Prinsip tindakan terkecil dalam teori medan kuantum. Bagaimana Memulai Mengikuti Hukum Upaya Minimal: Tiga Tindakan yang Diperlukan

5. Prinsip tindakan paling sedikit

Persamaan dinamika suatu titik material dalam medan gaya yang potensial dapat diperoleh berdasarkan prinsip bahwa pandangan umum disebut prinsip Hamilton, atau prinsip aksi stasioner. Menurut prinsip ini, semua pergerakan suatu titik material yang dapat dilakukan antara titik awal dan yang sama titik akhir selama periode waktu yang sama t2...t1, pada kenyataannya, pergerakan itu terjadi dimana integral waktu dari t1 ke t2 dari perbedaan antara energi kinetik dan energi potensial dari titik material ini menjadi ekstrim, yaitu minimal atau nilai maksimum. Dengan menggunakan metode kalkulus variasi yang terkenal, mudah untuk menunjukkan bahwa persamaan gerak klasik mengikuti prinsip ini.

Khususnya bentuk sederhana menerima prinsip aksi stasioner dalam kasus medan gaya statis yang khusus namun penting. Dalam hal ini, hal ini sesuai dengan prinsip tindakan terkecil Maupertuis, yang menurutnya untuk jalur sebenarnya suatu titik material dalam medan gaya konservatif (yaitu, tidak secara eksplisit bergantung pada waktu), integral momentum partikel yang diambil sepanjang segmen lintasan antara dua titik A dan B adalah minimal dibandingkan dengan integral yang sama yang diambil sepanjang ruas kurva lain yang ditarik melalui titik A dan B. Prinsip Maupertuis dapat diturunkan dari prinsip Hamilton. Hal ini juga dapat dikaitkan dengan teori Jacobi.

Kita telah melihat bahwa dalam kasus medan statis, lintasan dalam teori ini dapat dianggap sebagai kurva ortogonal terhadap beberapa kelompok permukaan. Penalaran sederhana menunjukkan bahwa lintasan tersebut dapat diperoleh dari kondisi minimal integral yang berimpit dengan aksi Maupertuis, yaitu integral lengkung momentum sepanjang lintasan. Kesimpulan ini sangat menarik, karena menunjukkan hubungan antara prinsip tindakan terkecil dan prinsip waktu minimum Fermat.

Memang benar, kami telah mengatakan bahwa lintasan dalam teori Jacobi dapat dianggap sebagai analogi sinar cahaya dalam optik geometris. Analisis terhadap argumen yang diberikan untuk membuktikan prinsip aksi terkecil menunjukkan bahwa argumen tersebut sepenuhnya identik dengan argumen yang diberikan dalam optik geometris untuk membenarkan prinsip waktu minimum, atau prinsip Fermat. Berikut rumusannya: dalam suatu medium bias yang sifat-sifatnya tidak bergantung pada waktu, seberkas cahaya yang melewati titik A dan B memilih lintasan sedemikian rupa sehingga waktu yang diperlukan untuk merambat dari titik A ke titik B adalah minimal, yaitu mengikuti kurva yang berbelok ke minimum integral garis dari nilai timbal balik kecepatan fase propagasi cahaya. Sekarang persamaan antara prinsip Maupertuis dan prinsip Fermat sudah jelas.

