરાવાને સંપૂર્ણ રીતે આવરી લેવાની અને સંપૂર્ણ સમજણ પ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે. પરિણામે, જ્યારે યાદ રાખવાની માનસિકતા સમજણને મુશ્કેલ બનાવે છે ત્યારે નકારાત્મક અસર નબળી પડી જાય છે. તેનાથી આત્મવિશ્વાસ વધે છે અને કામ કરવાની ઈચ્છા વધે છે.

2 જી અભિગમ. વિદ્યાર્થીઓને ભણાવવામાં આવે છે પહેલાથી સાબિત થયેલ પ્રમેય માટે યોજના બનાવો.પ્રથમ આ કાર્ય સામૂહિક રીતે કરવામાં આવે છે, અને પછી સ્વતંત્ર રીતે. તદુપરાંત, અહીં શિક્ષકે વારંવાર યોજના દોરવાના ઉદાહરણો બતાવવાના હોય છે. વિદ્યાર્થીઓ મુક્તપણે અનુભવે છે તૈયાર યોજના, પરંતુ તેઓ તરત જ યોજના બનાવવાની કુશળતા વિકસાવતા નથી. ઘણા બધા પ્રમેય સાબિત કરવા માટે આપવામાં આવે છે તેવા કિસ્સામાં ખૂબ સારા પરિણામો પ્રાપ્ત થાય છે. સામાન્ય યોજના. આવા પ્રમેય, એક સામાન્ય વિચાર દ્વારા સંયુક્ત, ખાસ કરીને ઉત્પાદક રીતે શીખવામાં આવે છે.

આપણે પહેલેથી જ કહ્યું છે તેમ, પ્લાનિમેટ્રી પાઠ્યપુસ્તકો પ્રમેયના સંક્ષિપ્ત કૃત્રિમ પુરાવાઓ રજૂ કરે છે. શિક્ષકે વ્યવસ્થિત રીતે વિદ્યાર્થીઓને શીખવવું જોઈએ:

1) પગલાઓમાંથી પુરાવાઓ બનાવો;

2) સંક્ષિપ્ત પુસ્તક પુરાવાઓને વાજબીતા દર્શાવતા પગલાઓની વિગતવાર સાંકળોમાં ફેરવો;

3) વ્યક્તિગત પ્રમેયના પુરાવાના સંપૂર્ણ રેકોર્ડ્સ દોરો.

ચાલો આપણે પ્રમેયના સંપૂર્ણ પુરાવાનું એક ઉદાહરણ આપીએ.

ઉદાહરણ. રેખાઓ માટે સમાંતર પરીક્ષણનો સંપૂર્ણ પુરાવો (સાબિતીની રચના અને સારાંશ અગાઉના પૃષ્ઠ પર આપવામાં આવ્યા છે).

લીટીઓના આંતરછેદ પર ચાલો એઅને વીસેકન્ટ સાથેઆપણી પાસે ખૂણાઓ છે, ઉદાહરણ તરીકે, 2 અને 3 – વર્ટિકલ, 1 અને 3 – ક્રોસવાઇઝ આવેલા છે.

1. 3 અને 2 થી - ઊભી ખૂણા, પછી 3 = 2 (ઊભા ખૂણા સમાન છે).

2. ત્યારથી 1 = 2 અને 3 = 2, પછી 1 = 3 (જો સાચી સમાનતાઓમાં જમણી બાજુઓ સમાન હોય, તો તેમની ડાબી બાજુઓ સમાન હોય છે).

3. કારણ કે 1 અને 3 એ રેખાઓના આંતરછેદ પર ક્રોસવાઇઝ કોણ છે એઅને વીસેકન્ટ સાથેઅને 1 = 3, પછી એ વી(જો જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, તો અસત્ય ખૂણા સમાન છે, તો સીધી રેખાઓ સમાંતર છે).

પ્રમેય સાબિત થાય છે .

સાબિતીની પ્રક્રિયામાં, પ્રમેયની શરતોનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. શરતનો આ અથવા તે ભાગ કયા તબક્કામાં અને કેવી રીતે લાગુ થાય છે અને તે બધાનો ઉપયોગ પુરાવામાં થાય છે કે કેમ તેની ચર્ચા કરવાની એક રીત છે.

પુરાવાના એસિમિલેશનની ખાતરી કરવા માટે, તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે ડબલ પ્રૂફ સ્વીકૃતિ: પ્રથમ માત્ર વિચાર, યોજનાની ચર્ચા કરવામાં આવે છે; પુરાવા ટુકડાઓમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. આ પછી, તમામ સૂક્ષ્મતા અને ઘોંઘાટ સાથે, સાબિતી સંપૂર્ણ રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે.

વી.એફ.ના પ્રયોગમાં. શતાલોવ સાબિતીના સુપર-મલ્ટીપલ રિપીટિશનનો ઉપયોગ કરે છે, ઘણીવાર કોઈ વિચાર અથવા યોજનાના સ્તરે.

સ્ટેજ 4 - પ્રમેયનું એકીકરણ અને ઉપયોગ

પ્રમેયને એકીકૃત કરવાના તબક્કામાં પ્રમેયનો સાર, વિચાર, સાબિતીની પદ્ધતિ અને તેના વ્યક્તિગત પગલાં સમજાય છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા માટે કામ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. ફાસ્ટનિંગ તકનીકો નીચે મુજબ હોઈ શકે છે:

- વિદ્યાર્થીઓ સાથે વાતચીતની પ્રક્રિયામાં, ફરી એકવાર મુખ્ય વિચાર, પદ્ધતિ અને પુરાવાના પગલાંને પ્રકાશિત કરો;

- પુરાવાના વ્યક્તિગત પગલાઓ સમજાવવાની ઓફર;

- પુરાવામાં ઉપયોગમાં લેવાતા તમામ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો, પ્રમેય અને વ્યાખ્યાઓની સૂચિ બનાવો;

- આ અથવા તે સ્થિતિ ક્યાં વપરાય છે તે શોધો, શું તે બધાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો;

- પુરાવાની અન્ય રીતો છે;

- ફિક્સિંગ કરતી વખતે, ડ્રોઇંગ પરના હોદ્દાઓ, તેમજ ડ્રોઇંગ પોતે, વગેરેમાં ફેરફાર કરવો ઉપયોગી છે.

પ્રમેયનો ઉપયોગ સમસ્યાઓના ઉકેલની પ્રક્રિયામાં ગોઠવવામાં આવે છે જેમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે. તે ધ્યાનમાં રાખવું આવશ્યક છે કે પાઠ્યપુસ્તક હંમેશા ચોક્કસ પ્રમેય લાગુ કરવા માટે સમસ્યાઓની સિસ્ટમ પ્રદાન કરતું નથી, તે વ્યક્તિગત સમસ્યાઓ આપવામાં આવે છે અનુભવી શિક્ષકપૂરક બની શકે છે. પ્રમેયનો ઉપયોગ પ્લાનિમેટ્રી અને સ્ટીરિયોમેટ્રીના અનુગામી અભ્યાસક્રમમાં અન્ય પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે પણ થાય છે.

વિષય 13. પ્રમેય અને પુરાવા

આ વિષયમાં તમે પરિચિત થશો વિશિષ્ટ લક્ષણગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને અન્ય વિજ્ઞાનની તુલનામાં, ફક્ત તે જ સત્યો અથવા કાયદાઓને ઓળખે છે જે સાબિત થયા છે. આ સંદર્ભમાં, પ્રમેયની વિભાવનાનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવશે અને કેટલાક પ્રકારના પ્રમેય અને તેને સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે.

09-13-03. ગણિતનું વિશિષ્ટ લક્ષણ

થિયરી

1.1. જો આપણે ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની સરખામણી કરીએ તો આ બંને વિજ્ઞાન અવલોકનો અને પુરાવા બંનેનો ઉપયોગ કરે છે. સાથે પ્રાયોગિક ભૌતિકશાસ્ત્રઅસ્તિત્વમાં છે સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર, જેમાં ગણિતના પ્રમેયની જેમ કેટલાક નિવેદનો, ભૌતિક નિયમોના આધારે અન્યમાંથી કેટલાક પ્રસ્તાવોને અનુક્રમે કપાત કરીને સાબિત થાય છે. જોકે ભૌતિક કાયદાજ્યારે તેમની પુષ્ટિ થાય ત્યારે જ તેને સાચા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે મોટી સંખ્યામાંપ્રયોગો આ કાયદાઓ સમય જતાં સુધારી શકાય છે.

ગણિત પણ અવલોકનોનો ઉપયોગ કરે છે.

ઉદાહરણ 1: તેનું અવલોકન કરવું

આપણે ધારણા કરી શકીએ છીએ કે પ્રથમ હજાર બેકીનો સરવાળો કુદરતી સંખ્યાઓ 1000000 બરાબર છે.

આ નિવેદન ચકાસી શકાય છે સીધી ગણતરીઓ, ખર્ચ કર્યા મોટી રકમસમય

આપણે સામાન્ય ધારણા પણ કરી શકીએ છીએ કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે પ્રારંભિક બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો બરાબર છે. આ નિવેદન સીધી ગણતરીઓ દ્વારા ચકાસી શકાતું નથી, કારણ કે તમામ કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ અનંત છે. જો કે, બનાવેલી ધારણા સાચી છે કારણ કે તે સાબિત થઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 2. આપણે ઘણા ત્રિકોણના ખૂણાઓને માપી શકીએ છીએ..gif" height="20">, જો આપણે યુક્લિડના પાંચમા અનુમાનને સ્વયંસિદ્ધ તરીકે લઈએ તો તે સાચું છે. સાબિત 7મા ધોરણમાં.

ઉદાહરણ 3. બહુપદીમાં અવેજીમાં

1 થી 10 ની કુદરતી સંખ્યાઓને બદલે, આપણને મળે છે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. એવું માની શકાય કે કોઈપણ માટે કુદરતી મૂલ્ય ચતુર્ભુજ ત્રિપદીઅવિભાજ્ય સંખ્યા છે. ચેક દર્શાવે છે કે આ 1 થી 39 ની કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે ખરેખર સાચું છે. જો કે, ધારણા ખોટી છે, કારણ કે પરિણામ સંયુક્ત સંખ્યા છે:

પ્રમેયની સત્યતા સ્થાપિત કરવા માટે અવલોકન કરતાં પુરાવાનો ઉપયોગ એ ગણિતની વિશેષતા છે.

અસંખ્ય અવલોકનોમાંથી પણ એક નિષ્કર્ષ માનવામાં આવે છે ગાણિતિક કાયદોમાત્ર ત્યારે જ સાબિત.

1.2. ચાલો અનુમાન અથવા અનુમાનની વિભાવનાનું સચોટ વિશ્લેષણ કર્યા વિના, અન્ય લોકો પાસેથી કેટલાક ચુકાદાઓની ક્રમિક વ્યુત્પત્તિ તરીકે સાબિતીના સાહજિક ખ્યાલ સુધી પોતાને મર્યાદિત કરીએ. ચાલો પ્રમેયની વિભાવનાનું વધુ વિગતમાં વિશ્લેષણ કરીએ.

પ્રમેયને સામાન્ય રીતે એક નિવેદન કહેવામાં આવે છે જેનું સત્ય પુરાવા દ્વારા સ્થાપિત થાય છે. પ્રમેયની વિભાવના વિકસિત થઈ અને સાબિતીની વિભાવના સાથે તેને શુદ્ધ કરવામાં આવી.

IN શાસ્ત્રીય અર્થમાંપ્રમેય એ એક નિવેદન છે જે અન્ય લોકો પાસેથી ચોક્કસ પ્રસ્તાવો મેળવીને સાબિત થાય છે. આ કિસ્સામાં, કેટલાકને પસંદ કરવું આવશ્યક છે પ્રારંભિક કાયદાઅથવા સ્વયંસિદ્ધ, જે પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવે છે.

પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી યુક્લિડ દ્વારા તેમની પ્રસિદ્ધ કૃતિ એલિમેન્ટ્સમાં સૌપ્રથમ ભૂમિતિમાં સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીનું નિર્માણ કરવામાં આવ્યું હતું. યુક્લિડના તત્વોમાંના સ્વયંસિદ્ધને અનુસરીને, પ્રમેય અને નીચેની રચના માટે સમસ્યાઓ સામાન્ય નામઓફર કરે છે. પ્રમેય કડક ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે.

