Materi yang disampaikan pada topik ini didasarkan pada informasi yang disajikan pada topik “Pecahan Rasional. Penguraian pecahan rasional menjadi pecahan dasar (sederhana)”. Saya sangat menyarankan Anda setidaknya membaca sekilas topik ini sebelum melanjutkan membaca materi ini. Selain itu, kita memerlukan tabel integral tak tentu.
Izinkan saya mengingatkan Anda tentang beberapa istilah. Mereka dibahas dalam topik yang relevan, jadi di sini saya akan membatasi diri pada rumusan singkat.
Perbandingan dua polinomial $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ disebut fungsi rasional atau pecahan rasional. Pecahan rasional disebut benar, jika $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется salah.
Pecahan rasional dasar (paling sederhana) adalah pecahan rasional empat jenis:
- $\frac(A)(xa)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Catatan (diinginkan untuk pemahaman teks yang lebih lengkap): tampilkan\sembunyikan
Mengapa kondisi $p^2-4q diperlukan?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим persamaan kuadrat$x^2+px+q=0$. Diskriminan persamaan ini adalah $D=p^2-4q$. Intinya, kondisi $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Misalnya, untuk ekspresi $x^2+5x+10$ kita mendapatkan: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Sejak $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Ngomong-ngomong, untuk pemeriksaan ini sama sekali tidak perlu koefisien $x^2$ sama dengan 1. Misalnya, untuk $5x^2+7x-3=0$ kita mendapatkan: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Karena $D > 0$, ekspresi $5x^2+7x-3$ dapat difaktorkan.
Contoh pecahan rasional (benar dan tidak wajar), serta contoh penguraian pecahan rasional menjadi pecahan dasar dapat ditemukan. Di sini kita hanya akan tertarik pada pertanyaan tentang integrasinya. Mari kita mulai dengan mengintegrasikan pecahan dasar. Jadi, masing-masing dari keempat jenis pecahan dasar di atas mudah diintegrasikan menggunakan rumus di bawah ini. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa ketika mengintegrasikan pecahan tipe (2) dan (4), diasumsikan $n=2,3,4,\ldots$. Rumus (3) dan (4) memerlukan terpenuhinya kondisi $p^2-4q< 0$.
\begin(persamaan) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(persamaan) \begin(persamaan) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(persamaan) \begin(persamaan) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(persamaan)
Untuk $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ substitusi $t=x+\frac(p)(2)$ dilakukan, setelah itu interval yang dihasilkan adalah dibagi menjadi dua. Yang pertama akan dihitung dengan memasukkan di bawah tanda diferensial, dan yang kedua akan berbentuk $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Integral ini diambil dengan menggunakan relasi perulangan
\begin(persamaan) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Saya_n,\; n\dalam N\akhir(persamaan)
Perhitungan integral tersebut dibahas pada contoh No. 7 (lihat bagian ketiga).
Skema penghitungan integral fungsi rasional (pecahan rasional):
- Jika integrannya dasar, maka terapkan rumus (1)-(4).
- Jika integralnya bukan pecahan dasar, nyatakan sebagai jumlah pecahan dasar, lalu integrasikan menggunakan rumus (1)-(4).
Algoritme di atas untuk mengintegrasikan pecahan rasional memiliki keunggulan yang tidak dapat disangkal - bersifat universal. Itu. menggunakan algoritma ini Anda dapat mengintegrasikan setiap pecahan rasional. Itulah sebabnya hampir semua perubahan variabel pada integral tak tentu (substitusi Euler, Chebyshev, universal substitusi trigonometri) dibuat sedemikian rupa sehingga setelah penggantian ini kita memperoleh pecahan rasional di bawah interval. Dan kemudian terapkan algoritme untuk itu. Kami akan menganalisis penerapan langsung algoritma ini menggunakan contoh, setelah membuat catatan kecil.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Pada prinsipnya integral ini mudah diperoleh tanpa penerapan rumus secara mekanis. Jika kita mengeluarkan konstanta $7$ dari tanda integral dan memperhitungkan bahwa $dx=d(x+9)$, kita mendapatkan:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Untuk informasi rinci, saya sarankan melihat topiknya. Ini menjelaskan secara rinci bagaimana integral tersebut diselesaikan. Omong-omong, rumus tersebut dibuktikan dengan transformasi yang sama yang diterapkan dalam paragraf ini ketika menyelesaikannya “secara manual”.