Namun, ada perbedaan penting di antara keduanya. Prinsip tindakan paling sedikit integrand bertepatan dengan momentum partikel dan, dengan demikian, integral memiliki dimensi aksi (hasil kali energi dan waktu atau momentum dan lintasan). Pada prinsipnya, integran Fermat justru berbanding terbalik dengan kecepatan rambat. Karena alasan inilah analogi antara kedua prinsip ini sejak lama dianggap murni formal, tanpa pembenaran fisik yang mendalam. Terlebih lagi, sepertinya begitu titik fisik Dilihat dari keduanya terdapat perbedaan yang cukup besar, karena momentum berbanding lurus dengan kecepatan, oleh karena itu integran pada prinsip Maupertuis memuat kecepatan pada pembilangnya, sedangkan pada prinsip Fermat pada penyebutnya. Keadaan ini berperan peran penting di era ketika teori gelombang cahaya, yang dihidupkan oleh kejeniusan Fresnel, menyelesaikan kemenangannya atas teori arus keluar. Diyakini bahwa, berdasarkan berbagai kecanduan dari kecepatan integrand yang termasuk dalam integral Maupertuis dan Fermat, kita dapat menyimpulkan bahwa eksperimen Foucault dan Fizeau yang terkenal, yang menyatakan bahwa kecepatan rambat cahaya dalam air lebih kecil daripada kecepatan cahaya dalam ruang hampa, memberikan argumen yang tak terbantahkan dan tegas yang mendukung teori gelombang. Namun, dengan mengandalkan perbedaan ini dan menjelaskan eksperimen Foucault dan Fizeau sebagai konfirmasi atas fakta keberadaan gelombang cahaya, mereka berasumsi bahwa cukup sah untuk mengidentifikasi kecepatan suatu titik material, yang muncul dalam prinsip Maupertuis, dengan kecepatan rambat gelombang yang termasuk dalam integral Fermat. Mekanika gelombang menunjukkan bahwa setiap titik material yang bergerak berhubungan dengan gelombang, yang kecepatan rambatnya berbanding terbalik dengan kecepatan partikel. Hanya mekanika gelombang yang benar-benar menjelaskan sifat hubungan mendalam antara dua prinsip dasar dan mengungkapkannya arti fisik. Hal ini juga menunjukkan bahwa eksperimen Fizeau tidak sekuat yang diperkirakan sebelumnya. Meskipun ia membuktikan bahwa perambatan cahaya adalah perambatan gelombang dan bahwa indeks bias harus ditentukan melalui kecepatan rambat, ia sama sekali tidak mengesampingkan kemungkinan adanya struktur sel cahaya, asalkan tentu saja ada. hubungan yang tepat antara gelombang dan partikel cahaya. Namun hal ini sudah berkaitan dengan berbagai permasalahan yang akan kita bahas di bawah ini.

Dengan membandingkan gerak suatu titik material dalam medan gaya yang tidak bergantung pada waktu dengan rambat gelombang pada media bias yang keadaannya juga tidak bergantung pada waktu, kami menunjukkan bahwa terdapat analogi tertentu antara prinsip-prinsip tersebut. dari Maupertuis dan Fermat. Membandingkan pergerakan suatu titik material dalam variabel dalam waktu medan gaya dengan perambatan gelombang dalam media bias dengan parameter yang bervariasi terhadap waktu, kami mencatat bahwa analogi antara prinsip aksi terkecil dalam bentuk umumnya, yang diusulkan oleh Hamilton, dan prinsip Fermat, yang digeneralisasikan pada kasus media bias, yang keadaannya tergantung pada waktu, terpelihara dalam hal ini, lebih banyak lagi kasus umum. Mari kita tidak memikirkan masalah ini. Bagi kami analogi antara dua prinsip dasar mekanika dan optik geometris terjadi tidak hanya dalam kasus khusus bidang konstan yang dibahas di atas, meskipun sangat penting, tetapi juga dalam kasus bidang variabel yang lebih umum.

Prinsip aksi stasioner juga berlaku untuk sistem poin materi. Untuk merumuskannya, akan lebih mudah bagi kita untuk mempertahankan ruang konfigurasi yang sesuai dengan sistem yang sedang dipertimbangkan. Sebagai contoh, kita akan membatasi diri pada kasus ketika energi potensial suatu sistem tidak bergantung secara eksplisit pada waktu. Hal ini misalnya terjadi sistem terisolasi, yang tidak terpengaruh kekuatan eksternal, karena energi potensialnya direduksi hanya menjadi energi interaksi dan tidak bergantung secara eksplisit pada waktu. Dalam hal ini, dengan memperkenalkan ruang konfigurasi berdimensi 3N dan sebuah vektor dalam ruang tersebut, yang komponen 3Nnya berimpit dengan komponen vektor momentum N titik material sistem, prinsip aksi terkecil dalam bentuk Maupertuis dapat dirumuskan sebagai berikut. Lintasan titik yang mewakili sistem melewati dua poin yang diberikan A dan B dalam ruang konfigurasi, membuat integral lengkung dari vektor berdimensi 3N yang diperkenalkan di atas, yang diambil sepanjang segmen lintasan antara titik A dan B, menjadi minimal, dibandingkan dengan integral yang sama yang diambil sepanjang segmen kurva lain di ruang konfigurasi. konfigurasi ruang yang melalui titik A dan B yang sama. Prinsip ini juga dapat dengan mudah diturunkan dari teori Jacobi. Analoginya dengan prinsip Fermat mengikuti kemungkinan untuk merepresentasikan lintasan suatu titik yang mewakili dalam ruang konfigurasi dalam bentuk sinar gelombang yang merambat di ruang tersebut. Jadi, kita kembali melihat bahwa untuk sistem titik material, transisi dari mekanika klasik ke mekanika gelombang hanya dapat dilakukan dalam kerangka ruang konfigurasi abstrak.