દરેક પ્રમેય પ્રથમ જણાવવામાં આવે છે, પછી તે જણાવવામાં આવે છે કે શું આપવામાં આવ્યું છે અને શું સાબિત કરવાની જરૂર છે. પછી સાબિતી અગાઉ સાબિત દરખાસ્તો અને સ્વયંસિદ્ધના તમામ સંદર્ભો સાથે રજૂ કરવામાં આવે છે. કેટલીકવાર સાબિતી એવા શબ્દો સાથે સમાપ્ત થાય છે જે સાબિત કરવા માટે જરૂરી હતા. દરેક વસ્તુમાં અનુવાદિત યુરોપિયન ભાષાઓયુક્લિડ્સ એલિમેન્ટ્સ, જેમાં 13 પુસ્તકોનો સમાવેશ થતો હતો, તે 18મી સદી સુધી શાળાઓ અને યુનિવર્સિટીઓમાં ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરવા માટે વપરાતી એકમાત્ર પાઠ્યપુસ્તક રહી.

1.3. શું આપવામાં આવ્યું છે અને શું સાબિત કરવાની જરૂર છે તે ઓળખવાનું સરળ બનાવવા માટે, પ્રમેય ફોર્મમાં ઘડવામાં આવે છે જો..., પછી.... જો અને પછી વચ્ચેના પ્રમેયની રચનાના પ્રથમ ભાગને કહેવામાં આવે છે સ્થિતિપ્રમેય, અને બીજો ભાગ, જે પછી લખવામાં આવે છે, કહેવાય છે નિષ્કર્ષપ્રમેય

પ્રમેયની શરતોમાં શું આપવામાં આવ્યું છે તેનું વર્ણન છે, અને નિષ્કર્ષમાં જે સાબિત કરવાની જરૂર છે તે સમાવે છે.

કેટલીકવાર પ્રમેયના આ સ્વરૂપને કહેવામાં આવે છે તાર્કિક સ્વરૂપપ્રમેય, અને સંક્ષિપ્તમાં if-then સ્વરૂપ છે.

ઉદાહરણ 4. નીચેના પ્રમેયને ધ્યાનમાં લો.

જો એક સમાન કુદરતી સંખ્યા છે, તો તે એક વિષમ સંખ્યા છે.

આ પ્રમેયમાં, શરત એ છે કે કોઈપણ સમ સંખ્યા..gif" width="32 height=19" height="19"> વિચિત્ર.

ઘણીવાર શરત અને નિષ્કર્ષ જુદા જુદા શબ્દોનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 5. ઉદાહરણ 1 માંથી પ્રમેય નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

એક સમાન કુદરતી સંખ્યા બનવા દો. પછી એક વિષમ સંખ્યા છે.

આ કિસ્સામાં, જો તેઓ શબ્દને બદલે let શબ્દનો ઉપયોગ કરે છે, અને શબ્દને બદલે તેઓ પછી શબ્દ લખે છે.

ઉદાહરણ 6. ઉદાહરણ 1 માંથી પ્રમેય નીચેના સ્વરૂપમાં પણ લખી શકાય છે:

હકીકત એ છે કે કુદરતી સંખ્યા સમ છે, તે અનુસરે છે કે સંખ્યા .gif" width="13" height="15"> સૂચવે છે કે સંખ્યા બેકી છે.

આ કિસ્સામાં, જો શબ્દ અવગણવામાં આવે છે, અને શબ્દને બદલે શબ્દ entails વપરાય છે.

કેટલીકવાર પ્રમેયના અન્ય પ્રકારના સંકેતોનો ઉપયોગ થાય છે.

1.4. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, પ્રમેયની શરતો તેની રચનામાં લખવામાં આવતી નથી. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ટેક્સ્ટમાંથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે આ સ્થિતિ શું સ્વરૂપ લઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 8. તમે પ્રમેય જાણો છો: ત્રિકોણના મધ્યકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

IN તાર્કિક સ્વરૂપઆ પ્રમેય નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

જો તમે કોઈપણ ત્રિકોણમાં તમામ મધ્યકો દોરો, તો આ મધ્યકો એક બિંદુ પર છેદશે.

ઉદાહરણ 9. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહની અનંતતા પર પ્રમેય આ રીતે લખી શકાય છે:

જો તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, તો તે અનંત છે.

ગણિતમાં પ્રમેય વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવા માટે, તેઓ ઉપયોગ કરે છે ખાસ ભાષા, જેની આંશિક રીતે આ પ્રકરણના અનુગામી ફકરાઓમાં ચર્ચા કરવામાં આવશે.

સુરક્ષા પ્રશ્નો

1. તમે ગણિતમાં અવલોકનોના કયા ઉદાહરણો જાણો છો?

2. તમે ભૂમિતિના કયા ધરીઓ જાણો છો?

3. પ્રમેયના કયા સંકેતને પ્રમેયનું તાર્કિક સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે?

4. પ્રમેયની સ્થિતિ શું છે?

5. પ્રમેયના નિષ્કર્ષને શું કહેવાય છે?

6. તમે પ્રમેય લખવાના કયા સ્વરૂપો જાણો છો?

કાર્યો અને કસરતો

1. અવલોકન કરીને તમે કઈ ધારણાઓ કરી શકો છો:

a) બે સંલગ્ન કુદરતી સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન;

b) બે સંલગ્ન કુદરતી સંખ્યાઓનો સરવાળો;

c) સતત ત્રણ કુદરતી સંખ્યાઓનો સરવાળો;

d) ત્રણ વિચિત્ર સંખ્યાઓનો સરવાળો;

ડી) છેલ્લા અંકોવી દશાંશ સંકેતસંખ્યાઓ .gif" width="13 height=15" height="15">;

f) ભાગોની સંખ્યા જેમાં પ્લેન એક બિંદુમાંથી પસાર થતી વિવિધ સીધી રેખાઓ દ્વારા વિભાજિત થાય છે;

g) ભાગોની સંખ્યા જેમાં પ્લેનને વિવિધ સીધી રેખાઓ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી સીધી રેખાઓ જોડીમાં સમાંતર હોય છે અને છેદે છે.gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > ફોર્મની સંખ્યાઓ , જ્યાં કુદરતી સંખ્યા છે;

d) બે અતાર્કિક સંખ્યાઓનો સરવાળો?

3. સ્થૂળ ત્રિકોણની આસપાસના ઘેરાયેલા વર્તુળોના કેન્દ્રોનું અવલોકન કરીને તમે કઈ ધારણા કરી શકો?

4. પ્રમેયને તાર્કિક સ્વરૂપમાં લખો:

a) રકમ આંતરિક ખૂણાબહિર્મુખ https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;

b) કોઈપણ બે લંબચોરસ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણસમાન

c) સમાનતા કોઈપણ પૂર્ણાંકો માટે ધરાવે છે અને ;

d) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ તેના આધાર તરફ દોરવામાં આવે છે અને તે આ ત્રિકોણના શિરોબિંદુ પરના ખૂણાને વિભાજિત કરે છે;

ડી) કોઈપણ માટે બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓઅને અસમાનતા સંતુષ્ટ છે;

e) બેનો સરવાળો વિરુદ્ધ ખૂણાવર્તુળમાં અંકિત ચતુર્ભુજ 180 છે;

g) સંખ્યા એ તર્કસંગત સંખ્યા નથી;

h) તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કે જે 10 થી મોટી છે તે એકી છે;

i) ચોરસના કર્ણ સમાન, કાટખૂણે અને આંતરછેદના બિંદુ પર દ્વિભાજિત હોય છે;

j) માં કોતરેલ તમામ ચતુષ્કોણમાંથી આપેલ વર્તુળ, ચોરસ સૌથી મોટો વિસ્તાર ધરાવે છે;

k) એક સમાન અવિભાજ્ય સંખ્યા છે;

l) કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યાને બે જુદી જુદી વિચિત્ર કુદરતી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી;

m) પ્રથમ કુદરતી સંખ્યાઓના સમઘનનો સરવાળો એ અમુક કુદરતી સંખ્યાનો વર્ગ છે.

5.* આપેલ દરેક પ્રમેય અગાઉનું કાર્ય, તેને ઘણી અલગ અલગ રીતે લખો.

જવાબો અને દિશાઓ

કાર્ય 1. અવલોકન કરીને તમે કઈ ધારણાઓ કરી શકો છો:

a) બે સંલગ્ન કુદરતી સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન;

b) બે સંલગ્ન કુદરતી સંખ્યાઓનો સરવાળો;

c) સતત ત્રણ કુદરતી સંખ્યાઓનો સરવાળો;

d) ત્રણ વિચિત્ર સંખ્યાઓનો સરવાળો;

ડી)દશાંશ સંકેતમાં છેલ્લા અંકોકુદરતી સાથે;

e) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> ભાગોની સંખ્યા જેમાં પ્લેન વિભાજિત થયેલ છે https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> સીધી રેખાઓ જોડી પ્રમાણે સમાંતર અને છેદે છે.gif" width="13 height=20" height="20"> ભાગોની સંખ્યા જેમાં પ્લેન વિભાજિત થયેલ છે https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> માત્ર ચાર અંકો મેળવી શકાય છે:

0, 1, 5, 6; e)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" પહોળાઈ ="13" ઊંચાઈ="15"> -gon બરાબર છે;

b) કોઈપણ બે જમણા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ સમાન છે;

c) સમાનતાકોઈપણ પૂર્ણાંકો માટે કામ કરે છેઅને;

સ્વયંસિદ્ધ ત્યાં એક સ્પષ્ટ સત્ય છે જેને પુરાવાની જરૂર નથી.

પ્રમેય અથવા દરખાસ્ત એ સત્ય છે જેને પુરાવાની જરૂર હોય છે.

પુરાવો તર્કનો સમૂહ છે જે આ દરખાસ્તને સ્પષ્ટ બનાવે છે.

સાબિતી તેના ધ્યેયને હાંસલ કરે છે જ્યારે, તેની સહાયથી, તે જાણવા મળે છે કે આપેલ પ્રસ્તાવ એ સ્વયંસિદ્ધ અથવા અન્ય કોઈ પ્રસ્તાવનું આવશ્યક પરિણામ છે જે પહેલાથી જ સાબિત થઈ ચૂક્યું છે.

દરેક સાબિતી એ સિદ્ધાંત પર આધારિત છે કે, સાચા અનુમાન સાથે, સાચા વાક્યમાંથી ખોટા નિષ્કર્ષ કાઢી શકાતા નથી.

પ્રમેયની રચના. દરેક પ્રમેય બે ભાગો ધરાવે છે, a) શરતો અને b) નિષ્કર્ષ અથવા પરિણામ.

સ્થિતિને કેટલીકવાર ધારણા કહેવામાં આવે છે. તે આપવામાં આવે છે અને તેથી ક્યારેક આપેલ નામ પ્રાપ્ત કરે છે.

કન્વર્ઝ પ્રમેય. એક વાક્ય જેમાં આપેલ પ્રમેયનું નિષ્કર્ષ એક શરત બની જાય છે અને શરત નિષ્કર્ષ બની જાય છે, તેને વ્યસ્ત પ્રમેય કહેવામાં આવે છે..

તે કિસ્સામાં આ પ્રમેયસીધા કહેવાય છે.

બે પ્રમેય એકસાથે, પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત, પરસ્પર વ્યસ્ત પ્રમેય કહેવાય છે.

તેઓ એવા પરસ્પર સંબંધમાં છે કે, તેમાંથી કોઈપણને પ્રત્યક્ષ તરીકે પસંદ કર્યા પછી, એક બીજાને વ્યસ્ત તરીકે લઈ શકે છે.

બે પરસ્પર વિપરીત દરખાસ્તોમાં, તેમાંથી એક બીજાના જરૂરી પરિણામ તરીકે અનુસરે છે.

જો પ્રમેયમાં આપણે પ્રથમ સ્થાને અક્ષર દ્વારા સ્થિતિ દર્શાવીએ છીએ, અને બીજા સ્થાને અક્ષર દ્વારા નિષ્કર્ષ, તો પ્રત્યક્ષ પ્રમેયને અભિવ્યક્તિ (Aa) દ્વારા યોજનાકીય રીતે રજૂ કરી શકાય છે, અને અભિવ્યક્તિનો વિપરીત(aA).

અભિવ્યક્તિ (Aa) યોજનાકીય રીતે દરખાસ્તનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે: જો A કેસ છે, તો a કેસ છે.

જો માટે આ દરખાસ્ત(Aa) અને પ્રમેય (aA) ધરાવે છે, પછી બંને પ્રમેય (Aa) અને (aA) ને પરસ્પર વ્યસ્ત પ્રમેય કહેવાય છે.

આવા બે પરસ્પર વિપરીત પ્રમેયનું ઉદાહરણ નીચેના પ્રમેય હોઈ શકે છે:

પ્રથમ પ્રમેય. ત્રિકોણમાં, વિરુદ્ધ સમાન બાજુઓ આવેલી છે સમાન ખૂણા .

બીજું પ્રમેય. ત્રિકોણમાં, વિરુદ્ધ સમાન ખૂણા આવેલા છે સમાન બાજુઓ .