2) Sekali lagi, ada dua cara: menggunakan formula yang sudah jadi atau tanpa formula. Jika Anda menerapkan rumus tersebut, Anda harus memperhitungkan bahwa koefisien di depan $x$ (angka 4) harus dihilangkan. Untuk melakukan ini, mari kita keluarkan empat hal ini dari tanda kurung:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\kiri(4\kiri(x+\frac(19)(4)\kanan)\kanan)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\kiri(x+\frac(19)(4)\kanan)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\kiri(x+\frac(19)(4)\kanan)^8). $$
Sekarang saatnya menerapkan rumus:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\kiri(x+\frac(19)(4)\kanan)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\kiri(x+\frac(19)(4) \kanan)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\kiri(x+\frac(19)(4) \kanan)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \kiri(x+\frac(19)(4) \kanan )^7)+C. $$
Anda bisa melakukannya tanpa menggunakan rumus. Dan bahkan tanpa mengeluarkan $4$ konstan dari tanda kurung. Jika kita memperhitungkan bahwa $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, kita mendapatkan:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Penjelasan rinci untuk mencari integral tersebut diberikan pada topik “Integrasi dengan substitusi (substitusi di bawah tanda diferensial)”.
3) Kita perlu mengintegrasikan pecahan $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Pecahan ini memiliki struktur $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, dengan $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Namun, untuk memastikan bahwa ini benar-benar pecahan dasar tipe ketiga, Anda perlu memeriksa apakah kondisi $p^2-4q terpenuhi< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Mari kita selesaikan dengan contoh yang sama, tetapi tanpa menggunakan rumus yang sudah jadi. Mari kita coba mengisolasi turunan dari penyebut pada pembilangnya. Apa artinya ini? Kita tahu bahwa $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Ini adalah ekspresi $2x+10$ yang harus kita isolasi di pembilangnya. Sejauh ini pembilangnya hanya berisi $4x+7$, tapi ini tidak akan bertahan lama. Mari kita terapkan transformasi berikut pada pembilangnya:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Sekarang ekspresi yang diperlukan $2x+10$ muncul di pembilang. Dan integral kita dapat ditulis ulang sebagai berikut:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Mari kita bagi integran menjadi dua. Nah, dan karenanya, integral itu sendiri juga “bercabang dua”:
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \kiri(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \kanan)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Mari kita bahas dulu tentang integral pertama, yaitu. tentang $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Karena $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, maka pembilang integralnya berisi diferensial penyebutnya. Singkatnya, sebagai gantinya dari ekspresi $( 2x+10)dx$ kita menulis $d(x^2+10x+34)$.
Sekarang mari kita bahas beberapa patah kata tentang integral kedua. Mari kita pilih persegi lengkap pada penyebutnya: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Selain itu, kami memperhitungkan $dx=d(x+5)$. Sekarang jumlah integral yang kita peroleh sebelumnya dapat ditulis ulang dalam bentuk yang sedikit berbeda:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Jika kita melakukan substitusi $u=x^2+10x+34$ pada integral pertama, maka akan berbentuk $\int\frac(du)(u)$ dan ambil mudah digunakan rumus kedua dari . Sedangkan untuk integral kedua, perubahan $u=x+5$ layak dilakukan, setelah itu akan berbentuk $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ini air murni rumus kesebelas dari tabel integral tak tentu. Jadi, kembali ke jumlah integral, kita mendapatkan:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Kami menerima jawaban yang sama seperti saat menerapkan rumus, yang sebenarnya tidak mengejutkan. Secara umum, rumus tersebut dibuktikan dengan metode yang sama yang kita gunakan untuk mencari integral ini. Saya yakin pembaca yang penuh perhatian mungkin memiliki satu pertanyaan di sini, jadi saya akan merumuskannya:
Pertanyaan No.1
Jika kita menerapkan rumus kedua dari tabel integral tak tentu ke integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, maka kita mendapatkan yang berikut:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Mengapa tidak ada modul dalam solusinya?