Dari buku Revolusi Fisika oleh de Broglie Louis

1. Prinsip relativitas Sebelum berbicara tentang perkembangan gagasan kita tentang kuanta, mau tidak mau kita akan mencurahkan satu bab singkat tentang teori relativitas. Teori relativitas dan kuanta adalah dua pilar modern fisika teoretis, dan meskipun buku ini tentang teori

Dari buku Rahasia Ruang dan Waktu penulis Komarov Victor

2. Teori radiasi benda hitam. Aksi kuantum Planck Awal perkembangan teori kuantum meletakkan dasar bagi karya Max Planck tahun 1900 tentang teori radiasi benda hitam. Upaya untuk membangun teori radiasi benda hitam berdasarkan hukum-hukum fisika klasik mengarah ke

Dari buku Petir dan Guntur pengarang Stekolnikov I S

3. Perkembangan hipotesis Planck. Aksi kuantum Saat membangun teori keseimbangan Anda radiasi termal Planck berangkat dari asumsi bahwa materi adalah kumpulan osilator elektronik yang melaluinya pertukaran energi terjadi

Dari buku Teori Relativitas untuk Jutaan oleh Gardner Martin

Dari buku Gerakan. Panas pengarang Kitaygorodsky Alexander Isaakovich

3. Alat untuk mengamati pengaruh listrik - elektroskop Untuk mengetahui apakah suatu benda bermuatan listrik, mereka menggunakan alat sederhana yang disebut elektroskop. Elektroskop didasarkan pada sifat listrik yang baru saja disebutkan.

Dari buku Sejarah Laser pengarang Bertolotti Mario

AKU AKU AKU. Aksi yang ditimbulkan oleh petir 1. Seberapa sering petir terjadi? Badai petir tidak terjadi secara merata di seluruh bumi. Di beberapa tempat tropis yang panas, badai petir terjadi sepanjang tahun- hampir setiap hari. Di tempat lain yang terletak di wilayah utara, ada badai petir

Dari buku Masalah atom oleh Ran Philip

Dari buku The King's New Mind [Tentang komputer, pemikiran dan hukum fisika] oleh Penrose Roger

Prinsip kesetaraanB bab sebelumnya kami telah menemukan “sudut pandang yang masuk akal” mengenai gerakan ini. Benar, sudut pandang “masuk akal” yang kami sebut sistem inersia, ternyata merupakan himpunan tak terhingga. Kini, berbekal pengetahuan tentang hukum gerak, kita bisa

Dari buku 6. Elektrodinamika pengarang Feynman Richard Phillips

Efisiensi Dengan menggunakan berbagai mesin, sumber energi dapat dibuat berproduksi berbagai pekerjaan– mengangkat beban, memindahkan mesin, mengangkut barang dan orang. Anda dapat menghitung jumlah energi yang dimasukkan ke dalam mesin dan nilai yang diterima darinya

Dari buku penulis

Prinsip eksklusi Terlepas dari keberhasilannya yang nyata, pada tahun 1924 teori kuantum “lama”, yang selama beberapa tahun sebelumnya tampaknya memberikan metode dan prinsip yang mampu membantu setidaknya memberikan dasar bagi fenomenologi atom, dihadapkan pada kegagalan.

Dari buku penulis

Bab II Prinsip pengoperasian bom nuklir Mengingat beberapa informasi umum dari wilayah tersebut fisika nuklir, kita dapat melanjutkan ke penjelasan tentang prinsip pengoperasian bom nuklir bom nuklir dibagi menjadi dua kelompok besar: bom berdasarkan reaksi fisi, kadang disebut

Dari buku penulis

II. Perlindungan dari efek mematikan bom nuklir 1. Perlindungan dari radiasi cahaya perlindungan yang andal dari radiasi cahaya adalah untuk menghindari lengah oleh lampu kilat. Telah kita katakan bahwa radiasi cahaya merambat lurus dan

Dari buku penulis

Bab VIII Prinsip pengoperasian dan kemampuan reaktor nuklir I. Desain reaktor nuklir Reaktor nuklir terdiri dari lima elemen utama berikut: 1) bahan bakar nuklir; 2) moderator neutron; 3) sistem kendali; ) protektif

Dari buku penulis

Bab 19 PRINSIP EFEK TERkecil Penjumlahan yang dilakukan setelah perkuliahan Ketika saya masih di sekolah, guru fisika kami, bernama Bader, suatu kali memanggil saya setelah kelas selesai dan berkata: “Kamu kelihatannya sangat lelah dengan segalanya; dengarkan satu hal yang menarik

Prinsip tindakan paling sedikit adalah yang paling penting dalam keluarga; dia adalah salah satu dari ketentuan utama fisika modern.

Rumusan prinsip pertama diberikan (P. Maupertuis (Prancis)) pada tahun 1744. Dari sini ia menurunkan hukum pemantulan dan pembiasan cahaya.