પ્રથમ પ્રમેયમાં, આપેલ સ્થિતિ ત્રિકોણની બાજુઓની સમાનતા હશે, અને નિષ્કર્ષ વિરુદ્ધ ખૂણાઓની સમાનતા હશે, અને બીજામાં, તેનાથી વિપરીત.

દરેક પ્રમેયમાં તેની વાતચીત હોતી નથી.

અંકગણિત વાક્યનું ઉદાહરણ કે જેમાં તેની વાતચીત નથી: પ્રમેય. જો બે ઉત્પાદનોમાં સમાન પરિબળો હોય, તો ઉત્પાદનો સમાન છે..

વિપરીત ધારણા સાચી નથી. ખરેખર, ઉત્પાદનો સમાન છે તે હકીકતથી, તે અનુસરતું નથી કે પરિબળો સમાન છે.

ભૌમિતિક વાક્યનું ઉદાહરણ જેના માટે કન્વર્સ વાક્ય ધરાવતું નથી પ્રમેય: દરેક ચોરસમાં કર્ણ સમાન હોય છે.

આનો વિરોધી હશે: જો ચતુષ્કોણના કર્ણ સમાન હોય, તો તે ચોરસ હશે.

આ ધારણા ખોટી છે, કારણ કે કર્ણ એક કરતાં વધુ ચોરસમાં સમાન છે.

વિરોધી ધારણા હંમેશા સાચી હોતી નથી, દરેક વખતે વિપરીત દરખાસ્તને વિશેષ પુરાવાની જરૂર પડે છે.

સિદ્ધાંતમાં ભૌમિતિક પુરાવાઓઆપેલ વાક્ય ક્યારે તેની વિરુદ્ધ સ્વીકારે છે તે જાણવું ક્યારેક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

નીચેના આ હેતુ માટે સેવા આપી શકે છે: ઉલટાવી શકાય તેવો નિયમ. જ્યારે, ધારીને બધું શક્ય છે અને વિવિધ શરતોતમામ શક્ય અને અલગ-અલગ તારણો અનુરૂપ છે, કન્વર્ઝ પ્રસ્તાવ ધરાવે છે.

ચાલો આને ઉદાહરણ તરીકે જોઈએ.

સીધી ઓફર. જો બે ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ હોય,પછી ત્રીજી બાજુ અન્ય ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ કરતા મોટી, સમાન અથવા ઓછી હશે, તેના આધારે સમાન બાજુઓ વચ્ચેનો કોણ અન્ય ત્રિકોણના અનુરૂપ કોણ કરતા મોટો, સમાન અથવા ઓછો છે.

આ વાક્યમાં, કોણ વિશે ત્રણ અલગ-અલગ અને સંભવિત ધારણાઓ વિરુદ્ધ બાજુ વિશેના ત્રણ અલગ-અલગ અને સંભવિત નિષ્કર્ષોને અનુરૂપ છે, તેથી, રિવર્સિબિલિટી નિયમ અનુસાર, આ પ્રમેય પરવાનગી આપે છે. વિપરીત ધારણા:

જ્યારે બે ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓ હોય, ત્યારે ત્રીજી બાજુ ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટી, સમાન અથવા ઓછી છે તેના આધારે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો અન્ય ત્રિકોણના અનુરૂપ કોણ કરતા મોટો, સમાન અથવા ઓછો હશે. આપેલ ત્રિકોણમાંથી.

વાતચીત ઉપરાંત, પ્રત્યક્ષ પ્રમેય તેની વિરુદ્ધ હોઈ શકે છે.

વિરોધી પ્રમેય ત્યાં એક છે જેમાં શરતનો નકાર એ નિષ્કર્ષનો નકાર સૂચવે છે.

વિરોધી પ્રમેયમાં તેની વાતચીત હોઈ શકે છે.

આ તમામ પ્રમેયોનો સારાંશ આપવા માટે, અમે તેમને નીચેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં યોજનાકીય રીતે રજૂ કરીએ છીએ:

પ્રત્યક્ષ અથવા મુખ્ય પ્રમેય. જો શરત અથવા મિલકત A ધરાવે છે, તો પછી નિષ્કર્ષ અથવા મિલકત B ધરાવે છે.

રિવર્સ. જો B થાય છે, તો A થાય છે.

સામે. જો A ન થાય, તો B થતો નથી.

ઊલટું. જો B થતો નથી, તો A થતો નથી.

નીચેના ઉદાહરણો ચોક્કસ કિસ્સાઓ દર્શાવે છે પરસ્પર સંબંધઆ પ્રમેય:

પ્રત્યક્ષ પ્રમેય. જો, જ્યારે બે આપેલ રેખાઓ ત્રીજા ભાગને છેદે છે, ત્યારે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે, તો આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે.

કન્વર્ઝ પ્રમેય. જો બે રેખાઓ સમાંતર હોય, તો જ્યારે તેઓ ત્રીજીને છેદે છે, ત્યારે અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય છે.

સામે. જો, જ્યારે બે રેખાઓ ત્રીજા ભાગને છેદે છે, ત્યારે અનુરૂપ ખૂણા સમાન નથી, રેખાઓ સમાંતર નથી.

ઊલટું. જો રેખાઓ સમાંતર ન હોય, તો અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન નથી.

પ્રમેયની ભૌમિતિક પ્રસ્તુતિમાં, આ ત્રણ પ્રમેયમાંથી માત્ર બે જ સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે, પછી બાકીના બે પ્રમેય પુરાવા વિના માન્ય છે.

પ્રમેયનું આ જોડાણ તે તકનીક પર આધારિત છે જેના દ્વારા સાબિત કરવું વાતચીત પ્રમેયઘણી વખત માત્ર વિરોધી પ્રમેય સાબિત કરવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરે છે.

ભૌમિતિક પુરાવાઓની પદ્ધતિઓ

પુરાવા માટે ભૌમિતિક પ્રમેયત્યાં બે મુખ્ય રીતો છે: કૃત્રિમઅને વિશ્લેષણાત્મક.

આ પદ્ધતિઓને કેટલીકવાર ટૂંકી કહેવામાં આવે છે સંશ્લેષણઅને વિશ્લેષણ.

સંશ્લેષણ પુરાવાની એક પદ્ધતિ છે જેમાં આપેલ દરખાસ્ત બીજાનું જરૂરી પરિણામ છે, જે પહેલાથી જ સાબિત થાય છે.

સંશ્લેષણમાં, પુરાવાઓની સાંકળ કેટલાક જાણીતા વાક્યથી શરૂ થાય છે અને આ વાક્ય સાથે સમાપ્ત થાય છે. પુરાવા દરમિયાન, મૂળ વાક્યની તુલના સ્વયંસિદ્ધ અથવા અન્ય પહેલાથી જાણીતા વાક્ય સાથે કરવામાં આવે છે. અગાઉથી ઉલ્લેખિત ન હોય તેવા નવા વાક્યો મેળવવા માટે કૃત્રિમ પદ્ધતિ અનુકૂળ છે. આ દરખાસ્તના પુરાવા માટે, તે ઘણી અસુવિધાઓ રજૂ કરે છે. તે બતાવતું નથી: a) દરખાસ્તને તેના જરૂરી પરિણામ તરીકે અનુસરવા માટે સાબિત કરવા માટે જાણીતા પ્રમેયમાંથી કયું પ્રમેય પસંદ કરવું આવશ્યક છે, અને b) પસંદ કરેલા પ્રસ્તાવના પરિણામોમાંથી કયા પ્રસ્તાવને સાબિત કરવા તરફ દોરી જાય છે.

તેથી સંશ્લેષણને નવા સત્યો શોધવાની પદ્ધતિ નહીં, પરંતુ તેમને પ્રસ્તુત કરવાની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

જો કે, સિન્થેટીક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રમેય રજૂ કરતી વખતે પણ, એક અસુવિધા એ અર્થમાં છે કે તે સ્પષ્ટ નથી કે શા માટે આ અને અન્ય પ્રસ્તાવ, અથવા આ અને તેનું બીજું પરિણામ નહીં, પુરાવાની સાંકળમાં પ્રારંભિક સત્ય તરીકે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું. .

સાબિતીની કૃત્રિમ પદ્ધતિનું ઉદાહરણ નીચેનું પ્રમેય છે.

પ્રમેય. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટકોણ જેટલો છે.

ડેન ત્રિકોણ ABC(રેખાંકન 224).

આપણે એ સાબિત કરવાની જરૂર છે કે A + B + C = 2d.

પુરાવો. ચાલો AC ને સમાંતર DE સીધી રેખા દોરીએ.

સીધી રેખાની એક બાજુએ આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણો જેટલો છે, તેથી,

α + B + γ = 2d

પછી, અગાઉની સમાનતામાં α અને γ ને તેમના સમાન ખૂણા સાથે બદલીને, આપણી પાસે છે:

A + B + C = 2d (CHD).

અહીં, સાબિતીની સાંકળમાં પ્રારંભિક પ્રસ્તાવ એ સીધી રેખાની એક બાજુએ આવેલા ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેય છે.

તે બે સમાંતર અને ત્રીજા પરોક્ષ રાશિઓના આંતરછેદ પર ક્રોસ-લીંગ કોણની સમાનતા પર પ્રમેય સાથે જોડાણમાં મૂકવામાં આવે છે.

જે પ્રમેય સાબિત થઈ રહ્યો છે તે તમામ સૂચિત પ્રમેયનું આવશ્યક પરિણામ છે અને સાબિતીઓની સાંકળમાં તે છેલ્લું નિષ્કર્ષ છે.

વિશ્લેષણ ત્યાં એક માર્ગ છે જે સંશ્લેષણની વિરુદ્ધ છે. પૃથ્થકરણમાં, તર્કની શ્રૃંખલા સાબિત થવા માટેના પ્રમેયથી શરૂ થાય છે અને કેટલાક પહેલાથી જ જાણીતા સત્ય સાથે સમાપ્ત થાય છે..

વિશ્લેષણ બે સ્વરૂપોમાં આવે છે. દરખાસ્ત સાબિત થવાથી, અમે તેના તાત્કાલિક આધાર અથવા તેના તાત્કાલિક પરિણામ તરીકે કામ કરતી દરખાસ્ત તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ.

આપેલ દરખાસ્તમાંથી તેના તાત્કાલિક આધાર તરીકે સેવા આપતા દરખાસ્ત તરફ આગળ વધતા, અમે આ પ્રસ્તાવને જરૂરી પરિણામ તરીકે જોઈએ છીએ.

આપેલ પ્રસ્તાવથી તેના તાત્કાલિક પરિણામ તરફ આગળ વધતા, અમે આ પ્રસ્તાવને અનુમાનની સાંકળના આધાર તરીકે જોઈએ છીએ.

વિશ્લેષણની પ્રથમ પદ્ધતિ. આધાર પર જઈને પૃથ્થકરણ હાથ ધરીને, તેઓ પ્રથમ નજીકના વાક્યની શોધ કરે છે જેમાંથી આપેલ જરૂરી પરિણામ તરીકે અનુસરે છે. જો આ પ્રસ્તાવ અગાઉ સાબિત થયો હોય, તો આ દરખાસ્ત પણ સાબિત થાય છે, પરંતુ જો નહીં, તો બીજી દરખાસ્ત જુઓ, અંતર્ગતપ્રથમ માટે.

જ્યાં સુધી આપણે સંપૂર્ણપણે સાબિત દરખાસ્ત સુધી પહોંચી ન જઈએ ત્યાં સુધી આધાર પરનું આ સંક્રમણ ચાલુ રાખવું જોઈએ. આ દરખાસ્ત છેલ્લા સાબિત દરખાસ્તના આવશ્યક પરિણામ તરીકે દેખાશે.

દરેક વાક્યને એક અક્ષર સાથે નિયુક્ત કરીને અને તેને બીજાની આગળ કે પાછળ મૂકીને, તે બીજા વાક્યના આધાર અથવા પરિણામ તરીકે કામ કરશે કે કેમ તેના આધારે, અમે વિશ્લેષણની આ પદ્ધતિને ફોર્મમાં યોજનાકીય રીતે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ.

જ્યાં M એ આપેલ દરખાસ્ત છે, L તેનો સૌથી નજીકનો આધાર છે, અને H એ સંપૂર્ણપણે સાબિત પ્રસ્તાવ છે. જો પ્રસ્તાવ H સાચો છે, તો દરખાસ્ત K સાચો છે; જો K સાચું છે, તો L સાચું છે; જો L સાચું છે, તો M પણ સાચું છે.