Jawaban pertanyaan #1
Pertanyaannya sangatlah wajar. Modul hilang hanya karena ekspresi $x^2+10x+34$ untuk $x\in R$ apa pun lebih besar dari nol. Hal ini cukup mudah untuk ditunjukkan dalam beberapa cara. Misalnya, karena $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ dan $(x+5)^2 ≥ 0$, maka $(x+5)^2+9 > 0$ . Anda dapat berpikir secara berbeda, tanpa menggunakan penekanan persegi penuh. Sejak $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ untuk $x\in R$ apa pun (jika rantai logis ini mengejutkan, saya menyarankan Anda untuk melihatnya metode grafis solusi pertidaksamaan kuadrat). Bagaimanapun, karena $x^2+10x+34 > 0$, maka $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, mis. Alih-alih modul, Anda dapat menggunakan tanda kurung biasa.
Semua poin contoh no 1 sudah terselesaikan, tinggal menuliskan jawabannya.
Menjawab:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
Contoh No.2
Carilah integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
Sekilas tentang pecahan integral $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ sangat mirip dengan pecahan dasar tipe ketiga, yaitu. oleh $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Tampaknya yang membedakan hanyalah koefisien $3$ di depan $x^2$, namun tidak butuh waktu lama untuk menghilangkan koefisien tersebut (keluarkan dari tanda kurung). Namun kemiripan ini terlihat jelas. Untuk pecahan $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kondisi $p^2-4q adalah wajib< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Koefisien kita sebelum $x^2$ tidak sama dengan satu, oleh karena itu periksa kondisi $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант kurang dari nol, maka ekspresi $x^2+px+q$ tidak dapat difaktorkan. Mari kita hitung diskriminan polinomial $3x^2-5x-2$ yang terletak pada penyebut pecahan kita: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Jadi, $D > 0$, maka ekspresi $3x^2-5x-2$ dapat difaktorkan. Artinya pecahan $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ bukan pecahan unsur tipe ketiga, dan terapkan $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) ke rumus integral 5x-2)dx$ tidak dimungkinkan.
Nah, jika pecahan rasional yang diberikan bukan pecahan dasar, maka pecahan tersebut perlu direpresentasikan sebagai penjumlahan dari pecahan dasar lalu diintegrasikan. Singkatnya, manfaatkan jalan setapak. Cara menguraikan pecahan rasional menjadi pecahan dasar ditulis secara rinci. Mari kita mulai dengan memfaktorkan penyebutnya:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(sejajar) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(rata)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\kiri(x-\kiri(-\frac(1)(3)\kanan)\kanan)\cdot (x-2)= 3\cdot\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2). $$
Kami menyajikan pecahan subinterkal dalam bentuk ini:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)). $$
Sekarang mari kita dekomposisi pecahan $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ menjadi pecahan dasar:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan))(\kiri(x+ \frac(1)(3)\kanan)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\kiri(x+\frac(1)( 3)\kanan). $$
Untuk mencari koefisien $A$ dan $B$ ada dua cara standar: metode koefisien tak tentu dan metode substitusi nilai parsial. Mari kita terapkan metode substitusi nilai parsial, dengan mengganti $x=2$ dan kemudian $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\kiri(2+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \kiri(-\frac(1)(3) \kanan)+4=A\kiri(-\frac(1)(3)-2\kanan)+B\kiri (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Karena koefisien telah ditemukan, yang tersisa hanyalah menuliskan pemuaian yang telah selesai:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Pada prinsipnya, Anda dapat meninggalkan entri ini, tetapi saya