Prinsip tindakan terkecil dalam mekanika klasik

Mari kita ingat dulu, dengan menggunakan contoh sistem fisik dengan satu, yang kita bicarakan di sini, yaitu aturan yang mengasosiasikan setiap fungsi x(t) dengan bilangan tertentu. Tindakannya terlihat seperti: S[x] = \int \mathcal(L)(x(t),\dot(x)(t),t) dt, Di mana \mathcal(L)(x(t),\dot(x)(t),t) ada sistem yang bergantung pada lintasan (yaitu koordinat, yang pada gilirannya bergantung pada waktu), yang pertama dalam waktu, dan juga dapat secara eksplisit bergantung pada .

Tindakan tersebut dapat dihitung untuk lintasan yang sepenuhnya sewenang-wenang, tidak peduli seberapa “liar” dan “tidak wajar” tindakan tersebut. Namun, di antara keseluruhan rangkaian kemungkinan lintasan hanya ada satu jalan yang akan dilalui oleh tubuh. Prinsip tindakan terkecil secara tepat menjawab pertanyaan tentang bagaimana sebenarnya benda akan bergerak:

tubuh bergerak untuk meminimalkan tindakan.

Artinya jika Lagrangian sistem diberikan, maka kita dapat menggunakannya untuk menentukan dengan tepat bagaimana benda akan bergerak.

Perhatikan bahwa jika dari kondisi soal pada prinsipnya dimungkinkan untuk menemukan hukum gerak, maka hal ini secara otomatis berarti bahwa dimungkinkan untuk membangun suatu fungsi yang mengambil nilai ekstrem untuk gerak sebenarnya.

Mereka mematuhinya, dan oleh karena itu prinsip ini merupakan salah satu ketentuan utama fisika modern. Persamaan gerak yang diperoleh dengan bantuannya disebut persamaan Euler-Lagrange.

Rumusan prinsip yang pertama kali diberikan oleh P. Maupertuis pada tahun tersebut, dengan segera menunjukkan sifat universalnya, mengingat prinsip tersebut dapat diterapkan pada optik dan mekanika. Dari prinsip ini dia menurunkan hukum pemantulan dan pembiasan cahaya.

Cerita

Maupertuis sampai pada prinsip ini dari perasaan bahwa kesempurnaan Alam Semesta memerlukan penghematan tertentu di alam dan bertentangan dengan pengeluaran energi yang tidak berguna. Gerakan alami harus sedemikian rupa sehingga jumlah tertentu menjadi minimal. Yang harus dia lakukan hanyalah menemukan nilai ini, dan dia terus melakukannya. Itu adalah produk dari durasi (waktu) pergerakan dalam sistem dengan dua kali nilainya, yang sekarang kita sebut energi kinetik sistem.

Euler (dalam "Refleksi atas apa yang terjadi di alam", 1748) mengadopsi prinsip tindakan yang paling sedikit, menyebut tindakan sebagai "usaha". Ekspresinya dalam statika sesuai dengan apa yang sekarang kita sebut energi potensial, sehingga pernyataannya tentang aksi terkecil dalam statika setara dengan kondisi minimum energi potensial untuk konfigurasi kesetimbangan.

Dalam mekanika klasik

Prinsip aksi terkecil menjadi dasar fundamental dan standar formulasi mekanika Lagrangian dan Hamiltonian.

Pertama, mari kita lihat konstruksinya seperti ini: Mekanika Lagrangian. Dengan menggunakan contoh sistem fisik dengan satu derajat kebebasan, mari kita ingat bahwa suatu tindakan adalah fungsi terhadap koordinat (yang digeneralisasikan) (dalam kasus satu derajat kebebasan - satu koordinat), yaitu dinyatakan melalui sedemikian rupa sehingga setiap versi fungsi yang dapat dibayangkan dikaitkan dengan sejumlah tertentu - suatu tindakan (dalam pengertian ini, kita dapat mengatakan bahwa tindakan sebagai fungsional adalah aturan yang memungkinkan terjadinya fungsi yang diberikan menghitung secara lengkap sejumlah tertentu- juga disebut tindakan). Tindakannya terlihat seperti:

di mana adalah Lagrangian dari sistem, bergantung pada koordinat umum, turunan pertamanya terhadap waktu, dan juga, mungkin, secara eksplisit terhadap waktu. Jika sistem mempunyai derajat kebebasan yang lebih besar, maka Lagrangian bergantung pada lagi koordinat umum dan turunan pertama kali. Jadi, aksi merupakan fungsi skalar yang bergantung pada lintasan benda.