વિશ્લેષણની બીજી પદ્ધતિઆપેલ પ્રસ્તાવથી તેના પરિણામમાં સંક્રમણનો સમાવેશ થાય છે. આ તકનીકનો વધુ વખત ઉપયોગ કરવામાં આવે છે કારણ કે કેટલાક સત્યનો આધાર શોધવા કરતાં જરૂરી પરિણામ શોધવાનું સરળ છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, એક આપેલ પ્રસ્તાવમાંથી પ્રમેય મેળવે છે જે તેના તાત્કાલિક પરિણામ તરીકે સેવા આપે છે. જો આ કોરોલરી અગાઉ સાબિત થયેલ દરખાસ્ત છે, તો તેઓ ત્યાં અટકે છે; જો નહિં, તો તેઓ આગળના સૌથી નજીકના પરિણામો તરફ આગળ વધે છે અને સામાન્ય રીતે કોરોલરીના આ ક્રમિક વ્યુત્પત્તિને ત્યાં સુધી ચાલુ રાખે છે જ્યાં સુધી તેઓ સંપૂર્ણપણે સાબિત પ્રસ્તાવ સુધી ન પહોંચે.

જો છેલ્લું વાક્ય સાચું નથી, તો આ સાચું નથી, કારણ કે સાચા વાક્યમાંથી ખોટું પરિણામ મેળવી શકાતું નથી.

જો છેલ્લું વાક્ય સાચું હોય, તો આ વાક્યની સત્યતામાં વિશ્વાસ કરવા માટે અમુક શરતોનું પાલન કરવું જરૂરી છે.

યોજનાકીય રીતે, વિશ્લેષણની આ પદ્ધતિ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

M - N - O - P - Q - R - S

જ્યાં M એ આપેલ વાક્ય છે, N એ એક વાક્ય છે જે તેના તાત્કાલિક પરિણામ તરીકે કામ કરે છે, અને S એ માન્યતાનું છેલ્લું વાક્ય છે જેની અમને સંપૂર્ણ ખાતરી છે.

બે દરખાસ્તો R અને Sમાંથી, એવા જોડાણમાં ઊભા છે કે જો R સાચો હોય, તો દરખાસ્ત S પણ સાચો છે, અમે, જેમ જાણીએ છીએ, હંમેશા વિપરીત રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકતા નથી કે જો S સાચો છે, તો પ્રસ્તાવ R પણ સાચો છે.

પછીના નિષ્કર્ષને પકડી રાખવા માટે, તે જરૂરી છે કે પ્રમેય R અને S પારસ્પરિક દરખાસ્તો હોય.

તેથી, ચકાસવા માટે કે પ્રમેય R અને S એવા જોડાણમાં ઊભા છે કે તે યોજના R - S અને S - R યોજનાને સંતોષે છે, તે સાબિત કરવું જરૂરી છે કે દરખાસ્તો R અને S પરસ્પર છે.

આમ, છેલ્લા વાક્ય S ના સત્ય પરથી નિષ્કર્ષ કાઢવા માટે સક્ષમ થવા માટે કે આપેલ વાક્ય M સાચું છે, તે સાબિત કરવું જરૂરી છે કે દરેક બે સંલગ્ન યોગ્ય ઓફર્સ R અને S, P અને R, O અને P, N અને O, M અને N ઉલટાવી શકાય તેવા કાયદાને સંતોષે છે.

જો આ સાબિત થાય, તો દરખાસ્તોની સાંકળ ઉલટાવી શકાય છે, અને M - N - O - P - Q - R - S યોજનાની બાજુમાં

S - R - Q - P - O - N - M

જેમાંથી આપણે નિષ્કર્ષ કાઢવા માટે હકદાર છીએ કે જો પ્રસ્તાવ S સાચો છે, તો દરખાસ્ત M પણ સાચો છે.

દર વખતે બે વાક્યોની ઉલટાવી શકાય તેવું સાબિત કરવું મુશ્કેલ હોવાથી, વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિને સિન્થેટિક સાથે જોડીને આ ટાળવામાં આવે છે. દરખાસ્ત M માંથી તેના પરિણામ તરીકે પ્રપોઝિશન S ની કમાણી કરવામાં આવે તે પછી, તેઓ જુએ છે કે દરખાસ્ત S ના આવશ્યક પરિણામ તરીકે દરખાસ્ત M ને પાછું કાઢવું ​​શક્ય છે કે કેમ.

જો સંશ્લેષણ એક પદ્ધતિ કહેવાય છે કપાતઅથવા નિષ્કર્ષ, પછી વિશ્લેષણ કહી શકાય ઘટાડો(કાસ્ટિંગ, માર્ગદર્શન).

ઉદાહરણ વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનીચેના પ્રમેય પુરાવા તરીકે સેવા આપી શકે છે.

પ્રમેય. સમાંતરગ્રામના કર્ણ અડધા ભાગમાં છેદે છે.

પુરાવો. જો કર્ણ અડધા ભાગમાં છેદે છે, તો ત્રિકોણ AOB અને DOC સમાન છે (ફિગ. 225). ત્રિકોણ AOB અને DOC ની સમાનતા એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે AB = CD એ સમાંતર ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ તરીકે અને ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ ક્રોસ-લીંગ એંગલ તરીકે.

આમ, આપણે જોઈએ છીએ કે આપેલ વાક્ય ક્રમિક રીતે બીજા દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને જ્યાં સુધી આપણે પહેલાથી સાબિત થયેલ વાક્ય સુધી પહોંચીએ ત્યાં સુધી આવી બદલી કરવામાં આવે છે.

વિશ્લેષણ સાથે સંશ્લેષણની તુલના. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ વધુ સચોટ રીતે આપેલ પ્રમેયની સાબિતી તરફ દોરી જાય છે, કારણ કે આપેલ પ્રમેયમાંથી તેના નજીકના આધાર અથવા પરિણામ પર આગળ વધવું સરળ છે.

જો કે પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે એક અથવા બીજો માર્ગ શા માટે પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો તે સંશ્લેષણ કરતાં વધુ સારી રીતે સમજાવે છે, તેમ છતાં, સાબિતીઓમાંની અનિશ્ચિતતા એ અર્થમાં સંપૂર્ણપણે દૂર થતી નથી કે જ્યારે ક્રમિક રીતે એક વાક્યને બીજા સાથે બદલીએ છીએ, ત્યારે આપણે હંમેશા એવા વાક્ય સુધી પહોંચી શકતા નથી જે આપણને જાણીતું હોય. , કારણ કે કેટલીકવાર તે દેખાતું નથી કે આપેલ દરખાસ્તને સાબિત કરવા માટે કયા પરિણામો અથવા કયા આધારો પસંદ કરવા જોઈએ. જ્યારે પુરાવા માટે નવી સહાયક રેખાઓ દોરવી જરૂરી હોય ત્યારે મુશ્કેલીઓ વધુ વધે છે. કેટલીકવાર તેમાંથી જે આપેલ પ્રમેયના પુરાવાને સરળ બનાવે છે તે સાચા સંકેતો આપવાનું મુશ્કેલ છે.

વિશ્લેષણ, બીજા બધાની જેમ તાર્કિક યુક્તિઓ, ફક્ત તેને સરળ બનાવે છે અને આપેલ દરખાસ્તનો પુરાવો શોધવામાં મદદ કરે છે, પરંતુ તે હંમેશા સાબિતી તરફ દોરી જતું નથી.

આ રેખાઓ ઉપરાંત, ત્યાં છે પરોક્ષ પદ્ધતિસાબિતી, વિરોધાભાસ અથવા વાહિયાતતામાં ઘટાડો કરવાની પદ્ધતિ દ્વારા સાબિતી તરીકે ઓળખાય છે.

વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવાની પદ્ધતિ એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે આપેલ દરખાસ્તને સાબિત કરવા માટે, વ્યક્તિ વિરુદ્ધ ધારણા કરવાની અશક્યતાની ખાતરી છે.

તેના આધારે, આ પુરાવાને વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતી કહેવામાં આવે છે. જ્યારે પણ બે દરખાસ્તોમાંથી, આપેલ અને વિરુદ્ધ, એક ચોક્કસપણે થાય છે ત્યારે તે તેનું લક્ષ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

આ કિસ્સામાં, આપેલને સાબિત કરવા માટે, વિરુદ્ધ દરખાસ્તને સ્વીકાર્યા પછી, તેઓ તેમાંથી એવા પરિણામો કાઢે છે કે જે પહેલાથી જ સાબિત થઈ ચૂકેલા સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેયનો વિરોધાભાસ કરે છે. જો આ વાક્યના પરિણામોમાંથી એક ખોટું છે, તો સામેનું વાક્ય ખોટું છે, અને તેથી આપેલ વાક્ય સાચું છે.

આ તકનીકનો ઉપયોગ ઘણીવાર પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે થાય છે જે ડેટાની વિરુદ્ધ અથવા વિપરીત હોય છે.

એ નોંધવું મુશ્કેલ નથી કે આ પદ્ધતિ એ વિશ્લેષણની બીજી પદ્ધતિ છે, જેમાં વ્યક્તિ આપેલ દરખાસ્તથી તેના પરિણામો તરફ ક્રમશઃ આગળ વધે છે.

આ પદ્ધતિના ઉપયોગનું ઉદાહરણ એ ઉપર આપેલ પ્રમેયનો પુરાવો છે: ત્રિકોણમાં સમાન બાજુઓ સમાન ખૂણાઓથી વિરુદ્ધ હોય છે (પ્રમેય 26).

ભૂમિતિમાં, પદ્ધતિઓનો પણ ઉપયોગ થાય છે જે ભૌમિતિક સત્યોની સામગ્રી પર આધાર રાખે છે. ભૌમિતિક સત્યો ભૌમિતિક વિસ્તરણ સાથે સંબંધિત છે. આ એક્સ્ટેંશન છે ચોક્કસ ગુણધર્મો, બાહ્ય ઇન્દ્રિયોને આધીન. ભૌમિતિક વિસ્તરણને સંપૂર્ણ તરીકે ગણી શકાય, બાહ્ય ઇન્દ્રિયો દ્વારા અવલોકન માટે સુલભ. સૌથી વધુ વિષયાસક્ત ચિંતન પણ પુરાવાની સમજાવટમાં ફાળો આપે છે. ભૂમિતિમાં તેના વિના કરવું અશક્ય છે.

ભૂમિતિમાં થતી તકનીકોમાં આ છે: લાદવાની પદ્ધતિ, પ્રમાણસરતાની પદ્ધતિ અને મર્યાદાઓની પદ્ધતિ.

એપ્લિકેશન પદ્ધતિ એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે એક ભૌમિતિક જથ્થાને બીજા પર સુપરિમ્પોઝ કરવામાં આવે છે. આ રીતે, વ્યક્તિ ભૌમિતિક એક્સ્ટેંશનની સમાનતા અથવા અસમાનતાની ખાતરી કરે છે, તે તેના પર આધાર રાખે છે કે જ્યારે તે સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે ત્યારે સંયુક્ત છે કે નહીં.

પ્રમાણસરતાની પદ્ધતિ ભૌમિતિક એક્સ્ટેંશનમાં પ્રમાણના ગુણધર્મો લાગુ કરવામાં સમાવે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ પ્રમેયને સંબંધિત સાબિત કરવા માટે થાય છે સમાન આંકડાઅને પ્રમાણસર સેગમેન્ટમાં.

મર્યાદાની પદ્ધતિએ હકીકતમાં સમાવે છે કે આપેલ એક્સ્ટેંશનને બદલે, આપેલ એક્સ્ટેંશનની તેમની પ્રોપર્ટીમાં નજીકના એક્સ્ટેંશનના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, અને કેટલાકને ધ્યાનમાં લેવાથી મેળવેલા તારણો અન્ય સમાન એક્સ્ટેંશન પર લાગુ થાય છે.

ભૌમિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

નક્કી કરતી વખતે ભૌમિતિક સમસ્યાઓસંશ્લેષણ અને વિશ્લેષણનો ઉપયોગ પ્રમેય સાબિત કરવા માટે થાય છે.

કૃત્રિમ રીતે સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, તેઓ બીજી સમસ્યા લે છે કે જે તેઓ કેવી રીતે હલ કરવી તે જાણે છે, પછી તેના ઉકેલમાંથી તેઓ આગામી સમસ્યાના ઉકેલને તેના જરૂરી પરિણામ તરીકે કાઢે છે, અને જ્યાં સુધી તેઓ આ સમસ્યાના ઉકેલ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી આ કરે છે.

સમસ્યાને હલ કરવાની કૃત્રિમ પદ્ધતિમાં પુરાવાની કૃત્રિમ પદ્ધતિની જેમ જ તમામ ગેરફાયદા છે.

તેથી, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિશ્લેષણનો વધુ વખત અને વધુ સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ થાય છે.

સમસ્યા હલ કરતી વખતે, વિશ્લેષણ બદલાય છે આ કાર્યનવું અમે આને નવી સમસ્યા કહીશું બદલી રહ્યા છે.