menyukai opsi yang lebih akurat:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Kembali ke integral asli, kita substitusikan ekspansi yang dihasilkan ke dalamnya. Kemudian kita membagi integral menjadi dua, dan menerapkan rumusnya pada masing-masing integral. Saya lebih memilih untuk segera menempatkan konstanta di luar tanda integral:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\kanan)dx=\\ =\int\kiri(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\kanan)dx+\int\kiri(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\kanan)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\kiri|x+\frac(1)(3)\kanan|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Menjawab: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\kiri|x+\frac(1)(3)\kanan| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Contoh No.3
Carilah integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Kita perlu mengintegrasikan pecahan $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Pembilangnya berisi polinomial derajat kedua, dan penyebutnya berisi polinomial derajat ketiga. Karena derajat polinomial pada pembilangnya lebih kecil dari derajat polinomial pada penyebutnya, yaitu $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Yang harus kita lakukan adalah membagi integral yang diberikan menjadi tiga dan menerapkan rumus pada masing-masing integral. Saya lebih memilih untuk segera menempatkan konstanta di luar tanda integral:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \kanan)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Menjawab: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Kelanjutan analisis contoh topik ini terdapat pada bagian kedua.
Tes integrasi fungsi termasuk pecahan rasional diberikan kepada siswa kelas 1 dan 2. Contoh integral terutama akan menarik bagi para ahli matematika, ekonom, dan ahli statistik. Contoh-contoh ini ditanyakan pada pekerjaan tes di LNU dinamai. I. Frank. Ketentuan contoh berikut adalah “Cari integralnya” atau “Hitung integralnya”, sehingga untuk menghemat ruang dan waktu Anda tidak dituliskan.
Contoh 15. Kita sampai pada integrasi fungsi rasional pecahan. Mereka menempati tempat khusus di antara integral, karena memerlukan banyak waktu untuk menghitung dan membantu guru menguji pengetahuan Anda tidak hanya tentang integrasi. Untuk menyederhanakan fungsi di bawah integral, kita menambah dan mengurangi ekspresi pada pembilangnya sehingga kita dapat membagi fungsi di bawah integral menjadi dua fungsi sederhana.
Hasilnya, kita menemukan satu integral dengan cukup cepat, pada detik kita perlu memperluas pecahan menjadi jumlah pecahan dasar 
Jika direduksi menjadi penyebut yang sama, kita memperoleh angka-angka berikut
Selanjutnya, buka tanda kurung dan kelompokkan
Kami menyamakan nilai di derajat yang sama"X" di kanan dan kiri. Hasilnya, kita sampai pada sistem tiga persamaan linier(SLAU) dengan tiga hal yang tidak diketahui. 
Cara menyelesaikan sistem persamaan dijelaskan di artikel lain di situs. Pada akhirnya Anda akan menerima solusi berikutnya SLAU
SEBUAH=4; B=-9/2; C=-7/2.
Kami mengganti konstanta ke dalam perluasan pecahan menjadi sederhana dan melakukan integrasi
Ini menyimpulkan contohnya.
Contoh 16. Sekali lagi kita perlu mencari integral dari fungsi rasional pecahan. Untuk memulainya persamaan kubik, yang terdapat pada penyebut pecahan, kita akan menguraikannya menjadi faktor sederhana 
Selanjutnya, kita menguraikan pecahan tersebut menjadi bentuk yang paling sederhana 
Mari kita satukan sisi kanan ke penyebut yang sama dan buka tanda kurung di pembilangnya. 
Kami menyamakan koefisien untuk derajat variabel yang sama. Mari kita kembali ke SLAE dengan tiga hal yang tidak diketahui 
Mari kita gantikan nilai A, B, C ke dalam ekspansi dan hitung integralnya 
Dua suku pertama memberikan logaritma, suku terakhir juga mudah ditemukan.