Fakta bahwa aksi adalah skalar membuatnya mudah untuk menuliskannya dalam koordinat umum apa pun, yang utama adalah bahwa posisi (konfigurasi) sistem dicirikan secara jelas olehnya (misalnya, alih-alih koordinat Cartesian, ini bisa berupa kutub koordinat, jarak antar titik sistem, sudut atau fungsinya, dll. .d.).

Tindakan tersebut dapat dihitung untuk lintasan yang sepenuhnya sewenang-wenang, tidak peduli seberapa “liar” dan “tidak wajar” tindakan tersebut. Namun, dalam mekanika klasik, di antara seluruh rangkaian kemungkinan lintasan, hanya ada satu lintasan yang benar-benar akan dilalui oleh benda tersebut. Prinsip aksi stasioner justru memberikan jawaban atas pertanyaan bagaimana sebenarnya benda akan bergerak:

Artinya jika Lagrangian suatu sistem diberikan, maka dengan menggunakan kalkulus variasi kita dapat menentukan dengan tepat bagaimana benda akan bergerak dengan terlebih dahulu memperoleh persamaan gerak - persamaan Euler-Lagrange, dan kemudian menyelesaikannya. Hal ini memungkinkan tidak hanya untuk secara serius menggeneralisasi rumusan mekanika, tetapi juga untuk memilih koordinat yang paling sesuai untuk setiap masalah tertentu, tidak terbatas pada masalah Cartesian, yang bisa sangat berguna untuk mendapatkan persamaan yang paling sederhana dan mudah diselesaikan.

dimana fungsi Hamilton dari sistem ini; - Koordinat (umum), - impuls konjugasi (umum), yang mencirikan bersama-sama di masing-masing impuls saat ini waktu, keadaan dinamis sistem dan, masing-masing merupakan fungsi waktu, sehingga mencirikan evolusi (pergerakan) sistem. Dalam hal ini, untuk memperoleh persamaan gerak sistem dalam bentuk persamaan kanonik Hamilton, perlu memvariasikan aksi yang ditulis sedemikian rupa secara independen untuk semua dan .

Perlu diperhatikan bahwa jika dari kondisi soal pada prinsipnya dapat ditemukan hukum gerak, maka dengan sendirinya hal ini Bukan berarti bahwa adalah mungkin untuk membangun suatu fungsi yang diperlukan nilai stasioner dengan gerakan sebenarnya. Contohnya adalah gerakan bersama muatan listrik dan monopole - muatan magnetik- dalam medan elektromagnetik. Persamaan geraknya tidak dapat diturunkan dari prinsip aksi stasioner. Demikian pula, beberapa sistem Hamilton mempunyai persamaan gerak yang tidak dapat diturunkan dari prinsip ini.

Contoh

Contoh-contoh sepele membantu mengevaluasi penggunaan prinsip operasi melalui persamaan Euler-Lagrange. Partikel bebas(berat M dan kecepatan ay) dalam ruang Euclidean bergerak lurus. Dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange, hal ini dapat ditunjukkan dalam koordinat kutub sebagai berikut. Dengan tidak adanya potensi, fungsi Lagrange sama dengan energi kinetik

V sistem ortogonal koordinat

DI DALAM koordinat kutub energi kinetik, dan oleh karena itu fungsi Lagrange menjadi

Komponen radial dan sudut dari persamaan tersebut masing-masing menjadi:

Memecahkan dua persamaan ini

Berikut adalah notasi kondisional untuk integrasi fungsional berganda tak terhingga pada semua lintasan x(t), dan merupakan konstanta Planck. Mari kita tekankan bahwa, pada prinsipnya, aksi dalam eksponensial muncul (atau dapat muncul) dengan sendirinya ketika mempelajari operator evolusi dalam mekanika kuantum, tetapi untuk sistem yang memiliki analogi klasik (non-kuantum) yang tepat, aksi tersebut sama persis dengan aksi klasik biasa.

Analisis matematis dari ekspresi ini dalam batas klasik - untuk cukup besar , yaitu, untuk osilasi eksponensial imajiner yang sangat cepat - menunjukkan bahwa sebagian besar dari semua lintasan yang mungkin dalam integral ini saling meniadakan dalam batas (secara formal di ). Untuk hampir semua jalur, terdapat jalur yang pergeseran fasanya justru sebaliknya, dan kontribusinya akan berjumlah nol. Hanya lintasan yang aksinya mendekati nilai ekstrem (untuk sebagian besar sistem - hingga minimum) yang tidak dikurangi. Itu bersih fakta matematika dari teori fungsi variabel kompleks; Misalnya, metode fase diam didasarkan pada itu.