જો બે સમસ્યાઓ એવા સંબંધમાં હોય કે બીજી સ્થિતિ એ પ્રથમની સ્થિતિનું જરૂરી પરિણામ હોય, તો આપણે પ્રથમ સમસ્યા કહીશું. પ્રાથમિક, અને બીજું - વ્યુત્પન્ન.

વિશ્લેષણ કરવાની બે રીત છે.

પ્રથમ માર્ગ. રિપ્લેસમેન્ટ પ્રોબ્લેમ પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી આ સમસ્યાની શરતો નવી રિપ્લેસમેન્ટ સમસ્યાની શરતોના આવશ્યક પરિણામ તરીકે અનુસરે, એટલે કે, અમારી પરિભાષામાં, તેઓ આ સમસ્યામાંથી પ્રથમ તરફ જાય છે. પ્રારંભિક કાર્ય. જો આ સમસ્યાનો ઉકેલ જાણીતો હોય, તો આ સમસ્યાનો ઉકેલ પ્રારંભિક સમસ્યાના ઉકેલના આવશ્યક પરિણામ તરીકે દેખાય છે. જો તેનો ઉકેલ અજાણ્યો હોય, તો તેઓ તેમાંથી બીજી, ત્રીજી પ્રારંભિક સમસ્યા તરફ જાય છે અને જ્યાં સુધી તેઓને એવી સમસ્યા ન મળે કે જેનો ઉકેલ જાણીતો હોય ત્યાં સુધી આ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.

આને ઉકેલવાથી છેલ્લું કાર્ય, તે જ સમયે તેઓ સતત આ સમસ્યાના ઉકેલ સુધી પહોંચે છે.

બીજી રીત. આપેલ સમસ્યામાંથી બીજી તરફ જવાનું શક્ય છે જેની શરતો આ એકની સ્થિતિનું પરિણામ છે, એટલે કે આપેલ સમસ્યામાંથી વ્યક્તિ તેના વ્યુત્પન્ન તરફ આગળ વધે છે.

આ રીતે એક સમસ્યાને તેના અન્ય ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે ક્રમિક રીતે બદલીને, આપણે એવી સમસ્યા સુધી પહોંચી શકીએ છીએ જેનું સમાધાન પહેલેથી જ જાણીતું છે. આ સમસ્યાને ઉકેલવાથી કેટલીકવાર આ સમસ્યાનું નિરાકરણ પણ શક્ય બને છે.

આપેલ સમસ્યાથી તેના વ્યુત્પન્ન તરફના આ સંક્રમણનો વધુ વખત ઉપયોગ થાય છે, કારણ કે કોઈ સત્ય માટે આધાર શોધવા કરતાં પરિણામ તરફ આગળ વધવું સરળ છે.

વિશ્લેષણના આ ચોક્કસ કિસ્સામાં, સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે સમસ્યા હલ થઈ ગઈ છે, અને આ ધારણામાંથી સંબંધો ઉત્પન્ન થાય છે જે આ સમસ્યાને ઉકેલવાનું શક્ય બનાવે છે.

જ્યારે આપેલ કાર્યમાંથી તેના સ્થાનાંતરણ તરફ આગળ વધવું, ત્યારે તે ધ્યાન આપવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે શું બે કાર્યોમાં પરસ્પર ઉલટાવી શકાય તેવી મિલકત હશે. બે સમસ્યાઓની પરિસ્થિતિઓમાં આ પારસ્પરિકતા ત્યારે થાય છે જ્યારે એક કાર્ય, બીજા માટે પ્રારંભિક હોવાથી, તે જ સમયે તેનું વ્યુત્પન્ન હોઈ શકે છે; નહિંતર, જ્યારે બે કાર્યો એવા સંબંધમાં હોય છે કે એકની શરતો પણ બીજાના જરૂરી પરિણામો હોઈ શકે છે અને ઊલટું.

જો બે સમસ્યાઓ, વર્તમાન એક અને નવી, આ ગુણધર્મો ધરાવે છે, તો પછી નવું કાર્યઆને સંપૂર્ણપણે બદલે છે. આ કિસ્સામાં, એકના તમામ ઉકેલો બીજાના ઉકેલો પણ હશે.

જો બે સમસ્યાઓની પરિસ્થિતિઓમાં પરસ્પર ઇન્વર્ટિબિલિટીના ગુણધર્મો નથી, તો પછી, આ સમસ્યાને નવી સમસ્યા સાથે બદલીને, આપણે કાં તો વધારાના ઉકેલો શોધી શકીએ છીએ અથવા કેટલાક ઉકેલો ગુમાવી શકીએ છીએ.

જો રિપ્લેસમેન્ટ સમસ્યા આપેલ સમસ્યામાંથી વ્યુત્પન્ન હોય, તો અમે કેટલાક વધારાના ઉકેલો શોધી શકીએ છીએ; જો તે આપેલ માટે પ્રારંભિક છે, તો આપણે ખોવાઈ ગયેલા કેટલાક ઉકેલો શોધી શકીએ છીએ.

ઘણી વાર લોકો આપેલ સમસ્યામાંથી વ્યુત્પન્ન સમસ્યા તરફ જતા હોવાથી, તેઓને વારંવાર બિનજરૂરી ઉકેલો મેળવવા પડે છે.

બિનજરૂરી ઉકેલોને અલગ કરવા અને ખોવાયેલા ઉકેલો શોધવા માટે, બધા મળેલા ઉકેલો તપાસવામાં આવે છે.

ચકાસણી બહારના (બિનજરૂરી) ઉકેલોને અલગ કરવાની કોઈ રીત છે. તે વિશ્લેષણને પૂરક બનાવે છે.

સમસ્યાનું વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ એ બાંધકામ સૂચવે છે જે સમસ્યાને ઉકેલવા માટે કરવાની જરૂર છે. આ બાંધકામ કરતી વખતે, તેઓ વિશ્લેષણની વિરુદ્ધ રીતે સમસ્યાને હલ કરવામાં કાર્ય કરે છે, એટલે કે, તેઓ કૃત્રિમ પદ્ધતિનો આશરો લે છે. આ કૃત્રિમ પદ્ધતિ ઘણીવાર મળેલા ઉકેલોની વાસ્તવિક ચકાસણીને બદલી શકે છે.

સંશ્લેષણ અને પૃથ્થકરણનો સંયુક્ત ઉપયોગ એ ભૂલોને ટાળવા માટેનું સાધન પૂરું પાડે છે જે આ ઉકેલ પદ્ધતિઓમાંથી એકનો ઉપયોગ કરતી વખતે થઈ શકે છે.

ચાલો સમાન સમસ્યાને કૃત્રિમ અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે હલ કરીએ. નીચેના કાર્ય ઉદાહરણ તરીકે સેવા આપી શકે છે.

કાર્ય. વિભાજન આ સેગમેન્ટઆત્યંતિક અને સરેરાશ સંબંધમાં AB.

ઉકેલ. ચાલો AB ખંડના છેડેથી લંબરૂપ BO બનાવીએ અડધા સમાન AB (રેખાંકન 226). કેન્દ્ર O માંથી આપણે ત્રિજ્યા BO સાથે વર્તુળનું વર્ણન કરીએ છીએ, કેન્દ્ર O ને બિંદુ A સાથે જોડીએ છીએ અને AB એ AD ની સમાન સેગમેન્ટ AC પર પ્લોટ કરીએ છીએ, પછી સેગમેન્ટ AC અથવા AD જરૂરી હશે.

પુરાવો. રેખા AB વર્તુળની સ્પર્શક છે, તેથી

અમારી પાસે ક્યાં છે:

(AE - AB)/AB = (AB - AD)/AD

DE = AB અને AD = AC હોવાથી, પછી અગાઉના પ્રમાણમાં આપણી પાસે છે:

AE - AB = AE - DE = AD = AC
AB - AD = AB - AC = BC

આપણને પ્રમાણ ક્યાં મળે છે

આ સોલ્યુશન સિન્થેટિક છે. તેમાં આપણે વિદાય લઈએ છીએ પ્રખ્યાત પ્રમેયસ્પર્શકના ગુણધર્મો વિશે અને આ પ્રમેયના આવશ્યક પરિણામ તરીકે આ સમસ્યાનું સમાધાન.

વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ. ચાલો ધારીએ કે સમસ્યા હલ થઈ ગઈ છે, અને તેથી સેગમેન્ટ AC મળી આવ્યું છે

AB/AC = AC/CB (1)

(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC

(AB + AC)/AB = AB/AC (2).

છેલ્લા પ્રમાણ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે AB એ સ્પર્શક છે, AB + AC છેદે છે, AC તેનો બાહ્ય ભાગ છે અને AB તેનો આંતરિક ભાગ છે.

તે આના પરથી અનુસરે છે કે બાંધકામ. અંત B માંથી ½AB ની બરાબર લંબ બાંધવું, વર્તુળ દોરવું, O ને A સાથે જોડવું અને AB ખંડ પર ભાગ AC = AD મૂકવો જરૂરી છે.

આમાં વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલઅમે આ સમસ્યાની સંતોષકારક સ્થિતિ (1) ને કાર્ય સંતોષકારક સ્થિતિ (2) સાથે બદલીએ છીએ.

શરત (2) પણ બાંધકામ દ્વારા સમસ્યાને હલ કરવાનો માર્ગ સૂચવે છે.

સામાન્ય રીતે, વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનો ઉકેલ શોધી કાઢ્યા પછી, તેઓ એક બાંધકામ બનાવે છે જેમાં, તર્કની કૃત્રિમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, તેઓ સાબિત કરે છે કે આ બાંધકામ વાસ્તવમાં સમસ્યાનું નિરાકરણ લાવે છે અને આ પુરાવા સાથે તેઓ ચકાસણીને બદલે છે, જેનો હેતુ દૂર કરવાનો છે. બાહ્ય ઉકેલો.

IN આ ઉદાહરણમાંશરતો (1) અને (2) ને સંતોષતી સમસ્યાઓ વચ્ચે સંપૂર્ણ ઉલટાવી શકાય તેવું છે, કારણ કે શરતો (1) જરૂરી પરિણામ તરીકે શરતો (2) અને તેનાથી વિપરીત, તેથી અહીં કોઈ ખોવાઈ ગયેલા અથવા બહારના ઉકેલો નથી.

સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે ગૌણ અને સહાયક પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ હજુ સુધી તેની સારવારમાં સંપૂર્ણ અને સંપૂર્ણ પૂર્ણતા સુધી પહોંચ્યો નથી. અમે હમણાં માટે તેમને વિગતવાર તપાસવાનું ટાળીશું.

ઇ.વી. પેટ્રોવા, વ્લાદિમીરમાં માધ્યમિક શાળા નંબર 25 માં ગણિતના શિક્ષક

પુરાવા એ તર્ક છે જે ખાતરી આપે છે. (યુ.એ. શિખાનોવિચ)

અમલીકરણ આધુનિક ભૂમિકાગણિત સુધારણા સૂચવે છે ગાણિતિક તાલીમવિદ્યાર્થીઓ, મહત્વપૂર્ણ સ્થાનજે પેટર્ન શોધવા, તેમને ન્યાયી ઠેરવવા અને વ્યવહારમાં લાગુ કરવાની ક્ષમતા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. અલ્ગોરિધમિક, હ્યુરિસ્ટિકની રચના, અમૂર્ત વિચારવિદ્યાર્થીઓને પણ મુખ્યત્વે પુરાવાની પ્રક્રિયામાં હાથ ધરવામાં આવે છે. ગણિત શીખવવામાં જ્ઞાન પ્રાપ્ત કરવા માટેની પ્રવૃત્તિની શિક્ષણ પદ્ધતિઓનો સમાવેશ થાય છે, જેને ગણિત શીખવવાની પ્રક્રિયામાં ઓળખ અને નિપુણતાની જરૂર હોય છે. વિવિધ યોજનાઓગણિતમાં વપરાયેલ તર્ક. પ્રાયોગિક વિજ્ઞાનમાં, અમે ચોક્કસ નિવેદનોને ચકાસવા માટે સતત અવલોકનો અને પ્રયોગો તરફ વળીએ છીએ. ગણિતમાં પરિસ્થિતિ સંપૂર્ણપણે અલગ છે. પ્રમેય માત્ર ત્યારે જ સાબિત માનવામાં આવે છે જો તે અન્ય પ્રસ્તાવોમાંથી તાર્કિક રીતે અનુમાનિત કરવામાં આવે. તેથી, વિદ્યાર્થીઓને સાબિતી શીખવવાની સમસ્યા હંમેશા ગણિત શીખવવાની પદ્ધતિમાં કેન્દ્રિય મુદ્દાઓમાંની એક રહી છે.