Contoh 17. Pada penyebut fungsi rasional pecahan kita mempunyai selisih pangkat tiga. Dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, kami menguraikannya menjadi dua faktor prima
Selanjutnya diterima fungsi pecahan tuliskan jumlahnya pecahan sederhana dan membawa mereka bersama-sama ke denominator umum 
Di pembilangnya kita mendapatkan ekspresi berikut.
Dari situ kita membentuk sistem persamaan linear untuk menghitung 3 hal yang tidak diketahui 
SEBUAH=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Kita substitusikan A, B, C ke dalam rumus dan lakukan integrasi. Hasilnya, kami sampai pada jawaban berikut: 
Di sini pembilang integral kedua diubah menjadi logaritma, dan sisanya di bawah integral menghasilkan arctangen.
Contoh serupa Ada banyak hal di Internet tentang pengintegrasian pecahan rasional. Anda dapat menemukan contoh serupa dari materi di bawah ini.
Fungsi rasional adalah pecahan yang bentuknya , yang pembilang dan penyebutnya merupakan polinomial atau hasil kali polinomial.
Contoh 1. Langkah 2.
.
Kami mengalikan koefisien yang belum ditentukan dengan polinomial yang tidak termasuk dalam pecahan individu ini, tetapi ada di pecahan lain yang dihasilkan:
Buka tanda kurung dan samakan pembilang integral asli dengan ekspresi yang dihasilkan:
Di kedua ruas persamaan, kita mencari suku-suku dengan pangkat x yang sama dan menyusun sistem persamaan dari suku-suku tersebut:
.
Kami membatalkan semua X dan mendapatkan sistem yang setara persamaan:
.
Jadi, perluasan akhir integran menjadi jumlah pecahan sederhana adalah:
.
Contoh 2. Langkah 2. Pada langkah 1, kita memperoleh penguraian pecahan asal berikut menjadi jumlah pecahan sederhana dengan koefisien tak tentu pada pembilangnya:
.
Sekarang kita mulai mencari koefisien tak tentu. Untuk melakukan ini, kita menyamakan pembilang pecahan asli dalam ekspresi fungsi dengan pembilang ekspresi yang diperoleh setelah mengurangi jumlah pecahan menjadi penyebut yang sama:
Sekarang Anda perlu membuat dan menyelesaikan sistem persamaan. Untuk melakukan ini, kita menyamakan koefisien variabel dengan derajat yang sesuai pada pembilang ekspresi asli fungsi dan koefisien serupa dalam ekspresi yang diperoleh pada langkah sebelumnya:
Kami memecahkan sistem yang dihasilkan:
Jadi, dari sini
.
Contoh 3. Langkah 2. Pada langkah 1, kita memperoleh penguraian pecahan asal berikut menjadi jumlah pecahan sederhana dengan koefisien tak tentu pada pembilangnya:
Kami mulai mencari koefisien yang tidak pasti. Untuk melakukan ini, kita menyamakan pembilang pecahan asli dalam ekspresi fungsi dengan pembilang ekspresi yang diperoleh setelah mengurangi jumlah pecahan menjadi penyebut yang sama:
Seperti pada contoh sebelumnya, kami membuat sistem persamaan:
Kami mengurangi x dan mendapatkan sistem persamaan yang setara:
Memecahkan sistem, kita dapatkan nilai-nilai berikut koefisien tidak pasti:
Kami memperoleh dekomposisi akhir integran menjadi jumlah pecahan sederhana:
.
Contoh 4. Langkah 2. Pada langkah 1, kita memperoleh penguraian pecahan asal berikut menjadi jumlah pecahan sederhana dengan koefisien tak tentu pada pembilangnya:
.