Akibatnya, partikel masuk persetujuan penuh sesuai dengan hukum mekanika kuantum, ia bergerak secara bersamaan di sepanjang semua lintasan, tetapi dalam kondisi normal, hanya lintasan yang mendekati stasioner (yaitu, klasik) yang berkontribusi pada nilai yang diamati. Sejak mekanika kuantum berubah menjadi klasik dalam batas energi tinggi, maka kita dapat berasumsi demikian derivasi mekanika kuantum prinsip klasik stasioneritas tindakan.

Dalam teori medan kuantum

Dalam teori medan kuantum, prinsip aksi stasioner juga berhasil diterapkan. Kepadatan Lagrangian di sini mencakup operator medan kuantum yang sesuai. Meskipun pada dasarnya lebih tepat di sini (dengan pengecualian batas klasik dan sebagian kuasi-klasik) untuk berbicara bukan tentang prinsip stasioneritas tindakan, tetapi tentang integrasi Feynman sepanjang lintasan dalam suatu konfigurasi atau ruang fase bidang-bidang ini - menggunakan kepadatan Lagrangian yang baru saja disebutkan.

Generalisasi lebih lanjut

Secara lebih luas, suatu tindakan dipahami sebagai fungsi yang menentukan pemetaan dari ruang konfigurasi ke suatu himpunan bilangan real dan, secara umum, hal ini tidak harus menjadi suatu kesatuan, karena tindakan nonlokal pada prinsipnya mungkin dilakukan, setidaknya secara teori. Selain itu, ruang konfigurasi belum tentu merupakan ruang fungsi karena dapat mempunyai geometri nonkomutatif.

Catatan

Literatur

Prinsip variasi mekanika. Duduk. artikel sains klasik. Diedit oleh Polak L.S. M.: Fizmatgiz. 1959.
Lanczos K. Prinsip variasi mekanika. - M.: Fizmatgiz. 1965.
Berdichevsky V.L. Prinsip variasi mekanika kontinum. M.: Nauka, 1983. - 448 hal.

Prinsip tindakan terkecil, yang pertama kali dirumuskan secara tepat oleh Jacobi, mirip dengan prinsip Hamilton, tetapi kurang umum dan lebih sulit dibuktikan. Prinsip ini hanya berlaku jika hubungan dan fungsi gaya tidak bergantung pada waktu dan oleh karena itu terdapat suatu kesatuan gaya hidup.

Integral ini mempunyai bentuk:

Prinsip Hamilton yang dikemukakan di atas menyatakan bahwa variasi integral

sama dengan nol pada transisi gerak aktual ke gerak dekat tak terhingga lainnya yang memindahkan sistem dari gerak yang sama posisi awal ke posisi akhir yang sama dalam periode waktu yang sama.

Prinsip Jacobi, sebaliknya, mengungkapkan sifat gerak yang tidak bergantung pada waktu. Jacobi menganggap integral

menentukan tindakan. Prinsip yang ia tetapkan menyatakan bahwa variasi integral ini adalah nol ketika kita membandingkan gerak aktual sistem dengan gerak tak terhingga lainnya yang membawa sistem dari posisi awal yang sama ke posisi akhir yang sama. Dalam hal ini kita tidak memperhatikan jangka waktu yang dihabiskan, tetapi kita mengamati persamaan (1), yaitu persamaan tenaga kerja dengan nilai konstanta h yang sama dengan gerak sebenarnya.

Kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem ini, secara umum, mengarah ke integral minimum (2), oleh karena itu dinamakan prinsip tindakan terkecil. Kondisi minimum tampaknya paling alami, karena nilai T pada dasarnya positif, dan oleh karena itu integral (2) harus mempunyai minimum. Keberadaan minimum dapat dibuktikan secara tegas jika jangka waktunya cukup kecil. Bukti dari posisi ini dapat ditemukan dalam kursus Darboux yang terkenal tentang teori permukaan. Namun kami tidak akan menyajikannya di sini dan akan membatasi diri pada menyimpulkan kondisi tersebut

432. Bukti prinsip tindakan terkecil.

Pada perhitungan sebenarnya kita menemui satu kesulitan yang tidak terdapat dalam pembuktian teorema Hamilton. Variabel t tidak lagi independen terhadap variasi; oleh karena itu variasi q i dan q. terkait dengan variasi t dengan hubungan kompleks yang mengikuti persamaan (1). Cara paling sederhana untuk mengatasi kesulitan ini adalah dengan mengubah variabel bebas, memilih variabel yang nilainya berada di antara batas konstan yang tidak bergantung pada waktu. Misalkan k adalah variabel bebas baru, yang limitnya diasumsikan tidak bergantung pada t. Saat sistem bergerak, parameter dan t akan menjadi fungsi dari variabel ini

Misalkan huruf dengan bilangan prima q menunjukkan turunan parameter q terhadap waktu.