હાલમાં, શિક્ષણના માનવીકરણની ચાલી રહેલી પ્રક્રિયા વ્યક્તિત્વના વિકાસ પર, નૈતિકતાની રચના પર શિક્ષણનું ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે, જે પુરાવા શીખવવા દ્વારા સુવિધા આપવામાં આવે છે, જ્યાં પુરાવાની પદ્ધતિઓ શોધવાનું શીખવા માટે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા આપવામાં આવે છે, તેમની તુલના કરવામાં આવે છે. , અને સૌથી સરળ પસંદ કરી રહ્યા છીએ.

પ્રમેય સાબિત કરવાનો અર્થ શું છે, સાબિતી શું છે?

જ્યારે તમે તમારા મિત્રને કોઈ બાબત માટે સમજાવો છો અથવા તમારી સાથેના વિવાદમાં તમારા અભિપ્રાય, તમારા દૃષ્ટિકોણનો બચાવ કરો છો, ત્યારે તમે આવશ્યકપણે સાબિતી આપો છો (કુશળ અથવા અકુશળ રીતે બીજો પ્રશ્ન છે).

ગાણિતિક પુરાવોપ્રારંભિક સ્વયંસિદ્ધ, વ્યાખ્યાઓ, પ્રમેયની શરતો અને જરૂરી નિષ્કર્ષ સુધી અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેયથી તાર્કિક પરિણામોની સાંકળ હોવી જોઈએ.વિદ્યાર્થીઓની સાબિત કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવાનો મુખ્ય ભાર ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમ દ્વારા વહન કરવામાં આવે છે. ડી.પોલ્યાએ ધ્યાન દોર્યું હતું મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા, જે પુરાવા ભૌમિતિક સિસ્ટમના નિર્માણમાં ભૂમિકા ભજવે છે: “ભૌમિતિક સિસ્ટમ પુરાવા દ્વારા સિમેન્ટ કરવામાં આવે છે. દરેક પ્રમેય કેટલાક પુરાવા દ્વારા અગાઉના સ્વયંસિદ્ધ, વ્યાખ્યાઓ અને પ્રમેય સાથે જોડાયેલ છે. આવા પુરાવાને સમજ્યા વિના, વ્યક્તિ સિસ્ટમના સારને સમજી શકતો નથી. ઐતિહાસિક રીતે, ભૂમિતિ તરીકે શૈક્ષણિક વિષયધરાવે છે મહાન મૂલ્યઆપણી આસપાસની દુનિયા અને સર્જનનો અભ્યાસ કરવા માટે અનુકૂળ પરિસ્થિતિઓવિદ્યાર્થીઓને સર્જનાત્મકતાનો પરિચય કરાવવો સંશોધન પ્રવૃત્તિઓ. ભૂમિતિનો અભ્યાસ સાબિત કરવાની ક્ષમતાના વિકાસમાં ફાળો આપે છે, એટલે કે. તાર્કિક અને તર્કસંગત રીતે વિચારવાની ક્ષમતા. તાર્કિક વિચારસરણીનો વિકાસ પાઠ્યપુસ્તકોમાં અને શિક્ષક દ્વારા આપવામાં આવેલા પ્રમેયના પુરાવાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે થાય છે.પ્રમેય સાબિત કરવાનો અર્થ શું છે, સાબિતી શું છે? માં પુરાવો વ્યાપક અર્થમાં- આ તાર્કિક તર્ક છે, જે દરમિયાન અન્ય જોગવાઈઓની મદદથી વિચારની સત્યતાને ન્યાયી ઠેરવવામાં આવે છે. ગણિતમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ચિત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા સ્પષ્ટ સંબંધોનો સંદર્ભ આપવો અસ્વીકાર્ય છે. ગાણિતિક પુરાવો એ પ્રારંભિક સ્વયંસિદ્ધ, વ્યાખ્યાઓ, પ્રમેયની શરતો અને જરૂરી નિષ્કર્ષ સુધી અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેયથી તાર્કિક પરિણામોની સાંકળ હોવી જોઈએ.

આમ, જ્યારે પ્રમેય સાબિત કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે તેને અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેય અને તે બદલામાં, અન્ય, વગેરેમાં ઘટાડીએ છીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે ઘટાડા માટેની આ પ્રક્રિયા મર્યાદિત હોવી જોઈએ, અને તેથી કોઈ પણ સાબિતી આખરે સાબિતી વગરની મૂળ વ્યાખ્યાઓ અને સ્વયંસિદ્ધિઓમાં સાબિત થતા પ્રમેયને ઘટાડે છે.

સાબિતી પ્રક્રિયા - જટિલ પ્રક્રિયાવિચારવું, અને તે ફક્ત ધીમે ધીમે રચાય છે, સરળથી વધુ જટિલ રચનાઓ. તેથી, શિક્ષણ પુરાવો છે જટિલ સિસ્ટમ, જેનું માળખું તેના વિવિધ ઘટકો વચ્ચેના અસંખ્ય જોડાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

13-14 વર્ષની ઉંમર સુધીમાં, શાળાના બાળકનું મગજ અમૂર્ત, તર્કબદ્ધ, તર્કસંગત વિચારસરણીમાં નિપુણતા મેળવવા માટે સક્ષમ બને છે. પી. પી. બ્લોન્સ્કી નોંધે છે કે પુરાવા આધારિત વિચારસરણીનો વિકાસ બે તબક્કામાંથી પસાર થાય છે. IN કિશોરાવસ્થાએક શાળાનો બાળક તેનો સ્વતંત્ર રીતે ઉપયોગ કરવાને બદલે પુરાવાને આત્મસાત કરે છે, અને તેનાથી પણ ઓછું તે બનાવે છે: આ ઉંમરે, સાબિતી યાદશક્તિની બાબત છે. નાની ઉંમરે તેઓ પહેલેથી જ નોંધપાત્ર પ્રદર્શન કરે છે આલોચનાત્મક વિચારસરણીઆપેલ પુરાવાઓ અને તેમના પોતાના પુરાવાની ઇચ્છા માટે.ઉપરોક્ત તમામ પ્રમેય અભ્યાસ અને સાબિત કરતી વખતે શાળાના બાળકોની વ્યક્તિગત જ્ઞાનાત્મક વ્યૂહરચનાઓનો અભ્યાસ કરવાની જરૂરિયાત વિશે નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે.

આ સમસ્યા પર કામ કરવાનું આ મારું પ્રથમ વર્ષ છે.પ્રથમ, મેં અભ્યાસના હેતુ, ઉદ્દેશ્યો અને પૂર્વધારણાને વ્યાખ્યાયિત કરી.

લક્ષ્ય: 8મા ધોરણમાં પ્રમેયનો અભ્યાસ કરવા અને સાબિત કરવા માટે વ્યક્તિગત વ્યૂહરચનાઓ ઓળખો અને વિકસાવો.

કાર્યો:

1. પ્રશ્નાવલી (વિશ્લેષણ શીટના ઘટકો સાથે)ના આધારે પ્રમેયનો અભ્યાસ કરવા અને સાબિત કરવા માટેની વ્યક્તિગત વ્યૂહરચનાઓને ઓળખો.

2. મેળવેલા પરિણામોની ચર્ચા કરીને, અભ્યાસ પૂર્ણ કરતી વખતે અને પ્રમેય સાબિત કરતી વખતે સફળ ક્રિયાઓની બેંક બનાવીને વિદ્યાર્થીઓની વ્યક્તિગત વ્યૂહરચના વિકસાવો.

3. પર સલાહ વિકસાવો સફળ અભ્યાસભૂમિતિમાં પ્રમેય.

4. CRPS ટેક્નોલોજીનો ઉપયોગ કરતા પહેલા અને પછી પ્રમેયમાં નિપુણતા મેળવતા વિદ્યાર્થીઓના પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરો, વિદ્યાર્થીઓની સફળ પ્રવૃત્તિઓનું રીમાઇન્ડર વિકસાવો અને પરીક્ષણ કરો.

પૂર્વધારણા: પ્રમેયનો અભ્યાસ કરતી વખતે વિદ્યાર્થીઓની પોતાની ક્રિયાઓની સમજ તેમને ભૂમિતિમાં સમસ્યાઓ સાબિત કરવા અને ઉકેલવામાં કુશળતા વિકસાવવા અને વધુ હાંસલ કરવાની મંજૂરી આપશે. ઉચ્ચ પરિણામોતાલીમ

શાળા પુસ્તકોભૂમિતિ પ્રમેયનો તૈયાર પુરાવો બતાવે છે, પરંતુ સાબિતી પ્રક્રિયા પોતે શીખવતી નથી.વિદ્યાર્થીઓને પ્રમેય સમજવામાં અને તેમના પુરાવાઓનું પુનઃઉત્પાદન કરવામાં ઘણી વાર મુશ્કેલી પડે છે.. "પ્રમેય" શબ્દ પહેલા ઘણા વિદ્યાર્થીઓનો ડર જાણીતો છે. ક્રમિક રચનાના સિદ્ધાંત અનુસાર હેતુપૂર્ણ કાર્ય તેને દૂર કરવામાં મદદ કરે છે માનસિક ક્રિયાઓપી.યા. ગેલપરિન. પ્રમેયના એસિમિલેશનને સુનિશ્ચિત કરવા, તેમના પુરાવાઓ અને ભૂમિતિમાં સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખવવા માટે, આ સિદ્ધાંત અનુસાર ગોઠવવું જરૂરી છે. સ્વતંત્ર પ્રવૃત્તિવિદ્યાર્થીઓ વિદ્યાર્થીઓને જાતે જ પ્રમેય સાબિત કરતા શીખવવું જરૂરી છે.

પુરાવાઓ શીખવીને આપણે વિદ્યાર્થીઓને શીખવતા શીખવતા સમજવું જોઈએ કે કેવી રીતે તૈયાર પુરાવાઓનું વિશ્લેષણ કરવું, તેનું પુનઃઉત્પાદન કરવું, સ્વતંત્ર રીતે તથ્યો શોધવા, પુરાવાના અન્ય માર્ગો શોધવા અને આગળ મૂકવામાં આવેલ દરખાસ્તોનું ખંડન પણ કેવી રીતે કરવું.

મેં મારો પ્રયોગ એક પ્રશ્ન સાથે શરૂ કર્યો જેનો મને અણધાર્યો જવાબ મળ્યો.

પ્રથમ તબક્કે, વિદ્યાર્થીઓને પ્રમેય રજૂ કરતી વખતે અને સાબિત કરતી વખતે તેઓ જે ક્રિયાઓ કરે છે તેનું વર્ણન કરવા માટે કહેવામાં આવ્યું હતું. પરિણામે, નીચેના વિકલ્પો પ્રાપ્ત થયા:

***

મેં પાઠ્યપુસ્તકમાંથી પ્રમેય વાંચ્યો.

હું શીખવી રહ્યો છું.

હું વર્ગમાં એક પ્રમેય સાબિત કરું છું.

***

હું કવિતાની જેમ શીખવીશ. જ્યારે હું તમને કહું છું, મને ડર છે કે હું ખોવાઈ જઈશ.

. ***

1. હું પાઠ્યપુસ્તકમાંથી પ્રમેય શીખું છું.

2. હું સંક્ષિપ્તમાં મારા માટે સાબિતી લખું છું.

3. હું નોંધોનો ઉપયોગ કરીને પ્રમેય સાબિત કરું છું.

4. હું મારી માતાને સાબિતી કહું છું.

5. વર્ગમાં હું શિક્ષકને પ્રમેય સાબિત કરું છું.

વિશ્લેષણ પછી વ્યક્તિગત વ્યૂહરચનાહું સમજી ગયો કે છોકરાઓ માટે પ્રમેય સાબિત કરવું શા માટે મુશ્કેલ છે. આવું થાય છે કારણ કે તેઓ મૂળભૂત રીતે સમજી શકતા નથી કે "પ્રમેય શીખવાનો" અર્થ શું છે.આગળ, મેં મુશ્કેલીઓના કારણો ઓળખ્યા. આ અને ખરાબ ગુણવત્તાજ્ઞાન, તેને લાગુ કરવામાં અસમર્થતા, માનસિક ક્રિયાઓની જાગૃતિનો અભાવ, તાર્કિક પગલાં વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવામાં અસમર્થતા, નબળી પ્રેરણા, વગેરે. "પ્રમેયને સાબિત કરવા" માટેની આવશ્યકતાના અમલીકરણમાં સંખ્યાબંધ ક્રિયાઓ શામેલ છે. આ ક્રિયાઓમાં નિપુણતા મેળવ્યા વિના, વિદ્યાર્થીની વિચારસરણીમાં સંગઠનો ઉત્પન્ન થશે નહીં જે તેને પ્રમેય સાબિત કરવામાં આગળ વધવા દેશે. આ પૈકી માનસિક કામગીરીશામેલ કરો: પ્રમેયની સ્થિતિ અને નિષ્કર્ષને પ્રકાશિત કરો, તેમને મૌખિક અને ગ્રાફિકલી રેકોર્ડ કરો, પુરાવાને ભાગોમાં તોડો, તેમાંથી દરેકનું વિશ્લેષણ કરો, તારણો દોરો અને આગળ વધો. તેથી, વિદ્યાર્થીઓની વિચારસરણીમાં ક્રિયાના પુરાવા માટે જરૂરી ક્રિયાઓ રચવી જરૂરી છે.