Kita telah mengetahui dari contoh sebelumnya bagaimana menyamakan pembilang pecahan asli dengan ekspresi pada pembilang yang diperoleh setelah menguraikan pecahan menjadi jumlah pecahan sederhana dan menjadikan jumlah tersebut menjadi penyebut yang sama. Oleh karena itu, hanya untuk tujuan kontrol, kami menyajikan sistem persamaan yang dihasilkan:
Memecahkan sistem, kami memperoleh nilai koefisien tak tentu berikut:
Kami memperoleh dekomposisi akhir integran menjadi jumlah pecahan sederhana:
Contoh 5. Langkah 2. Pada langkah 1, kita memperoleh penguraian pecahan asal berikut menjadi jumlah pecahan sederhana dengan koefisien tak tentu pada pembilangnya:
.
Kami secara mandiri mengurangi jumlah ini menjadi penyebut yang sama, menyamakan pembilang ekspresi ini dengan pembilang pecahan aslinya. Hasilnya seharusnya sistem berikutnya persamaan:
Memecahkan sistem, kami memperoleh nilai koefisien tak tentu berikut:
.
Kami memperoleh dekomposisi akhir integran menjadi jumlah pecahan sederhana:
.
Contoh 6. Langkah 2. Pada langkah 1, kita memperoleh penguraian pecahan asal berikut menjadi jumlah pecahan sederhana dengan koefisien tak tentu pada pembilangnya:
Kami melakukan tindakan yang sama dengan jumlah ini seperti pada contoh sebelumnya. Hasilnya adalah sistem persamaan berikut:
Memecahkan sistem, kami memperoleh nilai koefisien tak tentu berikut:
.
Kami memperoleh dekomposisi akhir integran menjadi jumlah pecahan sederhana:
.
Contoh 7. Langkah 2. Pada langkah 1, kita memperoleh penguraian pecahan asal berikut menjadi jumlah pecahan sederhana dengan koefisien tak tentu pada pembilangnya:
.
Setelah tindakan tertentu, sistem persamaan berikut harus diperoleh dengan jumlah yang dihasilkan:
Memecahkan sistem, kami memperoleh nilai koefisien tak tentu berikut:
Kami memperoleh dekomposisi akhir integran menjadi jumlah pecahan sederhana:
.
Contoh 8. Langkah 2. Pada langkah 1, kita memperoleh penguraian pecahan asal berikut menjadi jumlah pecahan sederhana dengan koefisien tak tentu pada pembilangnya:
.
Mari kita buat beberapa perubahan pada tindakan yang telah dibawa ke otomatisitas untuk mendapatkan sistem persamaan. Ada teknik buatan yang dalam beberapa kasus membantu menghindari perhitungan yang tidak perlu. Membawa jumlah pecahan ke penyebut yang sama, kita memperoleh dan menyamakan pembilang ekspresi ini dengan pembilang pecahan asli, kita peroleh.