Karena koneksi diasumsikan tidak bergantung pada waktu, maka Koordinat Kartesius x, y, z adalah fungsi dari q yang tidak mengandung waktu. Oleh karena itu, turunannya akan berupa fungsi homogen linier dari q dan 7 akan menjadi bentuk kuadrat homogen dari q, yang koefisiennya merupakan fungsi dari q. Kita punya

Untuk membedakan turunan q terhadap waktu, kami menyatakan, dengan menggunakan tanda kurung, (q), turunan dari q diambil terhadap dan ditempatkan sesuai dengan ini

maka kita akan memilikinya

dan integral (2), yang dinyatakan melalui variabel bebas baru A, akan berbentuk;

Turunannya dapat dihilangkan dengan menggunakan teorema gaya hidup. Memang, tenaga kerja akan menjadi bagian integralnya

Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus kita mereduksi integral (2) ke dalam bentuk

Integral yang mendefinisikan tindakan tersebut mengambil bentuk akhirnya (3). Ada fungsi integrand akar kuadrat dari bentuk kuadrat dari nilai-nilai

Mari kita tunjukkan itu persamaan diferensial ekstrem integral (3) persis dengan persamaan Lagrange. Persamaan ekstrem, berdasarkan rumus umum kalkulus variasinya adalah:

Mari kita mengalikan persamaan dengan 2 dan melakukan diferensiasi parsial, mengingat persamaan tersebut tidak mengandung, maka kita mendapatkan, jika kita tidak menulis indeks,

Ini adalah persamaan ekstrem yang dinyatakan melalui persamaan independen variabel Tugas sekarang kembali ke variabel independen

Karena G adalah fungsi homogen derajat kedua dalam dan merupakan fungsi homogen derajat pertama, maka kita punya

Di sisi lain, teorema gaya hidup dapat diterapkan pada faktor-faktor turunan dalam persamaan ekstrem, yang, seperti kita lihat di atas, mengarah pada substitusi

Sebagai hasil dari semua substitusi, persamaan ekstrem direduksi menjadi bentuk

Dengan demikian, kita telah sampai pada persamaan Lagrange.

433. Kasus ketika tidak ada kekuatan pendorong.

Jika kekuatan pendorong tidak, ada persamaan untuk tenaga kerja dan kita punya

Syarat agar integralnya minimum adalah dalam hal ini adalah nilai yang sesuai -10 harus menjadi yang terkecil. Jadi, bila tidak ada kekuatan pendorong, maka di antara semua gerakan yang ada tenaga kerja tetap sama nilai yang diberikan, gerak sebenarnya adalah gerak yang membawa sistem dari posisi awalnya ke posisi akhir dalam waktu yang paling singkat.

Jika sistem direduksi menjadi satu titik yang bergerak pada suatu permukaan diam, maka gerak sebenarnya, di antara semua gerak pada permukaan tersebut, yang dilakukan dengan kelajuan yang sama, adalah gerak dimana titik tersebut berpindah dari posisi awalnya ke posisi akhir dalam sistem. terpendek

periode waktu. Dengan kata lain, suatu titik menggambarkan permukaan garis terpendek antara dua posisinya, yaitu garis geodesik.

434. Catatan.

Prinsip aksi terkecil mengasumsikan bahwa sistem mempunyai beberapa derajat kebebasan, karena jika hanya terdapat satu derajat kebebasan, maka satu persamaan akan cukup untuk menentukan gerak. Karena gerak dalam hal ini dapat ditentukan sepenuhnya oleh persamaan gaya hidup, maka gerak sebenarnya adalah satu-satunya yang memenuhi persamaan ini, dan oleh karena itu tidak dapat dibandingkan dengan gerak lainnya.

Rumusan hukum gerak yang paling umum sistem mekanis diberikan oleh apa yang disebut prinsip tindakan terkecil (atau prinsip Hamilton). Menurut prinsip ini, setiap sistem mekanis mempunyai fungsi tertentu.

atau, di catatan singkat, dan gerak sistem memenuhi kondisi berikut.

Biarkan sistem menempati posisi tertentu pada waktu tertentu, yang dicirikan oleh dua himpunan nilai koordinat (1) dan Kemudian antara posisi tersebut sistem bergerak sedemikian rupa sehingga integral

memiliki paling sedikit arti yang mungkin. Fungsi L disebut fungsi Lagrange sistem ini, dan integral (2.1) disebut aksi.

Fakta bahwa fungsi Lagrange hanya berisi q dan q, tetapi bukan turunan yang lebih tinggi, merupakan ekspresi dari pernyataan di atas bahwa keadaan mekanis sepenuhnya ditentukan oleh spesifikasi koordinat dan kecepatan.