પ્રમેયનો અભ્યાસ કરતી વખતે "ત્રિકોણની સમાનતાનો પ્રથમ સંકેત" મેં વિદ્યાર્થીઓ માટે એક પ્રશ્નાવલી તૈયાર કરી. આ પ્રશ્નોએ અમને પ્રમેયની સામગ્રી વિશે, પુરાવાના તબક્કાઓ વિશે વિચારવા માટે પ્રેરિત કર્યા, અને તે જ સમયે વિદ્યાર્થીઓના વિચારમાં જરૂરી જોડાણો જગાવ્યા.

પ્રશ્નાવલી.

પ્રમેય સાથે પરિચિત થવા માટે તમે કઈ ક્રિયાનો ઉપયોગ કર્યો?

તમે કેવી રીતે સમજો છો કે આ એક પ્રમેય છે?

પ્રમેયના પુરાવાનો અભ્યાસ કરવા માટે તમને શું પ્રેરે છે?

તમે પ્રમેય કેટલી વાર વાંચ્યો છે?

શું આપવામાં આવે છે?

શું સાબિત કરવાની જરૂર છે?

શું ચિત્ર પ્રમેયને સાબિત કરવામાં મદદ કરશે?

તમે પ્રમેયના પુરાવાનો અભ્યાસ કેવી રીતે શરૂ કર્યો?

શું પ્રમેયના પુરાવાને ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે?

કયા તથ્યો, પ્રમેય, વ્યાખ્યાઓનું જ્ઞાન તમારા માટે ઉપયોગી હતું?

પ્રમેય સાબિત કરતા તમને શું અટકાવ્યું?

પ્રમેય સાબિત કરવામાં શું મદદ કરી?

તમે કેવી રીતે સમજી શક્યા કે પ્રમેય સાબિત થયો છે?

તમે તમારા માટે કઈ શોધ કરી?

શું તમે સંતુષ્ટ છો? આ તમને કેવું લાગે છે?

જેઓ પ્રમેયનો અભ્યાસ કરવા જઈ રહ્યા છે તેમને તમે શું સલાહ આપી શકો? ?

અહીં આ પ્રશ્નોના કેટલાક જવાબો છે.

જુલિયા:

મેં પાઠ્યપુસ્તક ખોલ્યું, પ્રમેય શોધી કાઢ્યો અને તેને દૃષ્ટિની રીતે જાણ્યો.

મેં તે વાંચ્યું.

મને રસ હોવાથી મેં તેનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું.

મેં પ્રમેય 2 વાર વાંચ્યો.

ત્રિકોણની સમાનતાની પ્રથમ નિશાની આપવામાં આવી છે.

જો એક ત્રિકોણના 2 ખૂણા 2 બરાબર હોય તો શું થાય અનુરૂપ ખૂણાઅન્ય ત્રિકોણ, પછી આવા ત્રિકોણ સમાન છે.

હા.

ટેક્સ્ટમાંથી.

હા.

હા.

એકાગ્રતાનો અભાવ, ઘણા નવા શબ્દો.

રેખાંકન.

જ્યારે મને સમજાયું કે પ્રમેય શું છે, ત્યારે મેં સાબિતી જોઈ.

-----------

એન્ટોન:

પાઠ્યપુસ્તકના ઉદઘાટનથી.

તે ત્યાં કહે છે કે આ એક પ્રમેય છે.

પ્રમેય અને મૂલ્યાંકનનું જ્ઞાન.

2 વખત.

બે ત્રિકોણ.

ત્રિકોણની સમાનતા.

હા.

વાંચનમાંથી.

હા.

સમાન ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના ગુણોત્તર પર પ્રમેય.

કેટલાક જરૂરી તથ્યોની અજ્ઞાનતા.

મેમરી મદદ કરી.

પાઠ્યપુસ્તક કહે છે કે પ્રમેય સાબિત થઈ ગયો છે.

હું એક નવો પ્રમેય શીખ્યો.

હા, હું ખુશ છું.

સાવચેત રહો.

અલીના:

હું પાઠ્યપુસ્તકમાં મને જરૂરી પ્રમેય શોધું છું, તેને વાંચું છું અને ટેક્સ્ટને સમજવાનો પ્રયત્ન કરું છું.

હું સમજું છું કે આ એક પ્રમેય છે, કારણ કે નિયમ આ હકીકતની સાબિતી સાથે છે.

સમસ્યા હલ કરવાની કુશળતા અને સમજ.

જ્યાં સુધી મને તે યાદ ન આવે ત્યાં સુધી હું પ્રમેય ફરીથી વાંચું છું, 4-6 વખત.

2 ત્રિકોણ આપેલ છે, સમાન ખૂણા દર્શાવેલ છે.

આ બે ત્રિકોણની સમાનતા.

ડ્રોઇંગ મને વધુ સારી રીતે સમજવામાં મદદ કરશે કે શું સાબિત કરવાની જરૂર છે અને સ્થિતિને સમજવામાં મદદ કરશે.

પહેલા હું આખો પુરાવો વાંચીશ, પછી હું એક ડ્રોઇંગ બનાવીશ અને, તેને ધ્યાનથી વાંચીને, હું પુરાવાને ડિસએસેમ્બલ કરવાનું શરૂ કરીશ.

શું આપવામાં આવે છે - સમસ્યા હલ કરવાનો અભિગમ - સાબિતી - નિષ્કર્ષ.

મને ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળા, સમાન ત્રિકોણની વ્યાખ્યા, સમાન ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના ગુણોત્તર પરના પ્રમેય પરના પ્રમેય દ્વારા સાબિતી આપવામાં મદદ મળી.

કંઈ આડે આવ્યું નહીં.

ની વ્યાખ્યા જાણવી સમાન ત્રિકોણ, અન્ય પ્રમેય અને તથ્યોનું જ્ઞાન.

નિષ્કર્ષ આપવામાં આવે છે, અને જ્યારે અમને સાબિત કરવા માટે જરૂરી છે તે મળ્યું, ત્યારે હું "પ્રમેય સાબિત થયું છે" શબ્દો સાથે સમાપ્ત કરું છું.

મને ત્રિકોણની સમાનતાની નવી નિશાની મળી અને પ્રથમ વખત હું મારી જાતે નવા પ્રમેયનો પુરાવો શોધી શક્યો.

મૌન માં પ્રમેય શીખો, લખાણ માં delving. પ્રથમ, પ્રમેયની રચના શીખો, સાબિતીમાં મદદ કરી શકે તેવી સામગ્રી યાદ રાખો.

વિક્ટોરિયા:

મેં પાઠ્યપુસ્તક ખોલ્યું, મને જરૂરી પ્રમેય મળ્યો, તેને વાંચ્યો, તેને યાદ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો.

આ એક પ્રસ્તાવ છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

હું આનાથી પ્રેરિત છું: a) સારો ગ્રેડ મેળવવો, કારણ કે આ મારા માતાપિતા અને મારા ભવિષ્ય માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે; b) પ્રમેયનો અભ્યાસ વિકસે છે તાર્કિક વિચારસરણી, અને ભૂમિતિની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે તર્ક જરૂરી છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રમેયનો અભ્યાસ કરીને, હું સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખું છું.

આપેલ: 2 ત્રિકોણ, તેમાં સમાન ખૂણા.

આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે બે ત્રિકોણ સમાન છે.

હા. ડ્રોઇંગ મને પ્રમેય સાબિત કરવામાં અને સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં ઘણી મદદ કરે છે. કેટલીકવાર ચિત્ર સમસ્યાનું સમાધાન સૂચવે છે.

મેં પાઠ્યપુસ્તકમાંથી પ્રમેયનો પુરાવો ઘણી વખત વાંચ્યો, ટૂંકમાં તેને એક નોટબુકમાં લખ્યો, અને પછી પ્રમેય અને પુરાવાને મૌખિક રીતે પુનરાવર્તન કરવાનો પ્રયાસ કર્યો.

કદાચ 2 ભાગોમાં.

મેં અગાઉ મેળવેલ જ્ઞાન, 7મા ધોરણથી પણ, મારા માટે ઉપયોગી હતું.

મને કંઈ જ પરેશાન કરતું નથી. મુખ્ય વસ્તુ એ જાણવાની છે કે આ બધું શા માટે જરૂરી છે.

પ્રમેયને સાબિત કરવામાં, મને પાઠ્યપુસ્તક દ્વારા મદદ મળી હતી અને હું જે હજુ પણ જાણતો નથી તે જાણવાની ખૂબ ઇચ્છા હતી.

મેં તાર્કિક રીતે નક્કી કર્યું કે સાબિત કરવા માટે વધુ કંઈ નથી.

પ્રમેય પોતે મારા માટે પહેલેથી જ એક શોધ છે; હું આ ગુણધર્મ પહેલા જાણતો ન હતો.

મને આનંદ છે કે હું પ્રમેય સાબિત કરી શક્યો, સંતોષની લાગણી, ગર્વની લાગણી કે હું બધું સમજી શક્યો.

પ્રમેય અને સાબિતી કાળજીપૂર્વક વાંચો, તેમને સમજવાનો પ્રયાસ કરો, તેમને ઘણી વખત વાંચો, કોઈને અથવા અરીસાને પ્રમેય સાબિત કરો, હું આ પ્રશ્નાવલિ તમારી સામે રાખવાની ભલામણ કરીશ - તે મદદ કરે છે.

આ પ્રશ્નાવલિનો ઉપયોગ કરીને, લોકોએ પોતે પ્રમેય સાબિત કર્યો. વિદ્યાર્થીઓ માટે આ કામઅસામાન્ય, રસપ્રદ અને મુશ્કેલ હતું. અમે તમામ જવાબોની સમીક્ષા કરી અને સારાંશ આપ્યા, તેમની વિવિધતાને ધ્યાનમાં લીધી અને સૌથી વધુને ઓળખ્યા તર્કસંગત ક્રિયાઆ કામ કરતી વખતે. આગળના પાઠમાં, સર્વેક્ષણ કરાયેલા તમામ વિદ્યાર્થીઓ હકારાત્મક ગુણ સાથે પ્રમેય સાબિત કરવામાં સક્ષમ હતા.

આગળ, મારા વિદ્યાર્થીઓ અને મેં પ્રમેયનો અભ્યાસ કરવા અને સાબિત કરવા માટેની વ્યૂહરચનાઓની ચર્ચા કરી, તેમની ક્રિયાઓની સામાન્ય અને અલગ-અલગ પેટર્ન ઓળખી, સફળ ક્રિયાઓની બેંક બનાવી, કૉલિંગ અંતિમ કાર્ય"મારા પગલાં."

બાળકોએ "મારા પગલાં" સૂચિનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની સમાનતાના બીજા સંકેતને સાબિત કર્યું. પરંતુ સમાનતાના ત્રીજા માપદંડનો અભ્યાસ કરતી વખતે (આ પાઠ વિડિયો પર રેકોર્ડ કરવામાં આવ્યો હતો, અને પાઠનો સારાંશ નીચે આપેલ છે), અમે પ્રમેયના પુરાવાના રીમાઇન્ડરનું સંકલન કરી શક્યા, જેનો અમે આ બંનેમાં અન્ય પ્રમેય સાબિત કરવા સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ કર્યો. વર્ગ અને આ સમાંતરના બીજા વર્ગમાં.

મેમો.

પ્રમેયનો અભ્યાસ અને સાબિત કરતી વખતે તમારે આની જરૂર છે:

પ્રમેયમાંના શબ્દોને તેઓ દર્શાવેલ ખ્યાલો અથવા તેમની લાક્ષણિકતાઓની વ્યાખ્યાઓ સાથે બદલો.

શરત અને નિષ્કર્ષના ઘટકોને "આપવામાં" અને "સાબિત કરો" શબ્દોથી અલગ કરો.

"આપેલ" કૉલમમાં તમામ જાણીતા જથ્થાઓ લખો.

"પુરાવા" કૉલમમાં, શું સાબિત કરવાની જરૂર છે તે લખો.

સ્પષ્ટ અને સુઘડ ચિત્ર બનાવો. તેના પર માર્ક કરો લેટિન અક્ષરોમાંજે શરૂઆતમાં જાણવા મળે છે.

પ્રમેયને ભાગોમાં તોડો.

દરેક ભાગને અલગથી સાબિત કરો.