Integrasi fungsi rasional Pecahan - fungsi rasional Pecahan rasional paling sederhana Penguraian pecahan rasional menjadi pecahan sederhana Integrasi pecahan sederhana Aturan umum integrasi pecahan rasional
polinomial derajat n. Fungsi rasional pecahan Fungsi rasional pecahan adalah suatu fungsi sama dengan rasionya dua polinomial: Suatu pecahan rasional disebut pecahan wajar jika pangkat pembilangnya lebih kecil dari pangkat penyebutnya, yaitu m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P
Pecahan – fungsi rasional Mengurangi pecahan biasa Ke jenis yang tepat: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x
Pecahan rasional paling sederhana Bentuk pecahan rasional yang paling sederhana: Disebut jenis pecahan rasional paling sederhana. kapak A); 2(Nkk kapak A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k VV,
Penguraian pecahan rasional menjadi pecahan sederhana Teorema: Setiap pecahan rasional sejati, yang penyebutnya difaktorkan: dapat direpresentasikan, terlebih lagi, secara unik dalam bentuk penjumlahan pecahan sederhana: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x.Q x.P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M ss qxpx Nx)
Penguraian pecahan rasional menjadi pecahan sederhana Mari kita jelaskan rumusan teorema di contoh berikut: Untuk mencari koefisien tak tentu A, B, C, D... digunakan dua metode yaitu metode perbandingan koefisien dan metode nilai variabel parsial. Mari kita lihat metode pertama menggunakan sebuah contoh. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x SEBUAH 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x
Penguraian pecahan rasional menjadi pecahan sederhana Sajikan pecahan sebagai penjumlahan dari pecahan sederhana: Mari kita bawa pecahan paling sederhana ke penyebut yang sama. Samakan pembilang dari pecahan yang dihasilkan dan pecahan asal. Samakan koefisien pada pangkat yang sama x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Kapak 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x
Integrasi pecahan paling sederhana Mari kita cari integral dari pecahan rasional paling sederhana: Mari kita lihat integrasi pecahan tipe 3 menggunakan sebuah contoh. dx kapak A k dx qpxx NMx 2 kapak axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k kapak. A k
Integrasi pecahan sederhanadx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln
Integral pecahan sederhana Integral dari jenis ini menggunakan substitusi: direduksi menjadi jumlah dua integral: Integral pertama dihitung dengan memasukkan t di bawah tanda diferensial. Integral kedua dihitung menggunakan rumus perulangan: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt
Integrasi pecahan sederhana a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(
Aturan umum untuk mengintegrasikan pecahan rasional Jika pecahan tersebut tidak wajar, nyatakan pecahan tersebut sebagai jumlah dari polinomial dan pecahan yang tepat. Setelah memfaktorkan penyebut suatu pecahan rasional, nyatakan pecahan tersebut sebagai jumlah pecahan sederhana yang koefisiennya tidak dapat ditentukan. Temukan peluang yang tidak pasti metode perbandingan koefisien atau metode nilai parsial suatu variabel. Integrasikan polinomial dan hasil penjumlahan pecahan sederhana.
Contoh Mari kita masukkan pecahan ke dalam bentuk yang benar. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x
Contoh Mari kita faktorkan penyebut suatu pecahan biasa Mari kita nyatakan pecahan tersebut sebagai penjumlahan dari pecahan sederhana Mari kita cari koefisien tak tentu dengan menggunakan metode nilai parsial variabel xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx.Bxx.A 48)1()1(22 xx.Cxx.Bxx.A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124xxx
Contoh dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln
Berikut kami sajikan solusi terperinci tiga contoh pengintegrasian pecahan rasional berikut:
,
,
.
Contoh 1
Hitung integralnya:
.
Larutan
Di sini, di bawah tanda integral terdapat fungsi rasional, karena integrand adalah pecahan dari polinomial. Derajat polinomial penyebut ( 3 ) lebih kecil dari derajat polinomial pembilangnya ( 4 ). Oleh karena itu, pertama-tama Anda harus memilih seluruh bagian pecahan.
1.
Mari kita pilih seluruh bagian pecahan. Bagilah x 4
oleh x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Dari sini
.
2.
Mari kita memfaktorkan penyebut pecahan tersebut. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan kubik:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Mari kita substitusikan x = 1
:
.
1
. 1
:
Dari sini
.
Bagi dengan x -
.
Memecahkan persamaan kuadrat.
Akar persamaannya adalah: , .
.
3.
Kemudian
.
Mari kita pecahkan pecahan menjadi bentuk yang paling sederhana.
.
Jadi kami menemukan:
Mari berintegrasi.
Menjawab
Hitung integralnya:
.
Larutan
Contoh 2 Di sini pembilang pecahannya adalah polinomial berderajat nol ( 1 = x 0 0 < 3 ). Penyebutnya adalah polinomial derajat ketiga. Sejak
1.
, maka pecahannya benar. Mari kita pecahkan menjadi pecahan sederhana.
.