Mari kita beralih ke penurunan persamaan diferensial, memecahkan masalah tentang menentukan minimum integral (2.1). Untuk menyederhanakan penulisan rumus, pertama-tama kita asumsikan bahwa sistem hanya mempunyai satu derajat kebebasan, sehingga hanya satu fungsi yang harus didefinisikan.

Misalkan ada fungsi yang S mempunyai nilai minimum. Artinya S bertambah jika digantikan oleh fungsi apa pun dalam bentuk tersebut

dimana adalah suatu fungsi yang kecil sepanjang selang waktu dari ke (disebut variasi fungsi karena semua fungsi yang dibandingkan (2.2) harus bernilai sama, maka seharusnya:

Perubahan 5 ketika q diganti dengan diberikan oleh selisihnya

Perluasan perbedaan pangkat ini (dalam integran) dimulai dengan suku orde pertama. Kondisi yang diperlukan minimalitas S) adalah hilangnya himpunan suku-suku tersebut; ini disebut variasi pertama (atau biasanya hanya variasi) integral. Dengan demikian, prinsip tindakan terkecil dapat ditulis sebagai

atau, dengan memvariasikan:

Memperhatikan bahwa kami mengintegrasikan suku kedua per bagian dan mendapatkan:

Namun karena kondisi (2.3), suku pertama dalam ungkapan ini hilang. Yang tersisa hanyalah integralnya, yang harus ada sama dengan nol untuk nilai sewenang-wenang. Ini hanya mungkin jika integrandnya hilang secara identik. Jadi kita mendapatkan persamaannya

Dengan adanya beberapa derajat kebebasan, prinsip tindakan terkecil harus bervariasi secara independen berbagai fungsi Jelasnya, kita kemudian akan memperoleh persamaan bentuk s

Ini adalah persamaan diferensial yang diperlukan; dalam mekanika disebut persamaan Lagrange. Jika fungsi Lagrange suatu sistem mekanik tertentu diketahui, maka persamaan (2.6) menetapkan hubungan antara percepatan, kecepatan dan koordinat, yaitu mewakili persamaan gerak sistem.

DENGAN titik matematika Dilihat dari persamaan (2.6) yang merupakan sistem persamaan orde kedua untuk s fungsi yang tidak diketahui. Solusi umum sistem seperti itu mengandung konstanta yang berubah-ubah. Untuk menentukannya dan dengan demikian definisi penuh pergerakan suatu sistem mekanis memerlukan pengetahuan kondisi awal, mencirikan keadaan sistem pada titik waktu tertentu, misalnya pengetahuan nilai awal semua koordinat dan kecepatan.

Misalkan sistem mekanis terdiri dari dua bagian A dan B, yang masing-masing tertutup, masing-masing mempunyai fungsi Lagrange, fungsi ? Kemudian, dalam limit, ketika bagian-bagiannya dipisahkan sedemikian rupa sehingga interaksi antar bagiannya dapat diabaikan, fungsi Lagrangian seluruh sistem cenderung ke limit.

Sifat aditif dari fungsi Lagrange ini mengungkapkan fakta bahwa persamaan gerak setiap bagian yang tidak berinteraksi tidak dapat memuat besaran yang berhubungan dengan bagian lain dari sistem.

Jelaslah bahwa mengalikan fungsi Lagrange suatu sistem mekanik dengan konstanta sembarang tidak dengan sendirinya mempengaruhi persamaan gerak.

Tampaknya ketidakpastian yang signifikan dapat timbul dari sini: fungsi Lagrange dari berbagai sistem mekanis terisolasi dapat dikalikan dengan konstanta yang berbeda. Properti aditif menghilangkan ketidakpastian ini - hanya memungkinkan perkalian simultan dari fungsi Lagrangian dari semua sistem dengan konstanta yang sama, yang hanya bermuara pada kesewenang-wenangan alami dalam pemilihan satuan pengukuran besaran fisik ini; Kami akan kembali ke masalah ini di §4.

Pernyataan umum berikut perlu dibuat. Mari kita perhatikan dua fungsi yang berbeda satu sama lain berdasarkan turunan waktu total dari setiap fungsi koordinat dan waktu

Integral (2.1) yang dihitung menggunakan kedua fungsi ini dihubungkan oleh relasi

yaitu berbeda satu sama lain dengan suku tambahan yang hilang bila aksi divariasikan, sehingga kondisinya bertepatan dengan kondisi dan bentuk persamaan geraknya tetap tidak berubah.

Dengan demikian, fungsi Lagrange didefinisikan hanya sampai penjumlahan turunan total dari sembarang fungsi koordinat dan waktu.