નિષ્કર્ષ સાથે સાબિતી સમાપ્ત કરો “તેથી, પ્રારંભિક મંજૂરીતે સાચું છે, પ્રમેય સાબિત થાય છે."

પાઠ્યપુસ્તક બંધ કરો, કોઈને પ્રમેય સાબિત કરો, પ્રયાસ કરો.

રિમાઇન્ડર તેમની સામે મૂક્યા પછી, હવે કોઈપણ બાળક સ્વતંત્ર રીતે પ્રમેયને સમજી શકે છે અને તેને સાબિત કરી શકે છે. આ મેમો પ્રમેયની પરિસ્થિતિઓમાંથી માહિતી કાઢવામાં મદદ કરે છે, અલગ કરો વ્યક્તિગત ઘટકો, તેમને જોડો, સ્વતંત્ર નિષ્કર્ષ દોરો, પુરાવાના દરેક તબક્કાની જરૂરિયાતો ઘડી કાઢો, કાર્યની પ્રક્રિયામાં તમારા જ્ઞાનનું મૂલ્યાંકન કરો અને "ગેપ" દૂર કરો. અમારા કામે મારા ગણિતશાસ્ત્રી સાથીદારોમાં ઓછો રસ જગાડ્યો.

CRPS ટેકનોલોજીના ઉપયોગથી અભ્યાસમાં હકારાત્મક ગતિશીલતા અને ભૂમિતિમાં પ્રમેયની સાબિતી પ્રાપ્ત કરવાનું શક્ય બન્યું છે. હવે 8મા ધોરણના તમામ વિદ્યાર્થીઓ સમજે છે કે શિક્ષકના શબ્દો "પ્રમેય શીખો" નો અર્થ શું છે. છોકરાઓ સ્વતંત્ર તરફ આકર્ષિત થવા લાગ્યા જ્ઞાનાત્મક પ્રવૃત્તિ, તેમની પ્રેરણા બદલાઈ ગઈ છે, આત્મવિશ્વાસ દેખાયો છે અને પોતાની તાકાત, પોતાની પ્રવૃત્તિઓ પ્રત્યે જવાબદાર વલણ ઊભું થયું. CRPS ના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોથી પરિચિત થયા પછી પ્રમેયનો સફળતાપૂર્વક અભ્યાસ કરવા અને સાબિત કરવા માટેની અહીં એક વ્યૂહરચના છે:

શાશા:

મેં પાઠ્યપુસ્તકમાંથી પ્રમેય ધ્યાનથી વાંચ્યો.

હું દરેક શબ્દ વાંચું છું, નવા શબ્દો અને શબ્દસમૂહો નોંધું છું.

હું સાબિતી વાંચી રહ્યો છું.

હું નક્કી કરું છું કે શું મારા માટે બધું સ્પષ્ટ છે.

જો કંઈક અસ્પષ્ટ હોય, તો હું દરેક શબ્દ પર ધ્યાન આપીને તેને ફરીથી વાંચું છું.

જો બધું સ્પષ્ટ છે, તો પછી હું શોધી કાઢું છું અને લખું છું કે શું આપવામાં આવ્યું છે અને શું સાબિત કરવાની જરૂર છે.

હું એક ડ્રોઇંગ બનાવું છું જે પ્રમેયની શરતોને પૂર્ણ કરે છે જે તમામ ડેટા દર્શાવે છે.

મેં પુરાવો ફરીથી ધ્યાનથી વાંચ્યો.

હું પુરાવાને તાર્કિક ભાગોમાં વિભાજીત કરવાનો પ્રયાસ કરું છું.

હું જરૂરી તારણો દોરીને ભાગોમાં પ્રમેય સાબિત કરું છું.

મેં ફરીથી પ્રમેય વાંચ્યો.

પાઠ્યપુસ્તક બંધ કર્યા પછી, ચિત્રનો ઉપયોગ કરીને, હું પ્રમેય સાબિત કરું છું.

બસ, મેં પ્રમેય શીખ્યો અને સાબિત કર્યું!

હવે હું પ્રમેયના અભ્યાસ દરમિયાન મેળવેલ જ્ઞાનને લાગુ પાડવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

અવલોકનો, વ્યૂહરચનાઓનું વિશ્લેષણ, વિદ્યાર્થીઓ સાથેની વાતચીતથી કાર્ય માટેની સંભાવનાઓ નક્કી કરવાનું શક્ય બન્યું - પ્રમેયના સંશોધનાત્મક પુરાવા, વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવાની વ્યૂહરચનાનો અભ્યાસ કરવાની જરૂરિયાત.

પાઠ વિકાસ

વિષય: ભૂમિતિ.

શિક્ષક: પેટ્રોવા એલેના વ્લાદિમીરોવના

વર્ગ: 8 "જી"

પાઠનો વિષય: ત્રિકોણની સમાનતાનો ત્રીજો સંકેત.

પાઠનો હેતુ: પ્રમેયના અભ્યાસ અને પુરાવા પર મેમોનું સંકલન કરવું, ત્રિકોણની સમાનતા માટે ત્રીજા માપદંડનો અભ્યાસ કરતી વખતે તેનું પરીક્ષણ કરવું.

પ્રવૃત્તિના આધારે ઘડવામાં આવેલા પાઠના ઉદ્દેશ્યો:

- શૈક્ષણિક: ભૂમિતિના અભ્યાસ માટે પ્રેરણાનો વિકાસ; રચના આદરપૂર્ણ વલણએક અલગ અભિપ્રાય, અલગ દૃષ્ટિકોણ માટે; વ્યક્તિગત સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સ્વતંત્રતાનો વિકાસ.

- શૈક્ષણિક : સફળ અભ્યાસ અને પ્રમેયના પુરાવાને પ્રોત્સાહન આપતો મેમો બનાવો, તેને લાગુ કરો સ્વ-અભ્યાસ

ત્રિકોણની સમાનતા માટેનો ત્રીજો માપદંડ.

- વિકાસશીલ: વિશ્લેષણ કરવાની, મુખ્ય વસ્તુને પ્રકાશિત કરવાની, તુલના કરવાની, સામાન્યીકરણ કરવાની, વ્યવસ્થિત કરવાની, વિભાવનાઓને સમજાવવાની અને સાબિત કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવા.

સ્ટેજ

સ્ટેજ નામ

કાર્યો

શિક્ષકની પ્રવૃત્તિઓ (શિક્ષણની પદ્ધતિઓ અને તકનીકો)

વિદ્યાર્થી પ્રવૃત્તિઓ (શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓના સંગઠનના સ્વરૂપો)

અપેક્ષિત પરિણામ (જ્ઞાન, કુશળતા, પ્રવૃત્તિની પદ્ધતિઓ)

માટે પ્રેરણા શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓ

શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓમાં સમાવેશ માટે આંતરિક જરૂરિયાતના ઉદભવ માટે શરતો બનાવો

મારી પાસે બે ત્રિકોણ છે. તેમાંથી એકની બાજુઓ 3 સેમી, 5 સેમી અને 4 સેમી છે અને બીજી બાજુ 12 સેમી, 20 સેમી અને 16 સેમી છે કે કેમ તે કેવી રીતે શોધી શકાય?

પરિસ્થિતિનું વિશ્લેષણ કરો અને સમસ્યા હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો.

વિદ્યાર્થીઓ આ સમસ્યાને ઉકેલવા વિશે વિચારશે, પરંતુ તેને હલ કરી શકશે નહીં.

સમસ્યાનું સ્થાન અને કારણ ઓળખવું.

કારણો શોધો: શા માટે આપણે પૂછેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકતા નથી?

વિદ્યાર્થીઓની પ્રવૃત્તિઓને એવી રીતે ગોઠવો કે જેથી તેઓ મુશ્કેલીના કારણ તરફ દોરી જાય.

ચર્ચા દરમિયાન, વિદ્યાર્થીઓ શોધે છે કે તેમને આ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવામાં શું રોકે છે, અને મુશ્કેલ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર આવવામાં શું મદદ કરી શકે છે.

વિદ્યાર્થીઓ સમજે છે કે તેમની પાસે સમસ્યા હલ કરવા માટે પૂરતું જ્ઞાન નથી

સમસ્યામાંથી બહાર આવવા માટે પ્રોજેક્ટ બનાવવો.

વિદ્યાર્થીઓને પરિસ્થિતિમાંથી માર્ગ શોધવામાં મદદ કરો

શિક્ષક અગ્રણી સંવાદ અને ક્રિયા માટે પ્રોત્સાહનની મદદથી લક્ષ્ય નિર્ધારિત કરવામાં મદદ કરે છે.

વિદ્યાર્થીઓ લક્ષ્યો નક્કી કરે છે અને ધ્યેય હાંસલ કરવા માટે એક પદ્ધતિ પસંદ કરે છે - ત્રિકોણની સમાનતાના અન્ય સંકેતનો અભ્યાસ કરો.

પરિસ્થિતિનું વિશ્લેષણ કર્યા પછી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે પ્રમેયનો અભ્યાસ કરવા અને સાબિત કરવા માટે એક માર્ગદર્શિકા બનાવવી જરૂરી છે.

આયોજિત યોજનાનું અમલીકરણ

એક સાર્વત્રિક રીમાઇન્ડર બનાવો.

શિક્ષક પ્રક્રિયાને માર્ગદર્શન આપે છે

વિદ્યાર્થીઓ પ્રમેયનો સફળતાપૂર્વક અભ્યાસ કરવા માટે અગાઉના પાઠોમાં ઓળખાયેલ "મારા પગલાં" ના આધારે વ્યક્તિગત રીતે તેમનો પોતાનો મેમો બનાવે છે; અને પછી ચર્ચાની પ્રક્રિયામાં અમે એક સાર્વત્રિક રીમાઇન્ડર બનાવીએ છીએ.

પાઠ્યપુસ્તકમાંથી કોઈપણ પ્રમેય સફળતાપૂર્વક સાબિત કરવા માટે રીમાઇન્ડર બનાવવું.

બાંધવામાં આવેલ પ્રોજેક્ટનું અમલીકરણ.

ત્રિકોણની સમાનતા માટે ત્રીજા માપદંડને જોવા માટે પાઠ્યપુસ્તકનો ઉપયોગ કરો.

શિક્ષક પ્રક્રિયાને માર્ગદર્શન આપે છે

પાઠ્યપુસ્તકનો ઉપયોગ કરીને, વિદ્યાર્થીઓ તેમના માટે નવા પ્રમેયનું વિશ્લેષણ કરે છે અને મેમોની મદદથી, તેમની નોટબુકમાં તેના પુરાવાનું વર્ણન કરે છે.

પ્રમેયનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હતું અને તેનો પુરાવો એક નોટબુકમાં લખવામાં આવ્યો હતો.

બાહ્ય ભાષણમાં પ્રોગ્રામિંગ સાથે પ્રાથમિક એકત્રીકરણ

પ્રમેયના તમામ અસ્પષ્ટ મુદ્દાઓ શોધો

શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓને દસ્તાવેજીકરણ કરીને મદદ કરે છે કે તેઓએ ઊભી થયેલી કોઈપણ મુશ્કેલીઓ કેવી રીતે દૂર કરી.

નોટબુકમાંની નોંધોને સાબિતી યોજના સાથે સાંકળી લો, જે પ્રશ્નો ઉભા થયા છે તેની સ્પષ્ટતા કરો અને તારણો કાઢો.

કરવામાં આવેલ કાર્યનું વિશ્લેષણ કરો અને મૌખિક રીતે પુરાવાઓની સમીક્ષા કરો

જ્ઞાન પ્રણાલીમાં સમાવેશ અને પુનરાવર્તન.

ત્રિકોણની સમાનતા માટે ત્રીજો માપદંડ સાબિત કરો.

શિક્ષક બ્લેકબોર્ડ પર પ્રમેય સાબિત કરવા માટે, સંકલિત મેમોનો ઉપયોગ કરીને સૂચવે છે.

વિદ્યાર્થીઓ બ્લેકબોર્ડ પર પોતાની વિવેકબુદ્ધિથી પ્રમેય સાબિત કરે છે.

એક વ્યક્તિ બોર્ડ પર જવાબ આપી શકશે.

વર્ગખંડમાં શીખવાની પ્રવૃત્તિઓ પર પ્રતિબિંબ.

ધ્યેય સિદ્ધિની ડિગ્રી રેકોર્ડ કરે છે.

વિદ્યાર્થીઓ સમજે છે કે હવે આ સમસ્યા હલ થઈ શકે છે, એટલે કે. વિદ્યાર્થીનું આત્મસન્માન વધે છે.

વિદ્યાર્થીઓ આ પ્રકારની પ્રવૃત્તિનો આનંદ માણશે અને સમજશે કે પ્રમેય શીખવા અને સાબિત કરવા માટે આ સૌથી અસરકારક અભિગમ છે.