Mari kita memfaktorkan penyebut pecahan tersebut. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan derajat ketiga: Mari kita asumsikan bahwa ia memiliki setidaknya satu akar utuh 3
. Maka itu adalah pembagi bilangan tersebut
1, 3, -1, -3
.
Mari kita substitusikan x = 1
:
.
(anggota tanpa x). Artinya, akar bilangan bulat dapat berupa salah satu bilangan: 1
Jadi, kami telah menemukan satu akar x = . Bagilah x 1
:
3+2x-3
.
pada x -
Jadi, Memecahkan persamaan kuadrat:.
X 2 + x + 3 = 0 Temukan diskriminannya: D =< 0
1 2 - 4 3 = -11
.
2.
.
.:
(2.1)
.
Mari kita substitusikan x = 1
Sejak D 1 = 0
,
.
, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar real. Jadi, kami memperoleh faktorisasi penyebutnya: (2.1)
(x - 1)(x 2 + x + 3) 0
:
.;
.
Lalu x - (2.1)
Mari kita gantikan 2
:
;
x =;
.
.
3.
Jadi kami menemukan:
(2.2)
.
1 = 3 SEBUAH - C
;
;
.
Mari kita samakan dengan 2
.
.
koefisien untuk x Memecahkan persamaan kuadrat: 0 = SEBUAH + B Untuk menghitung integral kedua, kita memilih turunan penyebut pada pembilangnya dan mengurangi penyebutnya menjadi jumlah kuadrat. Hitung saya
Karena persamaan x (2.2)
:
.
Mari berintegrasi.
tidak mempunyai akar real, maka x
Hitung integralnya:
.
Larutan
2 + x + 3 > 0 3 . 4 Oleh karena itu, tanda modulus dapat dihilangkan. 3 < 4 , maka pecahannya benar. Oleh karena itu, dapat diuraikan menjadi pecahan sederhana. Namun untuk melakukan ini, Anda perlu memfaktorkan penyebutnya.
1.
Mari kita memfaktorkan penyebut pecahan tersebut. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan derajat keempat:
.
Mari kita asumsikan bahwa ia memiliki setidaknya satu akar utuh. Maka itu adalah pembagi bilangan tersebut 2
. Maka itu adalah pembagi bilangan tersebut
1, 2, -1, -2
.
Mari kita substitusikan x = -1
:
.
(anggota tanpa x). Artinya, akar bilangan bulat dapat berupa salah satu bilangan: -1
. (-1) = x + 1:
3+2x-3
.
Sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan derajat ketiga:
.
Jika kita berasumsi bahwa persamaan ini memiliki akar bilangan bulat, maka persamaan tersebut adalah pembagi bilangan tersebut 2
. Maka itu adalah pembagi bilangan tersebut
1, 2, -1, -2
.
Mari kita substitusikan x = -1
:
.
Jadi, kami menemukan akar lain x = -1
.
.
Seperti pada kasus sebelumnya, kita dapat membagi polinomial dengan , tetapi kita akan mengelompokkan suku-sukunya: 2 + 2 = 0
Karena persamaan x
.
2.
tidak memiliki akar real, maka kita peroleh faktorisasi penyebutnya:
.
Mari kita pecahkan pecahan menjadi bentuk yang paling sederhana. Kami mencari perluasan dalam bentuk: Kita hilangkan penyebut pecahan, kalikan dengan:
(3.1)
.
Mari kita substitusikan x = -1
(x + 1) 2 (x 2 + 2) 1 = 0
,
.
. (3.1)
:
;
.
Mari kita substitusikan x = -1
Kemudian x+ 1 = 0
:
;
;
.
, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar real. Jadi, kami memperoleh faktorisasi penyebutnya: (3.1)
(x - 1)(x 2 + x + 3) 0
:
Mari kita bedakan;
.
Lalu x - (3.1)
Mari kita gantikan 3
:
;
dan memperhitungkan bahwa x +;
.
0 = 2 A + 2 B + D
.
3.
Jadi kami menemukan:
.
